Διαφορικές εξισώσεις με σταθερή καθυστέρηση. Εξισώσεις κατάστασης δυναμικών αντικειμένων με καθυστέρηση

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Γραμμικό σύστημα με καθυστέρηση.

Προβλήματα για εξισώσεις με καθυστέρηση. Εξετάστε ένα πρόβλημα μεταβλητότητας στο οποίο ο έλεγχος καθορίζει την τροχιά φάσης του συστήματος από το πρόβλημα Cauchy για την εξίσωση με καθυστέρηση

Στη βιβλιογραφία, τέτοια συστήματα ονομάζονται συχνά συστήματα ταυτόχρονων εξισώσεων, πράγμα που σημαίνει ότι εδώ η εξαρτημένη μεταβλητή μιας εξίσωσης μπορεί να εμφανίζεται ταυτόχρονα ως μεταβλητή (αλλά ήδη ως ανεξάρτητη) σε μία ή περισσότερες άλλες εξισώσεις. Σε αυτή την περίπτωση, η παραδοσιακή διάκριση μεταξύ εξαρτημένων και ανεξάρτητων μεταβλητών χάνει το νόημά της. Αντίθετα, γίνεται διάκριση μεταξύ δύο ειδών μεταβλητών. Πρόκειται, πρώτον, για από κοινού εξαρτώμενες μεταβλητές (ενδογενείς), η επιρροή των οποίων πρέπει να διερευνηθεί μεταξύ τους (πίνακας Α στον όρο Ay t) του παραπάνω συστήματος εξισώσεων). Δεύτερον, οι προκαθορισμένες μεταβλητές που υποτίθεται ότι επηρεάζουν τις πρώτες, αλλά δεν επηρεάζονται από αυτές, είναι μεταβλητές καθυστέρησης, δηλ. υστέρηση (δεύτερος όρος) και εξωγενείς μεταβλητές που ορίζονται εκτός του δεδομένου συστήματος εξισώσεων.

Ωστόσο, για εξισώσεις με γενικούς τύπους καθυστερήσεων και μια περισσότερο ή λιγότερο εκτεταμένη προδιαγραφή του υπολοίπου, δεν υπάρχουν ακόμη επαρκώς αξιόπιστα αποτελέσματα σχετικά με τις ιδιότητες των εκτιμήσεων. Έτσι, οι εκτιμήσεις για μια εξίσωση παλινδρόμησης με μια γενική μορφή πολυωνυμικής υστέρησης έχουν μόνο την ιδιότητα συνέπειας και οι εκτιμήσεις για εξισώσεις με υστέρηση εξωγενών και ενδογενών μεταβλητών που λαμβάνονται με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων τριών σταδίων (παρουσία μιας υπολειμματικής αυτοσυσχέτισης Markov πρώτης τάξης ) δεν έχουν καν αυτήν την ιδιότητα (βλ. Εικ. ανάλυση βαθμών σε ).

Έτσι, κατά τη σύνθεση συστημάτων υψηλής ταχύτητας με μέγιστο βαθμό ευστάθειας, είναι απαραίτητο πρώτα να προσδιοριστούν οι βέλτιστες τιμές του bj που διασφαλίζουν την εκπλήρωση της συνθήκης (4), ng και ω, (1=1, n), στη συνέχεια βρείτε το c/, στο οποίο (10) και, τέλος, από τη συνθήκη (12) για μια δεδομένη τιμή του C, επιλέξτε dj. Σχόλιο. Από τις εξεταζόμενες περιπτώσεις προκύπτει ότι οι δομές των βέλτιστων λύσεων, δηλαδή ο αριθμός των πραγματικών και μιγαδικών συζυγών ζευγών ακροδεξιών ριζών, ο συνδυασμός τους, οι πολλαπλότητες και, κατά συνέπεια, οι τύποι οδογραφημάτων βέλτιστων λύσεων στο επίπεδο Χ , εξαρτώνται από τη διάσταση του στοιχείου ελέγχου m (1.2) και, για αρκετά υψηλότερες τάξεις, το n (1.1) δεν εξαρτώνται από την τιμή του ίδιου του n. Με άλλα λόγια, κάθε δεδομένο m αντιστοιχεί στον δικό του καλά καθορισμένο αριθμό δομών βέλτιστες λύσεις νέες βέλτιστες λύσεις. Επομένως, για n - > QO, παραμένει η δυνατότητα σύνθεσης συστημάτων με μέγιστο βαθμό σταθερότητας, οι δομές των βέλτιστων λύσεων καθορίζονται μόνο με m, πράγμα που σημαίνει ότι για κάθε m, οι δομές των βέλτιστων λύσεων είναι επίσης γνωστές για αντικείμενα με καθυστέρηση.

Τίθεται το ερώτημα πώς προσδιορίζεται η τιμή της χρονικής υστέρησης για κάθε δείκτη.Για να προσδιορίσουμε τις κατάλληλες χρονικές καθυστερήσεις, χρησιμοποιούμε την ανάλυση συσχέτισης χρονοσειρών δεδομένων. Το κύριο κριτήριο για τον προσδιορισμό της χρονικής υστέρησης είναι η μεγαλύτερη τιμή του συντελεστή διασυσχέτισης για τις χρονοσειρές των δεικτών με διαφορετικές περιόδους υστέρησης της επίδρασής τους στον ρυθμό πληθωρισμού. Ως αποτέλεσμα, η εξίσωση θα πάρει την ακόλουθη μορφή

Επιπλέον, η μέθοδος S. d. σάς επιτρέπει να συνδέσετε, στο πλαίσιο ενός μοντέλου, πολυάριθμες ροές (φυσικός. έλεγχος και πληροφορίες) και τα επίπεδα επένδυσης κεφαλαίου και διάθεσης κεφαλαίων που συσσωρεύουν αυτές τις ροές με το επίπεδο του βασικού. Τα ποσοστά κεφαλαίου, γεννήσεων και θανάτων σε διαφορετικές ηλικιακές ομάδες με την ηλικιακή δομή του πληθυσμού κ.λπ. -rykh προσφέρονται για μια αρκετά απλή πειραματική μελέτη της σταθερότητας, ανάλογα με τις παραμέτρους και τη δομή του ίδιου του μοντέλου.

Οι κανόνες μπορούν επίσης να ομαδοποιηθούν σύμφωνα με άλλα κριτήρια. Για παράδειγμα, για ένα μέσο νομισματικής πολιτικής (συναλλαγματική ισοτιμία, επιτόκιο ή νομισματικό σύνολο) για την παρουσία ξένων οικονομικών σχέσεων (ανοικτή ή κλειστή οικονομία) για τη συμπερίληψη μιας πρόβλεψης οικονομικών μεταβλητών στην εξίσωση κανόνων (προθεσμικοί και προσαρμοστικοί κανόνες) για το ποσό της καθυστέρησης (με ή χωρίς καθυστερήσεις ) κ.λπ.

Το μοντέλο, λαμβάνοντας υπόψη τον χρόνο πτήσης του βλήματος και την καθυστέρηση στη μεταφορά πυρός, καθιστά δυνατό να ληφθούν υπόψη καθυστερήσεις στο σύστημα έγκαιρης προειδοποίησης για επίθεση εχθρικού πυραύλου και στο σύστημα διαστημικής επιτήρησης του πυρηνικού πυραύλου του δυνάμεις. Αυτό το μοντέλο ορίζεται από τις εξισώσεις

Το μπλοκ σταθερής καθυστέρησης BPZ-2M έχει σχεδιαστεί για να αναπαράγει συναρτήσεις με όρισμα καθυστέρησης σε αναλογικές υπολογιστικές συσκευές και μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην ηλεκτρική μοντελοποίηση διαδικασιών που σχετίζονται με τη μεταφορά ύλης ή μεταφοράς ενέργειας, κατά την προσέγγιση των εξισώσεων σύνθετων αντικειμένων πολλαπλών χωρητικότητας. με εξισώσεις πρώτης και δεύτερης τάξης με καθυστέρηση.

Οι συναρτήσεις απόφασης είναι μια διατύπωση μιας γραμμής συμπεριφοράς που καθορίζει πώς οι διαθέσιμες πληροφορίες σχετικά με τα επίπεδα οδηγούν στην επιλογή αποφάσεων που σχετίζονται με τις τιμές των τρεχουσών ρυθμών ροής. Η συνάρτηση απόφασης μπορεί να λάβει τη μορφή μιας απλής εξίσωσης που καθορίζει την απλούστερη αντίδραση της ροής υλικών στις καταστάσεις ενός ή δύο επιπέδων (για παράδειγμα, η απόδοση ενός συστήματος μεταφοράς μπορεί συχνά να εκφραστεί επαρκώς από τον αριθμό των εμπορευμάτων σε διαμετακόμιση , που είναι ένα επίπεδο, και μια σταθερά - η μέση καθυστέρηση για το χρόνο μεταφοράς) . Από την άλλη πλευρά, η συνάρτηση απόφασης μπορεί να είναι μια μακρά και περίπλοκη αλυσίδα υπολογισμών που εκτελούνται λαμβάνοντας υπόψη τις αλλαγές σε έναν αριθμό πρόσθετων συνθηκών.

Προς το παρόν, δεν είναι απολύτως σαφές ποιος παράγοντας είναι ο κύριος λόγος για την απουσία διατόμων στη Βαϊκάλη κατά τις ψυχρές περιόδους. Στο [Grachev et al., 1997], η αυξημένη θολότητα του νερού που προκαλείται από το έργο των ορεινών παγετώνων θεωρείται καθοριστική· στο [Gavshin et al., 1998], η κύρια είναι η πτώση της συγκέντρωσης του πυριτίου λόγω στην εξασθένιση της διάβρωσης στη λεκάνη απορροής της Βαϊκάλης. Η τροποποίηση του μοντέλου (2.6.7), όπου η πρώτη εξίσωση περιγράφει τη δυναμική της συγκέντρωσης πυριτίου και η δεύτερη - η δυναμική της καθίζησης αιωρούμενης ύλης, μας επιτρέπει να προτείνουμε μια προσέγγιση για τον προσδιορισμό του ποιος από αυτούς τους δύο παράγοντες είναι ο κύριος . Είναι ξεκάθαρο ότι λόγω της τεράστιας υδάτινης μάζας, η χλωρίδα της Βαϊκάλης θα ανταποκριθεί στην κλιματική αλλαγή με κάποια καθυστέρηση σε σύγκριση με την ανταπόκριση των φυτικών κοινοτήτων στη λεκάνη απορροής της λίμνης. Επομένως, το σήμα διατόμων πρέπει να υστερεί σε σχέση με το παλυνολογικό σήμα. Εάν ο κύριος λόγος για την εξαφάνιση των διατόμων κατά τις ψυχρές περιόδους είναι η μείωση της συγκέντρωσης του πυριτίου, τότε τέτοιες καθυστερήσεις στις αποκρίσεις στη θέρμανση θα πρέπει να είναι μεγαλύτερες από τις καθυστερήσεις για την ψύξη. Εάν ο κύριος παράγοντας καταστολής των διατόμων είναι η θολότητα λόγω των παγετώνων, τότε η καθυστέρηση στις αποκρίσεις στην ψύξη θα πρέπει να είναι περίπου η ίδια ή ακόμη μεγαλύτερη από τη θέρμανση.

Η τελευταία εξίσωση, όπως μπορεί να παρατηρήσει ο αναγνώστης, περιγράφει τη συμπεριφορά του απλούστερου αυτορυθμιζόμενου μηχανισμού με αναλογική καθυστέρηση. Το παράρτημα Α παρέχει ένα δομικό διάγραμμα που δείχνει

Η διαδικασία PERRON97 σε αυτήν την περίπτωση καθορίζει την ημερομηνία διακοπής ως το 1999 07, εάν η επιλογή της ημερομηνίας διακοπής πραγματοποιείται σύμφωνα με τα ελάχιστα - στατιστικά στοιχεία του κριτηρίου μοναδιαίας ρίζας ta=i, λαμβανόμενα σε όλα τα πιθανά σημεία διακοπής. Ταυτόχρονα, ta= = - 3,341, που είναι πάνω από το 5% του κρίσιμου επιπέδου - 5,59, και η υπόθεση της μονάδας ρίζας δεν απορρίπτεται. Η μεγαλύτερη καθυστέρηση των διαφορών που περιλαμβάνονται στη δεξιά πλευρά των εξισώσεων επιλέγεται να είναι 12 στο πλαίσιο εφαρμογής της διαδικασίας GS για μείωση του μοντέλου με επίπεδο σημαντικότητας 10%.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Υπουργείο Παιδείας της Ρωσικής Ομοσπονδίας

Διεθνής Εκπαιδευτική Κοινοπραξία «Ανοιχτή Εκπαίδευση»

Κρατικό Πανεπιστήμιο Οικονομικών Επιστημών, Στατιστικής και Πληροφορικής της Μόσχας

ΑΝΩ «Ευρασιατικό Ανοικτό Ινστιτούτο»

E.A. Gevorkyan

Διαφορικές εξισώσεις καθυστέρησης

Εγχειρίδιο Οδηγός για τη μελέτη του κλάδου

Συλλογή εργασιών για τον κλάδο Πρόγραμμα Σπουδών για τον κλάδο

Μόσχα 2004

Gevorkyan E.A. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΜΕΝΟ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑ: Ένα εγχειρίδιο, ένας οδηγός για τη μελέτη του κλάδου, μια συλλογή εργασιών για τον κλάδο, ένα πρόγραμμα σπουδών για τον κλάδο / Κρατικό Πανεπιστήμιο Οικονομικών Επιστημών, Στατιστικής και Πληροφορικής της Μόσχας - M .: 2004. - 79 σελ.

Gevorkyan E.A., 2004

Κρατικό Πανεπιστήμιο Οικονομικών Επιστημών της Μόσχας, Στατιστική και Πληροφορική, 2004


Φροντιστήριο
Εισαγωγή ...................................................... ................................................ .. ............................


1.1 Ταξινόμηση διαφορικών εξισώσεων με
αποκλίνον επιχείρημα. Δήλωση του αρχικού προβλήματος ............................................ ................. .
1.2 Διαφορικές εξισώσεις με καθυστερημένο όρισμα. Μέθοδος βήματος. .........
1.3 Διαφορικές εξισώσεις με διαχωρισμό
μεταβλητές και με όρισμα υστέρησης .............................................. ......................................................
1.4 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με καθυστερημένο όρισμα...................................
1.5 Διαφορικές εξισώσεις Bernoulli με καθυστερημένο όρισμα. ..............
1.6 Διαφορικές εξισώσεις σε ολικά διαφορικά
με καθυστερημένη επιχειρηματολογία ..................................................... ...................................................... .....................
ΚΕΦΑΛΑΙΟ II. Περιοδικές λύσεις γραμμικών διαφορικών εξισώσεων
με καθυστερημένη επιχειρηματολογία ..................................................... ...................................................... .....................
2.1. Περιοδικές λύσεις γραμμικών ομοιογενών διαφορικών εξισώσεων
με σταθερούς συντελεστές και με όρισμα υστέρησης .......................................... ....
2.2. Περιοδικές λύσεις γραμμικού ανομοιογενούς διαφορικού
..................
2.3. Η σύνθετη μορφή της σειράς Fourier .......................................... ...................................................... ...
2.4. Εύρεση Ειδικής Περιοδικής Λύσης Γραμμικής Ανομοιογενούς
διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές και καθυστερημένες
επιχείρημα επεκτείνοντας τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης σε μια σειρά Fourier ................................ ............................ .
ΚΕΦΑΛΑΙΟ III. Κατά προσέγγιση μέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων
με καθυστερημένη επιχειρηματολογία ..................................................... ...................................................... .....................
3.1. Κατά προσέγγιση μέθοδος επέκτασης για μια άγνωστη συνάρτηση
με καθυστερημένο όρισμα κατά βαθμούς καθυστέρησης.......................................... ......................................
3.2. Κατά προσέγγιση μέθοδος Πουανκαρέ. ................................................ . ................................
ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV. Διαφορικές εξισώσεις καθυστέρησης,
εμφανίζεται στη λύση κάποιων οικονομικών προβλημάτων
λαμβάνοντας υπόψη τη χρονική καθυστέρηση ................................................... ................................................................ .................................

4.1. Ο οικονομικός κύκλος του Koletsky. Διαφορική εξίσωση

Με τελικό επιχείρημα που περιγράφει την αλλαγή

απόθεμα ταμειακών κεφαλαίων ................................................... ...................................................... ......................
4.2. Χαρακτηριστική εξίσωση. Η περίπτωση της πραγματικής
ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης .............................................. ................................................................ ....
4.3. Η περίπτωση των μιγαδικών ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης.......................................... .........
4.4. Διαφορική εξίσωση καθυστέρησης,

(κατανάλωση σε αναλογία με το εθνικό εισόδημα) .......................................... ............
4.5. Διαφορική εξίσωση καθυστέρησης,
περιγράφοντας τη δυναμική του εθνικού εισοδήματος σε μοντέλα με υστέρηση
(η κατανάλωση αυξάνεται εκθετικά με το ρυθμό ανάπτυξης).......................................... ............................
Βιβλιογραφία................................................. ................................................ . ......................

Οδηγός για τη μελέτη της πειθαρχίας

2. Κατάλογος βασικών θεμάτων ................................................... ................................................... ........
2.1. Θέμα 1. Βασικές έννοιες και ορισμοί. Ταξινόμηση
διαφορικές εξισώσεις με αποκλίνοντα όρισμα.
Διαφορικές εξισώσεις καθυστέρησης. ................................................
2.2. Θέμα 2. Δήλωση του αρχικού προβλήματος. Μέθοδος βήματος λύσης
διαφορικές εξισώσεις με καθυστερημένο όρισμα. Παραδείγματα..........................
2.3. Θέμα 3. Διαφορικές εξισώσεις με διαχωρίσιμες
μεταβλητές και με καθυστερημένα ορίσματα. Παραδείγματα. ................................................ . .
2.4. Θέμα 4. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις

2.5. Θέμα 5. Διαφορικές εξισώσεις Bernoulli
με καθυστερημένο επιχείρημα. Παραδείγματα. ................................................ . ................................
2.6. Θέμα 6. Διαφορικές εξισώσεις σε ολικά διαφορικά
με καθυστερημένο επιχείρημα. Απαραίτητες και επαρκείς προϋποθέσεις. Παραδείγματα..........
2.7. Θέμα 7. Περιοδικές λύσεις γραμμικού ομογενούς διαφορικού
εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές και με καθυστερημένο όρισμα.

2.8. Θέμα 8. Περιοδικές λύσεις γραμμικού ανομοιογενούς διαφορικού
εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές και με καθυστερημένο όρισμα.
Παραδείγματα. ................................................ . ................................................ .. ................................
2.9. Θέμα 9. Σύνθετη μορφή της σειράς Fourier. Εύρεση ιδιωτικού περιοδικού
λύσεις γραμμικών ανομοιογενών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές και με
καθυστερημένο όρισμα επεκτείνοντας τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης σε μια σειρά Fourier.
Παραδείγματα. ................................................ . ................................................ .. ................................
2.10. Θέμα 10. Κατά προσέγγιση λύση διαφορικών εξισώσεων με
καθυστερημένη μέθοδος ορίσματος αποσύνθεσης συνάρτησης από καθυστέρηση
κατά βαθμούς καθυστέρησης. Παραδείγματα ................................................ ......................................
2.11. Θέμα 11. Κατά προσέγγιση μέθοδος Poincare για εύρεση περιοδικού
λύσεις οιονεί γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με μικρή παράμετρο και
με καθυστερημένο επιχείρημα. Παραδείγματα. ................................................ . ................................

2.12. Θέμα 12. Ο οικονομικός κύκλος του Κολέτσκι. Διαφορική εξίσωση

Με όρισμα καθυστέρησης για τη συνάρτηση K(t), που δείχνει το απόθεμα μετρητών

πάγιο κεφάλαιο τη χρονική στιγμή t ................................................... ................................................. ...
2.13. Θέμα 13. Ανάλυση της χαρακτηριστικής εξίσωσης που αντιστοιχεί σε
διαφορική εξίσωση για τη συνάρτηση K(t). ................................................ . .............
2.14. Θέμα 14. Η περίπτωση των μιγαδικών λύσεων της χαρακτηριστικής εξίσωσης
(ρ = α ± ιω )..................................................................................................................................
2.15. Θέμα 15. Διαφορική εξίσωση για τη συνάρτηση y(t), που δείχνει

η συνάρτηση κατανάλωσης έχει τη μορφή c(t -τ ) = (1 - α ) y (t -τ ), όπου α είναι σταθερός ρυθμός
συσσώρευση παραγωγής ...................................................... ...................................................... .............
2.16. Θέμα 16. Διαφορική εξίσωση για τη συνάρτηση y(t), που δείχνει
το εθνικό εισόδημα σε μοντέλα με επενδύσεις κεφαλαίου υστερεί, υπό την προϋπόθεση ότι
η συνάρτηση καταναλωτή έχει τη μορφή c (t − τ ) = c (o ) e r (t − τ ) .......................... ...................................
Συλλογή εργασιών για τον κλάδο ................................................... ..................................................
Πρόγραμμα σπουδών ανά κλάδο .............................................. ...................................................... ....

Φροντιστήριο

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Εισαγωγή

Αυτό το σεμινάριο είναι αφιερωμένο στην παρουσίαση μεθόδων για την ολοκλήρωση διαφορικών εξισώσεων με καθυστερημένο όρισμα που συναντώνται σε ορισμένα τεχνικά και οικονομικά προβλήματα.

Οι παραπάνω εξισώσεις συνήθως περιγράφουν οποιεσδήποτε διεργασίες με μεταγενέστερο αποτέλεσμα (διεργασίες με καθυστέρηση, με χρονική καθυστέρηση). Για παράδειγμα, όταν στην υπό μελέτη διαδικασία η τιμή της ποσότητας που μας ενδιαφέρει τη στιγμή t εξαρτάται από την τιμή x τη χρονική στιγμή t-τ, όπου τ είναι η χρονική υστέρηση (y(t)=f). Ή, όταν η τιμή της ποσότητας y τη στιγμή t εξαρτάται από την τιμή της ίδιας ποσότητας τη στιγμή

λιγότερο t-τ (y(t)=f).

Διαδικασίες που περιγράφονται με διαφορικές εξισώσεις με καθυστερημένο επιχείρημα βρίσκονται τόσο στις φυσικές όσο και στις οικονομικές επιστήμες. Στην τελευταία, αυτό οφείλεται τόσο στην ύπαρξη χρονικής υστέρησης στους περισσότερους κρίκους του κοινωνικού κύκλου παραγωγής, όσο και στην παρουσία επενδυτικών καθυστερήσεων (η περίοδος από την έναρξη του σχεδιασμού των αντικειμένων έως τη θέση σε λειτουργία σε πλήρη δυναμικότητα), των δημογραφικών καθυστερήσεων ( την περίοδο από τη γέννηση έως την είσοδο σε ηλικία εργασίας και την έναρξη της απασχόλησης μετά την αποφοίτηση).

Η συνεκτίμηση της χρονικής καθυστέρησης στην επίλυση τεχνικών και οικονομικών προβλημάτων είναι σημαντική, καθώς η παρουσία καθυστέρησης μπορεί να επηρεάσει σημαντικά τη φύση των λύσεων που λαμβάνονται (για παράδειγμα, υπό ορισμένες συνθήκες μπορεί να οδηγήσει σε αστάθεια των λύσεων).

ΜΕ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι. Μέθοδος βημάτων επίλυσης διαφορικών εξισώσεων

Με συνεχόμενο επιχείρημα

1.1. Ταξινόμηση διαφορικών εξισώσεων με αποκλίνοντα όρισμα. Δήλωση του αρχικού προβλήματος

Ορισμός 1 . Οι διαφορικές εξισώσεις με ένα αποκλίνον όρισμα ονομάζονται διαφορικές εξισώσεις στις οποίες η άγνωστη συνάρτηση X(t) εισάγεται για διαφορετικές τιμές του ορίσματος.

X(t) = f (t, x (t), x) ,


X(t) = f [t, x (t), x (t - τ 1 ), x (t − τ 2 )] ,

X(t) = f t, x (t), x (t), x [ t -τ (t )] , x [ t − τ


X(t) = f t, x (t) , x (t) , x (t/2), x(t/2).



(t)]

Ορισμός 2. Μια διαφορική εξίσωση με καθυστερημένο όρισμα είναι μια διαφορική εξίσωση με αποκλίνοντα όρισμα, στην οποία η παράγωγος υψηλότερης τάξης της άγνωστης συνάρτησης εμφανίζεται στις ίδιες τιμές του ορίσματος και αυτό το όρισμα δεν είναι μικρότερο από όλα τα ορίσματα του η άγνωστη συνάρτηση και οι παράγωγοί της που περιλαμβάνονται στην εξίσωση.

Σημειώστε ότι σύμφωνα με τον ορισμό 2, οι εξισώσεις (1) και (3) υπό τις συνθήκες τ (t) ≥ 0, t − τ (t) ≥ 0 θα είναι εξισώσεις με καθυστερημένο όρισμα, η εξίσωση (2) θα είναι η εξίσωση

με όρισμα υστέρησης, αν τ 1 ≥ 0, τ 2 ≥ 0, t ≥ τ 1, t ≥ τ 2, η εξίσωση (4) είναι μια εξίσωση με υστέρηση, αφού t ≥ 0.

Ορισμός 3. Μια διαφορική εξίσωση με κύριο όρισμα είναι μια διαφορική εξίσωση με ένα αποκλίνον όρισμα, στην οποία η παράγωγος υψηλότερης τάξης της άγνωστης συνάρτησης εμφανίζεται στις ίδιες τιμές του ορίσματος και αυτό το όρισμα δεν είναι μεγαλύτερο από το υπόλοιπο ορίσματα της άγνωστης συνάρτησης και των παραγώγων της που περιλαμβάνονται στην εξίσωση.

Παραδείγματα διαφορικών εξισώσεων με κύριο όρισμα:

X(t)=

f ( t, x(t), x[ t + τ (t) ] ) ,

f [t , x (t ), x (t + τ 1 ), x (t + τ 2 )] ,

f t , x (t ), x . (t ), x [ t + τ (t )] , x . [ t + τ



(t)] .

ΕΓΩ. ΒΗΜΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΜΕ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗΣ

Ορισμός 4. Διαφορικές εξισώσεις με αποκλίνοντα όρισμα που δεν είναι εξισώσεις με καθυστερημένο ή κύριο όρισμα ονομάζονται διαφορικές εξισώσεις ουδέτερου τύπου.

Παραδείγματα διαφορικών εξισώσεων με αποκλίνοντα όρισμα ουδέτερου τύπου:

X (t) = f t, x(t) , x(t − τ ) , x(t − τ )

X (t) = f t, x(t) , x[ t − τ (t) ] , x[ t − τ (t) ] , x[ t − τ (t) ] .

Σημειώστε ότι παρόμοια ταξινόμηση χρησιμοποιείται και για συστήματα διαφορικών εξισώσεων με αποκλίνοντα όρισμα αντικαθιστώντας τη λέξη "συνάρτηση" με τη λέξη "διανυσματική συνάρτηση".

Εξετάστε την απλούστερη διαφορική εξίσωση με αποκλίνοντα όρισμα:


X (t) = f [ t, x(t) , x(t − τ ) ] ,

όπου τ ≥ 0 και t − τ ≥ 0 (στην πραγματικότητα, θεωρούμε μια διαφορική εξίσωση με καθυστερημένο όρισμα). Η κύρια αρχική εργασία για την επίλυση της εξίσωσης (10) είναι η εξής: να προσδιοριστεί μια συνεχής λύση X (t) της εξίσωσης (10) για t > t 0 (t 0 -

σταθερός χρόνος) με την προϋπόθεση ότι X (t ) = ϕ 0 (t ) όταν t 0 − τ ≤ t ≤ t 0 , όπου ϕ 0 (t ) είναι μια δεδομένη συνεχής αρχική συνάρτηση. Το τμήμα [ t 0 − τ , t 0 ] ονομάζεται αρχικό σύνολο, το t 0 ονομάζεται αρχικό σημείο. Υποτίθεται ότι X (t 0 + 0) = ϕ 0 (t 0 ) (Εικ. 1).

X (t) \u003d ϕ 0 (t)

Το πρόβλημα διατυπώνεται ως εξής: να βρεθεί λύση στην εξίσωση (10) για t > t 0 εάν η αρχική συνάρτηση X (t ) = ϕ 0 t είναι γνωστή για t 0 − τ (t 0 ) ≤ t ≤ t 0 .

Παράδειγμα. Βρείτε μια λύση στην εξίσωση.


X (t) = f [t, x(t) , x(t − cos 2 t) ]
για t > t 0 = 0 αν η αρχική συνάρτηση X (t ) = ϕ 0 (t ) για (t 0 − cos2 t 0 ) \|	t ≤ t0
t0 = 0

− 1 ≤ t ≤ 0).

ΕΓΩ. ΒΗΜΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΜΕ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗΣ

Παράδειγμα. Βρείτε μια λύση στην εξίσωση


X (t) = f [t, x(t) , x(t / 2 ) ]	στο (τ	−t	/ 2) \|
t > t 0 = 1 αν αρχική συνάρτηση X (t ) = ϕ t	στο (τ	−t	/ 2) \|	≤ t ≤ t

			t=1		t=1

1/ 2 ≤ t ≤ 1).

Σημειώστε ότι η αρχική συνάρτηση συνήθως καθορίζεται ή βρίσκεται πειραματικά (κυρίως σε τεχνικά προβλήματα).

1.2. Διαφορικές εξισώσεις καθυστέρησης. Μέθοδος βήματος

Θεωρήστε μια διαφορική εξίσωση με καθυστερημένο όρισμα.

Απαιτείται να βρεθεί λύση στην εξίσωση (13) για t ≥ t 0 .

Για να βρούμε μια λύση στην εξίσωση (13) για t ≥ t 0, θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο βήματος (η μέθοδος της διαδοχικής ολοκλήρωσης).

Η ουσία της μεθόδου βήματος είναι ότι πρώτα βρίσκουμε μια λύση στην εξίσωση (13) για t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ , μετά για t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ, κ.λπ. Ταυτόχρονα, σημειώνουμε, για παράδειγμα, ότι εφόσον στην περιοχή t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ το όρισμα t − τ αλλάζει εντός t 0 − τ ≤ t − τ ≤ t 0 , τότε στην εξίσωση

(13) σε αυτήν την περιοχή, αντί για x (t − τ ), μπορούμε να πάρουμε την αρχική συνάρτηση ϕ 0 (t − τ ) . Επειτα

λαμβάνουμε ότι για να βρούμε μια λύση στην εξίσωση (13) στην περιοχή t 0 ≤ t ≤ t 0		+ τ χρειάζεται εκ νέου
ράψτε μια συνηθισμένη διαφορική εξίσωση χωρίς καθυστέρηση στη μορφή:
	[ t, x(t) , ϕ 0 (t − τ ) ] ,
X(t) = f	[ t, x(t) , ϕ 0 (t − τ ) ] ,
για t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ	με την αρχική συνθήκη X (t 0 ) = ϕ (t 0 ) (βλ. Εικ. 1).
	βρίσκοντας μια λύση σε αυτό το αρχικό πρόβλημα με τη μορφή X (t) = ϕ 1 (t) ,	μπορούμε να δημοσιεύσουμε

λύστε το πρόβλημα της εύρεσης λύσης στο τμήμα t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ, κ.λπ.

Έχουμε λοιπόν:

			0 (t − τ ) ] ,
	X (t) = f [t, x(t) , ϕ		0 (t − τ ) ] ,
στο t 0	≤ t ≤ t0 + τ , X (t0 )		= ϕ 0 (t 0 ) ,

	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ 1 (t − τ ) ] ,
για t 0 +τ ≤ t ≤ t 0 + 2 τ,			X (t 0 + τ ) = ϕ 1(t 0 + τ ) ,

	X (t) = f [t, x(t) , ϕ 2 (t − τ ) ] ,
για t 0 + 2τ ≤ t ≤ t 0 + 3τ,			X (t 0 + 2 τ ) = ϕ 2 (t 0 + 2 τ ) ,

	X (t) = f [t, x(t) , ϕ n (t − τ ) ] ,
για t 0 + n τ ≤ t ≤ t 0 + (n +1 ) τ , X (t 0 + n τ ) = ϕ n (t 0 + n τ ) ,
	ϕ i (t ) είναι	λύση του θεωρούμενου αρχικού		εργασίες στο τμήμα
t 0 + (i −1 ) ≤ t ≤ t 0 +i τ		(I=1,2,3…n,…).

ΕΓΩ. ΒΗΜΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΜΕ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗΣ

Αυτή η μέθοδος βημάτων για την επίλυση μιας διαφορικής εξίσωσης με ένα καθυστερημένο όρισμα (13) μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε τη λύση X (t) σε ένα ορισμένο πεπερασμένο διάστημα μεταβολής του t.

Παράδειγμα 1. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των βημάτων, βρείτε μια λύση σε μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης με ένα καθυστερημένο όρισμα

	(t) = 6 X (t − 1 )

στην περιοχή 1 ≤ t ≤ 3 αν η αρχική συνάρτηση για 0 ≤ t ≤ 1 έχει τη μορφή X (t ) = ϕ 0 (t ) = t .
Λύση. Αρχικά, ας βρούμε μια λύση στην εξίσωση (19) στην περιοχή 1 ≤ t ≤ 2 . Για αυτό σε
(19) αντικαθιστούμε το X (t − 1) με ϕ 0 (t − 1) , δηλ.
X (t − 1 ) = ϕ 0 (t − 1 ) = t\| t → t − 1 = t − 1
και λάβετε υπόψη X (1) = ϕ 0 (1) = t \|

Έτσι, στην περιοχή 1 ≤ t ≤ 2, λαμβάνουμε μια συνηθισμένη διαφορική εξίσωση της μορφής
	(t )= 6 (t − 1 )

ή dx(t)	6 (t −1 ) .

Λύνοντας το λαμβάνοντας υπόψη το (20), παίρνουμε τη λύση της εξίσωσης (19) για 1 ≤ t ≤ 2 στη μορφή
X (t) = 3 t 2 − 6 t + 4 = 3 (t − 1 ) 2 + 1.
Για να βρούμε μια λύση στην περιοχή 2 ≤ t ≤ 3 στην εξίσωση (19), αντικαθιστούμε το X (t − 1) με
ϕ 1 (t −1 ) = 3 (t −1 ) 2 +1 \| t → t − 1		3(t − 2) 2 + 1. Τότε παίρνουμε το συνηθισμένο	διαφορικός
η εξίσωση:
	(t ) = 6[ 3(t − 2) 2 + 1] , Χ( 2) = ϕ 1 ( 2) = 4 ,

του οποίου η λύση έχει τη μορφή (Εικ. 2)
Χ ( t ) = 6 ( t − 2 ) 3 + 6 t − 8 .

Τα συστήματα με καθυστέρηση διαφέρουν από τα συστήματα που εξετάστηκαν προηγουμένως στο ότι σε έναν ή περισσότερους από τους συνδέσμους τους έχουν καθυστέρηση στον χρόνο έναρξης της αλλαγής στην τιμή εξόδου (μετά την έναρξη της αλλαγής στην είσοδο) κατά μια τιμή t, που ονομάζεται χρόνος καθυστέρησης, και αυτός ο χρόνος καθυστέρησης παραμένει σταθερός σε όλα τα επόμενα κατά τη διάρκεια της διαδικασίας.

Για παράδειγμα, εάν ο σύνδεσμος περιγράφεται από την εξίσωση

(απεριοδικός σύνδεσμος πρώτης τάξης), τότε η εξίσωση του αντίστοιχου συνδέσμου με καθυστέρηση θα έχει τη μορφή

(απεριοδικός σύνδεσμος πρώτης τάξης με καθυστέρηση). Αυτός ο τύπος εξίσωσης ονομάζεται εξίσωση με καθυστερημένο όρισμα,

Τότε η εξίσωση (6.31) θα γραφεί στο συνηθισμένο

αλλάζει απότομα από το μηδέν σε ένα (Εικ. 6.20,

στέκεται στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης συνδέσμου,

). Στη γενική περίπτωση, όπως και στην (6.31), η εξίσωση δυναμικής οποιουδήποτε συνδέσμου με καθυστέρηση μπορεί να χωριστεί σε δύο:

που αντιστοιχεί στην υπό όρους κατανομή ενός συνδέσμου με καθυστέρηση (Εικ. 6.21, α) σε δύο: έναν συνηθισμένο σύνδεσμο ίδιας τάξης και με τους ίδιους συντελεστές και το στοιχείο καθυστέρησης που προηγείται του (Εικ. 6.21.6).

σημαίνει το χρόνο μετακίνησης του μετάλλου από τους κυλίνδρους στο μετρητή πάχους. Στα δύο τελευταία παραδείγματα, η τιμή του m ονομάζεται καθυστέρηση μεταφοράς.

Στην πρώτη προσέγγιση, οι αγωγοί ή οι μεγάλες ηλεκτρικές γραμμές που περιλαμβάνονται στους συνδέσμους του συστήματος μπορούν να χαρακτηριστούν από μια ορισμένη τιμή καθυστέρησης t.

φαίνεται στο σχ. 6.22, b, τότε αυτός ο σύνδεσμος μπορεί να περιγραφεί περίπου ως απεριοδικός σύνδεσμος πρώτης τάξης με καθυστέρηση (6.31), λαμβάνοντας τις τιμές των m, r και k από την πειραματική καμπύλη (Εικ. 6.22, b).

Σημειώστε επίσης ότι η ίδια πειραματική καμπύλη σύμφωνα με το γράφημα στο Σχ. 6.22, c μπορεί επίσης να ερμηνευθεί ως χαρακτηριστικό του χρόνου μιας συνηθισμένης απεριοδικής σύνδεσης δεύτερης τάξης με την εξίσωση

και το k μπορούν να υπολογιστούν από τις σχέσεις που γράφτηκαν στην § 4.5 για μια δεδομένη σύνδεση, από ορισμένες μετρήσεις στην πειραματική καμπύλη ή με άλλα μέσα.

Η συνάρτηση (6.36) διαφέρει ελάχιστα από τη συνάρτηση μεταφοράς μιας σύνδεσης με καθυστέρηση (6.35).

Η εξίσωση οποιουδήποτε γραμμικού συνδέσμου με καθυστέρηση (6.33) θα γραφτεί τώρα στη μορφή

Η συνάρτηση μεταφοράς μιας γραμμικής ζεύξης με καθυστέρηση θα είναι

υποδεικνύεται η λειτουργία μεταφοράς του αντίστοιχου συνηθισμένου συνδέσμου χωρίς καθυστέρηση.

- συντελεστής και φάση της λειτουργίας μεταφοράς συχνότητας του συνδέσμου χωρίς καθυστέρηση.

Ως εκ τούτου, έχουμε τον ακόλουθο κανόνα.

Για να δημιουργήσετε το χαρακτηριστικό πλάτους-φάσης οποιουδήποτε συνδέσμου με καθυστέρηση, πρέπει να πάρετε το χαρακτηριστικό του αντίστοιχου συνηθισμένου συνδέσμου και να μετατοπίσετε κάθε σημείο του κατά μήκος του κύκλου δεξιόστροφα κατά μια γωνία που, όπου w είναι η τιμή της συχνότητας ταλάντωσης σε ένα δεδομένο σημείο του χαρακτηριστικού (Εικ. 6.23, α).

το σημείο εκκίνησης παραμένει αμετάβλητο, και το τέλος των χαρακτηριστικών ανέμων ασυμπτωτικά γύρω από την αρχή (αν ο βαθμός του πολυωνύμου Β του τελεστή είναι μικρότερος από αυτόν του πολυωνύμου C).

Ειπώθηκε παραπάνω ότι πραγματικές μεταβατικές διεργασίες (χρονικά χαρακτηριστικά) της μορφής στο Σχ. Το 6.22b μπορεί συχνά να περιγραφεί με τον ίδιο βαθμό προσέγγισης και από την εξίσωση (6.31) και από την (6.34). Τα χαρακτηριστικά πλάτους-φάσης για τις εξισώσεις (6.31) και (6.34) φαίνονται στο σχήμα. 6.23, α και β, αντίστοιχα. Η θεμελιώδης διαφορά του πρώτου είναι ότι έχει σημείο τομής D με τον άξονα (/. Κατά τη σύγκριση και των δύο χαρακτηριστικών μεταξύ τους και με το πειραματικό χαρακτηριστικό πλάτους-φάσης ενός πραγματικού συνδέσμου, πρέπει να ληφθεί υπόψη όχι μόνο το σχήμα της καμπύλης, αλλά και τη φύση της κατανομής των σημαδιών συχνότητας ω κατά μήκος της.

Λειτουργία μεταφοράς ανοιχτού συστήματος χωρίς καθυστέρηση.

Η χαρακτηριστική εξίσωση ενός κλειστού συστήματος, όπως φαίνεται στο Κεφ. 5 έχει τη μορφή

Μια εξίσωση μπορεί να έχει άπειρο αριθμό ριζών.

Το σχήμα του χαρακτηριστικού πλάτους-φάσης του ανοιχτού κυκλώματος, που έχει κατασκευαστεί αλλά η συνάρτηση μεταφοράς συχνότητας, αλλάζει σημαντικά

Επιπλέον, το άνοιγμα του συστήματος πραγματοποιείται σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο κανόνα, ο οποίος δίνεται παρακάτω.

Κατά συνέπεια, για τη σταθερότητα γραμμικών συστημάτων πρώτης και δεύτερης τάξης με καθυστέρηση, αποδεικνύεται ότι μόνο η θετικότητα των συντελεστών δεν επαρκεί πλέον και για συστήματα τρίτης και ανώτερης τάξης με καθυστέρηση, τα κριτήρια ευστάθειας του Οι Vyshnegradsky, Routh και Hurwitz δεν εφαρμόζονται.

Παρακάτω θα εξετάσουμε τον ορισμό της σταθερότητας μόνο με το κριτήριο Nyquist, αφού η χρήση του για αυτό το τραγούδι αποδεικνύεται η απλούστερη.

1 Η κατασκευή του χαρακτηριστικού πλάτους-φάσης και η μελέτη της ευστάθειας σύμφωνα με το κριτήριο Nyquist γίνονται καλύτερα εάν η συνάρτηση μεταφοράς ενός συστήματος ανοιχτού βρόχου παρουσιάζεται στη μορφή (6.38). Για να το αποκτήσετε, είναι απαραίτητο να ανοίξετε σωστά το σύστημα.

Για την περίπτωση που φαίνεται στο Σχ. 6.24, α, το άνοιγμα μπορεί να γίνει οπουδήποτε στο κύριο κύκλωμα, για παράδειγμα, όπως φαίνεται. Τότε η συνάρτηση μεταφοράς του ανοιχτού συστήματος θα συμπίπτει σε μορφή με το (6.41).

Για την περίπτωση που φαίνεται στο Σχ. 6.24, β, ανοίγοντας το κύριο κύκλωμα δίνει την έκφραση

Συναρτήσεις ανοιχτού βρόχου, ακατάλληλες για περαιτέρω έρευνα:

Τέλος, στην περίπτωση που φαίνεται στο Σχ. 6.24, c, όταν το σύστημα ανοίγει στην υποδεικνυόμενη θέση, λαμβάνουμε μια έκφραση που συμπίπτει επίσης με το (6.41):

Η συνάρτηση μεταφοράς συχνότητας (6.41) μπορεί να αναπαρασταθεί ως

Επομένως, παρουσιάζοντας την έκφραση (6.41) στη μορφή

Ειδικό Μάθημα

Ταξινόμηση εξισώσεων με αποκλίνοντα όρισμα. Το κύριο αρχικό πρόβλημα για διαφορικές εξισώσεις με καθυστέρηση.

Μέθοδος διαδοχικής ολοκλήρωσης. Η αρχή της εξομάλυνσης λύσεων εξισώσεων με καθυστέρηση.

Η αρχή των συμπιεσμένων χαρτογραφήσεων. Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας για τη λύση του βασικού αρχικού προβλήματος για μια εξίσωση με πολλές συγκεντρωτικές καθυστερήσεις. Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας για τη λύση του κύριου αρχικού προβλήματος για ένα σύστημα εξισώσεων με κατανεμημένη καθυστέρηση.

Συνεχής εξάρτηση λύσεων του κύριου αρχικού προβλήματος από παραμέτρους και αρχικές συναρτήσεις.

Ειδικά χαρακτηριστικά λύσεων εξισώσεων με καθυστέρηση. Η δυνατότητα συνέχισης της λύσης. Μετακινήστε το σημείο εκκίνησης. Θεωρήματα για επαρκείς συνθήκες για διαστήματα κολλήματος. Θεώρημα επαρκών συνθηκών για μη τοπική επεκτασιμότητα λύσεων.

Εξαγωγή του γενικού τύπου λύσης για γραμμικό σύστημα με γραμμικές καθυστερήσεις.

Διερεύνηση εξισώσεων με καθυστέρηση για σταθερότητα. Μέθοδος D-partitions.

Εφαρμογή της μεθόδου των συναρτησιακών για τη μελέτη της ευστάθειας. Θεωρήματα του N. N. Krasovskii για τις απαραίτητες και επαρκείς συνθήκες σταθερότητας. Παραδείγματα κατασκευής λειτουργιών.

Εφαρμογή της μεθόδου των συναρτήσεων Lyapunov για τη μελέτη της σταθερότητας. Τα θεωρήματα του Razumikhin για τη σταθερότητα και την ασυμπτωτική σταθερότητα των λύσεων των εξισώσεων με καθυστέρηση. Παραδείγματα κατασκευής συναρτήσεων Lyapunov.

Κατασκευή ελέγχων προγράμματος με καθυστέρηση σε συστήματα με πλήρη και ελλιπή πληροφόρηση. Θεωρήματα V. I. Zubov. Το πρόβλημα της κατανομής των επενδύσεων κεφαλαίου ανά κλάδους.

Κατασκευή βέλτιστων ελέγχων προγράμματος σε γραμμικές και μη γραμμικές περιπτώσεις. Η μέγιστη αρχή του Pontryagin.

Σταθεροποίηση του συστήματος εξισώσεων με έλεγχο με συνεχείς καθυστερήσεις. Επίδραση μεταβλητής καθυστέρησης στη μονοαξονική σταθεροποίηση ενός άκαμπτου σώματος.

Zhabko A.P., Zubov N.V., Prasolov A.V.Μέθοδοι μελέτης συστημάτων με επακόλουθο. L., 1984. Τμ. ΒΙΝΙΤΗ, Αρ. 2103-84.
Zubov V.I.Σχετικά με τη θεωρία των γραμμικών στατικών συστημάτων με καθυστερημένο όρισμα // Izv. πανεπιστήμια. Ser. μαθηματικά. 1958. Νο 6.
Zubov V.I.Διαλέξεις για τη θεωρία ελέγχου. Μόσχα: Nauka, 1975.
Krasovsky N. N.Μερικά προβλήματα της θεωρίας της ευστάθειας κίνησης. Μ., 1959
Malkin I. G.Θεωρία ευστάθειας κίνησης.
Μύσκης Α. Δ.Γενική θεωρία διαφορικών εξισώσεων με καθυστερημένο όρισμα // Uspekhi Mat. Επιστήμες. 1949. V.4, Νο. 5.
Prasolov A.V.Αναλυτικές και αριθμητικές μελέτες δυναμικών διεργασιών. Αγία Πετρούπολη: Εκδοτικός οίκος του Κρατικού Πανεπιστημίου της Αγίας Πετρούπολης, 1995.
Prasolov A.V.Μαθηματικά μοντέλα δυναμικής στην οικονομία. Αγία Πετρούπολη: Εκδοτικός Οίκος Αγίας Πετρούπολης. Πανεπιστήμιο Οικονομικών και Χρηματοοικονομικών, 2000.
Chizhova O. N.Κατασκευή λύσεων και ευστάθεια συστημάτων διαφορικών εξισώσεων με καθυστερημένο όρισμα. L., 1988. Τμ. στο ΒΙΝΙΤΗ, Αρ. 8896-Β88.
Chizhova O. N.Σταθεροποίηση άκαμπτου σώματος λαμβάνοντας υπόψη τη γραμμική καθυστέρηση // Δελτίο του Κρατικού Πανεπιστημίου της Αγίας Πετρούπολης. Σερ.1. 1995. Τεύχος 4, Νο 22.
Chizhova O. N.Σχετικά με τη μη τοπική επέκταση των εξισώσεων με μεταβλητή καθυστέρηση // Ερωτήσεις μηχανικής και διεργασιών ελέγχου. Θέμα. 18. - Αγία Πετρούπολη: Εκδοτικός Οίκος του Κρατικού Πανεπιστημίου της Αγίας Πετρούπολης, 2000.
Elsgolts L. E., Norkin S. B.Εισαγωγή στη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων με αποκλίνοντα όρισμα. Μ., 1971.

Τα γραμμικά συστήματα με καθυστέρηση ονομάζονται τέτοια αυτόματα συστήματα, τα οποία, έχοντας γενικά την ίδια δομή με τα συνηθισμένα γραμμικά συστήματα (Ενότητα II), διαφέρουν από τα τελευταία στο ότι σε έναν ή περισσότερους από τους συνδέσμους τους έχουν καθυστέρηση στον χρόνο έναρξης. της αλλαγής στην ποσότητα εξόδου (μετά την έναρξη της αλλαγής εισόδου) κατά μια τιμή που ονομάζεται χρόνος καθυστέρησης, και αυτός ο χρόνος καθυστέρησης παραμένει σταθερός καθ' όλη τη διάρκεια της επόμενης πορείας της διαδικασίας.

Για παράδειγμα, εάν ένας συνηθισμένος γραμμικός σύνδεσμος περιγράφεται από την εξίσωση

(απεριοδικός σύνδεσμος πρώτης τάξης), τότε η εξίσωση του αντίστοιχου γραμμικού συνδέσμου με καθυστέρηση θα έχει τη μορφή

(απεριοδικός σύνδεσμος πρώτης τάξης με καθυστέρηση). Οι εξισώσεις αυτού του τύπου ονομάζονται εξισώσεις με καθυστερημένο όρισμα ή εξισώσεις διαφορικής διαφοράς.

Σημειώστε Τότε η εξίσωση (14.2) θα γραφεί με τη συνήθη μορφή:

Έτσι, εάν η τιμή εισόδου αλλάξει απότομα από το μηδέν σε ένα (Εικ. 14.1, α), τότε η αλλαγή στην τιμή που βρίσκεται στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης συνδέσμου θα απεικονιστεί από το γράφημα στο Σχ. 14.1β (άλμα ένα δευτερόλεπτο αργότερα). Χρησιμοποιώντας τώρα την μεταβατική απόκριση ενός συνηθισμένου απεριοδικού συνδέσμου όπως εφαρμόζεται στην εξίσωση (14.3), λαμβάνουμε μια αλλαγή στην τιμή εξόδου με τη μορφή γραφήματος στο Σχήμα. 14.1, γ. Αυτή θα είναι η μεταβατική απόκριση του απεριοδικού συνδέσμου πρώτης τάξης με καθυστέρηση (η απεριοδική "αδρανειακή" ιδιότητά του καθορίζεται από τη σταθερά χρόνου T και η καθυστέρηση καθορίζεται από την τιμή

Γραμμική σύνδεση με καθυστέρηση. Στη γενική περίπτωση, όπως και στην (14.2), η εξίσωση της δυναμικής οποιασδήποτε γραμμικής ζεύξης με καθυστέρηση μπορεί να είναι

χωριστεί στα δύο:

που αντιστοιχεί στην υπό όρους κατανομή ενός γραμμικού συνδέσμου με καθυστέρηση (Εικ. 14.2, α) σε δύο: έναν συνηθισμένο γραμμικό σύνδεσμο ίδιας τάξης και με τους ίδιους συντελεστές και το στοιχείο καθυστέρησης που προηγείται του (Εικ. 14.2, β).

Το χαρακτηριστικό χρόνου οποιουδήποτε συνδέσμου με καθυστέρηση θα είναι επομένως το ίδιο με αυτό του αντίστοιχου συνηθισμένου συνδέσμου, αλλά μόνο μετατοπισμένο κατά μήκος του άξονα χρόνου προς τα δεξιά κατά .

Ένα παράδειγμα μιας «καθαρής» σύνδεσης καθυστέρησης είναι μια ακουστική γραμμή επικοινωνίας - ο χρόνος μετάδοσης του ήχου). Άλλα παραδείγματα είναι ένα σύστημα αυτόματης δοσομέτρησης μιας ουσίας που κινείται με έναν ιμάντα μεταφοράς - ο χρόνος που ο ιμάντας κινείται σε μια συγκεκριμένη περιοχή), καθώς και ένα σύστημα για τη ρύθμιση του πάχους του ελασματοποιημένου μετάλλου, όπου σημαίνει το χρόνο κίνησης του μετάλλου από τα ρολά μέχρι το μετρητή πάχους

Στα δύο τελευταία παραδείγματα, η ποσότητα ονομάζεται καθυστέρηση μεταφοράς.

Στην πρώτη προσέγγιση, οι αγωγοί ή οι μεγάλες ηλεκτρικές γραμμές που περιλαμβάνονται στους συνδέσμους του συστήματος μπορούν να χαρακτηριστούν από μια ορισμένη καθυστέρηση (για περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με αυτές, βλ. § 14.2).

Η τιμή της καθυστέρησης στη σύνδεση μπορεί να προσδιοριστεί πειραματικά αφαιρώντας το χαρακτηριστικό χρόνου. Για παράδειγμα, εάν, όταν μια ορισμένη τιμή, ληφθείσα ως μονάδα, εφαρμόζεται στην είσοδο ενός συνδέσμου, η πειραματική καμπύλη που φαίνεται στο Σχ. 2 λαμβάνεται στην έξοδο. 14.3, b, τότε αυτός ο σύνδεσμος μπορεί να περιγραφεί περίπου ως απεριοδικός σύνδεσμος πρώτης τάξης με καθυστέρηση (14.2), λαμβάνοντας τις τιμέςαπό την πειραματική καμπύλη (Εικ. 14.3, β).

Σημειώστε επίσης ότι η ίδια πειραματική καμπύλη σύμφωνα με το γράφημα στο Σχ. 14.3, το c μπορεί επίσης να ερμηνευθεί ως χαρακτηριστικό χρόνου μιας συνηθισμένης απεριοδικής σύνδεσης δεύτερης τάξης με την εξίσωση

Επιπλέον, και το k μπορεί να υπολογιστεί από τις σχέσεις που γράφτηκαν στην § 4.5 για έναν δεδομένο σύνδεσμο, σύμφωνα με ορισμένες μετρήσεις στην πειραματική καμπύλη ή με άλλους τρόπους.

Έτσι, από την άποψη του χρονικού χαρακτηριστικού, ένας πραγματικός σύνδεσμος, που περιγράφεται κατά προσέγγιση από μια εξίσωση πρώτης τάξης με ένα επιβραδυνόμενο όρισμα (14.2), μπορεί συχνά να περιγραφεί με τον ίδιο βαθμό προσέγγισης από μια συνηθισμένη διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης (14.5). Για να αποφασίσετε ποια από αυτές τις εξισώσεις ταιριάζει καλύτερα σε ένα δεδομένο

πραγματική ζεύξη, μπορεί κανείς επίσης να συγκρίνει τα χαρακτηριστικά πλάτους-φάσης τους με το πειραματικά λαμβανόμενο χαρακτηριστικό πλάτους-φάσης του συνδέσμου, το οποίο εκφράζει τις δυναμικές του ιδιότητες κατά τη διάρκεια εξαναγκασμένων δονήσεων. Η κατασκευή των χαρακτηριστικών πλάτους-φάσης των συνδέσμων με καθυστέρηση θα εξεταστεί παρακάτω.

Για λόγους ενότητας κατά τη σύνταξη των εξισώσεων, αντιπροσωπεύουμε τη δεύτερη των σχέσεων (14.4) για το στοιχείο καθυστέρησης σε μορφή τελεστή. Επεκτείνοντας τη δεξιά του πλευρά σε μια σειρά Taylor, έχουμε

ή, στην προηγουμένως αποδεκτή συμβολική σημείωση τελεστή,

Αυτή η έκφραση συμπίπτει με τον τύπο του θεωρήματος καθυστέρησης για εικόνες συναρτήσεων (Πίνακας 7.2). Έτσι, για τον καθαρό σύνδεσμο καθυστέρησης, λαμβάνουμε τη συνάρτηση μεταφοράς στη φόρμα

Σημειώστε ότι σε ορισμένες περιπτώσεις η παρουσία ενός μεγάλου αριθμού μικρών σταθερών χρόνου στο σύστημα ελέγχου μπορεί να ληφθεί υπόψη με τη μορφή σταθερής καθυστέρησης ίσης με το άθροισμα αυτών των σταθερών χρόνου. Πράγματι, αφήστε το σύστημα να περιέχει απεριοδικούς συνδέσμους πρώτης τάξης συνδεδεμένους σε σειρά με συντελεστή μεταφοράς ίσο με τη μονάδα και την τιμή κάθε σταθεράς χρόνου. Τότε η συνάρτηση μεταφοράς που προκύπτει θα είναι

Αν τότε στο όριο παίρνουμε . Ήδη στη συνάρτηση μεταφοράς (14.8) διαφέρει ελάχιστα από τη λειτουργία μεταφοράς του συνδέσμου με καθυστέρηση (14.6).

Η εξίσωση οποιουδήποτε γραμμικού συνδέσμου με καθυστέρηση (14.4) θα γραφτεί τώρα στη μορφή

Η συνάρτηση μεταφοράς μιας γραμμικής ζεύξης με καθυστέρηση θα είναι

όπου υποδηλώνει τη συνάρτηση μεταφοράς του αντίστοιχου συνηθισμένου γραμμικού συνδέσμου χωρίς καθυστέρηση.

Η συνάρτηση μεταφοράς συχνότητας λαμβάνεται από το (14.10) με αντικατάσταση

όπου είναι το μέτρο και η φάση της συνάρτησης μεταφοράς συχνότητας του συνδέσμου χωρίς καθυστέρηση. Ως εκ τούτου, έχουμε τον ακόλουθο κανόνα.

Για να δημιουργήσετε το χαρακτηριστικό πλάτους φάσης οποιουδήποτε γραμμικού συνδέσμου με καθυστέρηση, πρέπει να πάρετε το χαρακτηριστικό του αντίστοιχου συνηθισμένου γραμμικού συνδέσμου και να μετατοπίσετε κάθε σημείο του κατά μήκος του κύκλου δεξιόστροφα κατά μια γωνία , όπου είναι η τιμή της συχνότητας ταλάντωσης στο ένα δεδομένο σημείο του χαρακτηριστικού (Εικ. 14.4, α).

Δεδομένου ότι στην αρχή του χαρακτηριστικού πλάτους-φάσης και στο τέλος, τότε το αρχικό σημείο παραμένει αμετάβλητο και το τέλος του χαρακτηριστικού περιστρέφεται ασυμπτωτικά γύρω από την αρχή (αν ο βαθμός του πολυωνύμου τελεστή είναι μικρότερος από το πολυώνυμο

Ειπώθηκε παραπάνω ότι πραγματικές μεταβατικές διεργασίες (χρονικά χαρακτηριστικά) της μορφής στο Σχ. Το 14.3, το b μπορεί συχνά να περιγραφεί με τον ίδιο βαθμό προσέγγισης και από την εξίσωση (14.2) και από την (14.5). Τα χαρακτηριστικά πλάτους-φάσης για τις εξισώσεις (14.2) και (14.5) φαίνονται στο σχήμα. 14.4, α και αντίστοιχα. Η θεμελιώδης διαφορά του πρώτου είναι ότι έχει σημείο τομής D με τον άξονα

Κατά τη σύγκριση και των δύο χαρακτηριστικών μεταξύ τους και με το πειραματικό χαρακτηριστικό πλάτους-φάσης μιας πραγματικής ζεύξης, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη όχι μόνο το σχήμα της καμπύλης, αλλά και η φύση της κατανομής των σημείων συχνότητας o κατά μήκος της.

Αν η καθυστέρηση τ

στην εξίσωση (10) εξαρτάται από το χρόνο t

(τ = τ (t )) , τότε το αρχικό

Αφήστε ένα αυτόματο σύστημα μονοκυκλώματος ή πολλαπλών κυκλωμάτων να έχει μία σύνδεση με καθυστέρηση μεταξύ των συνδέσμων του. Τότε η εξίσωση αυτού του συνδέσμου έχει τη μορφή (14.9). Εάν υπάρχουν πολλοί τέτοιοι σύνδεσμοι, τότε μπορεί να έχουν διαφορετικές τιμές καθυστέρησης. Όλοι οι γενικοί τύποι για εξισώσεις και συναρτήσεις μεταφοράς συστημάτων αυτόματου ελέγχου που προκύπτουν στο Κεφάλαιο 5 παραμένουν έγκυροι για οποιαδήποτε γραμμικά συστήματα με καθυστέρηση, αν μόνο οι τιμές των συναρτήσεων μεταφοράς αντικαθίστανται σε αυτούς τους τύπους στη μορφή ( 14.10).

Για παράδειγμα, για ένα ανοιχτό κύκλωμα συνδεδεμένων σε σειρά συνδέσμων, μεταξύ των οποίων υπάρχουν δύο ζεύξεις με καθυστέρηση, αντίστοιχα, η λειτουργία μεταφοράς ενός ανοιχτού συστήματος θα έχει τη μορφή

όπου είναι η συνάρτηση μεταφοράς ενός ανοιχτού κυκλώματος χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η καθυστέρηση, ίση με το γινόμενο των συναρτήσεων μεταφοράς των συνδέσμων που συνδέονται σε σειρά.

Έτσι, όταν μελετάμε τη δυναμική ενός ανοιχτού κυκλώματος συνδεδεμένων σε σειρά ζεύξεων, δεν έχει σημασία αν ολόκληρη η καθυστέρηση θα συγκεντρωθεί σε έναν σύνδεσμο ή θα κατανεμηθεί σε διαφορετικούς συνδέσμους. Για κυκλώματα πολλαπλών βρόχων, θα ληφθούν πιο σύνθετες σχέσεις.

Εάν υπάρχει μια σύνδεση με αρνητική ανάδραση, η οποία έχει καθυστέρηση, τότε θα περιγραφεί από τις εξισώσεις.