Πώς να βρείτε τη διασταύρωση των επιπέδων. Κατασκευή γραμμής τομής επιπέδων που ορίζονται με διάφορους τρόπους

Υποκατάστημα Sterlitamak

ΠΟΛΙΤΕΙΑ UFA

ΠΕΤΡΕΛΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ»

Οδηγίες για την επίλυση της εργασίας Νο. 3

για φοιτητές ειδικότητας 240801, 240401, 280201

Οι οδηγίες προορίζονται για μαθητές όλων των ειδικοτήτων κατά τη μελέτη του θέματος «Αμοιβαία τομή επιφανειών» και την ολοκλήρωση εργασιών γραφικών στο σπίτι για αυτό το θέμα.

Πριν εργαστεί με μεθοδολογικές οδηγίες, ο μαθητής καλείται να μελετήσει το υλικό της συνιστώμενης βιβλιογραφίας.

1.1 Ο σκοπός της εργασίας είναι να μελετήσει τον τρόπο κατασκευής της γραμμής τομής των επιφανειών.

α) να κατασκευάζει προβολές των γραμμών τομής δεδομένων επιφανειών χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ενδιάμεσων επιπέδων (μορφή Α3).

β) Κατασκευή προβολών γραμμών τομής επιφανειών χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των σφαιρικών ενδιάμεσων (μορφή Α3).

γ) σημειώστε τα χαρακτηριστικά σημεία των γραμμών τομής.

Επιλογές για μεμονωμένες εργασίες δίνονται στο παράρτημα.

2 ΜΕΘΟΔΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

2.1. Σημειώστε (διάταξη) τη μορφή, προβλέποντας την ορθολογική χρήση του πεδίου σχεδίασης.

2.2. Σχεδιάστε σε λεπτές γραμμές με ένα μολύβι τα αρχικά δεδομένα του προβλήματος, βοηθητικές κατασκευαστικές γραμμές και την ευρεθείσα γραμμή τομής των επιφανειών.

2.3. Συμπληρώστε την κύρια επιγραφή (τα περιεχόμενα και οι διαστάσεις φαίνονται στο Σχ. 1)

Ρύζι. Ι. Κύρια επιγραφή

2.4. Οι εργασίες που γίνονται σε λεπτές γραμμές πρέπει να υποβάλλονται στον δάσκαλο για έλεγχο.

2.5. Μετά τον έλεγχο, περιγράψτε το σχέδιο με βάση τις ακόλουθες απαιτήσεις:

2.5.1 Αυτά τα στοιχεία είναι κατασκευασμένα με μαύρο μολύβι, μελάνι ή πάστα με σταθερή κύρια γραμμή (S @ 1 mm).

2.5.2 Οι γραμμές σύνδεσης προβολής και οι άξονες προβολής σχεδιάζονται με μαύρο χρώμα με μια συμπαγή λεπτή γραμμή με μολύβι, μελάνι ή πάστα (S @ 0,5 mm).

2.5.3 Οι γραμμές βοηθητικών κατασκευών γίνονται σε πράσινο ή μπλε χρώμα με συμπαγή λεπτή γραμμή (S @ 0,5 mm) επίσης με μολύβι, μελάνι ή πάστα.

2.5.4 Τα απαιτούμενα στοιχεία κατασκευάζονται με συμπαγή κύρια γραμμή κόκκινου χρώματος (μολύβι, μελάνι, πάστα, μαρκαδόρος, S @ 1 mm), πάχος γραμμής S.

2.6. Υποβάλετε την εργασία σας για υπεράσπιση. Η υπεράσπιση της εργασίας καταγράφεται με την υπογραφή του δασκάλου στη στήλη «Αποδεκτό» και συνοδεύεται από μια αντίστοιχη βαθμολογία, που δίνεται σε μορφή κλάσματος: ο αριθμητής είναι η βαθμολογία για το βάθος μελέτης του θέματος, ο παρονομαστής είναι η βαθμολογία για την ποιότητα της γραφικής εκτέλεσης του σχεδίου.

3 ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ

Η γραμμή τομής των επιφανειών είναι μια καμπύλη που αποτελείται από σημεία που ανήκουν και στις δύο επιφάνειες. Γενικά, είναι μια χωρική καμπύλη που μπορεί να χωριστεί σε δύο ή περισσότερα μέρη. Αυτά τα μέρη μπορεί, ειδικότερα, να είναι επίπεδες καμπύλες. Συνήθως η γραμμή τομής κατασκευάζεται χρησιμοποιώντας τα επιμέρους σημεία της.

Ένας συνηθισμένος τρόπος κατασκευής αυτών των σημείων είναι η μέθοδος των ενδιάμεσων επιφανειών. Τέμνοντας αυτές τις επιφάνειες με κάποια βοηθητική επιφάνεια και προσδιορίζοντας τις γραμμές τομής της με αυτές τις επιφάνειες, στην τομή αυτών των γραμμών παίρνουμε σημεία που ανήκουν στην επιθυμητή γραμμή τομής.

Τις περισσότερες φορές, επίπεδα ή σφαίρες χρησιμοποιούνται ως ενδιάμεσες επιφάνειες, ανάλογα με τις οποίες διακρίνονται οι ακόλουθες μέθοδοι για την κατασκευή σημείων στη γραμμή τομής δύο επιφανειών:

α) τη μέθοδο των βοηθητικών επιπέδων·

β) η μέθοδος των βοηθητικών σφαιρών.

Η χρήση μιας ή άλλης μεθόδου για την κατασκευή της γραμμής τομής των επιφανειών εξαρτάται τόσο από τον τύπο των επιφανειών όσο και από τη σχετική τους θέση.

4 ΜΕΘΟΔΟΣ ΒΟΗΘΗΤΙΚΩΝ ΕΠΙΠΕΔΩΝ

ΙΔΙΩΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Κατά την εύρεση των σημείων της γραμμής τομής της επιφάνειας, είναι απαραίτητο να ακολουθήσετε μια συγκεκριμένη σειρά. Στη γραμμή τομής υπάρχουν σημεία αναφοράς (χαρακτηριστικά) και ενδιάμεσα (τυχαία). Πρώτα από όλα, καθορίζονται τα σημεία αναφοράς, γιατί σας επιτρέπουν να δείτε μέσα σε ποια όρια βρίσκονται οι προεξοχές της γραμμής τομής και πού είναι απαραίτητο να αλλάξετε τη θέση των βοηθητικών ενδιάμεσων επιφανειών.

Τα σημεία αναφοράς περιλαμβάνουν σημεία που βρίσκονται στα περιγράμματα των επιφανειών, τα υψηλότερα και τα χαμηλότερα σημεία, εκείνα που βρίσκονται πιο κοντά στον παρατηρητή και τα πιο απομακρυσμένα από αυτόν, το άκρο αριστερά και δεξιά.

Η μέθοδος των βοηθητικών επιπέδων θα πρέπει να χρησιμοποιείται όταν και οι δύο τεμνόμενες επιφάνειες μπορούν να τέμνονται κατά μήκος γραφικά απλών γραμμών (κύκλοι ή ευθείες) από ένα συγκεκριμένο σύνολο προεξεχόντων επιπέδων (ή, σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, από ένα σύνολο επιπέδων επιπέδου).

Στο Σχ. 2 δείχνει την κατασκευή της γραμμής τομής ενός οριζόντια προεξέχοντος κυλίνδρου με κώνο περιστροφής. Τα σημεία αναφοράς 1 και 2 προσδιορίζονται στην τομή των κύριων μεσημβρινών και των δύο επιφανειών που βρίσκονται στο επίπεδο συμμετρίας. Τα τυχαία σημεία 3,3 1 4, 4 1 βρίσκονται χρησιμοποιώντας οριζόντια επίπεδα επίπεδα S 1 και S 2 που τέμνουν και τις δύο επιφάνειες σε κύκλο. Η μετωπική προβολή της γραμμής τομής κατασκευάζεται σύμφωνα με τους νόμους της επικοινωνίας προβολής.

Στο Σχ. 3, απεικονίζεται η γραμμή τομής του κώνου περιστροφής με τη σφαίρα. Τα σημεία αναφοράς των γραμμών τομής 1 και 2 προσδιορίζονται αμέσως, όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, στη διασταύρωση των γενικών περιγραμμάτων (κύριοι μεσημβρινοί). Τα τυχαία σημεία 5, 5 1 βρίσκονται χρησιμοποιώντας το οριζόντιο επίπεδο του επιπέδου S 3. Τα σημεία ορατότητας 4 και 4 1 καθορίζονται από το επίπεδο S 1 που τέμνει τη σφαίρα στον ισημερινό. Τα σημεία 4 και 4 1 χωρίζουν την οριζόντια προβολή της γραμμής τομής σε ορατά και αόρατα μέρη. Για να κατασκευαστούν τα δύο πιο αριστερά σημεία 3 και 3 1 είναι απαραίτητο από το σημείο 0 (0 " , 0) στη τομή των αξόνων του κώνου και της σφαίρας, χαμηλώστε μια κάθετη στη γεννήτρια του κώνου και μέσω του σημείου Κ " σχεδιάστε το επίπεδο S2. Στη διασταύρωση των αντίστοιχων κύκλων, λαμβάνονται τα σημεία 3 και 3 1 - τα πιο αριστερά. Σχεδιάζοντας μια σειρά από βοηθητικά επίπεδα, μπορείτε να αποκτήσετε οποιοδήποτε αριθμό τυχαίων σημείων που διευκρινίζουν το σχήμα της γραμμής τομής.

Ρύζι. 2. Κατασκευή της γραμμής τομής ενός κυλίνδρου και ενός κώνου

Ρύζι. 3. Κατασκευή της γραμμής τομής του κώνου και της σφαίρας

5 ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΜΕΣΩΝ

Οι σφαιρικοί μεσολαβητές έχουν βρει ευρεία εφαρμογή στην επίλυση προβλημάτων που περιλαμβάνουν την αμοιβαία τομή των επιφανειών. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι:

α) οι προβολές μιας σφαίρας κατασκευάζονται εξαιρετικά απλά.

β) ένας άπειρος αριθμός οικογενειών κύκλων μπορεί να ληφθεί σε μια σφαίρα.

γ) κάθε επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας είναι ένα επίπεδο συμμετρίας,

Η μέθοδος των σφαιρικών μεσολαβητών βασίζεται στο εξής θεώρημα: «Δύο ομοαξονικές επιφάνειες περιστροφής τέμνονται κατά μήκος κύκλων, ο αριθμός των οποίων είναι ίσος με τον αριθμό των σημείων τομής των κύριων μεσημβρινών τους». Ας δοθούν δύο ομοαξονικές επιφάνειες περιστροφής φάκαι ψ fig, 4), οι κύριοι μεσημβρινοί τους ΕΝΑ"Και σι"Κοινά σημεία αυτών των μεσημβρινών 2. και 1 σχηματίζουν, κατά την περιστροφή, κύκλους που είναι κοινοί σε αυτές τις επιφάνειες. Αυτοί οι κύκλοι προβάλλονται στο μετωπικό επίπεδο των προβολών με τη μορφή ευθειών γραμμών, κάθετων στον άξονα περιστροφής και στο οριζόντιο επίπεδο - σε πλήρες μέγεθος. Οποιοδήποτε άλλο τμήμα ιμάντα, για παράδειγμα, με το επίπεδο S, θα δώσει δύο κύκλους διαφορετικής διαμέτρου.

Στη μέθοδο των σφαιρικών μεσολαβητών, οι σφαίρες λαμβάνονται ως μία από τις ομοαξονικές επιφάνειες και οποιαδήποτε επιφάνεια περιστροφής, για παράδειγμα, ένας κώνος, κύλινδρος, σφαίρα, ελλειψοειδές και υπερβολοειδές περιστροφής κ.λπ., λαμβάνεται ως δεύτερη.

Ρύζι. 4. Ομοαξονικές επιφάνειες

Σε αυτήν την περίπτωση, το καθορισμένο θεώρημα λαμβάνει την ακόλουθη διατύπωση: «Εάν το κέντρο της τεμμένης σφαίρας βρίσκεται στον άξονα της επιφάνειας περιστροφής, τότε η σφαίρα τέμνει αυτήν την επιφάνεια σε κύκλο» (Εικ. 5).

Ρύζι. 5. Σφαίρα ομοαξονική με επιφάνειες περιστροφής

Σε όλες τις περιπτώσεις, η σφαίρα τέμνεται με την επιφάνεια της περιστροφής κατά μήκος κύκλων ίσης ή διαφορετικής διαμέτρου, οι οποίοι προβάλλονται σε ευθείες γραμμές κάθετες στον άξονα της επιφάνειας περιστροφής. Η μέθοδος των σφαιρικών ενδιάμεσων έχει δύο ποικιλίες:

α) τη μέθοδο των ομόκεντρων σφαιρών, όταν οι ενδιάμεσες σφαίρες κατασκευάζονται από το ίδιο κέντρο·

β) η μέθοδος των εκκεντρικών σφαιρών, όταν κατασκευάζονται μεσάζοντες από διαφορετικά κέντρα.

Για την επίλυση προβλημάτων με τον πρώτο τρόπο, απαιτούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

ιβ) και οι δύο καθορισμένες επιφάνειες πρέπει να είναι επιφάνειες περιστροφής.

2) οι άξονες και των δύο επιφανειών πρέπει να τέμνονται μεταξύ τους και να βρίσκονται σε ένα κοινό επίπεδο συμμετρίας.

Για την επίλυση προβλημάτων με τον δεύτερο τρόπο (έκκεντρες σφαίρες), οι συνθήκες είναι ελαφρώς διαφορετικές, δηλαδή:

1) μία από τις τεμνόμενες επιφάνειες πρέπει να είναι επιφάνεια περιστροφής και η δεύτερη πρέπει να φέρει μια οικογένεια κυκλικών τμημάτων.

2) Και οι δύο επιφάνειες πρέπει να έχουν κοινό επίπεδο συμμετρίας πάνω στο οποίο προβάλλονται κυκλικά τμήματα με τη μορφή ευθειών.

Το σχήμα 6 δείχνει τον προσδιορισμό της γραμμής τομής δύο επιφανειών περιστροφής (κώνου και κυλίνδρου) χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ομόκεντρων σφαιρών. Το σχέδιο για την επίλυση του προβλήματος έχει ως εξής:

1) πάρτε το σημείο τομής των επιφανειακών αξόνων O (O " , Ο) πίσω από το κέντρο πραγματοποιούνται βοηθητικές ενδιάμεσες σφαίρες.

2) προσδιορίστε τους κύκλους τομής των ενδιάμεσων σφαιρών με καθεμία από τις δεδομένες επιφάνειες χωριστά.

3) βρείτε τα σημεία τομής των κύκλων που προκύπτουν, αυτά τα σημεία ανήκουν στην επιθυμητή γραμμή τομής των επιφανειών.

Η κατασκευή ξεκινά με τον προσδιορισμό των σημείων αναφοράς - τα σημεία τομής των γεννητριών περιγράμματος 1 και 2. Στη συνέχεια, προσδιορίζεται η τιμή της ακτίνας της μεγαλύτερης και της μικρότερης ενδιάμεσης σφαίρας. Το R max είναι ίσο με την απόσταση από το κέντρο O έως το πιο απομακρυσμένο σημείο τομής των περιγραμμάτων Για να προσδιοριστεί η ακτίνα της μικρότερης ενδιάμεσης σφαίρας, R min. από το κέντρο Ο " παράλειψη κανονικών Ο "ΠΡΟΣ ΤΗΝ"Και

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ " Τ " στα περιγράμματα και των δύο επιφανειών. Η τιμή της μεγαλύτερης από τις κανονικές είναι η ακτίνα της μικρότερης ενδιάμεσης σφαίρας. Αυτή η μικρότερη βοηθητική σφαίρα παρέχει ένα άλλο σημείο αναφοράς - το σημείο 5, το οποίο είναι το σημείο ακραίας εκτροπής, η κορυφή της καμπύλης γραμμής τομής. Τα υπόλοιπα σημεία κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας ενδιάμεσες σφαίρες, η ακτίνα των οποίων λαμβάνεται εντός R min

Ρύζι. 7. Κατασκευή γραμμής τομής με χρήση έκκεντρων σφαιρών

Το σχήμα 7 δείχνει τη γραμμή τομής ενός κώνου, ο άξονας του οποίου είναι κάθετος στο οριζόντιο επίπεδο, και το ένα τέταρτο ενός δακτύλου, ο άξονας περιστροφής του οποίου είναι κάθετος στο μετωπικό επίπεδο των προεξοχών. Για τη λύση χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος των εκκεντρικών ενδιάμεσων σφαιρών. Η λύση του προβλήματος ξεκινά με τον προσδιορισμό των σημείων τομής των γραμμών περιγράμματος και των δύο επιφανειών. Τα σημεία 1,2,3 προσδιορίζονται απευθείας από το σχέδιο μετωπικής προβολής και το σημείο 4 της τομής των βάσεων των επιφανειών βρίσκεται στην οριζόντια προβολή. Για την κατασκευή ενδιάμεσων σημείων, οι γραμμές τομής ανατέμνουν την επιφάνεια του δακτύλου με επίπεδα που διέρχονται από τον άξονα του δακτύλου. Οι κύκλοι λαμβάνονται σε διατομή. Για παράδειγμα, το επίπεδο S 1 τέμνει τον δακτύλιο κατά μήκος ενός κύκλου διαμέτρου ΕΝΑ"σι ". Από το κέντρο αυτού του κύκλου σημείο Κ " επαναφέρετε την κάθετο μέχρι να τέμνεται με τον άξονα του κώνου στο σημείο Ο " 1 . Λαμβάνοντας αυτό το σημείο ως κέντρο, κατασκευάστε μια βοηθητική ενδιάμεση σφαίρα ακτίνας Ο " 1 ΕΝΑ"(ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ " 1 σι"). Αυτή η σφαίρα τέμνει τον τόρο κατά μήκος του ήδη γνωστού κύκλου ΕΝΑ"σι " , και ο κώνος είναι στον κύκλο 8 " -9" . Η αμοιβαία τομή τους δίνει το σημείο 5 της γραμμής τομής. Ομοίως, χρησιμοποιώντας τα επίπεδα S 2 και S 3, βρέθηκαν τα σημεία 6 και 7.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. Nartova L.G. Περιγραφική γεωμετρία: Σχολικό βιβλίο. - Μ.: Ακαδημία, 2011.

2. Gordon V.O. Περιγραφική γεωμετρία. – Μ.: Ανώτερα. σχολείο, 2002.

3. Gordon V.O. Συλλογή προβλημάτων για το μάθημα της περιγραφικής γεωμετρίας. – Μ.: Ανώτερα. σχολείο, 2003.

4. Strizhakov A.V. και άλλα Περιγραφική γεωμετρία: Σχολικό βιβλίο. χωριό για τα πανεπιστήμια. - Rostov n/d: Phoenix, 2004.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

2. Μεθοδολογία και διαδικασία ολοκλήρωσης της εργασίας. . . . . . . . . . . . 1

3. Γενικές πληροφορίες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4. Μέθοδος βοηθητικών επιπέδων συγκεκριμένης θέσης. . . . . 3

5. Μέθοδος σφαιρικών ενδιάμεσων. . . . . . . . . . . . . . . . 5

Βιβλιογραφία. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Εφαρμογή. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . έντεκα

Εικόνα 1.3.25 – Τομή δύο επιπέδων σε γενική θέση

Ένα παράδειγμα κατασκευής γραμμής τομής δύο επιπέδων με τη μέθοδο κοπής ενδιάμεσων επιπέδων παρουσιάζεται στο σχήμα 1.3.25. Επίπεδο μικρόκαθορίζεται από τεμνόμενες γραμμές ΕΝΑΚαι σικαι το αεροπλάνο Q- παράλληλες γραμμές ΜεΚαι ρε.

Για να βρείτε τη γραμμή μεγάλοεπίπεδες διασταυρώσεις μικρόΚαι QΑς σχεδιάσουμε δύο μετωπικά προεξέχοντα επίπεδα W(W 2) Και W¢(W¢ 2), οι οποίοι είναι μεσάζοντες. Επίπεδο Wτέμνει αυτά τα επίπεδα μικρόΚαι Qσε ευθείες γραμμές 1-2 (1 2 -2 2 , 1 1 -2 1 ) Και 3-4 (3 2 -4 2 , 3 1 -4 1 ). Ας υποδηλώσουμε το σημείο τομής αυτών των ευθειών με ΠΡΟΣ ΤΗΝ(Κ 1, Κ 2). Τελεία ΠΡΟΣ ΤΗΝανήκει σε τρία επίπεδα ταυτόχρονα S, Q, W.Ως εκ τούτου, το σημείο ΠΡΟΣ ΤΗΝ μικρόΚαι Q.Επίπεδο W¢τέμνει επίπεδα μικρόΚαι Qσε ευθείες γραμμές 5-6 (5 1 -6 1 , 5 2 -6 2 ) Και 7-8 (7 1 -8 1 , 7 2 -8 2 ). Το σημείο τομής αυτών των γραμμών είναι το σημείο K¢. Είναι σαν περίοδος ΠΡΟΣ ΤΗΝανήκει στη γραμμή τομής των επιπέδων μικρόΚαι Q. Επομένως, ευθεία μεγάλο, περνώντας από τα σημεία ΠΡΟΣ ΤΗΝΚαι K¢, υπάρχει η επιθυμητή ευθεία τομής αυτών των επιπέδων μικρόΚαι Q.

Εικόνα 1.3.26 – Τομή δύο επιπέδων σε γενική θέση

Το σχήμα 1.3.26 δείχνει ένα παράδειγμα κατασκευής μιας γραμμής τομής δύο επιπέδων τέμνοντας μια ευθεία με ένα επίπεδο. Τα επίπεδα ορίζονται από τρίγωνα αλφάβητοΚαι EGF. Βοηθητικά αεροπλάνα κοπής μικρό(S 2) Και S¢(S 2) σύρονται από τις πλευρές Π.Χ.Και Ήλιοςτρίγωνα. Επίπεδο μικρό(S 2) τέμνει το τρίγωνο αλφάβητοσε ευθεία γραμμή 1-2 . Τελεία ΠΡΟΣ ΤΗΝ Π.Χ.Και 1-2 . Επίπεδο S¢(S¢ 2) τέμνει το τρίγωνο EGFσε ευθεία γραμμή 3-4 . Τελεία K¢είναι το αποτέλεσμα της τομής των γραμμών ΉλιοςΚαι 3-4 . Πόντοι ΠΡΟΣ ΤΗΝΚαι K¢περιορίστε το τμήμα της επιθυμητής γραμμής τομής που βρίσκεται μέσα στα δύο τρίγωνα.

Η σχετική ορατότητα των τριγώνων προσδιορίζεται σε μετωπική όψη χρησιμοποιώντας ανταγωνιστικά σημεία 2 Και 4 , εκ των οποίων το σημείο 4 πλευρές Π.Χ.καλύπτει το σημείο 2 πλευρές Ήλιος. Η ορατότητα στο οριζόντιο επίπεδο των προβολών προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας ανταγωνιστικά σημεία 5 Και 6 , εκ των οποίων το σημείο 6 πλευρές Π.Χ.καλύπτει το σημείο 5 πλευρές ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.

Καμπύλες γραμμές

Μια καμπύλη γραμμή μπορεί να θεωρηθεί ως το ίχνος ενός κινούμενου σημείου. Αυτό το σημείο μπορεί να είναι ένα μόνο σημείο ή ένα σημείο που ανήκει σε μια γραμμή ή επιφάνεια που κινείται στο χώρο.

Οι καμπύλες γραμμές μπορούν να σχηματιστούν από την τομή μιας καμπύλης επιφάνειας με ένα επίπεδο (στη γενική περίπτωση), από την αμοιβαία τομή δύο επιφανειών, εκ των οποίων τουλάχιστον η μία είναι καμπύλη.

Ο νόμος σχηματισμού μιας καμπύλης γραμμής είναι το σύνολο των συνθηκών που καθορίζουν αυτή τη γραμμή. Ένα σημείο, μια γραμμή, μια επιφάνεια κινείται στο χώρο, υπό διαφορετικές συνθήκες. Ένα επίπεδο μπορεί να τέμνει μια ποικιλία από καμπύλες επιφάνειες σε διάφορες κατευθύνσεις. Μια μεγάλη ποικιλία επιφανειών μπορούν να τέμνονται μεταξύ τους σε διαφορετικές θέσεις μεταξύ τους. Από αυτό προκύπτει ότι ο σχηματισμός μιας καμπύλης γραμμής μπορεί να υπόκειται σε άπειρο αριθμό συνθηκών και ένας άπειρος αριθμός καμπυλών γραμμών μπορεί να σχηματιστεί. Επιπλέον, η ίδια καμπύλη γραμμή μπορεί να σχηματιστεί με διαφορετικούς τρόπους.

Για παράδειγμα, μια έλλειψη μπορεί να σχηματιστεί από την κίνηση ενός σημείου σε ένα επίπεδο, στο οποίο σε κάθε δεδομένη στιγμή το άθροισμα των αποστάσεων από αυτό το σημείο σε δύο άλλα σταθερά σημεία - τις εστίες της έλλειψης - είναι σταθερό και ίσο με το κύριος άξονας της έλλειψης. Αλλά μια έλλειψη μπορεί επίσης να σχηματιστεί από την τομή ενός κυκλικού κυλίνδρου με ένα επίπεδο που βρίσκεται αυθαίρετα ως προς τον άξονά του ή από την πλήρη τομή των επιφανειών δύο κυκλικών κυλίνδρων ίδιας διαμέτρου.

Όλες οι καμπύλες γραμμές ανάλογα με τη θέση των σημείων τους στο χώρο χωρίζονται σε δύο τύπους: επίπεδες καμπύλες– καμπύλες, όλα τα σημεία των οποίων βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (π.χ. κύκλος, έλλειψη, παραβολή κ.λπ.) και χωρικές καμπύλες– καμπύλες των οποίων τα σημεία δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, για παράδειγμα, μια έλικα

Χρησιμοποιώντας τις δεδομένες συντεταγμένες των σημείων A, B, C, D, E, F (Πίνακας 2), κατασκευάστε οριζόντιες και μετωπικές προβολές τριγώνων ΔΑBC και ΔDEF, βρείτε τη γραμμή τομής τους και προσδιορίστε την ορατότητα των στοιχείων του τριγώνου..

2.2. Παράδειγμα εργασίας Νο. 2

Η δεύτερη εργασία παρουσιάζει ένα σύνολο εργασιών για τα ακόλουθα θέματα:

1. Ορθογώνια προβολή, Διάγραμμα Monge, σημείο, ευθεία, επίπεδο: με γνωστές συντεταγμένες έξι σημείων Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΣΤκατασκευάστε οριζόντιες και μετωπικές προβολές 2 επιπέδων που δίνονται από το Δ αλφάβητοκαι ∆ DEF;

2. Γενικά και ειδικά επίπεδα, τομή γραμμής και επιπέδου, διασταύρωση επιπέδων, ανταγωνιστικά σημεία: να κατασκευάσετε μια γραμμή τομής δεδομένων επιπέδων και να καθορίσετε την ορατότητα των στοιχείων τους.

Κατασκευάστε οριζόντιες και μετωπικές προβολές δεδομένων επιπέδων ∆ αλφάβητοκαι ∆ DEF(Εικόνα 2.1).

Για να κατασκευάσετε την επιθυμητή γραμμή τομής των δεδομένων επιπέδων, πρέπει:

1. Επιλέξτε μία από τις πλευρές του τριγώνου και κατασκευάστε το σημείο τομής αυτής της πλευράς με το επίπεδο του άλλου τριγώνου: ένα σημείο κατασκευάζεται στο σχήμα 2.1 Μτομή μιας ευθείας γραμμής Η Ε.Φ.με επίπεδο Δ αλφάβητο; για αυτό το άμεσο Η Ε.Φ.περικλείεται σε ένα βοηθητικό οριζόντιο επίπεδο προβολής δ.

2. Κατασκευάστε μια μετωπική προβολή 1 2 2 2 ευθείες τομής του επιπέδου δ με το επίπεδο Δ αλφάβητο;

3. Βρείτε την μετωπική προβολή Μ 2 σημεία αναζήτησης Μστη διασταύρωση μετωπική προβολή 1 2 2 2 με μπροστινή προβολή μι 2 φά 2 ευθεία Η Ε.Φ.;

4. Βρείτε την οριζόντια προβολή Μ 1 βαθμοί Μχρησιμοποιώντας μια γραμμή επικοινωνίας προβολής.

5. Κατασκευάστε το δεύτερο σημείο με τον ίδιο τρόπο Ν, που ανήκει στην επιθυμητή γραμμή τομής των δεδομένων επιπέδων: περικλείετε μια ευθεία γραμμή στο μετωπικά προεξέχον επίπεδο β Ήλιος; βρείτε τη γραμμή τομής 34 επίπεδο με επίπεδο Δ DEF; στη διασταύρωση της γραμμής 34 και ευθεία Ήλιοςβρείτε ένα σημείο Ν;

6. Χρησιμοποιώντας ανταγωνιστικά σημεία, για κάθε επίπεδο ξεχωριστά, προσδιορίστε τα ορατά τμήματα των τριγώνων.

Εικόνα 2.1 – Κατασκευή της γραμμής τομής δύο επιπέδων που ορίζονται από τρίγωνα

Εικόνα 2.2 – Παράδειγμα ανάθεσης 2

Παράδειγμα βίντεο ολοκλήρωσης της εργασίας Νο. 2

2.3. Επιλογές εργασιών 2

Πίνακας 2 – Τιμές συντεταγμένων σημείων

Επιλογή	Συντεταγμένες (x, y, z) των κορυφών του τριγώνου
	ΕΝΑ	ΣΕ	ΜΕ	ρε	μι	φά
1	20; 65; 30	40; 15; 65	80; 30; 35	15; 35; 70	70; 75; 80	35; 0; 0
2	75; 75; 5	60; 20; 60	20; 10; 40	30; 55; 50	90; 50; 35	60; 5; 10
3	0; 30; 75	30; 65; 15	80; 25; 15	45; 65; 75	95; 40; 0	10; 0; 10
4	90; 5; 70	65; 60; 15	15; 15; 20	25; 45; 70	95; 60; 35	65; 10; 0
5	30; 0; 10	70; 15; 15	15; 55; 16	70; 55; 60	5; 30; 60	20; 0; 0
6	20; 25; 0	60; 5; 80	90; 75; 40	0; 60; 60	75; 80; 70	90; 10; 0
7	0; 60; 20	20; 10; 60	85; 10; 20	50; 70; 65	75; 35; 0	10; 0; 5
8	10; 20; 15	55; 70; 5	80; 20; 45	20; 60; 55	100; 35; 20	60; 10; 5
9	0; 50; 10	60; 70; 70	80; 10; 10	20; 10; 70	90; 50; 60	60; 85; 0
10	85; 70; 10	25; 20; 25	90; 10; 60	15; 70; 65	105; 10; 45	70; 0; 0
11	25; 5; 25	60; 60; 5	95; 20; 50	36; 45; 55	105; 45; 60	70; 0; 0
12	95; 30; 65	15; 15; 10	70; 80; 5	35; 70; 70	115; 80; 55	85; 20; 0
13	20; 5; 60	50; 60; 5	90; 15; 30	60; 60; 60	100; 5; 10	25; 10; 0
14	10; 5; 70	80; 20; 25	40; 65; 10	70; 70; 70	0; 35; 60	30; 5; 0
15	20; 45; 55	60; 70; 10	90; 10; 60	20; 0; 10	95; 20; 10	75; 60; 75
16	5; 10; 60	40; 65; 10	70; 5; 40	70; 50; 75	0; 70; 45	15; 0; 5
17	10; 45; 5	90; 5; 10	50; 70; 70	15; 5; 50	95; 15; 65	60; 70; 0
18	65; 20; 70	0; 20; 15	50; 70; 5	15; 60; 55	90; 60; 40	60; 5; 5
19	20; 20; 70	50; 50; 10	70; 10; 30	80; 60; 70	5; 40; 60	25; 0; 10
20	85; 10; 45	70; 50; 0	20; 20; 10	55; 60; 60	0; 0; 60	75; 0; 0
21	0; 70; 60	30; 10; 80	70; 15; 20	60; 50; 70	0; 0; 50	15; 70; 5
22	0; 70; 25	45; 10; 70	90; 30; 20	65; 60; 70	90; 10; 15	15; 0; 15
23	10; 20; 40	50; 60; 10	75; 10; 40	75; 60; 75	5; 70; 55	35; 0; 0
24	10; 10; 10	90; 80; 20	65;10;60	15; 70; 65	100; 70; 40	80; 10; 0
25	60; 65; 10	0; 10; 25	85; 5; 60	20; 65; 60	105; 35; 35	55; 0; 0
26	10; 70; 20	50; 10; 60	90; 25; 10	70; 65; 45	5; 35; 55	25; 0; 50
27	10; 5; 70	40; 70; 10	90; 5; 40	100; 55; 25	25; 65; 80	50; 0; 0
28	0; 50; 5	25; 0; 60	85; 10; 15	50; 50; 50	90; 0; 55	20; 0; 0
29	10; 70; 10	40; 10; 50	80; 20; 20	80; 55; 55	10; 50; 70	20; 0; 0
30	75; 70; 20	10; 35; 10	60; 20; 60	20; 70; 70	100; 60; 50	75; 5; 0

Δύο επίπεδα τέμνονται μεταξύ τους σε ευθεία γραμμή. Για την κατασκευή του, είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν δύο σημεία που ανήκουν ταυτόχρονα σε καθένα από τα δεδομένα επίπεδα. Ας δούμε πώς γίνεται αυτό χρησιμοποιώντας τα ακόλουθα παραδείγματα.

Ας βρούμε την ευθεία τομής των γενικών επιπέδων α και β για την περίπτωση που pl. Το α δίνεται από τις προβολές του τριγώνου ABC, και pl. β – παράλληλες ευθείες d και e. Η λύση σε αυτό το πρόβλημα πραγματοποιείται με την κατασκευή των σημείων L 1 και L 2 που ανήκουν στη γραμμή τομής.

Λύση

1. Εισάγουμε ένα βοηθητικό οριζόντιο επίπεδο γ 1. Τέμνει τα α και β κατά μήκος ευθειών. Οι μετωπικές προεξοχές αυτών των γραμμών, 1""C""" και 2""3"", συμπίπτουν με το μετωπικό ίχνος του τετραγώνου. γ 1. Χαρακτηρίζεται στο σχήμα f 0 γ 1 και βρίσκεται παράλληλα με τον άξονα x.
2. Καθορίζουμε οριζόντιες προβολές 1"C" και 2"3" κατά μήκος των γραμμών επικοινωνίας.
3. Βρίσκουμε την οριζόντια προβολή του σημείου L 1 στη διασταύρωση των ευθειών 1 "C" και 2 "3". Η μετωπική προβολή του σημείου L 1 βρίσκεται στο μετωπικό ίχνος του επιπέδου γ.
4. Εισάγουμε ένα βοηθητικό οριζόντιο επίπεδο γ 2. Χρησιμοποιώντας κατασκευές παρόμοιες με αυτές που περιγράφονται στις παραγράφους 1, 2, 3, βρίσκουμε τις προβολές του σημείου L 2.
5. Μέσω των L 1 και L 2 τραβάμε την επιθυμητή ευθεία γραμμή l.

Αξίζει να σημειωθεί ότι ως πλ. γ είναι βολικό να χρησιμοποιείτε τόσο επίπεδα επιπέδου όσο και επίπεδα προβολής.

Ας βρούμε τη γραμμή τομής των επιπέδων α και β, που ορίζεται από τα ίχνη. Αυτή η εργασία είναι πολύ πιο απλή από την προηγούμενη. Δεν απαιτεί την εισαγωγή βοηθητικών αεροπλάνων. Ο ρόλος τους παίζεται από τα επίπεδα προβολής P 1 και P 2.

Αλγόριθμος κατασκευής

1. Βρίσκουμε το σημείο L" 1, που βρίσκεται στη διασταύρωση των οριζόντιων ιχνών h 0 α και h 0 β. Το σημείο L"" 1 βρίσκεται στον άξονα x. Η θέση του προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας μια γραμμή σύνδεσης που σύρεται από το L" 1 .
2. Βρίσκουμε το σημείο L"" 2 στη διασταύρωση των μετωπικών ιχνών πλ. α και β. Το σημείο L" 2 βρίσκεται στον άξονα x. Η θέση του προσδιορίζεται κατά μήκος της γραμμής σύνδεσης που σύρεται από το L"" 2.
3. Σχεδιάζουμε ευθείες γραμμές l" και l"" μέσα από τις αντίστοιχες προεξοχές των σημείων L 1 και L 2, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Έτσι, η ευθεία l που διέρχεται από τα σημεία τομής των ιχνών των επιπέδων είναι η επιθυμητή.

Τομή επιπέδων τριγώνων

Ας σκεφτούμε να κατασκευάσουμε τη γραμμή τομής των επιπέδων που ορίζονται από τα τρίγωνα ABC και DEF και να προσδιορίσουμε την ορατότητά τους χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ανταγωνιστικών σημείων.

Αλγόριθμος κατασκευής

1. Μέσω της ευθείας DE σχεδιάζουμε το μετωπικά προεξέχον επίπεδο σ: το ίχνος του f 0σ φαίνεται στο σχέδιο. Το επίπεδο σ τέμνει το τρίγωνο ABC κατά μήκος της ευθείας 35. Έχοντας σημειώσει τα σημεία 3""=A""B""∩f 0σ και 5""=A""С""∩f 0σ, προσδιορίζουμε τη θέση (∙) 3" και (∙) 5" κατά μήκος των γραμμών επικοινωνίας στο ΔA"B"C".
2. Βρίσκουμε την οριζόντια προβολή N"=D"E"∩3"5" του σημείου N της τομής των ευθειών DE και 35, που βρίσκονται στο βοηθητικό επίπεδο σ. Η προβολή N"" βρίσκεται στο μετωπικό ίχνος f 0σ στην ίδια γραμμή σύνδεσης με το N".

Μέσω της ευθείας BC σχεδιάζουμε το μετωπικά προεξέχον επίπεδο τ: το ίχνος του f 0τ φαίνεται στο σχέδιο. Χρησιμοποιώντας κατασκευές παρόμοιες με αυτές που περιγράφονται στις παραγράφους 1 και 2 του αλγορίθμου, βρίσκουμε τις προβολές του σημείου Κ.

3. Μέσω Ν και Κ σχεδιάζουμε την επιθυμητή ευθεία ΝΚ - τη γραμμή τομής ΔABC και ΔDEF.

Ορισμός ορατότητας

Τα μετωπικά ανταγωνιστικά σημεία 4 και 5, που ανήκουν στα ΔDEF και ΔABC, αντίστοιχα, βρίσκονται στην ίδια μετωπικά προεξέχουσα ευθεία, αλλά βρίσκονται σε διαφορετικές αποστάσεις από το επίπεδο προβολής π 2 . Εφόσον το (∙)5" είναι πιο κοντά στον παρατηρητή από το (∙)4", το διαμέρισμα ΔABC με το (∙)5 του είναι ορατό στην προβολή στο τετράγωνο. π 2. Στην αντίθετη πλευρά της γραμμής Ν""Κ"" αλλάζει η ορατότητα των τριγώνων.

Τα οριζόντια ανταγωνιστικά σημεία 6 και 7, που ανήκουν στα ΔABC και ΔDEF, αντίστοιχα, βρίσκονται στην ίδια οριζόντια προεξέχουσα ευθεία, αλλά βρίσκονται σε διαφορετικές αποστάσεις από το επίπεδο προβολής π 1 . Εφόσον το (∙)6"" βρίσκεται ψηλότερα από το (∙)7"", τότε το διαμέρισμα ΔABC με το (∙)6 του είναι ορατό στην προβολή στο τετράγωνο. π 1. Στην αντίθετη πλευρά της γραμμής Ν"Κ" αλλάζει η ορατότητα των τριγώνων.

Η ευθεία τομής δύο επιπέδων καθορίζεται από δύο σημεία, καθένα από τα οποία ανήκει και στα δύο επίπεδα, ή ένα σημείο που ανήκει σε δύο επίπεδα, και τη γνωστή κατεύθυνση της ευθείας. Και στις δύο περιπτώσεις, το καθήκον είναι να βρεθεί ένα κοινό σημείο για τα δύο επίπεδα.

Γενική τεχνική κατασκευής της γραμμής τομής δύο επιπέδωνείναι όπως ακολουθεί.Εισάγεται ένα βοηθητικό επίπεδο, κατασκευάζονται γραμμές τομής του βοηθητικού επιπέδου με δύο δεδομένες και το κοινό σημείο των δύο επιπέδων βρίσκεται στην τομή των κατασκευασμένων γραμμών.Για να βρείτε το δεύτερο κοινό σημείοη κατασκευή επαναλαμβάνεταιχρησιμοποιώντας ένα άλλο βοηθητικό επίπεδο.

Το σχήμα 4.5 δείχνει μια οπτική αναπαράσταση της γραμμής τομήςΚ1Κ2 δύο αεροπλάνα P και Q.

Για οπτική αναπαράσταση της κατασκευής του πρώτου κοινού σημείου της γραμμής τομής των επιπέδων P και Q (Εικ. 4.6) έχει εισαχθεί ένα βοηθητικό επίπεδοΜΙΚΡΟ. Τέμνεται με το επίπεδο P κατά μήκος της γραμμής 1-2, με το επίπεδο Q - κατά μήκος της γραμμής 3-4. Στη διασταύρωση των γραμμών 1-2 και 3-4 καθοριστεί το πρώτο κοινό σημείοΚ1 δύο αεροπλάνα P και Q - το πρώτο σημείο της ευθείας της τομής τους.

Παρομοίως, εισάγεται ένα νέο επίπεδο κοπής και κατασκευάζεται το δεύτερο σημείο της γραμμής τομής.

Ειδική περίπτωση κατασκευής της γραμμής τομής δύο επιπέδων όταν ένα από αυτά προεξέχει.Στην περίπτωση αυτή, η κατασκευή της γραμμής τομής απλοποιείται από το γεγονός ότι μία από τις προεξοχές της συμπίπτει με την προβολή του προεξέχοντος επιπέδου στο επίπεδο προβολής στο οποίο είναι κάθετη.

Για παράδειγμα, το σχήμα 4.7 δείχνει την κατασκευή των προεξοχώντπ, τπ γραμμές τομής MN μετωπικό επίπεδο προβολής R με τριγωνικό επίπεδοΑΛΦΑΒΗΤΟ.

Στην μετωπική προβολή στη διασταύρωση των προβολών a"b" και a"c" με ίχνος P v βρείτε μετωπικές προβολέςτύπος" δύο κοινά σημεία δεδομένων επιπέδων. Με βάση αυτές κατασκευάστηκαν οριζόντιες προβολέςτύπος σε οριζόντιες προεξοχές ab και ac πλευρές του τριγώνου. Μέσα από τελείεςτύπος Σχεδιάζουμε μια οριζόντια προβολή της γραμμής τομής των επιπέδων. Όταν κοιτάζετε κατά μήκος του βέλουςμικρό από την μετωπική προβολή είναι φανερό ότι τμήμα του τριγώνου βρίσκεται στα αριστερά της γραμμής τομής MN (t "p") είναι πάνω από το αεροπλάνο R, δηλαδή ορατό, το υπόλοιπο είναι κάτω από το αεροπλάνο R, δηλ. αόρατο (τμήμα mbcn φαίνεται με διακεκομμένη γραμμή).

Ένα άλλο παράδειγμα κατασκευής της γραμμής τομής δύο τριγωνικών πλακών ABC και DEF, ένα από τα οποία (DEF) καθορίζεται ως οριζόντια προεξέχον επίπεδο, που φαίνεται στο

Εικόνα 4.8. Σε οριζόντια προβολή στη διασταύρωση οριζόντιων προβολώναβ και β γ πλευρές ενός τριγώνου ABC με προβολή dfe του δεύτερου τριγώνου βρίσκουμε οριζόντιες προβολέςτύπος σημεία τομής τους. Σύμφωνα με αυτά στις μετωπικές προεξοχές των πλευρώνα"β" και β"γ" κατασκευή μετωπικών προβολώντύπος" σημεία τομής MN. Στην μετωπική προβολή σημειώνουμε την ορατότητα τμημάτων των τριγώνων, καθοδηγούμενη από τα εξής: όταν κοιτάζουμε κατά μήκος του βέλουςμικρό από την οριζόντια προβολή είναι φανερό ότι η πλευράΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ είναι μπροστά από το επίπεδο του τριγώνου DEF.

Επομένως, η πλευράΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ και το τμήμα του τριγώνου που περιορίζεται από αυτόαλφάβητο στη γραμμή τομής MN ορατή (δηλαδή είναι ορατή η μετωπική προβολή του τετράπλευρουα"σ"π"τ"). Ορατό τμήμα της μετωπικής προβολής του τριγώνου DEF σκιάζεται στο σχέδιο.

Κατασκευή γραμμής τομής επιπέδων σε γενική θέση.Το σχήμα 4.9 δείχνει την κατασκευή των προεξοχώντπ, τπ γραμμές τομής δύο επιπέδων, το ένα από τα οποία ορίζεται από προβολέςα"β", β"γ', αβ, βγ δύο τεμνόμενες γραμμές, η άλλη - προβολές d'e', f"g", de, fg δύο παράλληλες ευθείες.

Δύο οριζόντια επίπεδα, που ορίζονται από τα ίχνη Rv και T v.

R αεροπλάνο τέμνει το πρώτο δεδομένο επίπεδο σε ευθεία γραμμή 1-2, το δεύτερο - σε ευθεία γραμμή 3-4. Σύμφωνα με μετωπικές προβολές 1", 2" και 3", 4" βρίσκουμε οριζόντιες προβολές χρησιμοποιώντας γραμμές επικοινωνίας 1, 2 και 3, 4 στις οριζόντιες προβολές ab, bс, de, fg ευθεία Μέσω αυτών σχεδιάζουμε οριζόντιες προβολές γραμμών 1-2 και 3-4 γραμμές τομής. Σημειώστε ένα σημείο T - οριζόντια προβολή κοινού σημείουΜ τρία αεροπλάνα - δύο δεδομένα και βοηθητικά R. Χρησιμοποιώντας το προσδιορίζουμε την μετωπική προβολήΤ" στην μετωπική τροχιά Rv βοηθητικό αεροπλάνο.

Βοηθητικά αεροπλάναΤ και Ρ παράλληλο. Οι ευθείες τομής τους με δεδομένα επίπεδα είναι επίσης παράλληλες. Επομένως, οριζόντιες προβολές των γραμμών τομής του επιπέδουΤ με δεδομένα επίπεδα σχεδιάζονται μέσω της προβολής β παράλληλης προς την προβολή 1-2 και μέσω της προβολής 5 παράλληλα με την προβολή 3-4. Στη διασταύρωση τους βρέθηκε οριζόντια προβολήΠ το δεύτερο κοινό σημείο τριών επιπέδων, δηλαδή η γραμμή τομής δύο δεδομένων επιπέδων. Κατά μήκος του στο μετωπικό ίχνοςΤηλεόραση η μετωπική προβολή κατασκευάζεται στο βοηθητικό επίπεδοΠ". Μέσα από τις κατασκευασμένες προβολές t", p" και t, p Πραγματοποιούμε μετωπικές και οριζόντιες προβολές της επιθυμητής γραμμής τομής MN.