Συνάρτηση κατανομής συνεχούς τιμής. Τυχαία μεταβλητή

Αφήστε μια συνεχή τυχαία μεταβλητή X να καθορίζεται από τη συνάρτηση κατανομής f(x). Ας υποθέσουμε ότι όλες οι πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής ανήκουν στο τμήμα [ α, β].

Ορισμός.Μαθηματική προσδοκίαμια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ, οι πιθανές τιμές της οποίας ανήκουν στο τμήμα, ονομάζεται καθορισμένο ολοκλήρωμα

Εάν ληφθούν υπόψη πιθανές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα, τότε η μαθηματική προσδοκία βρίσκεται από τον τύπο:

Σε αυτή την περίπτωση, βέβαια, υποτίθεται ότι το ακατάλληλο ολοκλήρωμα συγκλίνει.

Ορισμός.Διαφοράμιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι η μαθηματική προσδοκία του τετραγώνου της απόκλισής της.

Κατ' αναλογία με τη διακύμανση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής, για τον πρακτικό υπολογισμό της διακύμανσης, χρησιμοποιείται ο τύπος:

Ορισμός.Τυπική απόκλισηονομάζεται τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης.

Ορισμός.ΜόδαΤο M 0 μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής ονομάζεται η πιο πιθανή τιμή της. Για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή, η λειτουργία είναι η τιμή της τυχαίας μεταβλητής στην οποία η πυκνότητα κατανομής έχει ένα μέγιστο.

Εάν το πολύγωνο κατανομής για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή ή η καμπύλη κατανομής για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή έχει δύο ή περισσότερα μέγιστα, τότε μια τέτοια κατανομή ονομάζεται διτροπικόςή πολυτροπικό. Αν μια κατανομή έχει ελάχιστο αλλά όχι μέγιστο, τότε καλείται αντιτροπική.

Ορισμός.Διάμεσος M D μιας τυχαίας μεταβλητής X είναι η τιμή της σε σχέση με την οποία είναι εξίσου πιθανό ότι θα ληφθεί μεγαλύτερη ή μικρότερη τιμή της τυχαίας μεταβλητής.

Γεωμετρικά, η διάμεσος είναι η τετμημένη του σημείου στο οποίο η περιοχή που περιορίζεται από την καμπύλη κατανομής διαιρείται στο μισό. Σημειώστε ότι εάν η κατανομή είναι μονοτροπική, τότε ο τρόπος και η διάμεσος συμπίπτουν με τη μαθηματική προσδοκία.

Ορισμός.Η στιγμή εκκίνησηςΣειρά κΗ τυχαία μεταβλητή X είναι η μαθηματική προσδοκία της τιμής X κ.

Η αρχική στιγμή της πρώτης τάξης είναι ίση με τη μαθηματική προσδοκία.

Ορισμός.Κεντρική στιγμήΣειρά κΗ τυχαία μεταβλητή X είναι η μαθηματική προσδοκία της τιμής

Για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή: .

Για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή: .

Η κεντρική ροπή πρώτης τάξης είναι πάντα μηδέν και η κεντρική ροπή δεύτερης τάξης είναι ίση με τη διασπορά. Η κεντρική ροπή τρίτης τάξης χαρακτηρίζει την ασυμμετρία της κατανομής.

Ορισμός. Ο λόγος της κεντρικής ροπής της τρίτης τάξης προς την τυπική απόκλιση προς την τρίτη δύναμη ονομάζεται συντελεστής ασυμμετρίας.

Ορισμός. Για να χαρακτηριστεί η αιχμή και η επιπεδότητα της κατανομής, μια ποσότητα που ονομάζεται υπέρβαση.

Εκτός από τις εξεταζόμενες ποσότητες, χρησιμοποιούνται επίσης οι λεγόμενες απόλυτες ροπές:

Απόλυτη στιγμή εκκίνησης: . Απόλυτο κεντρικό σημείο: . Η απόλυτη κεντρική στιγμή της πρώτης τάξης ονομάζεται αριθμητική μέση απόκλιση.

Παράδειγμα.Για το παράδειγμα που συζητήθηκε παραπάνω, προσδιορίστε τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής X.

Παράδειγμα.Υπάρχουν 6 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες σε μια τεφροδόχο. Μια μπάλα αφαιρείται από αυτήν πέντε φορές στη σειρά και κάθε φορά η μπάλα που αφαιρέθηκε επιστρέφεται πίσω και οι μπάλες αναμειγνύονται. Λαμβάνοντας τον αριθμό των εξαγόμενων λευκών σφαιρών ως τυχαία μεταβλητή Χ, συντάξτε έναν νόμο κατανομής για αυτήν την τιμή, προσδιορίστε τη μαθηματική προσδοκία και τη διασπορά της.

Επειδή οι μπάλες σε κάθε πείραμα επιστρέφονται και αναμειγνύονται, τότε τα τεστ μπορούν να θεωρηθούν ανεξάρτητα (το αποτέλεσμα του προηγούμενου πειράματος δεν επηρεάζει την πιθανότητα εμφάνισης ή μη εμφάνισης ενός γεγονότος σε άλλο πείραμα).

Έτσι, η πιθανότητα να εμφανιστεί μια λευκή μπάλα σε κάθε πείραμα είναι σταθερή και ίση με

Έτσι, ως αποτέλεσμα πέντε διαδοχικών δοκιμών, η άσπρη μπάλα μπορεί να μην εμφανιστεί καθόλου ή να εμφανιστεί μία, δύο, τρεις, τέσσερις ή πέντε φορές. Για να συντάξετε έναν νόμο διανομής, πρέπει να βρείτε τις πιθανότητες καθενός από αυτά τα γεγονότα.

1) Η άσπρη μπάλα δεν εμφανίστηκε καθόλου:

2) Η λευκή μπάλα εμφανίστηκε μια φορά:

3) Η λευκή μπάλα θα εμφανιστεί δύο φορές: .

Η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής X είναι η συνάρτηση F(x), η οποία εκφράζει για κάθε x την πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή X θα λάβει την τιμή, μικρότερο x

Παράδειγμα 2.5. Δίνεται μια σειρά διανομής μιας τυχαίας μεταβλητής

Βρείτε και απεικονίστε γραφικά τη συνάρτηση κατανομής του. Λύση. Σύμφωνα με τον ορισμό

F(jc) = 0 στο ΧΧ

F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 σε 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 σε Χ > 5.

Έτσι (βλ. Εικ. 2.1):

Ιδιότητες της συνάρτησης διανομής:

1. Η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής είναι μια μη αρνητική συνάρτηση μεταξύ μηδέν και ενός:

2. Η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής είναι μια μη φθίνουσα συνάρτηση σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα, δηλ. στο Χ 2 >χ

3. Στο μείον άπειρο, η συνάρτηση κατανομής είναι ίση με μηδέν, στο συν άπειρο είναι ίση με ένα, δηλ.

4. Πιθανότητα να χτυπήσετε μια τυχαία μεταβλητή Χστο μεσοδιάστημαείναι ίσο με ένα ορισμένο ολοκλήρωμα της πυκνότητας πιθανοτήτων του που κυμαίνεται από ΕΝΑπριν σι(βλ. Εικ. 2.2), δηλ.

Ρύζι. 2.2

3. Η συνάρτηση κατανομής μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής (βλ. Εικ. 2.3) μπορεί να εκφραστεί μέσω της πυκνότητας πιθανότητας σύμφωνα με τον τύπο:

F(x)= Jp(*)*. (2.10)

4. Το ακατάλληλο ολοκλήρωμα σε άπειρα όρια της πυκνότητας πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι ίσο με μονάδα:

Γεωμετρικές ιδιότητες / και 4 Οι πυκνότητες πιθανότητας σημαίνουν ότι η γραφική παράσταση είναι καμπύλη κατανομής - δεν βρίσκεται κάτω από τον άξονα x, και το συνολικό εμβαδόν του σχήματος, οριοθετείται από την καμπύλη κατανομής και τον άξονα x, ίσο με ένα.

Για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή Χαναμενόμενη αξία M(X)και διακύμανση D(X)καθορίζονται από τους τύπους:

(αν το ολοκλήρωμα είναι απολύτως συγκλίνον). ή

(αν τα παραπάνω ολοκληρώματα συγκλίνουν).

Μαζί με τα αριθμητικά χαρακτηριστικά που σημειώθηκαν παραπάνω, η έννοια των ποσοστιαίων μονάδων και των ποσοστιαίων μονάδων χρησιμοποιείται για να περιγράψει μια τυχαία μεταβλητή.

Επίπεδο ποσοτικού q(ή q-quantile) είναι μια τέτοια τιμήx qτυχαία μεταβλητή, στην οποία η συνάρτηση διανομής της παίρνει την τιμή, ίσο με q,δηλ.

100Το σημείο q%-ou είναι το τεταρτημόριο X~ q.
? Παράδειγμα 2.8.

Με βάση τα δεδομένα στο Παράδειγμα 2.6, βρείτε την ποσότητα xqj και το 30% τυχαίο μεταβλητό σημείο Χ.

Λύση. Εξ ορισμού (2.16) F(xo t3)= 0.3, δηλ.

~Y~ = 0.3, από πού προέρχεται το ποσόν; x 0 3 = 0,6. 30% τυχαίο μεταβλητό σημείο Χ, ή ποσοστό X)_o,z = xoj"βρίσκεται ομοίως από την εξίσωση ^ = 0,7. όπου *,= 1,4. ?

Μεταξύ των αριθμητικών χαρακτηριστικών μιας τυχαίας μεταβλητής υπάρχουν αρχικός v* και κεντρικός R* στιγμές kth τάξης, που προσδιορίζεται για διακριτές και συνεχείς τυχαίες μεταβλητές από τους τύπους:

4. Πυκνότητα πιθανότητας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής

Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση κατανομής φά(Χ) . Αυτή η μέθοδος ανάθεσης δεν είναι η μόνη. Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή μπορεί επίσης να καθοριστεί χρησιμοποιώντας μια άλλη συνάρτηση που ονομάζεται πυκνότητα κατανομής ή πυκνότητα πιθανότητας (μερικές φορές ονομάζεται διαφορική συνάρτηση).

Ορισμός 4.1: Πυκνότητα κατανομής συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χκαλέστε τη συνάρτηση φά (Χ) - η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης κατανομής φά(Χ) :

φά ( Χ ) = φά "( Χ ) .

Από αυτόν τον ορισμό προκύπτει ότι η συνάρτηση κατανομής είναι ένα αντιπαράγωγο της πυκνότητας κατανομής. Σημειώστε ότι η πυκνότητα κατανομής δεν είναι εφαρμόσιμη για να περιγράψει την κατανομή πιθανότητας μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.

Πιθανότητα μια συνεχής τυχαία μεταβλητή να πέσει σε ένα δεδομένο διάστημα

Γνωρίζοντας την πυκνότητα κατανομής, μπορείτε να υπολογίσετε την πιθανότητα μια συνεχής τυχαία μεταβλητή να λάβει μια τιμή που ανήκει σε ένα δεδομένο διάστημα.

Θεώρημα: Η πιθανότητα ότι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X θα λάβει τιμές που ανήκουν στο διάστημα (ένα, σι), είναι ίσο με ένα ορισμένο ολοκλήρωμα της πυκνότητας κατανομής, που λαμβάνεται στην περιοχή απόέναπρινσι :

Απόδειξη:Χρησιμοποιούμε την αναλογία

Π(ένα ≤ Χσι) = φά(σι) – φά(ένα).

Σύμφωνα με τον τύπο Newton-Leibniz,

Ετσι,

Επειδή Π(ένα ≤ Χ σι)= Π(ένα Χ σι) , τότε επιτέλους παίρνουμε

Γεωμετρικά, το αποτέλεσμα που προκύπτει μπορεί να ερμηνευτεί ως εξής: η πιθανότητα μια συνεχής τυχαία μεταβλητή να πάρει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα (ένα, σι), ίσο με το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από τον άξοναΒόδι, καμπύλη κατανομήςφά(Χ) και ευθείαΧ = έναΚαιΧ = σι.

Σχόλιο:Ειδικότερα, εάν φά(Χ) – η συνάρτηση είναι άρτια και τα άκρα του διαστήματος είναι συμμετρικά ως προς την αρχή, λοιπόν

Παράδειγμα.Δίνεται η πυκνότητα πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής Χ

Βρείτε την πιθανότητα ότι ως αποτέλεσμα της δοκιμής Χθα λάβει τιμές που ανήκουν στο διάστημα (0,5, 1).

Λύση:Απαιτούμενη πιθανότητα

Εύρεση της συνάρτησης κατανομής από γνωστή πυκνότητα κατανομής

Γνωρίζοντας την πυκνότητα κατανομής φά(Χ) , μπορούμε να βρούμε τη συνάρτηση διανομής φά(Χ) σύμφωνα με τον τύπο

Πραγματικά, φά(Χ) = Π(Χ Χ) = Π(-∞ Χ Χ) .

Ως εκ τούτου,

Ετσι, Γνωρίζοντας την πυκνότητα κατανομής, μπορείτε να βρείτε τη συνάρτηση κατανομής. Φυσικά, από μια γνωστή συνάρτηση κατανομής μπορεί κανείς να βρει την πυκνότητα κατανομής, και συγκεκριμένα:

φά(Χ) = φά"(Χ).

Παράδειγμα.Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής για τη δεδομένη πυκνότητα κατανομής:

Λύση:Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο

Αν Χ ≤ ένα, Οτι φά(Χ) = 0 , ως εκ τούτου, φά(Χ) = 0 . Αν α, λοιπόν f(x) = 1/(b-a),

ως εκ τούτου,

Αν Χ > σι, Οτι

Άρα, η απαιτούμενη συνάρτηση διανομής

Σχόλιο:Λάβαμε τη συνάρτηση κατανομής μιας ομοιόμορφα κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής (βλ. ομοιόμορφη κατανομή).

Ιδιότητες πυκνότητας κατανομής

Ιδιοκτησία 1:Η πυκνότητα κατανομής είναι μια μη αρνητική συνάρτηση:

φά ( Χ ) ≥ 0 .

Ιδιοκτησία 2:Το ακατάλληλο ολοκλήρωμα της πυκνότητας κατανομής στην περιοχή από -∞ έως ∞ είναι ίσο με μονάδα:

Σχόλιο:Το γράφημα πυκνότητας κατανομής ονομάζεται καμπύλη κατανομής.

Σχόλιο:Η πυκνότητα κατανομής μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής ονομάζεται επίσης νόμος κατανομής.

Παράδειγμα.Η πυκνότητα κατανομής της τυχαίας μεταβλητής έχει την εξής μορφή:

Βρείτε μια σταθερή παράμετρο ένα.

Λύση:Η πυκνότητα κατανομής πρέπει να ικανοποιεί την συνθήκη , επομένως θα απαιτήσουμε να ικανοποιηθεί η ισότητα

Από εδώ
. Ας βρούμε το αόριστο ολοκλήρωμα:

Ας υπολογίσουμε το ακατάλληλο ολοκλήρωμα:

Έτσι, η απαιτούμενη παράμετρος

Πιθανή έννοια της πυκνότητας κατανομής

Αφήνω φά(Χ) – συνάρτηση κατανομής συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ. Εξ ορισμού της πυκνότητας κατανομής, φά(Χ) = φά"(Χ) , ή

Διαφορά φά(Χ+∆x) -φά(Χ) καθορίζει την πιθανότητα ότι Χθα πάρει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα (Χ, Χ+∆х). Έτσι, το όριο του λόγου πιθανότητας ότι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή θα πάρει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα (Χ, Χ+∆х), στο μήκος αυτού του διαστήματος (στο ∆х→0) είναι ίση με την τιμή της πυκνότητας κατανομής στο σημείο Χ.

Η συνάρτηση λοιπόν φά(Χ) καθορίζει την πυκνότητα κατανομής πιθανότητας για κάθε σημείο Χ. Από τον διαφορικό λογισμό είναι γνωστό ότι η αύξηση μιας συνάρτησης είναι περίπου ίση με το διαφορικό της συνάρτησης, δηλ.

Επειδή φά"(Χ) = φά(Χ) Και dx = ∆ Χ, Οτι φά(Χ+∆ Χ) - φά(Χ) ≈ φά(Χ)∆ Χ.

Η πιθανολογική σημασία αυτής της ισότητας είναι: η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να πάρει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα (Χ, Χ+∆ Χ) είναι περίπου ίσο με το γινόμενο της πυκνότητας πιθανότητας στο σημείο x και το μήκος του διαστήματος Δx.

Γεωμετρικά, αυτό το αποτέλεσμα μπορεί να ερμηνευτεί ως εξής: η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να πάρει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα (Χ, Χ+∆ Χ) είναι περίπου ίσο με το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με βάση Δχ και ύψοςφά(Χ).

5. Τυπικές κατανομές διακριτών τυχαίων μεταβλητών

5.1. Κατανομή Bernoulli

Ορισμός 5.1: Τυχαία τιμή Χ, λαμβάνοντας δύο τιμές 1 Και 0 με πιθανότητες («επιτυχία») Πκαι ("αποτυχία") q, που ονομάζεται Bernoullievskaya:

, Οπου κ=0,1.

5.2. Διωνυμική κατανομή

Αφήστε το να παραχθεί n ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες η εκδήλωση ΕΝΑμπορεί να εμφανιστεί ή όχι. Η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν σε όλες τις δοκιμές είναι σταθερή και ίση Π(εξ ου και η πιθανότητα μη εμφάνισης q = 1 - Π).

Θεωρήστε την τυχαία μεταβλητή Χ– αριθμός περιστατικών του συμβάντος ΕΝΑσε αυτές τις δοκιμές. Τυχαία τιμή Χπαίρνει αξίες 0,1,2,… nμε πιθανότητες που υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον τύπο Bernoulli: , Οπου κ = 0,1,2,… n.

Ορισμός 5.2: Διωνυμικόςονομάζεται κατανομή πιθανότητας που καθορίζεται από τον τύπο του Bernoulli.

Παράδειγμα.Εκτελούνται τρεις βολές στον στόχο και η πιθανότητα να χτυπηθεί κάθε βολή είναι 0,8. Θεωρώντας μια τυχαία μεταβλητή Χ– αριθμός χτυπημάτων στο στόχο. Βρείτε τη σειρά διανομής του.

Λύση:Τυχαία τιμή Χπαίρνει αξίες 0,1,2,3 με πιθανότητες υπολογισμένες με τον τύπο Bernoulli, όπου n = 3, Π = 0,8 (πιθανότητα χτυπήματος), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (πιθανότητα να λείπει).

Έτσι, η σειρά διανομής έχει την ακόλουθη μορφή:

Χρησιμοποιήστε τον τύπο του Bernoulli για μεγάλες τιμές nαρκετά δύσκολο, επομένως, να υπολογίσετε τις αντίστοιχες πιθανότητες, χρησιμοποιήστε το τοπικό θεώρημα Laplace, το οποίο σας επιτρέπει να βρείτε κατά προσέγγιση την πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός ακριβώς κμια φορά κάθε nδοκιμές, εάν ο αριθμός των δοκιμών είναι αρκετά μεγάλος.

Τοπικό θεώρημα Laplace: Αν η πιθανότητα Πεμφάνιση ενός γεγονότος ΕΝΑ
ότι η εκδήλωση ΕΝΑ θα εμφανιστεί σε nδοκιμές ακριβώς κφορές, περίπου ίσες (όσο πιο ακριβείς, τόσο περισσότερες n) τιμή συνάρτησης
, Οπου
,
.

Σημείωση 1:Πίνακες που περιέχουν τιμές συναρτήσεων
, δίνονται στο Παράρτημα 1 και
. Λειτουργία είναι η πυκνότητα της τυπικής κανονικής κατανομής (βλ. κανονική κατανομή).

Παράδειγμα:Βρείτε την πιθανότητα ότι το συμβάν ΕΝΑ θα έρθει ακριβώς 80 μια φορά κάθε 400 δοκιμές εάν η πιθανότητα εμφάνισης αυτού του συμβάντος σε κάθε δοκιμή είναι ίση με 0,2.

Λύση:Κατά συνθήκη n = 400, κ = 80, Π = 0,2 , q = 0,8 . Ας υπολογίσουμε την τιμή που καθορίζεται από τα δεδομένα της εργασίας Χ:
. Από τον πίνακα του Παραρτήματος 1 βρίσκουμε
. Τότε η απαιτούμενη πιθανότητα θα είναι:

Εάν πρέπει να υπολογίσετε την πιθανότητα ότι ένα γεγονός ΕΝΑθα εμφανιστεί σε nδοκιμές όχι λιγότερο κ 1 μια φορά και όχι άλλη κ 2 φορές, τότε πρέπει να χρησιμοποιήσετε το ολοκληρωτικό θεώρημα του Laplace:

Το ολοκληρωτικό θεώρημα του Laplace: Αν η πιθανότητα Πεμφάνιση ενός γεγονότος ΕΝΑσε κάθε δοκιμή είναι σταθερή και διαφορετική από το μηδέν και ένα, τότε η πιθανότητα
ότι η εκδήλωση ΕΝΑ θα εμφανιστεί σε nδοκιμές από κ 1 πριν κ 2 φορές, περίπου ίσο με ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

, Οπου
Και
.

Με άλλα λόγια, η πιθανότητα ότι ένα γεγονός ΕΝΑ θα εμφανιστεί σε nδοκιμές από κ 1 πριν κ 2 φορές, περίπου ίσο

Οπου
, Και .

Σημείωση 2:Λειτουργία
ονομάζεται συνάρτηση Laplace (βλ. κανονική κατανομή). Πίνακες που περιέχουν τιμές συναρτήσεων , δίνονται στο Παράρτημα 2 και
.

Παράδειγμα:Βρείτε την πιθανότητα ότι μεταξύ 400 τυχαία επιλεγμένα εξαρτήματα θα αποδειχθούν μη ελεγμένα από 70 έως 100 εξαρτήματα, εάν η πιθανότητα ότι το εξάρτημα δεν πέρασε την επιθεώρηση ποιοτικού ελέγχου είναι ίση με 0,2.

Λύση:Κατά συνθήκη n = 400, Π = 0,2 , q = 0,8, κ 1 = 70, κ 2 = 100 . Ας υπολογίσουμε το κατώτερο και το ανώτερο όριο ολοκλήρωσης:

;
.

Έτσι έχουμε:

Από τον πίνακα του Παραρτήματος 2 διαπιστώνουμε ότι
Και . Τότε η απαιτούμενη πιθανότητα είναι:

Σημείωση 3:Σε μια σειρά ανεξάρτητων δοκιμών (όταν το n είναι μεγάλο, το p είναι μικρό), ο τύπος Poisson χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της πιθανότητας ενός συμβάντος να συμβεί ακριβώς k φορές (βλ. κατανομή Poisson).

5.3. Κατανομή Poisson

Ορισμός 5.3: Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή ονομάζεται Poisson,αν ο νόμος διανομής του έχει την ακόλουθη μορφή:

, Οπου
Και
(σταθερή αξία).

Παραδείγματα τυχαίων μεταβλητών Poisson:

Αριθμός κλήσεων σε έναν αυτόματο σταθμό για μια χρονική περίοδο Τ.

Ο αριθμός των σωματιδίων διάσπασης κάποιας ραδιενεργής ουσίας σε μια χρονική περίοδο Τ.

Αριθμός τηλεοράσεων που φτάνουν στο εργαστήριο για μια χρονική περίοδο Τστη μεγαλούπολη .

Αριθμός αυτοκινήτων που θα φτάσουν στη γραμμή στάσης μιας διασταύρωσης σε μια μεγάλη πόλη .

Σημείωση 1:Ειδικοί πίνακες για τον υπολογισμό αυτών των πιθανοτήτων δίνονται στο Παράρτημα 3.

Σημείωση 2:Σε μια σειρά ανεξάρτητων δοκιμών (όταν nεξαιρετική, Πδεν είναι αρκετό) για να υπολογίσετε την πιθανότητα να συμβεί ακριβώς ένα γεγονός κφορές χρησιμοποιώντας τον τύπο του Poisson:
, Οπου
, δηλαδή ο μέσος αριθμός εμφανίσεων γεγονότων παραμένει σταθερός.

Σημείωση 3:Εάν υπάρχει μια τυχαία μεταβλητή που κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο Poisson, τότε υπάρχει απαραίτητα μια τυχαία μεταβλητή που κατανέμεται σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο και, αντίστροφα (βλ. Εκθετική κατανομή).

Παράδειγμα.Το εργοστάσιο εστάλη στη βάση 5000 καλής ποιότητας προϊόντα. Η πιθανότητα να καταστραφεί το προϊόν κατά τη μεταφορά είναι ίση με 0,0002 . Βρείτε την πιθανότητα ότι ακριβώς τρία άχρηστα προϊόντα θα φτάσουν στη βάση.

Λύση:Κατά συνθήκη n = 5000, Π = 0,0002, κ = 3. Θα βρούμε λ: λ = n.p.= 5000·0,0002 = 1.

Σύμφωνα με τον τύπο Poisson, η επιθυμητή πιθανότητα είναι ίση με:

, όπου είναι η τυχαία μεταβλητή Χ– αριθμός μη χρησιμοποιήσιμων προϊόντων.

5.4. Γεωμετρική κατανομή

Αφήστε να πραγματοποιηθούν ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες είναι η πιθανότητα να συμβεί το συμβάν ΕΝΑίσο με Π(0 σελ

q = 1 - Π. Οι προκλήσεις τελειώνουν μόλις εμφανιστεί το συμβάν ΕΝΑ. Έτσι, εάν ένα γεγονός ΕΝΑεμφανίστηκε σε κ-ο τεστ, μετά στο προηγούμενο κ – 1 δεν εμφανίστηκε σε δοκιμές.

Ας υποδηλώσουμε με Χδιακριτή τυχαία μεταβλητή - ο αριθμός των δοκιμών που πρέπει να πραγματοποιηθούν πριν από την πρώτη εμφάνιση του συμβάντος ΕΝΑ. Προφανώς, οι πιθανές τιμές Χείναι φυσικοί αριθμοί x 1 = 1, x 2 = 2, ...

Αφήστε πρώτα κ-1 εκδήλωση δοκιμής ΕΝΑδεν ήρθε, αλλά μέσα κ-ο τεστ εμφανίστηκε. Η πιθανότητα αυτού του «σύνθετου γεγονότος», σύμφωνα με το θεώρημα του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων ανεξάρτητων γεγονότων, Π (Χ = κ) = q κ -1 Π.

Ορισμός 5.4: Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή έχει γεωμετρική κατανομή, εάν ο νόμος διανομής του έχει την ακόλουθη μορφή:

Π ( Χ = κ ) = q κ -1 Π , Οπου
.

Σημείωση 1:πιστεύοντας κ = 1,2,… , παίρνουμε μια γεωμετρική πρόοδο με τον πρώτο όρο Πκαι παρονομαστής q (0q. Για το λόγο αυτό, η κατανομή ονομάζεται γεωμετρική.

Σημείωση 2:Σειρά
συγκλίνει και το άθροισμά του είναι ίσο με ένα. Πράγματι, το άθροισμα της σειράς είναι ίσο με
.

Παράδειγμα.Το όπλο πυροβολεί στον στόχο μέχρι να γίνει το πρώτο χτύπημα. Πιθανότητα να χτυπήσει στόχο Π = 0,6 . Βρείτε την πιθανότητα να συμβεί ένα χτύπημα στην τρίτη βολή.

Λύση:Κατά συνθήκη Π = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, κ = 3. Η απαιτούμενη πιθανότητα είναι:

Π (Χ = 3) = 0,4 2 ·0,6 = 0,096.

5.5. Υπεργεωμετρική κατανομή

Ας εξετάσουμε το εξής πρόβλημα. Αφήστε το πάρτι έξω Νδιαθέσιμα προϊόντα Μπρότυπο (ΜΝ). Τυχαία λήψη από την παρτίδα nπροϊόντα (κάθε προϊόν μπορεί να εξαχθεί με την ίδια πιθανότητα) και το επιλεγμένο προϊόν δεν επιστρέφεται στην παρτίδα πριν από την επιλογή του επόμενου (επομένως ο τύπος του Bernoulli δεν ισχύει εδώ).

Ας υποδηλώσουμε με Χτυχαία μεταβλητή - αριθμός Μτυποποιημένα προϊόντα μεταξύ nεπιλεγμένο. Στη συνέχεια οι πιθανές τιμές Χθα είναι 0, 1, 2,…, min ; Ας τους χαρακτηρίσουμε και... Μετιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής (Fonds) χρησιμοποιήστε το κουμπί ( κεφάλαιο ...

Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό συγκρότημα για τον κλάδο «Γενικό ψυχολογικό εργαστήριο»

Σύμπλεγμα εκπαίδευσης και μεθοδολογίας

... μεθοδολογική οδηγίες Μεεκτέλεση πρακτικής εργασίας 5.1 Μεθοδικόςσυστάσεις Μευλοποίηση εκπαιδευτικών έργων 5.2 Μεθοδικόςσυστάσεις Με... ευαισθησία), μονοδιάστατηκαι πολυδιάστατο... τυχαίοςσυστατικό σε Μέγεθος... Με Ενότητα"Εκτέλεση...

Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό συγκρότημα για τον κλάδο της φυσικής (τίτλος)

Σύμπλεγμα εκπαίδευσης και μεθοδολογίας

... ενότητεςστα σχολικά βιβλία. Επίλυση προβλήματος Μεκάθε θέμα. Επεξεργασία μεθοδολογική οδηγίεςγια εργαστηριακές εργασίες Με ... τυχαίοςκαι σφάλμα μέτρησης οργάνων 1.8 Θέματα δοκιμών και μεθοδολογική οδηγίες Με...Σωματίδιο μέσα μονοδιάστατηπιθανή τρύπα. ...

Οδηγίες για εργαστηριακή εργασία στον κλάδο της επιστήμης των υπολογιστών

Κατευθυντήριες γραμμές

... Μεθοδικός οδηγίεςγια ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Με ... Μέγεθος, και το μεγαλύτερο ποσό ποσότητες... πίνακας τυχαίοςαριθμοί... 3,0 4,0 3,0 -2,5 14,3 16,2 18,0 1,0 α) μονοδιάστατηπίνακας β) δισδιάστατος πίνακας Εικ. 2– Τα αρχεία... περιγράφονται στο Ενότηταυλοποίηση μετά...

Οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές έχουν άπειρο αριθμό πιθανών τιμών. Ως εκ τούτου, είναι αδύνατο να εισαχθεί μια σειρά διανομής για αυτούς.

Αντί για την πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή Χ θα πάρει τιμή ίση με x, δηλ. p(X = x), θεωρήστε την πιθανότητα ότι το X θα πάρει τιμή μικρότερη από x, δηλ. P(X< х).

Ας εισαγάγουμε ένα νέο χαρακτηριστικό των τυχαίων μεταβλητών - τη συνάρτηση κατανομής και ας εξετάσουμε τις ιδιότητές της.

Η συνάρτηση κατανομής είναι το πιο καθολικό χαρακτηριστικό μιας τυχαίας μεταβλητής. Μπορεί να οριστεί τόσο για διακριτές όσο και για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές:

F(x) = p(X< x).

Ιδιότητες της συνάρτησης διανομής.

Η συνάρτηση κατανομής είναι μια μη φθίνουσα συνάρτηση του ορίσματός της, δηλ. Αν:

Στο μείον άπειρο, η συνάρτηση κατανομής είναι μηδέν:

Στο συν άπειρο, η συνάρτηση κατανομής είναι ίση με ένα:

Η πιθανότητα μιας τυχαίας μεταβλητής να εμπίπτει σε ένα δεδομένο διάστημα καθορίζεται από τον τύπο:

Η συνάρτηση f(x), ίση με την παράγωγο της συνάρτησης κατανομής, ονομάζεται πυκνότητα πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής X ή πυκνότητα κατανομής:

Ας εκφράσουμε την πιθανότητα να φτάσουμε στο τμήμα b έως c μέσω f(x). Είναι ίσο με το άθροισμα των στοιχείων πιθανότητας σε αυτό το τμήμα, δηλ. αναπόσπαστο:

Από εδώ μπορούμε να εκφράσουμε τη συνάρτηση κατανομής ως προς την πυκνότητα πιθανότητας:

Ιδιότητες πυκνότητας πιθανότητας.

Η πυκνότητα πιθανότητας είναι μια μη αρνητική συνάρτηση (καθώς η συνάρτηση κατανομής είναι μια μη φθίνουσα συνάρτηση):

Πυκνότητα μάλλον

η ity είναι μια συνεχής συνάρτηση.

Το άπειρο ολοκλήρωμα της πυκνότητας πιθανότητας είναι ίσο με 1:

Η πυκνότητα πιθανότητας έχει τη διάσταση μιας τυχαίας μεταβλητής.

Προσδοκία και διακύμανση συνεχούς τυχαίας μεταβλητής

Η έννοια της μαθηματικής προσδοκίας και της διακύμανσης παραμένει η ίδια όπως στην περίπτωση των διακριτών τυχαίων μεταβλητών. Ο τύπος των τύπων για την εύρεση τους αλλάζει αντικαθιστώντας:

Στη συνέχεια λαμβάνουμε τύπους για τον υπολογισμό της μαθηματικής προσδοκίας και της διακύμανσης μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής:

Παράδειγμα. Η συνάρτηση κατανομής μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής δίνεται από την έκφραση:

Βρείτε την τιμή του a, την πυκνότητα πιθανότητας, την πιθανότητα να χτυπήσετε την τοποθεσία (0,25-0,5), τη μαθηματική προσδοκία και τη διασπορά.

Εφόσον η συνάρτηση κατανομής F(x) είναι συνεχής, τότε σε x = 1 ax2 = 1, επομένως, a = 1.

Η πυκνότητα πιθανότητας βρίσκεται ως η παράγωγος της συνάρτησης κατανομής:

Ο υπολογισμός της πιθανότητας να χτυπήσει μια δεδομένη περιοχή μπορεί να γίνει με δύο τρόπους: χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση κατανομής και χρησιμοποιώντας την πυκνότητα πιθανότητας.

1η μέθοδος. Χρησιμοποιούμε τον τύπο για την εύρεση της πιθανότητας μέσω της συνάρτησης κατανομής:
2η μέθοδος. Χρησιμοποιούμε τον τύπο για την εύρεση της πιθανότητας μέσω της πυκνότητας πιθανότητας:

Βρίσκουμε τη μαθηματική προσδοκία:

Εύρεση της διακύμανσης:

Ομοιόμορφη κατανομή

Ας εξετάσουμε μια συνεχή τυχαία μεταβλητή Χ, οι πιθανές τιμές της οποίας βρίσκονται σε ένα συγκεκριμένο διάστημα και είναι εξίσου πιθανές.

Η πυκνότητα πιθανότητας μιας τέτοιας τυχαίας μεταβλητής θα έχει τη μορφή:

όπου c είναι κάποια σταθερά.

Το γράφημα πυκνότητας πιθανότητας θα μοιάζει με αυτό:

Ας εκφράσουμε την παράμετρο c με όρους b και c. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι το ολοκλήρωμα της πυκνότητας πιθανότητας σε ολόκληρη την περιοχή πρέπει να είναι ίσο με 1:

Πυκνότητα κατανομής μιας ομοιόμορφα κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής

Ας βρούμε τη συνάρτηση διανομής:

Συνάρτηση κατανομής μιας ομοιόμορφα κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής

Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση κατανομής:

Ας υπολογίσουμε τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής που υπόκειται σε ομοιόμορφη κατανομή.

Τότε η τυπική απόκλιση θα μοιάζει με:

Κανονική κατανομή (Gaussian).

Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X ονομάζεται κανονικά κατανεμημένη με παραμέτρους a, y > 0 αν έχει πυκνότητα πιθανότητας:

Η καμπύλη κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής έχει τη μορφή:

Δοκιμή 2

Εργασία 1. Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ, υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία, τη διασπορά και την τυπική απόκλιση της τυχαίας μεταβλητής.

Επιλογή 1

Το τμήμα ποιοτικού ελέγχου ελέγχει τα προϊόντα για τυποποίηση. Η πιθανότητα ότι το προϊόν είναι στάνταρ είναι 0,7. Δοκιμασμένα 20 προϊόντα. Βρείτε τον νόμο κατανομής της τυχαίας μεταβλητής X - τον αριθμό των τυπικών προϊόντων μεταξύ των ελεγμένων. Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής.

Επιλογή 2

Υπάρχουν 4 μπάλες στην λάρνακα, οι οποίες δείχνουν τα σημεία 2. 4; 5; 5. Μια μπάλα κληρώνεται τυχαία. Βρείτε τον νόμο κατανομής της τυχαίας μεταβλητής X - τον αριθμό των σημείων σε αυτήν. Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής.

Επιλογή 3

Ο κυνηγός πυροβολεί στο παιχνίδι μέχρι να χτυπήσει, αλλά δεν μπορεί να πυροβολήσει περισσότερες από τρεις βολές. Η πιθανότητα να χτυπήσετε κάθε βολή είναι 0,6. Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής για την τυχαία μεταβλητή X - τον αριθμό των βολών που εκτοξεύτηκαν από τον σκοπευτή. Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής.

Επιλογή 4

Η πιθανότητα υπέρβασης της καθορισμένης ακρίβειας κατά τη μέτρηση είναι 0,4. Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής για την τυχαία μεταβλητή X - τον αριθμό των σφαλμάτων σε 10 μετρήσεις. Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής.

Επιλογή 5

Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,45. 20 πυροβολισμοί. Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής για την τυχαία μεταβλητή X - τον αριθμό των επισκέψεων. Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής.

Επιλογή 6

Τα προϊόντα ορισμένων φυτών περιέχουν 5% ελαττώματα. Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής για την τυχαία μεταβλητή X - τον αριθμό των ελαττωματικών προϊόντων μεταξύ πέντε που λαμβάνονται για τύχη. Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής.

Επιλογή 7

Τα εξαρτήματα που χρειάζεται ο συναρμολογητής βρίσκονται σε τρία από τα πέντε κουτιά. Ο συναρμολογητής ανοίγει τα κουτιά μέχρι να βρει τα εξαρτήματα που χρειάζεται. Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής για την τυχαία μεταβλητή X - τον αριθμό των ανοιχτών πλαισίων. Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής.

Επιλογή 8

Υπάρχουν 3 μαύρες και 2 άσπρες μπάλες στην τεφροδόχο. Οι μπάλες αφαιρούνται διαδοχικά χωρίς να επιστρέφουν μέχρι να εμφανιστεί μαύρο. Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής για την τυχαία μεταβλητή X - τον αριθμό των σφαιρών που τραβήχτηκαν. Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής.

Επιλογή 9

Ο μαθητής γνωρίζει 15 ερωτήσεις από τις 20. Υπάρχουν 3 ερωτήσεις στο εισιτήριο. Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής της τυχαίας μεταβλητής X - τον αριθμό των ερωτήσεων που γνωρίζει ο μαθητής στο δελτίο. Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής.

Επιλογή 10

Υπάρχουν 3 λαμπτήρες, καθένας από τους οποίους έχει ένα ελάττωμα με πιθανότητα 0,4. Όταν ανάβει, η ελαττωματική λάμπα καίγεται και αντικαθίσταται από άλλη. Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής για την τυχαία μεταβλητή X - τον αριθμό των λαμπτήρων που δοκιμάστηκαν. Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής.

Εργασία 2. Η τυχαία μεταβλητή X καθορίζεται από τη συνάρτηση κατανομής F(X). Βρείτε την πυκνότητα κατανομής, τη μαθηματική προσδοκία, τη διασπορά και επίσης την πιθανότητα μιας τυχαίας μεταβλητής να πέσει στο διάστημα (b, c). Σχεδιάστε γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων F(X) και f(X).

Επιλογή 1

Επιλογή 2

Επιλογή 3

Επιλογή 4

Επιλογή 5

Επιλογή 6

Επιλογή 7

Επιλογή 8

Επιλογή 9

Επιλογή 10

Ερωτήσεις για τις εξετάσεις

Κλασικός ορισμός της πιθανότητας.

Στοιχεία συνδυαστικής. Κατάλυμα. Παραδείγματα.

Στοιχεία συνδυαστικής. Διευθέτηση εκ νέου. Παραδείγματα.

Στοιχεία συνδυαστικής. Συνδυασμοί. Παραδείγματα.

Θεώρημα για το άθροισμα των πιθανοτήτων.

Θεώρημα πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων.

Λειτουργίες σε εκδηλώσεις.

Συνολικός τύπος πιθανότητας.

Η φόρμουλα του Bayes.

Επανάληψη δοκιμών. Ο τύπος του Bernoulli.

Διακριτές τυχαίες μεταβλητές. Σειρά διανομής. Παράδειγμα.

Μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.

Διασπορά μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.

Διωνυμική κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής.

Κατανομή Poisson.

Κατανομή σύμφωνα με το νόμο της γεωμετρικής προόδου.

Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Η συνάρτηση διανομής και οι ιδιότητές της.

Η πυκνότητα πιθανοτήτων και οι ιδιότητές της.

Μαθηματική προσδοκία συνεχούς τυχαίας μεταβλητής.

Διακύμανση συνεχούς τυχαίας μεταβλητής.

Ομοιόμορφη κατανομή συνεχούς τυχαίας μεταβλητής.

Κανονικός νόμος διανομής.

Έννοιες της μαθηματικής προσδοκίας Μ(Χ) και διακύμανση ρε(Χ), που εισήχθη νωρίτερα για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, μπορεί να επεκταθεί σε συνεχείς τυχαίες μεταβλητές.

· Μαθηματική προσδοκία Μ(Χ) Η συνεχής τυχαία μεταβλητή X καθορίζεται από την ισότητα:

υπό την προϋπόθεση ότι αυτό το ολοκλήρωμα συγκλίνει.

· Διακύμανση Δ(Χ) συνεχής τυχαία μεταβλητή Χκαθορίζεται από την ισότητα:

· Τυπική απόκλισησ( Χ) Η συνεχής τυχαία μεταβλητή καθορίζεται από την ισότητα:

Όλες οι ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας και διασποράς, που συζητήθηκαν νωρίτερα για διακριτές τυχαίες μεταβλητές, ισχύουν επίσης για συνεχείς.

Πρόβλημα 5.3.Τυχαία τιμή Χδίνεται από μια διαφορική συνάρτηση φά(Χ):

Εύρημα Μ(Χ), Δ(Χ), σ( Χ), και Π(1 < Χ< 5).

Λύση:

Μ(Χ)= =

+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,

ρε(Χ)=

= = /

Π 1 =

Καθήκοντα

5.1. Χ

φά(Χ), και

R(‒1/2 < Χ< 1/2).

5.2. Συνεχής τυχαία μεταβλητή Χδίνεται από τη συνάρτηση διανομής:

Βρείτε τη συνάρτηση διαφορικής κατανομής φά(Χ), και

R(2π /9< Χ< π /2).

5.3. Συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ

Βρείτε: α) αριθμό Με; σι) Μ(Χ), Δ(Χ).

5.4. Συνεχής τυχαία μεταβλητή Χδίνεται από την πυκνότητα κατανομής:

Βρείτε: α) αριθμό Με; σι) Μ(Χ), Δ(Χ).

5.5. Χ:

Βρες ένα) φά(Χ) και να φτιάξετε το γράφημά του. σι) Μ(Χ), Δ(Χ), σ( Χ); γ) την πιθανότητα ότι σε τέσσερις ανεξάρτητες δοκιμές η τιμή Χθα πάρει ακριβώς 2 φορές την τιμή που ανήκει στο διάστημα (1;4).

5.6. Δίνεται η πυκνότητα κατανομής πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ:

Βρες ένα) φά(Χ) και να φτιάξετε το γράφημά του. σι) Μ(Χ), Δ(Χ), σ( Χ); γ) την πιθανότητα σε τρεις ανεξάρτητες δοκιμές η τιμή Χθα πάρει ακριβώς 2 φορές την τιμή που ανήκει στο τμήμα .

5.7. Λειτουργία φά(Χ) δίνεται με τη μορφή:

Με Χ; β) συνάρτηση διανομής φά(Χ).

5.8. Λειτουργία φά(Χ) δίνεται με τη μορφή:

Να βρείτε: α) την τιμή της σταθεράς Με, στην οποία η συνάρτηση θα είναι η πυκνότητα πιθανότητας κάποιας τυχαίας μεταβλητής Χ; β) συνάρτηση διανομής φά(Χ).

5.9. Τυχαία τιμή Χ, συγκεντρωμένο στο διάστημα (3;7), καθορίζεται από τη συνάρτηση κατανομής φά(Χ)= Χθα πάρει την τιμή: α) μικρότερη από 5, β) όχι μικρότερη από 7.

5.10. Τυχαία τιμή Χ, με κέντρο το διάστημα (-1;4), καθορίζεται από τη συνάρτηση κατανομής φά(Χ)= . Βρείτε την πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή Χθα πάρει την τιμή: α) μικρότερη από 2, β) μικρότερη από 4.

5.11.

Βρείτε: α) αριθμό Με; σι) Μ(Χ); γ) πιθανότητα R(Χ > Μ(Χ)).

5.12. Η τυχαία μεταβλητή καθορίζεται από τη συνάρτηση διαφορικής κατανομής:

Βρες ένα) Μ(Χ); β) πιθανότητα R(X ≤ M(Χ)).

5.13. Η κατανομή Rem δίνεται από την πυκνότητα πιθανότητας:

Αποδείξτε το φά(Χ) είναι πράγματι μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας.

5.14. Δίνεται η πυκνότητα κατανομής πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ:

Βρείτε τον αριθμό Με.

5.15. Τυχαία τιμή Χκατανέμεται σύμφωνα με το νόμο του Simpson (ισοσκελές τρίγωνο) στο τμήμα [-2;2] (Εικ. 5.4). Βρείτε μια αναλυτική έκφραση για την πυκνότητα πιθανότητας φά(Χ) σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή.

Ρύζι. 5.4 Εικ. 5.5

5.16. Τυχαία τιμή Χκατανέμεται σύμφωνα με τον νόμο «ορθογώνιο τρίγωνο» στο διάστημα (0;4) (Εικ. 5.5). Βρείτε μια αναλυτική έκφραση για την πυκνότητα πιθανότητας φά(Χ) σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή.

Απαντήσεις

Π (-1/2<Χ<1/2)=2/3.

Π(2π /9<Χ< π /2)=1/2.

5.3. ΕΝΑ) Με=1/6, β) Μ(Χ)=3, γ) ρε(Χ)=26/81.

5.4. ΕΝΑ) Με=3/2, β) Μ(Χ)=3/5, γ) ρε(Χ)=12/175.

σι) Μ(Χ)= 3 , ρε(Χ)= 2/9, σ( Χ)= /3.

σι) Μ(Χ)=2 , ρε(Χ)= 3, σ( Χ)= 1,893.

5.7. α) γ = ; σι)

5.8. ΕΝΑ) Με=1/2; σι)

5.9. α) 1/4; β) 0.

5.10. α) 3/5; β) 1.

5.11. ΕΝΑ) Με= 2; σι) Μ(Χ)= 2; σε 1- ln 2 2 ≈ 0,5185.