Для расчета предельной ошибки выборки необходимо скорректировать. Формула доверительной вероятности при оценке генеральной средней

Ошибка выборки - это объективно возникающее расхождение между характеристиками выборки и генеральной совокупности. Она зависит от ряда факторов: степени вариации изучаемого признака, численности выборки, методом отбора единиц в выборочную совокупность, принятого уровня достоверности результата исследования.

Для репрезентативности выборки важно обеспечить случайность отбора, с тем, чтобы все объекты генеральной совокупности имели равные вероятности попасть в выборку. Для обеспечения репрезентативности выборки применяют следующие способы отбора:

· собственно-случайная (простая случайная) выборка (последовательно отбирается первый случайно попавшийся объект);

· механическая (систематическая) выборка;

· типическая (стратифицированная, расслоенная) выборка (объекты отбираются пропорционально представительству различных типов объектов в генеральной совокупности);

· серийная (гнездовая) выборка.

Отбор единиц в выборочную совокупность может быть повторным или бесповторным. При повторном отборе попавшая в выборку единица подвергается обследованию, т.е. регистрации значений ее признаков, возвращается в генеральную совокупность и наравне с другими единицами участвует в дальнейшей процедуре отбора. При бесповторном отборе попавшая в выборку единица подвергается обследованию и в дальнейшей процедуре отбора не участвует

Выборочное наблюдение всегда связано с ошибкой, поскольку число отобранных единиц не равно исходной (генеральной) совокупности. Случайные ошибки выборки обусловлены действием случайных факторов, не содержащих каких-либо элементов системности в направлении воздействия на рассчитываемые выборочные характеристики. Даже при строгом соблюдении всех принципов формирования выборочной совокупности выборочные и генеральные характеристики будут несколько различаться. Поэтому получаемые случайные ошибки должны быть статистически оценены и учтены при распространении результатов выборочного наблюдения на всю генеральную совокупность. Оценка таких ошибок и является основной задачей, решаемой в теории выборочного наблюдения. Обратной задачей является определение такой минимально необходимой численности выборочной совокупности, при которой ошибка не превысит заданной величины. На выработку навыков в решении этих задач и направлен материал данного раздела.

Собственно-случайная выборка . Ее суть заключается в отборе единиц из генеральной совокупности в целом, без разделения ее на группы, подгруппы или серии отдельных единиц. При этом единицы отбираются в случайном порядке, не зависящем ни от последовательности расположения единиц в совокупности, ни от значений их признаков.

После проведения отбора с использованием одного из алгоритмов, реализующих принцип случайности, или на основе таблицы случайных чисел, определяются границы генеральных характеристик. Для этого рассчитываются средняя и предельная ошибки выборки.

Средняя ошибка повторной собственно-случайной выборки определяется по формуле

где σ - среднее квадратическое отклонение изучаемого признака;

n - объем (число единиц) выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки связана с заданным уровнем вероятности. При решении представленных ниже задач требуемая вероятность составляет 0,954 (t = 2) или 0,997 (t = 3). С учетом выбранного уровня вероятности и соответствующего ему значения t предельная ошибка выборки составит:

Тогда можно утверждать, что при заданной вероятности генеральная средняя будет находиться в следующих границах:

При определении границ генеральной доли при расчете средней ошибки выборки используется дисперсия альтернативного признака, которая вычисляется по следующей формуле:

где w - выборочная доля, т. е. доля единиц, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака.

При решении отдельных задач необходимо учитывать, что при неизвестной дисперсии альтернативного признака можно использовать ее максимально возможную величину, равную 0,25.

Пример . В результате выборочного обследования незанятого населения, ищущего работу, проведенного на основе собственно-случайной повторной выборки были получены данные, приведенные в табл. 1.14.

Таблица 1.14

Результаты выборочного обследования незанятого населения

С вероятностью 0,954 определите границы:

а) среднего возраста незанятого населения;

б) доли (удельного веса) лиц, моложе 25 лет, в общей численности незанятого населения.

Решение. Для определения средней ошибки выборки необходимо, прежде всего, определить выборочную среднюю величину и дисперсию изучаемого признака. Для этого, при ручном способе расчета целесообразно построить таблицу 1.15.

Таблица 1.15

Расчет среднего возраста незанятого населения и дисперсии

На основании данных таблицы рассчитываются необходимые показатели:

· выборочная средняя величина:

;

· дисперсия:

· среднеквадратичное отклонение:

.

Средняя ошибка выборки составит:

года.

Определим с вероятностью 0,954 (t = 2) предельную ошибку выборки:

года.

Установим границы генеральной средней: (41,2 - 1,6) (41,2+1,6) или:

Таким образом, на основании проведенного выборочного обследования с вероятностью 0,954 можно заключить, что средний возраст незанятого населения, ищущего работу, лежит в пределах от 40 до 43 лет.

Для ответа на вопрос, поставленный в пункте «б» данного примера, по выборочным данным определим долю лиц в возрасте до 25 лет и рассчитаем дисперсию доли:

Рассчитаем среднюю ошибку выборки:

Предельная ошибка выборки с заданной вероятностью составит:

Определим границы генеральной доли:

Следовательно, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля лиц в возрасте до 25 лет в общей численности незанятого населения находится в пределах от 3,9 до 1 1,9%.

При расчете средней ошибки собственно-случайной бесповторной выборки необходимо учитывать поправку на бесповторность отбора:

где N - объем (число единиц) генеральной совокупности/

Необходимый объем собственно-случайной повторной выборки определяется по формуле:

Если отбор бесповторный, то формула приобретает следующий вид:

Полученный на основе использования этих формул результат всегда округляется в большую сторону до целого значения.

Пример. Необходимо определить, сколько учащихся первых классов школ района необходимо отобрать в порядке собственно-случайной бесповторной выборки, чтобы с вероятностью 0,997 определить границы среднего роста первоклассников с предельной ошибкой 2 см. Известно, что всего в первых классах школ района обучается 1100 учеников, а дисперсия роста по результатам аналогичного обследования в другом районе составила 24.

Решение. Необходимый объем выборки при уровне вероятности 0,997 (t = 3) составит:

Таким образом, для получения данных о среднем росте первоклассников с заданной точностью необходимо обследовать 52 школьника.

Механическая выборка . Данная выборка заключается в отборе единиц из общего списка единиц генеральной совокупности через равные интервалы в соответствии с установленным процентом отбора. При решении задач на определение средней ошибки механической выборки, а также необходимой ее численности, следует использовать приведенные выше формулы, применяемые при собственно-случайном бесповторном отборе.

Так, при 2%-ной выборке отбирается каждая 50-я единица (1:0,02), при 5%-ной выборке - каждая 20-я единица (1:0,05) и т.д.

Таким образом, в соответствии с принятой долей отбора, генеральная совокупность как бы механически разбивается на равновеликие группы. Из каждой группы в выборку отбирается лишь одна единица.

Важной особенностью механической выборки является то, что формирование выборочной совокупности можно осуществить, не прибегая к составлению списков. На практике часто используют тот порядок, в котором фактически размещаются единицы генеральной совокупности. Например, последовательность выхода готовых изделий с конвейера или поточной линии, порядок размещения единиц партии товара при хранении, транспортировке, реализации и т.д.

Типическая выборка. Эта выборка применяется в тех случаях, когда единицы генеральной совокупности объединены в несколько крупных типичных групп. Отбор единиц в выборку производится внутри этих групп пропорционально их объему на основе использования собственно-случайной или механической выборки (при наличии необходимой информации отбор также может производиться пропорционально вариации изучаемого признака в группах).

Типическая выборка обычно применяется при изучении сложных статистических совокупностей. Например, при выборочном обследовании производительности труда работников торговли, состоящих из отдельных групп по квалификации.

Важной особенностью типической выборки является то, что она дает более точные результаты по сравнению с другими способами отбора единиц в выборочную совокупность.

Средняя ошибка типической выборки определяется по формулам:

(повторный отбор);

(бесповторный отбор),

где - средняя из внутригрупповых дисперсией.

Пример . В целях изучения доходов населения по трем районам области сформирована 2%-ная выборка, пропорциональная численности населения этих районов. Полученные результаты представлены в табл. 16.

Таблица 16

Результаты выборочного обследования доходов населения

Необходимо определить границы среднедушевых доходов населения по области в целом при уровне вероятности 0,997.

Решение. Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий:

где N i - объем i -и группы;

n, - объем выборки из /-и группы.

Серийная выборка . Эта выборка используется в тех случаях, когда единицы изучаемой совокупности объединены в небольшие равновеликие группы или серии. Единицей отбора в этом случае является серия. Серии отбираются с использованием собственно-случайной либо механической выборки, а внутри отобранных серий обследуются все без исключения единицы.

В основе расчета средней ошибки серийной выборки лежит межгрупповая дисперсия:

(повторный отбор);

(бесповторный отбор),

где x i - число отобранных i - серий;

R - общее число серий.

Межгрупповую дисперсию при равновеликих группах вычисляют следующим образом:

где х i - средняя i-и серии;

х - общая средняя по всей выборочной совокупности.

Пример . В целях контроля качества комплектующих из партии изделий, упакованных в 50 ящиков по 20 изделий в каждом, была произведена 10%-ная серийная выборка. По попавшим в выборку ящикам среднее отклонение параметров изделия от нормы соответственно составило 9 мм, 11, 12, 8 и 14 мм. С вероятностью 0,954 определите среднее отклонение параметров по всей партии в целом.

Решение. Выборочная средняя:

мм.

Величина межгрупповой дисперсии:

С учетом установленной вероятности Р = 0,954 (t = 2) предельная ошибка выборки составит:

мм.

Произведенные расчеты позволяют заключить, что среднее отклонение параметров всех изделий от нормы находится в следующих границах:

Для определения необходимого объема серийной выборки при заданной предельной ошибке используются следующие формулы:

(повторный отбор);

(безповторный отбор).

Понятие и расчет ошибки выборки.

Задачей выборочного наблюдения является дача верных представлений о сводных показателях всей совокупности на основе некоторой их части, подвергнутой наблюдению. Возможное отклонение выборочной доли и выборочной средней от доли и средней в генеральной совокупности называется ошибкойвыборки или ошибкойрепрезентативности. Чем больше величина этой ошибки, тем больше показатели выборочного наблюдения отличаются от показателей генеральной совокупности.

Различаются:

Ошибки выборки;

Ошибки регистрации.

Ошибки регистрации возникают при неправильном установлении факта в процессе наблюдения. Они свойственны как сплошному наблюдению, так и выборочному, но в выборочном их меньше.

По природе ошибки бывают:

Тенденциозные – преднамеренные, т.е. были отобраны либо лучшие, либо худшие единицы совокупности. При этом наблюдения теряют смысл;

Случайные – основной организационный принцип выборочного наблюдения состоит в том, чтобы не допустить преднамеренного отбора, т.е. обеспечить строгое соблюдение принципа случайного отбора.

Общим правилом случайного отбора является: у отдельных единиц генеральной совокупности должны быть совершенно одинаковые условия и возможности упасть в число единиц, входящих в выборку. Это характеризует независимость результата выборки от воли наблюдателя. Воля же наблюдателя порождает тенденциозные ошибки. Ошибка выборки при случайном отборе носит случайный характер. Она характеризует размеры отклонений генеральных характеристик от выборочных.

В связи с тем, что признаки в изучаемой совокупности варьируют, то состав единиц, попавших в выборку, может не совпадать с составом единиц всей совокупности. Это означает, что Р и не совпадают с W и . Возможное расхождение между этими характеристиками определяется ошибкой выборки, которая определяется по формуле:

где - генеральная дисперсия.

где - выборочная дисперсия.

Отсюда видно, где генеральная дисперсия отличается от выборочной дисперсии в раз.

Существует повторный и бесповторный отбор. Сущность повторного отбора состоит в том, что каждая, попавшая в выборку единица, после наблюдения возвращается в генеральную совокупность и может быть исследована повторно. При повторном отборе средняя ошибка выборки рассчитывается:

Для показателя доли альтернативного признака дисперсия выборки определяется по формуле:

На практике повторный отбор применяется редко. При бесповторном отборе, численность генеральной совокупности N в ходе выборки сокращается, формула средней ошибки выборки для количественного признака имеет вид:

, тогда

Одно из возможных значений, в которых может находиться доля изучаемого признака равно:

где - ошибка выборки альтернативного признака.

Пример .

При выборочном обследовании 10 % изделий партии готовой продукции по методу без повторного отбора получены следующие данные о содержании влаг в образцах.

Определить средний % влажности, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, с вероятностью 0,954 возможные пределы, в которых ожидается ср. % влажности всей готовой продукции, с вероятность 0,987 возможные пределы удельного веса стандартной продукции при условии, что к нестандартной партии относятся изделия с влажностью до 13 и выше 19 %.

Лишь с определенной вероятностью можно утверждать, что генеральная доля от выборочной доли и генеральная средняя от выборочной средней, отклоняются в t раз.

В статистике эти отклонения называются предельнымиошибкамивыборки и обозначаются .

Вероятность суждений можно повысить или понизить в t раз. При вероятности 0,683 , при 0,954 , при 0,987 , тогда показатели генеральной совокупности по показателям выборки определяются.

Выборочное наблюдение

Понятие выборочного наблюдения

Выборочный метод используется, когда применение сплошного на­блюдения физически невозможно из-за огромного массива данных или экономически нецелесообразно. Физическая невозможность имеет ме­сто, например, при изучении пассажиропотоков, рыночных цен, семей­ных бюджетов. Экономическая нецелесообразность имеет место при оценке качества товаров, связанной с их уничтожением. Например, де­густация, испытание кирпичей на прочность и т.п. Выборочное наблю­дение используется также для проверки результатов сплошного.

Статистические единицы, отобранные для наблюдения, составляют выборочную совокупность или выборку, а весьих массив - генеральную совокупность (ГС). При этом число единиц в выборке обозначают п, во всей ГС – N. Отношение n/N называется относительный размер или доля выборки .

Качество результатов выборочного наблюдения зависит от репре­зентативности выборки, т.е. от того, насколько она представительна в ГС. Для обеспечения репрезентативности вы­борки необходимо соблюдать принцип случайности отбора единиц, который предполагает, что на включение единицы ГС в выборку не может повлиять какой-либо иной фактор кроме случая..

Способы формирования выборки

1. Собственно случайный отбор: все единицы ГС нумеруются, а выпавшие в результате жеребьевки номера соответствуют единицам, попавшим в выборку, причем число номеров равно запланированному объему выборки. На практике вместо жеребьевки используют генераторы случайных чисел. Данный способ отбора может быть повторным (когда каждая единица, отобранная в выборку, после проведения наблюдения возвращается в ГС и может быть вновь подвергнута обследованию) и бесповторным (когда обследованные единицы в ГС не возвращаются и не могут быть обследованы повторно). При повторном отборе вероятность попадания в выборку для каждой единицы ГС остается неизменной, а при бесповторном отборе она меняется (увеличивается), но для оставшихся в ГС после отбора из нее нескольких единиц, вероятность попадания в выборку одинакова.

2. Механический отбор: отбираются единицы генеральной совокупности с постоянным шагом N/п . Так, если она генеральная совокупность содержит 100 тыс.ед., а требуется выбрать 1 тыс.ед., то в выборку попадет каждая сотая единица.

3. Стратифицированный (расслоенным) отбор осуществляется из неоднородной генеральной совокупности, когда ее предварительно разбивают на однородные группы, после чего производят отбор единиц из каждой группы в выборочную совокупность случайный или механическим способом пропорционально их численности в генеральной совокупности.

4. Серий­ный (гнездовой)отбор: случайным или механическим способом вы­бирают не отдельные единицы, а определенные серии (гнезда), внутри которых производится сплошное наблюдение.

Средняя ошибка выборки

После завершения отбора необходимого числа единиц в выборку и регистрации предусмотренных программой наблюдения изучаемых признаков этих единиц, переходят к расчету обобщающих показателей. К ним относят среднюю величину изучаемого признака и долю единиц, обладающих каким-либо значением этого признака. Однако, если ГС произвести несколько выборок, определив при этом их обобщающие характеристики, то можно установить, что их значения будут различными, кроме того, они будут отличаться и от реального их значения в ГС, если такое определить с помощью сплошного наблюдения. Другими словами, обобщающие характеристики, рассчитанные по данным выборки, будут отличаться от их реальных значений в ГС, поэтому введем следующие условные обозначения (табл. 8).

Таблица 8. Условные обозначения

Разность между значением обобщающих характеристик выборочной и генеральной совокупностей называется ошибкой выборки, которая подразделяется на ошибку регистрации и ошибку репрезентативности . Первая возникает из-за неправильных или неточных сведений по причинам непонимания существа вопроса, невнимательно­сти регистратора при заполнении анкет, формуляров и т.п. Она доста­точно легко обнаруживается и устраняется. Вторая возни­кает из-за несоблюдения принципа слу­чайности отбора единиц в выборку. Ее сложнее обнаружить и устранить, она гораздо боль­ше первой и потому ее измерение является основной задачей выборочного наблюдения.

Для измерения ошибки выборки определяется ее средняя ошибка по формуле (39) для повторного отбора и по формуле (40) – для бесповторного:

= ;(39) = . (40)

Из формул (39) и (40) видно, что средняя ошибка меньше у бес­повторной выборки, что и обусловливает ее более широкое применение.

Между показателями выборочной совокупности и искомыми показателями (параметрами) генеральной совокупности, как правило, существуют некоторые разногласия, которые называют ошибками выборки. Общая ошибка выборочной характеристики состоит из ошибок двух родов: ошибки регистрации и ошибки репрезентативности.

Ошибки регистрации свойственны любому статистическому наблюдению и появление их может быть вызвано невнимательностью регистратора, неточностью подсчетов, несовершенством измерительных приборов и т.д.

Ошибки репрезентативности присущи только выборочному наблюдению и обусловлены самой его природой поскольку как бы тщательно и правильно не проводился отбор единиц средние и относительные показатели выборочной совокупности всегда будут в какой-то степени отличаться от соответствующих показателей генеральной совокупности.

Различают систематические и случайные ошибки репрезентативности. Систематические ошибки репрезентативности - это неточности, которые возникают вследствие несоблюдения условий отбора единиц в выборочную совокупность, не предоставление равной возможности каждой единице генеральной совокупности попасть в выборку. Случайные ошибки репрезентативности - это погрешности, которые возникают вследствие того, что выборочная совокупность точно не воспроизводит характеристики генеральной совокупности (среднее, долю, дисперсию и др.) в силу несплошного характера обследования.

При соблюдении принципа случайного отбора размер ошибки выборки прежде всего зависит от численности выборки. Чем больше численность выборки при прочих равных условиях, тем меньше величина ошибки выборки. При большой численности выборки отчетливее проявляется действие закона больших чисел, согласно которому: с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом объеме выборки и ограниченной дисперсии выборочные характеристики (средняя доля) будут сколь угодно мало отличаться от соответствующих генеральных характеристик.

Размеры ошибки выборки также непосредственно связаны со степенью варьирования изучаемого признака, а степень варьирования, как отмечалось выше, в статистике характеризуется размером дисперсии (рассеяния): чем меньше дисперсия, тем меньше ошибка выборки, тем более надежные статистические выводы. Поэтому на практике дисперсию отождествляют с ошибкой выборки.

Поскольку параметр генеральной совокупности есть искомая величина и он неизвестен, нужно ориентироваться не на конкретную ошибку, а среднюю из всех возможных выборок.

Если из генеральной совокупности отобрать несколько выборочных совокупностей, то каждая из полученных выборок даст разное значение конкретной ошибки.

Средняя квадратическая величина /и исчисленная из всех возможных значений конкретных ошибок (;) составит:

где *и - выборочные средние; х - генеральная средняя;)] - численность выборок по величине є1 = ~си - х.

Среднее квадратическое отклонение выборочных средних от генеральной средней называют средней ошибкой выборки.

Зависимость величины ошибки выборки от ее численности и от степени варьирования признака находит выражение в формуле средней ошибки выборки /и.

Квадрат средней ошибки (дисперсия выборочных средних) прямо пропорционален дисперсии Сто и обратно пропорционален численности выборки п:

где - дисперсия признака в генеральной совокупности.

Отсюда среднюю ошибку в общем виде определяют по формуле:

Итак, определив по выборке среднее квадратичное отклонение, можно установить значение средней ошибки выборки, величина которой, как следует из формулы, тем больше, чем больше вариация случайной величины и тем меньше, чем больше численность выборки.

Поэтому по мере роста объема выборки размер средней ошибки уменьшается. Если, например, нужно уменьшить среднюю ошибку выборки в два раза, то численность выборки следует увеличить в четыре раза, если надо уменьшить ошибку выборки в три раза, то объем выборки следует увеличить в девять раз и т. д.

В практических расчетах применяются две формулы средней ошибки выборки для средней и для доли.

При выборочном изучении средних показателей формула средней ошибки такая:

При изучении относительных показателей (частных признаков) формула средней ошибки имеет вид:

где г - доля признака в генеральной совокупности.

Применение приведенных формул средней ошибки предполагает, что известны генеральная дисперсия и генеральная доля. Однако в действительности эти показатели неизвестны и вычислить их невозможно из-за отсутствия данных относительно генеральной совокупности. Поэтому возникает потребность замены генеральной дисперсии и генеральной доли другими, близкими к ним, величинами.

В математической статистике доказано, что такими величинами могут быть выборочная дисперсия(ст) и выборочная доля (со).

С учетом сказанного формулы средней ошибки могут быть записаны так:

Эти формулы дают возможность определить среднюю ошибку при повторной выборке. Применения простой случайной повторной выборки в практике является ограниченным. Прежде всего практически нецелесообразно, а иногда невозможно повторное обследование тех же единиц. Применение бесповторного отбора вместо повторного диктуется также требованием повышения степени точности и надежности выборки. Поэтому на практике чаще используют способ бесповторного случайного отбора. По этому способу отбора единица совокупности, отобранная в выборку, в дальнейшем отборе не участвует. Единицы отбирают из генеральной совокупности, уменьшенной на количество ранее отобранных единиц. Поэтому в связи с изменением численности генеральной совокупности после каждого отбора и вероятности отбора для единиц, что остались, в формулы средней ошибки выборки вводится поправочный множитель

где N - численность генеральной совокупности; п - численность выборки. При достаточно большом значении N можно единицей в знаменателе пренебречь. Тогда

Следовательно, формулы средней ошибки выборки для бесповторного отбора для средней и для доли соответственно имеют вид:

Поскольку п всегда меньше М, то дополнительный множитель всегда меньше единицы. Следовательно, абсолютное значение ошибки выборки при бесповторном отборе всегда будет меньше, чем при повторном.

Если численность выборки достаточно велика, то величина 1 ^ близка к единице, а потому ею можно пренебречь. Тогда среднюю ошибку случайного бесповторного отбора определяют по формуле собственно-случайной повторной выборки.

Рассчитаем для нашего примера среднюю ошибку для урожайности и доли участков с урожайностью 25 ц/га и более.

Средняя ошибка выборки

а) средней урожайности ячменя

Средняя урожайность ячменя в генеральной совокупности х -Г^ = 25,1 ± 0,12 ц/га, то есть находится в пределах от 24,98 до 25,22 ц/га.

Доля участков с урожайностью 25 ц/га и более в генеральной совокупности р

Т-^Г = 0,80 ± 0,07, т.е. находится в пределах от 73 до 87%.

Средняя ошибка выборки показывает возможные отклонения характеристик выборочной совокупности от характеристик генеральной совокупности. Вместе с тем при проведении выборочного наблюдения перед исследователями часто стоит задача расчета не только средней ошибки, но и определение предельной возможной ошибки выборки. Зная среднюю ошибку, можно определить границы, за которые не выйдет величина ошибки выборки. Однако утверждать, что эти отклонения не превысят заданной величины, можно не с абсолютной достоверностью, а лишь с определенной степенью вероятности. Уровень вероятности, что принимается при определении возможных пределов, в которых содержатся значения параметров генеральной совокупности, называется доверительным уровнем вероятности.

Доверительная вероятность - это довольно высокая и, такая, что практически считается осуществленной в каждом конкретном случае, вероятность, что гарантирует получение надежных статистических выводов. Обозначим ее через Г а вероятность превысить этот уровень - а. Итак, а =1 - Р Вероятность а называют уровнем значимости (существенности), который характеризует относительное число ошибочных выводов в общем числе выводов и определяется как разница между единицей и доверительной вероятностью, что принимается.

Уровень доверительной вероятности устанавливает исследователь исходя из степени ответственности и характера задач, которые решаются. В статистических исследованиях в экономике чаще всего принимается уровень доверительной вероятности Г = 0,95; Р = 0,99 (соответственно уровень значимости а = 0,05; а = 0,01) реже Г = 0,999. Например, доверительная вероятность Г = 0,99 означает, что ошибка оценки в 99 случаях из 100 не превысит установленной величины и только в одном случае из 100 может достичь вычисленного значения, или превысить его.

Ошибка выборки, исчисленная с заданной степенью надежной вероятности, называется предельной ошибкой выборки Ер.

Рассмотрим, как устанавливается величина возможной предельной ошибки выборки. Величина ер связана с нормированным отклонением и, которое определяется как отношение предельной ошибки выборки ер к средней ошибки и:

Для удобства расчетов отклонения случайной величины от ее среднего значения обычно выражают в единицах среднего квадратического отклонения. Выражение

называют нормированным отклонением. в В статистической литературе и называют коэффициентом доверия, или коэффициентом кратности средней ошибки выборки.

Так, нормированное отклонение выборочной средней можно определить по формуле:

и _є_р_

Из выражения 1 можно найти возможную предельную ошибку выборки

ер = и/л.

Подставив вместо г. в ее значение, приведем формулы предельных ошибок выборки для средней и для доли при бесповторном случайном отборе:

Следовательно, предельная ошибка выборки зависит от величины средней ошибки и нормированного отклонения и равна ± кратному числу средних ошибок выборки.

Средняя и предельная ошибки выборки - именованные величины и выражаются в тех же единицах, что и средняя арифметическая и среднее квадратическое отклонения.

Нормированное отклонение функционально связано с вероятностью. Для нахождения значений и составлены специальные таблицы (доб.2), по которым можно найти значение и при заданном уровне доверительной вероятности и значения вероятности при известном и.

Приведем значения и и соответствующие им вероятности для выборок с численностью п > 30, что чаще всего используется в практических расчетах:

Следовательно, при и = 1 вероятность отклонения выборочных характеристик от генеральных на величину однократной средней ошибки выборки равна 0,6827. Это означает, что в среднем с каждой 1000 выборок 683 дадут обобщенные характеристики, которые будут отличаться от генеральных обобщенных характеристик не более, чем на величину однократной средней ошибки. При и = 2 вероятность равна 0,9545. в Это означает, что с каждого 1000 выборок 954 дадут обобщенные характеристики, которые будут отличаться от генеральных обобщенных характеристик не более чем на двукратную среднюю ошибку выборки и т.д.

Однако в связи с тем, что, как правило, проводится только одна выборка, то мы говорим, что, например, с вероятностью 0,9545 можно гарантировать, что размеры предельной ошибки не превысят двукратную среднюю ошибку выборки.

Математически доказано, что отношение ошибки выборки к средней ошибки, как правило, не превышает ± 3д при достаточно большой численности п, несмотря на то, что ошибка выборки может приобретать любые значения. Другими словами можно сказать, что при достаточно высокой вероятности суждения (Р = 0,9973) предельная ошибка выборки, как правило, не превышает трех средних ошибок выборки. Поэтому величину Ер = 3д можно принять за предел возможной ошибки выборки.

Определим для нашего примера предельную ошибку выборки для средней урожайности и доли участков с урожайностью 25 ц/га и более. Доверительный уровень вероятности примем равным Р = 0,9545. в По таблице (прил .2) найдем значения и = 2. Средние ошибки выборки для урожайности и доли участков с урожайностью 25 ц/га и больше были найдены ранее и соответственно составляли: Ц~ = ±0,12 ц/га; МР = ± 0,07.

Предельная ошибка средней урожайности ячменя:

Итак, разница между выборочной средней урожайностью и генеральной средней будет не больше 0,24 ц/га. Пределы средней урожайности в генеральной совокупности: х = х ±есть~ = 25,1 + 0,24, то есть от 24,86 до 25,34 ц/га.

Предельная ошибка доли участков с урожайностью 25 ц/га и более:

Следовательно, предельная ошибка в определении доли участков с урожайностью 25 ц/га и больше не превысит 14%, то есть удельный вес участков с указанной урожайностью в генеральной совокупности находится в пределах: г = а> ± ер = 0,80 ± 0,14, то есть от 66 до 94%.

Расхождения между величиной какого-либо показателя, найденного посредством статистического наблюдения, и действительными его размерами называются ошибками наблюдения . В зависимости от причин возникновения различают ошибки регистрации и ошибки репрезентативности.

Ошибки регистрации возникают в результате неправильного установления фактов или ошибочной записи в процессе наблюдения или опроса. Они бывают случайными или систематическими. Случайные ошибки регистрации могут быть допущены как опрашиваемыми в их ответах, так и регистраторами. Систематические ошибки могут быть и преднамеренными, и непреднамеренными. Преднамеренные – сознательные, тенденциозные искажения действительного положения дела. Непреднамеренные вызываются различными случайными причинами (небрежность, невнимательность).

Ошибки репрезентативности (представительности) возникают в результате неполного обследования и в случае, если обследуемая совокупность недостаточно полно воспроизводит генеральную совокупность. Они могут быть случайными и систематическими. Случайные ошибки репрезентативности – это отклонения, возникающие при несплошном наблюдении из-за того, что совокупность отобранных единиц наблюдения (выборка) неполно воспроизводит всю совокупность в целом. Систематические ошибки репрезентативности – это отклонения, возникающие вследствие нарушения принципов случайного отбора единиц. Ошибки репрезентативности органически присущи выборочному наблюдению и возникают в силу того, что выборочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную. Избежать ошибок репрезентативности нельзя, однако, пользуясь методами теории вероятностей, основанными на использовании предельных теорем закона больших чисел, эти ошибки можно свести к минимальным значениям, границы которых устанавливаются с достаточно большой точностью.

Ошибки выборки – разность между характеристиками выборочной и генеральной совокупности. Для среднего значения ошибка будет определяться по формуле

где

Величина
называетсяпредельной ошибкой выборки.

Предельная ошибка выборки – величина случайная. Исследованию закономерностей случайных ошибок выборки посвящены предельные теоремы закона больших чисел. Наиболее полно эти закономерности раскрыты в теоремах П. Л. Чебышева и А. М. Ляпунова.

Теорему П. Л. Чебышева применительно к рассматриваемому методу можно сформулировать следующим образом: при достаточно большом числе независимых наблюдений можно с вероятностью, близкой к единице (т. е. почти с достоверностью), утверждать, что отклонение выборочной средней от генеральной будет сколько угодно малым. В теореме П. Л. Чебышева доказано, что величина ошибки не должна превышать. В свою очередь величина, выражающая среднее квадратическое отклонение выборочной средней от генеральной средней, зависит от колеблемости признака в генеральной совокупностии числа отобранных единицn . Эта зависимость выражается формулой

, (7.2)

где зависит также от способа производства выборки.

Величину =называютсредней ошибкой выборки. В этом выражении– генеральная дисперсия,n – объем выборочной совокупности.

Рассмотрим, как влияет на величину средней ошибки число отбираемых единиц n . Логически нетрудно убедиться, что при отборе большого числа единиц расхождения между средними будут меньше, т. е. существует обратная связь между средней ошибкой выборки и числом отобранных единиц. При этом здесь образуется не просто обратная математическая зависимость, а такая зависимость, которая показывает, что квадрат расхождения между средними обратно пропорционален числу отобранных единиц.

Увеличение колеблемости признака влечет за собой увеличение среднего квадратического отклонения, а следовательно, и ошибки. Если предположить, что все единицы будут иметь одинаковую величину признака, то среднее квадратическое отклонение станет равно нулю и ошибка выборки также исчезнет. Тогда нет необходимости применять выборку. Однако следует иметь в виду, что величина колеблемости признака в генеральной совокупности неизвестна, поскольку неизвестны размеры единиц в ней. Можно рассчитать лишь колеблемость признака в выборочной совокупности. Соотношение между дисперсиями генеральной и выборочной совокупности выражается формулой

Поскольку величина при достаточно большихn близка к единице, можно приближенно считать, что выборочная дисперсия равна генеральной дисперсии, т. е.

Следовательно, средняя ошибка выборки показывает, какие возможны отклонения характеристик выборочной совокупности от соответствующих характеристик генеральной совокупности. Однако о величине этой ошибки можно судить с определенной вероятностью. На величину вероятности указывает множитель

Теорема А. М. Ляпунова . А. М. Ляпунов доказал, что распределение выборочных средних (следовательно, и их отклонений от генеральной средней) при достаточно большом числе независимых наблюдений приближенно нормально при условии, что генеральная совокупность обладает конечной средней и ограниченной дисперсией.

Математически теорему Ляпунова можно записать так:

(7.3)

где
, (7.4)

где
– математическая постоянная;

–предельная ошибка выборки , которая дает возможность выяснить, в каких пределах находится величина генеральной средней.

Значения этого интеграла для различных значений коэффициента доверия t вычислены и приводятся в специальных математических таблицах. В частности, при:

Поскольку t указывает на вероятность расхождения
, т. е. на вероятность того, на какую величину генеральная средняя будет отличаться от выборочной средней, то это может быть прочитано так: с вероятностью 0,683 можно утверждать, что разность между выборочной и генеральной средними не превышает одной величины средней ошибки выборки. Другими словами, в 68,3 % случаев ошибка репрезентативности не выйдет за пределы
С вероятностью 0,954 можно утверждать, что ошибка репрезентативности не превышает
(т. е. в 95 % случаев). С вероятностью 0,997, т. е. довольно близкой к единице, можно ожидать, что разность между выборочной и генеральной средней не превзойдет трехкратной средней ошибки выборки и т. д.

Логически связь здесь выглядит довольно ясно: чем больше пределы, в которых допускается возможная ошибка, тем с большей вероятностью судят о ее величине.

Зная выборочную среднюю величину признака
и предельную ошибку выборки
, можно определить границы (пределы), в которых заключена генеральная средняя

1 . Собственно-случайная выборка – этот способ ориентирован на выборку единиц из генеральной совокупности без всякого расчленения на части или группы. При этом для соблюдения основного принципа выборки – равной возможности всем единицам генеральной совокупности быть отобранным – используются схема случайного извлечения единиц путем жеребьевки (лотереи) или таблицы случайных чисел. Возможен повторный и бесповторный отбор единиц

Средняя ошибка собственно-случайной выборкипредставляет собойсреднеквадратическое отклонение возможных значений выборочной средней от генеральной средней. Средние ошибки выборки при собственно-случайном методе отбора представлены в табл. 7.2.

Таблица 7.2

Средняя ошибка выборки μ	При отборе
	повторном	бесповторном
Для средней

В таблице использованы следующие обозначения:

– дисперсия выборочной совокупности;

– численность выборки;

– численность генеральной совокупности;

– выборочная доля единиц, обладающих изучаемым признаком;

– число единиц, обладающих изучаемым признаком;

– численность выборки.

Для увеличения точности вместо множителя следует брать множитель
, но при большой численностиN различие между этими выражениями практического значения не имеет.

Предельная ошибка собственно-случайной выборки
рассчитывается по формуле

, (7.6)

где t – коэффициент доверия зависит от значения вероятности.

Пример. При обследовании ста образцов изделий, отобранных из партии в случайном порядке, 20 оказалось нестандартными. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится доля нестандартной продукции в партии.

Решение . Вычислим генеральную долю (Р ):
.

Доля нестандартной продукции:
.

Предельная ошибка выборочной доли с вероятностью 0,954 рассчитывается по формуле (7.6) с применением формулы табл. 7.2 для доли:

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля нестандартной продукции в партии товара находится в пределах 12 % ≤ P ≤ 28 %.

В практике проектирования выборочного наблюдения возникает потребность определения численности выборки, которая необходима для обеспечения определенной точности расчета генеральных средних. Предельная ошибка выборки и ее вероятность при этом являются заданными. Из формулы
и формул средних ошибок выборки устанавливается необходимая численность выборки. Формулы для определения численности выборки (n ) зависят от способа отбора. Расчет численности выборки для собственно-случайной выборки приведен в табл. 7.3.

Таблица 7.3

Предполагаемый отбор
	для средней
Повторный
Бесповторный

2 . Механическая выборка – при этом методе исходят из учета некоторых особенностей расположения объектов в генеральной совокупности, их упорядоченности (по списку, номеру, алфавиту). Механическая выборка осуществляется путем отбора отдельных объектов генеральной совокупности через определенный интервал (каждый 10-й или 20-й). Интервал рассчитывается по отношению, гдеn – численность выборки,N – численность генеральной совокупности. Так, если из совокупности в 500 000 единиц предполагается получить 2 %-ную выборку, т. е. отобрать 10 000 единиц, то пропорция отбора составит
Отбор единиц осуществляется в соответствии с установленной пропорцией через равные интервалы. Если расположение объектов в генеральной совокупности носит случайный характер, то механическая выборка по содержанию аналогична случайному отбору. При механическом отборе применяется только бесповторная выборка .

Средняя ошибка и численность выборки при механическом отборе подсчитывается по формулам собственно-случайной выборки (см. табл. 7.2 и 7.3).

3 . Типическая выборка , при котрой генеральная совокупность делится по некоторым существенным признакам на типические группы; отбор единиц производится из типических групп. При этом способе отбора генеральная совокупность расчленяется на однородные в некотором отношении группы, которые имеют свои характеристики, и вопрос сводится к определению объема выборок из каждой группы. Может бытьравномерная выборка – при этом способе из каждой типической группы отбирается одинаковое число единиц
Такой подход оправдан лишь при равенстве численностей исходных типических групп. При типическом отборе, непропорциональном объему групп, общее число отбираемых единиц делится на число типических групп, полученная величина дает численность отбора из каждой типической группы.

Более совершенной формой отбора является пропорциональная выборка . Пропорциональной называется такая схема формирования выборочной совокупности, когда численность выборок, взятых из каждой типической группы в генеральной совокупности, пропорциональна численностям, дисперсиям (или комбинированно и численностям, и дисперсиям). Условно определяем численность выборки в 100 единиц и отбираем единицы из групп:

– пропорционально численности их генеральной совокупности (табл. 7.4). В таблице обозначено:

N i – численность типической группы;

d j – доля (N i /N );

N – численность генеральной совокупности;

n i – численность выборки из типической группы вычисляется:

, (7.7)

n – численность выборки из генеральной совокупности.

Таблица 7.4

	N i	d j	n i

– пропорционально среднему квадратическому отклонению (табл. 7.5).

здесь  i – среднее квадратическое отклонение типических групп;

n i – численность выборки из типической группы вычисляется по формуле

(7.8)

Таблица 7.5

N i			n i

– комбинированно (табл. 7.6).

Численность выборки вычисляется по формуле

. (7.9)

Таблица 7.6

		 i N i

При проведении типической выборки непосредственный отбор из каждой группы проводится методом случайного отбора.

Средние ошибки выборки рассчитываются по формулам табл. 7.7 в зависимости от способа отбора из типических групп.

Таблица 7.7

Способ отбора	Повторный		Бесповторный
	для средней	для доли	для средней	для доли
Непропорциональный объему групп
Пропорциональный объему групп
Пропорциональный колеблемости в группах (является наивыгоднейшим)

здесь
– средняя из внутригрупповых дисперсий типических групп;

– доля единиц, обладающих изучаемым признаком;

– средняя из внутригрупповых дисперсий для доли;

– среднее квадратическое отклонение в выборке изi -й типической группы;

– объем выборки из типической группы;

– общий объем выборки;

– объем типической группы;

– объем генеральной совокупности.

Численность выборки из каждой типической группы должна быть пропорциональна среднему квадратическому отклонению в этой группе
.Расчет численности
производится по формулам, приведенным в табл. 7.8.

Таблица 7.8

4 . Серийная выборка – удобена в тех случаях, когда единицы совокупности объединены в небольшие группы или серии. При серийной выборке генеральную совокупность делят на одинаковые по объему группы – серии. В выборочную совокупность отбираются серии. Сущность серийной выборки заключается в случайном или механическом отборе серий, внутри которых производится сплошное обследование единиц. Средняя ошибка серийной выборки с равновеликими сериями зависит от величины только межгрупповой дисперсии. Средние ошибки сведены в табл. 7.9.

Таблица 7.9

Способ отбора серии
	для средней	для доли
Повторный
Бесповторный

Здесь R – число серий в генеральной совокупности;

r – число отобранных серий;

– межсерийная (межгрупповая) дисперсия средних;

– межсерийная (межгрупповая) дисперсия доли.

При серийном отборе необходимую численность отбираемых серий определяют так же, как и при собственно-случайном методе отбора.

Расчет численности серийной выборки производится по формулам, приведенным в табл. 7.10.

Таблица 7.10

Пример. В механическом цехе завода в десяти бригадах работает 100 рабочих. В целях изучения квалификации рабочих была произведена 20 %-ная серийная бесповторная выборка, в которую вошли две бригады. Получено следующее распределение обследованных рабочих по разрядам:

	Разряды рабочих в бригаде 1	Разряды рабочих в бригаде 2		Разряды рабочих в бригаде 1	Разряды рабочих в бригаде 2

Необходимо определить с вероятностью 0,997 пределы, в которых находится средний разряд рабочих механического цеха.

Решение. Определим выборочные средние по бригадам и общую среднюю как среднюю взвешенную из групповых средних:

Определим межсерийную дисперсию по формулам (5.25):

Рассчитаем среднюю ошибку выборки по формуле табл. 7.9:

Вычислим предельную ошибку выборки с вероятностью 0,997:

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний разряд рабочих механического цеха находится в пределах