Центральные (перспективные) проекции.

В центральных проекциях грани отображаемого объекта, параллельные картинной плоскости, изображаются без искажения формы, но с искажением размера.

Рисунок 24 Центральные проекции куба: а) одноточечная, б) двухточечная, в) трехточечная.

Центральные проекции любой совокупности параллельных прямых, которые не параллельны картинной плоскости, будут сходиться в точке схода . Точка схода прямых, параллельных одной из координатных осей, называетсяглавной точкой схода . Т.к. координатных осей три, то и главных точек схода не может быть больше трех.

В зависимости от расположения осей координат и картинной плоскости различают одно-, двух- и трехточечные центральные проекции.

Одноточечная проекция получается, когда картинная плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей (или параллельна ей). Т.е., только одна ось координат не параллельна картинной плоскости и имеет главную точку схода.

Двухточечная проекция получается, когда только одна из координатных осей параллельна картинной плоскости. Две другие оси координат не параллельны картинной плоскости и имеют две главные точки схода. При изображении объектов, расположенных на поверхности земли, наиболее часто используется двухточечная проекция, при которой картинной плоскости параллельна вертикальная ось координат. Обе главные точки схода расположены на одной горизонтальной линии – линии горизонта (рис. 6.5). Притрехточечной проекции все три координатные оси не параллельны картинной плоскости и, следовательно, имеются три главные точки схода.

Рассмотрим более подробно случай одноточечного проецирования точки Р на плоскостьz = 0 с центром проецированияС , лежащим на осиz (рис.25).

Точка A проецируется на экран какA . Расстояние от наблюдателя до проекционной плоскости равноk. Необходимо определить координаты точкиA на экране. Обозначим ихx э иy э. Из подобия треугольниковA y A z N иy э ON находим, что

(x.9)

аналогично для x:

. (x.10)

Рис. 25. Вывод формул центральной проекции.

Рис. 26. Другой способ вычисления координат точек в центральной перспективной проекции.

Напомним, что k -это расстояние, а наблюдатель находится в точке N = (0,0,-k ). Если точку наблюдения поместить в начало координат, а проекционную плоскость на расстояниеa , как показано на рисунке 26, то формулы дляx э и y э примут вид:

,
(x.11)

Формулы (x.10) более удобны при необходимости простым образом приближать или удалять наблюдателя от проекционной плоскости. Формулы (x.11) требуют меньше времени для вычислений за счет отсутствия операции сложения.

Рассмотрим точку трехмерного пространства (a , b , c ). Если представить эту точку как однородное представление точки двумерного пространства, то ее координаты будут (a / c , b / c ). Сравнивая эти координаты со вторым видом формул, выведенных для центральной перспективной проекции, легко заметить, что двумерное представление точки с координатами (a , b , c ) выглядит как ее проекция на плоскостьz = 1, как показано на рис. 27.

Рис. 27. Проекция точки (a , b , c ) на плоскость z = 1.

Аналогично, рассматривая применение однородных координат для векторов трехмерного пространства, можно представить трехмерное пространство как проекцию четырехмерного пространства на гиперплоскость w = 1, если (x , y , z )(wx , wy , wz , w ) = (x , y , z , 1). .

В однородных координатах преобразование центральной перспективы можно определить матричной операцией. Эта матрица записывается в виде:

Покажем, что эта матрица определяет преобразование точки объекта, заданной в однородных координатах, в точку перспективной проекции (также в однородных координатах). Пусть p = (x , y , z ) – точка в трехмерном пространстве. Ее однородное представлениеv = (wx , wy , wz , w ). УмножимvнаP :

это в точности повторяет формулы (x.10), выведенные для центральной перспективы.

Из-за особенностей человеческого зрения к удаленным от наблюдателя объектам лучше применять перспективную проекцию, к достаточно близким (на расстоянии вытянутой руки) – ортографическую или аксонометрическую, а к еще более близким объектам – обратную перспективную проекцию.

Для создания стереоизображений используются две центральные проекции, центры которых совпадают с расположением глаз гипотетического наблюдателя, т.е. они расположены на некотором расстоянии друг от друга на прямой, параллельной картинной плоскости. После выполнения проецирования получают два изображения объекта – для левого и правого глаза. Устройство вывода должно обеспечивать подачу этих изображений к каждому глазу пользователя отдельно. Для этого может использоваться система цветных или поляризационных фильтров. Более сложные устройства вывода (например, шлемы) подают каждое из изображений на отдельные экраны для каждого глаза.

Все рассмотренные выше проекции относятся к классу плоских геометрических проекций, т.к. проецирование производится на плоскость (а не искривленную поверхность) и с помощью пучка прямых линий (а не кривых). Этот класс проекций наиболее часто используются в компьютерной графике. В отличие от нее, в картографии часто используются неплоские или негеометрические проекции.

Для детального описания методов отслеживания точечных особенностей, калибровки камеры и реконструкции трехмерных объектов необходимо ввести модель перспективной проектирования и описать геометрические свойства этого преобразования. Точки нескольких изображений, полученных с помощью перспективной проекции, находятся в особых отношениях друг с другом, которые описываются эпиполярной геометрией. Модели этих отношений должны быть подробно рассмотрены, т.к. практически все методы трехмерной реконструкции требуют оценки соответствующих моделей и опираются на их свойства.

Необходимо отметить отдельно предположение, что на всех исходных изображениях запечатлена одна и та же сцена, т.е. каждое изображение является видом сцены с какой-то определенной камеры. Поэтому для удобства описания вводится понятие вида, как изображение с ассоциированной с ним моделью камеры, с которой оно было получено.

Перспективная проекция

Модель перспективной проекции соответствует идеальной камере-обскуре. Эта модель довольно точно соответствует процессу построения изображения в большинстве современных фото- и видеокамер. Однако из-за ограничений современной оптики реальный процесс несколько отличается от модели камеры-обскуры. Отличия реального процесса от модели называются искажениями и моделируются отдельно.

Модель простейшей камеры-обскуры удобна тем, что она полностью описывается центром проекции и положением плоскости изображения. Поэтому проекция любой точки сцены на изображении может быть найдена как пересечение луча, соединяющего центр проекции и точку сцены, с плоскостью изображения.

Простейшая модель перспективной проекции

Рассмотрим простейший случай, когда центр проекции камеры (фокус) помещен в начало системы координат, и плоскость изображения совпадает с плоскостью Z=1. Пусть (X,Y,Z) - координаты точки в 3-х мерном пространстве, а (x,y) - проекция этой точки на изображение I. Перспективная проекция в этом случае описывается следующими уравнениями:

В матричной форме с использованием однородных координат эти уравнения переписываются в следующем виде:

(2.2)

Плоскость, расположенная на расстоянии 1 от центра проекции, и перпендикулярная оптической оси называется идеальной плоскостью изображения. Оптическая ось пересекает идеальную плоскость изображения в точке с, называемой принципиальной точкой. Иллюстрация простейшего случая перспективной проекции приведена на рис. 1.

Внутренняя калибровка камеры

Простейший случай перспективной проекции практически всегда не соответствует реальной камере. Расстояние от центра проекции до плоскости изображения, т.е. фокусное расстояние, обозначаемое f, обычно не равно 1. Также координаты точки в плоскости изображения могут не совпадать с абсолютными координатами. При использовании цифровой камеры, соотношение между координатами точки в изображении и абсолютными координатами точки на идеальной плоскости, определяется формой и размерами пикселов матрицы.

Обозначим размеры пиксела матрицы цифровой камеры за p x , p y , угол наклона пиксела за α, а принципиальную точку за , рис.2. Тогда координаты точки (x,y) в изображении, соответствующей точке (x R , y R) на идеальной плоскости, определяются выражением:

(2.3)

Если за f x ,f y обозначить фокусное расстояние f, измеренное в ширинах и высотах пикселей, а tan(α)*f/p y обозначить как s, то формула 2.3 преобразуется в:

(2.4)

Матрица K называется матрицей внутренней калибровки камеры. В большинстве случаев у реальных цифровых камер угол наклона пикселей близок к прямому, т.е. параметр s=0, а ширина и высота пикселя равны. Принципиальная точка обычно располагается в центре изображения. Поэтому матрица K может быть записана в виде:

(2.5)

Это предположение о виде матрицы K широко используются для упрощения алгоритмов определения внутренней калибровки камеры, а также при синтетическом моделировании изображений, необходимых для оценки качества и эффективности методов трехмерной реконструкции.

Внешняя калибровка камеры

Пусть M - точка сцены в 3-х мерном пространстве. Любое движение является евклидовым преобразованием пространства, поэтому в однородных координатах оно выражается как:

(2.6)

где R - матрица вращения, T= T - вектор переноса.

Движение камеры относительно сцены эквивалентно обратному движению точек сцены относительно камеры, поэтому равно:

(2.7)

где R, T - матрица вращения и вектор перемещения камеры относительно сцены. Матрица С называется матрицей внешней калибровки камеры. Матрица C -1 называется матрицей движения камеры . Таким образом, матрица внешней калибровки камеры переводит координаты точек сцены из системы координат сцены в систему координат, связанную с камерой.

Полная модель перспективной проекции

Из выражений 2.1, 2.4, 2.7 можно вывести выражение произвольной перспективной проекции для любой камеры с произвольной ориентацией и положением в пространстве:

В более краткой форме с учетом предыдущих обозначений эта формула может быть записана как:

Матрица P называется матрицей проекции камеры.

По аналогии с общим перспективным преобразованием рассмотрим вначале простейший случай перспективного преобразования плоскости. Пусть плоскость p совпадает с плоскостью Z=0, тогда однородные трехмерные координаты любой ее точки M=. Для любой камеры с матрицей проекции P, перспективное преобразование плоскости описывается матрицей размерности 3*3:

Поскольку любую плоскость в 3-х мерном пространстве можно перевести в плоскость Z = 0 евклидовым преобразованием поворота и переноса, что эквивалентно домножению матрицы камеры P на матрицу преобразования L, то перспективное отображение произвольной плоскости в пространстве описывается линейным преобразованием с матрицей размерности 3*3.

Перспективное преобразование плоскости также называется гомографией . В матричной форме перспективное преобразование плоскости записывается как m=HM .

Геометрия двух изображений

Запечатленная на всех исходных изображениях сцена считается неподвижной, поэтому взаимное расположение проекций точек сцены на разных кадрах не может меняться произвольным образом. Ограничения, накладываемые на расположение проекций точек, очевидно зависят от параметров камер и их положения друг относительно друга. Поэтому определение моделей таких ограничений дает часть информации о взаимном расположении камер, с которых были получены изображения.

Перспективное преобразование плоскости

Если центры двух камер совпадают, то точки на плоскостях изображения обеих камер переводятся друг в друга перспективным преобразованием плоскости. В этом случае, преобразование точек между изображениями не зависит от формы 3-х мерной сцены, а зависит только от взаимного положения плоскостей изображений.

Если вся сцена или ее часть представляет собой плоскость, то ее изображения на разных видах с несовпадающими центрами камер, можно перевести друг в друга преобразованием гомографии. Пусть p - наблюдаемая плоскость, H 1 - преобразование гомографии между плоскостью p и изображением I 1 , H 2 - преобразование гомографии между плоскостью p и изображением I 2 . Тогда преобразование гомографии H 12 между изображениями I 1 и I 2 можно вывести следующим образом:

H 12 не зависит от параметризации плоскости p, а значит не зависит и от системы координаты в пространстве

Большинство методов определения координат 3х мерных точек по их проекциям и методов реконструкции 3-х мерной сцены, опираются на предположение о движении центра камеры между видами. Поэтому при совпадении центров камер нескольких видов эти методы будут давать некорректные результаты. Такие конфигурации камер должны обнаруживаться и обрабатываться специальным образом.

Поскольку преобразование гомографии записано в однородных координатах, то матрица H определена с точностью до масштаба. Она имеет 8 степеней свободы, и параметризируется 8 переменными. Каждое известная пара соответствующих точек m 1 и m 2 на первом и втором изображении соответственно дает 2 линейных уравнения от элементов матрицы H. Поэтому 4-х известных пар соответствующих точек достаточно для составления системы линейных уравнений из 8 уравнений с 8 неизвестными. По этой системе гомография H может быть однозначно определена, если никакие три из точек не лежат на одной прямой.

Фундаментальная матрица

Рассмотрим случай, когда центры камер двух видов не совпадают. Пусть C 1 и C 2 - центры двух камер, M - 3-х мерная точка сцены, m 1 и m 2 - проекции точки M на первое и второе изображение соответственно. Пусть П - плоскость, проходящая через точку M и центры камер C 1 и C 2 . Плоскость П пересекает плоскости изображений первого и второго видан по прямым l 1 и l 2 . Поскольку лучи C 1 M и C 2 M лежат в плоскости П, то очевидно, что точки m 1 и m 2 лежат на прямых l 1 и l 2 соответственно. Можно дать более общее утверждение, что проекции любой точки M", лежащей в плоскости П, на оба изображения должны лежать на прямых l 1 и l 2 . Эти прямые называются эпиполярными линиями. Плоскость П называются эпиполярной плоскостью.

Два вида одной и той же сцены называются стереопарой, а отрезок C 1 C 2 , соединяющий центры камер, называется базой стереопары (baseline) или стереобазой. Любая эпиполярная плоскость проходит через отрезок C 1 C 2 . Пусть C 1 C 2 пересекает первое и второе изображение в точках e 1 и e 2 соответственно. Точки e 1 и e 2 называются эпиполярными точками или эпиполями. Все эпиполярные линии пересекаются в точках e 1 и e 2 на первом и втором изображении соответственно. Множество эпиполярных плоскостей представляет собой пучок, пересекающийся по стереобазе C 1 C 2 . Множество эпиполярных линий на обоих изображений также представляют собой пучки прямых, пересекающихся в e 1 и e 2 .

Точки m 1 и m 2 называются соответствующими, если они являются проекциями одной и той же точки сцены M. Эпиполярные линии l 1 и l 2 называются соответствующими, если они лежат в одной и той же эпиполярной плоскости П. Если эпиполярная плоскость П проходит через точку m 1 , тогда эпиполярные линии l 1 и l 2 , лежащие в ней, называются соответствующими точке m 1 .

Ограничение на положение соответствующих точек m 1 и m 2 , вытекающей из эпиполярной геометрии, можно сформулировать следующим образом: точка m 2 , соответствующая m 1 , должна лежать на эпиполярной линии l 2 , соответствующей m 1 . Это условие называется эпиполярным ограничением. В однородных координатах условие того, что точка m лежит на линии l записывается как l T m=0 . Эпиполярная линия проходит также через эпиполярную точку. Уравнение прямой, проходящей через точки m 1 и e 1 можно записать как:

l 1 ∼ x m 1 ,

где x - антисимметричная матрица размерности 3*3 такая что, x m 1 - векторное произведение m 1 и e 1 .

Для соответствующих эпиполярные линий l 1 и l 2 верно:

где P + - псевдоинверсия матрицы P.

Матрица F называется фундаментальной матрицей. Она представляет собой линейный оператор, сопоставляющей каждой точке m 1 соответствующую ей эпиполярную линию l 2 . Для каждой пары соответствующих точек m 1 и m 2 верно

m T 2 Fm 1 =0

Это формулировка эпиполярного ограничения через фундаментальную матрицу.

Фундаментальная матрица имеет 7 степеней свободы. Каждая пара соответствующих точек m 1 и m 2 задает одно линейное уравнение на элементы матрицы, поэтому она может быть вычислена по известным 7 парам соответствующих точек.

Эпиполярное ограничение справедливо для любых пар соответствующих точек, расположенных на идеальных плоскостях двух видов. Если известны матрицы внутренней калибровки K 1 и K 2 камер обоих видов, то эпиполярное ограничение для соответствующих точек на идеальных плоскостях записывается как:

Матрица E называется существенной матрицей. Можно показать, что существенная матрица также может быть получена из взаимного расположения камер.

Пусть P 1 =(I|0) и P 2 =(R|-RT) - две матрицы проектирования с калибровкой K = I. Тогда уравнения проектирования на идеальную плоскость обеих камер записываются в виде:

Найдем эпиполярную линию на втором виде, соответствующую точке m" 1 на первом. Для этого достаточно спроектировать на второй вид две точки, лежащие на луче (C 1 ,m" 1) на второй вид, например центр первой камеры (0,0,0,1) T и точку на плоскости бесконечности (x" 1 ,y" 1 ,z" 1 ,0) T . Проекциями этих точек будут являться соответственно -RT, и R(x" 1 ,y" 1 ,z" 1 ,0) T . Уравнение эпиполярной линии l 2 , проходящей через обе этих точки задается как векторное произведение:

l 2 =RT×R(x" 1 ,y" 1 ,z" 1) T =R(T×(x" 1 ,y" 1 ,z" 1) T)

В матричной форме векторне произведение T×(x" 1 ,y" 1 ,z" 1) T можно записать с помощью матрицы S:

Тогда эпиполярное ограничение на точки в идеальной плоскости записывается как:

Выражение существенной матрицы через параметры внешней калибровки двух камер используется для вычисления относительного положения камер.

Геометрические свойства трех и более изображений

Пусть C 1 ,C 2 и C 3 - центры трех видов одной и той же трехмерной сцены. В этом случае, эпиполярные ограничения накладываются на соответствующие точки любой пары видов. Если известны проекции двух точек m 1 и m 2 на первый и второй вид, то положение проекции на третье изображение может быть найдено как пересечение двух эпиполярных видов, соответствующих точкам m 1 и m 2 .

По двум известным проекциям m 1 и m 2 на два изображения с известной калибровкой можно определить положение точки M в пространстве. Поэтому если известна калибровка третьего изображения, то проекция точки M на третий вид может быть определена простой проекцией.

Ограничения, накладываемые на положение соответствующих точек более двух изображений, также можно записать в линейной форме. Для трех видов эти ограничения записываются в виде трифокального тензора, для четырех видов - в форме квадрифокального тензора. Однако вычисление этих ограничений эквивалентно вычислению калибровки всех трех или четырех видов в проективном пространстве. В этой работе эти виды ограничений не используются, поэтому более подробно не рассматриваются.

Произведения годов. Волошин Максимилиан. ДОБЛЕСТЬ ПОЭТА. 1. Править поэму, как текст заокеанской депеши: Сухость, ясность, нажим - начеку каждое слово.

Букву за буквой врубать на твердом и тесном камне: Чем скупее слова, тем напряженней их сила. Мысли заряд волевой равен замолчанным строфам.

Вытравить из словаря слова «Красота», «Вдохновенье» - Подлый жаргон рифмачей Поэту - понятья: Правда, конструкция, план, равносильность, cжатость и точность. В трезвом, тугом ремесле - вдохновенье и честь поэта: В глухонемом веществе заострять запредельную зоркость. Волошин М.А. Библиотека: Орловская областная научная универсальная публичная библиотека им. И.А. Бунина. - М., ; Избранные произведения: В 2-х т.

М., ; Красный дым: Повести. - М., ; Гладышев из разведроты: Повести. - М., ; Эшелон; Неизбежность: Романы. Много занимался переводами марийских и удмуртских поэтов. Время от времени пробовал свои силы также в прозе. Соч. Максимилиан Александрович Волошин () - один из крупнейших поэтов первой трети XX века. Это талантливый художник, многогранный лирик, прошедший путь от символистских, эзотерических стихотворений к гражданско-публицистической и научно-философской поэзии, через антропософские пристрастия - к «идеалу Града Божия».

Предлагаемое издание дает возможность читателю ознакомиться не только с лучшими поэтическими произведениями Волошина, но также - с его наиболее интересными работами по эстетике, мемуарной прозой, публицистикой и письмами, имеющими отношение к драматическим событиям в жизни стран. Автор. Волошин Максимилиан. Все стихи автора. Произведение. Доблесть поэта. 2. Звёзды. Создавать избранные коллекции авторов и стихов!

Общаться с единомышленниками! Писать отзывы, участвовать в поэтических дуэлях и конкурсах! Присоединяйтесь к лучшему! Спасибо, что присоединились к Поэмбук! На вашу почту отправлено письмо с данными доступа к аккаунту!

Необходимо авторизоваться в течение 24 часов. В противном случае аккаунт будет удален! Зарегистрированные пользователи получают массу преимуществ: Публиковать стихи - реализовать свой талант! Создавать избранные коллекции авторов и стихов! Общаться с единомышленниками! Писать отзывы, участвовать в поэтических дуэлях и конкурсах!. Максимилиан Волошин. Описание. Максимилиан Александрович Волошин - один из крупнейших поэтов первой трети XX века.

Это талантливый художник, многогранный лирик, прошедший путь от символистских, эзотерических стихотворений к гражданско-публицистической и научно-философской поэзии, через антропософские пристрастия - к "идеалу Града Божия". Предлагаемое издание дает возможность читателю ознакомиться не только с лучшими поэтическими произведениями Волошина, но также - с его наиболее интересными работами по эстетике, мемуарной прозой, публицистикой и письмами, имеющими отношение к драмати.

Избранные произведения и письма. М. А. Волошин. Цена. руб. Максимилиан Александрович Волошин - один из крупнейших поэтов первой трети XX века. Это талантливый художник, многогранный лирик, прошедший путь от символистских, эзотерических стихотворений к гражданско-публицистической и научно-философской поэзии, через антропософские пристрастия - к "идеалу Града Божия".

Волошин М.А., Доблесть поэта: Избранные произведения и письма. серия: Новая библиотека русской классики: обязательный экземпляр Парад, г., стр., Описание книги. Максимилиан Александрович Волошин () - один из крупнейших поэтов первой трети XX века. Это талантливый художник, многогранный лирик, прошедший путь от символистских, эзотерических стихотворений к гражданско-публицистической и научно-философской поэзии, через антропософские пристрастия - к «идеалу Града Божия».

Categories Post navigation

Перспективные проекции

Плоская перспективная проекция однозначно определяется положением точки наблюдения и расстояние от нее до плоскости проецирования (d ). Положение точки наблюдения может задаваться в виде вектора V , связывающего точку наблюдения и начало трех мерной системы координат, из которой выполняется проецирование. Трехмерная система координат, из которой выполняется проецирование, называется мировой системой координат.

Вектор V может задаваться в одной из двух форм (Рис. 6.2‑1):

1)в полярной системе координат через параметрами:

R- модуль вектораV ;

Q -угол между координатной осью X и проекцией вектора V на координатную плоскость XY мировой системы координат;

J -угол между вектором V и осью Z мировой системы координат;

2)в декартовой системе координат через проекции вектора V на координатные оси мировой системы координат:

V x – проекция вектора V на ось X ;

V y – проекция вектора V на ось X ;

V z – проекция вектора V на ось X .

Рис. 6.2 ‑ 1

Задача проецирования графического объекта, в конечном счете, сводится к определению координат X ,Y отдельных точек объекта на плоскости проецирования, которые изначально заданны тремя координатами в мировой системе координат.

Определение координат точки на плоскости проекции

Разобьем общую задачу перспективногопроецирования на две задачи преобразования координат:

Преобразование для перехода из мировой системы координат в видовую систему координат

Преобразования для перехода из видовой системы координат в координаты на плоскости проекции.

Переход в видовую систему координат

Переход в видовую систему координат иллюстрируется ниже приведенным рисунком (Рис. 6.2‑2).

Видовая система координат представляет собой такую трехмерную систему координат с координатными осями X в , Y в , Z в , которая «удобна» для заданной проекции, т.е. из которой наиболее просто осуществляется переход в двумерную систему на плоскости проекции (например, экран). Для данного вида перспективной проекции начало видовой системы координат должно находиться в точке E , ее ось Z в должна совпадать с вектором проекции V , ее ось X в должна проецироваться на ось X э , а ее ось Y в должна проецироваться на ось Y э .

Рис. 6.2 ‑ 2

Исходя из этого, переход из мировой системы координат в видовую можно выполнить за счет следующей последовательности базовых преобразований:

1)перенос мировой системы координат на вектор V , в результате чего будет получена система координат c началом в точке E и координатными осями X 1 , Y 1 , Z 1 (реализуется матрицей Т -1 (-V x , -V y , -V z ));

2)поворот полученной системы на угол (-(90 0 -q) )относительно ее координатной оси Z 1 , в результате чего будет получена система с координатными осями X 2 , Y 2 , Z 2 (реализуется матрицей R z -1 (-(90 0 -q)) , в которой вектор V находится в координатной полскости Y 2 , Z 2 ;

3)поворот полученной системы E , X 1 , Y 1 , Z 1 на угол ((180 0 - j)) относительно ее координатной оси X 2 , в результате чего будет получена система с координатными осями X 3 , Y 3 , Z 3 , начало которой находится в точке E , (реализуется матрицей R x -1 (180 0 - j)) , в которой вектор V располагается на оси Z 3 ;

4)смена направления координатной оси X 3 , в результате чего будет получена нужная видовая система координат с координатными осями X в , Y в , Z в (реализуется матрицей R (-x )).

Таким образом, учитывая четыре базовых преобразования координат, для перехода в видовую систему координат необходимо использовать следующее произведение матриц:

Для задания используемых матриц представим все их элементы через тригонометрические функцииsin j , cos j , sin q , cos q и введем обозначения:

cos j= a ; sin j = b ; cos q = с; sin q = d ;

u x = -r bc ; u y = -r bd ; u z =-r a .

С этой целью представим перечисленные в выше приведенном выражении матрицы в следующем виде.

Матрица переноса :

T -1 (u x , u y , u z )= T (-u x , -u y , -u z ).

Такой представление правомерно, так как обратная матрица переноса на вектор эквивалентна прямой матрицы переноса на этот же вектор в обратной направленности.

C учетом введенных обозначений будем иметь:

Матрицы поворота относительно оси Z 1:

R z -1 (-(90 0 -Q))= R z (90 0 -Q),

и, учитывая, что sin (90 0 -a)= cos a, можно записать:

Матрицы поворота относительно координатной оси X 2:

R x -1 ((180 0 -j))= R x (-(180 0 -j)) ,

и, учитывая, что sin (-(180 0 -j)) =- sin j, cos (-(180 0 -j)) =- cos j, имеем:

Матрица смены направления координатной оси X 2 имет вид:

Найдем матрицу видового преобразования R в:

Определим порядок умножения матриц согласно скобок в записи:

Найдем R1:

Найдем произведение:

При нахождении матрицы видового преобразования R в, учтем необходимость расширения матрицы R 2 из размерности 3*3 до размерности 4*4:

Таким образом, матрица видового преобразования имеет вид:

(6.2-1)

Переход из видовой системы к координатам на плоскости проекции.

Для выполнения этого этапа используем ниже приведенный рисунок (Рис. 6.2‑3).

На рисунке приняты следующие обозначения:

Е – начало видовой системы координат с координатными осями X в , Y в , Z в ;

Т1 – точка в видовой системе координат, расположенная на координатной плоскости X в Z в ;

Т2– точка в видовой системе координат, расположенная на координатной плоскости Y в Z в ;

D - расстояние от начала видовой системы координат до плоскости проекции;

X э , Y э - оси системы координат на плоскости проекции (на экране).

Из приведенного рисунка видно, что:

Отсюда вытекает следующая зависимость координат точки на экране от координат этой точки в видовой системе координат:

(6.2-2)

Таким образом, используя матрицу видового преобразования R в , определяемую выражением (6.2-1), и соотношения согласно выражениям (6.2-2), можно рассчитать координаты заданных точек на плоскости перспективной проекции.

Точки и линии схода

При перспективной проекции точка схода прямой АА’ назыавется та точка на плоскости проекции, к которой стремится проекция точки, «убегающей» в бесконечность по прямой АА’. Для того, чтобы представить геометрический смысл точек схода, рассмотрим ниже приведенный рисунок (Рис. 6.2‑4).

На рисунке используются следующие обозначения:

Е - начало видовой системы координат;

«пп» - плоскость проекции (экран) с координатными осями X и Y .

Рис. 6.2 ‑ 4

Проведем через точку Е прямую Еа’, перпендикулярную плоскости проекции. Эта линия пересекается с плоскостью проекции в точке а п , которая будет являться точкой проекции всех точек прямой Еа’, в том числе и точки, убегающей по этой прямой в бесконечность. Следовательно, точка а п является точкой схода для линии Еа’.

Возьмем на плоскости проекции некоторую точку b п и проведем через нее линию b п b ’, параллельную линии Еа’. Проведем через линии Еa ’ и b п b ’ плоскость, которая пересечется с плоскостью проекции по линии b п a п . Возьмем на линии b п b ‘ точку b б и устремим ее по прямой в бесконечность.

По мере перемещения бегущей точки по прямой в бесконечность, ее проекцияb бп будет перемещаться по прямой b п a п , стремясь к точке a п по мере стремления точки b п в бесконечность. Таким образом, точка a п будет являться точкой схода для прямой b п b ‘.

Единственным условием для выбора прямой bb ’ являлось то, что она параллельна прямой Еa ’. Следовательно, для всех прямых, параллельных Еa ’, точкой схода будет являться одна и та же точка a п .

Проведем в плоскости проекции через точку a п прямую, параллельную оси X плоскости проекции и возьмем на ней произвольную точку d п . Проведем прямую через точки E и d п . Затем возьмем на плоскости проекции еще одну произвольную точкуc п и проведем через нее в видовой системе координат прямуюc п c , параллельную прямой Ed п .

Через полученные параллельные прямые проведем плоскость, которая пересечет плоскость проекции по прямой d п с п . Возьмем на прямой с п с точку c б и устремим ее в бесконечность. Как видно из рисунка, по мере перемещения точки c б. в бесконечность, ее проекция будет перемещаться по прямой c п d п. , стремясь к точке d п . Отсюда следует, что точка d п является точкой схода для прямой с п с.

Рассуждая аналогично легко показать, что для всех линий, параллельных плоскости, проходящей через точку E и прямую d п а п , точки схода будут находиться на линии, проходящей через точки d п а п .

Из изложенного следует, что прямая d п а п является линией схода для всех горизонтальных плоскостей. Эта прямая называется линией горизонта.

Из изложенного также можно заключить, что все параллельные линии, независимо от их положения, имеют одну точку схода. Сказанное относится и к вертикальным линиям, которые имеют единую точку схода, называемую точкой зенита .

Рассуждая аналогично, можно показать, что все параллельные плоскости, имеют единую линию схода.

Понятие точек и линий схода, используется при построении проекций трехмерных объектов. Рассмотрим это на конкретном примере.

Пусть необходимо построить проекцию параллелепипеда, с вертикальными боковыми гранями, имеющий верхнюю грань, заданную опорными точками 1, 2,3, 4, и нижнюю, заданную узловыми точками 5, 6, 7, 8 (Рис. 6.2‑5).

Отметим, что из свойства заданного объекта ребра, заданные узловымии точками 1,2; 3,4; 5,6; 7,8, параллельные, а, следовательно, несущие их прямые сходятся в одной точке (точка Тс1). Прямые, несущие боковые ребра 3,7; 4,8; 2,6 и 1,5, так же имеют одну и ту же точку схода (точка Т3). То же самое можно сказать о ребрах 1,3; 2,4; 5,7; 6,8 – несущие их прямые параллельны друг другу, а следовательно, имеют единую точку схода (точка Тс2).

Для однозначного построения проекции заданного объекта достаточно на проекции определить три выше упомянутые точки схода (Т3, Тс1, Тс2), и проекции точек 2,5,6,8 (Рис. 6.2‑6).

Рис. 6.2 ‑ 5

Построение проекции можно вести в следующей последовательности.

Через точки 5 и Тс2 проведем прямую линию, несущую ребра 5,7. Ее пересечение с линией, проходящей через точки Тс1 и 8 (прямой линии,

Рис. 6.2 ‑ 6

несущей ребро 7,8), является точкой 7. Несущие для боковых ребер 3,7; 4,8; 2,6 и 1,5 будут получены, если провести прямые через точку зенита Т3 и уже имеющиеся четыре узловые точки нижней грани параллепипеда (линии Т3,6; Т3,7; Т3,8; Т3,5).

Затем проведем прямые Тс1,2. Точка ее пересечения с прямой Т3,5 будет являться точка 1. Проведем линии Тс1,4. Точка ее пересечения с прямой T 3,7 будет являться точка 3.

Таким образом будет найдены проекции всех узловых точек заданного для проецирования объекта, по которым можно однозначно построить на плоскости проекции весь проецируемый параллелепипед.

Для того, чтобы при проецировании был получен образ объекта, близкий к тому, каким он субъективно воспринимается человеком, необходимо ограничивать угол проецирования (угол обзора наблюдателем трех мерного объекта из точки наблюдения, т.е. из точки начала видовой системы координат). Как правило, приемлемый результат проецирования получается, когда угол проецирования не превышает 30-40 градусов.

Рассмотренный метод проецирования приемлем лишь для сравнительно простых объектов.