Svaka kvadratna matrica povezana je s dva polinoma: karakterističnim i minimalnim. Ovi polinomi igraju važnu ulogu u raznim pitanjima teorije matrica. Tako će, na primjer, koncept funkcije matrice, koji ćemo uvesti u sljedećem poglavlju, u potpunosti biti zasnovan na konceptu minimalnog polinoma matrice. Ovo poglavlje razmatra svojstva karakterističnog i minimalnog polinoma. Ovom istraživanju prethode osnovne informacije o polinomima sa matričnim koeficijentima i o akcijama na njih.

§ 1. Sabiranje i množenje matričnih polinoma

Razmotrimo kvadratnu polinomsku matricu, tj. kvadratnu matricu čiji su elementi polinomi u odnosu na (sa koeficijentima iz datog polja brojeva):

Matrica se može predstaviti kao polinom sa matričnim koeficijentima, lociranim u stepenu:

. (3)

Broj se naziva stepenom polinoma ako . Broj se naziva red polinoma. Polinom (1) će se zvati regularan ako .

Polinom sa matričnim koeficijentima ponekad se naziva matričnim polinomom. Za razliku od matričnog polinoma, običan polinom sa skalarnim koeficijentima će se zvati skalarni polinom.

Razmotrimo osnovne operacije nad matričnim polinomima. Neka su data dva matrična polinoma istog reda i. Označimo sa najvećom od potencija ovih polinoma. Ovi polinomi se mogu zapisati kao

tj. zbir (razlika) dva matrična polinoma istog reda može se predstaviti kao polinom čiji stepen ne prelazi najveći od stupnjeva ovih polinoma.

Neka su data dva matrična polinoma i stepena i istog reda:

Ako bismo pomnožili sa (tj. ako bismo promijenili redoslijed faktora), onda bismo, općenito, dobili drugačiji polinom.

Množenje matričnih polinoma ima još jedno specifično svojstvo. Za razliku od proizvoda skalarnih polinoma, proizvod matričnih polinoma (4) može imati stepen manji od , tj. manji od zbira potencija faktora. Zaista, u (4) proizvod matrica može biti jednak nuli za i . Međutim, ako je barem jedna od matrica nesingularna, onda iz i slijedi: . Dakle, proizvod dvaju matričnih polinoma jednak je polinomu čiji je stepen manji ili jednak zbiru stupnjeva faktora. Ako je barem jedan od dva faktora pravilan polinom, tada je u ovom slučaju stepen proizvoda uvijek jednak zbiru stupnjeva faktora.

Matrični polinom --tog reda može se napisati na dva načina:

Obje notacije za skalar daju isti rezultat. Međutim, ako želimo zamijeniti kvadratnu matricu th reda umjesto skalarnog argumenta, tada će rezultati zamjena u (5) i (5"), općenito govoreći, biti drugačiji, jer stupnjevi matrice možda neće biti permutabilan sa matričnim koeficijentima .

i zvaće se desna i lijeva vrijednost polinoma matrice kada se zamijeni umjesto matrice .

Razmotrimo ponovo dva matrična polinoma

,

i njihov rad

Transformacije u identitetu (7") ostaju važeće kada se zamijene matricom reda, ako samo matrica permutira sa svim matričnim koeficijentima. Slično, u identitetu (7"), može se zamijeniti skalar sa matricom ako se matrica permutira sa svim koeficijenti . U prvom slučaju dobijamo: svaka matrica th reda uvijek zadovoljava identitete

, . (9)

Matrični polinom u varijabli je izraz oblika

F(l) \u003d Ao lm + A1 lm-1 + A2 lm-2 + ... + Am, (1)

gdje su Ao, ..., Am kvadratne matrice istog reda sa elementima iz glavnog polja K. Broj m se naziva stepenom polinoma ako je Ao?0. Dva polinoma se nazivaju jednakima ako su matrice u tim polinomima jednake za iste potencije varijable l. Matrični n-polinomi se sabiraju i množe prema uobičajenim pravilima. Jasno je da se svaki n-polinom može napisati kao jedna matrica čiji su elementi obični polinomi od n, i obrnuto. Na primjer,

1 2 + 5 6 l + 1 0 lI \u003d lI + 5l + 1 6+ 2

0 3 7 -2 0 1 7l lI-2l + 3 .

Prema tome, matrični n-polinomi su samo poseban oblik pisanja n-matrica.

Polinom F(n) se naziva regularnim ako je matrica Ao invertibilna.

Zbir (razlika) dva matrična polinoma istog reda može se predstaviti kao polinom čiji stepen ne prelazi najveći od stupnjeva ovih polinoma.

Proizvod dvaju matričnih polinoma jednak je polinomu čiji je stepen manji ili jednak zbiru stupnjeva faktora. Ako je barem jedan od dva faktora pravilan polinom, tada je u ovom slučaju stepen proizvoda uvijek jednak zbiru stupnjeva faktora.

Neka su data dva matrična polinoma A(l) i B(l) istog reda n, a B(l) je regularni polinom:

A(l) \u003d Aolm + A1lm-1 + ... + Am (Ao? 0),

V(l) = Volr + V1lr-1 ​​+ … + Vr(|Vo|?0).

Reći ćemo da su matrični polinomi Q(l) i R(l), redom, desni količnik i desni ostatak kada se A(l) podijeli sa B(l) ako

A(l) = Q(l)B(l) + R(l)(2)

a stepen R(l) je manji od stepena B(l).

Sasvim analogno ćemo polinome ^Q(n) i ^R(l), respektivno, zvati levi količnik i levi ostatak kada se A(n) podeli sa B(n), ako

A(l) = B(l) ^Q(l) + ^R(l)(3)

a stepen R(n) je manji od stepena B(n).

U opštem slučaju, polinomi Q(x) i R(x) se ne poklapaju sa ^Q(x) i ^R(x).

Pokažimo da je i desna i lijeva podjela matričnih polinoma istog reda uvijek izvodljiva i jedinstvena ako je djelitelj pravilan polinom.

Razmotrimo desnu podjelu A(n) sa B(n). Ako m

A (l) \u003d AoBo -1lm-pB (l) + A (1) (l). (4)

Stepen m(1) polinoma A(1)(l) manji je od m:

A(1)(l) = Ao(1) lm(1) + ... (Ao(1)?0, m(1)

Ako je m(1)?p, onda ponovite ovaj proces, dobićemo:

A (1) (l) \u003d Ao (1) Bo -1 lm (1) -p B (l) + A (2) (l), (6)

A (2) (l) \u003d A (2) lm (2) + ... (m (2)

Budući da se stupnjevi polinoma A(l), A(1)(l), A(2)(l), ... smanjuju, tada ćemo u nekoj fazi doći do ostatka R(l) čiji je stepen manji nego str. Tada će iz (4), (6) slijediti:

A(l) = Q(l) B(l) + R(l),

gdje je Q(l) = AoVo-1 lm-r + Ao(1)Vo-1 lm(1)-r + …(7)

Dokažimo sada jedinstvenost prave podjele. Neka istovremeno

A(l) = Q(l) B(l) + R(l)(8)

A(l) = Q*(l) B(l) + R*(l),(9)

gdje su stepeni polinoma R(l) i R*(l) manji od stepena B(l), tj. manje od r. Oduzimajući član po član (8) od (9) dobijamo:

V (l) \u003d R * (l) - R (l). (10)

Ako je Q(l) - Q*(l) ? 0, onda bi, pošto |Vo|?0, stepen leve strane jednakosti (10) bio jednak zbiru stepeni B(l) i Q(l) - Q*(l) i stoga bi bio ?r. To je nemoguće, jer je stepen polinoma na desnoj strani jednakosti (10) manji od p. Dakle, Q(l) - Q*(l)?0, a zatim iz (10) R*(l) - R(l)?0, tj.

Q(l) = Q*(l), R(l) = R*(l).

Postojanje i jedinstvenost lijevog količnika i lijevog ostatka utvrđuju se na potpuno isti način.

TEOREMA 1. (Uopštena Bézoutova teorema). Pod desnom (lijevom) podjelom matričnog polinoma F(n) binomom nE-A, ostatak podjele je jednak F(A) (odnosno, ^F(A)).

Dokaz. Razmotrimo proizvoljni matrični polinom n-tog reda

F(l) \u003d Fo lm + F1 lm-1 + ... + Fm (Fo? 0) (11)

Ovaj polinom se takođe može napisati ovako:

F(l) \u003d lm Fo + lm-1 F1 + ... + Fm (12)

Oba unosa za skalarno l daju isti rezultat. Međutim, ako umjesto skalarnog argumenta l zamijenimo kvadratnu matricu n-tog reda A, tada će rezultati zamjene u (11) i (12) biti drugačiji, jer stupnjevi matrice A možda neće biti permutabilni sa matrični koeficijenti Fo, F1, ..., Fm.

F(A) = Fo Am+ F1 Am-1 + … + Fm (13)

^F(A) \u003d Am Fo + Am-1 F1 + ... + Fm (14)

i zvaćemo F(A) desnom, a ^F(A) lijevom vrijednošću polinoma F(n) kada se matrica A zamijeni za l.

Polinom F(n) dijelimo sa binomom le-A. U ovom slučaju, desni ostatak R i lijevi ostatak ^R neće zavisiti od l. Da biste odredili pravi ostatak, razmotrite uobičajenu shemu dijeljenja:

F(l) \u003d Fo lm + F1 lm-1 + ... + Fm \u003d Fo lm-1 (lE-A) + (Fo A + F1) lm-1 + F2 lm-2 + ... =

\u003d (lE-A) + (Fo A2 + F1A1 + F2) lm-2 + F3 lm-3 + ... = ...

… = (lE-A) +

Fo Am + F1Am-1 + ... + Fm

Našli smo to

R \u003d Fo Am + F1Am-1 + ... + Fm \u003d F (A). (15)

Potpuno slično

Iz dokazane teoreme slijedi da je polinom F(n) desno (lijevo) djeljiv bez ostatka binomom nE-A ako i samo ako je F(A)=0 (odnosno, ^F(A)=0).

Provjerite da li je A()=Q()B() + R().

A() = - 3 -2 2 +1 3 3 + =

1 2 3 + 0 1 2 + 1 0 + 0 0

1 3 -2 0 0 1 1 0 .

2 2 +3 - 2 +1 2 -1 2 + 3 1

B() = - 2 -1 2 +2 = -1 1 -1 2,

1 1 3 5 2 +4 2 2 +13

|B o | \u003d 1, B o -1 \u003d 1 2, A 0 B 0 -1 \u003d 2 5, A 0 B 0 -1 B () \u003d - 2 +1 3 2 +12,

3 + 2 3 + 2 3 +4 2 3 +13 -3 2 -13

A (1) () = - 3 -2 2 +1 3 3 + - - 3 + 3 3 +12 \u003d -2 2 - + 1 -11,

0 1 2 + -3 -13 + 0 0

A (1) ()= -2 0 -1 -11 1 0 ,

A 0 (1) B 0 -1 () \u003d -2 0 1 2 \u003d -2 -2,

1 2 2 2 +3 - 2 +1 = 1 2 +5

A 0 (1) B 0 -1 B () = -2 -2 - 2 -1 2 +1 -2 2 -4 -6,

R()= A (1) () - A 0 (1) B 0 -1 B()=

3 2 -13 - 1 2 +5 = -3-1 -13 -5

2 2 -+1 -11 -2 4 -4 -6 -+5 -11+6 ,

3 5 + 1 2 3+1 5+2

Q() = A 0 B 0 -1 + A 0 (1) B 0 -1 = 2 5 -2 -2 = 2-2 5-2

Servisni zadatak. Matrični kalkulator dizajniran za rješavanje matričnih izraza kao što su 3A-CB 2 ili A -1 +B T .

Uputstvo. Za online rješenje, morate specificirati matrični izraz. U drugoj fazi bit će potrebno razjasniti dimenzije matrica.

Matrične akcije

Važeće operacije: množenje (*), sabiranje (+), oduzimanje (-), matrica inverzna A^(-1) , eksponencijacija (A^2, B^3), transpozicija matrice (A^T).

Važeće operacije: množenje (*), sabiranje (+), oduzimanje (-), matrica inverzna A^(-1) , eksponencijacija (A^2, B^3), transpozicija matrice (A^T).
Da biste izvršili listu operacija, koristite tačku i zarez (;) za razdvajanje. Na primjer, da izvršite tri operacije:
a) 3A + 4B
b) AB-BA
c) (A-B) -1
treba da bude napisano ovako: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Matrica je pravokutna numerička tablica s m redaka i n stupaca, tako da se matrica može shematski prikazati kao pravougaonik.
Nulta matrica (nulta matrica) naziva se matrica, čiji su svi elementi jednaki nuli i označavaju 0.
matrica identiteta naziva se kvadratna matrica oblika

Dvije matrice A i B su jednake ako su iste veličine i njihovi odgovarajući elementi su jednaki.
Singularna matrica naziva se matrica čija je determinanta jednaka nuli (Δ = 0).

Hajde da definišemo osnovne operacije na matricama.

Matrično dodavanje

Definicija . Zbir dvije matrice iste veličine je matrica istih dimenzija, čiji se elementi nalaze po formuli . Označava se C = A+B.

Primjer 6. .
Operacija sabiranja matrice proteže se na slučaj bilo kojeg broja pojmova. Očigledno, A+0=A .
Još jednom naglašavamo da se mogu dodati samo matrice iste veličine; za matrice različitih veličina operacija sabiranja nije definirana.

Oduzimanje matrice

Definicija . Razlika B-A matrica B i A iste veličine je matrica C takva da je A + C = B.

Množenje matrice

Definicija . Proizvod matrice brojem α je matrica dobijena iz A množenjem svih njenih elemenata sa α, .
Definicija . Neka su date dvije matrice i , a broj kolona A jednak je broju redova B. Proizvod A sa B je matrica čiji se elementi nalaze po formuli .
Označava se C = A B.
Šematski, operacija množenja matrice može se prikazati na sljedeći način:

i pravilo za izračunavanje elementa u proizvodu:

Još jednom naglašavamo da proizvod A B ima smisla ako i samo ako je broj stupaca prvog faktora jednak broju redova drugog, a u ovom slučaju proizvod proizvodi matricu čiji je broj redova jednak broj redova prvog faktora, a broj kolona jednak je broju kolona drugog. Rezultat množenja možete provjeriti putem posebnog online kalkulatora.

Primjer 7 . Matrični podaci i . Pronađite matrice C = A·B i D = B·A.
Rješenje. Prije svega, imajte na umu da proizvod A B postoji jer je broj stupaca u A jednak broju redova u B.

Imajte na umu da u opštem slučaju A·B≠B·A , tj. proizvod matrica je antikomutativan.
Nađimo B·A (množenje je moguće).

Primjer 8 . Zadana matrica . Pronađite 3A 2 - 2A.
Rješenje.

.
; .
.
Uočavamo sljedeću zanimljivu činjenicu.
Kao što znate, proizvod dva broja različita od nule nije jednak nuli. Za matrice takva okolnost možda neće nastupiti, odnosno proizvod matrica različitih od nule može se pokazati jednakim nultoj matrici.

Polinom (polinom) u matrici A zove se. Izraz oblika: p (A) \u003d a A + a A + ... a A² + a A + a A

Neka je zadan polinom p(X) ako je p(A)=0, tj. p(A) je nula, tada je M. A se zove. korijen polinoma p(X), a polinom p(X) je anihilirajući polinom u matrici A.

Sariusovo pravilo znakova za 3. red.

Zvao je mali. determinanta dobijena brisanjem reda i kolone na kojoj se nalazi dati element.

Alg. dodavanje e-pošte. Aik je zvao. minor, snimljen sa predznakom Aik=(-1) Mik .

Dekompozicija ∆ 3. reda u smislu elemenata prvog reda: ∆=a11A11+a12A12+a13A13 .

Inverzna kvadratna matrica matrica A pozvana. sq. matrica A¯¹ zadovoljava. rav. A A¯¹= A¯¹ A=E.

sq. matrica pozvana. nedegenerisan ako je det≠0.

Theor. Svi. ne-neprijateljski matrica A ne voli. her arr. matrica: A¯¹=A/detA.

Arbitrarno nedegenerisano. matrica može se svesti na jednu (AE) - Jordanovu metodu.

Finding arr. matrica uz pomoć emaila konverter Theor. Ako jedinicama matrica reda n primijeniti isti el. konverzija, samo iznad redova i istim redoslijedom uz pomoć. koji. ne-neprijateljski sq. matrica A se svede na jedinicu, onda će rezultujuća matrica biti inverzna od A. (A|E)(E|A¯¹).

Ax=B yA=B

x=A¯¹B y=BA¯¹

Matrični rang

In matr. m*n S-redovi, S-kolona. (1≤S≤min(m,n)). Elem., stoji. na prešao. izaberite str kolona. arr. matrica reda S. Determinanta ove matrice se zove. manjeg reda S matrica A.

Ova determinanta se naziva sporednim normama drugog reda. matrica Analog. primljeno ostali maloljetnici sek. por., kao i tert. por., neki. od njih bi mogli. = 0.

Matrix rang. pozvao max. iz redova njegovih minor-a, ≠0.

Ako su svi minori =0, tada je rang =0.

Svojstva ranga

1. R transponiranje. matrica = R original.

2. R M. nije zaglavljen. Od odsustva ili prisustva nultih linija u njemu.

3. Email konverter R mat. ne ja. Uz njihovu pomoć. matrica može se svesti na kvazitrouglasti oblik, R koji. = r, jer njegov mol iz Ch. Diog. jednako proizvedeno. i ≠0, i svi minori višeg reda =0, ​​jer sadrže nula redova.

Matrična notacija linearnog sistema

A=(Coof.), X=(nepoznato), B=(St. Član), Ấ=(Coof i St. Članovi)

Nedegenerisan syst.

|a11 a12 .. b1 .. a1m|

∆=|coof.| , ∆k=| a21 a22 .. b2 .. a2m|

|………………………………..|

| am1 am2 ..bm ..amm|

Cramerova teorema. Neizraženo lin. sito ima jedinicu rješenje x1=∆1/∆ , x2=∆2/∆………

Gauss-Jordano metoda (i obrnuto)

Zaključak u emailu konverter matrica

VEKTOY

Kolinearno vect. - lezati na || pravim linijama ili na jednoj pravoj liniji.

Jednako itd. - Collin. i imati isto. smjer i dužina.

Nasuprot zove. vektora i jednakih dužina.

St. vektori - tzv. primjene koje se mogu birati proizvoljno.

Radijus vektor tzv. vektor t. primjene koje je početak. koordinata, a kraj je u t.

Zovu se kosinusi smjera vektora. kosinusi uglova α, β, γ formiranih od njih sa kord. sjekire.

|r|=√(x²+y²+z²) x=|r|cosα y=|r|cosβ … … => cosα=x/√(x²+y²+z²)

Jedinični vektor e=(cos,cos,cosγ)

Coord. lin. kombinacije vektora

Dati n vektora. Lin. comb. a=α1*a1+α2*a2+…+αn*an x= α1*x1+α2*x2+…+αn*xn y=…

Podjela segmenta u ovom pogledu

X=(x1+ℓx2)/(1+ℓ) – u odnosu na ℓ.

Scalar proizvod vektora

ab=|a||b|cos(ab) |b|cos φ=pr a b , |a|cosφ=pr b a , ab=|a|pr a b = |b|pr b a

Osobine: 1. Pokret (komunikativnost) ab=ba

2.Kombinacije (asocijativnost) u odnosu na brojeve. plural (αa)b=α(ab)

3. Odnosi distribucije (distributivnosti). sume vektora a(b+c)=ab+ac

Lion rule. i pravo. trojke B.

3 not complan. vect. a,b,c se uzimaju navedenim redosledom i primenjuju na jednu pozvanu tačku. trio vektora abc.

Vidjet ćemo od kraja c do stana. slika. vektora a i b, ako napravimo najkraći okret od a do b u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, onda se trojka naziva. tačno...

Vektorski proizvod 2 vektora a i b naziva se. vektor i sat. track. uslovno: 1)||=|a||b|sinα ;2)┴a i b;3) trojka a b ima istu orijentaciju kao i jk.

Od konv. 1) slijedi da | | unakrsni proizvod = površina paralelograma.

0 < = >a complan. b

Osobine: 1. Antipermutabilnost =-

2. Kombinacije u odnosu na skalare. plural [(αa)*b]=α

3. Odnosi distribucije (distributivnosti). sume vektora [(a+b)c]=+

=|x1 y1 z1|=|y1 z1|*i+… …

|x2 y2 z2| |y2z2|

Mješoviti proizvod vektora

S obzirom na 3 vec. a,b,c. Pomnožite vektor a sa b i skalar sa c. In res. primljeno broj, koji se zove vektorsko-skalarni proizvod ili mješoviti.

V paralelepiped \u003d mješoviti. proizvod vect. i "+" ako tr. abc je u pravu.

abc=|x2 … …|< = >abc-complan.

|x3 … …| |x2-x1 y2-y1 … |

V 3-ugalj Piramide=mod|x3-x1 … … |

|x4-x1 … … |

Linearni lebdeći. Vektori

a1,a2,…an - pozvan lin. zaglavio vektori, ako je imenica. α1,α2 …αn tako da je: α1*a1+α2*a2+…+αn*an=0

Teorema 1. a1,a2,…,an, n>1 zavisi od lin< = >barem jedan od njih jeste lin. comb. ostalo.

Teorema 2. a i b lin. zaglavio< = >oni su Collin.

Teorema 3. Ako su e1 i e2 nekolinearni vektori, neki. ravan, zatim bilo koji treći vektor a, koji pripada istim jedinicama ravnine. način otvaranja prema njima, a \u003d x * e1 + y * e2.

Teorema 4. a,b,c – lin. zaglavio< = >oni su kolinearni.

Teorema 5. Ako e1, e2, e3 nije komplan., onda svako a može biti jedinica. arr. proširiti na njih a=α1*e1+α2*e2+α3*e3

Teorema 6. Svi. 4. vektor lin. zaglavio

Osnova - bilo koji uređeni sistem 3-oh linija. nezavisni, tj. nekoplanarni vektori d=x*e1+y*e2+z*e3 d(x,y,z) u bazi e1e2e3

ANALITIČKA GEOMETRIJA…

F(x,y)=0 - ur-ti red u opštem obliku

F(ρ,φ)=0 – … u polarnim koordinatama. Ako je ova jednadžba rješiva ​​s obzirom na ρ, tada je ρ= ρ(φ).

y= φ (t) / - parametarske jednadžbe prave.

Ako se da. linije su date jednadžbom ρ= ρ(φ), parametarski jednačina se piše x= ρ(φ)*cos φ y= ρ(φ)*sin φ

Pojednostavljeno ur-e drugog stepena bez člana sa umnoškom koordinata Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0 (1)

Idemo na novo. syst. coord. oh paralelnim prijenosom.

Jednadžba (1) se svodi na jednu od sljedećih kanonskih jednačina isticanjem punih kvadrata:

x²/a²+y²/b²=1 – elipsa – geom. mjesto tačaka ravni, za koje. iznos rasta do dva data t. (foci) =const,F1(-c,0), F2(c,0),c=√(a²+b²)

Epistricity email. pozvao ξ=√(1-(b/a)²) Direktrise el. pozvao prave x=a/ξ i x=--a/ξ

h²/a²+y²/b²=0 – zadovoljavajuće. coord. jedinice t. (0.0)

x²/a²+y²/b²=-1 – nezadovoljavajuće. coord. ni jedan t.

u sl. A*C>0 eliptične linije

x² / a² - y² / b² \u003d 1 ili - x² / a² + y² / b² = 1 - hiperbole - geom. mjesto t. avion za koji | | razlika udaljenosti do dva data t.(foci)=const \

F1(-c,0), F2(c,0), c=√(a²+b²) , ξ=c/a, Asimptote: y=x*b/a i y=-- x*b/a , Direktise: x=-a/ξ i x=a/ξ |

Jednakostrani G. - sa jednakim poluosama. /

x² / a² - y² / b² \u003d 0 - par linija koje se sijeku / - linije hiperboličkog tipa

y²=2px - parabola - geom. postavite t. ravan jednako udaljenu od fokusa i direktrise \

Symmetrin. odnosi. vol: y²=2px , Directrix x=-p/2 ,F(p/2,0) , r=x+p/2 |

oy: x²=2qy , Directrix y=-q/2 ,F(0,q/2) , r=y+q/2 |

y²=b² - par || prave linije > - linije paraboličnog tipa

y²=0 - par podudarnih linija /

y²=--b² - nezadovoljavajuće. coord. ni jedan t.

Ako je C=0, A≠0, onda (1) x²=2qy

Prava linija u avionu. Opšti pogled: x=a ili y=b

k=(y2-y1)/(x2-x1) , gdje su x1,y1,…,… koordinate bilo koje dvije tačke u ravni. | tg(ugao m/y 2nd ∩ prave)=(k2-k1)/(1+k1k2)

Tangentna jednadžba: y-y0=k(x-x0) | Ako su linije date općim jednadžbama (Ax + Vy + C \u003d 0):

Normalni ur: y-y0=-1/k*(x-x0) | tg(ugao m/y 2. ∩ prave linije)=(A1*B2-A2*B1)/(A1*A2+B1*B2)

Prava ur-th (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) , (x2≠x1,y2≠y1) | ||< = >A1/A2=B1/B2 , ┴ A1/B1=--B2/A2

Jednadžba prave u segmentima x=x1+(x2-x1)*t y=y1=(y2-y1)*t , t € R

Udaljenost od t. M0 (x0, y0) do prave linije Ah + Wu + C \u003d 0: d = (A * x0 + B * y0 + C) / √ (A² + B²)

Krug Lv: (x-a)²+(y-b)²=R²

Pojednostavljeno opšti ur-e drugog stepena: Ax²+2Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0

Prilikom rotacije koordinata osi za α za koje je ctg2α=(A- C)/2B

x=x' cos α -y' sin α

y=x' sin α +x' cos α

F-ii granica. Konstanta b rev. lim y=f(x) sa x→a ako je za bilo koje ξ>0 δ>0, što zadovoljava za sve x. konv. 0<|x-a|< δ, выполняется условие |f(x)-b|<ξ

transkript

1 1. Pronađite vrijednost polinoma matrice: f(a) = A + 5A E f(x) = x + 5x, A = () 5 1 A = () () = () () = (() 0 () ) = () 5 () = () = () A = () = () A = 5 () = () E = (0 1 0) = (0 0) f(a) = A + 5A E = = () + () (0 0) = = () = (). Izračunajte determinantu koristeći elementarne transformacije:

2 Dobiti nule u prvom stupcu determinante: = = = Proširiti determinantu u prvom stupcu: 4 7 = = 1 (1) = Dobiti nule u prvom stupcu determinante trećeg reda: = = Napisati proširenje determinanta u trećem stupcu: = 1 (1) = () = = () = (160) = 160. Za glavnu matricu sistema jednadžbi pronađite inverznu matricu metodom adjuint matrice: x 1 + x 4x = 0 ( 4x 1 x + x = 9 x 1 x x = 8 Glavna matrica sistema: 1 4 A = (4) 1 1

3 () ~ napravi nule u 1 stupcu ~ ~ () ~ podijeli string sa (15) ~ ~ () ~ napravi nule u koloni ~ ~ ~ podijeli string sa (1) ~ 5 () ~ ~ napravi nule u kolona~ ( ) ~ (1) Zatim: 1 A 1 = 1 (Provjera: 1 A 1 A = 1 () (4) =)

4 () 5 (1) 1 (4) (1) = () 6 5 (1) 11 (4) (1) = 1 (() 1 (1) 1 (4) + 1 (1)) == (0 1 0) 5 1 () 4. Rešite sistem jednačina koristeći Cramerovo pravilo: Zapišemo Cramerove formule: x 1 = 1, x =, x = x 1 + x 4x = 0 ( 4x 1 x + x = 9 x 1 x x = 8 članova U našem slučaju imamo: 1 4 = 4 = = = 9 = =

5 1 0 4 = 4 9 = = = 4 9 = = Nađimo sada vrijednosti nepoznatih: x 1 = 1 = = 1 x = = = x = = 0 15 = 5. Pronađite rang matrice korištenjem metode graničnih maloljetnika. Navedite osnovni mol: 1 () 8 matrica sadrži elemente koji nisu nula, tada je minimalni rang matrice 1. jednako. Jer matrica se sastoji od tri reda, a zatim maksimalni rang matrice Odredite rang matrice metodom graničnih minora: 1 A = (M 1 =) 8 Pronađite minor prvog reda: Pronađite minor drugog reda: M = 1 = = Pronađite minore trećeg reda:

6 1 M 1 = 5 4 = = M = 5 7 = = Stoga je rang matrice A jednak. Osnovni minor: 1 4 M = jednadžbe: oblik: 6. Istražite kompatibilnost i pronađite opšte rješenje sistema x 1 + x x + 5x 4 7x 5 = x ( 1 + 5x 4x + 8x 4 11x 5 = x 1 x x 4 + x 5 = x 1 x + 7x x 4 + 5x 5 = ) () sistem je konzistentan i ima beskonačan skup rješenja 0 1) ~

7 ( 1 Osnovni minor = Osnovne nepoznate x 1, x, x. Slobodne nepoznate x 4, x 5. Napišimo skraćeni sistem: x 1 + x x + 5x 4 7x 5 = x 1 x x 4 5 x 5 = x 1 10 x x 5 = 1 15 Pretpostavljamo da je x 4 = C 4, x 5 = C 5. Tada je: x 1 + x x + 5C 4 7C 5 = ( x 1 x C 4 5 C 5 = x 1 10 C C 5 = 1 15 x 1 + x x + 5C 4 7C 5 = x = + 1 (C C 5) 7 4 C C 5 ( x = C C 5 x 1 = (C C 5) + (C C 5) 5C 4 + 7C 5 x = C C 5 ( x = C C 5 ( x 1 = C 4 5 C 5 x = C C 5 x = C C 5 Opšte rješenje sistema:

8 X = (C 4 5 C C C C C 5 C 4 C 5) 7. Dati su vektori: Nađi: a = (7; ; 1), b = (1; 5;), c = (1; 4; 0) tačka proizvod vektora a i b ; b) vektorski proizvod vektora a i b; c) mješoviti proizvod vektora a, b i c. a) skalarni proizvod vektora a i b; U kartezijanskom koordinatnom sistemu, skalarni proizvod vektora: a = (a x; a y; a z) i b = (b x; b y; b z) nalazi se po formuli: (a, b) = a x b x + a y b y + a z b z U našem slučaju: (a, b ) = = = 5 b) vektorski proizvod vektora a i b ; U Dekartovom koordinatnom sistemu, vektorski proizvod vektora: a = (a x ; a y ; a z ) i b = (b x ; b y ; b z ) određen je formulom: i j k = a x a y a z b x b y b z

9 U našem slučaju: = i j k 7 1 = i 1 5 j k = 1 5 = i (9 5) j (1 1) + k (5) = 4i 0j + k = (4; 0;) c) mješoviti proizvod vektori a, b i c. Mješoviti proizvod tri vektora: a = (a x ; a y ; a z ), b = (b x ; b y ; b z ) i c = (c x ; c y ; c z ) u Dekartovom koordinatnom sistemu nalazi se po formuli: a x a y a z (a, b, c) = b x c x b y c y b z c z U našem slučaju: 7 1 (a, b, c) = 1 5 = = Zadana je piramida sa vrhovima: Pronađite: A 1 (; 1;), A (1; ; 1), A ( ; ; 1), A 4 (4; ; 5) a) dužina rebara A 1 A, A 1 A, A 1 A 4 ; b) kosinus ugla između ivica A 1 A i A 1 A 4 ; c) površina lica A 1 A A ; d) zapreminu piramide; e) projekcija vektora A 1 4 na pravac vektora A. 1 a) dužina ivica A 1 A, A 1 A, A 1 A 4 ; Dužine ivica A 1 A, A 1 A, A 1 A 4 jednake su modulima vektora A, 1 A, 1 A. 1 4 Modul vektora a = (a x, a y, a z ) je izračunato po formuli:

10 a = a x + a y + a z A 1 = (1 ; + 1; 1 ) = ( 1; ; ) A 1 = ( ; + 1; 1 ) = (1; ; 1) A 1 4 = ( 4 ; + 1; 5 ) = ( 6; ; ) 1 4 = (6) + + = = 54 (jedinica) b) kosinus ugla između ivica A 1 A i A 1 A 4 ; Ugao između ivica tražićemo pomoću formule skalarnog proizvoda vektora: cosα = a b a b, a b = a x b x + a y b y + a z b z, a = a x + a y + a z U našem slučaju: a = A 1 = ( 1; ; ) b = A 1 4 = ( 6; ; ) cosα = A 1A A 1 4 A 1 A 1 4 = ,18 = 1 (6) = = c) površina lica A 1 A A ; Površina lica A 1 A A nalazi se kao polovina površine paralelograma izgrađenog na vektorima A 1 i A. 1 A 1 = ( 1; ; ) A 1 = (1; ; 1)

11 S A1 A A = 1 A 1A A 1 A 1 A 1 = i j k 1 = i (+ 9) j (1 +) + k () = 1 1 = 6i 4j 6k = (6; 4; 6) S A1 A A = 1 A 1A A 1 = (4) + (6) = = = .69 (kvadratne jedinice) d) zapremina piramide; Zapremina piramide A 1 A A A 4 izračunava se korištenjem mješovitog proizvoda tri vektora na kojima je piramida izgrađena: V = 1 6 (A 1A A 1 A) 1 4 A 1 = ( 1; ; ) A 1 = (1; ; 1) A 1 4 = ( 6; ; ) 1 (A 1 A 1 A) 1 4 = 1 1 = = 66 6 V = = = 11 (kubične jedinice) 6 6 e) projekcija vektora A 1 4 na smjer vektora A. 1 inc A1 A 1 A 4 = A 1A 4 A 1 A 1 6 (1) + + () = 19 = = = Dati su vrhovi trougla:

12 tačaka A. Naći: A(;), B(4;), C(; 5) a) ugao između medijane AD i visine AH; b) jednačina prave paralelne sa stranicom BC i koja prolazi kroz a) ugao između medijane AD i visine AH; Naći jednačinu za medijan AD. Da biste odredili jednadžbu medijane AD, pronađite koordinate tačke D, koja dijeli segment BC na pola: x D = x + x y D = y + y AD: = 4 = + 5 = = 1 = 7 Tada je koordinate tačke D (1; 7). Medijan AD prolazi kroz tačke A(;) i D (1; 7). x x 1 x E x 1 = y y 1 y E y 1 x = y x + 4 = y x + = 4y + 1 1x + 9 = 8y + 4 1x 8y + 15 = 0 Iz jednačine AD medijana: 1x 8y + 15 = 0 k AD = 1 8 Naći jednačinu za visinu AH. Za sastavljanje jednačine za visinu AH koristimo uslov okomitosti pravih: l 1 l k 1 k = 1

13 BC: x x x x = y y y y x 4 4 = y 5 x 4 6 = y x 1 = 6y + 1 x + 6y 4 = 0 x + y 8 = 0 Iz jednadžbe BC strane: x + y 8 = 0 k BC = 1 Budući da k BC = 1, tada k AH = 1 = 1 k AH = prolaz kroz tačku A(;) ima oblik: y + = (x +) y + = x + 6 x y + = 0 medijana AD i visina AH, koristi se tgα = k AH k AD = 1 + k AD k AH α = arctg(0,088) = = = 4 0,088 , nalazimo nagib ove prave. Pošto su AN BC, onda su nagibi ovih pravih međusobno jednaki, tj. kAN = kBC. Iz jednačine prave BC: x + y 8 = 0 k BC = 1. Tada je k AN = 1. Sastavimo jednačinu prave AN, znajući nagib k AN = 1 i

14 koordinata tačke A(;): y + = 1 (x +) y + 6 = x x + y + 9 = 0

Primjer Izračunajte determinantu Rješenje tipičnih zadataka 5 5 7, proširivši je za 9 9 elemenata prvog reda 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Primjer Izračunajte determinantu, svodeći je na trouglasti oblik: 5 7 Označite

1. Pronađite proizvod matrica ABC: Rješenje tipične varijante: Kako proizvod matrica nije permutabilan, postoje dva načina da se nađe ovaj proizvod: Za određenost koristimo drugi

Zadaci za odradu propuštenih časova Sadržaj Tema: Matrice, radnje na njima. Izračunavanje determinanti.... 2 Tema: Inverzna matrica. Rješavanje sistema jednadžbi pomoću inverzne matrice. Formule

Vektori Date koordinate vektora a b c u desnoj ortonormalnoj bazi i j k Pokažite da vektori a b c također čine bazu i pronađite koordinate vektora u bazi a b c) () a () b () c ()) () a (

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije Kazanski državni univerzitet za arhitekturu i građevinarstvo Katedra za višu matematiku Elementi vektorske i linearne algebre. Analitička geometrija.

MINISTARSTVO POLJOPRIVREDE RUSKE FEDERACIJE MOSKVA DRŽAVNI UNIVERZITET ZA UPRAVLJANJE ŽIVOTNOM SREDINOM LINEARNA ALGEBRA

Fond alata za ocenjivanje za sprovođenje srednje sertifikacije studenata iz discipline (modula) Opšte informacije 1 Departman za matematiku, fiziku i informacione tehnologije 2 Smer studija 010302

Primjeri izvođenja testova u učenju na daljinu Test 1 (KR-1) Tema 1. Linearna algebra Zadatak 1. Potrebno je riješiti sistem jednačina predstavljen u zadatku kao Konstantni parametri

8. Fond alata za ocenjivanje za sprovođenje srednje sertifikacije studenata iz discipline (modula): Opšte informacije

Primjeri odluka kontrolnih radova L.I. Terekhin, I.I. Popravak 1 Test 2 Vektorska algebra 1. Zadana su tri vektora a = (0; 1; 3), b = (3; 2; 1), c = (4; 0; 4). Potrebno je pronaći: a) vektor d = 2 a b

Poglavlje Elementi linearne algebre Matrice Definicija Matrica dimenzije m n je pravougaona tabela brojeva raspoređenih u m redova i n kolona. Matrice su označene latiničnim slovima,

Matrice 1 Zadane matrice i Nađi: a) A + B; b) 2B; c) B T ; d) AB T ; e) B T A Rješenje a) Po definiciji zbira matrica b) Po definiciji proizvoda matrice brojem c) Po definiciji transponirane matrice

Upute za polaganje ispita Ispit "Recertifikacija" Predmet. Elementi analitičke geometrije na ravni. Prava linija na ravni Udaljenost između dvije tačke M () i () ravni

ELEMENTI LINEARNE ALGEBRE ZANIMANJE MATRIJE I DJELOVANJE NA NJIH Dajte definiciju matrice Klasifikacija matrica po veličini Šta su nulte i identične matrice? Pod kojim uslovima se matrice smatraju jednakim?

Ne LA ispit za diplomirane ekonomiste u 04-0 akademskoj godini, Pronađite vektor Ne (6 4 ; 6 8) i Ne DEMO 0 (x ; y) (koji ima Ne i x< 0) такой, чтобы система векторов (x ; y) образовывала бы ортогональный

Ulaznica. Matrice, akcije na njih Jednačina parabole u kanonskom koordinatnom sistemu. Ulaznica. Osobine matričnih operacija Međusobni raspored prave i ravni. Ugao između njih, uslovi paralelizma

Ispitna karta 1. 1. Vektori u prostoru. Osnovne definicije i operacije nad vektorima: zbir vektora, proizvod vektora brojem. Svojstva. Teorema o kolinearnim vektorima. 2. Udaljenost

DETERMINANTE Neka je data matrica. Broj se zove determinanta drugog reda koja odgovara datoj matrici, a označava se simbolom = = - Determinanta drugog reda sadrži dva reda i dvije kolone,

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije TOMSKI DRŽAVNI UNIVERZITET ZA UPRAVLJAČKE SISTEME I RADIOELEKTRONIKU (TUSUR) L I Magazinnikov, A L Magazinnikova ANALITIČKA LINEARNA ALGEBRA

1. Zadane matrice: Rješenje uzorka 1 2 1 1 0 2 3 0 2 1 1 0 A, B 1 1 0 2 1 1 2 1 1 0 1 1 Pronađite matricu i saznajte da li ima inverznu matricu. Rješenje. Nađimo matricu Nađimo transponiranu matricu. Nađimo

8 Fond alata za ocenjivanje za sprovođenje srednje sertifikacije studenata u disciplini (modulu): Opšte informacije 1 Departman M i MME 2 Smer obuke Poslovna informatika Opšti profil 3 Disciplina

Lekcija 5. Linearne operacije nad vektorima 5.1. Sabiranje vektora. Množenje vektora brojevima Fiksni vektor je usmjereni segment definiran sa dvije tačke A i B. Tačka A se naziva

Lekcija 1. Vektorska analiza. 1.1. Kratak teorijski uvod. Fizičke veličine, Z Z (M) da bi se odredilo koji K je dovoljno navesti jedan broj Y K (pozitivan ili negativan Y) nazivaju se

MINISTARSTVO POLJOPRIVREDE RUSKE FEDERACIJE FEDERALNA DRŽAVNA OBRAZOVNA USTANOVA VISOKOG STRUČNOG OBRAZOVANJA KUBANSKI DRŽAVNI AGRARNI UNIVERZITET VM Smolentsev Linearna algebra

Primjer rješavanja varijante kontrolnog rada Zadatak Izračunaj determinantu Rješenje: pri rješavanju ovakvih zadataka koriste se sljedeće osobine determinante:) Ako su u determinanti svi elementi bilo kojeg

Finalni test. Vrijeme izvršenja minuta. Udaljenost između tačaka A (;) i B(;)),),)7 Odgovor:) je koordinata sredine segmenta koji povezuje tačke A (;) i B (;)) (;);) (;) ,) (;),) (;) Odgovor:)

8 Fond alata za ocenjivanje za sprovođenje srednje sertifikacije studenata iz discipline (modula): Opšte informacije 1 Departman za matematiku i matematičke metode u ekonomiji 2 Smer 380301

Vektorska algebra. Kontrolni rad Zadatak. Dužina vektora a je t cm, dužina vektora b je t + cm, a ugao između njih je t + a tb. 6. Pronađite dužinu vektora () rješenja. Prema pretpostavci, dužina vektora a je jednaka

Primjeri osnovnih LA problema Definirani sistemi linearnih jednadžbi Gaussovom metodom Riješite sistem linearnih jednadžbi Gausovom metodom x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Riješite sistem linearnih jednadžbi Gausovom metodom 6

S. A. Logvenkov P. A. Myshkis V. S. Samovol Zbirka zadataka iz više matematike Udžbenik za studente društvenih i administrativnih specijalnosti Moskva Izdavačka kuća MCNMO 24 UDK 52 (75.8) LBC 22.43

Fond alata za ocenjivanje za sprovođenje srednje sertifikacije studenata iz discipline (modula) Opšte informacije Departman za matematiku, fiziku i informacione tehnologije Smer nastave Pedagoški

8. FOND ALATA ZA OCJENJIVANJE ZA PRIVREMENU CERTIFIKACIJU STUDENATA PO DISCIPLINAMA (MODULU) Opšte informacije 1. Departman za informatiku, računarsko inženjerstvo i sigurnost informacija 2. Smjer

Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "Moskovski institut za vazduhoplovstvo (Nacionalni istraživački univerzitet)" Katedra za višu matematiku LINEARNA ALGEBRA

Matrice, determinante, sistemi linearnih jednadžbi Metoda rubnih minora za određivanje ranga matrice A = m m m minor A minor k reda k matrice A je bilo koja determinanta k-tog reda ove matrice,

Rješenje tipičnih zadataka za dio "Matrice" Izračunaj

Test. Zadate matrice A, B i D. Pronađite AB 9D ako je: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Pomnožite matrice A 3 i B 3. Rezultirajuće će biti C veličine 3 3, koji se sastoji od elemenata

4. Matrični rang. U matrici A izaberite k redova i kolona od elemenata na njihovom preseku, sastavite determinantu. Nazvaćemo to molom k-tog reda. Ako je minor k-tog reda različit od nule,

Linearna algebra. Osnovne formule. determinanta reda: det A a a a a a a a a. a a a -ta odrednica reda (Sarrusovo pravilo): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Algebarski

3. DEFINICIJA ranga matrice. Minor M k matrice naziva se osnovnim minorom ako je različit od nule i svi minori matrice višeg reda k+, k+, t jednaki su nuli. DEFINICIJA. Rang matrice je

Prostor aritmetičkih vektora Predavanja 2-3 1 Prostor Rn aritmetičkih vektora Razmotrimo skup uređenih skupova od n brojeva x (x 1, x 2, x). Svaki takav skup x n će biti pozvan

Rješenja tipičnih zadataka Zadatak Dokažite, definicijom granice numeričkog niza, da je n li n n Rješenje Po definiciji, broj je granica numeričkog niza n n n N ako postoji prirodan

Sadržaj Uvod Problemi u učionici linearne algebre Primjeri rješenja Zadaci za samostalno učenje Analitička geometrija i vektorska algebra Zadaci u učionici Primjeri rješenja

E V Morozova, S V Mjagkova BAZA TESTOVA IZ MATEMATIKE I DEO LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA MINISTARSTVA PROSVETE I NAUKE RUSIJE

Linearna algebra tema učenja na daljinu MATRICA) Osnovne definicije teorije matrica Definicija Matrica dimenzija je pravokutna tablica brojeva koja se sastoji od redova i stupaca Ova tabela je obično

Zadatak Kuznjecov Analitička geometrija 1-3 Napišite proširenje vektora po vektorima: Tražena ekspanzija vektora ima oblik: Ili u obliku sistema: Dobijamo: Dodajte treći u drugi red: Oduzmite od prvog

Primjeri odluka kontrolnih radova L.I. Terekhin, I.I. Fix 1 Test 1 Linear Algebra Riješi matričnu jednačinu ((3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 (1 0 = 3 2 3))

Vektorska algebra Analitička geometrija Ishchanov TR h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Zadatak Napisati proširenje vektora u terminima vektora r 8 r Potrebno je predstaviti vektor u obliku r gdje su brojevi Hajde da ih pronađemo

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja „Državna tehnička ustanova Komsomolsk na Amuru

Testni rad iz discipline Viša matematika Opcija - Tema. Elementi analitičke geometrije na ravni. Prava linija u avionu. Prema koordinatama vrhova trougla ABC: A (); AT 5); C(--) nađi: a)

01 1. Pronađite opšta i osnovna rješenja sistema jednačina: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, birajući x i x kao osnovne varijable. Odgovor: Ako izaberemo kao osnovne varijable

Uspostaviti konzistentnost i riješiti sistem linearnih jednačina 5xx x xx 5x 0 x4x x 0

Linearna algebra Predavanje 5 Sistemi linearnih jednačina Osnovni pojmovi i definicije Matematika je alat za opisivanje svijeta oko nas. Linearne jednačine pružaju neke jednostavne opise

Federalna agencija za željeznički transport Uralski državni univerzitet za željeznički transport Odsjek za višu matematiku T.A. Volkova ZBIRKA TESTOVA IZ ALGEBRE I ANALITIČKE GEOMETRIJE

INSTITUT ZA ŠUME SIKTIVKAR ODSEK ZA VIŠU MATEMATIKU ALGEBRU I GEOMETRIJU SAMOSTALNI RAD STUDENATA

PRIMJER 1. Izračunajte proizvode AB i BA (tačka se ponekad izostavlja u zapisu proizvoda) za sljedeće matrice: () 0 1 1 A =, B = 1 0. 3 0 1 RJEŠENJE. Počnimo s pravilom množenja dimenzija. Jer

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE Bijski tehnološki institut (filijala) federalne državne budžetske obrazovne ustanove visokog stručnog obrazovanja „Altajska država

Xətti ər Rus) üui ithhn sullrı Pokaži da vektori;;) ;;) ; ;) formirajte osnovu vektora i napišite linearnu kombinaciju vektora If;;) na ovim vektorima pronađite X iz jednačine. Pokažite da je vektor;)

Poglavlje 8 Jednačina prave u prostoru I na ravni i u prostoru, svaka prava se može definisati kao skup tačaka čije su koordinate u nekom sistemu izabranom u prostoru

Lekcija 1. Vektorska analiza. Kratak teorijski uvod. Fizičke veličine za čiju je definiciju Z Z ϕ (M) dovoljno navesti jedan broj Y K (pozitivan ili Y negativan) nazivaju se skalarima.

TEORIJSKA PITANJA I. MATRICE, DETERMINANTE 1) Definirajte matricu. Šta su matrice nula i identiteta? Pod kojim uslovima se matrice smatraju jednakim? Kako se izvodi operacija transponiranja? Kada

PREDAVANJE Površine u prostoru i njihove jednačine Površine Površine definisane nekom jednačinom u datom koordinatnom sistemu je lokus tačaka čije koordinate zadovoljavaju

TEME KONTROLNIH RADOVA NA DISCIPLINI "MATEMATIKA" smjer "Ekologija i upravljanje prirodom" semestar. Proširite vektor X u vektore P, Q, R. Rešite sistem) Cramer metodom,) matričnom metodom,

Zadaci za razredni i samostalni rad Reši sisteme linearnih jednačina Cramer metodom (ako je moguće) i Gaussovom metodom ():, 4, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5, 6 4 4 4, 8, 9, 4 4 5 Kontrola

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije Sjeverni (Arktički) federalni univerzitet po imenu M.Lomonosov Katedra za matematiku Primjeri zadaci za ispit iz matematike (dio) za studente grupe 9 IEIT smjera

Ministarstvo poljoprivrede Ruske Federacije A.N. Manilov Linearna algebra