Slom na kariranom papiru.

Ovo je zapravo pojednostavljena verzija igre Katamino, koja zahtijeva samo karirani papir i olovku. Ovakvi problemi se često nalaze u udžbenicima i olimpijskim zadacima za mlađe školarce. Trebate podijeliti figuru nacrtanu u ćelijama na određeni broj identičnih dijelova.

Ovi zadaci su prikladni za vrlo širok raspon godina, počevši od tri do četiri godine. Ali nemojte ih pretjerano koristiti – na kraju će vam dosaditi. Najvjerovatnije bi se trebali odlučiti na složenost od 4-5 dijelova od po 4-5 ćelija.

Nivo 1.

Rice. 1: Podijelite duž linija mreže (po ćelijama) na 2 jednaka dijela.

Rice. 2: Podijelite duž linija mreže na 3 jednaka dijela.

Vašoj djeci će možda trebati jednostavniji zadaci. Veoma ih je lako sastaviti: samo treba ići „od odgovora“, tj. uzmite karirani papir, odaberite oblik figure ("dio") iz nekoliko ćelija i nacrtajte nekoliko takvih figura jednu pored druge, "zaslijepivši" ih zajedno. (Bilo bi lijepo da se figure ne brkaju sa njihovim zrcalnim slikama.) Nije važno ako se ispostavi da problem ima dva ili više rješenja, što znači da morate pronaći barem jedno (ili sva). Ponovo nacrtajte obris rezultirajućeg "čudovišta" na prazan list kockastog papira - zadatak je spreman.

Nivo 2.

Rice. 3: Podijelite ćelije na 2 jednaka dijela tako da svaka od njih sadrži po jednu
Crveni trg. (Dodatni uslov - crveni kvadrat - zabranjuje "ekstra"
rješenja.)

Rice. 4: Podijelite duž linija mreže na 3 jednaka dijela.

Rice. 5: Podijelite duž linija mreže na 4 jednaka dijela.

Nivo 3.

Rice. 6: Podijeliti na 4 jednaka dijela.

29. april 2013. u 16:34

Rezanje na dva jednaka dijela, prvi dio

• Matematika

Problemi rezanja su oblast matematike u kojoj, kako kažu, nema mamuta. Mnogo pojedinačnih problema, ali u suštini nema opšte teorije. Osim dobro poznate Bolyai-Gerwinove teoreme, u ovoj oblasti praktično nema drugih fundamentalnih rezultata. Neizvjesnost je vječni pratilac zadataka rezanja. Možemo, na primjer, izrezati pravilan petougao na šest dijelova, od kojih možemo oblikovati kvadrat; međutim, ne možemo dokazati da pet dijelova ne bi bilo dovoljno za ovo.

Uz pomoć lukave heuristike, mašte i pola litre, ponekad uspijemo pronaći konkretno rješenje, ali, po pravilu, nemamo odgovarajući alat da dokažemo minimalnost ovog rješenja ili njegovo nepostojanje (potonje , naravno, važi i za slučaj kada nismo našli rešenje). To je tužno i nepravedno. I jednog dana sam uzeo praznu svesku i odlučio da vratim pravdu na skali jednog specifičnog zadatka: presecanja ravne figure na dva jednaka (kongruentna) dela. U sklopu ove serije članaka (usput, biće ih tri), vi i ja, drugovi, pogledaćemo ovaj smiješni poligon prikazan ispod i pokušati nepristrano shvatiti da li je moguće da ga presečemo na dva jednaka brojke ili ne.

Uvod

Prvo, osvježimo školski kurs geometrije i prisjetimo se šta su jednake figure. Yandex uslužno predlaže:

Dvije figure na ravni nazivaju se jednakim ako postoji kretanje koje jedan prema jedan pretvara jednu figuru u drugu.

Pitajmo sada Wikipediju o kretanjima. Ona će nam prvo reći da je kretanje transformacija ravnine koja čuva rastojanja između tačaka. Drugo, postoji čak i klasifikacija kretanja u ravnini. Svi oni pripadaju jednoj od sljedeća tri tipa:

• Klizna simetrija (ovdje, radi pogodnosti i koristi, uključujem simetriju ogledala, kao degenerirani slučaj, gdje se paralelno prevođenje vrši na nulti vektor)

Hajde da uvedemo neke oznake. Figuru koja se seče nazvat ćemo figurom A, a dvije hipotetičke jednake figure u koje je navodno možemo izrezati zvati će se B, odnosno C. Deo ravnine koji nije zauzet figurom A nazvaćemo regionom D. U slučajevima kada se određeni poligon sa slike smatra isečenom figurom, nazvaćemo ga A 0 .

Dakle, ako se figura A može izrezati na dva jednaka dijela B i C, onda postoji kretanje koje prevodi B u C. Ovo kretanje može biti ili paralelno translacija, ili rotacija, ili klizna simetrija (od sada više ne propisujem da se simetrija ogledala takođe smatra kliznom). Naša odluka će se graditi na ovoj jednostavnoj i, čak bih rekao, očiglednoj osnovi. U ovom dijelu ćemo se osvrnuti na najjednostavniji slučaj - paralelni prijenos. Rotacijska i klizna simetrija će pasti u drugi i treći dio.

Slučaj 1: paralelni prijenos

Paralelni prijenos je specificiran jednim parametrom - vektorom kojim se pomak događa. Hajde da uvedemo još nekoliko pojmova. Prava linija paralelna vektoru pomaka i koja sadrži barem jednu tačku na slici A će se pozvati secant. Presjek sekute i figure A će se pozvati presjek. Sekansa u odnosu na koju lik A (minus presjek) leži u potpunosti u jednoj poluravni nazivat će se granica.

Lema 1. Granični dio mora sadržavati više od jedne tačke.

Dokaz: očigledan. Pa, ili detaljnije: dokažimo to kontradikcijom. Ako ova tačka pripada slici B, onda ona slika(tj. tačka do koje će ići tokom paralelnog prevođenja) pripada slici C => slika pripada slici A => slika pripada sekciji. Kontradikcija. Ako ova tačka pripada slici C, onda ona prototip(tačka koja će, uz paralelni prevod, ulaziti u nju) pripada slici B, a zatim slično. Ispostavilo se da moraju postojati najmanje dvije tačke u sekciji.

Vodeći se ovom jednostavnom lemom, nije teško shvatiti da se željeni paralelni prijelaz može dogoditi samo duž vertikalne ose (u trenutnoj orijentaciji slike, barem jedan od graničnih dijelova). sastoji se od jedne tačke. Ovo se može shvatiti mentalno rotirajući vektor pomaka i gledajući šta se dešava sa granicama. Da bismo eliminirali slučaj vertikalnog paralelnog prijenosa, potreban nam je sofisticiraniji alat.

Lema 2. Inverzna slika tačke koja se nalazi na granici figure C je ili na granici slika B i C, ili na granici figure B i oblasti D.

Dokaz: nije očigledno, ali sada ćemo to popraviti. Da vas podsjetim da je granična tačka figure takva tačka da, koliko god joj blizu, postoje i tačke koje pripadaju figuri i tačke koje joj ne pripadaju. Shodno tome, blizu granične tačke (nazovimo je O") figure C postojaće i tačke na slici C i druge tačke koje pripadaju ili slici B ili regionu D. Inverzne slike tačaka figure C mogu biti samo tačke figure B. Prema tome, proizvoljno blizu inverzne slike tačke O" (logično bi bilo nazvati je tačkom O) postoje tačke figure B. Inverzne slike tačaka figure B mogu biti bilo koje tačke koje ne pripadaju B (to jest, bilo tačke figure C ili tačke oblasti D). Slično za tačke regiona D. Shodno tome, bez obzira koliko blizu tačke O postoje ili tačke na slici C (i tada će tačka O biti na granici B i C) ili tačke regiona D (i tada će inverzna slika biti na granici B i D). Ako možete proći kroz sva ova slova, složit ćete se da je lema dokazana.

Teorema 1. Ako je poprečni presjek slike A segment, onda je njegova dužina višekratnik dužine vektora pomaka.

Dokaz: razmotrite „dalji“ kraj ovog segmenta (tj. kraj čiji prototip takođe pripada segmentu). Ovaj kraj očigledno pripada slici C i njena je granična tačka. Prema tome, njegova inverzna slika (usput rečeno, također leži na segmentu i odvojena od slike dužinom vektora pomaka) će biti ili na granici B i C, ili na granici B i D. Ako je je na granici B i C, tada uzimamo i njegovu inverznu sliku . Ovu operaciju ćemo ponavljati sve dok sljedeća inverzna slika ne prestane biti na granici C i završi na granici D - a to će se dogoditi upravo na drugom kraju isječka. Kao rezultat, dobijamo lanac predslika koji dijele sekciju na nekoliko malih segmenata, od kojih je dužina svakog jednaka dužini vektora pomaka. Dakle, dužina sekcije je višekratnik dužine vektora pomaka, itd.

Korolar teoreme 1. Bilo koja dva dijela koja su segmenti moraju biti srazmjerna.

Koristeći ovaj zaključak, lako je pokazati da vertikalni paralelni prijenos također nestaje.

Zaista, dio jedan ima dužinu od tri ćelije, a dio dva ima dužinu od tri minus korijen od dva na pola. Očigledno, ove vrijednosti su neuporedive.

Zaključak

Ako je figura A 0 i može se izrezati na dvije jednake figure B i C, onda se B ne prevodi u C paralelnim prevođenjem. Nastavlja se.

Prezentacija za čas vizuelne geometrije u 5. razredu. Fokusirano na udžbenik za obrazovne ustanove "Vizuelna geometrija", razredi 5-6 / I.F. Shaprygin, L.N. Erganzhieva - Izdavač: Drfa

Osnovni koncept: jednakost figura. Rezultati predmeta: prikazati jednake figure i opravdati njihovu jednakost; konstruisati date figure od ravnih geometrijskih oblika; kreirajte i manipulirajte slikom: raskomadajte, rotirajte, kombinirajte, preklapajte. Metapredmetni rezultati: razvoj maštovitog mišljenja, dizajnerske sposobnosti, sposobnost predviđanja rezultata, formiranje komunikacijskih vještina.

Lični rezultati: razvoj kognitivne aktivnosti; usađivanje ukusa za mentalni rad. Unutarpredmetne i međupredmetne veze: planimetrija (jednakost figura, simetrija, površina, jednaka veličina i jednaka kompozicija), geometrijska kombinatorika, crtež, tehnologija.

Ova lekcija je prva od dvije na ovu temu.

Ova lekcija pokriva probleme koji uključuju sečenje oblika. Cilj rješavača je da navedenu figuru isječe na dva ili više jednakih dijelova. Često je, kako bi se pojednostavila ova brojka, podijeljena na ćelije. U ovim problemima se implicitno uvodi pojam jednakosti figura (figure koje se poklapaju kada se nadograđuju nazivaju se jednakim). Ova definicija se također koristi za provjeru jednakosti rezultirajućih brojeva.

Pogledajte sadržaj dokumenta
“Problemi sa rezanjem i savijanjem oblika. Lekcija 1"

Problemi sa sečenjem

i preklopne figure

Cilj: konsolidirati sposobnost rješavanja problema rezanja.

Vizuelna geometrija

5. razred

Ova poslovica vas upozorava da ne žurite u rješavanju problema.

Navedena figura, koja je zbog lakšeg načina podijeljena na jednake ćelije, mora se izrezati na dva ili više dijelova.

Ako se ovi dijelovi mogu preklopiti jedan na drugi tako da se poklapaju (i brojke se mogu preokrenuti), onda je problem ispravno riješen.

Rješavanje problema

Lokalni trgovac zemljištem

povremeno zgrabio komad neobične zemlje

forme (nadao se da će ga isplativo prodati u dijelovima).

Ali svaki od osam pronađenih

Ja sam kupci, htela sam da imam

parcela nije gora od susjedove.

Gdje bi trgovac trebao instalirati

pregradne ograde,

da bude 8

identične oblasti?

Odgovori

Rješavanje problema

Kvadrat se sastoji od 16 identičnih ćelija,

4 od njih su farbane. Izrežite kvadrat na

4 jednaka dijela tako da u svakom od njih

postojala je samo jedna obojena ćelija.

Ćelija može zauzeti bilo koje mjesto u svakom dijelu.

Odgovor (4)

Rješavanje problema

Izrežite pravougaonik na 4 jednaka dijela,

(koristite što više metoda).

1 način

Prezentacija nudi samo 4 načina za rješavanje ovog problema. Možda će učenici predložiti druge metode - i njih bi trebalo razmotriti na času.

Metoda 2

3 way

Napravite oblike od njih. Koliko si ih dobio?

Rezultat

figure se zovu

TRIMINO .

Uzmite četiri identična kvadrata. Napravite oblike od njih.

• Koliko si ih dobio?

Imam pet

TETRAMINO figure.

Napravite pet kvadrata

sve moguće brojke.

Koliko si ih dobio?

Ukupno postoje 12 pentomino elemenata

"Oblasti geometrije figura"- V). kolika će biti površina figure sastavljene od figura A i D. Pitagorina teorema. Područja raznih figura. Figure jednake površine. Jednake figure imaju jednake površine. Figure su podijeljene na kvadrate sa stranicom od 1 cm. Pravougaoni trouglovi. Slike koje imaju jednake površine nazivaju se jednake površine. Riješite zagonetku.

"Tolstoj dva brata"- Spreman sam. Glavna ideja bajke. A sada hodaj u mjestu, lijevo - desno, stani jednom - dvaput. "Dva brata". Želim naučiti. Sješćemo za naše stolove, zajedno ćemo ponovo krenuti na posao. Moja pažnja raste. Hajde da se upoznamo sa radom L.N. Tolstoj i djelo “Dva brata”. Ako nestanemo uzalud, nestaćemo bez ičega.

"Dva kapetana Kaverin"- Sanya živi u Ensku sa roditeljima i sestrom Sašom. Romani “Otvorena knjiga” i “Dva kapetana” snimani su više puta. Foka“ pod komandom Georgija Sedova, na škuni „Sv. V.A. Kaverin. Ekspedicija se nije vratila. Prva priča „Hronika grada Lajpciga. Nikolaj Antonovič, Katjin rođak se ispostavilo da je nezahvalan.

"ljudska figura"- Riječ proporcija u prijevodu sa latinskog znači “korelacija”, “proporcionalnost”. Glavno tijelo (stomak, grudi) Nije obraćao pažnju na glavu, lice, ruke. Renesansa. Proporcije. Umetnici i arhitekte 20. veka. 5. Primjeri različitih pokreta. Drevni Egipat. Kostur igra ulogu okvira u strukturi figure.

"Sličnost figura"- Životinje. Korišteni su internet materijali. Sličnost u našim životima. Geometrija. Ako promijenite (povećate ili smanjite) sve dimenzije ravne figure za isti broj puta (omjer sličnosti), tada se stare i nove figure nazivaju sličnima. Slični trouglovi. Biljke. Sličnost nas okružuje. Slično ravnim figurama.

"Interferencija dva talasa"- Smetnje. Talasi iz različitih izvora nisu koherentni. Brijač se drži na vodi površinskom napetostom uljnog filma. Interferencija -. Razlika u putanji talasa zavisi od debljine filma. Interferencija mehaničkih zvučnih talasa. Imenujte optički fenomen. Uzrok? Svjetlo različitih boja odgovara različitim talasnim dužinama.