Дифференциальные уравнения с постоянным запаздыванием. Уравнения состояния динамических объектов с запаздыванием

Задачи для уравнений с запаздыванием . Рассмотрим вариационную задачу , в которой управление определяет фазовую траекторию системы задачей Коши для уравнения с запаздыванием  

В литературе подобные системы часто называют системами одновременных уравнений , имея в виду, что здесь зависимая переменная одного уравнения может появляться одновременно в виде переменной (но уже в качестве независимой) в одном или нескольких других уравнениях. В таком случае теряет смысл традиционное различение зависимых и независимых переменных . Вместо этого устанавливается различие между двумя видами переменных. Это, во-первых, совместно зависимые переменные (эндогенные), влияние которых друг на друга должно быть исследовано (матрица А в слагаемом Ay t) приведенной выше системы уравнений). Во-вторых, предопределенные переменные, которые, как предполагается, оказывают влияние на первые, однако не испытывают их воздействия это переменные с запаздыванием, т.е. лаговые (второе слагаемое) и определенные вне данной системы уравнений экзогенные переменные.  

Однако для уравнений с общими типами запаздываний и более или менее далеко проведенной спецификацией остатка еще нет достаточно надежных результатов в отношении свойств оценок . Так, оценки по регрессионному уравнению с общей полиномиальной формой лага обладают лишь свойством состоятельности , а оценки уравнений с запаздывающими экзогенными и эндогенными переменными , полученные трехшаговым методом наименьших квадратов (при наличии одновременно марковской остаточной автокорреляции первого порядка), не имеют даже этого свойства (см. анализ оценок в ).  

Таким образом, при синтезе быстродействующих систем максимальной степени устойчивости требуется вначале определить оптимальные значения bj, обеспечивающие выполнение условия (4), ng и со, (1=1, п), затем найти с/, при которых имеет место (10) и, наконец, из условия (12) при заданной величине С выбрать dj. Замечание. Из рассмотренных случаев следует, что структуры оптимальных решений т.е количество действительных и комплексно-сопряженных пар крайних правых корней, их сочетание, кратности и, как следствие, виды годографов оптимальных решений в плоскости Х зависят от размерности управления m (1.2) и при достаточно больших порядках п (1.1) не зависят от самого значения п. Иными словами, каждому заданному m соответствует свое вполне определенное количество структур оптимальных решений , которое достигается при значении порядка уравнения (1.1) п = п и увеличение порядка п > п не приводит к появлению новых оптимальных решений . Поэтому при п - > QO сохраняется возможность синтеза систем максимальной степени устойчивости, структуры оптимальных решений определяются только т, а значит при любом m известны структуры оптимальных решений и для объектов с запаздыванием.  

Возникает вопрос как определить значение временного запаздывания для каждого показателя Для определения соответствующих временных лагов используем корреляционный анализ динамических рядов данных. Основным критерием для определения временного лага является наибольшая величина коэффициента взаимной корреляции временных рядов показателей с различным периодом запаздывания их влияния на показатель инфляции. В итоге уравнение примет следующий вид  

Кроме этого, метод С. д. позволяет связать в рамках одной модели многочисленные потоки (физич. управляющие и информационные) и уровни аккумулирующих эти потоки величин капиталовложения и выбытие фондов с уровнем осн. капитала, рождаемость и смертность в различных возрастных группах с возрастной структурой населения и т. п. Метод С. д. наиболее ярко отражает структуру всех принимаемых во внимание обратных связен, хорошо приспособлен для учёта разных форм запаздывания, приводит к системе дифференциальных уравнений , решения к-рых поддаются достаточно простому экспериментальному исследованию на устойчивость в зависимости от параметров и структуры самой модели.  

Правила можно также группировать и по другим признакам. Например, по инструменту денежно-кредитной политики (валютный курс , процентная ставка или денежный агрегат) по наличию внешнеэкономических связей (открытая или закрытая экономика) по включению прогноза экономических переменных в уравнение правила (перспективные и адаптивные правила) по величине запаздывания (с лагами или без) и т.д.  

Модель с учетом времени полета снаряда и запаздыванием в переносе огня позволяет учесть задержки в системе раннего предупреждения о ракетном нападении противника и системе космического наблюдения за его ракетно-ядерными силами. Эта модель определяется уравнениями  

Блок постоянного запаздывания БПЗ-2М предназначен для воспроизведения функций с запаздывающим аргументом в аналоговых вычислительных устройствах может быть использован при электрическом моделировании процессов, связанных с транспортировкой вещества или передачей энергии, при аппроксимации уравнений сложных многоемкостных объектов уравнениями первого и второго порядка с запаздыванием.  

Функции решений представляют собой формулировку линии поведения, определяющую, каким образом имеющаяся информация об уровнях приводит к выбору решений , связанных с величинами текущих темпов потока. Функция решения может иметь форму несложного уравнения, которое определяет простейшую реакцию ма-териалопотока на состояния одного или двух уровней (так, производительность транспортной системы часто может быть адекватно выражена количеством товаров в пути, представляющим собой уровень, и константой - средним запаздыванием на время транспортировки). С другой стороны, функция решения может представлять собой длинную и детально разработанную цепь вычислений, выполняемых с учетом изменения ряда дополнительных условий.  

В настоящее время нет полной ясности, какой же фактор является основной причиной отсутвия диатомей в Байкале в холодные периоды. В [Грачев и др., 1997] решающим считается повышенная мутность воды, вызванная работой горных ледников, в [Гавшин и др., 1998] основным считается падение концентрации кремния из-за замирания эрозии в водосборном бассейне Байкала. Модификация модели (2.6.7), где первое уравнение описывает динамику концентрации кремния, а второе - динамику осаждения взвеси, позволяет предложить подход для выявления того, какой же из этих двух факторов является главным. Ясно, что из-за огромной водной массы биота Байкала будет реагировать на изменения климата с некоторым запаздыванием по сравнению с реакцией растительных сообществ водосборного бассейна озера. Поэтому диатомовый сигнал должен запаздывать по сравнению с палинологическим сигналом. Если главная причина исчезновения диатомей в холодные периоды - уменьшение концентрации кремния, то такие запаздывания реакций на потепления должны быть больше, чем запаздывания для похолоданий. Если же главный фактор подавления диатомей - мутность из-за ледников, то запаздывание реакций на похолодания должно быть примерно таким же или даже большим, чем на потепления.  

Последнее уравнение, как мог заметить читатель, описывает поведение простейшего самонастраивающегося механизма с пропорциондль-ным запаздыванием. В приложении А приводится блок-схема, по-  

Процедура PERRON97 определяет в этом случае дату излома как 1999 07, если выбор даты излома осуществляется по минимуму -статистики критерия единичного корня ta=i, взятому по всем возможным моментам излома. При этом ta= = - 3.341, что выше 5% критического уровня - 5.59, и гипотеза единичного корня не отвергается. Наибольшее запаздывание разностей, включаемых в правую часть уравнений, выбирается равным 12 в рамках применения процедуры GS для редукции модели с 10% уровнем значимости.  

ВВЕДЕНИЕ

Министерство образования Российской Федерации

Международный образовательный консорциум «Открытое образование»

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики

АНО «Евразийский открытый институт»

Э.А.Геворкян

Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом

Учебное пособие Руководство по изучению дисциплины

Сборник задач по дисциплине Учебная программа по дисциплине

Москва 2004

Геворкян Э.А. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ: Учебное пособие, руководство по изучению дисциплины, сборник задач по дисциплине, учебная программа по дисциплине / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики – М.: 2004. – 79 с.

Геворкян Э.А., 2004

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, 2004

Учебное пособие
Введение.................................................................................................................................
1.1 Классификация дифференциальных уравнений с
отклоняющимся аргументом. Постановка начальной задачи................................................
1.2 Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Метод шагов. ........
1.3 Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными и с запаздывающим аргументом.......................................................................
1.4 Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом................
1.5 Дифференциальные уравнения Бернулли с запаздывающим аргументом. ...............
1.6 Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
с запаздывающим аргументом..................................................................................................
ГЛАВА II. Периодические решения линейных дифференциальных уравнений
с запаздывающим аргументом..................................................................................................
2.1. Периодические решения линейных однородных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами и с запаздывающим аргументом......................................
2.2. Периодические решения линейных неоднородных дифференциальных
..................
2.3. Комплексная форма ряда Фурье....................................................................................
2.4. Отыскание частного периодического решения линейных неоднородных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и запаздывающим
аргументом разложением правой части уравнения в ряд Фурье...........................................
ГЛАВА III. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений
с запаздывающим аргументом..................................................................................................
3.1. Приближенный метод разложения неизвестной функции
с запаздывающим аргументом по степеням запаздывания....................................................
3.2. Приближенный метод Пуанкаре. ..................................................................................
ГЛАВА IV. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом,
появляющемся при решении некоторых экономических задач
с учетом временного лага...............................................................................................................

4.1. Экономический цикл Колецкого. Дифференциальное уравнение

с запаздывающим аргументом, описывающего изменение

запаса наличного капитала........................................................................................................
4.2. Характеристическое уравнение. Случай вещественных
корней характеристического уравнения...................................................................................
4.3. Случай комплексных корней характеристического уравнения.................................
4.4. Дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом,
(потребление пропорционально национальному доходу)......................................................
4.5. Дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом,
описывающего динамику национального дохода в моделях с лагами
(потребление экспоненциально растет с темпом прироста)...................................................
Литература..............................................................................................................................

Руководство по изучению дисциплины
2. Перечень основных тем.....................................................................................................
2.1. Тема 1. Основные понятия и определения. Классификация
дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.
Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. ...........................................
2.2. Тема 2. Постановка начальной задачи. Метод шагов решения
дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Примеры...........................
2.3. Тема 3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными и с запаздывающим аргументов. Примеры. ....................................................
2.4. Тема 4. Линейные дифференциальные уравнения
2.5. Тема 5. Дифференциальные уравнения Бернулли
с запаздывающим аргументом. Примеры. ...............................................................................
2.6. Тема 6. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
с запаздывающим аргументом. Необходимые и достаточные условия. Примеры..............
2.7. Тема 7. Периодические решения линейных однородных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами и с запаздывающим аргументом.
2.8. Тема 8. Периодические решения линейных неоднородных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами и с запаздывающим аргументом.
Примеры. .....................................................................................................................................
2.9. Тема 9. Комплексная форма ряда Фурье. Отыскание частного периодического
решения линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и с
запаздывающим аргументом разложением правой части уравнения в ряд Фурье.
Примеры. .....................................................................................................................................
2.10. Тема 10. Приближенное решение дифференциальных уравнений с
запаздывающим аргументом методом разложения функции от запаздывания
по степеням запаздывания. Примеры.......................................................................................
2.11. Тема 11. Приближенный метод Пуанкаре нахождения периодического
решения квазилинейных дифференциальных уравнений с малым параметром и
с запаздывающим аргументом. Примеры. ...............................................................................

2.12. Тема 12. Экономический цикл Колецкого. Дифференциальное уравнение

с запаздывающим аргументом для функции К(t), показывающей запас наличного

основного капитала в момент t..................................................................................................
2.13. Тема 13. Анализ характеристического уравнения, отвечающего
дифференциальному уравнению для функции K(t). ...............................................................
2.14. Тема 14. Случай комплексных решений характеристического уравнения
(ρ = α ± ιω )..................................................................................................................................
2.15. Тема 15. Дифференциальное уравнение для функции у(t), показывающего
функция потребления имеет вид c(t -τ ) = (1 - α ) у (t -τ ), где α - постоянная норма
производственного накопления................................................................................................
2.16. Тема 16. Дифференциальное уравнение для функции y(t), показывающего
национальный доход в моделях с лагами капитальных вложений при условии, что
функция потребителя имеет вид c (t − τ ) = c (o ) e r (t − τ ) ...............................................................
Сборник задач по дисциплине...........................................................................................
Учебная программа по дисциплине.................................................................................

Учебное пособие

ВВЕДЕНИЕ

Введение

Настоящее учебное пособие посвящено изложению методов интегрирования дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, встречающихся в некоторых технических и экономических задачах.

Вышеуказанными уравнениями обычно описываются любые процессы с последействием (процессы с запаздыванием, с временной задержкой). Например, когда в исследуемом процессе значение интересующей нас величины в момент времени t зависит от величины x в момент времени t-τ , где τ – временной лаг (y(t)=f). Или, когда значение величины y в момент времени t зависит от значения этой же величины в момент вре-

мени t-τ (y(t)=f).

Процессы, описывающиеся дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом встречаются и в естественных, и в экономических науках. В последних это связано как с существованием временного лага в большинстве связях цикла общественного производства, так и с наличием инвестиционных лагов (период от начала проектирования объектов до ввода в действие на полную мощность), демографических лагов (период от рождения до вступления в трудоспособный возраст и начала трудовой деятельности после получения образования).

Учет временного лага при решении технических и экономических задач имеет важное значение, так как наличие лага может существенно повлиять на характер получаемых решений (например, при определенных условиях может привести к неустойчивости решений).

С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

ГЛАВА I. Метод шагов решения дифференциальных уравнений

с запаздывающим аргументом

1.1. Классификация дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Постановка начальной задачи

Определение 1 . Дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом называются дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция X(t) входит при различных значениях аргумента.

X(t) = f { t, x (t), x } ,

X(t) = f [ t, x (t), x (t - τ 1 ), x (t − τ 2 )] ,
X(t) = f t, x (t), x (t), x [ t -τ (t )] , x [ t − τ
X(t) = f t, x (t ) , x (t) , x (t/2), x(t/2) .

(t )]

Определение 2. Дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом называется дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом, в котором производная наивысшего порядка от неизвестной функции входит при одинаковых значениях аргумента и этот аргумент не меньше, чем все аргументы неизвестной функции и ее производных, входящих в уравнение.

Заметим, что согласно определению 2, уравнения (1) и (3) при условиях τ (t ) ≥ 0 , t − τ (t ) ≥ 0 будут уравнениями с запаздывающим аргументом, уравнение (2) будет уравне-

нием с запаздывающим аргументом, если τ 1 ≥ 0 , τ 2 ≥ 0 , t ≥ τ 1 , t ≥ τ 2 , уравнение (4) есть уравнение с запаздывающим аргументом, так как t ≥ 0 .

Определение 3. Дифференциальным уравнением с опережающим аргументом называется дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом, в котором производная наивысшего порядка от неизвестной функции входит при одинаковых значениях аргумента и этот аргумент не больше остальных аргументов неизвестной функции и ее производных, входящих в уравнение.

Примеры дифференциальных уравнений с опережающим аргументом:

X (t) =

X (t) =

X (t) =

f { t, x(t), x[ t + τ (t) ] } ,

f [ t , x (t ), x (t + τ 1 ), x (t + τ 2 )] ,

f t , x (t ), x . (t ), x [ t + τ (t )] , x . [ t + τ

(t )] .

I. МЕТОД ШАГОВ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

Определение 4. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, не являющиеся уравнениями с запаздывающим или опережающим аргументом называются дифференциальными уравнениями нейтрального типа.

Примеры дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом нейтрального типа:

X (t) = f t, x(t) , x(t − τ ) , x(t − τ )

X (t) = f t, x(t) , x[ t − τ (t) ] , x[ t − τ (t) ] , x[ t − τ (t) ] .

Отметим, что аналогичная классификация применяется и для систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом заменой слова "функция" словом "вектор функция".

Рассмотрим простейшее дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом:

X (t) = f [ t, x(t) , x(t − τ ) ] ,

где τ ≥ 0 и t − τ ≥ 0 (фактически рассматриваем дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом). Основная начальная задача при решении уравнения (10) заключается в следующем: определить непрерывное решение X (t ) уравнения (10) для t > t 0 (t 0 –

фиксированное время) при условии, что X (t ) = ϕ 0 (t ) , когда t 0 − τ ≤ t ≤ t 0 , где ϕ 0 (t ) – заданная непрерывная начальная функция. Сегмент [ t 0 − τ , t 0 ] называется начальным множеством, t 0 называется начальной точкой. Предполагается, что X (t 0 + 0) = ϕ 0 (t 0 ) (рис. 1).

X (t ) = ϕ 0 (t)

	t 0 − τ		t 0 + τ		0 + τ
Если запаздывание τ		в уравнении (10) зависит от времени t		(τ = τ (t )) , то началь-

ная задача ставится следующим образом: найти решение уравнения (10) при t > t 0 , если известна начальная функция X (t ) = ϕ 0 t при t 0 − τ (t 0 ) ≤ t ≤ t 0 .

Пример. Найти решение уравнения.

X (t) = f [ t, x(t) , x(t − cos 2 t) ]
при t > t 0 = 0 , если начальная функция X (t ) = ϕ 0 (t ) при (t 0 − cos2 t 0 ) |	t ≤ t0
t 0 = 0

− 1 ≤ t ≤ 0).

I. МЕТОД ШАГОВ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

Пример. Найти решение уравнения

	X (t) = f [ t, x(t) , x(t / 2 ) ]			при (t	−t	/ 2) |
	t > t 0 = 1 , если начальная функция X (t ) = ϕ t						≤ t ≤ t
						t = 1			t = 1

1/ 2 ≤ t ≤ 1).

Отметим, что начальная функция обычно задается или находится экспериментально (в основном в технических задачах).

1.2. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Метод шагов

Рассмотрим дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом.

Требуется найти решение уравнения (13) при t ≥ t 0 .

Для нахождения решения уравнения (13) при t ≥ t 0 будем пользоваться методом шагов (метод последовательного интегрирования).

Суть метода шагов состоит в том, что сначала найдем решение уравнения (13) для t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ , потом для t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ и т.д. При этом заметим, например, что так как в области t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ аргумент t − τ меняется в пределах t 0 − τ ≤ t − τ ≤ t 0 , то в уравнении

(13) в данной области вместо x (t − τ ) можно взять начальную функцию ϕ 0 (t − τ ) . Тогда

получим, что для нахождения решения уравнения (13) в области t 0 ≤ t ≤ t 0		+ τ нужно ре-
шить обыкновенное дифференциальное уравнение без запаздывания в виде:
	[ t, x(t) , ϕ 0 (t − τ ) ] ,
X (t) = f
при t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ	с начальным условием X (t 0 ) = ϕ (t 0 ) (см. рис. 1).
	найдя решение этой начальной задачи в виде X (t ) = ϕ 1 (t ) ,	можем поста-

вить задачу нахождения решения на отрезке t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ и т.д.

Итак имеем:

			0 (t − τ ) ] ,
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ
при t 0	≤ t ≤ t0 + τ , X (t0 )		= ϕ 0 (t 0 ) ,
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ 1 (t − τ ) ] ,
при t 0 +τ ≤ t ≤ t 0 + 2 τ ,			X (t 0 + τ ) = ϕ 1(t 0 + τ ) ,
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ 2 (t − τ ) ] ,
при t 0 + 2τ ≤ t ≤ t 0 + 3τ ,			X (t 0 + 2 τ ) = ϕ 2 (t 0 + 2 τ ) ,
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ n (t − τ ) ] ,
при t 0 + n τ ≤ t ≤ t 0 + (n +1 ) τ , X (t 0 + n τ ) = ϕ n (t 0 + n τ ) ,
	ϕ i (t ) есть	решение рассматриваемой начальной		задачи на отрезке
t 0 + (i −1 ) τ ≤ t ≤ t 0 +i τ		(I=1,2,3…n,…).

I. МЕТОД ШАГОВ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

Такой метод шагов решения дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом (13) позволяет определить решение X (t ) на некотором конечном отрезке изменения t.

Пример 1. Методом шагов найти решение дифференциального уравнения 1-го порядка с запаздывающим аргументом

	(t) = 6 X (t − 1 )
в области 1 ≤ t ≤ 3 , если начальная функция при 0 ≤ t ≤ 1 имеет вид X (t ) = ϕ 0 (t ) = t .
Решение. Сначала найдем решение уравнения (19) в области 1 ≤ t ≤ 2 . Для этого в
(19) заменим X (t − 1) на ϕ 0 (t − 1) , т.е.
X (t − 1 ) = ϕ 0 (t − 1 ) = t| t → t − 1 = t − 1
и учтем X (1) = ϕ 0 (1) = t |
Итак в области 1 ≤ t ≤ 2 получим обыкновенное дифференциальное уравнение вида
	(t )= 6 (t − 1 )
или dx (t )	6 (t −1 ) .
Решая его с учетом (20), получим решение уравнения (19) при 1 ≤ t ≤ 2 в виде
X (t) = 3 t 2 − 6 t + 4 = 3 (t − 1 ) 2 + 1.
Для нахождения решения в области 2 ≤ t ≤ 3 в уравнении (19) заменим X (t − 1) на
ϕ 1 (t −1 ) = 3 (t −1 ) 2 +1 | t → t − 1		3(t − 2) 2 + 1. Тогда получим обыкновенное		дифференциальное
уравнение:
	(t ) = 6[ 3(t − 2) 2 + 1] , X (2) = ϕ 1 (2) = 4 ,
решение которого имеет вид (Рис. 2)
X (t) = 6 (t − 2 ) 3 + 6 t − 8 .

Системы с запаздыванием отличаются от рассмотренных ранее систем тем, что в одном или нескольких из своих звеньев имеют запаздывание во времени начала изменения выходной величины (после начала изменения входной) на величину т, называемую временем запаздывания, причем это время запаздывания остается постоянным и во всем последующем ходе процесса.

Например, если звено описывается уравнением

(апериодическое звено первого порядка), то уравнение соответствующего звена с запаздыванием будет иметь вид

(апериодическое звено первого порядка с запаздыванием). Такого вида уравнения называются уравнениями с запаздывающим аргументом,

Тогда уравнение (6.31) запишется в обыкновенном

изменяется скачком от нуля до единицы (рис. 6.20,

стоящей в правой части уравнении звена,

). В общем случае, как и для (6.31), уравнение динамики любого звена с запаздыванием можно разбить на два:

что соответствует условной разбивке звена с запаздыванием (рис. 6.21, а) па два: обыкновенное звено того же порядка и с теми же коэффициентами и предшествующий ему элемент запаздывания (рис. 6.21,6).

означает время движения металла от валков до измерителя толщины. В двух последних примерах величина т называется транспортным запаздыванием.

В первом приближении определенной величиной запаздывания т могут быть охарактеризованы трубопроводы или длинные электрические линии, входящие в звенья системы.

показанная на рис. 6.22, б, то можно приближенно описать это звено как апериодическое звено первого порядка с запаздыванием (6.31), взяв величины т, Г и к с экспериментальной кривой (рис, 6,22, б).

Заметим также, что такая же экспериментальная кривая согласно графику рис. 6.22, в может трактоваться и как временная характеристика обыкновенного апериодического звена второго порядка с уравнением

и к можно вычислить из соотношений, записанных в § 4.5 для данного звена, по некоторым замерам на экспериментальной кривой или другими способами.

функция (6.36) мало отличается от передаточной функции звена с запаздыванием (6.35).

Уравнение любого линейного звена с запаздыванием (6.33) будем теперь записывать в виде

Передаточная функция линейного звена с запаздыванием будет

обозначена передаточная функция соответствующего обыкновенного звена без запаздывания.

- модуль и фаза частотной передаточной функции звена без запаздывания.

Отсюда получаем следующее правило.

Для построения амплитудно-фазовой характеристики любого звена с запаздыванием нужно взять характеристику соответствующего обыкновенного звена и каждую ее точку сдвинуть вдоль окружности по часовой стрелке на угол то, где со - значение частоты колебаний в данной точке характеристики (рис. 6.23, а).

начальная точка остается без изменения, а конец характеристики асимптотически навивается на начало координат (если степень операторного многочлена В меньше, чем многочлена С).

Выше говорилось о том, что реальные переходные процессы (временные характеристики) вида рис. 6.22, б часто могут быть с одинаковой степенью приближения описаны как уравнением (6.31), так и (6.34). Амплитудно-фазовые характеристики для уравнений (6.31) и (6.34) показаны на рис. 6.23, а и б соответственно. Принципиальное отличие первой состоит в том, что она имеет точку D пересечения с осью (/. При сравнении обеих характеристик между собой и с экспериментальной амплитудно-фазовой характеристикой реального звена надо принимать во внимание не только форму кривой, но и характер распределения отметок частот со вдоль нее.

Передаточная функция разомкнутой системы без запаздывания.

Характеристическое уравнение замкнутой системы, как показано в гл. 5, имеет вид

уравнение может иметь бесконечное количество корней.

Существенно изменяется очертание амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой цени, построенной но частотной передаточной функции

причем размыкание системы производится по определенному правилу, которое дается ниже.

Как следствие, для устойчивости линейных систем первого и второго порядка с запаздыванием, оказывается, уже недостаточно только положительности.коэффициентов, а для систем третьего и более высокого порядка с запаздыванием неприменимы критерии устойчивости Вышнеградского, Рауса и Гурвица.

Ниже будет рассмотрено определение устойчивости только по критерию Найквиста, так как его использование для этой пели оказывается наиболее простым.

1Построение амплитудно-фазовой характеристики и исследование устойчивости но критерию Найквиста лучше всего производить, если передаточная функция разомкнутой системы представлена в виде (6.38). Для получения этого необходимо произвести соответствующим образом размыкание системы.

Для случая, изображенного на рис. 6.24, а, размыкание можно сделать в любом месте главной цепи, например так, как это показано. Тогда передаточная функция разомкнутой системы будет что совпадает по форме с (6.41).

Для случая, изображенного на рис. 6,24, б, размыкание главной цепи дает выражение

функции разомкнутой системы, не удобное для дальнейших исследований:

Наконец, в случае, изображенном на рис. 6.24, в, при размыкании системы в указанном месте получаем выражение, также совпадающее с (6.41):

Частотную передаточную функцию (6.41) можно представить в виде

Поэтому, представив выражение (6.41) в виде

Специальный курс

Классификация уравнений с отклоняющимся аргументом. Основная начальная задача для дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Метод последовательного интегрирования. Принцип сглаживания решений уравнений с запаздыванием.

Принцип сжатых отображений. Теорема существования и единственности решения основной начальной задачи для уравнения с несколькими сосредоточенными запаздываниями. Теорема существования и единственности решения основной начальной задачи для системы уравнений с распределенным запаздыванием.

Непрерывная зависимость решений основной начальной задачи от параметров и начальных функций.

Специфические особенности решений уравнений с запаздыванием. Возможность продолжения решения. Перенос начальной точки. Теоремы о достаточных условиях интервалов слипания. Теорема о достаточных условиях нелокальной продолжимости решений.

Вывод формулы общего решения для линейной системы с линейными запаздываниями.

Исследование уравнений с запаздыванием на устойчивость. Метод Д-разбиений.

Применение метода функционалов для исследования устойчивости. Теоремы Н. Н. Красовского о необходимых и достаточных условиях устойчивости. Примеры построения функционалов.

Применение метода функций Ляпунова для исследования устойчивости. Теоремы Разумихина об устойчивости и асимптотической устойчивости решений уравнений с запаздыванием. Примеры построения функций Ляпунова.

Построение программных управлений с запаздыванием в системах с полной и неполной информацией. Теоремы В. И. Зубова. Задача распределения капиталовложений по отраслям.

Построение оптимальных программных управлений в линейном и нелинейном случаях. Принцип максимума Понтрягина.

Стабилизация системы уравнений управлением с постоянными запаздываниями. Влияние переменного запаздывания на одноосную стабилизацию твердого тела.

ЛИТЕРАТУРА

1. Жабко А.П., Зубов Н.В., Прасолов А.В. Методы исследования систем с последействием. Л., 1984. Деп. ВИНИТИ, № 2103-84.
2. Зубов В. И. К теории линейных стационарных систем с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Сер. математика. 1958. № 6.
3. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.
4. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М., 1959
5. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения.
6. Мышкис А. Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Успехи мат. наук. 1949. Т.4, № 5.
7. Прасолов А. В. Аналитические и численные исследования динамических процессов. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1995.
8. Прасолов А. В. Математические модели динамики в экономике. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та экономики и финансов, 2000.
9. Чижова О. Н. Построение решения и устойчивость систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Л., 1988. Деп. в ВИНИТИ, № 8896-В88.
10. Чижова О. Н. Стабилизация твердого тела с учетом линейного запаздывания // Вестник СПбГУ. Сер.1. 1995. Вып.4, № 22.
11. Чижова О. Н. О нелокальной продолжимости уравнений с переменным запаздыванием // Вопросы механики и процессов управления. Вып. 18. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 2000.
12. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М., 1971.

Линейными системами с запаздыванием называются такие автоматические системы, которые, имея в общем ту же самую структуру, что и обыкновенные линейные системы (раздел II), отличаются от последних тем, что в одном или нескольких из своих звеньев имеют запаздывание во времени начала изменения выходной величины (после начала изменения входной) на величину называемую временем запаздывания, причем это время запаздывания остается постоянным и во всем последующем ходе процесса.

Например, если обыкновенное линейное звено описывается уравнением

(апериодическое звено первого порядка), то уравнение соответствующего линейного звена с запаздыванием будет иметь вид

(апериодическое звено первого порядка с запаздыванием). Такого вида уравнения называются уравнениями с запаздывающим аргументом или дифференциально-разностными уравнениями.

Обозначим Тогда уравнение (14.2) запишется в обыкновенном виде:

Так, если входная величина изменяется скачком от нуля до единицы (рис. 14.1, а), то изменение величины стоящей в правой части уравнения звена, изобразится графиком рис. 14.1, б (скачок на секунд позже). Используя теперь переходную характеристику обыкновенного апериодического звена в применении к уравнению (14.3), получаем изменение выходной величины в виде графика рис. 14.1, в. Это и будет переходная характеристика апериодического звена первого порядка с запаздыванием (его апериодическое «инерционное» свойство определяется постоянной времени Т, а запаздывание - величиной

Линейное звено с запаздыванием. В общем случае, как и для (14.2), уравнение динамики любого линейного звена с запаздыванием можно

разбить на два:

что соответствует условной разбивке линейного звена с запаздыванием (рис. 14.2, а) на два: обыкновенное линейное звено того же порядка и с теми же коэффициентами и предшествующий ему элемент запаздывания (рис. 14,2, б).

Временная характеристика любого звена с запаздыванием будет, следовательно, такая же, как у соответствующего обыкновенного звена, но только сдвинута по оси времени вправо на величину .

Примером звена «чистого» запаздывания является акустическая линия связи - время прохождения звука). Другими примерами могут служить система автоматического дозирования какого-либо вещества, перемещаемого с помощью ленточного транспортера - время движения ленты на определенном участке), а также система регулирования толщины прокатываемого металла, где означает время движения металла от валков до измеритетя толщины

В двух последних примерах величина называется транспортным запаздыванием.

В первом приблилчвнии определенной величиной запаздывания могут быть оларактеризованы трубопроводы или длинные электрические линии, входящие в звенья системы (подробнее о них см. § 14.2).

Величину запаздывания в звене можно определить экспериментально путем снятия временной характеристики. Например, если при подаче на вход звена скачком некоторой величины, принимаемой за единицу, на выходе получается экспериментальная кривая для показанная на рис. 14.3, б, то можно приближенно описать это звено как апериодическое звено первого порядка с запаздыванием (14.2), взяв величины с экспериментальной кривой (рис. 14.3, б).

Заметим также, что такая же экспериментальная кривая согласно графику рис. 14.3, в может трактоваться и как временная характеристика обыкновенного апериодического звена второго порядка с уравнением

причем и к можно вычислить из соотношений, записанных в § 4.5 для данного звена, по некоторым замерам на экспериментальной кривой или другими способами.

Итак, с гочки зрения временной характеристики реальное звено, приближенно описываемое уравнением первого порядка с запаздывающим аргументом (14.2), часто может быть с такой же степенью приближения описано обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка (14.5). Для решения вопроса о том, какое из этих уравнений лучше подходит к данному

реальному звену, можно сравнить еще их амплитудно-фазовые характеристики с экспериментально снятой амплитудно-фазовой характеристикой звена, выражающей его динамические свойства при вынужденных колебаниях. Построение амплитудно-фазовых характеристик звеньев с запаздыванием будет рассмотрено ниже.

В целях единства записи уравнений представим второе из соотношений (14.4) для элемента запаздывания в операторном виде. Разложив правую часть его в ряд Тейлора, получим

или, в принятой ранее символической операторной записи,

Это выражение совпадает с формулой теоремы запаздывания для изображений функций (табл. 7.2). Таким образом, для звена чистого запаздывания получаем передаточную функцию в виде

Заметим, что в некоторых случаях наличие большого числа малых постоянных времени в системе регулирования можно учесть в виде постоянного запаздывания, равного сумме этих постоянных времени. Действительно, пусть система содержит последовательно включенных апериодических звеньев первого порядка с коэффициентом передачи, равным единице, и величиной каждой постоянной времени Тогда результирующая передаточная функция будет

Если то в пределе получаем . Уже при передаточная функция (14.8) мало отличается от передаточной функции звена с запаздыванием (14.6).

Уравнение любого линейного звена с запаздыванием (14.4) будем теперь записывать в виде

Передаточная функция линейного звена с запаздыванием будет

где через обозначена передаточная функция соответствующего обыкновенного линейного звена без запаздывания.

Частотная передаточная функция получается из (14.10) подстановкой

где - модуль и фаза частотной передаточной функции звена без запаздывания. Отсюда получаем следующее правило.

Для построения амплитудно-фазовой характеристики любого линейного звена с запаздыванием нужно взять характеристику соответствующего обыкновенного линейного звена и каждую ее точку сдвинуть вдоль окружности по часовой стрелке на угол , где - значение частоты колебаний в данной точке характеристики (рис. 14.4, а).

Так как в начале амплитудно-фазовой характеристики а в конце то начальная точка остается без изменения, а конец характеристики асимптотически навивается на начало координат (если степень операторного многочлена меньше, чем многочлена

Выше говорилось о том, что реальные переходные процессы (временные характеристики) вида рис. 14.3, б часто могут быть с одинаковой степенью приближения описаны как уравнением (14.2), так и (14.5). Амплитудно-фазовые характеристики для уравнений (14.2) и (14.5) показаны на рис. 14.4, а и соответственно. Принципиальное отличие первой состоит в том, что она имеет точку D пересечения с осью

При сравнении обеих характеристик между собой и с экспериментальной амплитудно-фазовой характеристикой реального звена надо принимать во внимание не только форму кривой, на и характер распределения отметок частот о вдоль нее.

Линейная система с запаздыванием.

Пусть одноконтурная или многоконтурная автоматическая система в числе своих звеньев имеет одно звена с запаздыванием. Тогда уравнение этого звена имеет вид (14.9). Если таких звеньев несколько, то они могут иметь разные величины запаздывания Все выведенные в главе 5 общие формулы для уравнений и передаточных функций систем автоматического регулирования остаются в силе и для любых линейных систем с запаздыванием, если только в эти формулы подставлять значения передаточных функций в виде (14.10).

Например, для разомкнутой цепи из последовательно соединенных звеньев, среди которых имеется два звена с запаздыванием соответственно, передаточная функция разомкнутой системы будет иметь вид

где - передаточная функция разомкнутой цепи без учета запаздывания, равная произведению передаточных функций включенных последовательно звеньев.

Таким образом, при исследовании динамики разомкнутой цепи из последовательно соединенных звеньев безралично, будет ли все запаздывание сосредоточено в одном каком-нибудь звене или разнесено по разным звеньям. Для многоконтурных цепей получатся более сложные соотношения.

Если имеется звено с отрицательной обратной связью, обладающей запаздыванием , то оно будет описываться уравнениями;