Otkrijte tip singularnih tačaka funkcije. Loranov niz izolovanih singularnih tačaka i njihova klasifikacija

Neka zq - singularna tačka funkcije f(z), t.s. f(z) ali je u ovom trenutku analitičan (posebno, možda nije definiran u njemu). Ako postoji takva probušena okolina tačke zq (tj. skup O z - zq f(z) je onda aliatic zo pozvao izolovana singularna tačka funkcije f(z). Ova definicija je takođe sačuvana u ovom slučaju zn = oo, ako je jod probijeno susjedstvo tačke zq = oo razumjeti skup z > I - izgled nekog kruga sa središtem na početku. Drugim riječima, singularna tačka zq se kaže da je izolovan ako postoji susjedstvo ove tačke u kojem postoje druge singularne tačke različite od zq. Svugdje ispod razmatramo samo singularne točke jednoznačnog karaktera (funkcija f(z) pretpostavlja se jedinstvenim).

Ovisno o ponašanju funkcije f(z) at z -> zq Postoje tri vrste singularnih tačaka. Izolovana singularna tačka zq funkcije f(z) zove:

1) uklonjiva singularna tačka ako postoji konačna granica

2) pole ako postoji granica

3) bitna tačka, ako f(z) nema ni konačnu ni beskonačnu granicu za z-> zq.

PRIMJER 26.1. Pokažimo da su sve tri vrste singularnih tačaka realizovane. Razmislite f(z)= tačka zq = 0 je izolirano

singularna tačka ove funkcije. Koristeći formulu (22.12), dobijamo ekspanziju

iz čega proizlazi da postoji lim fi(z)= 1. Dakle, zq = 0 je

je uklonjiva singularna tačka funkcije fi(z).

Funkcija f'j(z) =--- ima motku u tački zo= 1 jer

2 r“ X

Razmotrite sada funkciju )z(z)= e 1 ^ r i pokažite to zo = O je bitna singularna tačka ove funkcije. Kada težite z na nulu duž realne ose, lijevu i desnu granicu funkcije f (z) različito: lim With 1 / 1 = 0,lim sa 1 /* = os. ovo implicira,

x->0-0 x->0+0

šta f:i(z) nema ni konačnu ni beskonačnu granicu za 2 -> Oh, tj. zq = 0 je suštinski singularna tačka ove funkcije. (Imajte na umu da kako poenta teži z-iy na nulu na funkciji imaginarne ose

uopšte nema ograničenja.)

Naravno, postoje i neizolovane singularne tačke. Na primjer. funkcija ima polove u tačkama z n = -, P= ±1, ±2,...

shodno tome, Zq = 0 je neizolovana singularna tačka ove funkcije: u bilo kojoj (proizvoljno maloj) okolini ove tačke postoje druge singularne tačke g str.

Neka zo- konačna izolovana singularna tačka funkcije f(z). Onda f(z) je sličan u nekom probušenom susjedstvu 0 Zo tačke zo ovo susedstvo se može posmatrati kao prsten unutrašnjeg poluprečnika r = 0. Prema teoremi 25.1, u okolini koja se razmatra, funkcija f(z) može se proširiti u Laurentov niz (25.2). Pokazat ćemo da je ponašanje funkcije za 2 -> zq (tj. tip singularne tačke zo) zavisi od oblika glavnog dela dekompozicije (25.2); ova okolnost objašnjava porijeklo pojma „glavni dio“.

TEOREMA 2G.2. Izolovana singularna tačka zo funkcije f(z) je uklonjiva ako i samo ako Lorapova ekspanzija u probijenoj okolini ove tačke ima oid

one. sastoji se samo od ispravnog dijela, a svi koeficijenti glavnog dijela jednaki su metku.

Dokaz. 1. Neka zo je uklonjiva singularna tačka. Dokažimo da je Laurentova ekspanzija funkcije f(z) ima oblik (26.1). Od singularne tačke zo uklonjiv, tada postoji konačna granica lim f(z) = A. shodno tome, f(z) omeđen u nekom probušenom okruženju 0 z - zq tačke zo, one. )(z) za sve z iz ovog komšiluka. Uzmi bilo koji R. U r /?|, i koristite formule (25.3) za koeficijente Laurentovog reda:

Za koeficijente glavnog dijela ekspanzije n =- 1,-2,... Za takve vrednosti P imamo p~n-e 0 at R-> 0. Od vrijednosti R onda se može izabrati proizvoljno malo Mr~" može biti proizvoljno mala. Pošto |c t,| ^ Mr~n i cn ne zavise od p, tada je cn = 0 za i= - 1, -2,..., što je trebalo dokazati.

2. Pretpostavimo sada da Lorentova ekspanzija ima oblik (26.1). Niz (26.1) je stepen potencijskog reda i. dakle, konvergira ne samo u probijenom, već iu cijelom susjedstvu z-zq uključujući tačku zo; njen iznos S(z) je analitičan za z i S(z) = )(z) na 0 z - zo R. Dakle, postoji konačan limit lim )(z)\u003d Pm 5 (r) \u003d 5 (r) - Dakle, singularna tačka zq

Z->Zo Z-*Zo

za jednokratnu upotrebu. Teorema je dokazana.

Komentar. Iz dokaza teoreme slijedi da je u probušenoj okolini 0 z - zo uklonjive singularne tačke funkcija f(z) poklapa se sa funkcijom S(r), koja je analitička u cijelom susjedstvu z - zo . Stoga, ako stavimo /(th) = S(zq), zatim, bez promjene vrijednosti funkcije f(z) u bilo kojoj tački probijenog susjedstva, ovu funkciju činimo analitičkom po r, tj. „uklonite“ funkciju. Ovo objašnjava pojam „uklonjive singularnosti“. Prirodno je takve tačke smatrati regularnim, a ne singularnim tačkama funkcije f(z).

Razmotrimo, na primjer, funkciju

U primjeru 26.1 je pokazano da je Pm (n) = 1. tj. singularna tačka

zq = 0 je uklonjivo. Postavljanjem /i(0) = 1, time eliminišemo singularnost i dobijamo funkciju koja je analitična u tački zq = 0 (i u cijeloj ravni C).

Hajdemo sada da okarakterišemo polove u terminima Laurentovih ekspanzija.

Teorema 26.3. Izolovana singularna tačka Zo funkcije f(z) je pol ako i samo ako, kada glavni dio Lorentove ekspanzije sa centrom Zq ima samo konačan broj različitih

od nula koeficijenata sa n:

Dokaz. 1. Neka zq - stub, tj. lim /( z) = oo.

Dokažimo da je Laurentova ekspanzija funkcije f(z) ima oblik (2G.2). Od lim f(z)= oo. tada postoji probušena okolina tačke

ki zq. pri čemu f(z) je analitičan i nema nule. Zatim funkcija g(z) = 1 /f(z)će također biti analitički u ovom probijenom susjedstvu, a lim g(z)= 0. Prema tome, Zo je za jednokratnu upotrebu *-? *0

singularna tačka funkcije g(z). Hajde da redefinišemo g(z) u tački zo, stavljanje g(zo)= 0. Onda g(z) postaje analitičan u cijeloj okolini (ne probijene) tačke z 0 , i z0će biti njena izolovana nula. Označiti sa N višestrukost (red) ove nule. Kao što je pokazano u §23, u blizini tačke zq funkcija g(z) predstaviti u obliku (vidi (23.2))

i (z$) f 0 i y>(z) je analitičan u nekom susjedstvu tačke zo- Jer ip(z) kontinuirano u tački zo i g>(zo) F 0" tada ip(z) nema ni nule u nekom susjedstvu ove tačke. Stoga funkcija 1 /-p(z)će također biti analitičan u ovom susjedstvu i stoga se u njemu proširuje u Taylorov niz:

Otvarajući zagrade i mijenjajući oznake koeficijenata, upisujemo posljednju ekspanziju u obliku

gdje je c_jv = 1>o f 0. Dakle, glavni dio Lorentove ekspanzije f(r) sadrži samo konačan broj članova; došli smo do tražene jednakosti (26.2).

2. Neka u probijenoj okolini tačke th funkcija )(z) predstavljeno je Laurentovom ekspanzijom (26.2) (u proširenom obliku, vidi (26.3)), čiji glavni dio sadrži samo konačan broj članova, i sa- d" f 0. Moramo to dokazati Zq - funkcijski stup f(z). Množenje jednakosti (26.3) sa (G - G o) iV , dobijamo funkciju

Niz u (26.4) je niz stepena koji konvergira analitičkoj funkciji ne samo u probijenoj, već iu cijeloj okolini točke Zq. Dakle, funkcija h(z) postaje analitičan u ovom susjedstvu ako ga proširimo u th postavljanjem h(zo)= s_dg f 0. Onda

Tako je tačka o pol, te je teorema 26.3 dokazana.

Višestrukost (red) nulte funkcije g(z)= 1//(r) se poziva pole order funkcija /(r). Ako a N- redoslijed pola je onda th g(z)= (r - Zo)N ip(z), i (idi) F 0, i, kao što je prikazano u prvom dijelu dokaza teoreme 26.3, proširenje f(r) ima oblik (26.3), gdje je c_/v f 0. Obrnuto, ako se f(r) proširi u niz (26.3) i e-z F 0, onda

t.s. N- red pola funkcije f(r). Na ovaj način, red zq pola funkcije/(G) jednak je broju vodećeg koeficijenta različitog od nule glavnog dijela Laurentove ekspanzije u probijenoj okolini tačke zq(tj. jednako takvom broju N,šta s_dg f 0 i sp= 0 at P > N).

Dokažimo sljedeću tvrdnju, što je zgodno) za aplikacije.

Korolar 26.4. Tačka zq je pol reda N fikcije/(G) ako i samo ako/(G) predstavljaju u formi

gdje je h(z) analitička funkcija u susjedstvu tačke th i h(zo) f 0.

Dokaz. Funkcija cp(z) = l/h(z) je analitičan u nekoj okolini tačke r. Uslov korolarije 26.4 je ekvivalentan sledećem:

Zbog toga zq - multiplicitet nula N funkcije g(z). a otuda i pol višestrukosti N funkcije /(2).

II primjer 26.5. Pronađite izolirane singularne točke funkcije i odrediti njihov tip.

D e u c tio n. Tačke u kojima (z 2 + 1 )(z+ H) 2 = 0. Ako z 2 L- 1 = 0 zatim 2 = ±r ako (z 4- H) 2 = 0, onda z= -3. Dakle, funkcija ima tri singularne tačke z= r, 22 = -r, Z3 = - 3. Razmislite z:

G - pol prvog reda (koristili smo korolar 26.4). Slično se može dokazati da je 22 = -i takođe stub prvog reda. Za 2h imamo:

Pređimo na razmatranje suštinski singularnih tačaka.

Teorema 26.6. Izolovana singularna tačka zq funkcije f(z) je suštinski singularna ako i samo ako glavni dio Lorentove ekspanzije sa središtem na zq ima beskonačno mnogo različitih od. nula, koeficijenti sa p.

Dokaz. Teorema 26.6 direktno slijedi iz teorema 26.2 i 26.3. Zaista, ako je poenta zq je u suštini singularan, tada glavni dio Laurentove ekspanzije ne može izostati niti sadržavati konačan broj članova (inače tačka Zq će biti ili uklonjiv ili stup). Dakle, broj članova u glavnom dijelu mora biti beskonačan.

Obrnuto, ako glavni dio sadrži beskonačno mnogo članova, onda Zq ne može biti ni uklonjiva tačka ni stub. Prema tome, ova tačka je u suštini singularna.

Prema definiciji, suštinski singularnu tačku karakteriše činjenica da funkcija f(2) nema ni konačnu ni beskonačnu granicu za z ->zq. Potpuniju ideju o tome koliko je ponašanje funkcije nepravilno u susjedstvu suštinski singularne točke daje sljedeća teorema.

Teorema 26.7 (Sochockijeva teorema). Ako je zq suštinski singularna, tada je tačka funkcije f(z), zatim za bilo koji kompleksni broj L, uključujući A = oo, postoji niz tačaka z n takav da je z n -> zo i lim f(zn) = ALI.

n->os

Dokaz. Razmotrite prvo slučaj A = oo. U prvom dijelu dokaza teoreme 2G.2 utvrdili smo da ako f(z) je ograničen u nekom probušenom susjedstvu tačke r0, tada su svi koeficijenti c, n = - 1, - 2,... glavnog dijela jednaki su nuli (i, prema tome, singularnost u th je uklonjiva). Pošto je po pretpostavci r0 suštinski singularna tačka, funkcija f(r) je neograničena u bilo kojoj probušenoj okolini tačke r0. Uzmimo neku usku okolinu 0 Z tako da f(zi) > 1 (ako |/(r)| z - zo R/2 postoji tačka z-2 , gdje je |/(dd)| > 2 itd.: u probijenom naselju O 71. Očigledno je da rn -e go i lim /(r«) = oo. Dakle, u slučaju A = oo, teorema 26.7

dokazan.

Pusti sada A f oo. Pretpostavimo prvo da postoji probijeno susjedstvo 0

= -yy---- će biti analitičan u ovom probijenom susjedstvu i, posljedično,

/(G) - ALI

prema tome, r je izolovana singularna tačka funkcije Φ(r). Hajde da pokažemo. da je r0 suštinski singularna tačka Φ(r). Neka bude pogrešno. Tada postoji limit lim Φ(r), bilo konačan ili beskonačan. Jer

/(r) = A +, tada postoji i Hsh /(r), što je u suprotnosti sa uslovom

F(g) ~ :-*z 0

pogled na teoremu. Dakle, r0 je suštinski singularna tačka funkcije Φ(r). Prema onome što je gore dokazano, postoji niz tačaka r n takav da je r n o i lim Φ(r n) = oo. Odavde

Dokazali smo traženu tvrdnju pod pretpostavkom da je f(r) F A u nekoj probušenoj okolini tačke r. Pretpostavimo sada da to nije tačno, tj. u bilo kojoj proizvoljno maloj probušenoj okolini tačke th postoji takva tačka G", da je f(r") = A. Tada za bilo koje P u probijenoj okolini 0 f(z u) = L. Dakle, tražena tvrdnja je tačna P-yuo

u svim slučajevima, te je teorema 26.7 dokazana.

Prema (Sokhotskyjevom) teoremu 26.7, u bilo kojem (proizvoljno malom) probušenom susjedstvu suštinski singularne točke, funkcija f(r) uzima vrijednosti proizvoljno bliske bilo kojem broju u proširenoj kompleksnoj ravni C.

Za proučavanje izolovanih singularnih tačaka često su korisne dobro poznate Taylorove ekspanzije osnovnih elementarnih funkcija.

PRIMJER 2G.8. Odrediti tip singularne tačke zq = 0 za funkciju

Riješeno i e. Proširujemo brojilac i imenilac u Taylorov red po stepenu r. Zamjenom u (22.11) 3 z umjesto r i oduzimanja 1, dobijamo

Koristeći (22.12), dobijamo proširenje nazivnika:

Nizovi u ovim ekspanzijama konvergiraju u čitavoj kompleksnoj ravni €. Imamo

i /2(2) su analogni u susjedstvu tačke zo = 0 (pa čak i u cijeloj ravni) i /2(20) F 0, onda h(z) je također analitičan u nekoj okolini tačke gF 0. Prema korolaru 26.4, tačka Zo = 0 je pol reda N = 4.

II primjer 26.9. Pronađite singularne tačke funkcije f(z)= sin j - i odredimo njihov tip.

P e in e i e. Funkcija ima jednu konačnu singularnu tačku zq = 1. U ostalim točkama iz C, funkcija w =--- analitički; dakle funkcija grijeha w biće analitički.

Zamjena u proširenju sinusa (22.12) - umjesto r, dobijamo

Dobili smo ekspanziju sin funkcije u Lorentov red u probijenoj okolini tačke 20 = 1. Pošto rezultujuća ekspanzija sadrži beskonačno mnogo članova negativnih snaga (r - 1), onda zq = 1 je bitna singularna tačka (u ovom slučaju, Laurentova ekspanzija se sastoji samo od glavnog dijela, a tačan dio nedostaje).

Imajte na umu da je i u ovom slučaju bilo moguće utvrditi prirodu singularnosti direktno iz definicije, bez pribjegavanja proširenju serije. Zaista, postoje nizovi (r") i (2") koji konvergiraju zo= 1, i tako da f(z" n)= 1, /(2") = 0 (navedite takve nizove sami). Dakle, f(z) nema ograničenja kada z -> 1 i otuda poenta zq - 1 je u suštini singularno.

Hajde da uvedemo koncept Lorentove ekspanzije funkcije u okolini tačke Zq = 00 i razmotrimo vezu između ekspanzije i prirode singularnosti u ovoj tački. Imajte na umu da se definicije izolirane singularne točke i njenog tipa (uklonjive, polne ili suštinski singularne) prenose na slučaj zq = oc nepromijenjeno. Ali teoreme 26.2. 26.3 i 26.6, koji se odnose na prirodu Laurentovih proširenja, treba promijeniti. Poenta je da članovi c n (z - 2o) str. P= -1,-2,..., glavni dio, koji definira "'nepravilnost" funkcije blizu krajnje točke Zq, kako 2 teži oo, ponašat će se "ispravno" (težu ka 0). Naprotiv, članovi redovnog dijela s P= 1,2,... težiće ka oo; oni određuju prirodu singularnosti u Zq = oo. Stoga će glavni dio ekspanzije u susjedstvu oo činiti termini sa pozitivnim moćima P, i ispravno - sa negativnim.

Hajde da uvedemo novu varijablu w = 12. Funkcija tv= 1/2, proširen tako da je u(oo) = 0, jedan prema jedan i konformno preslikava susjedstvo z > R bodova zq = 00 u okolini |w| wq = 0. Ako je funkcija f(z) analitika u probijenom kraju R z Zq = oc, tada funkcija G(w) = f(l/w)će biti analitičan u žutom susjedstvu 0 wo = 0. Pošto će za 2 -> oo biti w-> 0, onda

Zbog toga G(w) ima u tački wq = 0 je singularnost istog tipa kao f(z) u tački Zq = 00. Proširimo funkciju G(w) u Laurentov red u probijenoj okolini tačke wo = 0:

Zbirke na desnoj strani (26.5) predstavljaju tačan i glavni dio proširenja, respektivno. Pređimo na varijablu z, zamjena w = 1/z:

označavanje P\u003d -A *, 6 * \u003d 6_ " \u003d sa str i primetivši to G(l/z) = f(z), dobijamo

Dekompozicija (2G.G) se zove Lorentova ekspanzija funkcije f(z) u probijenoj okolini tačke zq= oo. Poziva se prvi zbir u (2G.6). desni deo, a drugi zbroj je glavni dio ovu razgradnju. Pošto ove sume odgovaraju tačnim i glavnim delovima ekspanzije (26.5), proširenje (26.6) zadovoljava analoge teorema 26.2, 26.3 i 26.6. Dakle, sljedeća teorema je analogna teoremi 26.2.

Teorema 26.10. Izolovana singularna tačkaZq - os (funkcije/(G) je uklonjiv ako i samo ako Laurentova ekspanzija u probijenoj okolini ove tačke ima oblik

t.s. sastoji se samo od ispravnog dijela.

Stavljamo /(oo) = co. Funkcija definirana nizom (26.7) koji konvergira u susjedstvu z > R tačke 2o \u003d oc, tzv analitički u tački z o = oo. (Imajte na umu da je ova definicija ekvivalentna analitičnosti funkcije G(w) u tački wo = 0.)

Primjer 26.11. Istražite singularnu tačku zq = oo funkcije

Pošto je granica konačna, onda zo = oo je uklonjiva singularna tačka funkcije f(r). Ako stavimo /(oo) = lim J(z)= 0, onda f(z)će postati

tic at point Zo= os. Pokažimo kako pronaći odgovarajuću ekspanziju (26.7). Pređimo na varijablu w = 1 fz. Zamena z= 1 /?e, dobijamo

(posljednja jednakost vrijedi u probušenom susjedstvu tačke ww = 0, ali ćemo proširiti definiciju (7(0) = 0). Rezultirajuća funkcija ima singularne tačke w =±i, w =-1/3, i to u tački Wq = 0 je analitičko. Funkcija proširenja G(w) po stepenima w(kao što je urađeno u primjeru 25.7) i zamjena u rezultujući niz stepena w = 1/z može se dobiti proširenje (26.7) funkcije f(z).

Teorema 26.3 za slučaj zo= oo će biti prepisan u sljedećem obliku.

Teorema 26.12. Izolovana singularna tačka idi = oc funkcija f(z) je pol ako i samo ako je glavni dio Laurentove ekspanzije (26.6) ima samo konačan broj koeficijenata koji nisu nula Sa":

Ovdje je niz regularni dio, a polinom u zagradi je glavni dio proširenja. Višestrukost pola u oc definira se kao višestrukost pola wq = 0 funkcija G(z). Lako je vidjeti da se višestrukost pola poklapa s brojem N u (26.8).

Q p | (i 2 + 1) (z + 3) 2

Zadatak. Pokažite da je funkcija f(z) =-- -- ima unutra

tačka zo = oo red 3.

Teorema 26.6 o bitnoj singularnoj tački je prepisana za slučaj zo= skoro doslovno, i ne zadržavamo se na tome detaljno.

Modeli opisani sistemima dviju autonomnih diferencijalnih jednadžbi.

fazna ravan. Fazni portret. izoklina metoda. glavne izokline. Stabilno stanje stabilnosti. Linearni sistemi. Tipovi ključnih tačaka: čvor, sedlo, fokus, centar. Primjer: hemijske reakcije prvog reda.

Najzanimljiviji rezultati o kvalitativnom modeliranju svojstava bioloških sistema dobijeni su na modelima dvije diferencijalne jednadžbe, koji omogućavaju kvalitativno proučavanje pomoću metode fazna ravan. Razmotrimo sistem od dvije autonomne obične diferencijalne jednadžbe opšteg oblika

(4.1)

P(x,y), Q(x,y)- kontinuirane funkcije definirane u nekom domenu G Euklidska ravan ( x,y- Kartezijanske koordinate) i imaju u ovoj oblasti neprekidne derivacije reda ne nižeg od prvog.

Region G može biti neograničen ili ograničen. Ako varijable x, y imaju specifično biološko značenje (koncentracije tvari, obilje vrsta), najčešće područje G je pozitivni kvadrant desne poluravnine:

0 £ x< ¥ ,0 £ y< ¥ .

Koncentracije tvari ili brojnost vrsta također se mogu ograničiti odozgo volumenom posude ili površinom staništa. Tada raspon varijabli ima oblik:

0 £ x< x 0 , 0 £ y< y 0 .

Varijable x, y promjena u vremenu u skladu sa sistemom jednačina (4.1), tako da svakom stanju sistema odgovara par vrijednosti varijabli ( x, y).

Obrnuto, za svaki par varijabli ( x, y) odgovara određenom stanju sistema.

Razmotrimo ravan s koordinatnim osa na kojoj su iscrtane vrijednosti varijabli x,y. Svaki poen M ova ravan odgovara određenom stanju sistema. Takva ravan se naziva fazna ravan i prikazuje ukupnost svih stanja sistema. Tačka M(x, y) naziva se tačka koja prikazuje ili predstavlja.

Neka u početno vrijeme t=t 0 predstavlja koordinate tačke M 0 (x(t 0),y(t 0)). U svakom narednom trenutku u vremenu t tačka prikaza će se kretati u skladu sa promenama vrednosti varijabli x(t),y(t). Skup tačaka M(x(t), y(t)) na faznoj ravni, čiji položaj odgovara stanjima sistema u procesu promene varijabli tokom vremena x(t), y(t) prema jednadžbi (4.1), naziva se fazna putanja.

Skup faznih putanja za različite početne vrijednosti varijabli daje lako vidljiv "portret" sistema. Zgrada fazni portret omogućava vam da izvučete zaključke o prirodi promjena u varijablama x, y bez poznavanja analitičkih rješenja originalnog sistema jednačina(4.1).

Da bi se prikazao fazni portret, potrebno je konstruisati vektorsko polje pravaca za putanje sistema u svakoj tački fazne ravni. Određivanjem inkrementaD t>0,dobijamo odgovarajuće inkremente D x i D y iz izraza:

D x=P(x,y)D t,

D y=Q(x,y)D t.

vektorski pravac dy/dx u tački ( x, y) zavisi od predznaka funkcija P(x, y), Q(x, y) i može se dati tabelom:

P(x,y)>0,Q(x,y)>0
P(x,y)<0,Q(x,y)<0
P(x,y)>0,Q(x,y)<0
P(x,y)<0,Q(x,y)>0

.(4.2)

Rješenje ove jednačine y=y(x, c), ili implicitno F(x,y)=c, gdje With je konstanta integracije, daje porodicu integralnih krivulja jednadžbe (4.2) - fazne trajektorije sistema (4.1) na ravni x, y.

Izoklina metoda

Za konstruiranje faznog portreta koristi se izoklina metoda - na faznoj ravni se crtaju linije koje sijeku integralne krive pod jednim određenim uglom. Jednačinu izokline je lako dobiti iz (4.2). Hajde da stavimo

gdje ALI– određena konstanta. Značenje ALI predstavlja tangentu nagiba tangente na faznu putanju i može uzimati vrijednosti od -¥ do + ¥ . Zamjena umjesto dy/dx u (4.2) količinu ALI dobijamo jednačinu izokline:

.(4.3)

Jednačina (4.3) određuje u svakoj tački ravni jedinu tangentu na odgovarajuću integralnu krivu, osim tačke u kojoj P(x,y)= 0, Q (x,y) = 0 , u kojem smjer tangente postaje neodređen, budući da vrijednost derivacije postaje neodređena:

.

Ova tačka je tačka preseka svih izoklina - posebna tačka. Istovremeno nestaje vremenskih derivata varijabli x i y.

Dakle, u singularnoj tački, stope promjene varijabli su jednake nuli. Dakle, singularna tačka diferencijalnih jednačina faznih putanja (4.2) odgovara stacionarno stanje sistema(4.1), a njegove koordinate su stacionarne vrijednosti varijabli x, y.

Od posebnog interesa su glavne izokline:

dy/dx=0, P(x,y)=0 – izoklina horizontalnih tangenta i

dy/dx=¥ , Q(x,y)=0 – izoklina vertikalnih tangenti.

Konstruisanjem glavnih izoklina i pronalaženjem tačke njihovog preseka (x,y), čije koordinate zadovoljavaju uslove:

tako ćemo naći tačku preseka svih izoklina fazne ravni, u kojoj je pravac tangenti na fazne trajektorije neodređen. To - singularna tačka, što odgovara stacionarno stanje sistema(Sl. 4.2).

Sistem (4.1) ima onoliko stacionarnih stanja koliko ima tačaka preseka glavnih izoklina na faznoj ravni.

Svaka fazna putanja odgovara skupu kretanja dinamičkog sistema koji prolaze kroz ista stanja i razlikuju se jedno od drugog samo po početku vremenske reference.

Ako su ispunjeni uslovi Cauchyjeve teoreme, onda kroz svaku tačku prostora x, y, t prolazi kroz jednu integralnu krivu. Isto važi, zahvaljujući autonomiji, za fazne putanje: kroz svaku tačku fazne ravni prolazi jedinstvena fazna putanja.

Stabilno stanje stabilnosti

Neka je sistem u ravnoteži.

Tada se reprezentativna tačka nalazi u jednoj od singularnih tačaka sistema, u kojoj je, po definiciji:

.

Da li je singularna tačka stabilna ili ne zavisi od toga da li reprezentativna tačka napušta ili ne sa malim odstupanjem od stacionarnog stanja. Kako se primjenjuje na sistem od dvije jednačine, definicija stabilnosti u jezikue, dkao što slijedi.

Stanje ravnoteže je stabilno ako za bilo koju datu oblast odstupanja od ravnotežnog stanja (e )može se odrediti područje d (e ), koji okružuje stanje ravnoteže i ima svojstvo da nema putanje koja počinje unutar regije d , nikada neće stići do granice e . (Sl. 4.4)

Za veliku klasu sistema - grubi sistemi – čija se priroda ponašanja ne mijenja s malom promjenom vrste jednadžbi, informacije o tipu ponašanja u blizini stacionarnog stanja mogu se dobiti proučavanjem ne originalnog, već pojednostavljenog linearizovano sistem.

Linearni sistemi.

Razmotrimo sistem od dvije linearne jednadžbe:

.(4.4)

Evo a b c d- konstante, x, y- Kartezijanske koordinate na faznoj ravni.

Opšte rješenje će se tražiti u obliku:

.(4.5)

Zamijenite ove izraze u (4.4) i smanjite za e l t:

(4.6)

Algebarski sistem jednadžbi (4.6) sa nepoznanicama A, B ima rješenje različito od nule samo ako je njegova determinanta, sastavljena od koeficijenata nepoznatih, jednaka nuli:

.

Proširujući ovu determinantu, dobijamo karakterističnu jednačinu sistema:

.(4.7)

Rješenje ove jednadžbe daje vrijednosti indikatoral 1,2 , pod kojima su moguće vrijednosti različite od nule A i B rješenja jednadžbe (4.6). Ove vrijednosti su

.(4.8)

Ako je radikalni izraz negativan, ondal 1,2 kompleksno konjugirani brojevi. Pretpostavimo da oba korijena jednačine (4.7) imaju realne dijelove različite od nule i da nema višestrukih korijena. Tada se opće rješenje sistema (4.4) može predstaviti kao linearna kombinacija eksponenata sa eksponentimal 1 , l 2 :

(4.9)

Za analizu prirode mogućih putanja sistema na faznoj ravni koristimo se linearna homogena transformacija koordinata, koji će dovesti sistem do kanonski oblik:

,(4.10)

što omogućava pogodnije predstavljanje na faznoj ravni u poređenju sa originalnim sistemom (4.4). Hajde da uvedemo nove koordinateξ , η prema formulama:

(4.1)

Iz kursa linearne algebre je poznato da ako realni dijelovi nisu jednaki nulil 1 , l 2 originalni sistem (4.4) uz pomoć transformacija (4.11) se uvek može transformisati u kanonski oblik (4.10) i može se proučavati njegovo ponašanje na faznoj ravniξ , η . Razmotrite različite slučajeve koji se mogu pojaviti ovdje.

Korijeni λ 1 , λ 2 – važeći i istog znaka

U ovom slučaju, koeficijenti transformacije su realni, krećemo se od realne ravnix,yna realnu ravan ξ, η. Dijelimo drugu od jednadžbi (4.10) prvom, dobijamo:

.(4.12)

Integracijom ove jednačine nalazimo:

Gdje .(4.13)

Složimo se da razumijemo pod λ 2 korijen karakteristične jednadžbe s velikim modulom, koji ne narušava općenitost našeg zaključivanja. Zatim, budući da su u predmetnom slučaju korijeni λ 1 , λ2 – važeći i istog znaka,a>1 , a radi se o integralnim krivuljama paraboličkog tipa.

Sve integralne krive (osim ose η , što odgovara ) dodir na početku ose ξ, što je takođe integralna kriva jednačine (4.11). Izvor koordinata je singularna tačka.

Otkrijmo sada smjer kretanja reprezentativne tačke duž faznih trajektorija. Ako je λ 1 , λ 2 negativni su, dakle, kao što se vidi iz jednačina (4.10), |ξ|, |η| vremenom smanjiti. Reprezentirajuća tačka se približava ishodištu, ali nikada do njega ne stiže. U suprotnom, ovo bi bilo u suprotnosti sa Cauchyjevom teoremom, koja kaže da samo jedna fazna putanja prolazi kroz svaku tačku fazne ravni.

Takva singularna tačka kroz koju prolaze integralne krive, baš kao porodica parabola prolazi kroz ishodište, naziva se čvor (sl. 4.5)

Stanje ravnoteže tipa čvora na λ 1 , λ 2 < 0 je stabilan prema Ljapunovu, budući da se reprezentativna tačka kreće duž svih integralnih krivulja prema ishodištu koordinata. to stabilan čvor. Ako je λ 1 , λ 2 > 0, onda |ξ|, |η| raste s vremenom i reprezentativna tačka se udaljava od početka. U ovom slučaju, singularna tačka– nestabilan čvor .

Na faznoj ravni x, y opšti kvalitativni karakter ponašanja integralnih krivulja će ostati, ali se tangente na integralne krive neće poklapati sa koordinatnim osa. Ugao nagiba ovih tangenata će biti određen omjerom koeficijenata α , β , γ , δ u jednačinama (4.11).

Korijeni λ 1 , λ 2 važeće su i imaju različite predznake.

Pretvori iz koordinate x,y na koordinate ξ, η opet pravi. Jednačine za kanonske varijable opet imaju oblik (4.10), ali sada predznaci λ 1 , λ 2 drugačije. Jednačina fazne putanje ima oblik:

Gdje ,(4.14)

Integrirajući (4.14) nalazimo

(4.15)

to jednačina definiše familiju krivulja hiperboličkog tipa, gde su obe koordinatne ose su asimptote (at a=1 imali bismo porodicu jednakokrakih hiperbola). Koordinatne ose su u ovom slučaju i integralne krive– ovo će biti jedine integralne krive koje prolaze kroz ishodište. Svakiod kojih se sastoji od tri fazne trajektorije: dva kretanja ka stanju ravnoteže (ili udaljavanju od stanja ravnoteže) i iz stanja ravnoteže. Sve ostale integralne krive– su hiperbole koje ne prolaze kroz ishodište (sl. 4.6) Ova singularna tačka se zove "sedlo ». Linije nivoa u blizini planinskog sedla ponašaju se kao fazne putanje u blizini sedla.

Razmotrimo prirodu kretanja reprezentativne tačke duž faznih trajektorija u blizini ravnotežnog stanja. Neka, na primjer,λ 1 >0 , λ 2<0 . Zatim je reprezentativna tačka postavljena na osu ξ , će se udaljiti od početka i postaviti na osu η – će se neograničeno približavati početnu koordinata, a da ga ne stigne u konačnom vremenu. Gdje god je reprezentativna tačka u početnom trenutku (sa izuzetkom singularne tačke i tačaka na asimptoti η =0), na kraju će se udaljiti od ravnotežnog stanja, čak i ako se na početku kreće duž jedne od integralnih krivulja prema singularnoj tački.

Očigledno je da singularna tačka tipa sedla je uvek nestabilna . Samo pod posebno odabranim početnim uslovima na asimptotiη =0 sistem će se približiti stanju ravnoteže. Međutim, to nije u suprotnosti sa tvrdnjom da je sistem nestabilan. Ako računate, da su sva početna stanja sistema na faznoj ravni podjednako verovatna, onda je verovatnoća takvog početnog stanja koje odgovara kretanju u pravcu to singularna tačka je jednaka nuli. Stoga, svako stvarno kretanje će ukloniti sistem iz stanja ravnoteže.Vraćam se na koordinatex,y,dobijamo istu kvalitativnu sliku prirode kretanja trajektorija oko ishodišta.

Granica između razmatranih slučajeva čvora i sedla je slučaj kada jedan od karakterističnih pokazatelja, na primjer λ 1 , nestaje, što se dešava kada je determinanta sistema- izraz adbc=0(vidi formulu 4.8 ). U ovom slučaju, koeficijenti desne strane jednačine (4.4) su proporcionalni jedni drugima:

a sistem ima za svoja ravnotežna stanja sve tačke prave:

Preostale integralne krive su porodica paralelnih linija sa nagibom , duž koje se reprezentativne tačke ili približavaju ravnotežnom stanju ili se udaljavaju od njega, ovisno o predznaku drugog korijena karakteristične jednadžbe λ 2 = a+d.(Sl.4. 7 ) U ovom slučaju koordinate ravnotežnog stanja zavise od početne vrijednosti varijabli.

Korijeni λ 1 , λ 2 – komplekskonjugirati

U ovom slučaju, stvarnox i y Mi ćemo imaju kompleksne konjugate ξ , η (4.10) . Međutim, uvođenjem još jedne međutransformacije moguće je i u ovom slučaju svesti razmatranje na realnu linearnu homogenu transformaciju. Hajde da stavimo:

(4.16)

gdje a, b, i u, v – stvarne vrednosti. Može se pokazati da transformacija izx,y to u, v je, prema našim pretpostavkama, realan, linearan, homogen sa determinantom različitom od nule. Zbog jednačina(4.10, 4.16) imamo:

gdje

(4.17)

Dijeljenje druge jednadžbe s prvom, dobijamo:

koje je lakše integrisati, ako pređemo na polarni koordinatni sistem (r, φ ) . Nakon zamjene dobijamo odakle:

.(4.18)

Dakle, na faznoj ravniu, vimamo posla sa porodicom logaritamskih spirala, od kojih svaka imaasimptotska tačka na početku.Singularna tačka koja je asimptotska tačka svih integralnih krivulja koje imaju oblik spirale, ugniježđeni prijateljprijatelj, zvao fokus ( sl.4.8 ) .

Razmotrimo prirodu kretanja reprezentativne tačke duž faznih putanja. Množenje prve od jednačina (4.17) sau, a drugi za v i dodajući , dobijamo:

Gdje

Neka a 1 < 0 (a 1 = Reλ ) . Reprezentirajuća tačka se tada kontinuirano približava ishodištu ne dostižući ga u konačnom vremenu. To znači da su fazne putanje spirale koje se uvijaju i odgovaraju prigušenim oscilacijama varijable. To - stabilan fokus .

U slučaju stabilnog fokusa, kao iu slučaju stabilnog čvora, nije zadovoljen samo uslov Ljapunova, već i stroži uslov. Naime, za bilo kakva početna odstupanja, sistem će se na kraju vratiti što bliže željenoj poziciji ravnoteže. Takva stabilnost, u kojoj početna odstupanja ne samo da se ne povećavaju, već opadaju, težeći nuli, naziva se apsolutna stabilnost .

Ako je u formuli (4.18) a 1 >0 , tada se reprezentativna tačka udaljava od početka, a mi imamo posla nestabilan fokus . Kada se krećete iz avionau, vna faznu ravanx, yspirale će takođe ostati spirale, ali će se deformisati.

Razmotrite sada slučaj kadaa 1 =0 . Fazne putanje u ravniniu, vbiće krugovi koji u avionux,yfit elipse:

Dakle, koda 1=0 kroz posebnu tačkux= 0,y= 0 nijedna integralna kriva ne prolazi. Takva izolovana singularna tačka, u blizini koje su integralne krive zatvorene krive, posebno elipse uklopljene jedna u drugu i koje okružuju singularnu tačku, naziva se centar.

Dakle, moguće je šest tipova ravnoteže, u zavisnosti od prirode korena karakteristične jednačine (4.7). Pogled na fazne putanje u ravnini x, y za ovih šest slučajeva prikazano je na sl. 4.9.

Rice. 4.9.Vrste faznih portreta u okolini stacionarnog stanja za sistem linearnih jednačina (4.4).

Pet tipova ravnotežnih stanja su grubi, njihova priroda se ne menja sa dovoljno malim promenama u desnim stranama jednačine (4.4). U ovom slučaju, promjene bi trebale biti male ne samo na desnim stranama, već iu njihovim derivatima prvog reda. Šesto stanje ravnoteže - centar - nije grubo. Sa malim promjenama parametara desne strane jednadžbe prelazi u stabilan ili nestabilan fokus.

Bifurkacijski dijagram

Hajde da uvedemo notaciju:

. (4.11)

Tada se karakteristična jednačina može napisati u obliku:

. (4.12)

Zamislite ravan s pravokutnim dekartovskim koordinatama s , D i označite na njemu područja koja odgovaraju jednom ili drugom tipu stanja ravnoteže, koje je određeno prirodom korijena karakteristične jednadžbe

.(4.13)

Uslov za stabilnost ravnotežnog stanja biće prisustvo negativnog realnog dela yl 1 i l 2 . Neophodan i dovoljan uslov za to je ispunjenje nejednakostis > 0, D > 0 . Na dijagramu (4.15) ovaj uslov odgovara tačkama koje se nalaze u prvoj četvrtini parametarske ravni. Jedinstvena tačka će biti fokus akol 1 i l 2 kompleks. Ovaj uslov odgovara onim tačkama ravni za koje , one. tačke između dve grane paraboles 2 = 4 D. Tačke poluosi s = 0, D>0, odgovaraju ravnotežnim stanjima tipa centra. Isto tako,l 1 i l 2 - važeći, ali različiti znakovi, tj. singularna tačka će biti sedlo ako D<0, itd. Kao rezultat, dobijamo particioni dijagram parametarske ravni s, D, u regione koji odgovaraju različitim tipovima ravnotežnih stanja.

Rice. 4.10. Bifurkacijski dijagram

za sistem linearnih jednadžbi 4.4

Ako su koeficijenti linearnog sistema a b c d zavise od nekog parametra, onda kada se ovaj parametar promijeni, vrijednosti će se također promijenitis , D . Prilikom prolaska kroz granice, priroda faznog portreta se kvalitativno mijenja. Stoga se takve granice nazivaju granicama bifurkacije - na suprotnim stranama granice sistem ima dva topološki različita fazna portreta i, shodno tome, dva različita tipa ponašanja.

Dijagram pokazuje kako se takve promjene mogu dogoditi. Ako izuzmemo posebne slučajeve - ishodište koordinata - onda je lako vidjeti da sedlo može ići u čvor, stabilan ili nestabilan pri prelasku y-ose. Stabilni čvor se može ili pomaknuti u sedlo ili stabilan fokus, itd. Imajte na umu da tranzicije stabilan čvor-stabilan fokus i nestabilan čvor-nestabilan fokus nisu bifurkacijske, budući da se topologija faznog prostora u ovom slučaju ne mijenja. O topologiji faznog prostora i bifurkacijskim prijelazima ćemo detaljnije govoriti u 6. predavanju.

Pod bifurkacijskim prijelazima mijenja se priroda stabilnosti singularne točke. Na primjer, stabilan fokus kroz centar može se pretvoriti u nestabilan fokus. Ova bifurkacija se zove Andronov-Hopf bifurkacija po imenima naučnika koji su ga proučavali. Sa ovom bifurkacijom u nelinearnim sistemima, rađa se granični ciklus i sistem postaje samooscilirajući (vidi predavanje 8).

Primjer. Sistem linearnih hemijskih reakcija

Supstanca X teče izvana konstantnom brzinom, pretvara se u tvar Y i brzinom proporcionalnom koncentraciji tvari Y, se izvlači iz reakcione sfere. Sve reakcije su prvog reda, sa izuzetkom priliva materije izvana, koji ima nulti red. Shema reakcije izgleda ovako:

(4.14)

a opisuje se sistemom jednačina:

(4.15)

Dobivamo stacionarne koncentracije izjednačavanjem desne strane sa nulom:

.(4.16)

Razmotrite fazni portret sistema. Podijelimo drugu jednačinu sistema (4.16) prvom. Dobijamo:

.(4.17)

Jednačina (4.17) određuje ponašanje varijabli na faznoj ravni. Hajde da napravimo fazni portret ovog sistema. Prvo crtamo glavne izokline na faznoj ravni. Jednadžba izokline vertikalnih tangenti:

Jednadžba za izoklinu horizontalnih tangenti:

Singularna tačka (stacionarno stanje) leži na preseku glavnih izoklina.

Sada odredimo pod kojim uglom koordinatne ose sijeku integralne krive.

Ako a x= 0, zatim .

Dakle, tangenta nagiba tangente na integralne krive y=y(x), prelazeći y-os x=0, je negativan u gornjoj poluravni (sjetite se da su varijable x, y imaju vrijednosti koncentracije, pa nas stoga zanima samo gornji desni kvadrant fazne ravni). U ovom slučaju, vrijednost tangente ugla nagiba tangente raste s rastojanjem od početka.

Uzmite u obzir osu y= 0. Na presjeku ove ose, integralne krive su opisane jednadžbom

At tangenta nagiba integralnih krivulja koje prelaze osu apscise je pozitivna i raste od nule do beskonačnosti sa povećanjem x.

U .

Zatim, s daljnjim povećanjem, tangenta nagiba opada u apsolutnoj vrijednosti, ostaje negativna i teži -1 na x ® ¥ . Poznavajući smjer tangenti na integralne krivulje na glavnim izoklinama i na koordinatnim osa, lako je konstruirati cjelokupnu sliku faznih putanja.

Priroda stabilnosti singularne tačke će se ustanoviti metodom Ljapunova. Karakteristična determinanta sistema ima oblik:

.

Proširujući determinantu, dobijamo karakterističnu jednačinu sistema: , tj. korijeni karakteristične jednadžbe su oba negativna. Dakle, stacionarno stanje sistema je stabilan čvor. Istovremeno, koncentracija tvari X teži stacionarnom stanju uvijek monotono, koncentracija supstance Y može proći kroz min ili max. Oscilatorni režimi u takvom sistemu su nemogući.

Taylorovi redovi služe kao efikasan alat za proučavanje funkcija koje su analitičke u kružnici zol Za proučavanje funkcija koje su analitične u prstenastom području, ispostavilo se da je moguće konstruirati ekspanzije u pozitivnim i negativnim potencijama (z - zq) oblik koji generalizira Taylorove ekspanzije. Niz (1), shvaćen kao zbir dva niza, naziva se Loranov red. Jasno je da je područje konvergencije reda (1) zajednički dio područja konvergencije svakog od nizova (2). Hajde da je nađemo. Područje konvergencije prvog niza je kružnica čiji je polumjer određen Cauchy-Hadamard formulom Unutar kruga konvergencije, niz (3) konvergira analitičkoj funkciji, au bilo kojoj kružnici manjeg radijusa konvergira apsolutno i uniformno. Drugi niz je niz stepena u odnosu na varijablu.Serija (5) konvergira unutar svog kruga konvergencije na analitičku funkciju kompleksne varijable m-*oo, au bilo kojoj kružnici manjeg radijusa konvergira apsolutno i jednoliko, što znači da je područje konvergencije niza (4) izgled kruga - Ako tada postoji zajednička regija konvergencije nizova (3) i (4) - kružni prsten u kojem se niz (1) konvergira na analitičku funkciju. Štaviše, u bilo kojem prstenu se konvergira apsolutno i jednolično. Primjer 1. Odrediti područje konvergencije rad Laurentovog reda Izolirane singularne tačke i njihova klasifikacija (z), koja je jednoznačna i apolitična u kružnom prstenu, može se u ovom prstenu predstaviti kao zbir konvergentnog niza čiji koeficijenti Cn su jedinstveno određene i izračunate po formulama gdje je 7p kružnica polumjera m. Popravimo proizvoljnu tačku z unutar prstena R Konstruišemo kružnice sa centrima u tački r0 čiji poluprečniki zadovoljavaju nejednakosti i razmatramo novi prsten.Prema Cauchyjevoj integralnoj teoremi za višestruko povezan domen, transformišemo svaki od integrala u zbiru (8) posebno. Za sve tačke £ duž kružnice 7d*, zadovoljena je relacija de zbroj jednoliko konvergentnog niza 1 1. Prema tome, razlomak ^ se može predstaviti u vi- /" / Za sve tačke £ na kružnici ir> relacija je zadovoljen Prema tome, razlomak ^ se može predstaviti kao zbir uniformno konvergentnog niza u formulama (10) i (12) su analitičke funkcije u kružnom prstenu. Dakle, prema Cauchyjevom teoremu, vrijednosti odgovarajućih integrala se ne mijenjaju ako se kružnice 7/r i 7r/ zamjene bilo kojim krugom. Ovo nam omogućava da kombinujemo formule (10) i (12). Zamenivši integrale na desnoj strani formule (8) njihovim izrazima (9) i (11), dobijamo željenu ekspanziju. Pošto je z proizvoljan tačke prstena, slijedi da niz ( 14) konvergira funkciji f(z) svuda u ovom prstenu, a u bilo kojem prstenu niz konvergira ovoj funkciji apsolutno i ravnomjerno. Dokažimo sada da je dekompozicija oblika (6) jedinstvena. Pretpostavimo da je došlo do još jedne dekompozicije.Tada, svuda unutar prstena R, imamo na obodu, red (15) ravnomerno konvergira. Pomnožite obje strane jednakosti (gdje je m fiksni cijeli broj, i integrirajte oba niza član po član. Kao rezultat, dobivamo na lijevoj strani, a na desnoj strani - Csh. Dakle, (4, \u003d St. Kako je m proizvoljan broj, onda se posljednji niz jednakosti (6), čiji se koeficijenti izračunavaju po formulama (7), naziva Lorentov red funkcije f(z) u prstenu 7) za koeficijente Laurentovi redovi se rijetko koriste u praksi, jer po pravilu zahtijevaju glomazne proračune. Obično se, ako je moguće, koriste gotove Taylorove ekspanzije elementarnih funkcija. Na osnovu jedinstvenosti proširenja, svaka legitimna metoda dovodi do istog Primjer 2. Razmotrimo proširenja funkcija različitih domena u Laurentov red, uz pretpostavku da Fuiscija /(z) ima dvije singularne točke: Prema tome, postoje tri domene prstena i sa središtem u tački r = 0. u svakoj od kojih je funkcija f(r) analitička: a) kružnica je eksterijer kruga (slika 27). Nađimo Lorentove ekspanzije funkcije /(z) u svakoj od ovih regija. Predstavljamo /(z) kao zbir elementarnih razlomaka a) Relaciju transformacije kruga (16) na sljedeći način Koristeći formulu za zbir članova geometrijske progresije, dobijamo b) Prsten za funkciju -z ostaje konvergentan u ovom prstenu, budući da red (19) za funkciju j^j za |z| > 1 se razilazi. Stoga transformiramo funkciju /(z) na sljedeći način: ponovnom primjenom formule (19) dobijamo da ovaj niz konvergira za. Zamjenom proširenja (18) i (21) u relaciju (20) dobijamo c) Eksterijernost kruga za funkciju -z sa |z| > 2 divergira, a niz (21) za funkciju Predstavimo funkciju /(z) u sljedećem obliku: /<*> Koristeći formule (18) i (19), dobijamo OR 1. Ovaj primjer pokazuje da za istu funkciju f(z) Lorentova ekspanzija, općenito govoreći, ima različit oblik za različite prstenove. Primjer 3. Pronađite dekompoziciju 8 Laurentovih nizova funkcije Laurentovog reda Izolirane singularne tačke i njihova klasifikacija u prstenastu regiju A Koristimo prikaz funkcije f (z) u sljedećem obliku: i transformirajte drugi član Koristeći formulu za zbir članova geometrijske progresije, dobijamo Zamjenom pronađenih izraza u formulu (22) imamo primjer 4. Proširiti funkciju u Lorentov red u okolini tankog zq = 0. Za bilo koju kompleksnu , imamo Neka Ova ekspanzija vrijedi za bilo koju tačku z F 0. U ovom slučaju, prstenasto područje je cijela kompleksna ravan sa jednom tačkom z izbačenom - 0. Ovo područje se može definirati sljedećim odnosom: Ova funkcija je analitička u regionu Iz formula (13) za koeficijente Laurentovog reda, istim rezonovanjem kao u prethodnom paragrafu, mogu se dobiti Kouiwove nejednakosti. ako je funkcija f(z) ograničena na kružnicu, gdje je M konstanta), tada izolovane singularne tačke Tačka zo se naziva izolovana singularna tačka funkcije f(z) ako postoji prstenasto susjedstvo tačke ( ovaj skup se ponekad naziva i probijena okolina tačke 2o), u kojoj je funkcija f(z) jednoznačna i analitička. U samoj tački zo, funkcija ili nije definirana ili nije jednoznačna i analitička. Razlikuju se tri tipa singularnih tačaka u zavisnosti od ponašanja funkcije /(z) kada se približava tački zo. Izolovana singularna točka naziva se: 1) uklonjiva ako postoji konačan 2) pmusach ako 3) suštinski singularna točka ako funkcija f(z) nema ograničenja za Teorema 16. Izolovana singularna tačka z0 funkcije f(z) je uklonjiva singularna tačka ako i samo ako Laurentova ekspanzija funkcije f(z) u okolini tačke zo ne sadrži glavni dio, tj. ima oblik Let zo - uklonjiva singularna tačka. Tada postoji konačna, i stoga je funkcija f(z) ograničena u prokološkoj okolini tačke r. Postavljamo Na osnovu Cauchyjevih nejednakosti Pošto je moguće izabrati p kao proizvoljno malo, onda su svi koeficijenti na negativnim Potencije (z - 20) jednake su nuli: Obrnuto, neka Laurent ekspanzija funkcije /(r) u susjedstvu tačke zq sadrži samo ispravan dio, tj. ima oblik (23) i stoga , je Taylor. Lako je vidjeti da za z -* z0 funkcija /(r) ima graničnu vrijednost: Teorema 17. Izolovana singularna tačka zq funkcije f(z) je uklonjiva ako i samo ako je funkcija J(z) omeđen u nekom probušenom okruženju tačke zq, Zgmechai nije. Neka je r0 uklonjiva singularna tačka f(r). Pod pretpostavkom da je funkcija f(r) analitička u nekom krugu sa centrom u tački th. Ovo definira naziv točke - jednokratna. Teorema 18. Izolovana singularna točka zq funkcije f(z) je pol ako i samo ako glavni dio Laurentove ekspanzije funkcije f(z) u susjedstvu tačke sadrži konačan (i pozitivan) broj od nultih članova, tj. ima oblik 4 Neka je z0 pol. Od tada postoji probušena okolina tačke z0 u kojoj je funkcija f(z) analitička i različita od nule. Tada je u ovom susjedstvu definirana analitička funkcija, pa je tačka zq uklonjiva singularna tačka (nula) funkcije ili gdje je h(z) analitička funkcija, h(z0) ∩ 0. je analitička u susjedstvu tačke zq, pa otuda dobijamo da Pretpostavimo sada da funkcija f(z) ima dekompoziciju oblika (24) u probušenoj okolini tačke zo. To znači da je u ovoj okolini funkcija f(z) analitička zajedno sa funkcijom. Za funkciju g(z) vrijedi proširenje iz koje je jasno da je zq uklonjiva singularna točka funkcije g(z) i postoji. Tada funkcija teži 0 - pol funkcije Postoji još jedna jednostavna činjenica. Tačka Zq je pol funkcije f(z) ako i samo ako se funkcija g(z) = y može proširiti na analitičku funkciju u susjedstvu točke zq postavljanjem g(z0) = 0. Redoslijed pola funkcije f(z) naziva se red nule funkcije jfa. Teoreme 16 i 18 impliciraju sljedeću tvrdnju. Teorema 19. Izolovani singularni tanki je u suštini singularan ako i samo ako glavni dio Lorentove ekspanzije u probijenoj okolini ove tačke sadrži beskonačno mnogo članova koji nisu nula. Primjer 5. Singularna tačka funkcije je zo = 0. Imamo izolovane singularne tačke Laurentovog reda i njihovu klasifikaciju. Dakle, zo = 0 je uklonjiva singularna tačka. Proširenje funkcije /(z) u Loranov red u blizini nulte tačke sadrži samo tačan dio: Primjer7. f(z) = Singularna tačka funkcije f(z) je zq = 0. Razmotrimo ponašanje ove funkcije na realnoj i imaginarnoj osi: na realnoj osi na x 0, na imaginarnoj osi Dakle, ni konačna ni beskonačna granica f(z) na z -* 0 ne postoji. Stoga je tačka r0 = 0 suštinski singularna tačka funkcije f(z). Nađimo Lorentovu ekspanziju funkcije f(z) u okolini nulte tačke. Za bilo koji kompleks C smo postavili. Tada Laurentova ekspanzija sadrži beskonačan broj članova s ​​negativnim potencijama z.

singularna tačka

u matematici.

1) Singularna tačka krive date jednadžbom F ( x, y) = 0, - tačka M 0 ( x 0 , y 0), u kojem oba parcijalna izvoda funkcije F ( x, y) nestati:

Ako, osim toga, nisu svi drugi parcijalni izvodi funkcije F ( x, y) u tački M 0 jednaki su nuli, tada se O. t. naziva dvostrukim. Ako, zajedno sa nestajanjem prvih izvoda u tački M 0, nestanu svi drugi izvodnici, ali nisu svi treći izvodnici jednaki nuli, onda se O. t. naziva trostrukim, i tako dalje. Prilikom proučavanja strukture krive u blizini dvostrukog O. t., važnu ulogu igra znak izraza

Ako je Δ > 0, tada se O. t. naziva izolovanim; na primjer, kriva y 2 - x 4 + 4x 2= 0 ishodište je izolovani O. t. (vidi pirinač. jedan ). Ako je Δ x 2 + y 2 + a 2) 2 - 4a 2 x 2 - a 4= 0 ishodište koordinata je čvor O. t. (vidi pirinač. 2 ). Ako je Δ = 0, onda je O. t. kriva ili izolirana ili karakterizirana činjenicom da različite grane krive imaju zajedničku tangentu u ovoj tački, na primjer: tangentu i formiraju tačku, poput krivulje y 2 - x 3= 0 (vidi pirinač. 3 , a); b) vrh 2. vrste - različite grane krive nalaze se na istoj strani zajedničke tangente, kao kriva (y - x 2)2 - x 5= 0 (vidi pirinač. 3 , b); c) tačka samododira (za krivinu y 2 - x 4= 0 ishodište je tačka samo-kontakta; (cm. pirinač. 3 , u). Uz navedeni O. t. postoji mnogo drugih O. t. s posebnim nazivima; na primjer, asimptotska tačka je vrh spirale s beskonačnim brojem zavoja (vidi Sl. pirinač. četiri ), tačka prekida, tačka ugla, itd.

2) Singularna tačka diferencijalne jednadžbe je tačka u kojoj i brojnik i imenilac desne strane diferencijalne jednadžbe nestaju istovremeno (vidi Diferencijalne jednadžbe)

gdje su P i Q kontinuirano diferencibilne funkcije. Uz pretpostavku da se O. t. nalazi na početku koordinata i koristeći Taylorovu formulu (vidi Taylorovu formulu), možemo predstaviti jednačinu (1) u obliku

gdje je P 1 ( x, y) i Q 1 ( x, y) su beskonačno male u odnosu na

Naime, ako je λ 1 ≠ λ 2 i λ 1 λ 2 > 0 ili λ 1 = λ 2, onda je O. t. čvor; u nju ulaze sve integralne krive koje prolaze kroz tačke dovoljno male okoline čvora. Ako je λ 1 ≠ λ 2 i λ 1 λ 2 i β, α ≠ 0 i β ≠ 0, tada je O. t. fokus; sve integralne krive koje prolaze kroz tačke u dovoljno maloj okolini fokusa su spirale sa beskonačnim brojem zavoja u bilo kojoj proizvoljno maloj okolini fokusa. Ako je, konačno, λ 1,2 = ± iβ, β ≠ 0, tada karakter O. t. nije određen linearnim članovima u proširenjima P ( x, y) i Q ( x, y), kao što je bio slučaj u svim gore navedenim slučajevima; ovdje O. t. može biti fokus ili centar, ili može imati složeniji karakter. U blizini centra sve integralne krive su zatvorene i unutar sebe sadrže centar. Tako, na primjer, tačka (0, 0) je čvor za jednačine at" = 2u/x(λ 1 = 1, λ 2 = 2; vidi pirinač. 5 , a) i y" = u/x(λ 1 = λ 2 = 1; vidi pirinač. 5 , b), sedlo za jednadžbu y" = -y/x(λ 1 = -1, λ 2 = 1 ; cm. pirinač. 6 ), fokus za jednadžbu y" =(x + y) / (x - y) (λ 1 = 1 - i, λ 2 = 1 + i; cm. pirinač. 7 ) i centar za jednadžbu y" = -x / y(λ 1 = -i, λ 2 = i; cm. pirinač. osam ).

Ako su x, y) i Q ( x, y) su analitičke, susjedstvo O. t. višeg reda može se podijeliti na regije: D 1 - ispunjena integralnim krivuljama, oba kraja ulaze u O. t. (eliptične regije), D 2 - ispunjena integralnim krivuljama, jedan kraj ulazi u O. t. (paraboličke regije), a D 3 - regije ograničene sa dvije integralne krive uključene u O. t., između kojih se nalaze integralne krive tipa hiperbole (hiperboličke regije) (vidi. pirinač. 9 ). Ako ne postoje integralne krive koje ulaze u O. tačku, tada se O. tačka naziva tačka stabilnog tipa. Okruženje stabilnog O. t. sastoji se od zatvorenih integralnih krivulja koje sadrže O. t. unutar sebe, između kojih se nalaze spirale (vidi Sl. pirinač. deset ).

Proučavanje O. t. diferencijalnih jednačina, odnosno, u suštini, proučavanje ponašanja porodica integralnih krivulja u susjedstvu O. t. M. Lyapunova, A. Poincaréa i drugih).

3) Singularna tačka jednoznačne analitičke funkcije je tačka u kojoj je narušena analitičnost funkcije (vidi Analitičke funkcije). Ako postoji susjedstvo O. t. a, oslobođen od drugih O. t., onda točka a se naziva izolirani O. t. Ako a je izolovani O.T. i postoji konačni O.T. naziva se uklonjivi O.T. Odgovarajućim promjenom definicije funkcije u tački a (ili njenim redefiniranjem u ovoj tački, ako funkcija uopće nije definirana u njoj), naime, postavljanjem f(a)= b, moguće je postići a postat će obična tačka korigirane funkcije. Na primjer, tačka z= 0 je uklonjivi O.T. za funkciju f 1 ( z) = f(z), ako z≠ 0, i f 1(0),=1, tačka z= 0 je obična tačka [ f 1 (z) je analitičan u tački z= 0]. Ako a a- izolovani O. t. i a se naziva pol ili nebitno singularna tačka funkcije f(z), ako Laurentov niz) funkcionira f(z) u susjedstvu izolovanog O. t. ne sadrži negativne moći z - a, ako a- uklonjivi O. t., sadrži konačan broj negativnih snaga z - a, ako a- motka (u ovom slučaju, redoslijed motke R se definiše kao najveća snaga a - suštinski singularne tačke. Na primjer, za funkciju

p = 2, 3, …)

dot z= 0 je pol reda R, za funkciju

dot z= 0 je bitna singularna tačka.

Na granici kruga konvergencije stepena reda mora postojati barem jedan O. t. funkcije predstavljene unutar ovog kruga datim redom stepena. Sve granične tačke domene postojanja jednoznačne analitičke funkcije (prirodna granica) su granične tačke ove funkcije. Dakle, sve tačke jedinične kružnice | z| = 1 su posebni za funkciju

Za viševrijednu analitičku funkciju, koncept "O. t." teže. Pored O. t., u pojedinačnim listovima Riemannove površine funkcije (tj. O. t. jednovrijednih analitičkih elemenata), svaka tačka grananja je također O. t. funkcije. Izolirane tačke grananja Riemannove površine (tj. tačke grananja takve da u nekim od njihovih susjedstava nema drugih O.t. funkcija ni u jednom listu) klasificiraju se na sljedeći način. Ako je a izolovana tačka grananja konačnog reda i postoji konačno a, naziva se kritični pol. Ako a a je izolovana tačka grananja beskonačnog reda, a a se naziva transcendentalni O. t. Sve ostale izolovane tačke grananja nazivaju se kritične suštinski singularne tačke. Primjeri: tačka z= 0 je obična kritična tačka funkcije f ( z) = log z i kritična bitna singularna tačka funkcije f (z) = dnevnik greha z.

Bilo koji O. t., osim uklonjivog, prepreka je analitičkom nastavku, tj. analitički nastavak duž krive koja prolazi kroz neuklonjivi O. t. je nemoguć.

Velika sovjetska enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. 1969-1978 .

Pogledajte šta je "Special Point" u drugim rječnicima:

Poeni ovdje. Vidi također singularna tačka (diferencijalne jednačine). Karakteristika ili singularnost u matematici je tačka u kojoj matematički objekat (obično funkcija) nije definisan ili ima nepravilno ponašanje (na primer, tačka u kojoj ... ... Wikipedia

Analitička funkcija je tačka u kojoj se krše uslovi analitičnosti. Ako je analitička funkcija f(z) svuda definirana u nekom susjedstvu točke z0... Physical Encyclopedia

Analitička funkcija je tačka u kojoj je narušena analitičnost funkcije... Veliki enciklopedijski rječnik

singularna tačka- — [Ya.N. Luginsky, M.S. Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov. Engleski ruski rečnik elektrotehnike i elektroprivrede, Moskva, 1999.] Teme iz elektrotehnike, osnovni pojmovi EN jednina ... Priručnik tehničkog prevodioca

1) OT analitičke funkcije f(z) je prepreka analitičkom nastavku elementa funkcije f(z) kompleksne varijable z duž neke putanje u ravni ove varijable. Neka je analitička funkcija f(z) definirana nekim ... ... Mathematical Encyclopedia

Analitička funkcija, tačka u kojoj je narušena analitičnost funkcije. * * * POJEDINAČNA TAČKA SINGULARNA TOČKA analitičke funkcije, tačka u kojoj je narušena analitičnost funkcije... enciklopedijski rječnik

singularna tačka- ypatingasis taškas statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. singularna tačka vok. singularer Punkt, m rus. singularna tačka, fpranc. tačkasta čestica, m; točka singulier, m … Automatikos terminų žodynas

singularna tačka- ypatingasis taškas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. singularna tačka vok. singularer Punkt, m rus. singularna tačka, fpranc. točka singulier, m … Fizikos terminų žodynas

Osnovni koncepti i definicije:

Nula analitičke funkcije f(z) je tačka “a” za koju je f(a)=0.

Nula reda “n” funkcije f(z) je tačka “a” ako je samo fn(a)¹0.

Singularna tačka "a" naziva se izolovana singularna tačka funkcije f(z) ako postoji okolina ove tačke u kojoj nema singularnih tačaka osim "a".

Izolirane singularne tačke su tri tipa: .

1 specijalna točka koja se može ukloniti;

3 bitne singularne tačke.

Tip singularne tačke može se odrediti na osnovu ponašanja date funkcije u pronađenoj singularnoj tački, kao i na osnovu oblika Lorentovog reda dobijenog za funkciju u okolini pronađene singularne tačke.

Određivanje tipa singularne tačke ponašanjem funkcije u njoj.

1. Uklonjive singularne tačke.

Izolovana singularna točka a funkcije f(z) naziva se uklonjivom ako postoji konačan limit .

2. Poljaci.

Izolovana singularna tačka a funkcije f(z) naziva se pol if .

3. Značajne singularne tačke.

Izolovana singularna tačka a funkcije f(z) naziva se suštinska singularna tačka ako ne postoji ni konačna ni beskonačna.

Sljedeća relacija se odvija između nula i polova funkcije.

Da bi tačka a bila pol reda n funkcije f(Z), potrebno je i dovoljno da ta tačka bude nula reda n za funkciju .

Ako je n=1 pol se naziva jednostavnim.

definicija: Izolovana singularna tačka jednoznačnog karaktera naziva se:

a) može se ukloniti ako je glavni dio raspadanja odsutan;

b) stub ako glavni dio sadrži konačan broj članova;

c) suštinski singularna tačka ako glavni dio sadrži beskonačan broj pojmova.

a) Dakle, u okolini uklonjive singularne tačke, proširenje ima oblik:

izražava funkciju u svim tačkama kružnice |z-a|

U centru z=a, jednakost je netačna, jer funkcija na z=a ima diskontinuitet, a desna strana je kontinuirana. Ako se vrijednost funkcije u centru promijeni, uzimajući je jednakom vrijednosti sa desne strane, tada će se praznina eliminirati - otuda i naziv - uklonjiv.

b) U blizini pola reda m, proširenje Laurentovog reda ima oblik:

c) U blizini običnog stupa

Odbici i formule za njihovo izračunavanje.

Ostatak analitičke funkcije f(z) u izolovanoj singularnoj tački z 0 je kompleksan broj jednak vrijednosti integrala , uzet u pozitivnom smjeru duž kružnice L sa centrom u tački z 0 , koja leži u području analitičnosti funkcije f(z) (tj. u prstenu 0<|z-z0|

Ostatak funkcije f(z) u izolovanoj singularnoj tački z 0 označava se simbolom Res f(z 0) ili Res (f(z); z 0). Na ovaj način,

Resf(z0)= . (22.15.1)

Ako stavimo n=-1 u formulu (22.15.1), onda dobijamo:

C-1=

ili Res f(z 0)= C -1 ,

one. ostatak funkcije f(z) u odnosu na singularnu tačku z 0 jednak je koeficijentu prvog člana sa negativnim eksponentom u proširenju funkcije f(z) u Lorentov red.

Obračun odbitaka.

Redovne ili uklonjive singularne tačke. Očigledno, ako je z=z 0 regularna ili uklonjiva singularna tačka funkcije f(z), onda je Res f(z 0)=0 (u ovim slučajevima nema glavnog dijela u Laurentovoj dekompoziciji, pa c-1= 0).

Pole. Neka je tačka z 0 prost pol funkcije f(z). Tada Laurentov red za funkciju f(z) u okolini tačke z 0 ima oblik:

Odavde

Stoga, prelazeći ovu jednakost na granicu kao z --z 0 , dobijamo

Res f(z0)=

U suštini posebna tačka. Ako je tačka z 0 suštinski singularna tačka funkcije f(z), tada se za izračunavanje ostatka funkcije u ovoj tački obično direktno određuje koeficijent c-1 u proširenju funkcije u Lorentov red.

Klasifikacija događaja. Zbir, proizvod događaja, njihova svojstva, grafički prikaz.

Događaji su podijeljeni na:

1. Slučajno

2. Vjerodostojno

3. Nemoguće

Pouzdan - ovo je događaj koji se nužno dešava u ovim uslovima (noć prati jutro).

Slučajni je događaj koji se može dogoditi ili ne mora (polaganje ispita).

Nemoguće je događaj koji se neće dogoditi pod datim uslovima (izvadite zelenu olovku iz kutije sa samo crvenim).