Διακύμανση τυχαίας μεταβλητής. Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων με θέμα «Τυχαίες μεταβλητές Βρείτε τον νόμο κατανομής και τη διασπορά ενός τυχαίου αριθμού

Ορισμός.Διασπορά (σκέδαση)μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι η μαθηματική προσδοκία της τετραγωνικής απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία:

Παράδειγμα. Για το παράδειγμα που συζητήθηκε παραπάνω, βρίσκουμε.

Η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής είναι:

Πιθανές τιμές της τετραγωνικής απόκλισης:

; ;

Η διακύμανση είναι:

Ωστόσο, στην πράξη, αυτή η μέθοδος υπολογισμού της διακύμανσης είναι άβολη, γιατί οδηγεί σε δυσκίνητους υπολογισμούς για μεγάλο αριθμό τυχαίων τιμών μεταβλητών. Επομένως, χρησιμοποιείται μια άλλη μέθοδος.

Υπολογισμός διακύμανσης

Θεώρημα. Η διακύμανση είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ της μαθηματικής προσδοκίας του τετραγώνου της τυχαίας μεταβλητής Χ και του τετραγώνου της μαθηματικής της προσδοκίας:

Απόδειξη.Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι η μαθηματική προσδοκία και το τετράγωνο της μαθηματικής προσδοκίας είναι σταθερά μεγέθη, μπορούμε να γράψουμε:

Ας εφαρμόσουμε αυτόν τον τύπο στο παράδειγμα που συζητήθηκε παραπάνω:

Χ
Χ 2
Π	0,0778	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,0102

Ιδιότητες διασποράς

1) Η διακύμανση μιας σταθερής τιμής είναι μηδέν:

2) Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο διασποράς τετραγωνίζοντάς τον:

3) Η διακύμανση του αθροίσματος δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων αυτών των μεταβλητών:

4) Η διακύμανση της διαφοράς μεταξύ δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων αυτών των μεταβλητών:

Η εγκυρότητα αυτής της ισότητας προκύπτει από την ιδιότητα 2.

Θεώρημα. Η διακύμανση του αριθμού των περιστατικών του συμβάντος Α σε n ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες η πιθανότητα να συμβεί το συμβάν είναι σταθερή, είναι ίση με το γινόμενο του αριθμού των δοκιμών με την πιθανότητα εμφάνισης και την πιθανότητα μη εμφάνισης του γεγονότος σε κάθε δοκιμή:

Παράδειγμα.Το εργοστάσιο παράγει το 96% των προϊόντων πρώτης ποιότητας και το 4% των προϊόντων δεύτερης ποιότητας. 1000 αντικείμενα επιλέγονται τυχαία. Αφήνω Χ– τον αριθμό των προϊόντων πρώτης κατηγορίας σε αυτό το δείγμα. Βρείτε τον νόμο κατανομής, τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής.

Έτσι, ο νόμος κατανομής μπορεί να θεωρηθεί διωνυμικός.

Παράδειγμα.Βρείτε τη διακύμανση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ– αριθμός περιστατικών του συμβάντος ΕΝΑσε δύο ανεξάρτητες δοκιμές, εάν οι πιθανότητες εμφάνισης αυτού του γεγονότος σε κάθε δοκιμή είναι ίσες και είναι γνωστό ότι

Επειδή τυχαία τιμή Χκατανέμεται σύμφωνα με τον διωνυμικό νόμο, λοιπόν

Παράδειγμα.Πραγματοποιούνται ανεξάρτητες δοκιμές με την ίδια πιθανότητα να συμβεί το συμβάν ΕΝΑσε κάθε δοκιμασία. Βρείτε την πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν ΕΝΑ, εάν η διακύμανση του αριθμού των εμφανίσεων ενός συμβάντος σε τρεις ανεξάρτητες δοκιμές είναι 0,63.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο διασποράς του διωνυμικού νόμου παίρνουμε:

;

Παράδειγμα.Δοκιμάζεται μια συσκευή που αποτελείται από τέσσερις συσκευές που λειτουργούν ανεξάρτητα. Οι πιθανότητες αστοχίας κάθε συσκευής είναι ίσες, αντίστοιχα ; ; . Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση του αριθμού των συσκευών που απέτυχαν.

Λαμβάνοντας τον αριθμό των συσκευών που απέτυχαν ως τυχαία μεταβλητή, βλέπουμε ότι αυτή η τυχαία μεταβλητή μπορεί να λάβει τις τιμές 0, 1, 2, 3 ή 4.

Για να συνταχθεί ο νόμος κατανομής αυτής της τυχαίας μεταβλητής, είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι αντίστοιχες πιθανότητες. Ας δεχτούμε.

1) Καμία συσκευή δεν απέτυχε:

2) Μία από τις συσκευές απέτυχε.

ΝΟΜΟΣ ΔΙΑΝΟΜΗΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

Τυχαίες μεταβλητές, ταξινόμηση και μέθοδοι περιγραφής τους.

Μια τυχαία ποσότητα είναι μια ποσότητα που, ως αποτέλεσμα πειράματος, μπορεί να λάβει τη μία ή την άλλη τιμή, αλλά η οποία δεν είναι γνωστή εκ των προτέρων. Για μια τυχαία μεταβλητή, επομένως, μπορείτε να καθορίσετε μόνο τιμές, μία από τις οποίες θα λάβει σίγουρα ως αποτέλεσμα του πειράματος. Στη συνέχεια θα ονομάσουμε αυτές τις τιμές ως πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής. Εφόσον μια τυχαία μεταβλητή χαρακτηρίζει ποσοτικά το τυχαίο αποτέλεσμα ενός πειράματος, μπορεί να θεωρηθεί ως ποσοτικό χαρακτηριστικό ενός τυχαίου γεγονότος.

Οι τυχαίες μεταβλητές συνήθως υποδηλώνονται με κεφαλαία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου, για παράδειγμα, X..Y..Z, και τις πιθανές τιμές τους με αντίστοιχα μικρά γράμματα.

Υπάρχουν τρεις τύποι τυχαίων μεταβλητών:

Διακεκριμένος; Συνεχής; Μικτός.

Διακεκριμένοςείναι μια τυχαία μεταβλητή της οποίας ο αριθμός των πιθανών τιμών σχηματίζει ένα μετρήσιμο σύνολο. Με τη σειρά του, ένα σύνολο του οποίου τα στοιχεία μπορούν να αριθμηθούν ονομάζεται μετρήσιμο. Η λέξη "discrete" προέρχεται από το λατινικό discretus, που σημαίνει "ασυνεχές, που αποτελείται από χωριστά μέρη".

Παράδειγμα 1. Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή είναι ο αριθμός των ελαττωματικών μερών Χ σε μια παρτίδα nπροϊόντων. Πράγματι, οι πιθανές τιμές αυτής της τυχαίας μεταβλητής είναι μια σειρά ακεραίων από 0 έως n.

Παράδειγμα 2. Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή είναι ο αριθμός των βολών πριν από το πρώτο χτύπημα στον στόχο. Εδώ, όπως στο Παράδειγμα 1, οι πιθανές τιμές μπορούν να αριθμηθούν, αν και στην περιοριστική περίπτωση η πιθανή τιμή είναι ένας απείρως μεγάλος αριθμός.

Συνεχήςείναι μια τυχαία μεταβλητή της οποίας οι πιθανές τιμές γεμίζουν συνεχώς ένα συγκεκριμένο διάστημα του αριθμητικού άξονα, που μερικές φορές ονομάζεται διάστημα ύπαρξης αυτής της τυχαίας μεταβλητής. Έτσι, σε οποιοδήποτε πεπερασμένο διάστημα ύπαρξης, ο αριθμός των πιθανών τιμών μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι απείρως μεγάλος.

Παράδειγμα 3. Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή είναι η μηνιαία κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας μιας επιχείρησης.

Παράδειγμα 4. Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή είναι το σφάλμα στη μέτρηση του ύψους χρησιμοποιώντας ένα υψόμετρο. Ας γίνει γνωστό από την αρχή λειτουργίας του υψομέτρου ότι το σφάλμα βρίσκεται στην περιοχή από 0 έως 2 m. Επομένως, το διάστημα ύπαρξης αυτής της τυχαίας μεταβλητής είναι το διάστημα από 0 έως 2 m.

Νόμος κατανομής τυχαίων μεταβλητών.

Μια τυχαία μεταβλητή θεωρείται πλήρως καθορισμένη εάν οι πιθανές τιμές της υποδεικνύονται στον αριθμητικό άξονα και έχει καθοριστεί ο νόμος κατανομής.

Νόμος κατανομής τυχαίας μεταβλητής είναι μια σχέση που δημιουργεί μια σύνδεση μεταξύ των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής και των αντίστοιχων πιθανοτήτων.

Μια τυχαία μεταβλητή λέγεται ότι κατανέμεται σύμφωνα με έναν δεδομένο νόμο ή υπόκειται σε έναν δεδομένο νόμο κατανομής. Ως νόμοι κατανομής χρησιμοποιούνται διάφορες πιθανότητες, συνάρτηση κατανομής, πυκνότητα πιθανότητας και χαρακτηριστική συνάρτηση.

Ο νόμος κατανομής δίνει μια πλήρη πιθανή περιγραφή μιας τυχαίας μεταβλητής. Σύμφωνα με το νόμο κατανομής, μπορεί κανείς να κρίνει πριν από το πείραμα ποιες πιθανές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής θα εμφανίζονται πιο συχνά και ποιες λιγότερο συχνά.

Για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, ο νόμος κατανομής μπορεί να καθοριστεί με τη μορφή πίνακα, αναλυτικά (με τη μορφή τύπου) και γραφικά.

Η απλούστερη μορφή προσδιορισμού του νόμου κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι ένας πίνακας (μήτρας), ο οποίος παραθέτει με αύξουσα σειρά όλες τις πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής και τις αντίστοιχες πιθανότητες τους, π.χ.

Ένας τέτοιος πίνακας ονομάζεται σειρά διανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής. 1

Τα συμβάντα X 1, X 2,..., X n, που συνίστανται στο γεγονός ότι ως αποτέλεσμα της δοκιμής, η τυχαία μεταβλητή X θα λάβει τις τιμές x 1, x 2,... x n, αντίστοιχα, είναι ασυνεπείς και οι μόνες δυνατές (καθώς ο πίνακας παραθέτει όλες τις πιθανές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής), π.χ. σχηματίσουν μια πλήρη ομάδα. Επομένως, το άθροισμα των πιθανοτήτων τους είναι ίσο με 1. Έτσι, για κάθε διακριτή τυχαία μεταβλητή

(Αυτή η μονάδα κατανέμεται κατά κάποιο τρόπο μεταξύ των τιμών της τυχαίας μεταβλητής, εξ ου και ο όρος "κατανομή").

Η σειρά κατανομής μπορεί να απεικονιστεί γραφικά εάν οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής σχεδιάζονται κατά μήκος του άξονα της τετμημένης και οι αντίστοιχες πιθανότητες απεικονίζονται κατά μήκος του άξονα τεταγμένων. Η σύνδεση των λαμβανόμενων σημείων σχηματίζει μια διακεκομμένη γραμμή που ονομάζεται πολύγωνο ή πολύγωνο της κατανομής πιθανότητας (Εικ. 1).

ΠαράδειγμαΗ κλήρωση περιλαμβάνει: αυτοκίνητο αξίας 5.000 den. μονάδες, 4 τηλεοράσεις 250 ντεν. μονάδες, 5 συσκευές εγγραφής βίντεο αξίας 200 ντεν. μονάδες Συνολικά πωλούνται 1000 εισιτήρια για 7 ημέρες. μονάδες Συντάξτε έναν νόμο διανομής για τα καθαρά κέρδη που έλαβε ένας συμμετέχων στο λαχείο που αγόρασε ένα δελτίο.

Λύση. Οι πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής X - τα καθαρά κέρδη ανά δελτίο - είναι ίσες με 0-7 = -7 χρήματα. μονάδες (αν το δελτίο δεν κέρδιζε), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. μονάδες (αν το εισιτήριο έχει τα κέρδη ενός βίντεο, τηλεόρασης ή αυτοκινήτου, αντίστοιχα). Λαμβάνοντας υπόψη ότι από τα 1000 εισιτήρια ο αριθμός των μη κερδισμένων είναι 990 και τα υποδεικνυόμενα κέρδη είναι 5, 4 και 1 αντίστοιχα, και χρησιμοποιώντας τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας, λαμβάνουμε.

Ως γνωστόν, τυχαία μεταβλητή ονομάζεται μεταβλητή ποσότητα που μπορεί να λάβει ορισμένες τιμές ανάλογα με την περίπτωση. Οι τυχαίες μεταβλητές συμβολίζονται με κεφαλαία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου (X, Y, Z) και οι τιμές τους υποδηλώνονται με τα αντίστοιχα πεζά γράμματα (x, y, z). Οι τυχαίες μεταβλητές χωρίζονται σε ασυνεχείς (διακριτές) και συνεχείς.

Διακριτή τυχαία μεταβλητή είναι μια τυχαία μεταβλητή που παίρνει μόνο ένα πεπερασμένο ή άπειρο (μετρήσιμο) σύνολο τιμών με ορισμένες μη μηδενικές πιθανότητες.

Νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι μια συνάρτηση που συνδέει τις τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής με τις αντίστοιχες πιθανότητες. Ο νόμος διανομής μπορεί να καθοριστεί με έναν από τους παρακάτω τρόπους.

1 . Ο νόμος διανομής μπορεί να δοθεί από τον πίνακα:

όπου λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V)με τη χρήση συνάρτηση κατανομής F(x) , που καθορίζει για κάθε τιμή x την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή X να πάρει τιμή μικρότερη από x, δηλ. F(x) = P(X< x).

Ιδιότητες της συνάρτησης F(x)

3 . Ο νόμος διανομής μπορεί να καθοριστεί γραφικά – πολύγωνο κατανομής (πολύγωνο) (βλ. πρόβλημα 3).

Σημειώστε ότι για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων δεν είναι απαραίτητο να γνωρίζετε τον νόμο διανομής. Σε ορισμένες περιπτώσεις, αρκεί να γνωρίζουμε έναν ή περισσότερους αριθμούς που αντικατοπτρίζουν τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά του νόμου διανομής. Αυτός μπορεί να είναι ένας αριθμός που έχει την έννοια της «μέσης τιμής» μιας τυχαίας μεταβλητής ή ένας αριθμός που δείχνει το μέσο μέγεθος της απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μέση τιμή της. Οι αριθμοί αυτού του είδους ονομάζονται αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής.

Βασικά αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής :

Μαθηματική προσδοκία (μέση τιμή) μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής M(X)=Σ x i p i.
Για διωνυμική κατανομή M(X)=np, για κατανομή Poisson M(X)=λ
Διασπορά διακριτή τυχαία μεταβλητή D(X)=M2ή D(X) = M(X 2)− 2. Η διαφορά X–M(X) ονομάζεται απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία.
Για διωνυμική κατανομή D(X)=npq, για κατανομή Poisson D(X)=λ
Τυπική απόκλιση (τυπική απόκλιση) σ(X)=√D(X).

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων με θέμα «Ο νόμος της κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής»

Εργασία 1.

Εκδόθηκαν 1000 λαχεία: 5 από αυτά θα κερδίσουν 500 ρούβλια, 10 θα κερδίσουν 100 ρούβλια, 20 θα κερδίσουν 50 ρούβλια, 50 θα κερδίσουν 10 ρούβλια. Προσδιορίστε τον νόμο της κατανομής πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής Χ - κέρδη ανά δελτίο.

Λύση. Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, είναι δυνατές οι ακόλουθες τιμές της τυχαίας μεταβλητής X: 0, 10, 50, 100 και 500.

Ο αριθμός των εισιτηρίων χωρίς νίκη είναι 1000 – (5+10+20+50) = 915, μετά P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Ομοίως, βρίσκουμε όλες τις άλλες πιθανότητες: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Ας παρουσιάσουμε τον νόμο που προκύπτει με τη μορφή πίνακα:

Ας βρούμε τη μαθηματική προσδοκία της τιμής Χ: Μ(Χ) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Εργασία 3.

Η συσκευή αποτελείται από τρία ανεξάρτητα λειτουργικά στοιχεία. Η πιθανότητα αστοχίας κάθε στοιχείου σε ένα πείραμα είναι 0,1. Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής για τον αριθμό των αποτυχημένων στοιχείων σε ένα πείραμα, κατασκευάστε ένα πολύγωνο κατανομής. Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής F(x) και σχεδιάστε την. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.

Λύση. 1. Η διακριτή τυχαία μεταβλητή X = (ο αριθμός των αποτυχημένων στοιχείων σε ένα πείραμα) έχει τις ακόλουθες πιθανές τιμές: x 1 = 0 (κανένα από τα στοιχεία της συσκευής δεν απέτυχε), x 2 = 1 (ένα στοιχείο απέτυχε), x 3 = 2 ( δύο στοιχεία απέτυχαν ) και x 4 =3 (τρία στοιχεία απέτυχαν).

Οι αστοχίες στοιχείων είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, οι πιθανότητες αστοχίας κάθε στοιχείου είναι ίσες, επομένως ισχύει Φόρμουλα Bernoulli . Λαμβάνοντας υπόψη ότι, σύμφωνα με τη συνθήκη, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, προσδιορίζουμε τις πιθανότητες των τιμών:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;
Έλεγχος: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Έτσι, ο επιθυμητός νόμος διωνυμικής κατανομής του X έχει τη μορφή:

Σχεδιάζουμε τις πιθανές τιμές του x i κατά μήκος του άξονα της τετμημένης και τις αντίστοιχες πιθανότητες p i κατά μήκος του άξονα των τεταγμένων. Ας κατασκευάσουμε τα σημεία M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Συνδέοντας αυτά τα σημεία με ευθύγραμμα τμήματα, παίρνουμε το επιθυμητό πολύγωνο κατανομής.

3. Ας βρούμε τη συνάρτηση κατανομής F(x) = Р(Х

Για x ≤ 0 έχουμε F(x) = Р(Х<0) = 0;
για 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
για 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
για 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
για x > 3 θα υπάρχει F(x) = 1, γιατί η εκδήλωση είναι αξιόπιστη.

Γράφημα της συνάρτησης F(x)

4. Για διωνυμική κατανομή X:
- μαθηματική προσδοκία M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- διακύμανση D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- τυπική απόκλιση σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Σκοπός της υπηρεσίας. Η ηλεκτρονική αριθμομηχανή χρησιμοποιείται για την κατασκευή ενός πίνακα κατανομής της τυχαίας μεταβλητής X - τον αριθμό των πειραμάτων που πραγματοποιήθηκαν και για τον υπολογισμό όλων των χαρακτηριστικών της σειράς: μαθηματική προσδοκία, διασπορά και τυπική απόκλιση. Η έκθεση με την απόφαση συντάσσεται σε μορφή Word. Παράδειγμα Νο. 1. Τρία νομίσματα πετιούνται. Η πιθανότητα να πάρεις ένα εθνόσημο σε μία ρίψη είναι 0,5. Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής για την τυχαία μεταβλητή X - τον αριθμό των εμβλημάτων που χάθηκαν.
Λύση.
Πιθανότητα να μην κληρώθηκαν εμβλήματα: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
Ρ(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
Ρ(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Πιθανότητα να πάρεις τρία οικόσημα: P(3) = 0,5*0,5*0,5 = 0,125

Νόμος κατανομής της τυχαίας μεταβλητής X:

Χ	0	1	2	3
Π	0,125	0,375	0,375	0,125

Έλεγχος: P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1

Παράδειγμα Νο. 2. Η πιθανότητα ένας σκοπευτής να χτυπήσει τον στόχο με μία βολή για τον πρώτο σκοπευτή είναι 0,8, για τον δεύτερο σκοπευτή – 0,85. Οι σκοπευτές έριξαν μία βολή στο στόχο. Θεωρώντας το χτύπημα του στόχου ως ανεξάρτητα γεγονότα για μεμονωμένους σκοπευτές, βρείτε την πιθανότητα του συμβάντος Α – ακριβώς ένα χτύπημα στον στόχο.
Λύση.
Εξετάστε το συμβάν Α - ένα χτύπημα στον στόχο. Οι πιθανές επιλογές για να συμβεί αυτό το συμβάν είναι οι εξής:

Το πρώτο σουτέρ χτύπησε, ο δεύτερος σουτέρ αστόχησε: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
Ο πρώτος σουτέρ αστόχησε, ο δεύτερος χτύπησε τον στόχο: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0,8)*0,85=0,17
Το πρώτο και το δεύτερο βέλος χτυπούν το στόχο ανεξάρτητα το ένα από το άλλο: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68

Τότε η πιθανότητα του συμβάντος Α – ακριβώς ένα χτύπημα στο στόχο – θα είναι ίση με: P(A) = 0,12+0,17+0,68 = 0,97

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων με θέμα «Τυχαίες μεταβλητές».

Εργο 1 . Έχουν εκδοθεί 100 εισιτήρια για την κλήρωση. Κληρώθηκε ένα κέρδος των 50 USD. και δέκα νίκες των 10 USD η καθεμία. Βρείτε τον νόμο κατανομής της τιμής X - το κόστος των πιθανών κερδών.

Λύση. Πιθανές τιμές για X: x 1 = 0; Χ 2 = 10 και x 3 = 50. Αφού υπάρχουν 89 «κενά» εισιτήρια, τότε σελ 1 = 0,89, πιθανότητα νίκης 10 c.u. (10 εισιτήρια) – σελ 2 = 0,10 και να κερδίσετε 50 USD -Π 3 = 0,01. Ετσι:


	0,89	0,10	0,01

Εύκολο στον έλεγχο: .

Εργο 2. Η πιθανότητα ο αγοραστής να έχει διαβάσει εκ των προτέρων τη διαφήμιση του προϊόντος είναι 0,6 (p = 0,6). Ο επιλεκτικός έλεγχος της ποιότητας της διαφήμισης πραγματοποιείται από την έρευνα των αγοραστών πριν από τον πρώτο που έχει μελετήσει εκ των προτέρων τη διαφήμιση. Σχεδιάστε μια σειρά διανομής για τον αριθμό των αγοραστών που ερωτήθηκαν.

Λύση. Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, p = 0,6. Από: q=1 -p = 0,4. Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές, παίρνουμε:και κατασκευάστε μια σειρά διανομής:


πι		0,24

Εργο 3. Ένας υπολογιστής αποτελείται από τρία ανεξάρτητα λειτουργικά στοιχεία: τη μονάδα συστήματος, την οθόνη και το πληκτρολόγιο. Με μία μόνο απότομη αύξηση της τάσης, η πιθανότητα αστοχίας κάθε στοιχείου είναι 0,1. Με βάση την κατανομή Bernoulli, συντάξτε έναν νόμο κατανομής για τον αριθμό των στοιχείων που αποτυγχάνουν κατά τη διάρκεια ενός κύματος ισχύος στο δίκτυο.

Λύση. Ας σκεφτούμε Κατανομή Bernoulli(ή διωνυμικό): η πιθανότητα ότι n δοκιμές, το συμβάν Α θα εμφανιστεί ακριβώςκ μια φορά: , ή:


	q n					Π n

ΣΕ Ας επιστρέψουμε στο έργο.

Πιθανές τιμές για το X (αριθμός αποτυχιών):

x 0 =0 – κανένα από τα στοιχεία δεν απέτυχε.

x 1 =1 – αστοχία ενός στοιχείου.

x 2 =2 – αστοχία δύο στοιχείων.

x 3 =3 – αστοχία όλων των στοιχείων.

Αφού, κατά συνθήκη, p = 0,1, τότε q = 1 – p = 0,9. Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Bernoulli, παίρνουμε

, ,

, .

Ελεγχος: .

Επομένως, ο απαιτούμενος νόμος διανομής:


	0,729	0,243	0,027	0,001

Πρόβλημα 4. Παρήχθησαν 5000 φυσίγγια. Πιθανότητα ότι ένα φυσίγγιο είναι ελαττωματικό . Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχουν ακριβώς 3 ελαττωματικά φυσίγγια σε ολόκληρη την παρτίδα;

Λύση. Εφαρμόσιμος Κατανομή Poisson: Αυτή η κατανομή χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της πιθανότητας ότι, για πολύ μεγάλη

αριθμός δοκιμών (δοκιμές μάζας), σε καθεμία από τις οποίες η πιθανότητα του γεγονότος Α είναι πολύ μικρή, το γεγονός Α θα συμβεί k φορές: , Οπου .

Εδώ n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Βρίσκουμε , τότε την επιθυμητή πιθανότητα: .

Πρόβλημα 5. Κατά την πυροδότηση μέχρι το πρώτο χτύπημα με πιθανότητα χτυπήματος p = 0,6 όταν πυροβολείτε, πρέπει να βρείτε την πιθανότητα να συμβεί ένα χτύπημα στην τρίτη βολή.

Λύση. Ας εφαρμόσουμε μια γεωμετρική κατανομή: ας γίνουν ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθένα από τα οποία το γεγονός Α έχει πιθανότητα εμφάνισης p (και μη εμφάνιση q = 1 – p). Η δοκιμή τελειώνει μόλις συμβεί το συμβάν Α.

Κάτω από τέτοιες συνθήκες, η πιθανότητα να συμβεί το συμβάν Α στην kth δοκιμή καθορίζεται από τον τύπο: . Εδώ p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Επομένως, .

Πρόβλημα 6. Έστω ο νόμος κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ:

Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία.

Λύση. .

Σημειώστε ότι η πιθανολογική σημασία της μαθηματικής προσδοκίας είναι η μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής.

Πρόβλημα 7. Βρείτε τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής X με τον ακόλουθο νόμο κατανομής:

Λύση. Εδώ .

Νόμος κατανομής για την τετραγωνική τιμή του Χ 2 :

Χ 2

Απαιτούμενη διακύμανση: .

Η διασπορά χαρακτηρίζει το μέτρο της απόκλισης (διασποράς) μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία.

Πρόβλημα 8. Έστω μια τυχαία μεταβλητή που δίνεται από την κατανομή:

			10μ

Βρείτε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά του.

Λύση: m, m 2 ,

Μ 2 , Μ.

Για την τυχαία μεταβλητή X μπορούμε να πούμε είτε: η μαθηματική της προσδοκία είναι 6,4 m με διακύμανση 13,04 m 2 , ή – η μαθηματική του προσδοκία είναι 6,4 m με απόκλιση m Η δεύτερη διατύπωση είναι προφανώς πιο σαφής.

Εργο 9. Τυχαία τιμήΧ δίνεται από τη συνάρτηση διανομής:
.

Βρείτε την πιθανότητα ότι ως αποτέλεσμα της δοκιμής η τιμή X θα λάβει την τιμή που περιέχεται στο διάστημα .

Λύση. Η πιθανότητα ότι το X θα πάρει μια τιμή από ένα δεδομένο διάστημα είναι ίση με την αύξηση της ολοκληρωτικής συνάρτησης σε αυτό το διάστημα, δηλ. . Στην περίπτωσή μας και άρα