Πώς να βρείτε τη λειτουργία μιας σειράς. Μέση τιμή

Επίλυση προβλημάτων με θέμα: «Στατιστικά χαρακτηριστικά. Αριθμητικός μέσος όρος, εύρος, τρόπος λειτουργίας και διάμεσος

Αλγεβρα-

7η τάξη

Ιστορικές πληροφορίες

Αριθμητικός μέσος όρος, εύρος και τρόπος λειτουργίαςχρησιμοποιούνται στη στατιστική - μια επιστήμη που ασχολείται με τη λήψη, την επεξεργασία και την ανάλυση ποσοτικών δεδομένων σχετικά με μια ποικιλία μαζικών φαινομένων που συμβαίνουν στη φύση και την κοινωνία.
Η λέξη «statistics» προέρχεται από τη λατινική λέξη status, που σημαίνει «κατάσταση των πραγμάτων». Η στατιστική μελετά το μέγεθος των επιμέρους πληθυσμιακών ομάδων της χώρας και των περιφερειών της, την παραγωγή και την κατανάλωση
διάφορα είδη προϊόντων, μεταφορά εμπορευμάτων και επιβατών με διάφορους τρόπους μεταφοράς, φυσικούς πόρους κ.λπ.
Τα αποτελέσματα των στατιστικών μελετών χρησιμοποιούνται ευρέως για πρακτικά και επιστημονικά συμπεράσματα.

Μέση τιμή– το πηλίκο διαίρεσης του αθροίσματος όλων των αριθμών με τον αριθμό των όρων

Πεδίο εφαρμογής– η διαφορά μεταξύ του μεγαλύτερου και του μικρότερου αριθμού αυτής της σειράς
Μόδαείναι ο αριθμός που εμφανίζεται πιο συχνά σε ένα σύνολο αριθμών
Διάμεσος– μιας διατεταγμένης σειράς αριθμών με περιττό αριθμό όρων είναι ο αριθμός που γράφεται στη μέση και η διάμεσος μιας διατεταγμένης σειράς αριθμών με ζυγό αριθμό όρων είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των δύο αριθμών που είναι γραμμένοι στη μέση. Η διάμεσος μιας αυθαίρετης σειράς αριθμών είναι η διάμεσος της αντίστοιχης διατεταγμένης σειράς.

Μέση τιμή ,

πεδίο εφαρμογής και μόδα
χρησιμοποιούνται στη στατιστική - επιστήμη,
που ασχολείται με τη λήψη,

επεξεργασία και ανάλυση

ποσοτικά στοιχεία για διάφορα

μαζικά φαινόμενα

στη φύση και

Κοινωνία.

Εργασία Νο. 1

Σειρά αριθμών:
18 ; 13; 20; 40; 35.
Βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο αυτής της σειράς:

Λύση:
(18+13+20+40+35):5=25,5
Απάντηση: 25,5 – αριθμητικός μέσος όρος

Πρόβλημα Νο 2

Σειρά αριθμών:
35;16;28;5;79;54.

Βρείτε τη γκάμα της σειράς:

Λύση:

Ο μεγαλύτερος αριθμός είναι 79,
Ο μικρότερος αριθμός είναι το 5.
Εύρος σειρών: 79 – 5 = 74.
Απάντηση: 74

Εργασία Νο. 3

Σειρά αριθμών:
23; 18; 25; 20; 25; 25; 32; 37; 34; 26; 34; 2535;16;28;5;79;54.

Βρείτε τη γκάμα της σειράς:

Λύση:
Η μεγαλύτερη κατανάλωση χρόνου είναι 37 λεπτά,
και το μικρότερο είναι 18 λεπτά.
Ας βρούμε τη γκάμα της σειράς:
37 – 18 = 19 (λεπτά)

Πρόβλημα Νο. 4

Σειρά αριθμών:
65; 12; 48; 36; 7; 12
Βρείτε τη λειτουργία της σειράς:

Λύση:

Μόδα αυτής της σειράς: 12.
Απάντηση: 12

Πρόβλημα Νο 5

Μια σειρά αριθμών μπορεί να έχει περισσότερες από μία λειτουργίες,
ή μήπως όχι.

Σειρά: 47, 46, 50, 47, 52, 49, 45, 43, 53, 47, 52
δύο λειτουργίες - 47 και 52.

Η σειρά: 69, 68, 66, 70, 67, 71, 74, 63, 73, 72 δεν έχει μόδα.

Πρόβλημα Νο 5

Σειρά αριθμών:
28; 17; 51; 13; 39
Βρείτε τη διάμεσο αυτής της σειράς:

Λύση:

Πρώτα βάλτε τους αριθμούς σε αύξουσα σειρά:
13; 17; 28; 39; 51.
Διάμεσος - 28.
Απάντηση: 28

Πρόβλημα Νο. 6

Ο οργανισμός κρατούσε καθημερινά αρχεία με τις επιστολές που λάμβανε κατά τη διάρκεια του μήνα.

Ως αποτέλεσμα, λάβαμε την ακόλουθη σειρά δεδομένων:

39, 42, 40, 0, 56, 36, 24, 21, 35, 0, 58, 31, 49, 38, 24, 35, 0, 52, 40, 42, 40,

39, 54, 0, 64, 44, 50, 37, 32, 38.

Για την προκύπτουσα σειρά δεδομένων, βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο,

Ποιο είναι το πρακτικό νόημα αυτών των ενδείξεων;

Πρόβλημα Νο. 7

Το κόστος (σε ρούβλια) μιας συσκευασίας βουτύρου Nezhenka στα καταστήματα της γειτονιάς καταγράφεται: 26, 32, 31, 33, 24, 27, 37.

Πόσο διαφέρει ο αριθμητικός μέσος όρος αυτού του συνόλου αριθμών από τον διάμεσό του;

Λύση.

Ας ταξινομήσουμε αυτό το σύνολο αριθμών με αύξουσα σειρά:

24, 26, 27, 31, 32, 33, 37.

Δεδομένου ότι ο αριθμός των στοιχείων της σειράς είναι περιττός, η διάμεσος είναι

την τιμή που καταλαμβάνει το μέσο της σειράς αριθμών, δηλαδή M = 31.

Ας υπολογίσουμε τον αριθμητικό μέσο όρο αυτού του συνόλου αριθμών - m.

m= 24+ 26+ 27+ 31+ 32+ 33+ 37 = 210 ═ 30

M – m = 31 – 30 = 1

Δημιουργικός

Η ημερομηνία του __________

Θέμα μαθήματος: Αριθμητικός μέσος όρος, εύρος και τρόπος λειτουργίας.

Στόχοι μαθήματος: επαναλάβετε τις έννοιες τέτοιων στατιστικών χαρακτηριστικών όπως ο αριθμητικός μέσος όρος, το εύρος και ο τρόπος λειτουργίας, αναπτύξτε την ικανότητα εύρεσης των μέσων στατιστικών χαρακτηριστικών διαφόρων σειρών. ανάπτυξη λογικής σκέψης, μνήμης και προσοχής. να ενσταλάξει την επιμέλεια, την πειθαρχία, την επιμονή και την ακρίβεια στα παιδιά. αναπτύξουν το ενδιαφέρον των παιδιών για τα μαθηματικά.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

Οργάνωση τάξης

Επανάληψη ( Η εξίσωση και οι ρίζες της)

Ορίστε μια εξίσωση με μία μεταβλητή.

Ποια είναι η ρίζα μιας εξίσωσης;

Τι σημαίνει να λύνεις μια εξίσωση;

Λύστε την εξίσωση:

6x + 5 =23 -3x 2(x - 5) + 3x =11 -2x 3x - (x - 5) =14 -2x

Ενημέρωση γνώσεων επαναλάβετε τις έννοιες τέτοιων στατιστικών χαρακτηριστικών όπως αριθμητικός μέσος όρος, εύρος, τρόπος λειτουργίας και διάμεσος.

Στατιστική είναι μια επιστήμη που ασχολείται με τη συλλογή, την επεξεργασία και την ανάλυση ποσοτικών δεδομένων σχετικά με μια ποικιλία μαζικών φαινομένων που συμβαίνουν στη φύση και την κοινωνία.

Μέση τιμή είναι το άθροισμα όλων των αριθμών διαιρούμενο με τον αριθμό τους. (Ο αριθμητικός μέσος όρος ονομάζεται μέση τιμή μιας σειράς αριθμών.)

Εύρος αριθμών είναι η διαφορά μεταξύ του μεγαλύτερου και του μικρότερου από αυτούς τους αριθμούς.

Τρόπος σειράς αριθμών - Αυτός είναι ο αριθμός που εμφανίζεται σε μια δεδομένη σειρά πιο συχνά από άλλες.

Διάμεσος μια διατεταγμένη σειρά αριθμών με περιττό αριθμό όρων ονομάζεται ο αριθμός που είναι γραμμένος στη μέση και με ζυγό αριθμό όρων ονομάζεται αριθμητικός μέσος όρος των δύο αριθμών που είναι γραμμένοι στη μέση.

Η λέξη στατιστική μεταφράζεται από τα λατινικά status - state, state of affairs.

Στατιστικά χαρακτηριστικά: αριθμητικός μέσος όρος, εύρος, τρόπος λειτουργίας, διάμεσος.

Εκμάθηση νέου υλικού

Εργασία Νο. 1: Ζητήθηκε από 12 μαθητές της έβδομης τάξης να καταγράψουν τον χρόνο (σε λεπτά) που αφιέρωσαν στην άλγεβρα για το σπίτι. Λάβαμε τα ακόλουθα στοιχεία: 23,18,25,20,25,25,32,37,34,26,34,25. Κατά μέσο όρο, πόσα λεπτά αφιέρωσαν οι μαθητές στην εργασία;

Λύση: 1) βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο:

2) βρείτε το εύρος της σειράς: 37-18=19 (min)

3) μόδα 25.

Εργασία Νο. 2: Στην πόλη Schaslyvye, οι καθημερινές μετρήσεις γίνονταν στις 18 00 θερμοκρασία αέρα (σε βαθμούς Κελσίου για 10 ημέρες) με αποτέλεσμα να συμπληρωθεί ο πίνακας:

Τ Νυμφεύομαι = 0 ΜΕ,

Εύρος = 25-13=12 0 ΜΕ,

Εργασία Νο. 3: Βρείτε το εύρος των αριθμών 2, 5, 8, 12, 33.

Λύση: Ο μεγαλύτερος αριθμός εδώ είναι 33, ο μικρότερος είναι 2. Αυτό σημαίνει ότι το εύρος είναι: 33 – 2 = 31.

Εργασία Νο. 4: Βρείτε τον τρόπο λειτουργίας της σειράς διανομής:

α) 23 25 27 23 26 29 23 28 33 23 (λειτουργία 23)·

β) 14 18 22 26 30 28 26 24 22 20 (λειτουργίες: 22 και 26);

γ) 14 18 22 26 30 32 34 36 38 40 (χωρίς μόδα).

Εργασία Νο. 5 : Βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο, το εύρος και τον τρόπο λειτουργίας της σειράς των αριθμών 1, 7, 3, 8, 7, 12, 22, 7, 11,22,8.

Λύση: 1) Ο αριθμός 7 εμφανίζεται πιο συχνά σε αυτή τη σειρά αριθμών (3 φορές). Είναι ο τρόπος μιας δεδομένης σειράς αριθμών.

Λύση ασκήσεων

ΕΝΑ) Βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο, τη διάμεσο, το εύρος και τον τρόπο μιας σειράς αριθμών:

1) 32, 26, 18, 26, 15, 21, 26;

2) 21, 18, 5, 25, 3, 18, 5, 17, 9;

3) 67,1 68,2 67,1 70,4 68,2;

4) 0,6 0,8 0,5 0,9 1,1.

ΣΙ) Ο αριθμητικός μέσος όρος μιας σειράς που αποτελείται από δέκα αριθμούς είναι 15. Ο αριθμός 37 προστέθηκε σε αυτή τη σειρά Ποιος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος της νέας σειράς αριθμών;

ΣΕ) Στη σειρά των αριθμών 2, 7, 10, __, 18, 19, 27, ένας αριθμός αποδείχθηκε ότι διαγράφηκε. Ανακατασκευάστε το, γνωρίζοντας ότι ο αριθμητικός μέσος όρος αυτής της σειράς αριθμών είναι 14.

ΣΟΛ) Καθένας από τους 24 συμμετέχοντες στον αγώνα σκοποβολής έριξε δέκα βολές. Σημειώνοντας κάθε φορά τον αριθμό των χτυπημάτων στον στόχο, λαμβάναμε τις ακόλουθες σειρές δεδομένων: 6, 5, 5, 6, 8, 3, 7, 6, 8, 5, 4, 9, 7, 7, 9, 8 , 6, 6, 5 , 6, 4, 3, 6, 5. Βρείτε το εύρος και τη λειτουργία για αυτήν τη σειρά. Τι χαρακτηρίζει καθέναν από αυτούς τους δείκτες;

Συνοψίζοντας

Τι είναι ο αριθμητικός μέσος όρος; Μόδα? Διάμεσος? Πεδίο εφαρμογής?

Εργασία για το σπίτι:

№164 (εργασία επανάληψης), σελ. 36-39 διαβάστε

№167(a,b), Αρ. 177, 179

Μαζί με τις μέσες τιμές, οι δομικοί μέσοι όροι υπολογίζονται ως στατιστικά χαρακτηριστικά των σειρών διακύμανσης των κατανομών - μόδαΚαι διάμεσος.
ΜόδαΤο (Mo) αντιπροσωπεύει την τιμή του χαρακτηριστικού που μελετάται, που επαναλαμβάνεται με τη μεγαλύτερη συχνότητα, δηλ. mode – η τιμή ενός χαρακτηριστικού που εμφανίζεται πιο συχνά.
Διάμεσος(Εγώ) είναι η τιμή του χαρακτηριστικού που πέφτει στη μέση του ταξινομημένου (διατεταγμένου) πληθυσμού, δηλ. διάμεσος είναι η κεντρική τιμή μιας σειράς παραλλαγής.
Η κύρια ιδιότητα της διάμεσης τιμής είναι ότι το άθροισμα των απόλυτων αποκλίσεων των τιμών των χαρακτηριστικών από τη διάμεσο είναι μικρότερο από οποιαδήποτε άλλη τιμή ∑|x i - Me|=min.

Καθορισμός τρόπου λειτουργίας και μέσης τιμής από μη ομαδοποιημένα δεδομένα

Ας σκεφτούμε προσδιορισμός τρόπου λειτουργίας και διάμεσου από μη ομαδοποιημένα δεδομένα. Ας υποθέσουμε ότι μια ομάδα εργασίας που αποτελείται από 9 άτομα έχει τις ακόλουθες κατηγορίες τιμών: 4 3 4 5 3 3 6 2 6. Δεδομένου ότι αυτή η ταξιαρχία έχει τους περισσότερους εργάτες της 3ης κατηγορίας, αυτή η τιμολογιακή κατηγορία θα είναι τροπική. Mo = 3.
Για να προσδιορίσετε τη διάμεσο, είναι απαραίτητο να πραγματοποιήσετε μια κατάταξη: 2 3 3 3 4 4 5 6 6 . Ο κεντρικός εργαζόμενος σε αυτή τη σειρά είναι εργαζόμενος της 4ης κατηγορίας, επομένως, αυτή η κατηγορία θα είναι η διάμεσος. Εάν η σειρά κατάταξης περιλαμβάνει ζυγό αριθμό μονάδων, τότε η διάμεσος ορίζεται ως ο μέσος όρος των δύο κεντρικών τιμών.
Εάν ο τρόπος λειτουργίας αντικατοπτρίζει την πιο κοινή παραλλαγή της τιμής του χαρακτηριστικού, τότε η διάμεσος πρακτικά εκτελεί τις λειτουργίες του μέσου όρου για έναν ετερογενή πληθυσμό που δεν υπακούει στον κανονικό νόμο κατανομής. Ας επεξηγήσουμε τη γνωστική του σημασία με το ακόλουθο παράδειγμα.
Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να χαρακτηρίσουμε το μέσο εισόδημα μιας ομάδας ατόμων που αποτελείται από 100 άτομα, 99 από τα οποία έχουν εισόδημα από 100 έως 200 δολάρια το μήνα και το μηνιαίο εισόδημα των τελευταίων είναι 50.000 δολάρια (Πίνακας 1).
Πίνακας 1 - Μηνιαίο εισόδημα της υπό μελέτη ομάδας ατόμων. Αν χρησιμοποιήσουμε τον αριθμητικό μέσο όρο, παίρνουμε ένα μέσο εισόδημα περίπου 600 - 700 δολαρίων, το οποίο έχει ελάχιστα κοινά με τα έσοδα του κύριου μέρους της ομάδας. Η διάμεσος, ίση σε αυτή την περίπτωση με Me = 163 δολάρια, θα μας επιτρέψει να δώσουμε μια αντικειμενική περιγραφή του επιπέδου εισοδήματος του 99% αυτής της ομάδας ανθρώπων.
Ας εξετάσουμε τον προσδιορισμό του τρόπου λειτουργίας και της διάμεσης τιμής χρησιμοποιώντας ομαδοποιημένα δεδομένα (σειρές διανομής).
Ας υποθέσουμε ότι η κατανομή των εργαζομένων ολόκληρης της επιχείρησης στο σύνολό της σύμφωνα με την τιμολογιακή κατηγορία έχει την ακόλουθη μορφή (Πίνακας 2).
Πίνακας 2 - Κατανομή εργαζομένων στις επιχειρήσεις ανά κατηγορία δασμών

Υπολογισμός κατάστασης λειτουργίας και διάμεσος για μια διακριτή σειρά

Υπολογισμός κατάστασης λειτουργίας και διάμεσος για σειρές διαστήματος

Υπολογισμός του τρόπου λειτουργίας και της μέσης τιμής για μια σειρά παραλλαγής

Προσδιορισμός του τρόπου λειτουργίας από μια διακριτή σειρά παραλλαγών

Χρησιμοποιείται μια προηγουμένως κατασκευασμένη σειρά τιμών χαρακτηριστικών, ταξινομημένων κατά τιμή. Εάν το μέγεθος του δείγματος είναι περιττό, παίρνουμε την κεντρική τιμή. Εάν το μέγεθος του δείγματος είναι άρτιο, παίρνουμε τον αριθμητικό μέσο όρο των δύο κεντρικών τιμών.
Προσδιορισμός του τρόπου λειτουργίας από μια διακριτή σειρά παραλλαγών: η 5η κατηγορία τιμολογίων έχει την υψηλότερη συχνότητα (60 άτομα), επομένως, είναι modal. Mo = 5.
Για τον προσδιορισμό της διάμεσης τιμής ενός χαρακτηριστικού, ο αριθμός της διάμεσης μονάδας της σειράς (N Me) βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: , όπου n είναι ο όγκος του πληθυσμού.
Στην περίπτωσή μας:

.
Η προκύπτουσα κλασματική τιμή, η οποία εμφανίζεται πάντα όταν ο αριθμός των μονάδων στον πληθυσμό είναι άρτιος, δείχνει ότι το ακριβές μεσαίο σημείο βρίσκεται μεταξύ 95 και 96 εργαζομένων. Είναι απαραίτητο να καθοριστεί σε ποια ομάδα ανήκουν οι εργαζόμενοι με αυτούς τους σειριακούς αριθμούς. Αυτό μπορεί να γίνει με τον υπολογισμό των συσσωρευμένων συχνοτήτων. Δεν υπάρχουν εργαζόμενοι με αυτούς τους αριθμούς στην πρώτη ομάδα, όπου υπάρχουν μόνο 12 άτομα, και δεν υπάρχει κανένας στη δεύτερη ομάδα (12+48=60). Οι εργαζόμενοι του 95ου και του 96ου βρίσκονται στην τρίτη ομάδα (12+48+56=116), επομένως, η διάμεσος είναι η 4η κατηγορία τιμολογίων.

Υπολογισμός τρόπου λειτουργίας και διάμεσου σε σειρές διαστήματος

Σε αντίθεση με τις σειρές διακριτών παραλλαγών, ο προσδιορισμός του τρόπου λειτουργίας και της διάμεσης τιμής από σειρές διαστήματος απαιτεί ορισμένους υπολογισμούς με βάση τους ακόλουθους τύπους:

, (5.6)
Οπου x 0– το κατώτερο όριο του διαστήματος των τρόπων (το διάστημα με την υψηλότερη συχνότητα ονομάζεται τροπικό)
Εγώ– την τιμή του διαστήματος των τρόπων μεταφοράς·
f Mo– συχνότητα του διαστήματος των τρόπων μεταφοράς·
f Mo -1– συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του τροπικού.
f Mo +1– συχνότητα του διαστήματος που ακολουθεί το τροπικό.

(5.7)
Οπου x 0– το κατώτερο όριο του διαμέσου διαστήματος (διάμεσος είναι το πρώτο διάστημα του οποίου η συσσωρευμένη συχνότητα υπερβαίνει το ήμισυ του συνολικού αθροίσματος των συχνοτήτων).
Εγώ– την τιμή του διάμεσου διαστήματος·
S Me -1– συσσωρευμένο διάστημα πριν από τη διάμεσο.
στ Εγώ– συχνότητα του μέσου διαστήματος.
Ας επεξηγήσουμε την εφαρμογή αυτών των τύπων χρησιμοποιώντας τα δεδομένα στον Πίνακα. 3.
Το διάστημα με τα όρια 60 – 80 σε αυτή την κατανομή θα είναι τροπικό, γιατί έχει την υψηλότερη συχνότητα. Χρησιμοποιώντας τον τύπο (5.6), ορίζουμε τη λειτουργία:

Για να καθοριστεί το διάμεσο διάστημα, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η συσσωρευμένη συχνότητα κάθε επόμενου διαστήματος έως ότου υπερβεί το ήμισυ του αθροίσματος των συσσωρευμένων συχνοτήτων (στην περίπτωσή μας, 50%) (Πίνακας 5.11).
Διαπιστώθηκε ότι η διάμεσος είναι το διάστημα με όρια 100 - 120 χιλιάδες ρούβλια. Ας προσδιορίσουμε τώρα τη διάμεσο:

Πίνακας 3 - Κατανομή του πληθυσμού της Ρωσικής Ομοσπονδίας κατά επίπεδο μέσου κατά κεφαλήν ονομαστικού νομισματικού εισοδήματος τον Μάρτιο του 1994.

Ομάδες κατά επίπεδο μέσου κατά κεφαλήν μηνιαίου εισοδήματος, χιλιάδες ρούβλια.	Μερίδιο πληθυσμού, %
Μέχρι 20	1,4
20 – 40	7,5
40 – 60	11,9
60 – 80	12,7
80 – 100	11,7
100 – 120	10,0
120 – 140	8,3
140 –160	6,8
160 – 180	5,5
180 – 200	4,4
200 – 220	3,5
220 – 240	2,9
240 – 260	2,3
260 – 280	1,9
280 – 300	1,5
Πάνω από 300	7,7
Σύνολο	100,0

Πίνακας 4 - Προσδιορισμός διάμεσου διαστήματος
Έτσι, ο αριθμητικός μέσος όρος, ο τρόπος λειτουργίας και ο διάμεσος μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως γενικευμένο χαρακτηριστικό των τιμών ενός συγκεκριμένου χαρακτηριστικού για μονάδες ενός ταξινομημένου πληθυσμού.
Το κύριο χαρακτηριστικό του κέντρου διανομής είναι ο αριθμητικός μέσος όρος, ο οποίος χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι όλες οι αποκλίσεις από αυτό (θετικές και αρνητικές) αθροίζονται στο μηδέν. Η διάμεσος χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι το άθροισμα των αποκλίσεων από αυτήν στο συντελεστή είναι ελάχιστο και ο τρόπος είναι η τιμή του χαρακτηριστικού που εμφανίζεται πιο συχνά.
Ο λόγος του τρόπου λειτουργίας, του μέσου όρου και του αριθμητικού μέσου όρου υποδεικνύει τη φύση της κατανομής του χαρακτηριστικού στο σύνολο και μας επιτρέπει να εκτιμήσουμε την ασυμμετρία του. Στις συμμετρικές κατανομές συμπίπτουν και τα τρία χαρακτηριστικά. Όσο μεγαλύτερη είναι η απόκλιση μεταξύ του τρόπου λειτουργίας και του αριθμητικού μέσου όρου, τόσο πιο ασύμμετρη είναι η σειρά. Για μέτρια ασύμμετρες σειρές, η διαφορά μεταξύ του τρόπου λειτουργίας και του αριθμητικού μέσου όρου είναι περίπου τρεις φορές μεγαλύτερη από τη διαφορά μεταξύ της διάμεσης και του μέσου όρου, δηλ.:
|Mo –`x| = 3 |Εγώ –`x|.

Προσδιορισμός τρόπου λειτουργίας και διάμεσου με γραφική μέθοδο

Ο τρόπος λειτουργίας και η διάμεσος σε μια σειρά διαστήματος μπορούν να προσδιοριστούν γραφικά. Ο τρόπος λειτουργίας καθορίζεται από το ιστόγραμμα κατανομής. Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε το ψηλότερο ορθογώνιο, το οποίο σε αυτή την περίπτωση είναι modal. Έπειτα συνδέουμε τη δεξιά κορυφή του τροπικού ορθογωνίου με την επάνω δεξιά γωνία του προηγούμενου ορθογωνίου. Και η αριστερή κορυφή του τροπικού ορθογωνίου - με την επάνω αριστερή γωνία του επόμενου ορθογωνίου. Από το σημείο τομής τους χαμηλώνουμε την κάθετη προς τον άξονα της τετμημένης. Η τετμημένη του σημείου τομής αυτών των γραμμών θα είναι ο τρόπος κατανομής (Εικ. 5.3).

Ρύζι. 5.3. Γραφικός προσδιορισμός του τρόπου λειτουργίας με χρήση ιστογράμματος.

Ρύζι. 5.4. Γραφικός προσδιορισμός της διάμεσης τιμής με αθροιστική
Για να προσδιοριστεί η διάμεσος από ένα σημείο της κλίμακας συσσωρευμένων συχνοτήτων (συχνοτήτων) που αντιστοιχεί στο 50%, χαράσσεται μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα της τετμημένης έως ότου τέμνεται με τη σώρευση. Στη συνέχεια, από το σημείο τομής, μια κάθετη χαμηλώνεται στον άξονα x. Η τετμημένη του σημείου τομής είναι η διάμεσος.

τεταρτημόρια, δεκαδικά, εκατοστημόρια

Ομοίως, με την εύρεση της διάμεσης τιμής στη σειρά παραλλαγής της διανομής, μπορείτε να βρείτε την τιμή του χαρακτηριστικού για οποιαδήποτε μονάδα της σειράς κατάταξης. Έτσι, για παράδειγμα, μπορείτε να βρείτε την τιμή του χαρακτηριστικού για μονάδες που διαιρούν μια σειρά σε τέσσερα ίσα μέρη, σε 10 ή 100 μέρη. Αυτές οι τιμές ονομάζονται "τεταρτημόρια", "δεκατιανό", "εκατοστημόρια".
Τα τεταρτημόρια αντιπροσωπεύουν την τιμή ενός χαρακτηριστικού που χωρίζει τον ταξινομημένο πληθυσμό σε 4 ίσα μέρη.
Υπάρχει ένα κατώτερο τεταρτημόριο (Q 1), που διαχωρίζει το ¼ του πληθυσμού με τις χαμηλότερες τιμές του χαρακτηριστικού, και ένα ανώτερο τεταρτημόριο (Q 3), που διαχωρίζει το ¼ του τμήματος με τις υψηλότερες τιμές του χαρακτηριστικού. Αυτό σημαίνει ότι το 25% των μονάδων στον πληθυσμό θα είναι μικρότερο σε τιμή Q 1 . Το 25% των μονάδων θα περιέχεται μεταξύ Q 1 και Q 2 . Το 25% είναι μεταξύ Q 2 και Q 3 και το υπόλοιπο 25% υπερβαίνει το Q 3. Το μεσαίο τεταρτημόριο του Q2 είναι το διάμεσο.
Για τον υπολογισμό των τεταρτημορίων χρησιμοποιώντας μια σειρά διαστημάτων διακύμανσης, χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι τύποι:

,
Οπου x Q 1– το κατώτερο όριο του διαστήματος που περιέχει το κατώτερο τεταρτημόριο (το διάστημα καθορίζεται από τη συσσωρευμένη συχνότητα, το πρώτο που υπερβαίνει το 25%).
x Q 3– το κατώτερο όριο του διαστήματος που περιέχει το ανώτερο τεταρτημόριο (το διάστημα καθορίζεται από τη συσσωρευμένη συχνότητα, το πρώτο που υπερβαίνει το 75%).
Εγώ– μέγεθος διαστήματος
S Q 1-1– συσσωρευμένη συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του διαστήματος που περιέχει το κατώτερο τεταρτημόριο·
S Q 3-1– συσσωρευμένη συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του διαστήματος που περιέχει το ανώτερο τεταρτημόριο·
f Q 1– συχνότητα του διαστήματος που περιέχει το κατώτερο τεταρτημόριο·
f Q 3– συχνότητα του διαστήματος που περιέχει το ανώτερο τεταρτημόριο.
Ας εξετάσουμε τον υπολογισμό του κάτω και του άνω τεταρτημορίου σύμφωνα με τα δεδομένα του Πίνακα. 5.10. Το κατώτερο τεταρτημόριο είναι στην περιοχή 60 – 80, η αθροιστική συχνότητα του οποίου είναι 33,5%. Το ανώτερο τεταρτημόριο βρίσκεται στην περιοχή 160 – 180 με συσσωρευμένη συχνότητα 75,8%. Λαμβάνοντας αυτό υπόψη, παίρνουμε:
,
.
Εκτός από τα τεταρτημόρια, τα δεκατιανά μπορούν να προσδιοριστούν στα εύρη διακύμανσης της κατανομής - επιλογές που διαιρούν τις ταξινομημένες σειρές παραλλαγών σε δέκα ίσα μέρη. Το πρώτο δεκαδικό (d 1) διαιρεί τον πληθυσμό σε αναλογία 1/10 προς 9/10, το δεύτερο δεκαδικό (d 1) - σε αναλογία 2/10 προς 8/10, κ.λπ.
Υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους τύπους:

.
Οι χαρακτηριστικές τιμές που χωρίζουν τη σειρά σε εκατό μέρη ονομάζονται εκατοστημόρια. Οι λόγοι διάμεσων, τεταρτημορίων, δεκαδικών και εκατοστημόνων παρουσιάζονται στο Σχήμα. 5.5.

Slepnev Pavel

Στο μάθημα της άλγεβρας της 7ης τάξης, το εγχειρίδιο που επιμελήθηκε ο Telyakovsky προσφέρει υλικό από στατιστικά στοιχεία «Ο αριθμητικός μέσος όρος, το εύρος και ο τρόπος λειτουργίας». Ο μαθητής στην εργασία του προσφέρει παραδείγματα για την εξέταση αυτού του θέματος που πρότειναν οι συμμαθητές του.

Κατεβάστε:

Προεπισκόπηση:

MU Τμήμα Παιδείας MO "Tarbagatai area"

MBOU "Zavodskaya OOSH"

"Αριθμητικός μέσος όρος, εύρος και τρόπος λειτουργίας"

Συμπλήρωσε: Slepnev Pavel, μαθητής της 7ης τάξης

Επιστημονικός Σύμβουλος:

Ulakhanova Marina Rodionovna,

καθηγητής μαθηματικών

έτος 2012

Σελίδα εισαγωγής 3

Κύριο μέρος Σελίδα 4-9

Θεωρία του ζητήματος σελ. 4-6

Μίνι-έργα σελ. 7-9

Συμπέρασμα Σελίδα 9

Αναφορές Σελίδα 10

Εισαγωγή

Συνάφεια

Αυτή τη σχολική χρονιά ξεκινήσαμε να μελετάμε δύο μαθήματα: άλγεβρα και γεωμετρία. Όταν μελετάμε άλγεβρα, κάποια πράγματα μου είναι γνωστά από τα μαθήματα της Ε' και Στ' δημοτικού, κάποια τα μελετάμε πιο διεξοδικά και σε βάθος, μαθαίνουμε πολλά νέα πράγματα. Αυτό που είναι νέο για μένα όταν μελετώ την άλγεβρα είναι η εξοικείωση με ορισμένα στατιστικά χαρακτηριστικά: εύρος και λειτουργία. Έχουμε ήδη συναντήσει τον αριθμητικό μέσο όρο νωρίτερα. Αποδείχθηκε επίσης ενδιαφέρον ότι αυτά τα χαρακτηριστικά χρησιμοποιούνται όχι μόνο στα μαθήματα μαθηματικών, αλλά και στη ζωή, στην πράξη (στην παραγωγή, στη γεωργία, στον αθλητισμό κ.λπ.).

Διατύπωση του προβλήματος

Όταν λύναμε προβλήματα για αυτό το σημείο στην τάξη, προέκυψε η ιδέα να δημιουργήσουμε μόνοι μας τα προβλήματα και να προετοιμάσουμε παρουσιάσεις για αυτά, δηλαδή να ξεκινήσουμε κάπως να δημιουργούμε το δικό μας βιβλίο προβλημάτων. Ο καθένας έρχεται με ένα πρόβλημα, κάνει μια παρουσίαση για αυτό, σαν να δουλεύει ο καθένας στο δικό του μίνι έργο και στην τάξη λύνουμε τα πάντα μαζί και το συζητάμε. Αν γίνουν λάθη, τα διορθώνουμε. Και στο τέλος, υπερασπιστείτε δημόσια αυτά τα μίνι έργα.

Σκοπός της εργασίας μου: μελέτη στατιστικών.

Στόχοι: ξεκινήστε την ανάπτυξη ενός βιβλίου προβλημάτων στατιστικών με τη μορφή παρουσιάσεων σε υπολογιστή.

Αντικείμενο έρευνας: στατιστική.

Αντικείμενο μελέτης: στατιστικά χαρακτηριστικά (αριθμητικός μέσος όρος, εύρος, τρόπος λειτουργίας).

Ερευνητικές μέθοδοι:

Μελέτη βιβλιογραφίας για αυτό το θέμα.
Ανάλυση δεδομένων.
Χρήση πόρων του Διαδικτύου.
Χρήση Power Point.
Συνοψίζοντας το υλικό που συλλέχτηκε για αυτό το θέμα.

Κύριο μέρος.

Θεωρία του ζητήματος

Κατά τη μελέτη της ενότητας «Στατιστικά χαρακτηριστικά» γνωρίσαμε τις ακόλουθες έννοιες: αριθμητικός μέσος όρος, εύρος, τρόπος. Αυτά τα χαρακτηριστικά χρησιμοποιούνται στις στατιστικές. Αυτή η επιστήμη μελετά το μέγεθος των επιμέρους πληθυσμιακών ομάδων της χώρας και των περιοχών της, την παραγωγή και κατανάλωση διαφόρων τύπων προϊόντων, τη μεταφορά αγαθών και επιβατών με διάφορους τρόπους μεταφοράς, φυσικούς πόρους κ.λπ.

«Η στατιστική ξέρει τα πάντα», υποστήριξαν ο Ilf και ο Petrov στο διάσημο μυθιστόρημά τους «The Twelve Chairs» και συνέχισαν: «Είναι γνωστό πόσο φαγητό τρώει ο μέσος πολίτης της δημοκρατίας ετησίως... Είναι γνωστό πόσοι κυνηγοί, μπαλαρίνες, μηχανές, ποδήλατα, μνημεία υπάρχουν στη χώρα, φάροι και ραπτομηχανές... Πόση ζωή, γεμάτη θέρμη, πάθη και σκέψεις, μας κοιτάζει από στατιστικούς πίνακες!...» Αυτή η ειρωνική περιγραφή δίνει μια αρκετά ακριβή ιδέα statistics (από το λατινικό status - κατάσταση) - η επιστήμη που μελετά, επεξεργάζεται και αναλύει ποσοτικά δεδομένα για μια μεγάλη ποικιλία μαζικών φαινομένων στη ζωή.

Οι οικονομικές στατιστικές μελετούν τις αλλαγές στις τιμές, την προσφορά και τη ζήτηση αγαθών, προβλέπουν την ανάπτυξη και τη μείωση της παραγωγής και της κατανάλωσης.

Οι ιατρικές στατιστικές μελετούν την αποτελεσματικότητα διαφόρων φαρμάκων και μεθόδων θεραπείας, την πιθανότητα εμφάνισης μιας συγκεκριμένης ασθένειας ανάλογα με την ηλικία, το φύλο, την κληρονομικότητα, τις συνθήκες διαβίωσης, τις κακές συνήθειες και προβλέπει την εξάπλωση των επιδημιών.

Οι δημογραφικές στατιστικές μελετούν το ποσοστό γεννήσεων, το μέγεθος του πληθυσμού και τη σύνθεσή του (ηλικία, εθνική, επαγγελματική).

Υπάρχουν επίσης οικονομικά, φορολογικά, βιολογικά και μετεωρολογικά στατιστικά στοιχεία.

Στο μάθημα της σχολικής άλγεβρας, εξετάζουμε τις έννοιες και τις μεθόδους της περιγραφικής στατιστικής, που ασχολείται με την πρωτογενή επεξεργασία πληροφοριών και τον υπολογισμό των πιο σημαντικών αριθμητικών χαρακτηριστικών. Σύμφωνα με τον Άγγλο στατιστικολόγο R. Fisher: «Η στατιστική μπορεί να χαρακτηριστεί ως η επιστήμη της μείωσης και της ανάλυσης υλικού που λαμβάνεται από παρατηρήσεις». Ολόκληρο το σύνολο των αριθμητικών δεδομένων που λαμβάνονται στο δείγμα μπορεί (υπό όρους) να αντικατασταθεί από πολλές αριθμητικές παραμέτρους, μερικές από τις οποίες έχουμε ήδη εξετάσει στα μαθήματα - αριθμητικός μέσος όρος, εύρος, λειτουργία. Τα αποτελέσματα των στατιστικών μελετών χρησιμοποιούνται ευρέως για πρακτικά και επιστημονικά συμπεράσματα, επομένως είναι σημαντικό να μπορούμε να προσδιορίσουμε αυτά τα στατιστικά χαρακτηριστικά.

Στατιστικά χαρακτηριστικά βρίσκονται παντού αυτές τις μέρες. Για παράδειγμα, η απογραφή πληθυσμού. Χάρη σε αυτή την απογραφή, το κράτος θα γνωρίζει πόσα χρήματα χρειάζονται για την ανέγερση κατοικιών, σχολείων, νοσοκομείων, πόσα άτομα χρειάζονται στέγη, πόσα παιδιά υπάρχουν στην οικογένεια, τον αριθμό των ανέργων, τα επίπεδα μισθών κ.λπ. Τα αποτελέσματα αυτής της απογραφής θα συγκριθούν με την τελευταία, θα δουν αν η χώρα έχει βελτιωθεί σε αυτό το διάστημα ή η κατάσταση έχει χειροτερέψει, θα είναι δυνατή η σύγκριση των δεδομένων με τα αποτελέσματα σε άλλες χώρες. Η μόδα παίζει μεγάλο ρόλο στη βιομηχανία. Για παράδειγμα, ένα προϊόν που έχει μεγάλη ζήτηση θα πωλείται πάντα και τα εργοστάσια θα έχουν πολλά χρήματα. Και υπάρχουν πολλά τέτοια παραδείγματα.

Τα αποτελέσματα των στατιστικών μελετών χρησιμοποιούνται ευρέως για πρακτικά και επιστημονικά συμπεράσματα.

Ορισμός 1. Ο αριθμητικός μέσος όρος μιας σειράς αριθμών είναι το πηλίκο της διαίρεσης του αθροίσματος αυτών των αριθμών με τον αριθμό των όρων.

Παράδειγμα: Κατά τη μελέτη του φόρτου εργασίας, εντοπίστηκε μια ομάδα 12 μαθητών της 7ης τάξης. Τους ζητήθηκε να σημειώσουν μια συγκεκριμένη ημέρα τον χρόνο (σε λεπτά) που αφιερώθηκε στην άλγεβρα για το σπίτι. Λάβαμε τα ακόλουθα στοιχεία:

23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25. Με αυτήν τη σειρά δεδομένων, μπορείτε να προσδιορίσετε πόσα λεπτά, κατά μέσο όρο, ξόδεψαν οι μαθητές σε εργασίες για την άλγεβρα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να προσθέσετε τους υποδεικνυόμενους 12 αριθμούς και να διαιρέσετε το άθροισμα που προκύπτει

στις 12: ==27.

Ο αριθμός 27 που προκύπτει ονομάζεται αριθμητικός μέσος όρος της υπό εξέταση σειράς αριθμών.

Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι ένα σημαντικό χαρακτηριστικό μιας σειράς αριθμών, αλλά μερικές φορές είναι χρήσιμο να λάβουμε υπόψη και άλλουςμέση τιμή.

Ορισμός 2. Ο τρόπος λειτουργίας μιας σειράς αριθμών είναι ο αριθμός που εμφανίζεται σε μια δεδομένη σειρά πιο συχνά από άλλους.

Παράδειγμα: Όταν αναλύουμε πληροφορίες σχετικά με το χρόνο που αφιερώνουν οι μαθητές στην εργασία της άλγεβρας, μπορεί να μας ενδιαφέρει όχι μόνο ο αριθμητικός μέσος όρος και το εύρος της λαμβανόμενης σειράς δεδομένων, αλλά και άλλοι δείκτες. Για παράδειγμα, είναι ενδιαφέρον να γνωρίζουμε ποια είναι η τυπική κατανάλωση χρόνου για μια επιλεγμένη ομάδα μαθητών, π.χ. ποιος αριθμός εμφανίζεται πιο συχνά στη σειρά δεδομένων. Είναι εύκολο να δούμε ότι στο παράδειγμά μας αυτός ο αριθμός είναι 25. Λένε ότι ο αριθμός 25 είναι ο τρόπος λειτουργίας της σειράς που εξετάζουμε.

Μια σειρά αριθμών μπορεί να έχει περισσότερες από μία λειτουργίες ή μπορεί να μην έχει καθόλου λειτουργία. Για παράδειγμα, στη σειρά των αριθμών 47, 46, 50, 47, 52, 49, 45, 43, 54, 52, 47, 52, δύο τρόποι είναι οι αριθμοί 47 και 52, αφού ο καθένας από αυτούς εμφανίζεται τρεις φορές στο σειρές και άλλοι αριθμοί - λιγότεροι από τρεις φορές.

Δεν υπάρχει λειτουργία στις σειρές αριθμών 69, 68, 66, 70, 67, 62, 71, 74, 63, 73, 72.

Ο τρόπος λειτουργίας μιας σειράς δεδομένων βρίσκεται συνήθως όταν κάποιος θέλει να προσδιορίσει κάποιο τυπικό δείκτη. Η λειτουργία είναι ένας δείκτης που χρησιμοποιείται ευρέως στις στατιστικές. Μία από τις πιο κοινές χρήσεις της μόδας είναι η μελέτη της ζήτησης. Για παράδειγμα, όταν αποφασίζετε σε τι συσκευασίες βάρους να συσκευάσετε το βούτυρο, ποιες πτήσεις να ανοίξετε κ.λπ., μελετάται πρώτα η ζήτηση και προσδιορίζεται η μόδα - η πιο κοινή σειρά.

Ωστόσο, η εύρεση του αριθμητικού μέσου όρου ή του τρόπου λειτουργίας δεν επιτρέπει πάντα την εξαγωγή αξιόπιστων συμπερασμάτων με βάση στατιστικά δεδομένα. εάν έχουμε μια σειρά δεδομένων, τότε για να βγάλουμε έγκυρα συμπεράσματα και αξιόπιστες προβλέψεις με βάση αυτά, εκτός από τις μέσες τιμές, πρέπει να υποδείξουμε και πόσο διαφέρουν τα χρησιμοποιούμενα δεδομένα μεταξύ τους. Ένα στατιστικό μέτρο της διαφοράς ή της διασποράς των δεδομένων είναι το εύρος.

Ορισμός 3. Το εύρος μιας σειράς αριθμών είναι η διαφορά μεταξύ του μεγαλύτερου και του μικρότερου από αυτούς τους αριθμούς.

Παράδειγμα: Στο παραπάνω παράδειγμα, διαπιστώσαμε ότι, κατά μέσο όρο, οι μαθητές αφιέρωσαν 27 λεπτά για την άλγεβρα για το σπίτι. Ωστόσο, η ανάλυση της σειράς δεδομένων δείχνει ότι ο χρόνος που αφιερώνουν ορισμένοι μαθητές διαφέρει σημαντικά από 27 λεπτά, δηλ. από τον αριθμητικό μέσο όρο. Η υψηλότερη κατανάλωση είναι 37 λεπτά και η χαμηλότερη είναι 18 λεπτά. Η διαφορά μεταξύ της υψηλότερης και της χαμηλότερης κατανάλωσης χρόνου είναι 19 λεπτά. Σε αυτή την περίπτωση, εξετάζεται ένα άλλο στατιστικό χαρακτηριστικό - εμβέλεια. Το εύρος μιας σειράς βρίσκεται όταν κάποιος θέλει να προσδιορίσει πόσο μεγάλη είναι η εξάπλωση των δεδομένων σε μια σειρά.

Μίνι έργα

Και τώρα θα ήθελα να παρουσιάσω τα αποτελέσματα της δουλειάς μας: μίνι-έργα για τη δημιουργία ενός βιβλίου προβλημάτων στατιστικών.

Εργάζομαι στον εκθεσιακό χώρο Super-auto ως επικεφαλής διευθυντής του τμήματος πωλήσεων. Το κομμωτήριό μας παρείχε αυτοκίνητα για συμμετοχή στο παιχνίδι τετρακίνησης. Πέρυσι στην έκθεση και πώληση τα αυτοκίνητά μας είχαν επιτυχία! Τα αποτελέσματα των πωλήσεων έχουν ως εξής:

Αυτοκίνητα που πουλήθηκαν την πρώτη μέρα	Αυτοκίνητα πουλήθηκαν τη δεύτερη μέρα	Πωλήθηκαν αυτοκίνητα την τρίτη μέρα	Αυτοκίνητα που πωλήθηκαν την τέταρτη μέρα	Αυτοκίνητα που πωλήθηκαν την πέμπτη μέρα

Το τμήμα πωλήσεων πρέπει να συνοψίσει τα αποτελέσματα της έκθεσης:

Πόσα αυτοκίνητα πωλούνταν την ημέρα κατά μέσο όρο;
Ποια είναι η διαφορά στον αριθμό των αυτοκινήτων κατά την περίοδο έκθεσης και πώλησης;
Πόσα αυτοκίνητα πωλούνταν συχνότερα την ημέρα;

Απάντηση: κατά μέσο όρο πωλούνταν 150 αυτοκίνητα την ημέρα, το εύρος του αριθμού των αυτοκινήτων που πωλήθηκαν ήταν 150, τις περισσότερες φορές πωλούνταν 100 αυτοκίνητα την ημέρα.

Εγώ, η Anastasia Volochkova, προσκλήθηκα στην κριτική επιτροπή για τον τελικό του διαγωνισμού Ice and Fire. Ο διαγωνισμός έγινε στην πόλη της Αγίας Πετρούπολης. Τρία ζευγάρια από τους πιο δυνατούς σκέιτερ έφτασαν στους τελικούς: 1 ζευγάρι. Batueva Alina και Khlebodarov Kirill, 2ο ζευγάρι. Selyanskaya Yulia και Kushnarev Pavel, 3 ζευγάρια. Zaigraeva Anastasia και Afanasyev Dmitry. Κριτική επιτροπή: Anastasia Volochkova, Elena Malysheva, Alexey Dalmatov. Η κριτική επιτροπή έδωσε τις ακόλουθες βαθμολογίες:

Βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο, το εύρος και τον τρόπο λειτουργίας στη σειρά εκτιμήσεων για κάθε ζεύγος.

Απάντηση:

Αποτελέσματα	Μέση τιμή αριθμητική	Πεδίο εφαρμογής	Μόδα
1 ζευγάρι	5.43
2 ζευγάρια	5.27
3 ζευγάρια	5.23		Οχι

Φέτος επισκέφτηκα την Αγία Πετρούπολη για έναν διαγωνισμό χορού στην αίθουσα χορού. Τρία όμορφα ζευγάρια έλαβαν μέρος στον διαγωνισμό: η Έλενα Σουσέντσοβα και ο Κιρίλ Χλεμποντάροφ, η Αλίνα Μπατούεβα και ο Πάβελ Σλέπνεφ, η Βικτόρια Τζανιασβίλι και ο Βαλέρι Τκάτσεφ.

Τα ζευγάρια έλαβαν τις ακόλουθες βαθμολογίες για τις εμφανίσεις τους:

Βρείτε τη μέση εκτίμηση, το εύρος και τη λειτουργία.

Απάντηση:

Ζευγάρια	Μέση τιμή	Πεδίο εφαρμογής	Μόδα
№1	4,42
№2	4,37
№3	4,37

Είμαι διευθυντής του καταστήματος ρούχων και αξεσουάρ μόδας «Fashion». Το κατάστημα έχει καλό κέρδος. Στοιχεία πωλήσεων για πέρυσι:

915t.r.

1 εκατομμύριο 150 ρούβλια.

1 εκατομμύριο

980t.r.

2 εκατομμύρια

3t.r.

2 εκατομμύρια

950t.r.

3 εκατομμύρια

950t.r.

3 εκατομμύρια

100t.r.

2 εκατομμύρια

950t.r.

3 εκατομμύρια

750t.r.

2 εκατομμύρια

950t.r.

4 εκατομμύρια

250t.r.

Τους πρώτους 2-3 μήνες το κέρδος έφτασε τα 2 εκατομμύρια τον μήνα. Στη συνέχεια το κέρδος αυξήθηκε στα 4 εκατ. Οι πιο επιτυχημένοι μήνες ήταν: Δεκέμβριος και Μάιος. Τον Μάιο αγοράζαμε κυρίως φορέματα για χορό και τον Δεκέμβριο για τις γιορτές της Πρωτοχρονιάς.

Ερώτηση προς τον αρχιλογιστή μου: ποια είναι τα αποτελέσματα της δουλειάς μας για το έτος;

Απάντηση:

Μέση τιμή	2.745.000 RUB
Πεδίο εφαρμογής	4.158.500 RUB
Μόδα	2.950.000 RUB

Οργανώσαμε ένα εργαστήριο συντονισμού «Turbo». Κατά τη διάρκεια της πρώτης εβδομάδας της εργασίας μας, κερδίσαμε: την πρώτη μέρα - 120.000 $, τη δεύτερη ημέρα - 350.000 $, την τρίτη ημέρα - 99.000 $, την τέταρτη ημέρα - 120.000 $. Υπολογίστε ποιο είναι το μέσο εισόδημά μας ανά ημέρα, ποιο είναι το χάσμα μεταξύ των υψηλότερων και των χαμηλότερων αποδοχών και ποιο ποσό επαναλαμβάνεται συχνότερα;

Απάντηση: αριθμητικός μέσος όρος – 172.250 $, εύρος – 251.000 $, τρόπος λειτουργίας – 120.000 $.

συμπέρασμα

Εν κατακλείδι, θέλω να πω ότι μου αρέσει αυτό το θέμα. Τα στατιστικά χαρακτηριστικά είναι πολύ βολικά και μπορούν να χρησιμοποιηθούν παντού. Γενικά συγκρίνουν, προσπαθούν για πρόοδο και βοηθούν να μάθουν τη γνώμη του κόσμου. Κατά τη διάρκεια της εργασίας πάνω σε αυτό το θέμα, εξοικειώθηκα με την επιστήμη της στατιστικής, έμαθα κάποιες έννοιες (αριθμητικός μέσος όρος, εύρος και τρόπος) όπου μπορεί να εφαρμοστεί αυτή η επιστήμη και επέκτεινα τις γνώσεις μου στην επιστήμη των υπολογιστών. Νομίζω ότι τα προβλήματά μας ως παραδείγματα για τον έλεγχο αυτών των εννοιών θα είναι χρήσιμα σε άλλους! Θα συνεχίσουμε να εξοικειωνόμαστε με αυτή την επιστήμη και να δημιουργούμε τα δικά μας προβλήματα!

Έτσι το ταξίδι μου στον κόσμο των μαθηματικών, της πληροφορικής και της στατιστικής τελείωσε. Αλλά νομίζω ότι δεν είναι το τελευταίο. Υπάρχουν πολλά ακόμα που θέλω να μάθω! Όπως είπε ο Galileo Galilei: «Η φύση διατυπώνει τους νόμους της στη γλώσσα των μαθηματικών». Και θέλω να κατακτήσω αυτή τη γλώσσα!

Βιβλιογραφία

Bunimovich E.A., Bulychev V.A. « Πιθανότητες και στατιστικές σε σχολικό μάθημα μαθηματικών γενικής εκπαίδευσης», Μ.: Παιδαγωγικό Πανεπιστήμιο «Πρώτη Σεπτεμβρίου», 2005
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. «Άλγεβρα, 7η τάξη», M: «Prosveshcheniye», 2009
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. « Αλγεβρα. Στοιχεία στατιστικής και θεωρία πιθανοτήτων», τάξεις 7 – 9. – Μ.: Εκπαίδευση, 2005.

Ανασκόπηση

Αντικείμενο της έρευνας του μαθητή είναι η στατιστική.

Αντικείμενο της μελέτης είναι τα στατιστικά χαρακτηριστικά (αριθμητικός μέσος όρος, εύρος, τρόπος λειτουργίας).

Ο μαθητής μελέτησε επιστημονικές πηγές και πηγές του Διαδικτύου για να εξοικειωθεί με τη θεωρία του ζητήματος.

Το επιλεγμένο θέμα είναι σχετικό για μαθητές που δείχνουν ενδιαφέρον για τα μαθηματικά, την επιστήμη των υπολογιστών και τη στατιστική. Για την ηλικία του αναλύθηκε επαρκές υλικό, επιλέχθηκαν δεδομένα και γενικεύθηκαν. Ο μαθητής έχει επαρκείς γνώσεις ΤΠΕ.

Η εργασία ολοκληρώνεται σύμφωνα με τις απαιτήσεις.

Στο τέλος της μελέτης, εξάγεται ένα συμπέρασμα και παρουσιάζεται ένα πρακτικό προϊόν: παρουσιάσεις προβλημάτων στη στατιστική. Χαίρομαι που ένας άνθρωπος είναι τόσο παθιασμένος με τα μαθηματικά.

Επιστημονικός υπεύθυνος: Ulakhanova MR,

καθηγητής μαθηματικών

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Για πειραματικά δεδομένα που λαμβάνονται από ένα δείγμα, μπορεί κανείς να υπολογίσει τη σειρά αριθμητικά χαρακτηριστικά (μέτρα).

Η λειτουργία είναι η αριθμητική τιμή που εμφανίζεται πιο συχνά στο δείγμα. Η μόδα μερικές φορές αναφέρεται ως Μο.

Για παράδειγμα, στην τιμή σειράς (2 6 6 8 9 9 9 10) η λειτουργία είναι 9 επειδή το 9 εμφανίζεται πιο συχνά από οποιονδήποτε άλλο αριθμό.

Η λειτουργία αντιπροσωπεύει την τιμή που εμφανίζεται πιο συχνά (9 σε αυτό το παράδειγμα) και όχι τη συχνότητα εμφάνισης αυτής της τιμής (3 σε αυτό το παράδειγμα).

Η μόδα βρίσκεται σύμφωνα με τους κανόνες

1. Στην περίπτωση που όλες οι τιμές στο δείγμα εμφανίζονται εξίσου συχνά, είναι γενικά αποδεκτό ότι αυτή η σειρά δειγμάτων δεν έχει λειτουργία.

Για παράδειγμα, 556677 - δεν υπάρχει μόδα σε αυτό το δείγμα.

2. Όταν δύο γειτονικές (γειτονικές) τιμές έχουν την ίδια συχνότητα και η συχνότητά τους είναι μεγαλύτερη από τις συχνότητες οποιωνδήποτε άλλων τιμών, ο τρόπος λειτουργίας υπολογίζεται ως ο αριθμητικός μέσος όρος αυτών των δύο τιμών.

Για παράδειγμα, στο δείγμα 1 2 2 2 5 5 5 6 οι συχνότητες των παρακείμενων τιμών 2 και 5 συμπίπτουν και είναι ίσες με 3. Αυτή η συχνότητα είναι μεγαλύτερη από τη συχνότητα άλλων τιμών 1 και 6 (για τις οποίες είναι ίσο με 1).

Κατά συνέπεια, η λειτουργία αυτής της σειράς θα είναι .

3) Εάν δύο μη γειτονικές (όχι γειτονικές) τιμές στο δείγμα έχουν ίσες συχνότητες που είναι μεγαλύτερες από τις συχνότητες οποιασδήποτε άλλης τιμής, τότε διακρίνονται δύο τρόποι λειτουργίας. Για παράδειγμα, στη σειρά 10 11 11 11 12 13 14 14 14 17 οι λειτουργίες είναι οι τιμές 11 και 14. Σε αυτήν την περίπτωση, το δείγμα λέγεται ότι είναι διτροπικός.

Μπορεί επίσης να υπάρχουν οι λεγόμενες πολυτροπικές κατανομές που έχουν περισσότερες από δύο κορυφές (modes)

4) Εάν η λειτουργία εκτιμάται από ένα σύνολο ομαδοποιημένων δεδομένων, τότε για να βρείτε τη λειτουργία είναι απαραίτητο να προσδιορίσετε την ομάδα με την υψηλότερη συχνότητα του χαρακτηριστικού. Αυτή η ομάδα ονομάζεται τροπική ομάδα.

Διάμεσος - συμβολίζεται Mehκαι ορίζεται ως μια τιμή σε σχέση με την οποία τουλάχιστον το 50% των τιμών του δείγματος είναι μικρότερες από αυτήν και τουλάχιστον το 50% είναι περισσότερες.

Η διάμεσος είναι η τιμή που διαιρεί ένα ταξινομημένο σύνολο δεδομένων στο μισό.

Πρόβλημα 1. Βρείτε τη διάμεσο του δείγματος 9 3 5 8 4 11 13

Λύση Πρώτα, ας ταξινομήσουμε το δείγμα με βάση τις τιμές που περιλαμβάνονται σε αυτό. Παίρνουμε, 3 4 5 8 9 11 13. Εφόσον υπάρχουν επτά στοιχεία στο δείγμα, το τέταρτο στοιχείο κατά σειρά θα έχει τιμή μεγαλύτερη από τα τρία πρώτα και μικρότερη από τα τρία τελευταία. Έτσι, η διάμεσος θα είναι το τέταρτο στοιχείο - 8

Πρόβλημα 2. Βρείτε τη διάμεσο δείγματος 20, 9, 13, 1, 4, 11.

Ας παραγγείλουμε το δείγμα 1, 4, 9, 11, 13, 20 Δεδομένου ότι υπάρχει ζυγός αριθμός στοιχείων, υπάρχουν δύο «μέσες» - 9 και 13. Στην περίπτωση αυτή, η διάμεσος ορίζεται ως ο αριθμητικός μέσος όρος αυτών των τιμών

Μέση τιμή

Ο αριθμητικός μέσος όρος μιας σειράς n αριθμητικών τιμών υπολογίζεται ως

Για να δείξουμε την απάτη αυτού του δείκτη, ας δώσουμε ένα γνωστό παράδειγμα: μια 60χρονη γιαγιά με τέσσερα εγγόνια χωράει σε ένα διαμέρισμα μιας άμαξας: ένα - 4 ετών, δύο - 5 ετών και ένα - 6 χρονών. Ο αριθμητικός μέσος όρος ηλικίας όλων των επιβατών σε αυτό το διαμέρισμα είναι 80/5 = 16. Σε ένα άλλο θάλαμο βρισκόταν μια ομάδα νεαρών: δύο 15χρονοι, ένας 16χρονος και δύο 17χρονοι. Ο μέσος όρος ηλικίας των επιβατών σε αυτό το διαμέρισμα είναι επίσης 80/5 = 16. Έτσι, σύμφωνα με τους αριθμητικούς μέσους όρους, οι επιβάτες αυτών των διαμερισμάτων δεν διαφέρουν. Αλλά αν στραφούμε στον δείκτη τυπικής απόκλισης, αποδεικνύεται ότι η μέση διαφορά σε σχέση με τη μέση ηλικία στην πρώτη περίπτωση θα είναι 24,6 και στη δεύτερη περίπτωση 1.

Επιπλέον, ο μέσος όρος αποδεικνύεται ότι είναι αρκετά ευαίσθητος σε πολύ μικρές ή πολύ μεγάλες τιμές που διαφέρουν από τις κύριες τιμές των μετρούμενων χαρακτηριστικών. Ας έχουν 9 άτομα εισόδημα από 4500 έως 5200 χιλιάδες δολάρια το μήνα. Η αξία του μέσου εισοδήματός τους είναι ίση με 4.900 $ Εάν προσθέσουμε σε αυτήν την ομάδα ένα άτομο με εισόδημα 20.000 χιλιάδες δολάρια το μήνα, τότε ο μέσος όρος ολόκληρης της ομάδας θα μετατοπιστεί και θα αποδειχθεί ίσος με $6.410, αν και κανείς. από ολόκληρο το δείγμα (εκτός από ένα άτομο) λαμβάνει πράγματι ένα τέτοιο ποσό.

Είναι σαφές ότι παρόμοια μετατόπιση, αλλά προς την αντίθετη κατεύθυνση, μπορεί επίσης να επιτευχθεί εάν προσθέσετε σε αυτήν την ομάδα ένα άτομο με πολύ μικρό ετήσιο εισόδημα.

Διάδοση δείγματος

διασπορά ( πεδίο εφαρμογής) δείγματα– τη διαφορά μεταξύ των μέγιστων και ελάχιστων τιμών αυτής της συγκεκριμένης σειράς παραλλαγών. Υποδηλώνεται με το γράμμα R.

Εύρος = μέγιστη τιμή - ελάχιστη τιμή

Είναι σαφές ότι όσο περισσότερο ποικίλλει το μετρούμενο χαρακτηριστικό, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή R και αντίστροφα.

Ωστόσο, μπορεί να συμβεί δύο σειρές δειγμάτων να έχουν και τον μέσο όρο και το εύρος το ίδιο, αλλά η φύση της διακύμανσης σε αυτές τις σειρές θα είναι διαφορετική. Για παράδειγμα, δίνονται δύο δείγματα

Διασπορά

Η διακύμανση είναι το πιο συχνά χρησιμοποιούμενο μέτρο της διασποράς μιας τυχαίας ποσότητας (μεταβλητής).

Η διασπορά είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των τετραγωνικών αποκλίσεων των τιμών μιας μεταβλητής από τη μέση τιμή της