I. sjekira 2 =0 – nepotpuno kvadratna jednačina (b=0, c=0 ). Rješenje: x=0. Odgovor: 0.

Riješite jednačine.

2x·(x+3)=6x-x 2 .

Rješenje. Otvorimo zagrade množenjem 2x za svaki pojam u zagradi:

2x 2 +6x=6x-x 2 ; Pomičemo pojmove s desne strane na lijevu:

2x 2 +6x-6x+x 2 =0; Evo sličnih pojmova:

3x 2 =0, dakle x=0.

odgovor: 0.

II. ax 2 +bx=0 –nepotpuno kvadratna jednačina (c=0 ). Rješenje: x (ax+b)=0 → x 1 =0 ili ax+b=0 → x 2 =-b/a. Odgovor: 0; -b/a.

5x 2 -26x=0.

Rješenje. Izdvojimo zajednički faktor X izvan zagrada:

x(5x-26)=0; svaki faktor može biti jednak nuli:

x=0 ili 5x-26=0→ 5x=26, podijelite obje strane jednakosti sa 5 i dobijamo: x=5.2.

odgovor: 0; 5,2.

Primjer 3. 64x+4x 2 =0.

Rješenje. Izdvojimo zajednički faktor 4x izvan zagrada:

4x(16+x)=0. Imamo tri faktora, 4≠0, dakle, ili x=0 ili 16+x=0. Iz posljednje jednakosti dobijamo x=-16.

odgovor: -16; 0.

Primjer 4.(x-3) 2 +5x=9.

Rješenje. Primjenjujući formulu za kvadrat razlike dva izraza, otvorit ćemo zagrade:

x 2 -6x+9+5x=9; transformirati u oblik: x 2 -6x+9+5x-9=0; Predstavimo slične pojmove:

x 2 -x=0; mi ćemo ga izvaditi X izvan zagrada dobijamo: x (x-1)=0. Odavde ili x=0 ili x-1=0→ x=1.

odgovor: 0; 1.

III. ax 2 +c=0 –nepotpuno kvadratna jednačina (b=0 ); Rješenje: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.

Ako (-c/a)<0 , onda nema pravih korijena. Ako (-s/a)>0

Primjer 5. x 2 -49=0.

Rješenje.

x 2 =49, odavde x=±7. odgovor:-7; 7.

Primjer 6. 9x 2 -4=0.

Rješenje.

Često morate pronaći zbir kvadrata (x 1 2 +x 2 2) ili zbir kocki (x 1 3 +x 2 3) korijena kvadratne jednadžbe, rjeđe - zbir recipročnih vrijednosti ​kvadrata korijena ili zbroj aritmetičkih kvadratnih korijena korijena kvadratne jednadžbe:

Vietina teorema može pomoći u tome:

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Hajde da se izrazimo kroz str I q:

1) zbir kvadrata korijena jednadžbe x 2 +px+q=0;

2) zbir kubnih korijena jednadžbe x 2 +px+q=0.

Rješenje.

1) Izraz x 1 2 +x 2 2 dobijeno kvadriranjem obe strane jednačine x 1 + x 2 = -p;

(x 1 +x 2) 2 =(-p) 2 ; otvorite zagrade: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; potrebnu količinu izražavamo: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Dobili smo korisnu jednakost: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

2) Izraz x 1 3 +x 2 3 Predstavimo zbir kocki koristeći formulu:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).

Još jedna korisna jednačina: x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 -3q).

Primjeri.

3) x 2 -3x-4=0. Bez rješavanja jednačine, izračunajte vrijednost izraza x 1 2 +x 2 2.

Rješenje.

x 1 +x 2 =-p=3, i rad x 1 ∙x 2 =q=u primjeru 1) jednakost:

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q. Imamo -p=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Onda x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

odgovor: x 1 2 +x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0. Izračunaj: x 1 3 +x 2 3 .

Rješenje.

Prema Vietinom teoremu, zbir korijena ove redukovane kvadratne jednadžbe je x 1 +x 2 =-p=2, i rad x 1 ∙x 2 =q=-4. Primijenimo ono što smo dobili ( u primjeru 2) jednakost: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

odgovor: x 1 3 +x 2 3 =32.

Pitanje: šta ako nam je data neredukovana kvadratna jednačina? Odgovor: uvijek se može „smanjiti“ dijeljenjem pojma po član sa prvim koeficijentom.

5) 2x 2 -5x-7=0. Bez odlučivanja, izračunajte: x 1 2 +x 2 2.

Rješenje. Dobili smo kompletnu kvadratnu jednačinu. Podijelite obje strane jednakosti sa 2 (prvi koeficijent) i dobijete sljedeću kvadratnu jednačinu: x 2 -2,5x-3,5=0.

Prema Vietinoj teoremi, zbir korijena je jednak 2,5 ; proizvod korijena je jednak -3,5 .

Rješavamo ga na isti način kao u primjeru 3) koristeći jednakost: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

odgovor: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2=0. Pronađite:

Transformirajmo ovu jednakost i, koristeći Vietin teorem, zamijenimo zbir korijena kroz -p, i proizvod korijena kroz q, dobijamo još jednu korisnu formulu. Prilikom izvođenja formule koristili smo jednakost 1): x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

U našem primjeru x 1 +x 2 =-p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. Ove vrijednosti zamjenjujemo u rezultirajuću formulu:

7) x 2 -13x+36=0. Pronađite:

Transformirajmo ovaj zbir i dobijemo formulu koja se može koristiti za pronalaženje sume aritmetičkih kvadratnih korijena iz korijena kvadratne jednadžbe.

Imamo x 1 +x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36. Ove vrijednosti zamjenjujemo u rezultirajuću formulu:

Savjet : uvijek provjerite mogućnost pronalaženja korijena kvadratne jednadžbe pomoću odgovarajuće metode, jer 4 recenzirano korisne formule omogućavaju vam da brzo završite zadatak, posebno u slučajevima kada je diskriminant „nezgodan“ broj. U svim jednostavnim slučajevima pronađite korijene i operirajte ih. Na primjer, u posljednjem primjeru biramo korijene koristeći Vietin teorem: zbir korijena trebao bi biti jednak 13 , i proizvod korijena 36 . Koji su to brojevi? svakako, 4 i 9. Sada izračunajte zbir kvadratnih korijena ovih brojeva: 2+3=5. To je to!

I. Vietina teorema za redukovanu kvadratnu jednačinu.

Zbir korijena reducirane kvadratne jednadžbe x 2 +px+q=0 jednak je drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Pronađite korijene date kvadratne jednadžbe koristeći Vietin teorem.

Primjer 1) x 2 -x-30=0. Ovo je redukovana kvadratna jednadžba ( x 2 +px+q=0), drugi koeficijent p=-1, i besplatni član q=-30. Prvo, uvjerimo se da ova jednadžba ima korijene i da će korijeni (ako ih ima) biti izraženi cijelim brojevima. Da biste to učinili, dovoljno je da diskriminanta bude savršen kvadrat cijelog broja.

Pronalaženje diskriminanta D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Sada, prema Vietinoj teoremi, zbir korijena mora biti jednak drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom, tj. ( -p), a proizvod je jednak slobodnom članu, tj. ( q). onda:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30. Moramo izabrati dva broja tako da im je proizvod jednak -30 , a iznos je jedinica. Ovo su brojevi -5 I 6 . Odgovor: -5; 6.

Primjer 2) x 2 +6x+8=0. Imamo redukovanu kvadratnu jednačinu sa drugim koeficijentom p=6 i besplatan član q=8. Uvjerimo se da postoje cjelobrojni korijeni. Hajde da nađemo diskriminanta D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Diskriminant D 1 je savršen kvadrat broja 1 , što znači da su korijeni ove jednadžbe cijeli brojevi. Odaberimo korijene koristeći Vietin teorem: zbir korijena je jednak –r=-6, a proizvod korijena je jednak q=8. Ovo su brojevi -4 I -2 .

U stvari: -4-2=-6=-r; -4∙(-2)=8=q. Odgovor: -4; -2.

Primjer 3) x 2 +2x-4=0. U ovoj redukovanoj kvadratnoj jednadžbi, drugi koeficijent p=2, i besplatni član q=-4. Hajde da nađemo diskriminanta D 1, pošto je drugi koeficijent paran broj. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Diskriminant nije savršen kvadrat broja, tako da to činimo zaključak: Korijeni ove jednadžbe nisu cijeli brojevi i ne mogu se pronaći pomoću Vietine teoreme. To znači da ovu jednačinu rješavamo, kao i obično, pomoću formula (u ovom slučaju pomoću formula). Dobijamo:

Primjer 4). Napišite kvadratnu jednačinu koristeći njene korijene if x 1 =-7, x 2 =4.

Rješenje. Tražena jednačina će biti napisana u obliku: x 2 +px+q=0, i na osnovu Vietine teoreme –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Tada će jednačina poprimiti oblik: x 2 +3x-28=0.

Primjer 5). Napišite kvadratnu jednačinu koristeći njene korijene ako:

II. Vietin teorem za potpunu kvadratnu jednačinu ax 2 +bx+c=0.

Zbir korijena je minus b, podijeljena A, proizvod korijena je jednak With, podijeljena O:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.

Primjer 6). Nađi zbir korijena kvadratne jednadžbe 2x 2 -7x-11=0.

Rješenje.

Uvjeravamo se da će ova jednadžba imati korijen. Da biste to učinili, dovoljno je kreirati izraz za diskriminanta i, bez njegovog izračunavanja, samo provjeriti da li je diskriminanta veći od nule. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . A sada da koristimo teorema Vieta za potpune kvadratne jednadžbe.

x 1 +x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

Primjer 7). Pronađite proizvod korijena kvadratne jednadžbe 3x 2 +8x-21=0.

Rješenje.

Hajde da nađemo diskriminanta D 1, budući da je drugi koeficijent ( 8 ) je paran broj. D 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Kvadratna jednačina ima 2 korijen, prema Vietinoj teoremi, proizvod korijena x 1 ∙x 2 =c:a=-21:3=-7.

I. ax 2 +bx+c=0– opšta kvadratna jednačina

Diskriminantno D=b 2 - 4ac.

Ako D>0, tada imamo dva prava korijena:

Ako D=0, tada imamo jedan korijen (ili dva jednaka korijena) x=-b/(2a).

Ako je D<0, то действительных корней нет.

Primjer 1) 2x 2 +5x-3=0.

Rješenje. a=2; b=5; c=-3.

D=b 2 - 4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 prava korena.

4x 2 +21x+5=0.

Rješenje. a=4; b=21; c=5.

D=b 2 - 4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 prava korena.

II. ax 2 +bx+c=0 – kvadratna jednadžba određenog oblika sa parnom drugom

koeficijent b

Primjer 3) 3x 2 -10x+3=0.

Rješenje. a=3; b=-10 (parni broj); c=3.

Primjer 4) 5x 2 -14x-3=0.

Rješenje. a=5; b= -14 (parni broj); c=-3.

primjer 5) 71x 2 +144x+4=0.

Rješenje. a=71; b=144 (parni broj); c=4.

Primjer 6) 9x 2 -30x+25=0.

Rješenje. a=9; b=-30 (parni broj); c=25.

III. ax 2 +bx+c=0 – kvadratna jednačina privatni tip obezbeđen: a-b+c=0.

Prvi korijen je uvijek jednak minus jedan, a drugi korijen je uvijek jednak minus With, podijeljena A:

x 1 =-1, x 2 =-c/a.

Primjer 7) 2x 2 +9x+7=0.

Rješenje. a=2; b=9; c=7. Provjerimo jednakost: a-b+c=0. Dobijamo: 2-9+7=0 .

Onda x 1 =-1, x 2 =-c/a=-7/2=-3,5. odgovor: -1; -3,5.

IV. ax 2 +bx+c=0 – kvadratna jednačina određenog oblika koji podliježe : a+b+c=0.

Prvi korijen je uvijek jednak jedan, a drugi korijen jednak With, podijeljena A:

x 1 =1, x 2 =c/a.

Primjer 8) 2x 2 -9x+7=0.

Rješenje. a=2; b=-9; c=7. Provjerimo jednakost: a+b+c=0. Dobijamo: 2-9+7=0 .

Onda x 1 =1, x 2 =c/a=7/2=3,5. odgovor: 1; 3,5.

Stranica 1 od 1 1

Jednačine

Kako riješiti jednačine?

U ovom dijelu ćemo se prisjetiti (ili proučavati, ovisno o tome koga odaberete) najelementarnijih jednadžbi. Dakle, koja je jednačina? U ljudskom jeziku, ovo je neka vrsta matematičkog izraza gdje postoji znak jednakosti i nepoznato. Što se obično označava slovom "X". Riješite jednačinu- ovo je pronalaženje takvih vrijednosti x koje, kada se zamijene u original izraz će nam dati tačan identitet. Da vas podsjetim da je identitet izraz koji je nesumnjiv čak i za osobu koja apsolutno nije opterećena matematičkim znanjem. Kao 2=2, 0=0, ab=ab, itd. Dakle, kako riješiti jednačine? Hajde da to shvatimo.

Postoje razne jednačine (iznenađen sam, zar ne?). Ali sva njihova beskonačna raznolikost može se podijeliti na samo četiri tipa.

4. Ostalo.)

Sve ostalo, naravno, najviše od svega, da...) Ovo uključuje kubične, eksponencijalne, logaritamske, trigonometrijske i sve druge. Blisko ćemo sarađivati ​​s njima u odgovarajućim sekcijama.

Odmah ću reći da su jednačine prve tri vrste ponekad toliko zeznute da ih nećete ni prepoznati... Ništa. Naučićemo kako da ih odmotamo.

A zašto su nam potrebne ove četiri vrste? I šta onda linearne jednačine reseno na jedan nacin kvadrat drugi, razlomci - treći, A odmor Uopšte se ne usuđuju! Pa, nije da se oni uopće ne mogu odlučiti, ja sam pogriješio s matematikom.) Samo oni imaju svoje posebne tehnike i metode.

Ali za bilo koje (ponavljam - za bilo koji!) jednadžbe pružaju pouzdanu i sigurnu osnovu za rješavanje. Radi svuda i uvek. Ova podloga - Zvuči zastrašujuće, ali je vrlo jednostavna. I veoma (Vrlo!) bitan.

Zapravo, rješenje jednadžbe se sastoji od samih ovih transformacija. 99% Odgovor na pitanje: " Kako riješiti jednačine?" leži upravo u ovim transformacijama. Je li nagovještaj jasan?)

Identične transformacije jednačina.

IN bilo koje jednačine Da biste pronašli nepoznato, morate transformirati i pojednostaviti originalni primjer. I to kada se izgled promijeni suština jednačine se nije promijenila. Takve transformacije se nazivaju identičan ili ekvivalentno.

Imajte na umu da se ove transformacije primjenjuju konkretno na jednačine. Postoje i transformacije identiteta u matematici izrazi. Ovo je druga tema.

Sada ćemo ponoviti sve, sve, sve osnovno identične transformacije jednačina.

Osnovni jer se mogu primijeniti na bilo koji jednadžbe - linearne, kvadratne, frakcijske, trigonometrijske, eksponencijalne, logaritamske itd. i tako dalje.

Prva transformacija identiteta: možete dodati (oduzeti) objema stranama bilo koje jednačine bilo koji(ali jedan te isti!) broj ili izraz (uključujući izraz sa nepoznatom!). Ovo ne mijenja suštinu jednačine.

Inače, stalno ste koristili ovu transformaciju, samo ste mislili da neke članove prenosite iz jednog dijela jednačine u drugi s promjenom predznaka. Vrsta:

Slučaj je poznat, pomerimo dva udesno i dobijemo:

Zapravo ti oduzeta sa obe strane jednačine je dva. Rezultat je isti:

x+2 - 2 = 3 - 2

Pomicanje pojmova lijevo i desno s promjenom predznaka jednostavno je skraćena verzija prve transformacije identiteta. I zašto nam je potrebno tako duboko znanje? - pitate. Ništa u jednačinama. Za ime Boga, izdrži. Samo ne zaboravite promijeniti znak. Ali u nejednakosti, navika transfera može dovesti do ćorsokaka...

Druga transformacija identiteta: obje strane jednačine se mogu pomnožiti (podijeliti) sa istom stvari ne-nula broj ili izraz. Ovdje se već pojavljuje razumljivo ograničenje: množenje sa nulom je glupo, a dijeljenje je potpuno nemoguće. Ovo je transformacija koju koristite kada riješite nešto cool

To je jasno X= 2. Kako ste ga pronašli? Odabirom? Ili ti je tek sinulo? Da ne biste birali i ne čekali uvid, morate shvatiti da ste pravedni podijelio obje strane jednačine za 5. Prilikom dijeljenja lijeve strane (5x), pet je smanjeno, ostavljajući čisti X. To je upravo ono što nam je trebalo. A kada se desna strana (10) podijeli sa pet, rezultat je, naravno, dva.

To je sve.

Smiješno, ali ove dvije (samo dvije!) identične transformacije su osnova rješenja sve matematičke jednačine. Vau! Ima smisla pogledati primjere šta i kako, zar ne?)

Primjeri identičnih transformacija jednačina. Glavni problemi.

Počnimo sa prvo transformacija identiteta. Transfer lijevo-desno.

Primjer za mlađe.)

Recimo da trebamo riješiti sljedeću jednačinu:

3-2x=5-3x

Prisjetimo se čarolije: "sa X-ovima - lijevo, bez X-a - desno!" Ova čarolija je uputstvo za korišćenje prve transformacije identiteta.) Koji izraz sa X je na desnoj strani? 3x? Odgovor je netačan! Sa naše desne strane - 3x! Oduzeti tri x! Stoga, kada se krećete ulijevo, znak će se promijeniti u plus. Ispostaviće se:

3-2x+3x=5

Dakle, X-ovi su skupljeni na gomilu. Uđimo u brojke. Na lijevoj strani je trojka. Sa kojim znakom? Odgovor „ni sa jednim“ se ne prihvata!) Ispred tri, zaista, ništa nije nacrtano. A to znači da prije tri postoji plus. Dakle, matematičari su se složili. Ništa nije napisano, što znači plus. Stoga će trojka biti prebačena na desnu stranu sa minusom. Dobijamo:

-2x+3x=5-3

Ostale su sitnice. S lijeve strane - donesite slične, s desne - brojite. Odgovor dolazi odmah:

U ovom primjeru, jedna transformacija identiteta bila je dovoljna. Drugi nije bio potreban. Pa, u redu.)

Primjer za stariju djecu.)

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

U 7. razredu matematike prvi put se susrećemo jednadžbe sa dvije varijable, ali se proučavaju samo u kontekstu sistema jednačina sa dvije nepoznanice. Zato iz vida ispada čitav niz problema u kojima se uvode određeni uslovi na koeficijente jednačine koji ih ograničavaju. Osim toga, zanemaruju se i metode rješavanja zadataka poput „Riješi jednadžbu prirodnim ili cijelim brojevima“, iako se takvi problemi sve češće susreću u materijalima Jedinstvenog državnog ispita i na prijemnim ispitima.

Koja će se jednačina zvati jednačina sa dvije varijable?

Tako, na primjer, jednačine 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, ili xy = 12 su jednačine u dvije varijable.

Razmotrimo jednačinu 2x – y = 1. Ona postaje istinita kada su x = 2 i y = 3, pa je ovaj par varijabilnih vrijednosti rješenje dotične jednačine.

Dakle, rješenje bilo koje jednadžbe s dvije varijable je skup uređenih parova (x; y), vrijednosti varijabli koje ovu jednadžbu pretvaraju u pravu numeričku jednakost.

Jednačina sa dvije nepoznanice može:

A) imaju jedno rešenje. Na primjer, jednadžba x 2 + 5y 2 = 0 ima jedinstveno rješenje (0; 0);

b) imaju više rješenja. Na primjer, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ima 4 rješenja: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) nemaju rješenja. Na primjer, jednadžba x 2 + y 2 + 1 = 0 nema rješenja;

G) imaju beskonačno mnogo rješenja. Na primjer, x + y = 3. Rješenja ove jednačine će biti brojevi čiji je zbir jednak 3. Skup rješenja ove jednačine može se napisati u obliku (k; 3 – k), gdje je k bilo koji realan broj.

Glavne metode za rješavanje jednadžbi s dvije varijable su metode zasnovane na faktorskim izrazima, izolaciji potpunog kvadrata, korištenjem svojstava kvadratne jednačine, ograničenih izraza i metoda procjene. Jednačina se obično pretvara u oblik iz kojeg se može dobiti sistem za pronalaženje nepoznanica.

Faktorizacija

Primjer 1.

Riješite jednačinu: xy – 2 = 2x – y.

Rješenje.

Grupiramo termine u svrhu faktorizacije:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Iz svake zagrade vadimo zajednički faktor:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Imamo:

y = 2, x – bilo koji realan broj ili x = -1, y – bilo koji realan broj.

dakle, odgovor su svi parovi oblika (x; 2), x € R i (-1; y), y € R.

Jednakost nenegativnih brojeva nuli

Primjer 2.

Riješite jednačinu: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Rješenje.

Grupisanje:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Sada se svaka zagrada može presavijati koristeći formulu kvadratne razlike.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Zbir dva nenegativna izraza je nula samo ako je 3x – 2 = 0 i 2y – 3 = 0.

To znači da je x = 2/3 i y = 3/2.

Odgovor: (2/3; 3/2).

Metoda procjene

Primjer 3.

Riješite jednačinu: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Rješenje.

U svakoj zagradi biramo ceo kvadrat:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Procijenimo značenje izraza u zagradama.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 i (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, tada je lijeva strana jednadžbe uvijek najmanje 2. Jednakost je moguća ako:

(x + 1) 2 + 1 = 1 i (y – 2) 2 + 2 = 2, što znači x = -1, y = 2.

Odgovor: (-1; 2).

Hajde da se upoznamo sa još jednom metodom za rešavanje jednačina sa dve varijable drugog stepena. Ova metoda se sastoji od tretiranja jednačine kao kvadrat u odnosu na neku varijablu.

Primjer 4.

Riješite jednačinu: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Rješenje.

Rešimo jednačinu kao kvadratnu jednačinu za x. Nađimo diskriminanta:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Jednačina će imati rješenje samo kada je D = 0, odnosno ako je y = 4. Vrijednost y zamjenjujemo u originalnu jednačinu i nalazimo da je x = 3.

Odgovor: (3; 4).

Često u jednačinama sa dvije nepoznate one ukazuju ograničenja na varijable.

Primjer 5.

Riješite jednačinu cijelim brojevima: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Rješenje.

Prepišimo jednačinu u obliku x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Desna strana rezultirajuće jednačine kada se podijeli sa 5 daje ostatak od 2. Dakle, x 2 nije djeljiv sa 5. Ali kvadrat a broj koji nije djeljiv sa 5 daje ostatak od 1 ili 4. Dakle, jednakost je nemoguća i nema rješenja.

Odgovor: nema korijena.

Primjer 6.

Riješite jednačinu: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Rješenje.

Istaknimo kompletne kvadrate u svakoj zagradi:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Leva strana jednačine je uvek veća ili jednaka 3. Jednakost je moguća pod uslovom |x| – 2 = 0 i y + 3 = 0. Dakle, x = ± 2, y = -3.

Odgovor: (2; -3) i (-2; -3).

Primjer 7.

Za svaki par negativnih cijelih brojeva (x;y) koji zadovoljavaju jednadžbu
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, izračunaj zbroj (x + y). Molimo navedite najmanji iznos u svom odgovoru.

Rješenje.

Odaberimo kompletne kvadrate:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Pošto su x i y cijeli brojevi, njihovi kvadrati su također cijeli brojevi. Dobijamo zbroj kvadrata dva cijela broja jednak 37 ako dodamo 1 + 36. Dakle:

(x – y) 2 = 36 i (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 i (y + 2) 2 = 36.

Rješavajući ove sisteme i uzimajući u obzir da su x i y negativni, nalazimo rješenja: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Odgovor: -17.

Ne očajavajte ako imate poteškoća u rješavanju jednadžbi s dvije nepoznanice. Uz malo vježbe, možete se nositi sa bilo kojom jednačinom.

Imate još pitanja? Ne znate kako riješiti jednadžbe u dvije varijable?
Da biste dobili pomoć od tutora, registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

U ovom videu ćemo analizirati čitav niz linearnih jednadžbi koje se rješavaju istim algoritmom - zato se nazivaju najjednostavnijim.

Prvo, hajde da definišemo: šta je linearna jednačina i koja se zove najjednostavnija?

Linearna jednačina je ona u kojoj postoji samo jedna varijabla i to samo do prvog stepena.

Najjednostavnija jednadžba znači konstrukciju:

Sve ostale linearne jednadžbe se svode na najjednostavnije korištenjem algoritma:

1. Proširite zagrade, ako ih ima;
2. Premjestite termine koji sadrže varijablu na jednu stranu znaka jednakosti, a pojmove bez varijable na drugu;
3. Navedite slične pojmove lijevo i desno od znaka jednakosti;
4. Podijelite rezultirajuću jednačinu sa koeficijentom varijable $x$.

Naravno, ovaj algoritam ne pomaže uvijek. Činjenica je da se ponekad nakon svih ovih mahinacija koeficijent varijable $x$ pokaže jednakim nuli. U ovom slučaju su moguće dvije opcije:

1. Jednačina uopće nema rješenja. Na primjer, kada ispadne nešto poput $0\cdot x=8$, tj. na lijevoj strani je nula, a na desnoj strani je broj koji nije nula. U videu ispod ćemo pogledati nekoliko razloga zašto je ova situacija moguća.
2. Rješenje su svi brojevi. Jedini slučaj kada je to moguće je kada je jednačina svedena na konstrukciju $0\cdot x=0$. Sasvim je logično da bez obzira koji $x$ zamijenimo, ipak će se ispostaviti da je „nula jednaka nuli“, tj. ispravna brojčana jednakost.

Sada da vidimo kako sve ovo funkcionira na primjerima iz stvarnog života.

Primjeri rješavanja jednačina

Danas imamo posla sa linearnim jednadžbama, i to samo onim najjednostavnijim. Općenito, linearna jednačina označava svaku jednakost koja sadrži tačno jednu promjenljivu, a ide samo do prvog stepena.

Takve konstrukcije se rješavaju na približno isti način:

1. Prije svega, trebate proširiti zagrade, ako ih ima (kao u našem posljednjem primjeru);
2. Zatim kombinirajte slično
3. Na kraju, izolujte varijablu, tj. premjestite sve što je povezano s promjenljivom – termine u kojima je sadržana – na jednu stranu, a sve što ostaje bez nje pomjerite na drugu stranu.

Zatim, po pravilu, trebate dati slične na svakoj strani rezultirajuće jednakosti, a nakon toga ostaje samo podijeliti sa koeficijentom "x" i dobićemo konačni odgovor.

U teoriji ovo izgleda lijepo i jednostavno, ali u praksi čak i iskusni srednjoškolci mogu napraviti uvredljive greške u prilično jednostavnim linearnim jednačinama. Obično se prave greške prilikom otvaranja zagrada ili prilikom izračunavanja „plusova“ i „minusa“.

Osim toga, dešava se da linearna jednadžba uopće nema rješenja, ili da je rješenje cijela brojevna prava, tj. bilo koji broj. Ove suptilnosti ćemo pogledati u današnjoj lekciji. Ali počet ćemo, kao što ste već shvatili, s najjednostavnijim zadacima.

Šema za rješavanje jednostavnih linearnih jednadžbi

Prvo, dozvolite mi da još jednom napišem cijelu shemu za rješavanje najjednostavnijih linearnih jednadžbi:

1. Proširite zagrade, ako ih ima.
2. Izolujemo varijable, tj. Sve što sadrži "X" pomeramo na jednu stranu, a sve bez "X" na drugu.
3. Predstavljamo slične termine.
4. Sve dijelimo koeficijentom “x”.

Naravno, ova shema ne funkcionira uvijek, u njoj postoje određene suptilnosti i trikovi, a sada ćemo ih upoznati.

Rješavanje stvarnih primjera jednostavnih linearnih jednadžbi

Zadatak br. 1

Prvi korak zahtijeva da otvorimo zagrade. Ali oni nisu u ovom primjeru, pa preskačemo ovaj korak. U drugom koraku moramo izolirati varijable. Napomena: govorimo samo o pojedinačnim terminima. Hajde da to zapišemo:

Slične termine predstavljamo lijevo i desno, ali to je već urađeno ovdje. Stoga prelazimo na četvrti korak: podijelite sa koeficijentom:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Tako da smo dobili odgovor.

Zadatak br. 2

U ovom problemu možemo vidjeti zagrade, pa ih proširimo:

I lijevo i desno vidimo približno isti dizajn, ali postupimo po algoritmu, tj. razdvajanje varijabli:

Evo nekoliko sličnih:

Iz kojih korijena ovo funkcionira? Odgovor: za bilo koje. Stoga možemo napisati da je $x$ bilo koji broj.

Zadatak br. 3

Treća linearna jednačina je zanimljivija:

\[\lijevo(6-x \desno)+\lijevo(12+x \desno)-\lijevo(3-2x \desno)=15\]

Ovdje postoji nekoliko zagrada, ali se ne množe ničim, već im prethode različiti znakovi. Hajde da ih raščlanimo:

Izvodimo drugi nama već poznat korak:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Hajde da izračunamo:

Izvodimo posljednji korak - podijelimo sve sa koeficijentom “x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Stvari koje treba zapamtiti prilikom rješavanja linearnih jednačina

Ako zanemarimo prejednostavne zadatke, želio bih reći sljedeće:

• Kao što sam rekao gore, nema svaka linearna jednačina rješenje – ponekad jednostavno nema korijena;
• Čak i ako postoje korijeni, među njima može biti nula - u tome nema ništa loše.

Nula je isti broj kao i ostali; ne treba ga ni na koji način diskriminirati ili pretpostaviti da ako dobijete nulu, onda ste nešto pogriješili.

Druga karakteristika je vezana za otvaranje zagrada. Imajte na umu: kada je ispred njih "minus", uklanjamo ga, ali u zagradama mijenjamo znakove u suprotno. A onda ga možemo otvoriti pomoću standardnih algoritama: dobićemo ono što smo vidjeli u gornjim proračunima.

Razumijevanje ove jednostavne činjenice pomoći će vam da izbjegnete glupe i štetne greške u srednjoj školi, kada se takve stvari uzimaju zdravo za gotovo.

Rješavanje složenih linearnih jednadžbi

Pređimo na složenije jednadžbe. Sada će konstrukcije postati složenije i prilikom izvođenja različitih transformacija pojavit će se kvadratna funkcija. Međutim, toga se ne trebamo bojati, jer ako, prema autorovom planu, rješavamo linearnu jednadžbu, onda će se tijekom procesa transformacije sigurno poništiti svi monomi koji sadrže kvadratnu funkciju.

Primjer br. 1

Očigledno, prvi korak je otvaranje zagrada. Uradimo ovo veoma pažljivo:

Sada pogledajmo privatnost:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Evo nekoliko sličnih:

Očigledno, ova jednadžba nema rješenja, pa ćemo ovo napisati u odgovoru:

\[\varnothing\]

ili nema korijena.

Primjer br. 2

Izvodimo iste radnje. Prvi korak:

Pomerimo sve sa promenljivom ulevo, a bez nje - udesno:

Evo nekoliko sličnih:

Očigledno, ova linearna jednadžba nema rješenja, pa ćemo je napisati na sljedeći način:

\[\varnothing\],

ili nema korijena.

Nijanse rješenja

Obje jednačine su potpuno riješene. Koristeći ova dva izraza kao primjer, još jednom smo se uvjerili da čak ni u najjednostavnijim linearnim jednadžbama možda sve nije tako jednostavno: može postojati ili jedan, ili nijedan, ili beskonačno mnogo korijena. U našem slučaju, razmatrali smo dvije jednačine, obje jednostavno nemaju korijen.

Ali želim da vam skrenem pažnju na još jednu činjenicu: kako raditi sa zagradama i kako ih otvoriti ako je ispred njih znak minus. Razmotrite ovaj izraz:

Prije otvaranja, morate sve pomnožiti sa "X". Napomena: množe se svaki pojedinačni termin. Unutra se nalaze dva pojma - odnosno dva člana i pomnoženi.

I tek nakon što se ove naizgled elementarne, ali vrlo važne i opasne transformacije završe, možete otvoriti zagradu sa stanovišta činjenice da iza nje stoji znak minus. Da, da: tek sada, kada su transformacije završene, sjetimo se da ispred zagrada stoji znak minus, što znači da sve ispod jednostavno mijenja predznake. Istovremeno, sami zagrade nestaju i, što je najvažnije, nestaje i prednji "minus".

Isto radimo i sa drugom jednačinom:

Nije slučajno što obraćam pažnju na ove male, naizgled beznačajne činjenice. Jer rješavanje jednadžbi je uvijek niz elementarnih transformacija, gdje nemogućnost jasnog i kompetentnog izvođenja jednostavnih radnji dovodi do toga da mi dolaze srednjoškolci i opet uče rješavati tako jednostavne jednačine.

Naravno, doći će dan kada ćete ove vještine usavršiti do automatizma. Više nećete morati da izvodite toliko transformacija svaki put; sve ćete pisati u jednom redu. Ali dok tek učite, svaku radnju morate napisati posebno.

Rješavanje još složenijih linearnih jednačina

Ono što ćemo sada riješiti teško se može nazvati najjednostavnijim zadatkom, ali smisao ostaje isti.

Zadatak br. 1

\[\left(7x+1 \desno)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Pomnožimo sve elemente u prvom dijelu:

Učinimo malo privatnosti:

Evo nekoliko sličnih:

Završimo zadnji korak:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Evo našeg konačnog odgovora. I uprkos činjenici da smo u procesu rješavanja imali koeficijente s kvadratnom funkcijom, oni su se međusobno poništavali, što jednačinu čini linearnom, a ne kvadratnom.

Zadatak br. 2

\[\lijevo(1-4x \desno)\lijevo(1-3x \desno)=6x\lijevo(2x-1 \desno)\]

Pažljivo izvršimo prvi korak: pomnožimo svaki element iz prve zagrade sa svakim elementom iz druge. Nakon transformacije trebalo bi postojati ukupno četiri nova pojma:

Sada pažljivo izvršimo množenje u svakom članu:

Pomerimo termine sa "X" ulevo, a one bez - udesno:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Evo sličnih pojmova:

Još jednom smo dobili konačan odgovor.

Nijanse rješenja

Najvažnija napomena o ove dvije jednačine je sljedeća: čim počnemo množiti zagrade koje sadrže više od jednog člana, to se radi po sljedećem pravilu: uzimamo prvi član iz prve i množimo sa svakim elementom iz drugi; zatim uzimamo drugi element iz prvog i na sličan način množimo sa svakim elementom iz drugog. Kao rezultat toga, imaćemo četiri mandata.

O algebarskom zbiru

Ovim posljednjim primjerom želio bih podsjetiti studente šta je algebarski zbir. U klasičnoj matematici, pod $1-7$ mislimo na jednostavnu konstrukciju: oduzeti sedam od jednog. U algebri pod ovim podrazumijevamo sljedeće: broju “jedan” dodajemo još jedan broj, odnosno “minus sedam”. Po tome se algebarski zbir razlikuje od običnog aritmetičkog zbira.

Čim, prilikom izvođenja svih transformacija, svakog zbrajanja i množenja, počnete vidjeti konstrukcije slične gore opisanim, jednostavno nećete imati problema u algebri kada radite s polinomima i jednadžbama.

Na kraju, pogledajmo još nekoliko primjera koji će biti još složeniji od ovih koje smo upravo pogledali, a da bismo ih riješili morat ćemo malo proširiti naš standardni algoritam.

Rješavanje jednadžbi s razlomcima

Da bismo riješili takve zadatke, morat ćemo dodati još jedan korak našem algoritmu. Ali prvo, da vas podsjetim na naš algoritam:

1. Otvorite zagrade.
2. Odvojene varijable.
3. Donesite slične.
4. Podijelite omjerom.

Nažalost, ovaj divni algoritam, uz svu svoju efikasnost, ispada da nije sasvim prikladan kada imamo razlomke ispred sebe. I u onome što ćemo vidjeti u nastavku, imamo razlomak i na lijevoj i na desnoj strani u obje jednačine.

Kako raditi u ovom slučaju? Da, vrlo je jednostavno! Da biste to učinili, morate dodati još jedan korak u algoritam, koji se može učiniti i prije i nakon prve radnje, odnosno uklanjanje razlomaka. Dakle, algoritam će biti sljedeći:

1. Riješite se razlomaka.
2. Otvorite zagrade.
3. Odvojene varijable.
4. Donesite slične.
5. Podijelite omjerom.

Šta znači "osloboditi se razlomaka"? I zašto se to može učiniti i nakon i prije prvog standardnog koraka? Zapravo, u našem slučaju svi razlomci su brojčani u nazivniku, tj. Svugdje je imenilac samo broj. Stoga, ako pomnožimo obje strane jednadžbe ovim brojem, riješit ćemo se razlomaka.

Primjer br. 1

\[\frac(\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Riješimo se razlomaka u ovoj jednadžbi:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Imajte na umu: sve se množi sa "četiri" jednom, tj. samo zato što imate dvije zagrade ne znači da morate svaku pomnožiti sa "četiri". Hajde da zapišemo:

\[\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]

Sada da proširimo:

Izdvajamo varijablu:

Vršimo redukciju sličnih pojmova:

\[-4x=-1\lijevo| :\lijevo(-4 \desno) \desno.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Dobili smo konačno rješenje, idemo na drugu jednačinu.

Primjer br. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Ovdje izvodimo sve iste radnje:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem je riješen.

To je, zapravo, sve što sam vam danas htio reći.

Ključne točke

Ključni nalazi su:

• Znati algoritam za rješavanje linearnih jednačina.
• Mogućnost otvaranja zagrada.
• Ne brinite ako negdje imate kvadratne funkcije, najvjerovatnije će se smanjiti u procesu daljnjih transformacija.
• Postoje tri vrste korijena u linearnim jednadžbama, čak i one najjednostavnije: jedan korijen, cijela brojevna prava je korijen i nema korijena.

Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da savladate jednostavnu, ali vrlo važnu temu za dalje razumijevanje sve matematike. Ako nešto nije jasno, idite na stranicu i riješite primjere prikazane tamo. Pratite nas, očekuje vas još mnogo zanimljivosti!

da rešavam matematiku. Pronađite brzo rješavanje matematičke jednačine u modu online. Web stranica www.site dozvoljava riješiti jednačinu skoro svaki dat algebarski, trigonometrijski ili transcendentalna jednadžba online. Kada proučavate gotovo bilo koju granu matematike u različitim fazama, morate odlučiti jednačine online. Da biste odmah dobili odgovor, i što je najvažnije tačan, potreban vam je resurs koji vam to omogućava. Hvala sajtu www.site rješavajte jednačine na mreži trajat će nekoliko minuta. Glavna prednost www.site kod rješavanja matematičkih jednačine online- ovo je brzina i tačnost pruženog odgovora. Stranica je u stanju riješiti bilo koje algebarske jednadžbe online, trigonometrijske jednadžbe online, transcendentalne jednadžbe na mreži, i jednačine sa nepoznatim parametrima u modu online. Jednačine služe kao moćan matematički aparat rješenja praktični problemi. Uz pomoć matematičke jednačine moguće je izraziti činjenice i odnose koji na prvi pogled mogu izgledati zbunjujuće i složene. Nepoznate količine jednačine može se naći formulisanjem problema u matematički jezik u formi jednačine I odlučiti primljen zadatak u modu online na web stranici www.site. Bilo koji algebarska jednačina, trigonometrijska jednačina ili jednačine koji sadrži transcendentalno funkcije koje možete lako odlučiti online i dobiti tačan odgovor. Kada studirate prirodne nauke, neminovno se susrećete sa potrebom rješavanje jednačina. U ovom slučaju, odgovor mora biti tačan i mora se dobiti odmah u režimu online. Stoga za rješavanje matematičkih jednačina na mreži preporučujemo stranicu www.site, koja će postati vaš nezamjenjiv kalkulator rješavanje algebarskih jednadžbi na mreži, trigonometrijske jednadžbe online, i transcendentalne jednadžbe na mreži ili jednačine sa nepoznatim parametrima. Za praktične probleme pronalaženja korijena raznih matematičke jednačine resurs www.. Rješavanje jednačine online sami, korisno je provjeriti primljeni odgovor koristeći online rješavanje jednačina na web stranici www.site. Morate ispravno napisati jednačinu i odmah dobiti online rješenje, nakon čega ostaje samo da uporedite odgovor sa vašim rješenjem jednadžbe. Provjera odgovora neće trajati više od minute, dovoljno je riješiti jednačinu na mreži i uporedi odgovore. Ovo će vam pomoći da izbjegnete greške u odluka i ispraviti odgovor na vrijeme kada rješavanje jednačina na mreži bilo algebarski, trigonometrijski, transcendentalno ili jednačina sa nepoznatim parametrima.