Комплексные числа

Мнимые и комплексные числа. Абсцисса и ордината

комплексного числа. Сопряжённые комплексные числа.

Операции с комплексными числами. Геометрическое

представление комплексных чисел. Комплексная плоскость.

Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая

форма комплексного числа. Операции с комплексными

числами в тригонометрической форме. Формула Муавра.

Начальные сведения о мнимых и комплексных числах приведены в разделе «Мнимые и комплексные числа». Необходимость в этих числах нового типа появилась при решении квадратных уравнений для случая D < 0 (здесь D – дискриминант квадратного уравнения). Долгое время эти числа не находили физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень широко применяются в различных областях физики

и техники: электротехнике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и др.

Комплексные числа записываются в виде: a + bi . Здесь a и b – действительные числа , а i – мнимая единица, т. e . i 2 = –1. Число a называется абсциссой , a b – ординатой комплексного числа a + bi . Два комплексных числа a + bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Основные договорённости:

1. Действительное число а может быть также записано в форме комплексного числа: a + 0 i или a – 0 i . Например, записи 5 + 0 i и 5 – 0 i означают одно и то же число 5 .

2. Комплексное число 0+ bi называется чисто мнимым числом . Запись bi означает то же самое, что и 0+ bi .

3. Два комплексных числа a + bi и c + di считаются равными, если a = c и b = d . В противном случае комплексные числа не равны.

Сложение. Суммой комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число (a + c ) + (b + d ) i . Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.

Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и c + di (вычитаемое) называется комплексное число ( a – c ) + (b – d ) i .

Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

Умножение. Произведением комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число:

( ac – bd ) + (ad + bc ) i . Это определение вытекает из двух требований:

1) числа a + bi и c + di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

2) число i обладает основным свойством: i 2 = – 1.

П р и м е р . (a+ bi )( a – bi ) = a 2 + b 2 . Следовательно, произведение

двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному

положительному числу.

Деление. Разделить комплексное число a + bi (делимое) на другое c + di (делитель) - значит найти третье число e + f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c + di , даёт в результате делимое a + bi .

Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

П р и м е р. Найти (8 + i ) : (2 – 3 i ) .

Р е ш е н и е. Перепишем это отношение в виде дроби:

Умножив её числитель и знаменатель на 2 + 3 i

И выполнив все преобразования, получим:

Геометрическое представление комплексных чисел. Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:

Здесь точка A означает число –3, точка B – число 2, и O – ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a + bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b (см. рис.). Эта система координат называется комплексной плоскостью .

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP , изображающего комплексное число на координатной (комплексной ) плоскости. Модуль комплексного числа a + bi обозначается | a + bi | или буквой r

		Алгебраическая форма записи комплексного числа................................................................
		Плоскость комплексных чисел....................................................................................................
		Комплексно сопряжённые числа.................................................................................................
	Действия с комплексными числами в алгебраической форме...............................................
		Сложение комплексных чисел.................................................................................................
		Вычитание комплексных чисел...............................................................................................
		Умножение комплексных чисел..............................................................................................
		Деление комплексных чисел....................................................................................................
	Тригонометрическая форма записи комплексного числа.......................................................
	Действия с комплексными числами в тригонометрической форме......................................
		Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме.........................................
		Деление комплексных чисел в тригонометрической форме...............................................
		Возведение комплексного числа в целую положительную степень..................................
		Извлечение корня целой положительной степени из комплексного числа.....................
		Возведение комплексного числа в рациональную степень.................................................
		Комплексные ряды......................................................................................................................
		Комплексные числовые ряды.................................................................................................
		Степенные ряды в комплексной плоскости.........................................................................
		Двусторонние степенные ряды в комплексной плоскости...............................................
		Функции комплексного переменного.......................................................................................
		Основные элементарные функции........................................................................................
		Формулы Эйлера......................................................................................................................
		Показательная форма представления комплексного числа..............................................
		Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями..........................
		Логарифмическая функция.....................................................................................................
		Общая показательная и общая степенная функции...........................................................
	Дифференцирование функций комплексного переменного.................................................
		Условия Коши-Римана............................................................................................................
		Формулы для вычисления производной...............................................................................
		Свойства операции дифференцирования.............................................................................
		Свойства действительной и мнимой частей аналитической функции............................

	Восстановление функции комплексного переменного по её действительной или мнимой
		Способ №1. С помощью криволинейного интеграла.....................................................
		Способ №2. Непосредственное применение условий Коши-Римана..........................
		Способ №3. Через производную искомой функции.......................................................
	Интегрирование функций комплексного переменного.........................................................
	Интегральная формула Коши....................................................................................................
	Разложение функций в ряды Тейлора и Лорана.....................................................................
	Нули и особые точки функции комплексного переменного................................................
		Нули функции комплексного переменного.....................................................................
		Изолированные особые точки функции комплексного переменного.........................

14.3 Бесконечно удалённая точка как особая точка функции комплексного переменного

	Вычеты...........................................................................................................................................
		Вычет в конечной точке......................................................................................................
		Вычет функции в бесконечно удаленной точке..............................................................
	Вычисление интегралов с помощью вычетов.........................................................................
	Вопросы для самопроверки........................................................................................................
	Литература....................................................................................................................................
	Предметный указатель................................................................................................................

Предисловие

Правильно распределить время и силы при подготовке к теоретической и практической частям экзамена или аттестации по модулю достаточно сложно, тем более что в период сессии времени всегда не хватает. И как показывает практика, справиться с этим получается не у всех. В результате на экзамене одни студенты правильно решают задачи, но затрудняются ответить на простейшие теоретические вопросы, а другие могут сформулировать теорему, но не могут её применить.

Настоящие методические рекомендации для подготовки к экзамену по курсу «Теория функций комплексного переменного» (ТФКП) являются попыткой разрешить это противоречие и обеспечить одновременное повторение теоретического и практического материала курса. Руководствуясь принципом «Теория без практики мертва, практика без теории слепа», они содержат как теоретические положения курса на уровне определений и формулировок, так и примеры, иллюстрирующие применение каждого приведенного теоретического положения, и, тем самым, облегчающие его запоминание и понимание.

Цель предлагаемых методических рекомендаций – помочь студенту подготовиться к экзамену на базовом уровне. Иными словами, составлен расширенный рабочий справочник, содержащий основные моменты, используемые на занятиях по курсу ТФКП, и необходимые при выполнении домашнего задания и подготовке к контрольным мероприятиям. Помимо самостоятельной работы студентов, настоящее электронное учебное издание можно использовать при проведении занятий в интерактивной форме с использованием электронной доски или для размещения в системе дистанционного обучения.

Обращаем внимание, что настоящий труд не заменяет собой ни учебников, ни конспекта лекций. Для углублённого изучения материала рекомендуется обращаться к соответствующим разделам изданного в МГТУ им. Н.Э. Баумана базового учебника .

В конце пособия помещён список рекомендуемой литературы и предметный указатель, в который входят все выделенные в текстеполужирным курсивом термины. Предметный указатель состоит из гиперссылок на разделы, в которых эти термины строго определены или описаны и где приведены примеры, иллюстрирующие их применение.

Пособие предназначено для студентов 2 курса всех факультетов МГТУ им. Н.Э. Баумана.

1. Алгебраическая форма записи комплексного числа

Запись вида z = x + iy , где x , y - действительные числа, i - мнимая единица (т.е. i 2 = − 1)

называют алгебраической формой записи комплексного числа z. При этом x называют действительной частью комплексного числа и обозначают Re z (x = Re z ), y называют мнимой частью комплексного числа и обозначают Im z (y = Im z ).

Пример. У комплексного числа z = 4 − 3i действительная часть Re z = 4 , а мнимая Im z = − 3 .

2. Плоскость комплексных чисел

В теории функций комплексного переменного рассматривают плоскость комплексных чисел , которую обозначают либо, либо используют буквы, обозначающие комплексные числа z , w и т.п.

Горизонтальная ось комплексной плоскости называется действительной осью , на ней располагают действительные числа z = x + 0 i = x .

Вертикальная ось комплексной плоскости называется мнимой осью , на ней располагают

3. Комплексно сопряжённые числа

Числа z = x + iy и z = x − iy называют комплексно сопряжёнными . На комплексной плоскости им соответствуют точки, симметричные относительно действительной оси.

4. Действия с комплексными числамив алгебраической форме

4.1 Сложение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел

z 1 = x 1 + iy 1

и z 2 = x 2 + iy 2 называется комплексное число

z 1 + z 2

= (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i (y 1 + y 2 ) .

операция

сложения

комплексных чисел аналогична операции сложения алгебраических двучленов.

Пример. Суммой двух комплексных чисел z 1 = 3 + 7i и z 2

= −1 +2 i

будет комплексное число

z 1 + z 2 = (3 +7 i ) +(−1 +2 i ) = (3 −1 ) +(7 +2 ) i = 2 +9 i .

Очевидно,

суммой комплексно

сопряжённых

является

действительное

z + z = (x + iy) + (x − iy) = 2 x = 2 Re z .

4.2 Вычитание комплексных чисел

Разностью двух комплексных чисел z 1 = x 1 + iy 1

X 2 +iy 2

называется

комплексное

число z 1 − z 2 = (x 1 + iy 1 ) − (x 2 + iy 2 ) = (x 1 − x 2 ) + i (y 1 − y 2 ) .

Пример. Разностью двух комплексных чисел

z 1 = 3 −4 i

и z 2

= −1 +2 i

будет комплексное

число z 1 − z 2 = (3 − 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3 − (− 1) ) + (− 4 − 2) i = 4 − 6i .

Разностью

комплексно сопряжённых

является

z − z = (x + iy) − (x − iy) = 2 iy = 2 i Im z .

4.3 Умножение комплексных чисел

Произведением двух комплексных чисел

z 1 = x 1 + iy 1

и z 2 = x 2 + iy 2

называется комплексное

z 1z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1x 2 + iy 1x 2 + iy 2 x 1 + i 2 y 1 y 2

= (x 1x 2 − y 1 y 2 ) + i (y 1x 2 + y 2 x ) .

образом, операция умножения комплексных чисел аналогична операции умножения алгебраических двучленов с учётом того, что i 2 = − 1.

Комплексные числа - расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где и - вещественные числа, - мнимая единица.

Запись комплексного числа в виде , , называется алгебраической формой комплексного числа.

Свойства комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме:

Рассмотрим правила, по которым производятся арифметические действия над комплекс­ными числами.

Если даны два комплексных числа α = a + bi и β = c + di, то

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i . (11)

Это следует из определения действий сложения и вычитания двух упорядоченных пар действительных чисел (см. формулы (1) и (3)). Мы получили правила сложения и вычитания комплексных чисел: чтобы сложить два комплексных числа, надо отдельно сложить их действительные части и соответственно мни­мые части; чтобы из одного комплексного числа вычесть другое, необходимо вычесть соответственно их действительные и мнимые части.

Число – α = – a – bi называют противополож­ным числу α = a + bi . Сумма двух этих чисел равна нулю: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.

Для получения правила умножения комплексных чисел воспользуемся формулой (6), т. е. тем, что i2 = -1. Учитывая это соотношение, находим (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, т.е.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

Эта формула соответствует формуле (2), которой определялось умножение упорядоченных пар дей­ствительных чисел.

Отметим, что сумма и произведение двух комп­лексно сопряженных чисел являются действительными числами. Всамомделе, еслиα = a + bi, = a – bi, тоα = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = (a + a) + (b - b)i= 2a, т.е.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

При делении двух комплексных чисел в алгеб­раической форме следует ожидать, что частное вы­ражается также числом того же вида, т. е. α/β = u + vi, где u, v R. Выведем правило деления комплексных чисел. Пусть даны числа α = a + bi, β = c + di, причем β ≠ 0, т. е. c2 + d2 ≠ 0. Послед­нее неравенство означает, что c и d одновременно в нуль не обращаются (исключается случай, когда с = 0, d = 0). Применяя формулу (12) и вто­рое из равенств (13), находим:

Следовательно, частное двух комплексных чисел определяется формулой:

соответствующей формуле (4).

С помощью полученной формулы для числа β = с + di можно найти обратное ему число β-1 = 1/β. Полагая в формуле (14) а = 1, b = 0, получаем

Эта формула определяет число, обратное данному комплексному числу, отличному от нуля; это число также является комплексным.

Например: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

55. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа (вывод).

Арг.ком.числа. – между положительным направлением действительной оси Х вектором изображающим данное число.

Формула тригон. Числа: ,

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Алгебраической формой комплексного числа является запись комплексного числа \(\ z \) в виде \(\ z=x+i y \), где \(\ x \) и \(\ y \) - вещественные числа, \(\ i \) - мнимая единица, удовлетворяющая соотношению \(\ i^{2}=-1 \)

Число \(\ x \) называется вещественной частью комплексного числа \(\ z \) и обозначается \(\ x=\operatorname{Re} z \)

Число \(\ y \) называется мнимой частью комплексного числа \(\ z \) и обозначается \(\ y=\operatorname{Im} z \)

Например:

Комплексное число \(\ z=3-2 i \) и его присоединенное число \(\ \overline{z}=3+2 i \)записаны в алгебраической форме.

Мнимая величина \(\ z=5 i \)записывается в алгебраической форме.

Кроме того, в зависимости от решаемой задачи вы можете перевести комплексное число в тригонометрическую или экспоненциальную.

Задача

Напишите число \(\ z=\frac{7-i}{4}+13 \) в алгебраической форме, найдите ее действительную и мнимую части, а также сопряженное число.

Решение.

Применяя термин деление фракций и правило сложения дробей, получим:

\(\ z=\frac{7-i}{4}+13=\frac{7}{4}+13-\frac{i}{4}=\frac{59}{4}-\frac{1}{4} i \)

Поэтому вещественная часть комплексного числа \(\ z=\frac{5 g}{4}-\frac{1}{4} i \) есть число \(\ x=\operatorname{Re} z=\frac{59}{4} \) , мнимая часть - число \(\ y=\operatorname{Im} z=-\frac{1}{4} \)

Сопряженное число: \(\ \overline{z}=\frac{59}{4}+\frac{1}{4} i \)

Ответ

\(\ z=\frac{59}{4}-\frac{1}{4} i \), \(\ \operatorname{Re} z=\frac{59}{4} \), \(\ \operatorname{Im} z=-\frac{1}{4} \), \(\ \overline{z}=\frac{59}{4}+\frac{1}{4} i \)

Действия комплексных чисел в алгебраической форме сравнение

Два комплексных числа \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) называются равными, если \(\ x_{1}=x_{2} \), \(\ y_{1}=y_{2} \) т. e. Их действительная и мнимая части равны.

Задача

Определить, для каких х и у два комплексных числа \(\ z_{1}=13+y i \) и \(\ z_{2}=x+5 i \) равны.

Решение

По определению два комплексных числа равны, если их действительная и мнимая части равны, т. e. \(\ x=13 \), \(\ y=5 \).

Ответ \(\ x=13 \), \(\ y=5 \)

прибавление

Добавление комплексных чисел \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) выполняется путем прямого суммирования вещественной и мнимой частей:

\(\ z_{1}+z_{2}=x_{1}+i y_{1}+x_{2}+i y_{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)+i\left(y_{1}+y_{2}\right) \)

Задача

Найти сумму комплексных чисел \(\ z_{1}=-7+5 i \), \(\ z_{2}=13-4 i \)

Решение.

Действительной частью комплексного числа \(\ z_{1}=-7+5 i \) является число \(\ x_{1}=\operatorname{Re} z_{1}=-7 \) , мнимая часть - число \(\ y_{1}=\mathrm{Im} \), \(\ z_{1}=5 \) . Реальная и мнимая части комплексного числа \(\ z_{2}=13-4 i \) равны соответственно \(\ x_{2}=\operatorname{Re} z_{2}=13 \) и \(\ y_{2}=\operatorname{Im} z_{2}=-4 \) .

Следовательно, сумма комплексных чисел:

\(\ z_{1}+z_{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)+i\left(y_{1}+y_{2}\right)=(-7+13)+i(5-4)=6+i \)

Ответ

\(\ z_{1}+z_{2}=6+i \)

Подробнее о добавлении комплексных чисел в отдельной статье: Добавление комплексных чисел.

Вычитание

Вычитание комплексных чисел \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) и \(\ z_{2}=x_{2}+i y_{2} \) выполняется путем прямого вычитания действительной и мнимой частей:

\(\ z_{1}-z_{2}=x_{1}+i y_{1}-\left(x_{2}+i y_{2}\right)=x_{1}-x_{2}+\left(i y_{1}-i y_{2}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)+i\left(y_{1}-y_{2}\right) \)

Задача

найти разницу сложных чисел \(\ z_{1}=17-35 i \), \(\ z_{2}=15+5 i \)

Решение.

Найдите действительную и мнимую части комплексных чисел \(\ z_{1}=17-35 i \), \(\ z_{2}=15+5 i \) :

\(\ x_{1}=\operatorname{Re} z_{1}=17, x_{2}=\operatorname{Re} z_{2}=15 \)

\(\ y_{1}=\operatorname{Im} z_{1}=-35, y_{2}=\operatorname{Im} z_{2}=5 \)

Поэтому разница комплексных чисел:

\(\ z_{1}-z_{2}=\left(x_{1}-x_{2}\right)+i\left(y_{1}-y_{2}\right)=(17-15)+i(-35-5)=2-40 i \)

Ответ

\(\ z_{1}-z_{2}=2-40 i \) умножение

Умножение комплексных чисел \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) и \(\ z_{2}=x_{2}+i y_{2} \)выполняется путем непосредственного рождения чисел в алгебраической форме с учетом свойства мнимой единицы \(\ i^{2}=-1 \) :

\(\ z_{1} \cdot z_{2}=\left(x_{1}+i y_{1}\right) \cdot\left(x_{2}+i y_{2}\right)=x_{1} \cdot x_{2}+i^{2} \cdot y_{1} \cdot y_{2}+\left(x_{1} \cdot i y_{2}+x_{2} \cdot i y_{1}\right)= \)

\(\ =\left(x_{1} \cdot x_{2}-y_{1} \cdot y_{2}\right)+i\left(x_{1} \cdot y_{2}+x_{2} \cdot y_{1}\right) \)

Задача

Найти произведение комплексных чисел \(\ z_{1}=1-5 i \)

Решение.

Комплекс комплексных чисел:

\(\ z_{1} \cdot z_{2}=\left(x_{1} \cdot x_{2}-y_{1} \cdot y_{2}\right)+i\left(x_{1} \cdot y_{2}+x_{2} \cdot y_{1}\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5)=15-23 i \)

Ответ

\(\ z_{1} \cdot z_{2}=15-23 i \) разделение

Фактор комплексных чисел \(\ z_{1}=x_{1}+i y_{1} \) и \(\ z_{2}=x_{2}+i y_{2} \) определяется путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное число с знаменателем:

\(\ \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{x_{1}+i y_{1}}{x_{2}+i y_{2}}=\frac{\left(x_{1}+i y_{1}\right)\left(x_{2}-i y_{2}\right)}{\left(x_{2}+i y_{2}\right)\left(x_{2}-i y_{2}\right)}=\frac{x_{1} \cdot x_{2}+y_{1} \cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}+i \frac{x_{2} \cdot y_{1}-x_{1} \cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} \)

Задача

Чтобы разделить число 1 на комплексное число \(\ z=1+2 i \).

Решение.

Поскольку мнимая часть действительного числа 1 равна нулю, фактор равен:

\(\ \frac{1}{1+2 i}=\frac{1 \cdot 1}{1^{2}+2^{2}}-i \frac{1 \cdot 2}{1^{2}+2^{2}}=\frac{1}{5}-i \frac{2}{5} \)

Ответ

\(\ \frac{1}{1+2 i}=\frac{1}{5}-i \frac{2}{5} \)

Напомним необходимые сведения о комплексных числах.

Комплексное число - это выражение вида a + bi , где a , b - действительные числа, а i - так называемая мнимая единица , символ, квадрат которого равен –1, то есть i 2 = –1. Число a называется действительной частью , а число b - мнимой частью комплексного числа z = a + bi . Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a . Видно, что действительные числа - это частный случай комплексных чисел.

Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi ) ± (c + di ) = (a ± c ) + (b ± d )i , а умножение - по правилу (a + bi ) · (c + di ) = (ac – bd ) + (ad + bc )i (здесь как раз используется, что i 2 = –1). Число = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi . Равенство z · = a 2 + b 2 позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:

(Например, .)

У комплексных чисел есть удобное и наглядное геометрическое представление: число z = a + bi можно изображать вектором с координатами (a ; b ) на декартовой плоскости (или, что почти то же самое, точкой - концом вектора с этими координатами). При этом сумма двух комплексных чисел изображается как сумма соответствующих векторов (которую можно найти по правилу параллелограмма). По теореме Пифагора длина вектора с координатами (a ; b ) равна . Эта величина называется модулем комплексного числа z = a + bi и обозначается |z |. Угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси абсцисс (отсчитанный против часовой стрелки), называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z . Аргумент определен не однозначно, а лишь с точностью до прибавления величины, кратной 2π радиан (или 360°, если считать в градусах) - ведь ясно, что поворот на такой угол вокруг начала координат не изменит вектор. Но если вектор длины r образует угол φ с положительным направлением оси абсцисс, то его координаты равны (r · cos φ ; r · sin φ ). Отсюда получается тригонометрическая форма записи комплексного числа: z = |z | · (cos(Arg z ) + i sin(Arg z )). Часто бывает удобно записывать комплексные числа именно в такой форме, потому что это сильно упрощает выкладки. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме выглядит очень просто: z 1 · z 2 = |z 1 | · |z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i sin(Arg z 1 + Arg z 2)) (при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются). Отсюда следуют формулы Муавра : z n = |z | n · (cos(n · (Arg z )) + i sin(n · (Arg z ))). С помощью этих формул легко научиться извлекать корни любой степени из комплексных чисел. Корень n-й степени из числа z - это такое комплексное число w , что w n = z . Видно, что , а , где k может принимать любое значение из множества {0, 1, ..., n – 1}. Это означает, что всегда есть ровно n корней n -й степени из комплексного числа (на плоскости они располагаются в вершинах правильного n -угольника).