Sferna trigonometrija

matematička disciplina koja proučava odnose između uglova i stranica sfernih trouglova (vidi Sferna geometrija). Neka ALI, B, C - uglovi i a, b, c - suprotne strane sfernog trougla ABC(cm. pirinač. ). Uglovi i stranice sfernog trokuta povezani su sljedećim osnovnim formulama S. t.:

cos a= cos b cos With+ sin b grijeh With cos ALI, (2)

cos A=- cos B cos C+ sin B grijeh OD cos a, (2 1)

grijeh a cos B = cosb grijeh c- grijeh b cos With cos ALI, (3)

grijeh ALI cos b= cos B grijeh C+ sin B cos OD cos a; (3 1)

u ovim formulama a, b, c mjereno odgovarajućim centralnim uglovima, dužine ovih stranica su jednake, respektivno aR, bR, cR, gdje R- polumjer sfere. Promjena oznaka uglova (i stranica) prema pravilu kružne permutacije: ALI→AT→OD→ALI(a→b→With→a), moguće je napisati i druge formule S. t., slične naznačenim. Formule sfernih trokuta omogućavaju određivanje preostala tri elementa iz bilo koja tri elementa sfernog trokuta (za rješavanje trokuta).

Za pravokutne sferne trokute ( ALI= 90°, a - hipotenuza, b, c - noge) formule S. t. su pojednostavljene, na primjer:

grijeh b= grijeh a grijeh AT, (1")

cos a = cos b cos c, (2")

grijeh a cos B= cos b grijeh c. (3")

Da biste dobili formule koje povezuju elemente pravokutnog sfernog trokuta, možete koristiti sljedeće mnemoničko pravilo (Napierovo pravilo): ako zamijenite krakove pravokutnog sfernog trokuta njihovim dopunama i rasporedite elemente trokuta (isključujući pravi ugao ALI) u krugu redoslijedom kojim se nalaze u trokutu (to jest, kako slijedi: ti, 90° - b, 90 ° - c), tada je kosinus svakog elementa jednak proizvodu sinusa nesusjednih elemenata, na primjer,

cos a= sin (90° - With) sin (90° - b)

ili, nakon transformacije,

cos a = cos b cos With(formula 2").

Prilikom rješavanja problema zgodne su sljedeće Delambre formule koje povezuju svih šest elemenata sfernog trokuta:

Prilikom rješavanja mnogih problema sferne astronomije, ovisno o traženoj tačnosti, često je dovoljno koristiti približne formule: za male sferne trokute (odnosno one čije su stranice male u odnosu na polumjer sfere) možete koristiti formule ravni trigonometrije; za uske sferne trokute (tj. one s jednom stranom, na primjer a, mali u odnosu na druge) koristite sljedeće formule:

(3’’)

ili preciznije formule:

S. t. je nastao mnogo ranije od ravne trigonometrije. Svojstva pravokutnih sfernih trouglova, izražena formulama (1")-(3"), i različiti slučajevi njihovog rješavanja bili su poznati čak i grčkim naučnicima Menelaju (1. vek) i Ptolomeju (2. vek). Grčki naučnici sveli su rješenje kosih sfernih trouglova na rješenje pravokutnih. Azerbejdžanski naučnik Nasiraddin Tuei (13. vek) sistematski je ispitivao sve slučajeve rešavanja kosih sfernih trouglova, po prvi put ukazavši na rešenje u dva najteža slučaja. Osnovne formule za kose sferne trouglove pronašli su arapski naučnik Abul-Vefa (10. vek) [formula (1)], nemački matematičar I. Regiomontan (sredina 15. veka) [formule poput (2)] i Francuzi matematičar F. Viet (2. polovina 16. veka) [formule tipa (2 1)] i L. Euler (Rusija, 18. vek) [formule tipa (3) i (3 1)]. Euler (1753. i 1779.) dao je čitav sistem formula za S. T. Neke formule za S. T. pogodne za praksu uspostavili su škotski matematičar J. Napier (kraj 16. - početak 17. st.), engleski matematičar G. 17. st., ruski astronom A. I. Leksel (druga polovina 18. veka), francuski astronom J. Delambre (kraj 18. - početak 19. veka) i drugi.

Velika sovjetska enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. 1969-1978 .

Pogledajte šta je "Sferična trigonometrija" u drugim rječnicima:

Sferna trigonometrija je dio trigonometrije koji proučava odnos između uglova i dužina stranica sfernih trouglova. Koristi se za rješavanje raznih geodetskih i astronomskih problema. Sadržaj 1 Istorija ... Wikipedia

Grana matematike koja proučava odnose između stranica i uglova sfernih trouglova (odnosno trouglova na površini sfere) nastalih kada se tri velika kruga seku. Sferna trigonometrija je usko povezana sa ... ... Veliki enciklopedijski rječnik

Istražuje svojstva trougla., Nacrtano na sfernom. površine formirane na lopti lukovima kružnica. Rječnik stranih riječi uključenih u ruski jezik. Pavlenkov F., 1907 ... Rečnik stranih reči ruskog jezika

Grana matematike koja proučava odnose između stranica i uglova sfernih trouglova (odnosno trouglova na površini sfere) nastalih kada se tri velika kruga seku. Sferna trigonometrija je usko povezana sa ... ... enciklopedijski rječnik

Matematički disciplina koja proučava odnose između uglova i stranica sfernih trouglova (vidi sfernu geometriju). Neka su A, B, C uglovi i a, b, c suprotne strane sfernog trougla ABC. Uglovi i stranice su sferni. trougao... Mathematical Encyclopedia

Područje matematike, u kojem se proučavaju ovisnosti između stranica i kutova sfere. trouglovi (tj. trouglovi na površini sfere) nastali na preseku tri velika kruga. S. t. je usko povezan sa sfernim. astronomija... Prirodna nauka. enciklopedijski rječnik

Sferni trokut Kurtoza sfernog trougla, ili sferni višak vrijednosti u sf ... Wikipedia

Legendreov teorem u sfernoj trigonometriji omogućava pojednostavljenje rješenja sfernog trougla ako se zna da su njegove stranice dovoljno male u odnosu na polumjer sfere na kojoj se nalazi. Formulacija ... Wikipedia

Pravokutni sferni trokut sa hipotenuzom c, kracima a i b i pravim uglom C. Sferna Pitagorina teorema je teorema koja uspostavlja odnos između stranica pravougaonika ... Wikipedia

Veliki krug uvijek dijeli sferu na dvije jednake polovine. Centar velikog kruga poklapa se sa centrom sfere ... Wikipedia

Knjige

• Sferna trigonometrija, Stepanov N.N. , Kurs sferne trigonometrije N. N. Stepanove je udžbenik za studente: astronome, geodete, topografe, geodete; Istovremeno, može poslužiti svrsi... Kategorija: Matematika Izdavač: YoYo Media, Proizvođač: YoYo Media,
• Sferna trigonometrija, Stepanov N.N. , Kurs sferne trigonometrije N. N. Stepanove je udžbenik za studente: astronome, geodete, topografe, geodete; istovremeno može služiti svrsi... Kategorija:

4)Formula bočnog kosinusa.

Koordinatni sistemi

Koordinatni sistem - skup definicija koji implementira koordinatni metod, odnosno način određivanja položaja tačke ili tijela pomoću brojeva ili drugih simbola. Skup brojeva koji određuje položaj određene tačke naziva se koordinate ove tačke.U matematici su koordinate skup brojeva povezanih sa tačkama mnogostrukosti u nekoj karti određenog atlasa.U elementarnoj geometriji koordinate su veličine koje određuju položaj tačke na ravni i u prostoru. Na ravni položaj tačke najčešće je određen udaljenostima od dve prave (koordinatne ose) koje se seku u jednoj tački (početak) pod pravim uglom; jedna od koordinata se zove ordinata, a druga apscisa. U prostoru, prema Descartesovom sistemu, položaj tačke je određen udaljenostima od tri koordinatne ravni koje se seku u jednoj tački pod pravim uglom jedna u odnosu na drugu, ili sfernim koordinatama, gde je ishodište u centru sfere. U geografiji, koordinate su geografska širina, dužina i visina iznad poznatog zajedničkog nivoa (na primjer, okean). Vidite geografske koordinate. U astronomiji, koordinate su veličine koje određuju položaj zvijezde, na primjer, prava ascenzija i deklinacija.Nebeske koordinate su brojevi koji određuju položaj svjetiljki i pomoćnih tačaka na nebeskoj sferi. U astronomiji se koriste različiti sistemi nebeskih koordinata. Svaki od njih je u suštini sistem polarnih koordinata na sferi sa odgovarajuće odabranim polom. Nebeski koordinatni sistem je postavljen velikim krugom nebeske sfere (ili njenim polom, udaljenim 90° od bilo koje tačke ovog kruga), naznačujući na njemu početnu tačku jedne od koordinata. U zavisnosti od izbora ovog kruga, nebeski koordinatni sistemi su nazvani horizontalni, ekvatorijalni, ekliptični i galaktički. Prilikom rješavanja određenog matematičkog ili fizičkog problema metodom koordinata, možete koristiti različite koordinatne sustave, birajući onaj u kojem se problem rješava lakše ili pogodniji u ovom konkretnom slučaju.

11) Radijusi krivine paralelnog, meridijanskog i normalnog preseka.

Kroz proizvoljnu tačku na površini zemljinog elipsoida može se povući beskonačan broj vertikalnih ravnina koje formiraju normalne presjeke s površinom elipsoida. Dva od njih: meridijan i presjek prve okomite okomite na njega - nazivaju se glavnim normalnim dijelovima. Zakrivljenost površine zemljinog elipsoida u različitim tačkama je različita. Štaviše, u istoj tački, svi normalni dijelovi imaju različite zakrivljenosti. Polumjeri zakrivljenosti glavnih normalnih presjeka u datoj tački su ekstremni, odnosno najveći i najmanji među svim ostalim polumjerima zakrivljenosti normalnih presjeka. Vrijednosti radijusa zakrivljenosti meridijana M i prve vertikale N na datoj geografskoj širini φ određene su formulama: M = a(1-e²) ​​/ (1 - e²*sin² φ) 3/ 2; N = a / (1 - e²*sin² φ) ½

Polumjer zakrivljenosti r proizvoljne paralele elipsoida povezan je sa polumjerom zakrivljenosti presjeka prve vertikale relacijom r = N cos φ. Vrijednosti radijusa zakrivljenosti glavnih presjeka elipsoid M i N karakteriziraju njegov oblik u blizini date tačke. Za proizvoljnu tačku na površini elipsoida, omjer polumjera

M / N = 1 - e² / 1 - e²*sin² φ

12) Dužina lukova paralela i meridijana.

L \u003d 2pR \u003d 2. 3,14 6371 "40000 km.

Određivanjem dužine velikog kruga, možete pronaći dužinu luka meridijana (ekvatora) u 1° ili u 1¢:1° meridijanskog (ekvatorskog) luka = ​​L/360°= 111 km, 1¢ od meridijanski luk (ekvator) 111/60¢ = 1.853 km.Dužina svake paralele je manja od dužine ekvatora i zavisi od geografske širine mesta.

Jednako je L par = L eq cosj par Položaj tačke na površini zemljinog elipsoida može se odrediti geodetskim koordinatama - geodetskom širinom i geodetskom dužinom. Za određivanje položaja tačke na površini geoida koriste se astronomske koordinate dobijene matematičkom obradom rezultata astronomskih mjerenja. Međutim, u nekim slučajevima, kada nije potrebno uzeti u obzir razlike u geodetskim i astronomskim koordinatama, za određivanje položaja tačke u navigaciji aviona koristi se koncept geografskih koordinata. Geografska širina j je ugao između ekvatorijalnih ravan i normalu na površinu elipsoida u datoj tački. Geografska širina se mjeri od ravni ekvatora do polova od 0 do 90° sjeverno ili južno. Sjeverna geografska širina se smatra pozitivnom, južna - negativnom.

13) Transformacija koordinata.

Transformacija koordinatnog sistema je prelazak iz jednog koordinatnog sistema u drugi.. Kod takve zamene potrebno je uspostaviti formule koje omogućavaju da se pomoću poznatih koordinata tačke u jednom koordinatnom sistemu odrede njene koordinate u drugom.

Glavni cilj transformacije koordinata je određivanje takvog koordinatnog sistema u kojem jednačina date prave postaje najjednostavnija. Dobrim rasporedom koordinatnih osa moguće je osigurati da jednačina krive poprimi najjednostavniji oblik. Ovo je važno za proučavanje svojstava krive.

14) Geodetska linija. Direktan i inverzni geodetski problem.

Geodetska linija, kriva, glavne normale svih tačaka koje se poklapaju sa normalama površine na kojoj se nalazi. Najkraća udaljenost između dvije tačke na površini je G. linija, ali ne uvijek suprotno.Geodetski problem je povezan sa određivanjem relativnog položaja tačaka na zemljinoj površini i dijeli se na direktne i inverzne probleme. Direktno G. z. nazivaju izračunavanje geodetskih koordinata - geodetske širine i dužine određene tačke koja leži na zemljinom elipsoidu, prema koordinatama druge tačke i po dužini i azimutu geodetske linije koja povezuje ove tačke. Revers G. h. sastoji se u određivanju geodetskih koordinata dvije tačke na zemljinom elipsoidu, dužine i azimuta geodetske linije između ovih tačaka

15) Konvergencija meridijana.Konvergencija meridijani u nekoj tački zemaljskog elipsoida - ugao g s između tangente na meridijan ove tačke i tangente na elipsoid, povučen u istoj tački paralelno sa ravninom nekog početnog meridijana. C. m. g s je funkcija razlike između geografske dužine l naznačenih meridijana, geografske širine B tačke i parametara elipsoida. Približno, S. m. izražava se formulom g s \u003d lsin. S. m. na ravni geodetske projekcije, ili kartografska projekcija (ili Gaussova S. m.) je ugao g, koji čini tangentu na slika bilo kojeg meridijana sa prvom koordinatnom osom (apscisom) ove projekcije, koja je obično slika srednjeg (aksijalnog) meridijana prikazane teritorije.

16) Opšti princip prikazivanja površina rasklapanjem.

Razvoj jedne površine na drugu savijanjem je takva transformacija prve plohe, u kojoj se čuvaju elementi njene unutrašnje geometrije, odnosno uglovi. KVADRAT, Gausova zakrivljenost površine, te tako svojstvo najkraćih linija ostaje najkraće. Radijusi zakrivljenosti Ch. normalni dijelovi se nazivaju Ch. poluprečnici zakrivljenosti u datoj tački površine..R=1/R1*R2- Gausova zakrivljenost površine

Elementi sferne trigonometrije

Sferna trigonometrija se bavi proučavanjem odnosa između stranica i uglova sfernih trouglova (na primer, na površini Zemlje i na nebeskoj sferi).Sferni trouglovi. Na površini lopte najkraća udaljenost između dvije tačke mjeri se po obodu velikog kruga, odnosno kružnice čija ravan prolazi kroz centar lopte. Vrhovi sfernog trougla su presječne točke triju zraka koje izlaze iz centra lopte i sferne površine. Stranice a, b, c sfernog trokuta su oni uglovi između zraka koji su manji od 180 (ako je jedan od ovih uglova 180, onda se sferni trokut degeneriše u polukrug velikog kruga). Svaka strana trokuta odgovara luku velikog kruga na površini lopte (vidi sliku).

Uglovi A, B, C sfernog trokuta, suprotne strane a, b, c, su, po definiciji, manji od 180, uglovi između lukova velikih kružnica koji odgovaraju stranicama trokuta, ili uglovi između ravni definisane ovim zracima Geometrija na površini lopte je neeuklidska; u svakom sfernom trouglu, zbir strana je između 0 i 360, zbir uglova je između 180 i 540. U svakom sfernom trouglu, postoji veći ugao nasuprot veće stranice. Zbir bilo koje dvije stranice je veći od treće strane, zbir bilo koja dva ugla je manji od 180 plus treći ugao. Sferni trokut je jednoznačno definiran (do transformacije simetrije): 1) tri stranice, 2) tri uglove, 3) dvije stranice i zatvoren ugao između njih, 4) stranu i dva susjedna ugla.

4)Formula bočnog kosinusa.

Formula bočnog kosinusa povezuje tri stranice i jedan od uglova sfernog trokuta. Pogodno za pronalaženje nepoznatog ugla ili stranice nasuprot ovom kutu, a glasi kako slijedi: „u sfernom trokutu kosinus jedne stranice jednak je umnošku kosinusa druge dvije strane plus proizvod sinusa ovih stranica i kosinus ugla između njih”

Za neke naše klijente kupovina nakita po meri je isplativa investicija u porodični kapital, u stabilnu budućnost dece i unučadi. Za ostale klijente, posebno lijepe dame, ekskluzivni nakit je još jedan način da istaknu svoj stil, ljepotu i zavidan društveni status. Za muškarce - opcija za pokazivanje ljubavi i pažnje prema odabranici.

G.P. Matvievskaya Sfera i sferna trigonometrija u antici i na srednjovjekovnom istoku / Razvoj metoda za astronomska istraživanja. Broj 8, Moskva-Lenjingrad, 1979

G.P. Matvievskaya

Sfera i sferna trigonometrija u antici i na srednjovjekovnom istoku

1. U antici i srednjem vijeku potrebe astronomije bile su najvažniji poticaj za razvoj mnogih grana, matematike i prije svega sferne trigonometrije, koja je bila matematički aparat za rješavanje specifičnih astronomskih problema. S razvojem astronomije, složenošću njenih problema i povećanjem zahtjeva za preciznošću proračuna, ovaj aparat je postepeno unapređivan i, shodno tome, sadržaj sferne trigonometrije obogaćen. Izlagano je i u astronomskim raspravama - kao uvodni dio astronomije - i u posebnim matematičkim radovima.

Od posebnog značaja za istoriju sferne trigonometrije su starogrčki spisi o sferi - nauci koja je uključivala elemente astronomije, geometrije na sferi i trigonometrije. Do 4. v. BC e. bila je potpuno razvijena i smatrana kao pomoćna astronomska disciplina. Najraniji poznati radovi o sferi napisani su u periodu 4. vijeka prije nove ere. BC e. - I vek. n. e. takvi izvanredni naučnici antike kao što su Autolik, Euklid, Teodozije, Hipsikle, Menelaj.

Ovi radovi vam omogućavaju da se vizualno upoznate s početnom fazom u razvoju sferne trigonometrije.

Svi rezultati koje su Grci dobili u oblasti astronomije i trigonometrije, kao što je poznato, generalizovani su u 2. veku pre nove ere. u Ptolomejevom djelu pod naslovom Matematička zbirka u 13 knjiga. Kasnije, verovatno u 3. veku, nazvana je „velika“ knjiga, iz koje je u srednjem veku nastao naziv „Almagest“, koji je postao opšteprihvaćen: ovako se izgovarala reč „al-majisti“ u Latinski - arapski oblik od "megiste" (najveći).

Za razliku od "velike" knjige Ptolomeja, spisi njegovih prethodnika, neophodni za astronomske proračune i spojeni u kasnom helenističkom periodu (najkasnije u 4. vijeku) u jednu zbirku, nazvani su "Mala astronomija". Morali su se proučavati nakon Euklidovih elemenata, kako bi se Almagest mogao razumjeti. Stoga se u arapskoj literaturi pojavljuju pod nazivom "srednje knjige" (kutub al-mutawasita).

Ova zbirka obuhvata dela Euklida "Podaci", "Optika", "Fenomeni" i pseudoeuklidski "Katoptrik", Arhimedova dela ("O lopti i cilindru", "Mjerenje kruga", "Leme "), Aristarh ("O količinama i udaljenostima Sunca i Meseca"), Hipsikula ("O usponu sazvežđa duž ekliptike"), Autolika ("O pokretnoj sferi", "O izlasku i zalasku nepokretnih zvezda" "), Teodosije ("Sfera", "O danima i noćima", "O stanovima") i Menelaj ("Sfera"). Rad Menelaja je dodat Maloj astronomiji, verovatno kasnije.

Arapski prijevod „srednjih“ knjiga, uključujući radove o sferi, pojavio se među prvim prijevodima djela klasika grčke nauke. Kasnije su ih više puta komentarisali. Među prevodiocima i komentatorima mogu se navesti istaknuti naučnici kao što su Kosta ibn Luka (IX vek), Al-Makhani (IX vek), Sabit ibn Korra (X vek), Ibn Irak (X-XI vek), Nasir ad-Din at. -Tusi (XIII vek) i dr.

Grčkoj “Maloj astronomiji” istočnjački učenjaci su kasnije dodali djela “O mjerenju figura” Banu Muse, “Podaci” i “Knjigu o potpunom četverokutu” Sabita ibn Korre, “Traktat o potpunom četverokutu” od Nasir ad-Din at-Tusi.

Istočni matematičari i astronomi dobro su prepoznali potrebu za dubljim upoznavanjem sa "srednjim" knjigama i naglašena je još u 17. veku. u nadaleko poznatoj bibliografskoj enciklopediji Hadži Halife "Skidanje vela sa naslova knjiga i nauka". Tekst ovih rasprava, kao i komentari na njih, sačuvani su u brojnim arapskim rukopisima. To uključuje, na primjer, rukom pisanu zbirku koju još niko nije proučavao, a koja je pohranjena u Državnoj javnoj biblioteci. M. E. Saltykov-Shchedrin u Lenjingradu (zbirka Hanjikova, br. 144).

Još 1902. godine poznati istoričar matematike A. Bjornbo sa žaljenjem je primetio da je premalo pažnje posvećeno toj oblasti antičke nauke, koja se može definisati kao „uvod u astronomiju“ i koja se ogleda u „proseku "knjige. Posebno je insistirao na potrebi za cjelovitim kritičkim izdanjem teksta djela i, u vezi s tim, postavio pitanje proučavanja njihovih arapskih verzija. Velika zasluga u proučavanju "male astronomije" pripada samom A. Bjornbou, kao i F. Gulchu, I.L. Geiberg, P. Tannery, A. Chvalina, J. Mozhene i dr. Međutim, daleko od toga da je sve do sada urađeno u tom pravcu. Ovo se posebno odnosi na "srednje" knjige u arapskom tumačenju.

Naučnici istočnog srednjeg vijeka često su pravili značajne dodatke grčkim radovima, nudili vlastite dokaze teorema, a ponekad unosili nove ideje u antičku teoriju. Sa ove tačke gledišta, arapske verzije radova posvećenih ovoj sferi zaslužuju veliku pažnju. Od posebnog značaja je proučavanje komentara na Menelajevo djelo, koje su sastavili Abu Nasr ibn Irak i Nasir ad-Din at-Tusi, koji su igrali značajnu ulogu u historiji sferne trigonometrije.

2. Najstariji spisi o sferi koji su došli do nas - i, uopšte, iz matematičkih spisa Grka - su traktati Autolika iz Pitane (oko 310. godine pne) "O okretnoj sferi" i "O izlascima sunca i zalasci sunca”. Obojica se bave pitanjima geometrije na sferi u primjeni na astronomiju.

Autolik proučava sferu koja rotira oko ose i kružne preseke na njoj: velike krugove koji prolaze kroz oba pola, male krugove dobijene rezanjem sfere ravninama okomitim na osu i velike kružnice koje prolaze koso na nju. Kretanje tačaka ovih kružnica razmatra se u odnosu na neku fiksnu sekuntnu ravan koja prolazi kroz centar. Ovdje je lako vidjeti model nebeske sfere sa nebeskim meridijanima, paralelama, ekvatorom, ekliptikom i horizontom. Prezentacija je, međutim, izvedena čisto geometrijskim jezikom i astronomski termini se ne koriste.

U eseju od 12 rečenica „O pokretnoj sferi“, Autolik uvodi koncept ravnomjernog kretanja („tačka se kreće jednoliko ako putuje jednakim putanjama za jednaka vremena“) i primjenjuje ovaj koncept na rotirajuću sferu. Pre svega, on pokazuje da tačke njene površine koje ne leže na osi, pri ravnomernoj rotaciji, opisuju paralelne kružnice sa istim polovima kao i sfera, a sa ravnima okomitim na osu (Propozicija 1). Nadalje, dokazano je da u jednakom vremenu sve tačke površine opisuju slične lukove (Propozicija 2) i obrnuto, tj. ako se dva luka paralelnih kružnica prijeđu za jednako vrijeme, onda su oni slični (Propozicija 3).

Uvodeći pojam horizonta – velikog kruga koji odvaja dio ove sfere vidljiv posmatraču koji se nalazi u centru sfere od nevidljivog – Autolik razmatra kretanje tačaka površine u odnosu na njega. Istražuju se različiti mogući položaji horizonta, kada je on okomit na osu, prolazi kroz polove i nagnut je prema osi. U prvom slučaju (koji se dešava na zemaljskom polu), nijedna tačka na površini sfere, sa ravnomernom rotacijom, neće biti uzlazna ili zalazeća; sve tačke vidljivog dela uvek ostaju vidljive, a sve tačke nevidljivog dela ostaju nevidljive (Propozicija 4).

U drugom slučaju, koji se dešava na Zemljinom ekvatoru, sve tačke na površini sfere se dižu i zalaze, pri čemu su u isto vreme iznad i ispod horizonta (pretpostavka 5).

Konačno, u posljednjem - opštem - slučaju, horizont dodiruje dva jednaka paralelna kruga, od kojih je onaj koji leži na vidljivom polu uvijek vidljiv, a drugi uvijek nevidljiv (Propozicija 6). Površinske tačke između ovih kružnica rastu i zalaze i uvijek prolaze kroz iste tačke na horizontu, krećući se u krugovima okomitim na osu i nagnutim prema horizontu pod istim uglom (Propozicija 7). Svaki veliki krug fiksiran na površini sfere, koji dodiruje iste paralelne krugove kao i horizont, poklopit će se s horizontom kada se sfera rotira (Propozicija 8). Osim toga, utvrđeno je da ako je horizont nagnut prema osi, tada od dvije tačke koje se istovremeno uzdižu, ona bliža vidljivom polu zalazi kasnije; ako se dvije tačke postavljaju istovremeno, onda ona koja se nalazi bliže vidljivom polu raste ranije.

Pokazujući dalje da će u slučaju kada je horizont nagnut prema osi, veliki krug koji prolazi kroz polove sfere (tj. meridijan) dva puta biti okomit na horizont za vrijeme njegovog okretanja (Propozicija 10), Autolik formuliše i dokazuje teorema (Propozicija 11), koja se u suštini bavi ekliptikom. Govorimo o tome kako izdizanje i postavljanje tačaka koje leže na ovom velikom krugu zavise od njegovog položaja u odnosu na horizont. Dokazano je da ako su obje nagnute prema osi, a ekliptika dodiruje dvije kružnice na sferi paralelne jedna drugoj i okomite na os, veće od onih koje dodiruje horizont, tada će tačke ekliptike uvijek imaju svoje uspone i zalaze na segmentu horizonta koji leži između paralelnih kružnica koje dodiruju ekliptiku.

Posljednja rečenica kaže: Ako fiksna kružnica na površini kugle uvijek polovi drugu kružnicu koja rotira sa sferom, a oba nisu okomita na osu i ne prolaze kroz polove, onda su to velike kružnice.

Autolikova rasprava "O izlascima i zalascima sunca", koja se sastoji od dvije knjige, zasnovana je na recenziranom eseju. Opisuje kretanje fiksnih zvijezda (knjiga 1), s posebnom pažnjom na dvanaest sazviježđa smještenih na; ekliptika (knjiga II). Ispostavlja se kada zvijezde izlaze i zalaze, imaju različite položaje na nebeskoj sferi, i pod kojim okolnostima su vidljive ili nevidljive.

Autolikovi spisi o sferi, koji su bili u prirodi elementarnih udžbenika, nisu izgubili na aktuelnosti ni u antici ni u srednjem vijeku. Sadržaj rasprave "O sferi koja se kreće" izneo je u 6. knjizi njegove "Matematičke zbirke" Papus iz Aleksandrije (3. vek nove ere). O značaju uloge Autolika u razvoju nauke pisalo je u 6. veku. Simplicije i Jovan Filopon. Grčki tekst oba njegova djela u potpunosti je sačuvan do danas.

Djela Autolika prevedena su na arapski u 9. i ranom 10. vijeku. među prvim grčkim spisima koji su izazvali interesovanje istočnjačkih naučnika. Prevod rasprave "O pokretnoj sferi" sa izvornog grčkog izvršio je poznati prevodilac Ishak ibn Hunayn (um. 910/911). Njegov savremeni astronom, filozof i ljekar Kusta ibn Luka al-Baalbaki (um. 912) preveo je raspravu O izlascima i zalascima sunca. Ove prijevode je zatim revidirao poznati matematičar i astronom Thabit ibn Korra (um. 901). Kasnije, u XIII veku. radove Autolika komentirao je istaknuti naučnik, šef opservatorije Maraga Nasir ad-Din at-Tusi (1201-1274).

U Evropi su arapske verzije Autolikovih djela postale poznate u 12. stoljeću. U to vrijeme, latinski prijevod rasprave "O pokretnoj sferi" napravio je najveći srednjovjekovni prevodilac Gerardo od Kremone (1114-1187).

Grčki tekst Autolikovih spisa, sačuvan u nekoliko rukopisa 10.-15. vijeka, privukao je pažnju naučnika u 16. vijeku, kada je u Evropi pod uticajem humanističkih ideja počelo pažljivo proučavanje antičkog naučnog nasleđa. Prvi put latinski; prevod oba traktata sa izvornog grčkog objavljen je u enciklopediji italijanskog prosvetitelja Džordža Bale (G. Valla, oko 1447-1500) 1501. godine, a potom i u zbirci antičkih spisa o sferi, koja je objavljena god. 1558. u Messini od Francesco Mavrolico (F. Maurolico, 1494-1575).

Aktivan rad na objavljivanju matematičkih i astronomskih radova antičkih autora odvijao se u tom periodu u Francuskoj, gdje ga je pokrenuo jedan od istaknutih ličnosti francuske renesanse, strastveni propagandista antičke nauke P. Ramus (P. Ramus , Pierre de la Ramée, 1515-1572); Posvećen je prvom grčkom izdanju Autolikovih djela, koje je izveo Konrad Dasipodije (Dasypodius, Conrad Rauchfuss, 1532-1600); objavljena je 1572. u Strazburu, zajedno sa latinskim prevodom. Drugi učenik Ramusa P. Forcadela (Pierre Forcadel, oko 1520-1574) objavio je 1572. francuski prijevod oba Autolikova traktata.

Godine 1587-1588. pojavilo se još jedno latinsko izdanje koje je napravio I. Auria (I. Auria) na nekoliko grčkih rukopisa iz Vatikanske biblioteke, a 1644. M. Mersenne (M. Megsenn, 1588-1648) objavio je skraćeni latinski prijevod djela Autolika dr. Grčki spisi o matematici i astronomiji.

Kompletno kritičko izdanje grčkog teksta Autolikovih rasprava, zajedno sa latinskim prijevodom, izvršio je 1855. F. Gulch. To je bila osnova njemačkog prijevoda A. Chvaline, objavljenog 1931. godine.

Konačno, J. Maugenet je 1950. poduzeo novo izdanje grčkog teksta, zasnovano na temeljnom proučavanju svih sačuvanih rukopisa; tekstu prethodi temeljna studija istorije evropskih izdanja Autolikovih dela. Godine 1971. u Bejrutu je objavljen engleski prijevod ovog teksta, koji je, međutim, izazvao ozbiljne kritike O. Neugebauera.

Autolikovi spisi privukli su pažnju mnogih istoričara astronomije i matematike. Proučavaju se i Autolikova teorija i tekst njegovih spisa. Pokazuje se, na primjer, da su dvije knjige koje čine "O izlasku i zalasku sunca" po svoj prilici dvije verzije istog djela.

Arapske verzije rasprava Autolik, koje su bile među „srednjim knjigama“, još uvijek su najmanje proučavane, iako postoje u brojnim rukopisima pohranjenim u raznim bibliotekama u Evropi i Aziji.

3. U drugoj polovini 4.st. BC e., pojavio se još jedan esej o sferi, po sadržaju blizak djelima Autolika, a napisao ga je njegov mlađi savremenik Euklid, poznati autor Početaka. U ovoj raspravi, pod naslovom "Fenomeni", Euklid umnogome ponavlja svog prethodnika, ali je kod njega mnogo jasnije izražena veza sfere i praktične astronomije.

Euklidov "Fenomeni" sastoji se od 18 rečenica. Prvi formuliše izjavu koja leži u osnovi geocentričnog sistema sveta da se Zemlja uzima kao centar univerzuma. Pošto položaj posmatrača na zemljinoj površini treba smatrati proizvoljnim, iz ove tvrdnje proizilazi da se u odnosu na ceo univerzum Zemlja smatra tačkom u kojoj se posmatrač nalazi.

Ponovivši u 2. i 3. rečenici sedmu Autolikovu teoremu iz rasprave „O pokretnoj sferi“, Euklid prelazi na proučavanje izlaska i zalaska znakova zodijaka - 12 sazviježđa smještenih na ekliptici, tj. svaki od dvanaest lukova, ekliptika, jednak je 30° i uslovno odgovara ovim sazvežđima. On dokazuje (propozicija 4) da ako se ekliptika ne siječe s najvećim od uvijek vidljivih krugova na nebeskoj sferi, tj. ako je geografska širina mjesta posmatranja manja od 66°, tada se prvo zalaze i sazviježđa koja se prva penju. ; ako se siječe s njim, odnosno ako je geografska širina mjesta promatranja veća od 66 °, tada se sazviježđa koja se nalaze na sjeveru dižu ranije i zalaze kasnije od onih koja se nalaze na jugu (prijedlog 5). Dakle, karakteristike izlaska i zalaska sazvežđa zavise od geografske širine mesta posmatranja, odnosno od veličine ugla između ose sveta i horizonta.

Pokazavši dalje da su izlazak i zalazak zvijezda koje se nalaze na suprotnim krajevima prečnika ekliptike suprotne jedna drugoj (propozicija 6), Euklid objašnjava jedanaestu teoremu iz Autolikove rasprave "O pokretnoj sferi": zvijezde smještene na ekliptici , tokom svog izlaska i zalaska, prelaze dio horizonta zatvorenog između tropskih krajeva, a ovo ukrštanje se dešava u stalnim tačkama (Propozicija 7).

Zatim dokazuje da se jednaki lukovi znakova zodijaka dižu i zalaze na nejednakim lukovima horizonta, što su veći, što su bliže ravnodnevici; u isto vrijeme, lukovi jednako udaljeni od ekvatora se uzdižu i postavljaju na jednake lukove horizonta (Propozicija 8).

Sljedeće teoreme se odnose na trajanje izlazaka i zalazaka sunca različitih znakova zodijaka. Prvo, ustanovljeno je da će vrijeme potrebno za izlazak polovine ekliptike biti različito u zavisnosti od položaja početne referentne tačke (Propozicija 9). Ovo odgovara tvrdnji o različitim dužinama dana i noći u različitim godišnjim dobima, kada je Sunce u različitim znakovima zodijaka. Zatim se razmatra vrijeme potrebno za izlazak i zalazak jednakih i suprotnih znakova zodijaka.

Rješenje pitanja koja je postavio Euklid bilo je izuzetno važno za drevne astronome, jer se ticalo metoda za određivanje sata dana i noći, uspostavljanja kalendara itd.

4. Tako su u razmatranim djelima Autolika i Euklida ocrtani temelji starogrčke sfere, teoretski i praktični. Oba autora su, međutim, slijedila neki raniji obrazac, jer su iznijeli brojne tvrdnje o sferi bez dokaza, vjerovatno smatrajući ih poznatima. Moguće je da je autor ovakvog dela o sferi, opštepriznatog u to vreme, bio veliki matematičar i astronom Eudoks iz Knida (oko 408-355 pne).

O ovom izgubljenom djelu sada sudi Teodosijeva Sfera, napisana kasnije, ali nesumnjivo ponavljajući svoj sadržaj u glavnom.

5. Postoje različita mišljenja o životu i biografiji Teodosija, zasnovana na često oprečnim izvještajima antičkih istoričara, koji su pogrešno spojili nekoliko figura koje su nosile ovo ime u jednoj osobi. Sada je utvrđeno da je autor Sfere došao iz Bitinije, a ne iz Tripolija, kako se ranije vjerovalo i ukazivalo u naslovima mnogih izdanja njegovih djela. Vjerovatno je živio u 2. polovini 2. vijeka prije nove ere. BC e., iako su ga obično nazivali Ciceronovim savremenikom (oko 50. pne.).

Pored Sfera, još dva Teodozijeva spisa, takođe uvrštena u broj „srednjih knjiga“, sačuvana su na izvornom grčkom jeziku. Najveća rasprava "O stanovima" sadrži 12 rečenica i posvećena je opisu zvjezdanog neba sa stanovišta posmatrača koji se nalaze na različitim geografskim širinama. Drugi traktat, pod naslovom "O danima i noćima" i koji se sastoji od dvije knjige, razmatra luk ekliptike kroz koji sunce putuje u jednom danu i ispituje uslove koji su potrebni, na primjer, da bi dan i noć zaista bili jednaki jedni drugima. na ravnodnevicama.

Ove spise proučavali su i komentarisali mnogi arapski naučnici i privukli su pažnju u Evropi u 16. veku, kada su otkriveni njihovi grčki rukopisi. Prvu od njih objavio je u latinskom prijevodu 1558. F. Mavroliko, zajedno s nizom drugih radova o sferi, a zatim je 1572. K. Dasipodius objavio grčku i latinsku formulaciju teorema iz ove rasprave u knjizi spomenuto iznad. Iste 1572. godine objavljen je francuski prijevod Teodosijevog djela u verziji Dasipodija, koju je napravio P. Forcadel. Sljedeća latinska izdanja nastala su 1587. (I. Auria) i 1644. (M, Mersenne). Potpuni grčki tekst rasprave "O stanovima" zajedno sa latinskim prijevodom objavio je R. Fecht tek 1927. godine. U istom izdanju po prvi put se reproducira i originalni tekst djela "Danima i noćima" i njegov latinski prijevod. Ranije je bio poznat zahvaljujući tekstovima rečenica na grčkom i latinskom koje je 1572. objavio K. Dasipodius i potpunom latinskom prijevodu u publikaciji I. Auria.

Teodosijevo najpoznatije djelo bila je njegova "Sfera", koja zauzima važno mjesto u istoriji astronomije, sferne trigonometrije i neeuklidske geometrije.

Teodosije detaljno proučava svojstva linija na površini sfere dobijene sečenjem različitim ravnima. Treba naglasiti da se sferni trokut u njemu još ne pojavljuje. Djelo je napravljeno po uzoru na Euklidove "Početke" i sastoji se od tri knjige. Prva knjiga, koja uključuje 23 rečenice, počinje sa šest definicija. Kugla je definisana kao "čvrsta figura ograničena jednom površinom, tako da su sve prave linije koje padaju na nju iz jedne tačke koja leži unutar figure jednake jedna drugoj", odnosno slično kao što je kružnica definisana u "Načelima" (knjiga I, 15. definicija) ; zanimljivo je primijetiti da sam Euklid u knjizi XI "Početaka" definira sferu na drugačiji način - kao tijelo nastalo rotacijom polukruga oko fiksnog prečnika (knjiga XI, 14. definicija). Dalje, data je definicija centra sfere, njene ose i polova. Pol kružnice nacrtane na sferi je definisan kao. tačka na površini kugle takva da su sve linije povučene kroz nju do obima kružnice jednake. Konačno, šesta definicija odnosi se na krugove na sferi jednako udaljene od njenog centra: prema Teodosiju, to su kružnice takve da su okomite povučene iz središta sfere na njihove ravni jednake jedna drugoj.

Rečenice knjige 1 su prilično elementarne: dokazano; posebno, da je svaki presjek kugle ravninom kružnica, da je prava linija povučena od središta sfere do centra kružnog presjeka okomita na ravan ovog presjeka, da sfera i ravan imaju jedna kontaktna tačka itd.

Knjiga 2 Teodosijevih sfera počinje definicijom dvaju krugova na sferi koja se dodiruju i sadrži 23 rečenice o svojstvima krugova koji su nagnuti jedan prema drugom.

Treća knjiga se sastoji od 14 rečenica, složenijih od prethodnih, a bavi se sistemima paralelnih i ukrštanih kružnica na sferi. Ovdje je razjašnjena uslužna uloga sfere u odnosu na astronomiju, iako su sve teoreme formulirane i dokazane čisto geometrijski.

Teodosijeva "Sfera" je pažljivo proučavana i u antici i u srednjem vijeku. To je komentarisao Papus iz Aleksandrije (3. vek) u 6. knjizi svoje Matematičke zbirke. U VI veku. Jovan Filopon, razmatrajući spise o sferi Euklida, Autolika i Teodosija, primećuje da potonji daje najopštiju apstraktnu prezentaciju subjekta, potpuno apstrahujući od stvarnih astronomskih objekata. Autolik, prema njegovom mišljenju, razmatra konkretniji slučaj, jer "čak i ako autor nema na umu nikakav konkretan predmet, onda se zahvaljujući kombinaciji sferne figure i pokreta približava stvarnosti". Najposebnije pitanje obrađeno je u Euklidovim "fenomenima", budući da su objekti koje proučava astronomija - nebo, sunce, zvijezde, planete - sasvim stvarni.

Teodosije je prvi put preveo "Sferu" na arapski u 9. veku. Kusta ibn Luka al-Baalbaki; njegov prijevod, doveden do 5. rečenice knjige II, završio je Thabit ibn Korra al-Harrani.

Postoje brojni komentari na ovo, kao i na druge Teodosijeve spise, koje su sastavili istočnjački naučnici 13.-15. veka. , među kojima su istaknuti matematičari i astronomi kao što su Nasir ad-Din at-Tusi (1201 - 1274), Yahya ibn Muhammad ibn Abi Shukr Mukhi ad-Din al-Maghribi (um. oko 1285), Muhammad ibn Ma "ruf Taqi ad-ibn Din (1525/1526-1585) i drugi.

Obrada Teodosijeve sfere, vlasništvo predstavnika poznate naučne škole Maraga iz 13. veka. Muhi ad-Din al-Maghribi, istražio je i djelomično preveo na francuski B. Kappa de Vaux. Ova rasprava skreće pažnju na astronomsku terminologiju, koja se koristi u prezentaciji i dokazivanju Teodosijevih teorema. Tako se ovdje, čak jasnije nego u grčkom originalu, pojavljuje veza sfere sa astronomijom, što objašnjava njenu relevantnost za istočnjačku nauku.

U Evropi je Teodosijeva sfera postala poznata u 12. veku, kada su se pojavila dva latinska prevoda ovog dela sa njegove arapske verzije. Napravili su ih eminentni prevodioci koji su radili u Španiji, Gerardo od Kremone i Platon iz Tivolija. Prijevod potonjeg objavljen je 1518. godine u Veneciji, naknadno ponovo objavljen 1529. u izdanju I. Voegelina (I. Voegelin, umro 1549.), a 1558. godine - spomenuta knjiga F. Mavrolika.

Grčki tekst "Sfere" je prvi put objavio J. Pena 1558. zajedno s latinskim prijevodom. Ovo izdanje je omogućilo da se razjasni razlika između arapske verzije Teodosijevog dela i originala i da se utvrdi koje su dodatke i promene u dokazu teorema napravili istočnjački naučnici. Međutim, grčki rukopis koji je koristio Pena patio je od mnogih nedostataka. Stoga je 1707. godine u Oksfordu I. Hunt poduzeo novo i poboljšano izdanje, unoseći neke ispravke na druge rukopise. Potom je grčki tekst djela (također sa latinskim prijevodom) ponovo štampan još dva puta: 1862. od strane E. Nicea i 1927. od strane I. Geiberga.

Počevši od druge polovine 16. stoljeća, na latinskom su se počela pojavljivati ​​skraćena i prilagođena izdanja Sfera u kojima su teoreme objašnjavane korištenjem novih matematičkih pojmova i pomoću sferne trigonometrije. Godine 1586. u Rimu je objavljeno izdanje X. Klavija (Ch. Clavius), a u 17.st. slijedilo je nekoliko drugih, uključujući izdanja M. Mersennea (1644) i I. Barrowa (1675).

Godine 1826. Sfera je objavljena u njemačkom prijevodu E. Nicea. Drugo njemačko izdanje djela izveo je 1931. A. Chvalina (zajedno sa traktatima Autolika). Prvi francuski prevod "Sfera", koji je napravio D. Henrion, objavljen je 1615. godine, sledeći, vlasništvo J.B. Dugamel (J. V. Du Hamel), - 1660. godine; konačno, 1927. godine pojavio se moderni prevod P. Ver Eeckea.

Radovi mnogih istoričara matematike (A. Knock, I. Geiberg, F. Gulch, P. Tannery, A. Bjornbo, itd.) posvećeni su proučavanju teksta i sadržaja Teodosijeve Sfere. u III- VII veka. i sačuvanih u grčkim rukopisima kasnijeg vremena, razmatran je odnos između Teodosijeve "Sfere" i Euklidovog "Fenomena" i drugih dela antičkih autora. Rezultati ovih studija omogućili su da se razjasni niz pitanja vezanih za istoriju matematike i astronomije, kao i biografije Euklida, Autolika, Teodosija i nekih komentatora njihovih dela.

6. Sadržaj grčkih radova o sferi blizak je malom djelu Hipsikla iz Aleksandrije (živio između 200. i 100. godine prije Krista), pod naslovom „O usponu sazviježđa duž ekliptike“ („Anaforika“). Hipsikle je najpoznatiji kao autor rasprave o pravilnim poliedrima, uključene u Euklidove elemente kao XIV. drugo njegovo djelo, o poligonalnim brojevima, koje nije sačuvano, citira se u Diofantovoj Aritmetici.

U raspravi "O usponu sazvežđa na ekliptici", koja se sastoji od šest rečenica, rešava se problem određivanja vremena potrebnog za izlazak ili zalazak svakog znaka zodijaka, koji zauzima 1/12 ekliptike, ili "stepen", tj. 1/30 dijelova ekliptike. Igrala je važnu ulogu u astrološkom rasuđivanju i stoga je uživala veliku popularnost u antici i srednjem vijeku. Problem se može riješiti pomoću sferne trigonometrije, ali Hipsikle, koji još nije imao takva sredstva, riješio ga je približno, koristeći mu poznate teoreme o poligonalnim brojevima. U ovom radu po prvi put dolazi do podjele obima kruga na 360 dijelova, što nije bio slučaj kod njegovih prethodnika, a posebno kod Autolika.

Rasprava o Hipsiklu bila je jedna od "srednjih knjiga" i prevedena je na arapski u 9. veku. Postoji mnogo rukopisa ovog prijevoda, ali on je dugo ostao neistražen i nije precizno utvrđeno da li ga je izvršio Kusta ibn Luka, al-Kindi ili Ishak ibn Hunayn. Preveo je arapsku verziju djela na latinski u 12. vijeku. Gerardo od Kremone.

Kritičko izdanje grčkog originala i latinskog prijevoda Gerarda od Kremone izveo je 1888. K. Manitius. Drugo izdanje, objavljeno 1966. godine, uključuje grčki tekst, sholiju i prijevod W. De Falcoa, arapski tekst i njemački prijevod M. Krausea, te uvodni članak O. Neugebauera.

7. Od svih drevnih spisa o sferi, najveću ulogu u istoriji nauke imala je Menelajeva "Sfera", koji je radio u Aleksandriji u 1. veku pre nove ere. n. e. i sumirajući sve rezultate koji su prije njega postignuti u ovoj oblasti. U njegovom radu se ne navodi samo geometrija na sferi, već je prvi put uveden sferni trokut, sukcesivno su dokazane teoreme koje su služile kao osnova sferne trigonometrije i stvorena teorijska osnova za trigonometrijske proračune.

Podaci o Menelajevom životu su izuzetno oskudni. Poznato je da je 98. godine vršio astronomska posmatranja u Rimu. Sfera, njegovo glavno djelo, nije sačuvana u izvornom grčkom jeziku i poznata je samo iz srednjovjekovnih arapskih prijevoda.

Sfera se sastoji od tri knjige i napravljena je po uzoru na Euklidove elemente. Prije svega, uvode se definicije osnovnih pojmova, uključujući koncept sfernog trokuta, koji se ne nalazi u ranijim grčkim djelima. Značajan dio rada posvećen je proučavanju svojstava ove figure.

Prilikom dokazivanja tvrdnji o svojstvima linija i figura na sferi oslanja se na definicije i teoreme iz Teodosijeve sfere. U 2. knjizi ove teoreme, kao i tvrdnje formulisane u astronomskom obliku u Euklidovim fenomenima i Hipsiklovoj Anaforici, sistematizovane su i opremljene novim rigoroznim dokazima.

Posebno važnu ulogu u istoriji trigonometrije imala je 1. rečenica knjige III, poznata kao „Menelajeve teoreme” (kao i „teoreme o potpunom četvorouglu”, „pravila šest veličina”, „teoreme o transverzalama” ”). Prema riječima A. Braunmühla, to je bio "temelj cjelokupne sferne trigonometrije Grka".

Menelajev teorem za ravan slučaj formuliše se na sledeći način: neka se daju prave AB, AC, BE i CD koje se međusobno seku, koje formiraju figuru ACGB (slika 1); tada vrijede sljedeće relacije:

CE / AE = CG / DG * DB / AB, CA / AE = CD / DG * GB / BE

Za sferni slučaj, u teoremi, kao što je bilo uobičajeno u grčkoj trigonometriji, pojavljuju se tetivi udvojenih lukova. Ako je data figura ACGB (slika 2) koju čine lukovi velikih krugova na površini sfere, tada su relacije važeće:

akord (2CE) / akord (2AE) = akord (2CG) / akord (2DG) * akord (2DB) / akord (2AB)

akord (2AC) / akord (2AE) = akord (2CD) / akord (2DG) * akord (2GB) / akord (2BE)

Menelaj je također dokazao nekoliko drugih teorema od fundamentalnog značaja za razvoj sferne trigonometrije. To uključuje takozvano "pravilo četiri veličine" (2. rečenica knjige III); ako su data dva sferna trokuta ABC i DEG (slika 3), koji imaju jednake (ili sabiraju do 180°) uglove A i D, C i G, tada

akord (2AB) / akord (2BC) = akord (2DE) / akord (2EG)

Treća rečenica III knjige Menelajevih "Sfera", koja je kasnije dobila naziv "pravila tangenata", glasi; šta ako su data dva pravokutna sferna trougla ABC i DEG (slika 4), za koje

akord (2AB) / akord (2AC) = akord (2ED) / akord (2GD) * akord (2BH) / akord (2ET)

LITERATURA

1. Geiberg I.L. Prirodne nauke i matematika u klasičnoj antici. Prevod od njega. S.P. Kondratiev, ur. sa predgovorom A.P. Juškevič, M-L., ONTI, 1936.

2. Sarton G. Uvažavanje antičke i srednjovjekovne nauke tokom renesanse, Philadelphia, 1953.

3 Steinschneider M. Die "mittleren" Bücher der Araber und ihre Bearbeiter, "Zeitschr. für Math. u. Phys.", Bd 10, 1.865, 456-498.

4. Suter H. Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke, "Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss.", N. 10, Leipzig, 1900.

5. Björnbo A. Studienüber Menelaus Sphärik. Beiträge zur Geschichte der Sphärik und Trigonometrie der Griechen, "Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss.", H. 14, Leipzig, 1902.

6. Mogenet J. Autolycos de Pitane. Histoire du texte, suivie de l "édition critique des traités de la Sphère en mouvement et des levers et couchers, Louvain, 1950.

7. Theodosii Shpaericorum elementorum Libri III. Extradicionale Mauro-lyci... Menelai Sphaericorum lib. III. Extradicionale eiusdem. Maurolyci, Sphaericorum libri II. Autolyci. De sphaera quae movetur liber. Teodosije. De habitationibus. Euclidis Phaenomena brevissime demonstrata. Demonstratio et praxis trium tabellarum scilicet sinus recti, foecundae, et beneficae ad spheraiia triangula pertinentum. Compendium mathematicae mira brevitate ex clarissimis authoribus. Maurolyci de sphaera sermo. Mesanae, 1558.

8. Mersenne M. Universae geometriae mixtaeque mathematicae sinopsis, Parisiis, 1644.

9. Auto1yci. De Sphaera quae movetur liber. D.e ortibus et occasibus libri duo, Willow cum scholiis antiquis o libris manuscriptis editit, latina interpretatione et commentariis instruxit F. Hultsch, Leipzig, 1885.

10. Euklidis. Opera omnia. Ed. J. L. Heiberg i H. Menge, t. VIII. Phaenomena et scripta musica, Lajpcig, 1916.

11. Tannery P. Recherches sur l "histoire sur l" astronomie ancienne, Pariz, 1893.

12. Carra de Vaux B. Notice sur deux manuscrits arabes. I. Remaniement des sphériques de Théodose par labia ibn Muhammad ihn Abi Schukr Almaghribi Aiandalusî, "Journal asiatique", 8. ser., t. 17, 1894, 287-295.

13. Teodosije Tripolit. Sphaerica. Hrsg, von J. L. Heiberg, "Abhandl. d. G.es. d. Wissenschaften zu Göttihgen", fil. hist, Klasse, N. F., Bd 19, br. 3, Berlin, 1927.

14. Hypsikles Die Aufgangszeiten der Gestirne, hrsg. und übers, von V. De Falco i M. Krause. Einführung von O. Neugebauer, "Abhandl. d. Akademie d. Wiss. zu Göttingen", phil-hist. Kl., F. 3, br. 62, Göttingen, 1966.

15. Krause M. Die Sphärik von Menelaos von Alexandrien in der Verbesserung von Abu Nasr Mansur b. Ali b. Iraq mit Untersuchungen zur Geschichte des Textes bei den islamischen Mathematikern, Berlin, 1936.

Bilješke

Primjerak ovog rijetkog izdanja dostupan je u Biblioteci. IN AND. Lenjin.

Primjerak je dostupan u Biblioteci Akademije nauka SSSR-a.

SFERIČNA TRIGONOMETRIJA

trigonometrija, matematička disciplina koja proučava odnose između uglova i stranica sfernih trouglova (vidi sferna geometrija). Neka su A, B, C uglovi, a a, b, c suprotne strane sfernog trougla ABC (vidi sliku). Uglovi i stranice sfernog trokuta povezani su sljedećim osnovnim formulama S. t.:

cos a cos b cos c + sin b sin c cos A, (2)

cos A - cos B cos C + sin B sin C cos a, (21)

sin a cos B cos b sin c - sin b cos c cos A, (3)

sin A cos b cos B sin C + sin B cos C cos a; (31)

u ovim formulama, stranice a, b, c mjere se odgovarajućim centralnim uglovima, dužine ovih stranica su aR, bR, cR, gdje je R polumjer sfere. Promjenom oznaka uglova (i stranica) prema pravilu kružne permutacije: A - B - C - A (a - b - c - a), možete napisati druge S. t. formule slične onima naznačenim. Formule sfernih trokuta omogućavaju određivanje preostala tri elementa iz bilo koja tri elementa sfernog trokuta (za rješavanje trokuta).

Za pravokutne sferne trokute (A 90 |, a - hipotenuza, b, c - kraci), S. t. formule su pojednostavljene, na primjer:

sin b sin a sin V,(1")

cos a cos b cos c, (2")

sin a cos B cos b sin c .(3")

Da biste dobili formule koje povezuju elemente pravokutnog sfernog trokuta, možete koristiti sljedeće mnemoničko pravilo (Napierovo pravilo): ako zamijenite krakove pravokutnog sfernog trokuta njihovim komplementima i rasporedite elemente trokuta (isključujući pravi ugao A) oko kruga redom kojim se nalaze u trokutu (odnosno, kako sledi: B, a, C, 90 | - b, 90 | - c), tada je kosinus svakog elementa jednak proizvod sinusa nesusednih elemenata, na primer,

cos a sin (90| - c) sin (90 | - b)

ili, nakon transformacije,

cos a cos b cos c (formula 2").

Prilikom rješavanja problema zgodne su sljedeće Delambre formule koje povezuju svih šest elemenata sfernog trokuta:

Prilikom rješavanja mnogih problema sferne astronomije, ovisno o traženoj tačnosti, često je dovoljno koristiti približne formule: za male sferne trokute (odnosno one čije su stranice male u odnosu na polumjer sfere) možete koristiti formule ravni trigonometrije; za uske sferne trokute (odnosno one u kojima je jedna strana, na primjer a, mala u odnosu na druge), vrijede sljedeće formule:

ili preciznije formule:

S. t. je nastao mnogo ranije od ravne trigonometrije. Svojstva pravokutnih sfernih trouglova, izražena formulama (1")-(3"), i različiti slučajevi njihovog rješavanja bili su poznati čak i grčkim naučnicima Menelaju (1. vek) i Ptolomeju (2. vek). Grčki naučnici sveli su rješenje kosih sfernih trouglova na rješenje pravokutnih. Azerbejdžanski naučnik Nasiraddin Tuei (13. vek) sistematski je ispitivao sve slučajeve rešavanja kosih sfernih trouglova, po prvi put ukazavši na rešenje u dva najteža slučaja. Osnovne formule za kose sferne trouglove pronašli su arapski naučnik Abul-Vefa (10. vek) [formula (1)], nemački matematičar I. Regiomontan (sredina 15. veka) [formule poput (2)] i Francuzi matematičar F. Viet (2. polovina 16. veka) [formule tipa (21)] i L. Euler (Rusija, 18. vek) [formule tipa (3) i (31)]. Euler (1753. i 1779.) dao je čitav sistem formula za S. T. Neke formule za S. T. pogodne za praksu uspostavili su škotski matematičar J. Napier (kraj 16. - početak 17. st.), engleski matematičar G. 17. st., ruski astronom A. I. Leksel (druga polovina 18. veka), francuski astronom J. Delambre (kraj 18. - početak 19. veka) i drugi.

Lit. vidi u čl. sferna geometrija.

Velika sovjetska enciklopedija, TSB. 2012

Pogledajte i tumačenja, sinonime, značenja riječi i šta je SFERNA TRIGONOMETRIJA na ruskom u rječnicima, enciklopedijama i referentnim knjigama:

• SFERIČNA TRIGONOMETRIJA
  
• SFERIČNA TRIGONOMETRIJA
  grana matematike koja proučava odnose između stranica i uglova sfernih trokuta (tj. trokuta na površini kugle) nastalih kada ...
• TRIGONOMETRIJA u Velikom enciklopedijskom rječniku:
  (od grčkog trigonon - trokut i ... metrika) grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihove primjene na ...
• TRIGONOMETRIJA
  (od grč. trigonon - trouglovi - metrika), grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihove primjene na geometriju. …
• TRIGONOMETRIJA u Enciklopedijskom rječniku Brockhausa i Euphrona.
• TRIGONOMETRIJA u Modernom enciklopedijskom rječniku:
  
• TRIGONOMETRIJA
  (od grčkog trigonon - trokut i ... metar), grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihove primjene na geometriju. Odvojeno…
• TRIGONOMETRIJA u Enciklopedijskom rječniku:
  i pl. sad. Grana matematike koja proučava odnose između stranica i uglova trougla. Trigonometrija - koja se odnosi na trigonometriju.||Usp. ALGEBRA, ...
• TRIGONOMETRIJA u Enciklopedijskom rječniku:
  , -i, f. Grana matematike koja proučava odnose između stranica i uglova trougla. II adj. trigonometrijski, -ti, ...
• TRIGONOMETRIJA
  TRIGONOMETRIJA (od grč. trigonon - trougao i ... metrika), dio matematike, u kojem se proučava trigonometrija. funkcije i njihove primjene na ...
• SFERIČNO u Velikom ruskom enciklopedijskom rečniku:
  SFERIČNA TRIGONOMETRIJA, grana matematike u kojoj se proučavaju odnosi između stranica i uglova sfernih objekata. trokuti (tj. trokuti na površini kugle) formirani od ...
• SFERIČNO u Velikom ruskom enciklopedijskom rečniku:
  SFERNA GEOMETRIJA, grana matematike u kojoj se proučava geom. figure na sferi. Development S.g. u antici antike je bio povezan sa zadacima ...
• SFERIČNO u Velikom ruskom enciklopedijskom rečniku:
  SFERNA ASTRONOMIJA, grana astronomije koja razvija matematiku. metode za rješavanje problema vezanih za proučavanje prividne lokacije i kretanja prostora. tijela (zvijezde, sunce,...
• SFERIČNO u Velikom ruskom enciklopedijskom rečniku:
  SFERIČNA ABERACIJA, izobličenje slike u optičkom. sistema zbog činjenice da svjetlosni zraci iz tačkastog izvora koji se nalazi na optičkom. sjekire...
• TRIGONOMETRIJA* u Enciklopediji Brockhausa i Efrona.
• TRIGONOMETRIJA u potpuno naglašenoj paradigmi prema Zaliznyaku:
  trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija, trigonometrija,
• TRIGONOMETRIJA u Novom rječniku stranih riječi:
  (gr. trigonon trougao + ... metrika) grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihovu primjenu na rješavanje problema, gl. arr. geometrijski; …
• TRIGONOMETRIJA u Rječniku stranih izraza:
  [gr. trigonon trougao + ... metrika] grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihovu primjenu na rješavanje problema, pogl. arr. geometrijski; t. …
• TRIGONOMETRIJA u Novom objašnjavajućem i derivacionom rečniku ruskog jezika Efremova:
  
• TRIGONOMETRIJA u Kompletnom pravopisnom rječniku ruskog jezika:
  trigonometrija...
• TRIGONOMETRIJA u pravopisnom rječniku:
  trigonomija ʻetrija, ...
• TRIGONOMETRIJA u Rječniku ruskog jezika Ozhegov:
  grana matematike koja proučava odnose između stranica i uglova...
• TRIGONOMETRIJA u Dahlovom rječniku:
  grčki matematika trouglova; nauka o tome da se to izračuna konstruisanjem trouglova. -trijanski premjer i triangulacija, snimanje terena prema ...
• TRIGONOMETRIJA u Modernom eksplanatornom rječniku, TSB:
  (od grčkog trigonon - trokut i ... metrika), grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihove primjene na ...
• TRIGONOMETRIJA u Objašnjavajućem rječniku ruskog jezika Ushakov:
  trigonometrija, pl. sad. (od grčkog trigonos - trokut i metreo - mjera) (mat.). Katedra za geometriju o odnosu strana...
• TRIGONOMETRIJA u objašnjavajućem rečniku Efremove:
  trigonometrija Grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihovu primjenu na rješavanje ...
• TRIGONOMETRIJA u Novom rečniku ruskog jezika Efremova:
  i. Grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihovu primjenu na rješavanje ...
• TRIGONOMETRIJA u Velikom modernom objašnjavajućem rečniku ruskog jezika:
  i. Grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihovu primjenu na rješavanje ...
• SFERIČNA GEOMETRIJA u Velikoj sovjetskoj enciklopediji, TSB:
  geometrija, matematička disciplina koja proučava geometrijske slike koje se nalaze na sferi, baš kao što planimetrija proučava geometrijske slike koje se nalaze na ravni. Svaki…
• bonsai u Ilustrovanoj enciklopediji cvijeća:
  Bonsai stilovi U prirodi se izgled drveća formira ovisno o mjestu rasta i pod utjecajem prirodnih faktora. Prtljažnik ...
• BULLET Ilustrovana enciklopedija oružja:
  SFERIČNO - vidi kuglični metak...
• PADDUGA u Eksplanatornom građevinskom i arhitektonskom rječniku:
  - sferna površina koja se nalazi iznad strehe u prostoriji. Podloga stvara prijelaz iz ravni zida na površinu...
• INĆUNI u Enciklopediji biologije:
  , rod riba. inćun neg. haringa. 8 vrsta, rasprostranjenih u obalnim morskim vodama tropskih i umjerenih zona obje hemisfere. …
• ČUMAKOV FEDOR IVANOVICH
  Čumakov (Fjodor Ivanovič) - profesor primenjene matematike na Moskovskom univerzitetu (1782 - 1837). Sin kapetana, primljen je u broj...
• SAVICH ALEXEY NIKOLAEVICH u Kratkoj biografskoj enciklopediji:
  Savič (Aleksej Nikolajevič, 1810 - 1883) - poznati ruski astronom, član Akademije nauka (od 1862); 1829. diplomirao je ...
• ZELENI SEMJON ILJIČ u Kratkoj biografskoj enciklopediji:
  Zeleni (Semen Iljič) - Admiral (1810. - 1892.). Odgajan je u mornaričkom korpusu. Astronomsko obrazovanje završio je u Jurjevu, pod vodstvom ...
• TROUGAO (U GEOMETRIJI) u Velikoj sovjetskoj enciklopediji, TSB:
  pravolinijski, dio ravni omeđen sa tri segmenta (stranice T.), koji imaju u paru jedan zajednički kraj (vrhovi T.). T., koji ima...
• SFERIČNI TROUGAO u Velikoj sovjetskoj enciklopediji, TSB:
  trougao, geometrijska figura formirana lukovima tri velika kruga koji spajaju u paru tri bilo koje tačke na sferi. O posjedima S. t. i ...
• SFERA (MAT.) u Velikoj sovjetskoj enciklopediji, TSB:
  (matematički), zatvorena površina, čije su sve tačke jednako udaljene od jedne tačke (centra S.). Segment koji povezuje centar S. sa bilo kojim od njegovih ...
• SUPER SCHMIDT u Velikoj sovjetskoj enciklopediji, TSB:
  (Njemački Super-Schmidt-Spiegel), teleskopski sistem zrcalnih leća u kojem se sferna aberacija konkavnog sfernog ogledala koriguje složenom kombinacijom Schmidtove korekcijske ploče (vidi ...

Sferna trigonometrija u Enciklopedijskom rječniku:
Sferna trigonometrija je grana matematike koja proučava odnose između stranica i uglova sfernih trouglova (tj. trouglova na površini sfere) nastalih kada se tri velika kruga seku. Sferna trigonometrija je usko povezana sa sfernom astronomijom.

Definicija "Sferične trigonometrije" od strane TSB-a:
Sferna trigonometrija je matematička disciplina koja proučava odnose između uglova i stranica sfernih trouglova (vidi Sferna geometrija). Neka su A, B, C uglovi, a a, b, c suprotne strane sfernog trougla ABC (vidi sliku). Uglovi i stranice sfernog trokuta povezani su sljedećim osnovnim formulama S. t.:

sin a grijeh A = grijeh b grijeh B = grijeh c grijeh C ,	(1)
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A,	(2)
cos A = − cos B cos C + sin B sin C cos a,	(21)
sin a cos B = cos b sin c - sin b cos c cos A,	(3)
sin A cos b = cos B sin C + sin B cos C cos a;	(31)

u ovim formulama, stranice a, b, c mjere se odgovarajućim centralnim uglovima, dužine ovih stranica su aR, bR, cR, respektivno, gdje je R polumjer sfere. Promjena oznaka uglova (i stranica) prema pravilu kružne permutacije:
A → B → C → A (a → b → c → a), mogu se napisati druge S. t. formule slične onima naznačenim. Formule sfernih trokuta omogućavaju određivanje preostala tri elementa iz bilo koja tri elementa sfernog trokuta (za rješavanje trokuta).
Za pravokutne sferne trokute (A \u003d 90 °, a je hipotenuza, b, c su noge), S. t. formule su pojednostavljene, na primjer:

sin b = sin a grijeh B,	(jedan')
cos a = cos b cos c,	(2')
sin a cos B = cos b sin c.	(3')

Da biste dobili formule koje se odnose na elemente pravokutnog sfernog trokuta, možete koristiti sljedeće mnemoničko pravilo (Napierovo pravilo): ako zamijenite krakove pravokutnog sfernog trokuta njihovim dopunama i rasporedite elemente trokuta (isključujući pravi ugao A) oko kruga redom kojim se nalaze u trokutu (odnosno, kako sledi: B, a, C, 90° - b, 90° - c), tada je kosinus svakog elementa jednak proizvod sinusa nesusednih elemenata, na primer,
cos a \u003d sin (90 ° - c) sin (90 ° - b)
ili, nakon transformacije,
cos a = cos b cos c (formula 2′).
Prilikom rješavanja problema zgodne su sljedeće Delambre formule koje povezuju svih šest elemenata sfernog trokuta:
sin 1⁄2a cos 1⁄2(B−C) = sin 1⁄2A sin 1⁄2(b+c)

sin 1⁄2a sin 1⁄2(B−C) = cos 1⁄2A sin 1⁄2(b−c)

cos 1⁄2a cos 1⁄2(B+C) = sin 1⁄2A cos 1⁄2(b+c)

cos 1⁄2a sin 1⁄2(B+C) = cos 1⁄2A cos 1⁄2(b−c)
Prilikom rješavanja mnogih problema sferne astronomije, ovisno o traženoj tačnosti, često je dovoljno koristiti približne formule: za male sferne trokute (odnosno one čije su stranice male u odnosu na polumjer sfere) možete koristiti formule ravni trigonometrije; za uske sferne trokute (odnosno one u kojima je jedna strana, na primjer a, mala u odnosu na druge), vrijede sljedeće formule:

(jedan'")

a cos B ≈ c−b

+

aÍ 2

sinÍ B tg c

.

(3′″)

S. t. je nastao mnogo ranije od ravne trigonometrije. Svojstva pravokutnih sfernih trouglova, izražena formulama (1)-(3), i različiti slučajevi njihovog rješavanja bili su poznati čak i grčkim naučnicima Menelaju (1. vek) i Ptolomeju (2. vek). Grčki naučnici sveli su rješenje kosih sfernih trouglova na rješenje pravokutnih. Azerbejdžanski naučnik Nasiraddin Tuei (13. vek) sistematski je ispitivao sve slučajeve rešavanja kosih sfernih trouglova, po prvi put ukazavši na rešenje u dva najteža slučaja. Osnovne formule za kose sferne trouglove pronašli su arapski naučnik Abul-Vefa (10. vek) [formula (1)], nemački matematičar I. Regiomontan (sredina 15. veka) [formule poput (2)] i Francuzi matematičar F. Viet (2. polovina 16. veka) [formule tipa (21)] i L. Euler (Rusija, 18. vek) [formule tipa (3) i (31)]. Euler (1753. i 1779.) dao je čitav sistem formula za S. T. Neke formule za S. T. pogodne za praksu uspostavili su škotski matematičar J. Napier (kraj 16. - početak 17. st.), engleski matematičar G. 17. st., ruski astronom A. I. Leksel (druga polovina 18. veka), francuski astronom J. Delambre (kraj 18. - početak 19. veka) i drugi.
Lit. vidi u čl. sferna geometrija.
Rice. do čl. Sferna trigonometrija.