Οι εξεταζόμενες σημειακές εκτιμήσεις των παραμέτρων κατανομής δίνουν μια εκτίμηση με τη μορφή ενός αριθμού πλησιέστερου στην τιμή της άγνωστης παραμέτρου. Τέτοιες εκτιμήσεις χρησιμοποιούνται μόνο για μεγάλο αριθμό μετρήσεων. Όσο μικρότερο είναι το μέγεθος του δείγματος, τόσο πιο εύκολο είναι να κάνετε λάθος κατά την επιλογή μιας παραμέτρου. Για εξάσκηση, είναι σημαντικό όχι μόνο να λάβετε μια εκτίμηση σημείων, αλλά και να καθορίσετε ένα διάστημα που καλείται θεματοφύλακας,ανάμεσα στα όρια του οποίου με δεδομένο επίπεδο αυτοπεποίθησης

όπου q - επίπεδο σημασίας; х н, х в - το κατώτερο και το ανώτερο όριο του διαστήματος, βρίσκεται η πραγματική τιμή της εκτιμώμενης παραμέτρου.

Γενικά, τα διαστήματα εμπιστοσύνης μπορούν να χτιστούν με βάση Οι ανισότητες του Chebyshev.Για οποιονδήποτε νόμο κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής με ροπές των δύο πρώτων τάξεων, το άνω όριο στην πιθανότητα ότι η απόκλιση της τυχαίας μεταβλητής x από το κέντρο της κατανομής X c θα πέσει στο διάστημα tS x περιγράφεται από την ανισότητα Chebyshev

όπου S x - αξιολόγηση της διανομής RMS. t είναι θετικός αριθμός.

Για να βρεθεί το διάστημα εμπιστοσύνης, δεν απαιτείται να γνωρίζουμε τον νόμο κατανομής των αποτελεσμάτων των παρατηρήσεων, αλλά είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την εκτίμηση RMS. Τα διαστήματα που λαμβάνονται χρησιμοποιώντας την ανισότητα Chebyshev αποδεικνύονται πολύ μεγάλα για εξάσκηση. Έτσι, ένα διάστημα εμπιστοσύνης 0,9 για πολλούς νόμους κατανομής αντιστοιχεί σε ένα διάστημα εμπιστοσύνης 1,6 S X . Η ανισότητα του Chebyshev δίνει σε αυτή την περίπτωση 3.16 S X . Ως αποτέλεσμα, δεν έχει υιοθετηθεί ευρέως.

Στη μετρολογική πρακτική, χρησιμοποιούνται κυρίως ποσοστιαίες εκτιμήσειςδιάστημα εμπιστοσύνης. Κάτω από 100 Π- εκατοστιαία ποσότητα x p κατανοούν την τετμημένη μιας τέτοιας κατακόρυφης γραμμής, στα αριστερά της οποίας το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη πυκνότητας κατανομής είναι ίσο με P%. Με άλλα λόγια, ποσοστό- αυτή είναι η τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής (σφάλμα) με δεδομένη πιθανότητα εμπιστοσύνης P. Για παράδειγμα, η διάμεσος της κατανομής είναι ένα 50% ποσοστό x 0,5.

Στην πράξη, ονομάζονται ποσοστάσια 25 και 75%. πτυχώσεις,ή ποσοστά διανομής.Ανάμεσά τους βρίσκεται το 50% όλων των πιθανών τιμών της τυχαίας μεταβλητής και το υπόλοιπο 50% βρίσκεται έξω από αυτές. Το διάστημα των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής x μεταξύ x 0 05 και x 0 95 καλύπτει το 90% όλων των πιθανών τιμών της και ονομάζεται ενδιάμεσο χάσμα με πιθανότητα 90%.Το μήκος του είναι d 0,9 \u003d x 0,95 - x 0,05.

Με βάση αυτή την προσέγγιση, η έννοια Τιμές σφάλματος ποσοστού,εκείνοι. τιμές σφάλματος με δεδομένη πιθανότητα εμπιστοσύνης P - τα όρια του διαστήματος αβεβαιότητας ±ρερε = ± (x p - x 1-p) / 2 = ± dp /2. Στο μήκος της, υπάρχουν τιμές P% μιας τυχαίας μεταβλητής (σφάλμα),ένα q = (1-P)% του συνολικού αριθμού τους παραμένει εκτός αυτού του διαστήματος.

Για να ληφθεί μια εκτίμηση διαστήματος για μια κανονικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή, είναι απαραίτητο:

Προσδιορίστε τη σημειακή εκτίμηση MO x̅ και RMS S x τυχαία μεταβλητή σύμφωνα με τους τύπους (6.8) και (6.11), αντίστοιχα.

Επιλέξτε μια πιθανότητα εμπιστοσύνης Р από το προτεινόμενο εύρος τιμών 0,90. 0,95; 0,99;

Βρείτε τα άνω x μέσα και τα κάτω x n όρια σύμφωνα με τις εξισώσεις

που λαμβάνονται λαμβάνοντας υπόψη την (6.1). Οι τιμές н και х в προσδιορίζονται από τους πίνακες τιμών της συνάρτησης ολοκληρωμένης κατανομής F(t ) ή τη συνάρτηση Laplace Ф(1).

Το προκύπτον διάστημα εμπιστοσύνης ικανοποιεί την προϋπόθεση

(6.13)

όπου n - αριθμός μετρούμενων τιμών. zp - όρισμα της συνάρτησης Laplace Ф(1) που αντιστοιχεί στην πιθανότητα Р/2. Σε αυτήν την περίπτωση zp λέγεται παράγοντας ποσοστού. Το μισό μήκος του διαστήματος εμπιστοσύνης ονομάζεται όριο εμπιστοσύνης του σφάλματος του αποτελέσματος της μέτρησης.

Παράδειγμα 6.1. Έγιναν 50 μετρήσεις σταθερής αντίστασης. Προσδιορίστε το διάστημα εμπιστοσύνης για την τιμή MO της σταθερής αντίστασης εάν ο νόμος κατανομής είναι κανονικός με τις παραμέτρους m x \u003d R \u003d 590 Ohm, S x \u003d 90 Ohm με πιθανότητα εμπιστοσύνης P \u003d 0,9.

Δεδομένου ότι η υπόθεση σχετικά με την κανονικότητα του νόμου κατανομής δεν έρχεται σε αντίθεση με τα πειραματικά δεδομένα, το διάστημα εμπιστοσύνης καθορίζεται από τον τύπο

Επομένως Ф(z р ) = 0,45. Από τον πίνακα που δίνεται στο Παράρτημα 1, διαπιστώνουμε ότι zp = 1,65. Επομένως, το διάστημα εμπιστοσύνης θα γραφτεί στη φόρμα

Ή 590 - 21< R < 590 + 21. Окончательно 509 Ом < R< 611 Ом.

Εάν ο νόμος κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής διαφέρει από τον κανονικό, είναι απαραίτητο να οικοδομήσουμε το μαθηματικό μοντέλο της και να προσδιορίσουμε το διάστημα εμπιστοσύνης χρησιμοποιώντας το.

Η εξεταζόμενη μέθοδος για την εύρεση διαστημάτων εμπιστοσύνης ισχύει για έναν αρκετά μεγάλο αριθμό παρατηρήσεων n όταν μικρό= Sx . Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι η υπολογισμένη εκτίμηση RMS S x είναι μόνο κάποια προσέγγιση της πραγματικής τιμήςμικρό. Ο προσδιορισμός του διαστήματος εμπιστοσύνης για μια δεδομένη πιθανότητα είναι όσο λιγότερο αξιόπιστος, τόσο μικρότερος είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων. Είναι αδύνατο να χρησιμοποιηθούν τύποι κανονικής κατανομής με μικρό αριθμό παρατηρήσεων, εάν δεν είναι δυνατό θεωρητικά, με βάση προκαταρκτικά πειράματα με αρκετά μεγάλο αριθμό παρατηρήσεων, να προσδιοριστεί η τυπική απόκλιση.

Υπολογισμός των διαστημάτων εμπιστοσύνης για την περίπτωση που η κατανομή των αποτελεσμάτων παρατήρησης είναι κανονική, αλλά η διακύμανσή τους είναι άγνωστη, δηλ. με μικρό αριθμό παρατηρήσεων n, είναι δυνατή η εκτέλεση χρησιμοποιώντας την κατανομή του Μαθητή S(t, k ). Περιγράφει την πυκνότητα κατανομής του λόγου (κλάσματα μαθητή):

όπου Q - την πραγματική τιμή της μετρούμενης τιμής. x τιμές̅, S x. και S x ̅ υπολογίζονται με βάση πειραματικά δεδομένα και αντιπροσωπεύουν σημειακές εκτιμήσεις του MO, του RMS των αποτελεσμάτων των μετρήσεων και του RMS του αριθμητικού μέσου όρου.

Η πιθανότητα ότι το κλάσμα του μαθητή ως αποτέλεσμα των παρατηρήσεων που πραγματοποιήθηκαν θα λάβει κάποια τιμή στο διάστημα (- t p ; + t p )

(6.14)

όπου κ - ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας, ίσος με (n - 1). Ποσότητες tp (ονομάζεται σε αυτή την περίπτωση μαθητικούς συντελεστές),υπολογίζονται με χρήση των δύο τελευταίων τύπων για διαφορετικές τιμές του επιπέδου εμπιστοσύνης και του αριθμού των μετρήσεων σε πίνακα (βλ. πίνακα στο Παράρτημα 1). Επομένως, χρησιμοποιώντας την κατανομή του Student μπορεί κανείς να βρει την πιθανότητα η απόκλιση του αριθμητικού μέσου όρου από την πραγματική τιμή της μετρούμενης τιμής να μην υπερβαίνει

Σε εκείνες τις περιπτώσεις όπου η κατανομή των τυχαίων σφαλμάτων δεν είναι κανονική, χρησιμοποιείται συχνά η κατανομή του μαθητή με μια προσέγγιση της οποίας ο βαθμός παραμένει άγνωστος. Η κατανομή του μαθητή χρησιμοποιείται όταν ο αριθμός των μετρήσεων n < 30, поскольку уже при n = 20, ...,30 γίνεται κανονικό και αντί για την εξίσωση (6.14) μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει την εξίσωση (6.13). Το αποτέλεσμα της μέτρησης γράφεται ως: ; Π = R d, όπου R d - μια συγκεκριμένη τιμή του επιπέδου εμπιστοσύνης. Παράγοντας t με μεγάλο αριθμό μετρήσεων n ισούται με τον ποσοτικό παράγοντα z p . Για μικρό ν ισούται με τον συντελεστή Μαθητή.

Το αποτέλεσμα της μέτρησης που προκύπτει δεν είναι ένας συγκεκριμένος αριθμός, αλλά είναι ένα διάστημα μέσα στο οποίο, με μια ορισμένη πιθανότητα P d, βρίσκεται η πραγματική τιμή της μετρούμενης τιμής. Η επισήμανση του μέσου του διαστήματος x δεν σημαίνει καθόλου ότι η πραγματική τιμή είναι πιο κοντά σε αυτό παρά στα υπόλοιπα σημεία του διαστήματος. Μπορεί να είναι οπουδήποτε στο διάστημα, και με πιθανότητα 1 - R d ακόμη και έξω από αυτό.

Παράδειγμα 6.2. Ο προσδιορισμός των ειδικών μαγνητικών απωλειών για διάφορα δείγματα μιας παρτίδας ηλεκτρικού χάλυβα ποιότητας 2212 έδωσε τα ακόλουθα αποτελέσματα: 1.21; 1.17; 1.18; 1.13; 1.19; 1.14; 1,20 και 1,18 W/kg. Υποθέτοντας ότι δεν υπάρχει συστηματικό σφάλμα και το τυχαίο σφάλμα κατανέμεται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο, απαιτείται να προσδιοριστεί το διάστημα εμπιστοσύνης για τις τιμές της πιθανότητας εμπιστοσύνης 0,9 και 0,95. Για να λύσετε το πρόβλημα, χρησιμοποιήστε τον τύπο Laplace και την κατανομή του Student.

Χρησιμοποιώντας τους τύπους (6.8) στο (6.11), βρίσκουμε εκτιμήσεις της μέσης αριθμητικής τιμής και του RMS των αποτελεσμάτων της μέτρησης. Είναι αντίστοιχα ίσα με 1,18 και 0,0278 W/kg. Υποθέτοντας ότι η εκτίμηση RMS είναι ίση με την ίδια την απόκλιση, βρίσκουμε:

Ως εκ τούτου, χρησιμοποιώντας τις τιμές της συνάρτησης Laplace που δίνονται στον πίνακα του Παραρτήματος 1, προσδιορίζουμε ότιzp = 1,65. Για P = 0,95 συντελεστής zp =1,96. Τα διαστήματα εμπιστοσύνης που αντιστοιχούν σε P = 0,9 και 0,95 είναι 1,18 ± 0,016 και 1,18 ± 0,019 W/kg.

Στην περίπτωση που δεν υπάρχει λόγος να πιστεύουμε ότι η τυπική απόκλιση και η εκτίμησή της είναι ίσες, το διάστημα εμπιστοσύνης προσδιορίζεται με βάση την κατανομή του Μαθητή:

Σύμφωνα με τον πίνακα του Παραρτήματος 1, διαπιστώνουμε ότι t 0,9 = 1,9 και t 0,95 = 2,37. Ως εκ τούτου, τα διαστήματα εμπιστοσύνης είναι αντίστοιχα ίσα με 1,18±0,019 και 1,18±0,023 W/kg.

Ερωτήσεις ελέγχου.

1. Κάτω από ποιες συνθήκες μπορεί ένα σφάλμα μέτρησης να θεωρηθεί ως τυχαία μεταβλητή;

2. Καταγράψτε τις ιδιότητες των συναρτήσεων ολοκληρωτικής και διαφορικής κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής.

3. Ονομάστε τις αριθμητικές παραμέτρους των νόμων κατανομής.

4. Πώς μπορεί να οριστεί ένα κέντρο διανομής;

5. Τι είναι οι ροπές διανομής; Ποια από αυτά έχουν βρει εφαρμογή στη μετρολογία;

6. Να αναφέρετε τις κύριες κατηγορίες κατανομών που χρησιμοποιούνται στη μετρολογία.

7. Δώστε μια περιγραφή των κατανομών που περιλαμβάνονται στην κατηγορία των τραπεζοειδών κατανομών.

8. Τι είναι οι εκθετικές κατανομές; Ποιες είναι οι ιδιότητες και τα χαρακτηριστικά τους;

9. Τι είναι η κανονική κατανομή; Γιατί παίζει ιδιαίτερο ρόλο στη μετρολογία;

10. Τι είναι η συνάρτηση Laplace και σε τι χρησιμοποιείται;

11. Πώς περιγράφεται και χρησιμοποιείται η οικογένεια των κατανομών του Student;

12. Ποιες σημειακές εκτιμήσεις των νόμων διανομής γνωρίζετε; Ποιες είναι οι απαιτήσεις για αυτούς;

13. Τι είναι το διάστημα εμπιστοσύνης; Ποιες «μεθόδους ανάθεσής του γνωρίζετε;

Στην οποία, με τη μία ή την άλλη πιθανότητα, υπάρχει μια γενική παράμετρος. Οι πιθανότητες που αναγνωρίζονται ως επαρκείς για μια σίγουρη κρίση σχετικά με τις γενικές παραμέτρους με βάση τους δείκτες δειγμάτων ονομάζονται θεματοφύλακας.

Η έννοια των πιθανοτήτων εμπιστοσύνης απορρέει από την αρχή ότι τα απίθανα γεγονότα θεωρούνται πρακτικά αδύνατα και τα γεγονότα των οποίων η πιθανότητα είναι κοντά στο ένα θεωρούνται σχεδόν βέβαια. Συνήθως, ως εμπιστοσύνη χρησιμοποιούνται οι πιθανότητες Р 1 = 0,95, Р 2 = 0,99, Р 3 = 0,999. Σε ορισμένες τιμές πιθανοτήτων αντιστοιχούν επίπεδα σημασίας, που νοείται ως η διαφορά α = 1-Ρ. Μια πιθανότητα 0,95 αντιστοιχεί σε ένα επίπεδο σημαντικότητας α 1 = 0,05 (5%), μια πιθανότητα 0,99 - α 2 = 0,01 (1%), μια πιθανότητα 0,999 - α 3 = 0,001 (0,1%).

Αυτό σημαίνει ότι κατά την αξιολόγηση των γενικών παραμέτρων με βάση επιλεκτικούς δείκτες, υπάρχει κίνδυνος να γίνει λάθος στην πρώτη περίπτωση 1 φορά σε 20 δοκιμές, δηλ. στο 5% των περιπτώσεων? στη δεύτερη - 1 φορά ανά 100 δοκιμές, δηλ. στο 1% των περιπτώσεων? στην τρίτη - 1 φορά ανά 1000 τεστ, δηλ. στο 0,1% των περιπτώσεων. Έτσι, το επίπεδο σημαντικότητας υποδεικνύει την πιθανότητα να ληφθεί μια τυχαία απόκλιση από τα αποτελέσματα που έχουν καθοριστεί με μια ορισμένη πιθανότητα. Οι πιθανότητες που λαμβάνονται ως εμπιστοσύνη καθορίζουν το διάστημα εμπιστοσύνης μεταξύ τους. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να βασίσουν την εκτίμηση μιας συγκεκριμένης ποσότητας και τα όρια στα οποία μπορεί να βρίσκεται σε διαφορετικές πιθανότητες.

Για διάφορες πιθανότητες, τα διαστήματα εμπιστοσύνης θα είναι τα εξής:

Р 1 = διάστημα 0,95 - 1,96σ έως + 1,96σ (Εικ. 5)

Р 2 = 0,99 διάστημα - 2,58σ έως + 2,58σ

Р 3 = διάστημα 0,999 - 3,03σ έως + 3,03σ

Οι πιθανότητες εμπιστοσύνης αντιστοιχούν στις ακόλουθες τιμές κανονικοποιημένων αποκλίσεων:

Η πιθανότητα Р 1 = 0,95 αντιστοιχεί σε t 1 = 1,96σ

Η πιθανότητα Р 2 = 0,99 αντιστοιχεί σε t 2 = 2,58σ

Η πιθανότητα Р 3 = 0,999 αντιστοιχεί σε t 3 = 3,03σ

Η επιλογή του ενός ή του άλλου ορίου εμπιστοσύνης πραγματοποιείται με βάση τη σημασία του γεγονότος. Το επίπεδο σημασίας σε αυτή την περίπτωση είναι η πιθανότητα να αποφασιστεί να παραμεληθεί σε αυτή τη μελέτη ή φαινόμενο.

Μέσο σφάλμα (m) ή σφάλμα αντιπροσωπευτικότητας.

Τα χαρακτηριστικά του δείγματος, κατά κανόνα, δεν συμπίπτουν σε απόλυτη τιμή με τις αντίστοιχες γενικές παραμέτρους. Το μέγεθος της απόκλισης ενός δείκτη δείγματος από τη γενική του παράμετρο ονομάζεται στατιστικό σφάλμα ή σφάλμα αντιπροσωπευτικότητας. Τα στατιστικά σφάλματα είναι εγγενή μόνο στα χαρακτηριστικά του δείγματος, προκύπτουν κατά τη διαδικασία επιλογής μιας επιλογής από τον γενικό πληθυσμό.

Το μέσο σφάλμα υπολογίζεται από τον τύπο:

όπου σ είναι η τυπική απόκλιση,

n είναι ο αριθμός των μετρήσεων (μέγεθος δείγματος).

Εκφράζεται στις ίδιες μονάδες με το .

Η τιμή του μέσου σφάλματος είναι αντιστρόφως ανάλογη με το μέγεθος του δείγματος. Όσο μεγαλύτερο είναι το μέγεθος του δείγματος, τόσο μικρότερο είναι το μέσο σφάλμα και επομένως, τόσο μικρότερη είναι η απόκλιση μεταξύ των τιμών των χαρακτηριστικών στο δείγμα και του γενικού πληθυσμού.

Το μέσο σφάλμα δείγματος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση του μέσου όρου του πληθυσμού σύμφωνα με την κανονική κατανομή. Έτσι, εντός ±1 είναι το 68,3% όλων των αριθμητικών μέσων δειγμάτων, εντός ±2 - 95,5% όλων των μέσων τιμών του δείγματος, εντός ±3 - 99,7% όλων των μέσων τιμών του δείγματος.

Ακρίβεια εκτίμησης, επίπεδο εμπιστοσύνης (αξιοπιστία)

Διάστημα εμπιστοσύνης

Κατά τη δειγματοληψία μικρού όγκου, θα πρέπει να χρησιμοποιούνται εκτιμήσεις διαστήματος. Αυτό καθιστά δυνατή την αποφυγή χονδροειδών σφαλμάτων, σε αντίθεση με τις σημειακές εκτιμήσεις.

Καλείται μια εκτίμηση διαστήματος, η οποία καθορίζεται από δύο αριθμούς - τα άκρα του διαστήματος που καλύπτει την εκτιμώμενη παράμετρο. Οι εκτιμήσεις διαστήματος καθιστούν δυνατό τον προσδιορισμό της ακρίβειας και της αξιοπιστίας των εκτιμήσεων.

Αφήστε το στατιστικό χαρακτηριστικό * που βρέθηκε από τα δεδομένα του δείγματος να χρησιμεύσει ως εκτίμηση της άγνωστης παραμέτρου. Θα υποθέσουμε ότι είναι ένας σταθερός αριθμός (μπορεί να είναι μια τυχαία μεταβλητή). Είναι σαφές ότι το * καθορίζει την παράμετρο β με μεγαλύτερη ακρίβεια, τόσο μικρότερη είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς | - * |. Με άλλα λόγια, εάν >0 και | - * |< , то чем меньше, тем оценка точнее. Таким образом, положительное число характеризует точность оценки.

Ωστόσο, οι στατιστικές μέθοδοι δεν επιτρέπουν τον κατηγορηματικό ισχυρισμό ότι η εκτίμηση * ικανοποιεί την ανισότητα | - *|<, можно лишь говорить о вероятности, с которой это неравенство осуществляется.

Η αξιοπιστία (πιθανότητα εμπιστοσύνης) της εκτίμησης για * είναι η πιθανότητα με την οποία η ανισότητα | - *|<. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Έστω η πιθανότητα ότι | - *|<, равна т.е.

Αντικατάσταση της ανισότητας | - *|< равносильным ему двойным неравенством -<| - *|<, или *- <<*+, имеем

R(*-< <*+)=.

Το διάστημα εμπιστοσύνης ονομάζεται (*-, *+), το οποίο καλύπτει την άγνωστη παράμετρο με δεδομένη αξιοπιστία.

Διαστήματα εμπιστοσύνης για την εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας μιας κανονικής κατανομής όταν είναι γνωστά.

Μια εκτίμηση διαστήματος με την αξιοπιστία της μαθηματικής προσδοκίας a ενός κανονικά κατανεμημένου ποσοτικού χαρακτηριστικού X από τον μέσο όρο του δείγματος x με μια γνωστή τυπική απόκλιση του γενικού πληθυσμού είναι το διάστημα εμπιστοσύνης

x - t(/n^?)< a < х + t(/n^?),

όπου t(/n^?)= είναι η ακρίβεια εκτίμησης, n είναι το μέγεθος του δείγματος, t είναι η τιμή του ορίσματος της συνάρτησης Laplace Ф(t), στην οποία Ф(t)=/2.

Από την ισότητα t(/n^?)=, μπορούμε να βγάλουμε τα ακόλουθα συμπεράσματα:

1. Με την αύξηση του μεγέθους του δείγματος n, ο αριθμός μειώνεται και, επομένως, αυξάνεται η ακρίβεια της εκτίμησης.

2. μια αύξηση στην αξιοπιστία της εκτίμησης = 2Φ(t) οδηγεί σε αύξηση του t (Φ(t) είναι μια αυξανόμενη συνάρτηση), επομένως, σε αύξηση. Με άλλα λόγια, η αύξηση της αξιοπιστίας της κλασικής εκτίμησης συνεπάγεται μείωση της ακρίβειάς της.

Παράδειγμα. Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει κανονική κατανομή με γνωστή τυπική απόκλιση =3. Βρείτε τα διαστήματα εμπιστοσύνης για την εκτίμηση της άγνωστης προσδοκίας a από το δείγμα σημαίνει x, εάν το μέγεθος του δείγματος είναι n = 36 και η αξιοπιστία εκτίμησης οριστεί στο 0,95.

Λύση. Ας βρούμε τ. Από τη σχέση 2Ф(t) = 0,95 παίρνουμε Φ (t) = 0,475. Σύμφωνα με τον πίνακα βρίσκουμε t=1,96.

Βρείτε την ακρίβεια της εκτίμησης:

μέτρηση διαστήματος εμπιστοσύνης ακρίβειας

T(/n^?)= (1 ,96 . 3)/ /36 = 0,98.

Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι: (x - 0,98; x + 0,98). Για παράδειγμα, αν x = 4,1, τότε το διάστημα εμπιστοσύνης έχει τα ακόλουθα όρια εμπιστοσύνης:

x - 0,98 = 4,1 - 0,98 = 3,12; x + 0,98 = 4,1 + 0,98 = 5,08.

Έτσι, οι τιμές της άγνωστης παραμέτρου a, σύμφωνα με τα δεδομένα του δείγματος, ικανοποιούν την ανισότητα 3.12< а < 5,08. Подчеркнем, что было бы ошибочным написать Р (3,12 < а < 5,08) = 0,95. Действительно, так как а - постоянная величина, то либо она заключена в найденном интервале (тогда событие 3,12 < а < 5,08 достоверно и его вероятность равна единице), либо в нем не заключена (в этом случае событие 3,12 < а < 5,08 невозможно и его вероятность равна нулю). Другими словами, доверительную вероятность не следует связывать с оцениваемым параметром; она связана лишь с границами доверительного интервала, которые, как уже было указано, изменяются от выборки к выборке.

Ας εξηγήσουμε την έννοια της δεδομένης αξιοπιστίας. Αξιοπιστία = 0,95 υποδηλώνει ότι εάν ληφθεί ένας αρκετά μεγάλος αριθμός δειγμάτων, τότε το 95% αυτών καθορίζουν τέτοια διαστήματα εμπιστοσύνης στα οποία η παράμετρος περικλείεται στην πραγματικότητα. μόνο στο 5% των περιπτώσεων μπορεί να υπερβεί το διάστημα εμπιστοσύνης.

Εάν απαιτείται να εκτιμηθεί η μαθηματική προσδοκία με προκαθορισμένη ακρίβεια και αξιοπιστία, τότε το ελάχιστο μέγεθος δείγματος που θα εξασφαλίσει αυτή την ακρίβεια βρίσκεται από τον τύπο

Διαστήματα εμπιστοσύνης για την εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας μιας κανονικής κατανομής με άγνωστο

Μια εκτίμηση διαστήματος με την αξιοπιστία της μαθηματικής προσδοκίας a ενός κανονικά κατανεμημένου ποσοτικού χαρακτηριστικού X από τον μέσο όρο του δείγματος x με άγνωστη τυπική απόκλιση του γενικού πληθυσμού είναι το διάστημα εμπιστοσύνης

x - t()(s/n^?)< a < х + t()(s/n^?),

όπου s είναι η «διορθωμένη» τυπική απόκλιση του δείγματος, η t() βρίσκεται στον πίνακα σύμφωνα με το δεδομένο και n.

Παράδειγμα. Το ποσοτικό χαρακτηριστικό X του γενικού πληθυσμού κατανέμεται κανονικά. Με βάση το μέγεθος του δείγματος n=16, βρέθηκε ο μέσος όρος του δείγματος x = 20,2 και η «διορθωμένη» τυπική απόκλιση s = 0,8. Υπολογίστε τον άγνωστο μέσο όρο χρησιμοποιώντας ένα διάστημα εμπιστοσύνης με αξιοπιστία 0,95.

Λύση. Ας βρούμε το t(). Χρησιμοποιώντας τον πίνακα, για = 0,95 και n=16 βρίσκουμε t()=2,13.

Ας βρούμε τα όρια εμπιστοσύνης:

x - t () (s / n ^?) \u003d 20,2 - 2,13 *. 0,8/16^? = 19.774

x + t()(s/n^?) = 20,2 + 2,13 * 0,8/16^? = 20.626

Άρα, με αξιοπιστία 0,95, η άγνωστη παράμετρος a περιέχεται σε ένα διάστημα εμπιστοσύνης 19,774< а < 20,626

Εκτίμηση της πραγματικής τιμής της μετρούμενης τιμής

Έστω να γίνουν n ανεξάρτητες ίσες μετρήσεις κάποιου φυσικού μεγέθους, η πραγματική τιμή του οποίου είναι άγνωστη.

Θα θεωρήσουμε τα αποτελέσματα των επιμέρους μετρήσεων ως τυχαίες μεταβλητές Хl, Х2,…Хn. Αυτές οι ποσότητες είναι ανεξάρτητες (οι μετρήσεις είναι ανεξάρτητες). Έχουν την ίδια μαθηματική προσδοκία a (η πραγματική τιμή της μετρούμενης τιμής), τις ίδιες διακυμάνσεις ^2 (ισοδύναμες μετρήσεις) και είναι κανονικά κατανεμημένες (αυτή η υπόθεση επιβεβαιώνεται από την εμπειρία).

Έτσι, όλες οι παραδοχές που έγιναν κατά τον υπολογισμό των διαστημάτων εμπιστοσύνης πληρούνται και, ως εκ τούτου, είμαστε ελεύθεροι να χρησιμοποιήσουμε τύπους. Με άλλα λόγια, η πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας μπορεί να εκτιμηθεί από τον αριθμητικό μέσο όρο των αποτελεσμάτων μεμονωμένων μετρήσεων χρησιμοποιώντας διαστήματα εμπιστοσύνης.

Παράδειγμα. Με βάση τα δεδομένα εννέα ανεξάρτητων ίσων ακριβών μετρήσεων ενός φυσικού μεγέθους, βρέθηκε ο αριθμητικός μέσος όρος των αποτελεσμάτων των επιμέρους μετρήσεων x = 42,319 και η «διορθωμένη» τυπική απόκλιση s = 5,0. Απαιτείται η εκτίμηση της πραγματικής τιμής της μετρούμενης ποσότητας με αξιοπιστία = 0,95.

Λύση. Η πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας είναι ίση με τη μαθηματική προσδοκία της. Επομένως, το πρόβλημα περιορίζεται στην εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας (στο άγνωστο) χρησιμοποιώντας ένα διάστημα εμπιστοσύνης που καλύπτει το a με δεδομένη αξιοπιστία = 0,95.

x - t()(s/n^?)< a < х + t()(s/n^?)

Χρησιμοποιώντας τον πίνακα, για y \u003d 0,95 και l \u003d 9 βρίσκουμε

Βρείτε την ακρίβεια της εκτίμησης:

t()(s/n^?) = 2,31 * 5/9^?=3,85

Ας βρούμε τα όρια εμπιστοσύνης:

x - t () (s / n ^?) \u003d 42,319 - 3,85 \u003d 38,469;

x + t () (s / n ^?) \u003d 42,319 + 3,85 \u003d 46,169.

Άρα, με αξιοπιστία 0,95, η πραγματική τιμή της μετρούμενης τιμής βρίσκεται στο διάστημα εμπιστοσύνης 38,469< а < 46,169.

Διαστήματα εμπιστοσύνης για την εκτίμηση της τυπικής απόκλισης μιας κανονικής κατανομής.

Αφήστε το ποσοτικό χαρακτηριστικό X του γενικού πληθυσμού να κατανεμηθεί κανονικά. Απαιτείται η εκτίμηση της άγνωστης γενικής τυπικής απόκλισης από τη «διορθωμένη» τυπική απόκλιση δείγματος s. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε την εκτίμηση διαστήματος.

Μια εκτίμηση διαστήματος (με αξιοπιστία) της τυπικής απόκλισης o ενός κανονικά κατανεμημένου ποσοτικού χαρακτηριστικού X από το «διορθωμένο» δείγμα τυπικής απόκλισης s είναι το διάστημα εμπιστοσύνης

s (1 -- q)< < s (1 + q) (при q < 1),

0 < < s (1 + q) (при q > 1),

όπου το q βρίσκεται σύμφωνα με τον πίνακα για το δεδομένο n n.

Παράδειγμα 1. Το ποσοτικό χαρακτηριστικό X του γενικού πληθυσμού κατανέμεται κανονικά. Με βάση ένα δείγμα μεγέθους n = 25, βρέθηκε μια «διορθωμένη» τυπική απόκλιση s = 0,8. Βρείτε το διάστημα εμπιστοσύνης που καλύπτει τη γενική τυπική απόκλιση με αξιοπιστία 0,95.

Λύση. Σύμφωνα με τον πίνακα, σύμφωνα με τα δεδομένα = 0,95 και n = 25, βρίσκουμε q = 0,32.

Το απαιτούμενο διάστημα εμπιστοσύνης s (1 -- q)< < s (1 + q) таков:

0,8(1-- 0,32) < < 0,8(1+0,32), или 0,544 < < 1,056.

Παράδειγμα 2. Το ποσοτικό χαρακτηριστικό X του γενικού πληθυσμού κατανέμεται κανονικά. Με βάση ένα δείγμα μεγέθους n=10, βρέθηκε μια «διορθωμένη» τυπική απόκλιση s = 0,16. Βρείτε το διάστημα εμπιστοσύνης που καλύπτει τη γενική τυπική απόκλιση με αξιοπιστία 0,999.

Λύση. Σύμφωνα με τον πίνακα εφαρμογής, σύμφωνα με τα δεδομένα = 0,999 και n=10, βρίσκουμε 17= 1,80 (q > 1). Το επιθυμητό διάστημα εμπιστοσύνης είναι:

0 < < 0,16(1 + 1,80), или 0 < < 0,448.

Βαθμόςακρίβεια μέτρησης

Στη θεωρία των σφαλμάτων, συνηθίζεται να χαρακτηρίζεται η ακρίβεια μέτρησης (ακρίβεια οργάνου) χρησιμοποιώντας την τυπική απόκλιση των τυχαίων σφαλμάτων μέτρησης. Η «διορθωμένη» τυπική απόκλιση s χρησιμοποιείται για αξιολόγηση. Δεδομένου ότι τα αποτελέσματα των μετρήσεων είναι συνήθως αμοιβαία ανεξάρτητα, έχουν την ίδια μαθηματική προσδοκία (την πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας) και την ίδια διασπορά (στην περίπτωση εξίσου ακριβών μετρήσεων), η θεωρία που παρουσιάστηκε στην προηγούμενη παράγραφο είναι εφαρμόσιμη για την αξιολόγηση της μέτρησης ακρίβεια.

Παράδειγμα. Με βάση 15 εξίσου ακριβείς μετρήσεις, βρέθηκε μια «διορθωμένη» τυπική απόκλιση s = 0,12. Βρείτε την ακρίβεια μέτρησης με αξιοπιστία 0,99.

Λύση. Η ακρίβεια μέτρησης χαρακτηρίζεται από την τυπική απόκλιση των τυχαίων σφαλμάτων, επομένως το πρόβλημα περιορίζεται στην εύρεση του διαστήματος εμπιστοσύνης s (1 - q)< < s (1 + q) , покрывающего с заданной надежностью 0,99

Σύμφωνα με τον πίνακα εφαρμογής για = 0,99 και n=15 βρίσκουμε q = 0,73.

Το επιθυμητό διάστημα εμπιστοσύνης

0,12(1-- 0,73) < < 0,12(1+0,73), или 0.03 < < 0,21.

Εκτίμηση πιθανότητας (διωνυμική κατανομή) κατά σχετική συχνότητα

Η εκτίμηση διαστήματος (με αξιοπιστία) της άγνωστης πιθανότητας p της διωνυμικής κατανομής ως προς τη σχετική συχνότητα w είναι το διάστημα εμπιστοσύνης (με κατά προσέγγιση άκρα p1 και p2)

p1< p < p2,

όπου n είναι ο συνολικός αριθμός των δοκιμών. m είναι ο αριθμός των εμφανίσεων του συμβάντος. w είναι η σχετική συχνότητα ίση με την αναλογία m/n. t είναι η τιμή του ορίσματος της συνάρτησης Laplace, στην οποία Ф(t) = /2.

Σχόλιο. Για μεγάλες τιμές του n (της τάξης των εκατοντάδων), μπορεί κανείς να λάβει ως κατά προσέγγιση όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης

Συχνά ο εκτιμητής πρέπει να αναλύσει την αγορά ακινήτων του τμήματος στο οποίο βρίσκεται το αντικείμενο αξιολόγησης. Εάν η αγορά αναπτυχθεί, μπορεί να είναι δύσκολο να αναλυθεί ολόκληρο το σύνολο των παρουσιαζόμενων αντικειμένων, επομένως, χρησιμοποιείται ένα δείγμα αντικειμένων για ανάλυση. Αυτό το δείγμα δεν είναι πάντα ομοιογενές, μερικές φορές απαιτείται να το καθαρίσετε από τα άκρα - πολύ υψηλές ή πολύ χαμηλές προσφορές της αγοράς. Για το σκοπό αυτό εφαρμόζεται διάστημα εμπιστοσύνης. Σκοπός αυτής της μελέτης είναι να πραγματοποιήσει μια συγκριτική ανάλυση δύο μεθόδων για τον υπολογισμό του διαστήματος εμπιστοσύνης και να επιλέξει την καλύτερη επιλογή υπολογισμού κατά την εργασία με διαφορετικά δείγματα στο σύστημα estimatica.pro.

Διάστημα εμπιστοσύνης - υπολογίζεται με βάση το δείγμα, το διάστημα των τιμών του χαρακτηριστικού, το οποίο με γνωστή πιθανότητα περιέχει την εκτιμώμενη παράμετρο του γενικού πληθυσμού.

Το νόημα του υπολογισμού του διαστήματος εμπιστοσύνης είναι να δημιουργηθεί ένα τέτοιο διάστημα με βάση τα δεδομένα του δείγματος έτσι ώστε να μπορεί να βεβαιωθεί με δεδομένη πιθανότητα ότι η τιμή της εκτιμώμενης παραμέτρου βρίσκεται σε αυτό το διάστημα. Με άλλα λόγια, το διάστημα εμπιστοσύνης με μια ορισμένη πιθανότητα περιέχει την άγνωστη τιμή της εκτιμώμενης ποσότητας. Όσο μεγαλύτερο είναι το διάστημα, τόσο μεγαλύτερη είναι η ανακρίβεια.

Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για τον προσδιορισμό του διαστήματος εμπιστοσύνης. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε 2 τρόπους:

• μέσω της διάμεσης και τυπικής απόκλισης·
• μέσω της κρίσιμης τιμής της στατιστικής t (συντελεστής μαθητή).

Στάδια συγκριτικής ανάλυσης διαφορετικών μεθόδων για τον υπολογισμό του CI:

1. σχηματίστε ένα δείγμα δεδομένων.

2. Το επεξεργαζόμαστε με στατιστικές μεθόδους: υπολογίζουμε τη μέση τιμή, διάμεσο, διακύμανση κ.λπ.

3. Υπολογίζουμε το διάστημα εμπιστοσύνης με δύο τρόπους.

4. Αναλύστε τα καθαρισμένα δείγματα και τα ληφθέντα διαστήματα εμπιστοσύνης.

Στάδιο 1. Δειγματοληψία δεδομένων

Το δείγμα σχηματίστηκε χρησιμοποιώντας το σύστημα estimatica.pro. Το δείγμα περιελάμβανε 91 προσφορές για την πώληση διαμερισμάτων 1 δωματίου στην 3η ζώνη τιμών με τον τύπο σχεδιασμού "Χρουστσόφ".

Πίνακας 1. Αρχικό δείγμα

	Η τιμή του 1 τ.μ., κ.ε.

Εικ.1. Αρχικό δείγμα

Στάδιο 2. Επεξεργασία του αρχικού δείγματος

Η επεξεργασία δειγμάτων με στατιστικές μεθόδους απαιτεί τον υπολογισμό των παρακάτω τιμών:

1. Αριθμητικός μέσος όρος

2. Διάμεσος - ένας αριθμός που χαρακτηρίζει το δείγμα: ακριβώς τα μισά από τα στοιχεία του δείγματος είναι μεγαλύτερα από το διάμεσο, το άλλο μισό είναι μικρότερο από το διάμεσο

(για δείγμα με περιττό αριθμό τιμών)

3. Εύρος - η διαφορά μεταξύ των μέγιστων και ελάχιστων τιμών στο δείγμα

4. Διακύμανση - χρησιμοποιείται για την ακριβέστερη εκτίμηση της διακύμανσης στα δεδομένα

5. Η τυπική απόκλιση για το δείγμα (στο εξής θα αναφέρεται ως RMS) είναι ο πιο συνηθισμένος δείκτης της διασποράς των τιμών προσαρμογής γύρω από τον αριθμητικό μέσο όρο.

6. Συντελεστής διακύμανσης - αντικατοπτρίζει τον βαθμό διασποράς των τιμών προσαρμογής

7. συντελεστής ταλάντωσης - αντικατοπτρίζει τη σχετική διακύμανση των ακραίων τιμών των τιμών στο δείγμα γύρω από τον μέσο όρο

Πίνακας 2. Στατιστικοί δείκτες του αρχικού δείγματος

Ο συντελεστής διακύμανσης, που χαρακτηρίζει την ομοιογένεια των δεδομένων, είναι 12,29%, αλλά ο συντελεστής ταλάντωσης είναι πολύ μεγάλος. Έτσι, μπορούμε να δηλώσουμε ότι το αρχικό δείγμα δεν είναι ομοιογενές, οπότε ας προχωρήσουμε στον υπολογισμό του διαστήματος εμπιστοσύνης.

Στάδιο 3. Υπολογισμός του διαστήματος εμπιστοσύνης

Μέθοδος 1. Υπολογισμός μέσω της διάμεσης και τυπικής απόκλισης.

Το διάστημα εμπιστοσύνης προσδιορίζεται ως εξής: η ελάχιστη τιμή - η τυπική απόκλιση αφαιρείται από τη διάμεση τιμή. η μέγιστη τιμή - η τυπική απόκλιση προστίθεται στη διάμεσο.

Έτσι, το διάστημα εμπιστοσύνης (47179 CU; 60689 CU)

Ρύζι. 2. Τιμές εντός του διαστήματος εμπιστοσύνης 1.

Μέθοδος 2. Οικοδόμηση ενός διαστήματος εμπιστοσύνης μέσω της κρίσιμης τιμής των στατιστικών t (συντελεστής μαθητή)

S.V. Ο Γκριμπόφσκι στο βιβλίο «Μαθηματικές μέθοδοι για την εκτίμηση της αξίας της περιουσίας» περιγράφει μια μέθοδο υπολογισμού του διαστήματος εμπιστοσύνης μέσω του συντελεστή Μαθητή. Κατά τον υπολογισμό με αυτή τη μέθοδο, ο ίδιος ο εκτιμητής πρέπει να ορίσει το επίπεδο σημαντικότητας ∝, το οποίο καθορίζει την πιθανότητα με την οποία θα χτιστεί το διάστημα εμπιστοσύνης. Συνήθως χρησιμοποιούνται επίπεδα σημαντικότητας 0,1. 0,05 και 0,01. Αντιστοιχούν σε πιθανότητες εμπιστοσύνης 0,9. 0,95 και 0,99. Με αυτή τη μέθοδο, οι πραγματικές τιμές της μαθηματικής προσδοκίας και της διακύμανσης θεωρούνται πρακτικά άγνωστες (κάτι που ισχύει σχεδόν πάντα κατά την επίλυση πρακτικών προβλημάτων αξιολόγησης).

Τύπος διαστήματος εμπιστοσύνης:

n - μέγεθος δείγματος.

Η κρίσιμη τιμή των στατιστικών t (κατανομές του μαθητή) με επίπεδο σημαντικότητας ∝, ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας n-1, ο οποίος προσδιορίζεται από ειδικούς στατιστικούς πίνακες ή χρησιμοποιώντας MS Excel (→"Στατιστικό"→ STUDRASPOBR).

∝ - επίπεδο σημαντικότητας, παίρνουμε ∝=0,01.

Ρύζι. 2. Τιμές εντός του διαστήματος εμπιστοσύνης 2.

Βήμα 4. Ανάλυση διαφορετικών τρόπων υπολογισμού του διαστήματος εμπιστοσύνης

Δύο μέθοδοι υπολογισμού του διαστήματος εμπιστοσύνης - μέσω της διάμεσης τιμής και του συντελεστή Student - οδήγησαν σε διαφορετικές τιμές των διαστημάτων. Κατά συνέπεια, ελήφθησαν δύο διαφορετικά καθαρισμένα δείγματα.

Πίνακας 3. Στατιστικοί δείκτες για τρία δείγματα.

Δείκτης	Αρχικό δείγμα	1 επιλογή	Επιλογή 2
Μέση αξία
Διασπορά
Συντ. παραλλαγές
Συντ. ταλαντώσεις
Αριθμός αποσυρόμενων αντικειμένων, τεμ.

Με βάση τους υπολογισμούς που πραγματοποιήθηκαν, μπορούμε να πούμε ότι οι τιμές των διαστημάτων εμπιστοσύνης που λαμβάνονται με διαφορετικές μεθόδους τέμνονται, επομένως μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε από τις μεθόδους υπολογισμού κατά την κρίση του εκτιμητή.

Ωστόσο, πιστεύουμε ότι όταν εργάζεστε στο σύστημα estimatica.pro, είναι σκόπιμο να επιλέξετε μια μέθοδο για τον υπολογισμό του διαστήματος εμπιστοσύνης, ανάλογα με τον βαθμό ανάπτυξης της αγοράς:

• εάν η αγορά δεν είναι ανεπτυγμένη, εφαρμόστε τη μέθοδο υπολογισμού μέσω της διάμεσης και τυπικής απόκλισης, καθώς ο αριθμός των αντικειμένων που έχουν αποσυρθεί σε αυτήν την περίπτωση είναι μικρός.
• εάν η αγορά είναι ανεπτυγμένη, εφαρμόστε τον υπολογισμό μέσω της κρίσιμης τιμής των στατιστικών t (συντελεστής σπουδαστή), καθώς είναι δυνατό να σχηματιστεί ένα μεγάλο αρχικό δείγμα.

Για την προετοιμασία του άρθρου χρησιμοποιήθηκαν:

1. Gribovsky S.V., Sivets S.A., Levykina I.A. Μαθηματικές μέθοδοι για την εκτίμηση της αξίας των ακινήτων. Μόσχα, 2014

2. Στοιχεία από το σύστημα estimatica.pro

Η ανάλυση των τυχαίων σφαλμάτων βασίζεται στη θεωρία των τυχαίων σφαλμάτων, η οποία καθιστά δυνατό, με κάποια εγγύηση, τον υπολογισμό της πραγματικής τιμής της μετρούμενης ποσότητας και την αξιολόγηση πιθανών σφαλμάτων.

Η βάση της θεωρίας των τυχαίων σφαλμάτων είναι οι ακόλουθες παραδοχές:

με μεγάλο αριθμό μετρήσεων, τυχαία σφάλματα του ίδιου μεγέθους, αλλά διαφορετικού πρόσημου, συμβαίνουν εξίσου συχνά.

τα μεγάλα σφάλματα είναι λιγότερο συχνά από τα μικρά (η πιθανότητα σφάλματος μειώνεται με την αύξηση της τιμής του).

με απείρως μεγάλο αριθμό μετρήσεων, η πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας είναι ίση με τον αριθμητικό μέσο όρο όλων των αποτελεσμάτων των μετρήσεων.

Η εμφάνιση ενός ή άλλου αποτελέσματος μέτρησης ως τυχαίο γεγονός περιγράφεται από τον νόμο της κανονικής κατανομής.

Στην πράξη, γίνεται διάκριση μεταξύ ενός γενικού και ενός δείγματος συνόλου μετρήσεων.

Κάτω από τον γενικό πληθυσμό συνεπάγεται ολόκληρο το σύνολο των πιθανών τιμών μέτρησης ή πιθανών τιμών σφάλματος
.

Για πληθυσμό δείγματος αριθμός μετρήσεων περιορισμένη και σε κάθε περίπτωση αυστηρά καθορισμένη. Νομίζουν ότι αν
, τότε η μέση τιμή αυτού του συνόλου μετρήσεων αρκετά κοντά στην πραγματική του αξία.

1. Εκτίμηση διαστήματος με χρήση της πιθανότητας εμπιστοσύνης

Για ένα μεγάλο δείγμα και έναν κανονικό νόμο κατανομής, το γενικό χαρακτηριστικό αξιολόγησης της μέτρησης είναι η διακύμανση
και συντελεστή διακύμανσης :

;
. (1.1)

Η διασπορά χαρακτηρίζει την ομοιογένεια μιας μέτρησης. Όσο πιο ψηλά
, τόσο μεγαλύτερη είναι η διασπορά της μέτρησης.

Ο συντελεστής διακύμανσης χαρακτηρίζει τη μεταβλητότητα. Όσο πιο ψηλά , τόσο μεγαλύτερη είναι η μεταβλητότητα των μετρήσεων σε σχέση με τις μέσες τιμές.

Για την αξιολόγηση της αξιοπιστίας των αποτελεσμάτων των μετρήσεων, εισάγονται υπόψη οι έννοιες του διαστήματος εμπιστοσύνης και της πιθανότητας εμπιστοσύνης.

Εμπιστος ονομάζεται διάστημα αξίες , στην οποία πέφτει η πραγματική αξία μετρημένη ποσότητα με δεδομένη πιθανότητα.

Πιθανότητα εμπιστοσύνης (αξιοπιστία) μιας μέτρησης είναι η πιθανότητα ότι η πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας εμπίπτει σε ένα δεδομένο διάστημα εμπιστοσύνης, δηλ. προς τη ζώνη
. Αυτή η τιμή προσδιορίζεται σε κλάσματα μονάδας ή σε ποσοστό.

,

Οπου
- ενσωματωμένη συνάρτηση Laplace ( πίνακας 1.1 )

Η ολοκληρωτική συνάρτηση Laplace ορίζεται από την ακόλουθη έκφραση:

.

Το όρισμα αυτής της συνάρτησης είναι συντελεστής εγγύησης :

Πίνακας 1.1

Ολοκληρωμένη συνάρτηση Laplace

Εάν, με βάση ορισμένα δεδομένα, εδραιωθεί μια πιθανότητα εμπιστοσύνης (συχνά θεωρείται ότι είναι
), στη συνέχεια ορίστε ακρίβεια των μετρήσεων (διάστημα εμπιστοσύνης
) με βάση την αναλογία

.

Το μισό του διαστήματος εμπιστοσύνης είναι

, (1.3)

Οπου
- όρισμα της συνάρτησης Laplace, αν
(πίνακας 1.1 );

- Λειτουργίες μαθητή, αν
(πίνακας 1.2 ).

Έτσι, το διάστημα εμπιστοσύνης χαρακτηρίζει την ακρίβεια μέτρησης ενός δεδομένου δείγματος και το επίπεδο εμπιστοσύνης χαρακτηρίζει την αξιοπιστία της μέτρησης.

Παράδειγμα

Εγινε
μετρήσεις της αντοχής του οδοστρώματος ενός τμήματος αυτοκινητόδρομου με μέσο μέτρο ελαστικότητας
και την υπολογιζόμενη τιμή της τυπικής απόκλισης
.

Απαραίτητη καθορίσει την απαιτούμενη ακρίβειαμετρήσεις για διαφορετικά επίπεδα εμπιστοσύνης
, λαμβάνοντας τις αξίες Με πίνακας 1.1 .

Στην περίπτωση αυτή, αντίστοιχα |

Επομένως, για ένα δεδομένο εργαλείο και μέθοδο μέτρησης, το διάστημα εμπιστοσύνης αυξάνεται κατά περίπου φορές αν αυξήσεις μόλις επάνω
.