Πώς καθορίζεται η γωνία μεταξύ ευθειών στο διάστημα; Γωνία μεταξύ δύο ευθειών

Oh-oh-oh-oh-oh... καλά, είναι δύσκολο, σαν να διάβαζε μια πρόταση στον εαυτό του =) Ωστόσο, η χαλάρωση θα βοηθήσει αργότερα, ειδικά επειδή σήμερα αγόρασα τα κατάλληλα αξεσουάρ. Επομένως, ας προχωρήσουμε στην πρώτη ενότητα, ελπίζω ότι μέχρι το τέλος του άρθρου θα διατηρήσω μια χαρούμενη διάθεση.

Η σχετική θέση δύο ευθειών

Αυτό συμβαίνει όταν το κοινό τραγουδά μαζί σε χορωδία. Δύο ευθείες γραμμές μπορούν:

1) ταίριασμα?

2) να είναι παράλληλη: ;

3) ή τέμνονται σε ένα μόνο σημείο: .

Βοήθεια για ανδρείκελα : Θυμηθείτε το μαθηματικό σημάδι τομής, θα εμφανίζεται πολύ συχνά. Ο συμβολισμός σημαίνει ότι η ευθεία τέμνεται με τη γραμμή στο σημείο .

Πώς να προσδιορίσετε τη σχετική θέση δύο γραμμών;

Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη περίπτωση:

Δύο ευθείες συμπίπτουν αν και μόνο αν οι αντίστοιχοι συντελεστές τους είναι ανάλογοι, δηλαδή υπάρχει ένας αριθμός «λάμδα» τέτοιος ώστε να ικανοποιούνται οι ισότητες

Ας εξετάσουμε τις ευθείες γραμμές και ας δημιουργήσουμε τρεις εξισώσεις από τους αντίστοιχους συντελεστές: . Από κάθε εξίσωση προκύπτει ότι, επομένως, αυτές οι γραμμές συμπίπτουν.

Πράγματι, αν όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης πολλαπλασιάστε με –1 (σύμβολα αλλαγής), και όλους τους συντελεστές της εξίσωσης κόψτε κατά 2, παίρνετε την ίδια εξίσωση: .

Η δεύτερη περίπτωση, όταν οι ευθείες είναι παράλληλες:

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν και μόνο αν οι συντελεστές τους των μεταβλητών είναι ανάλογοι: , Αλλά.

Για παράδειγμα, θεωρήστε δύο ευθείες γραμμές. Ελέγχουμε την αναλογικότητα των αντίστοιχων συντελεστών για τις μεταβλητές:

Ωστόσο, είναι αρκετά προφανές ότι.

Και η τρίτη περίπτωση, όταν τέμνονται οι γραμμές:

Δύο ευθείες τέμνονται αν και μόνο αν οι συντελεστές τους των μεταβλητών ΔΕΝ είναι ανάλογοι, δηλαδή ΔΕΝ υπάρχει τέτοια τιμή του «λάμδα» που να ικανοποιούνται οι ισότητες

Έτσι, για τις ευθείες γραμμές θα δημιουργήσουμε ένα σύστημα:

Από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι , και από τη δεύτερη εξίσωση: , που σημαίνει το σύστημα είναι ασυνεπές(χωρίς λύσεις). Έτσι, οι συντελεστές των μεταβλητών δεν είναι ανάλογοι.

Συμπέρασμα: οι γραμμές τέμνονται

Σε πρακτικά προβλήματα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το σχήμα λύσεων που μόλις συζητήσαμε. Παρεμπιπτόντως, θυμίζει πολύ τον αλγόριθμο για τον έλεγχο των διανυσμάτων για συγγραμμικότητα, τον οποίο εξετάσαμε στην τάξη Η έννοια της γραμμικής (αν)εξάρτησης διανυσμάτων. Βάση διανυσμάτων. Αλλά υπάρχει μια πιο πολιτισμένη συσκευασία:

Παράδειγμα 1

Βρείτε τη σχετική θέση των γραμμών:

Λύσημε βάση τη μελέτη κατευθυνόμενων διανυσμάτων ευθειών:

α) Από τις εξισώσεις βρίσκουμε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών: .

, που σημαίνει ότι τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά και οι γραμμές τέμνονται.

Για κάθε ενδεχόμενο, θα βάλω μια πέτρα με ταμπέλες στο σταυροδρόμι:

Οι υπόλοιποι πηδούν πάνω από την πέτρα και ακολουθούν παρακάτω, κατευθείαν στο Kashchei τον Αθάνατο =)

β) Να βρείτε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών:

Οι γραμμές έχουν το ίδιο διάνυσμα κατεύθυνσης, που σημαίνει ότι είναι είτε παράλληλες είτε συμπίπτουσες. Δεν χρειάζεται να μετρήσουμε την ορίζουσα εδώ.

Είναι προφανές ότι οι συντελεστές των αγνώστων είναι ανάλογοι, και .

Ας μάθουμε αν ισχύει η ισότητα:

Ετσι,

γ) Να βρείτε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών:

Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων:
, επομένως, τα διανύσματα κατεύθυνσης είναι συγγραμμικά. Οι γραμμές είναι είτε παράλληλες είτε συμπίπτουσες.

Ο συντελεστής αναλογικότητας "λάμδα" είναι εύκολο να φανεί απευθείας από την αναλογία των διανυσμάτων συγγραμμικής κατεύθυνσης. Ωστόσο, μπορεί επίσης να βρεθεί μέσω των συντελεστών των ίδιων των εξισώσεων: .

Τώρα ας μάθουμε αν ισχύει η ισότητα. Και οι δύο ελεύθεροι όροι είναι μηδέν, οπότε:

Η τιμή που προκύπτει ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση (οποιοσδήποτε αριθμός γενικά την ικανοποιεί).

Έτσι, οι γραμμές συμπίπτουν.

Απάντηση:

Πολύ σύντομα θα μάθετε (ή θα έχετε ήδη μάθει) να λύνετε το πρόβλημα που συζητήθηκε προφορικά κυριολεκτικά μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. Από αυτή την άποψη, δεν βλέπω κανένα νόημα να προσφέρουμε κάτι για μια ανεξάρτητη λύση, είναι καλύτερο να βάλουμε ένα άλλο σημαντικό τούβλο στη γεωμετρική βάση:

Πώς να κατασκευάσετε μια ευθεία παράλληλη σε μια δεδομένη;

Για άγνοια αυτού του απλούστερου έργου, το Αηδόνι ο Ληστής τιμωρεί αυστηρά.

Παράδειγμα 2

Η ευθεία δίνεται από την εξίσωση. Να γράψετε μια εξίσωση για μια παράλληλη ευθεία που διέρχεται από το σημείο.

Λύση: Ας υποδηλώσουμε την άγνωστη γραμμή με το γράμμα . Τι λέει η κατάσταση για αυτήν; Η ευθεία διέρχεται από το σημείο. Και αν οι γραμμές είναι παράλληλες, τότε είναι προφανές ότι το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας "tse" είναι επίσης κατάλληλο για την κατασκευή της ευθείας "de".

Βγάζουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης από την εξίσωση:

Απάντηση:

Η γεωμετρία του παραδείγματος φαίνεται απλή:

Η αναλυτική δοκιμή αποτελείται από τα ακόλουθα βήματα:

1) Ελέγχουμε ότι οι γραμμές έχουν το ίδιο διάνυσμα κατεύθυνσης (αν η εξίσωση της ευθείας δεν απλοποιηθεί σωστά, τότε τα διανύσματα θα είναι συγγραμμικά).

2) Ελέγξτε αν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση που προκύπτει.

Στις περισσότερες περιπτώσεις, η αναλυτική εξέταση μπορεί να πραγματοποιηθεί εύκολα από το στόμα. Κοιτάξτε τις δύο εξισώσεις και πολλοί από εσάς θα προσδιορίσετε γρήγορα τον παραλληλισμό των γραμμών χωρίς κανένα σχέδιο.

Τα παραδείγματα για ανεξάρτητες λύσεις σήμερα θα είναι δημιουργικά. Γιατί θα πρέπει ακόμα να συναγωνιστείς την Μπάμπα Γιάγκα και εκείνη, ξέρεις, είναι λάτρης όλων των ειδών των γρίφων.

Παράδειγμα 3

Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο παράλληλο στην ευθεία αν

Υπάρχει ένας λογικός και όχι τόσο ορθολογικός τρόπος να το λύσουμε. Ο συντομότερος δρόμος είναι στο τέλος του μαθήματος.

Δουλέψαμε λίγο με παράλληλες γραμμές και θα επιστρέψουμε σε αυτές αργότερα. Η περίπτωση των γραμμών που συμπίπτουν δεν έχει μικρό ενδιαφέρον, οπότε ας εξετάσουμε ένα πρόβλημα που σας είναι πολύ γνωστό από το σχολικό πρόγραμμα σπουδών:

Πώς να βρείτε το σημείο τομής δύο ευθειών;

Αν ευθεία τέμνονται στο σημείο , τότε οι συντεταγμένες του είναι η λύση συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Πώς να βρείτε το σημείο τομής των γραμμών; Λύστε το σύστημα.

Ορίστε γεωμετρική έννοια ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους- αυτές είναι δύο τεμνόμενες (τις περισσότερες φορές) γραμμές σε ένα επίπεδο.

Παράδειγμα 4

Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών

Λύση: Υπάρχουν δύο τρόποι επίλυσης - γραφικός και αναλυτικός.

Η γραφική μέθοδος είναι απλά να σχεδιάσετε τις δεδομένες γραμμές και να βρείτε το σημείο τομής απευθείας από το σχέδιο:

Εδώ είναι το θέμα μας: . Για να ελέγξετε, θα πρέπει να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες της σε κάθε εξίσωση της γραμμής, θα πρέπει να ταιριάζουν και εκεί και εκεί. Με άλλα λόγια, οι συντεταγμένες ενός σημείου είναι μια λύση στο σύστημα. Ουσιαστικά, εξετάσαμε μια γραφική λύση συστήματα γραμμικών εξισώσεωνμε δύο εξισώσεις, δύο άγνωστους.

Η γραφική μέθοδος, φυσικά, δεν είναι κακή, αλλά υπάρχουν αξιοσημείωτα μειονεκτήματα. Όχι, το θέμα δεν είναι ότι οι μαθητές της έβδομης τάξης αποφασίζουν έτσι, το θέμα είναι ότι θα χρειαστεί χρόνος για να δημιουργήσετε ένα σωστό και ΑΚΡΙΒΗ σχέδιο. Επιπλέον, ορισμένες ευθείες γραμμές δεν είναι τόσο εύκολο να κατασκευαστούν και το ίδιο το σημείο τομής μπορεί να βρίσκεται κάπου στο τριακοστό βασίλειο έξω από το φύλλο του σημειωματάριου.

Επομένως, είναι πιο σκόπιμο να αναζητήσετε το σημείο τομής χρησιμοποιώντας την αναλυτική μέθοδο. Ας λύσουμε το σύστημα:

Για την επίλυση του συστήματος χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος της πρόσθεσης εξισώσεων κατά όρο. Για να αναπτύξετε σχετικές δεξιότητες, κάντε ένα μάθημα Πώς να λύσετε ένα σύστημα εξισώσεων;

Απάντηση:

Ο έλεγχος είναι ασήμαντος - οι συντεταγμένες του σημείου τομής πρέπει να ικανοποιούν κάθε εξίσωση του συστήματος.

Παράδειγμα 5

Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών αν τέμνονται.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Είναι βολικό να χωρίσετε την εργασία σε διάφορα στάδια. Η ανάλυση της κατάστασης υποδηλώνει ότι είναι απαραίτητο:
1) Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας.
2) Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας.
3) Βρείτε τη σχετική θέση των γραμμών.
4) Αν οι ευθείες τέμνονται, τότε βρείτε το σημείο τομής.

Η ανάπτυξη ενός αλγορίθμου δράσης είναι χαρακτηριστική για πολλά γεωμετρικά προβλήματα και θα επικεντρωθώ επανειλημμένα σε αυτό.

Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος:

Ούτε ένα ζευγάρι παπούτσια δεν είχε φθαρεί πριν φτάσουμε στη δεύτερη ενότητα του μαθήματος:

Κάθετες γραμμές. Απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή.
Γωνία μεταξύ ευθειών γραμμών

Ας ξεκινήσουμε με μια τυπική και πολύ σημαντική εργασία. Στο πρώτο μέρος, μάθαμε πώς να χτίζουμε μια ευθεία γραμμή παράλληλη με αυτήν και τώρα η καλύβα στα μπούτια κοτόπουλου θα γυρίσει 90 μοίρες:

Πώς να κατασκευάσετε μια ευθεία κάθετη σε μια δεδομένη;

Παράδειγμα 6

Η ευθεία δίνεται από την εξίσωση. Να γράψετε μια εξίσωση κάθετη στην ευθεία που διέρχεται από το σημείο.

Λύση: Κατά συνθήκη είναι γνωστό ότι . Θα ήταν ωραίο να βρούμε το σκηνοθετικό διάνυσμα της γραμμής. Δεδομένου ότι οι γραμμές είναι κάθετες, το κόλπο είναι απλό:

Από την εξίσωση «αφαιρούμε» το κανονικό διάνυσμα: , που θα είναι το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας.

Ας συνθέσουμε την εξίσωση μιας ευθείας χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης:

Απάντηση:

Ας επεκτείνουμε το γεωμετρικό σκίτσο:

Χμμμ... Πορτοκαλί ουρανός, πορτοκαλί θάλασσα, πορτοκαλί καμήλα.

Αναλυτική επαλήθευση της λύσης:

1) Βγάζουμε τα διανύσματα κατεύθυνσης από τις εξισώσεις και με τη βοήθεια κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτωνκαταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι οι ευθείες είναι όντως κάθετες: .

Παρεμπιπτόντως, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε κανονικά διανύσματα, είναι ακόμα πιο εύκολο.

2) Ελέγξτε αν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση που προκύπτει .

Το τεστ, πάλι, είναι εύκολο να γίνει από το στόμα.

Παράδειγμα 7

Να βρείτε το σημείο τομής των κάθετων ευθειών αν η εξίσωση είναι γνωστή και περίοδος.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Υπάρχουν πολλές ενέργειες στο πρόβλημα, επομένως είναι βολικό να διατυπώσετε τη λύση σημείο προς σημείο.

Το συναρπαστικό μας ταξίδι συνεχίζεται:

Απόσταση από σημείο σε γραμμή

Μπροστά μας είναι μια ευθεία λωρίδα του ποταμού και καθήκον μας είναι να φτάσουμε σε αυτήν από τη συντομότερη διαδρομή. Δεν υπάρχουν εμπόδια και η βέλτιστη διαδρομή θα είναι η κίνηση κατά μήκος της κάθετης. Δηλαδή, η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία είναι το μήκος του κάθετου τμήματος.

Η απόσταση στη γεωμετρία παραδοσιακά υποδηλώνεται με το ελληνικό γράμμα «rho», για παράδειγμα: – η απόσταση από το σημείο «em» έως την ευθεία «de».

Απόσταση από σημείο σε γραμμή εκφράζεται με τον τύπο

Παράδειγμα 8

Βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία

Λύση: το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι να αντικαταστήσετε προσεκτικά τους αριθμούς στον τύπο και να εκτελέσετε τους υπολογισμούς:

Απάντηση:

Ας κάνουμε το σχέδιο:

Η απόσταση που βρέθηκε από το σημείο μέχρι τη γραμμή είναι ακριβώς το μήκος του κόκκινου τμήματος. Εάν σχεδιάσετε ένα σχέδιο σε καρό χαρτί σε κλίμακα 1 μονάδας. = 1 cm (2 κελιά), τότε η απόσταση μπορεί να μετρηθεί με έναν συνηθισμένο χάρακα.

Ας εξετάσουμε μια άλλη εργασία που βασίζεται στο ίδιο σχέδιο:

Το καθήκον είναι να βρούμε τις συντεταγμένες ενός σημείου που είναι συμμετρικό προς το σημείο σε σχέση με την ευθεία . Προτείνω να εκτελέσετε τα βήματα μόνοι σας, αλλά θα περιγράψω τον αλγόριθμο λύσης με ενδιάμεσα αποτελέσματα:

1) Βρείτε μια ευθεία που είναι κάθετη στην ευθεία.

2) Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών: .

Και οι δύο ενέργειες συζητούνται λεπτομερώς σε αυτό το μάθημα.

3) Το σημείο είναι το μέσο του τμήματος. Γνωρίζουμε τις συντεταγμένες της μέσης και ενός από τα άκρα. Με τύποι για τις συντεταγμένες του μέσου ενός τμήματοςβρίσκουμε .

Καλό θα ήταν να ελέγξετε ότι η απόσταση είναι επίσης 2,2 μονάδες.

Μπορεί να προκύψουν δυσκολίες στους υπολογισμούς εδώ, αλλά ένας μικροϋπολογιστής είναι μια μεγάλη βοήθεια στον πύργο, επιτρέποντάς σας να υπολογίσετε συνηθισμένα κλάσματα. Σας έχω συμβουλέψει πολλές φορές και θα σας προτείνω ξανά.

Πώς να βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών;

Παράδειγμα 9

Βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών

Αυτό είναι ένα άλλο παράδειγμα για να αποφασίσετε μόνοι σας. Θα σας δώσω μια μικρή υπόδειξη: υπάρχουν άπειροι τρόποι για να το λύσετε αυτό. Απολογισμός στο τέλος του μαθήματος, αλλά είναι καλύτερο να προσπαθήσετε να μαντέψετε μόνοι σας, νομίζω ότι η εφευρετικότητά σας ήταν καλά αναπτυγμένη.

Γωνία μεταξύ δύο ευθειών

Κάθε γωνιά είναι ένα τζάμπα:


Στη γεωμετρία, η γωνία μεταξύ δύο ευθειών λαμβάνεται ως η ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ γωνία, από την οποία αυτόματα προκύπτει ότι δεν μπορεί να είναι αμβλεία. Στο σχήμα, η γωνία που υποδεικνύεται από το κόκκινο τόξο δεν θεωρείται η γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών. Και ο «πράσινος» γείτονάς του ή αντίθετα προσανατολισμέναγωνία "βατόμουρου".

Εάν οι γραμμές είναι κάθετες, τότε οποιαδήποτε από τις 4 γωνίες μπορεί να ληφθεί ως γωνία μεταξύ τους.

Πώς διαφέρουν οι γωνίες; Προσανατολισμός. Πρώτον, η κατεύθυνση στην οποία η γωνία "κύλιση" είναι θεμελιωδώς σημαντική. Δεύτερον, μια αρνητικά προσανατολισμένη γωνία γράφεται με αρνητικό πρόσημο, για παράδειγμα εάν .

Γιατί σας το είπα αυτό; Φαίνεται ότι μπορούμε να τα βγάλουμε πέρα ​​με τη συνηθισμένη έννοια της γωνίας. Το γεγονός είναι ότι οι τύποι με τους οποίους θα βρούμε γωνίες μπορούν εύκολα να οδηγήσουν σε αρνητικό αποτέλεσμα και αυτό δεν πρέπει να σας εκπλήξει. Μια γωνία με το σύμβολο μείον δεν είναι χειρότερη και έχει μια πολύ συγκεκριμένη γεωμετρική σημασία. Στο σχέδιο, για αρνητική γωνία, φροντίστε να υποδείξετε τον προσανατολισμό του με ένα βέλος (δεξιόστροφα).

Πώς να βρείτε τη γωνία μεταξύ δύο ευθειών;Υπάρχουν δύο τύποι εργασίας:

Παράδειγμα 10

Βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών

ΛύσηΚαι Μέθοδος ένα

Ας εξετάσουμε δύο ευθείες γραμμές που ορίζονται από εξισώσεις σε γενική μορφή:

Αν ευθεία όχι κάθετη, Οτι προσανατολισμένηΗ γωνία μεταξύ τους μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Ας δώσουμε μεγάλη προσοχή στον παρονομαστή - αυτό ακριβώς είναι κλιμακωτό προϊόνκατευθυντικά διανύσματα ευθειών:

Αν , τότε ο παρονομαστής του τύπου γίνεται μηδέν, και τα διανύσματα θα είναι ορθογώνια και οι ευθείες θα είναι κάθετες. Γι' αυτό έγινε επιφύλαξη για τη μη καθετότητα των ευθειών στη διατύπωση.

Με βάση τα παραπάνω, είναι βολικό να επισημοποιήσετε τη λύση σε δύο βήματα:

1) Ας υπολογίσουμε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων κατεύθυνσης των γραμμών:
, που σημαίνει ότι οι γραμμές δεν είναι κάθετες.

2) Βρείτε τη γωνία μεταξύ των ευθειών χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Χρησιμοποιώντας την αντίστροφη συνάρτηση, είναι εύκολο να βρείτε την ίδια τη γωνία. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιούμε την περιττότητα της εφαπτομένης (βλ. Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων):

Απάντηση:

Στην απάντησή σας, υποδεικνύουμε την ακριβή τιμή, καθώς και μια κατά προσέγγιση τιμή (κατά προτίμηση σε μοίρες και ακτίνια), που υπολογίζεται με χρήση αριθμομηχανής.

Λοιπόν, μείον, μείον, τίποτα σπουδαίο. Εδώ είναι μια γεωμετρική απεικόνιση:

Δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι η γωνία αποδείχθηκε αρνητικός προσανατολισμός, επειδή στη δήλωση του προβλήματος ο πρώτος αριθμός είναι μια ευθεία γραμμή και το "ξεβίδωμα" της γωνίας ξεκίνησε ακριβώς με αυτό.

Εάν θέλετε πραγματικά να έχετε μια θετική γωνία, πρέπει να ανταλλάξετε τις γραμμές, δηλαδή να πάρετε τους συντελεστές από τη δεύτερη εξίσωση , και πάρτε τους συντελεστές από την πρώτη εξίσωση. Εν ολίγοις, πρέπει να ξεκινήσετε με ένα άμεσο .

Ορισμός.Εάν δοθούν δύο ευθείες y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, τότε η οξεία γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών θα οριστεί ως

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν k 1 = k 2. Δύο ευθείες είναι κάθετες αν k 1 = -1 / k 2.

Θεώρημα.Οι ευθείες Ax + Bу + C = 0 και A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 είναι παράλληλες όταν οι συντελεστές A 1 = λA, B 1 = λB είναι ανάλογοι. Αν επίσης C 1 = λC, τότε οι γραμμές συμπίπτουν. Οι συντεταγμένες του σημείου τομής δύο ευθειών βρίσκονται ως λύση στο σύστημα εξισώσεων αυτών των ευθειών.

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο

Κάθετη σε δεδομένη ευθεία

Ορισμός.Μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1, y 1) και είναι κάθετη στην ευθεία y = kx + b παριστάνεται από την εξίσωση:

Απόσταση από σημείο σε γραμμή

Θεώρημα.Εάν δοθεί ένα σημείο M(x 0, y 0), τότε η απόσταση από την ευθεία Ax + Bу + C = 0 προσδιορίζεται ως

.

Απόδειξη.Έστω το σημείο M 1 (x 1, y 1) η βάση της καθέτου που έπεσε από το σημείο M σε μια δεδομένη ευθεία. Τότε η απόσταση μεταξύ των σημείων M και M 1:

(1)

Οι συντεταγμένες x 1 και y 1 μπορούν να βρεθούν λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων:

Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο M 0 κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία. Αν μετατρέψουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος στη μορφή:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

τότε, λύνοντας, παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην εξίσωση (1), βρίσκουμε:

Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.

Παράδειγμα. Προσδιορίστε τη γωνία μεταξύ των ευθειών: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Παράδειγμα. Δείξτε ότι οι ευθείες 3x – 5y + 7 = 0 και 10x + 6y – 3 = 0 είναι κάθετες.

Λύση. Βρίσκουμε: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, επομένως, οι ευθείες είναι κάθετες.

Παράδειγμα. Δίνονται οι κορυφές του τριγώνου A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Να βρείτε την εξίσωση του ύψους που αντλείται από την κορυφή Γ.

Λύση. Βρίσκουμε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Η απαιτούμενη εξίσωση ύψους έχει τη μορφή: Ax + By + C = 0 ή y = kx + b. k = . Τότε y = . Επειδή το ύψος διέρχεται από το σημείο C, τότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση: από όπου b = 17. Σύνολο: .

Απάντηση: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο σε μια δεδομένη κατεύθυνση. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία. Η γωνία μεταξύ δύο ευθειών. Η συνθήκη παραλληλισμού και καθετότητας δύο ευθειών. Προσδιορισμός του σημείου τομής δύο ευθειών

1. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο ΕΝΑ(Χ 1 , y 1) σε μια δεδομένη κατεύθυνση, που καθορίζεται από την κλίση κ,

y - y 1 = κ(Χ - Χ 1). (1)

Αυτή η εξίσωση ορίζει ένα μολύβι γραμμών που διέρχονται από ένα σημείο ΕΝΑ(Χ 1 , y 1), το οποίο ονομάζεται κέντρο δέσμης.

2. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία: ΕΝΑ(Χ 1 , y 1) και σι(Χ 2 , y 2), γράφεται ως εξής:

Ο γωνιακός συντελεστής μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία καθορίζεται από τον τύπο

3. Γωνία μεταξύ ευθειών γραμμών ΕΝΑΚαι σιείναι η γωνία κατά την οποία πρέπει να περιστραφεί η πρώτη ευθεία ΕΝΑγύρω από το σημείο τομής αυτών των γραμμών αριστερόστροφα μέχρι να συμπέσει με τη δεύτερη γραμμή σι. Αν δίδονται δύο ευθείες με εξισώσεις με κλίση

y = κ 1 Χ + σι 1 ,

y = κ 2 Χ + σι 2 , (4)

τότε η γωνία μεταξύ τους καθορίζεται από τον τύπο

Πρέπει να σημειωθεί ότι στον αριθμητή του κλάσματος, η κλίση της πρώτης γραμμής αφαιρείται από την κλίση της δεύτερης γραμμής.

Αν οι εξισώσεις μιας ευθείας δίνονται σε γενική μορφή

ΕΝΑ 1 Χ + σι 1 y + ντο 1 = 0,

ΕΝΑ 2 Χ + σι 2 y + ντο 2 = 0, (6)

η γωνία μεταξύ τους καθορίζεται από τον τύπο

4. Προϋποθέσεις για παραλληλισμό δύο ευθειών:

α) Αν οι ευθείες δίνονται από τις εξισώσεις (4) με γωνιακό συντελεστή, τότε απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τον παραλληλισμό τους είναι η ισότητα των γωνιακών τους συντελεστών:

κ 1 = κ 2 . (8)

β) Για την περίπτωση που οι ευθείες δίνονται με εξισώσεις στη γενική μορφή (6), απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τον παραλληλισμό τους είναι οι συντελεστές για τις αντίστοιχες τρέχουσες συντεταγμένες στις εξισώσεις τους να είναι ανάλογοι, δηλ.

5. Προϋποθέσεις για την καθετότητα δύο ευθειών:

α) Στην περίπτωση που οι ευθείες δίνονται από τις εξισώσεις (4) με γωνιακό συντελεστή, απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για την καθετότητά τους είναι οι γωνιακοί συντελεστές τους να είναι αντίστροφοι σε μέγεθος και αντίθετοι σε πρόσημο, δηλ.

Αυτή η συνθήκη μπορεί επίσης να γραφτεί στη φόρμα

κ 1 κ 2 = -1. (11)

β) Αν οι εξισώσεις των ευθειών δίνονται σε γενική μορφή (6), τότε προϋπόθεση για την καθετότητά τους (απαραίτητη και επαρκής) είναι να ικανοποιείται η ισότητα

ΕΝΑ 1 ΕΝΑ 2 + σι 1 σι 2 = 0. (12)

6. Οι συντεταγμένες του σημείου τομής δύο ευθειών βρίσκονται λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (6). Οι ευθείες (6) τέμνονται αν και μόνο αν

1. Να γράψετε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Μ, εκ των οποίων η μία είναι παράλληλη και η άλλη κάθετη στη δεδομένη ευθεία l.

Χρησιμοποιώντας αυτήν την ηλεκτρονική αριθμομηχανή μπορείτε να βρείτε τη γωνία μεταξύ των ευθειών γραμμών. Δίνεται αναλυτική λύση με επεξηγήσεις. Για να υπολογίσετε τη γωνία μεταξύ ευθειών γραμμών, ορίστε τη διάσταση (2 εάν λαμβάνεται υπόψη μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο, 3 εάν εξετάζεται μια ευθεία γραμμή στο διάστημα), εισαγάγετε τα στοιχεία της εξίσωσης στα κελιά και κάντε κλικ στο "Επίλυση" κουμπί. Δείτε το θεωρητικό μέρος παρακάτω.

×

Προειδοποίηση

Διαγραφή όλων των κελιών;

Κλείσιμο Clear

Οδηγίες εισαγωγής δεδομένων.Οι αριθμοί εισάγονται ως ακέραιοι (παραδείγματα: 487, 5, -7623, κ.λπ.), δεκαδικοί (π.χ. 67., 102,54, κ.λπ.) ή κλάσματα. Το κλάσμα πρέπει να εισαχθεί με τη μορφή a/b, όπου τα a και b (b>0) είναι ακέραιοι ή δεκαδικοί. Παραδείγματα 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, κ.λπ.

1. Γωνία μεταξύ ευθειών γραμμών σε επίπεδο

Οι γραμμές ορίζονται από κανονικές εξισώσεις

1.1. Προσδιορισμός της γωνίας μεταξύ ευθειών

Αφήστε τις γραμμές σε δισδιάστατο χώρο μεγάλο 1 και μεγάλο

Έτσι, από τον τύπο (1.4) μπορούμε να βρούμε τη γωνία μεταξύ των ευθειών μεγάλο 1 και μεγάλο 2. Όπως φαίνεται από το Σχ. 1, οι τεμνόμενες γραμμές σχηματίζουν γειτονικές γωνίες φ Και φ 1 . Εάν η γωνία που βρέθηκε είναι μεγαλύτερη από 90°, τότε μπορείτε να βρείτε την ελάχιστη γωνία μεταξύ των ευθειών μεγάλο 1 και μεγάλο 2: φ 1 =180-φ .

Από τον τύπο (1.4) μπορούμε να εξαγάγουμε τις προϋποθέσεις για παραλληλισμό και καθετότητα δύο ευθειών.

Παράδειγμα 1. Προσδιορίστε τη γωνία μεταξύ των γραμμών

Ας απλοποιήσουμε και ας λύσουμε:

1.2. Συνθήκη για παράλληλες ευθείες

Αφήνω φ =0. Επειτα cosφ=1. Σε αυτήν την περίπτωση, η έκφραση (1.4) θα έχει την ακόλουθη μορφή:

,

,

Παράδειγμα 2: Προσδιορίστε εάν οι ευθείες είναι παράλληλες

Η ισότητα (1.9) ικανοποιείται, επομένως οι γραμμές (1.10) και (1.11) είναι παράλληλες.

Απάντηση. Οι ευθείες (1.10) και (1.11) είναι παράλληλες.

1.3. Συνθήκη για καθετότητα γραμμών

Αφήνω φ =90°. Επειτα cosφ=0. Σε αυτήν την περίπτωση, η έκφραση (1.4) θα έχει την ακόλουθη μορφή:

Παράδειγμα 3. Προσδιορίστε εάν οι ευθείες είναι κάθετες

Η συνθήκη (1.13) ικανοποιείται, επομένως οι γραμμές (1.14) και (1.15) είναι κάθετες.

Απάντηση. Οι γραμμές (1.14) και (1.15) είναι κάθετες.

Οι γραμμές ορίζονται με γενικές εξισώσεις

1.4. Προσδιορισμός της γωνίας μεταξύ ευθειών

Αφήστε δύο ευθείες γραμμές μεγάλο 1 και μεγάλο 2 δίνονται με γενικές εξισώσεις

Από τον ορισμό του βαθμωτού γινόμενου δύο διανυσμάτων, έχουμε:

Παράδειγμα 4. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών

Τιμές αντικατάστασης ΕΝΑ 1 , σι 1 , ΕΝΑ 2 , σι 2 σε (1,23), παίρνουμε:

Αυτή η γωνία είναι μεγαλύτερη από 90°. Ας βρούμε την ελάχιστη γωνία μεταξύ ευθειών. Για να το κάνετε αυτό, αφαιρέστε αυτή τη γωνία από 180:

Από την άλλη, η συνθήκη των παράλληλων ευθειών μεγάλο 1 και μεγάλοΤο 2 είναι ισοδύναμο με την συνθήκη της συγγραμμικότητας των διανυσμάτων n 1 και n 2 και μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

Η ισότητα (1,24) ικανοποιείται, επομένως οι ευθείες (1,26) και (1,27) είναι παράλληλες.

Απάντηση. Οι ευθείες (1.26) και (1.27) είναι παράλληλες.

1.6. Συνθήκη για καθετότητα γραμμών

Συνθήκη για καθετότητα γραμμών μεγάλο 1 και μεγάλο 2 μπορεί να εξαχθεί από τον τύπο (1.20) με υποκατάσταση cos(φ )=0. Στη συνέχεια το βαθμωτό γινόμενο ( n 1 ,n 2)=0. Οπου

Η ισότητα (1,28) ικανοποιείται, επομένως οι γραμμές (1,29) και (1,30) είναι κάθετες.

Απάντηση. Οι γραμμές (1.29) και (1.30) είναι κάθετες.

2. Γωνία μεταξύ ευθειών στο διάστημα

2.1. Προσδιορισμός της γωνίας μεταξύ ευθειών

Αφήστε να υπάρχουν ευθείες γραμμές στο χώρο μεγάλο 1 και μεγάλο 2 δίνονται με κανονικές εξισώσεις

όπου | q 1 | και | q 2 | διανυσματικές ενότητες κατεύθυνσης q 1 και q 2 αντίστοιχα, φ - γωνία μεταξύ διανυσμάτων q 1 και q 2 .

Από την έκφραση (2.3) παίρνουμε:

.

Ας απλοποιήσουμε και ας λύσουμε:

.

Ας βρούμε τη γωνία φ

Αυτό το υλικό είναι αφιερωμένο σε μια τέτοια έννοια όπως η γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων γραμμών. Στην πρώτη παράγραφο θα εξηγήσουμε τι είναι και θα το δείξουμε σε εικονογραφήσεις. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε τους τρόπους με τους οποίους μπορείτε να βρείτε το ημίτονο, το συνημίτονο αυτής της γωνίας και την ίδια τη γωνία (θα εξετάσουμε χωριστά περιπτώσεις με επίπεδο και τρισδιάστατο χώρο), θα δώσουμε τους απαραίτητους τύπους και θα δείξουμε με παραδείγματα ακριβώς πώς χρησιμοποιούνται στην πράξη.

Για να καταλάβουμε ποια είναι η γωνία που σχηματίζεται όταν τέμνονται δύο ευθείες, πρέπει να θυμόμαστε τον ίδιο τον ορισμό της γωνίας, της καθετότητας και του σημείου τομής.

Ορισμός 1

Καλούμε δύο ευθείες που τέμνονται αν έχουν ένα κοινό σημείο. Το σημείο αυτό ονομάζεται σημείο τομής δύο ευθειών.

Κάθε ευθεία διαιρείται από ένα σημείο τομής σε ακτίνες. Και οι δύο ευθείες σχηματίζουν 4 γωνίες, δύο από τις οποίες είναι κάθετες και δύο γειτονικές. Αν γνωρίζουμε το μέτρο ενός από αυτά, τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε και τα υπόλοιπα.

Ας πούμε ότι γνωρίζουμε ότι μία από τις γωνίες είναι ίση με α. Σε αυτή την περίπτωση, η γωνία που είναι κατακόρυφη ως προς αυτήν θα είναι επίσης ίση με α. Για να βρούμε τις υπόλοιπες γωνίες, πρέπει να υπολογίσουμε τη διαφορά 180 ° - α. Αν το α είναι ίσο με 90 μοίρες, τότε όλες οι γωνίες θα είναι ορθές. Οι ευθείες που τέμνονται σε ορθή γωνία ονομάζονται κάθετες (ένα ξεχωριστό άρθρο είναι αφιερωμένο στην έννοια της καθετότητας).

Ρίξτε μια ματιά στην εικόνα:

Ας προχωρήσουμε στη διατύπωση του κύριου ορισμού.

Ορισμός 2

Η γωνία που σχηματίζεται από δύο τεμνόμενες ευθείες είναι το μέτρο της μικρότερης από τις 4 γωνίες που σχηματίζουν αυτές τις δύο ευθείες.

Ένα σημαντικό συμπέρασμα πρέπει να εξαχθεί από τον ορισμό: το μέγεθος της γωνίας σε αυτή την περίπτωση θα εκφραστεί με οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό στο διάστημα (0, 90]. Εάν οι γραμμές είναι κάθετες, τότε η γωνία μεταξύ τους θα είναι σε κάθε περίπτωση ίσο με 90 μοίρες.

Η ικανότητα εύρεσης του μέτρου της γωνίας μεταξύ δύο τεμνόμενων γραμμών είναι χρήσιμη για την επίλυση πολλών πρακτικών προβλημάτων. Η μέθοδος λύσης μπορεί να επιλεγεί από διάφορες επιλογές.

Αρχικά, μπορούμε να πάρουμε γεωμετρικές μεθόδους. Αν γνωρίζουμε κάτι για τις συμπληρωματικές γωνίες, τότε μπορούμε να τις συσχετίσουμε με τη γωνία που χρειαζόμαστε χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες ίσων ή παρόμοιων σχημάτων. Για παράδειγμα, αν γνωρίζουμε τις πλευρές ενός τριγώνου και πρέπει να υπολογίσουμε τη γωνία μεταξύ των γραμμών στις οποίες βρίσκονται αυτές οι πλευρές, τότε το θεώρημα συνημιτόνου είναι κατάλληλο για τη λύση μας. Αν έχουμε ορθογώνιο τρίγωνο στην κατάστασή μας, τότε για υπολογισμούς θα χρειαστεί να γνωρίζουμε και το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη της γωνίας.

Η μέθοδος συντεταγμένων είναι επίσης πολύ βολική για την επίλυση προβλημάτων αυτού του τύπου. Ας εξηγήσουμε πώς να το χρησιμοποιήσετε σωστά.

Έχουμε ένα ορθογώνιο (καρτεσιανό) σύστημα συντεταγμένων O x y, στο οποίο δίνονται δύο ευθείες γραμμές. Ας τα συμβολίσουμε με τα γράμματα α και β. Οι ευθείες γραμμές μπορούν να περιγραφούν χρησιμοποιώντας κάποιες εξισώσεις. Οι αρχικές γραμμές έχουν σημείο τομής Μ. Πώς να προσδιορίσετε την απαιτούμενη γωνία (ας τη συμβολίσουμε α) μεταξύ αυτών των ευθειών;

Ας ξεκινήσουμε διατυπώνοντας τη βασική αρχή της εύρεσης γωνίας υπό δεδομένες συνθήκες.

Γνωρίζουμε ότι η έννοια της ευθείας γραμμής συνδέεται στενά με έννοιες όπως ένα διάνυσμα κατεύθυνσης και ένα κανονικό διάνυσμα. Εάν έχουμε μια εξίσωση μιας συγκεκριμένης ευθείας, μπορούμε να πάρουμε τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων από αυτήν. Μπορούμε να το κάνουμε αυτό για δύο τεμνόμενες ευθείες ταυτόχρονα.

Η γωνία που υποτείνεται από δύο τεμνόμενες γραμμές μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας:

• γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης.
• γωνία μεταξύ κανονικών διανυσμάτων.
• τη γωνία μεταξύ του κανονικού διανύσματος της μιας ευθείας και του διανύσματος κατεύθυνσης της άλλης.

Τώρα ας δούμε κάθε μέθοδο ξεχωριστά.

1. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια ευθεία a με διάνυσμα κατεύθυνσης a → = (a x, a y) και μια ευθεία b με διάνυσμα κατεύθυνσης b → (b x, b y). Τώρα ας σχεδιάσουμε δύο διανύσματα a → και b → από το σημείο τομής. Μετά από αυτό θα δούμε ότι το καθένα θα βρίσκεται στη δική του ευθεία. Τότε έχουμε τέσσερις επιλογές για τη σχετική τους διάταξη. Δείτε την εικόνα:

Εάν η γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων δεν είναι αμβλεία, τότε θα είναι η γωνία που χρειαζόμαστε μεταξύ των τεμνόμενων ευθειών a και b. Εάν είναι αμβλεία, τότε η επιθυμητή γωνία θα είναι ίση με τη γωνία δίπλα στη γωνία a →, b → ^. Έτσι, α = a → , b → ^ εάν a → , b → ^ ≤ 90 ° , και α = 180 ° - a → , b → ^ εάν a → , b → ^ > 90 ° .

Με βάση το γεγονός ότι τα συνημίτονα ίσων γωνιών είναι ίσα, μπορούμε να ξαναγράψουμε τις ισότητες που προκύπτουν ως εξής: cos α = cos a →, b → ^, εάν a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, εάν a →, b → ^ > 90 °.

Στη δεύτερη περίπτωση χρησιμοποιήθηκαν τύποι αναγωγής. Ετσι,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Ας γράψουμε τον τελευταίο τύπο με λέξεις:

Ορισμός 3

Το συνημίτονο της γωνίας που σχηματίζεται από δύο τεμνόμενες ευθείες θα είναι ίσο με το μέτρο συνημίτονος της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσής του.

Η γενική μορφή του τύπου για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ δύο διανυσμάτων a → = (a x , a y) και b → = (b x , b y) μοιάζει με αυτό:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Από αυτό μπορούμε να εξαγάγουμε τον τύπο για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ δύο δεδομένων ευθειών:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Στη συνέχεια, η ίδια η γωνία μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Εδώ a → = (a x , a y) και b → = (b x , b y) είναι τα διανύσματα κατεύθυνσης των δεδομένων γραμμών.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος.

Παράδειγμα 1

Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο, δίνονται δύο τεμνόμενες ευθείες a και b. Μπορούν να περιγραφούν με τις παραμετρικές εξισώσεις x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R και x 5 = y - 6 - 3. Υπολογίστε τη γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών.

Λύση

Έχουμε μια παραμετρική εξίσωση στην συνθήκη μας, που σημαίνει ότι για αυτή τη γραμμή μπορούμε να γράψουμε αμέσως τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσής της. Για να γίνει αυτό, πρέπει να πάρουμε τις τιμές των συντελεστών για την παράμετρο, δηλ. η ευθεία x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R θα έχει διάνυσμα κατεύθυνσης a → = (4, 1).

Η δεύτερη γραμμή περιγράφεται χρησιμοποιώντας την κανονική εξίσωση x 5 = y - 6 - 3. Εδώ μπορούμε να πάρουμε τις συντεταγμένες από τους παρονομαστές. Έτσι, αυτή η ευθεία έχει διάνυσμα κατεύθυνσης b → = (5, - 3) .

Στη συνέχεια, προχωράμε απευθείας στην εύρεση της γωνίας. Για να γίνει αυτό, απλώς αντικαταστήστε τις υπάρχουσες συντεταγμένες των δύο διανυσμάτων στον παραπάνω τύπο α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Παίρνουμε τα εξής:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Απάντηση: Αυτές οι ευθείες σχηματίζουν γωνία 45 μοιρών.

Μπορούμε να λύσουμε ένα παρόμοιο πρόβλημα βρίσκοντας τη γωνία μεταξύ των κανονικών διανυσμάτων. Αν έχουμε μια ευθεία a με κανονικό διάνυσμα n a → = (n a x , n a y) και μια ευθεία b με κανονικό διάνυσμα n b → = (n b x , n b y), τότε η μεταξύ τους γωνία θα είναι ίση με τη γωνία μεταξύ n a → και n b → ή τη γωνία που θα είναι δίπλα στο n a →, n b → ^. Αυτή η μέθοδος φαίνεται στην εικόνα:

Οι τύποι για τον υπολογισμό του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ τεμνόμενων γραμμών και αυτής της ίδιας της γωνίας χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες των κανονικών διανυσμάτων μοιάζουν με αυτό:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n xn by 2

Εδώ τα n a → και n b → δηλώνουν τα κανονικά διανύσματα δύο δεδομένων γραμμών.

Παράδειγμα 2

Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, δίδονται δύο ευθείες γραμμές χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις 3 x + 5 y - 30 = 0 και x + 4 y - 17 = 0. Βρείτε το ημίτονο και το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας και το μέγεθος αυτής της ίδιας της γωνίας.

Λύση

Οι αρχικές γραμμές καθορίζονται χρησιμοποιώντας εξισώσεις κανονικών γραμμών της μορφής A x + B y + C = 0. Συμβολίζουμε το κανονικό διάνυσμα ως n → = (A, B). Ας βρούμε τις συντεταγμένες του πρώτου κανονικού διανύσματος για μια ευθεία και ας τις γράψουμε: n a → = (3, 5) . Για τη δεύτερη ευθεία x + 4 y - 17 = 0, το κανονικό διάνυσμα θα έχει συντεταγμένες n b → = (1, 4). Τώρα ας προσθέσουμε τις λαμβανόμενες τιμές στον τύπο και ας υπολογίσουμε το σύνολο:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Αν γνωρίζουμε το συνημίτονο μιας γωνίας, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε το ημίτονο της χρησιμοποιώντας τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα. Εφόσον η γωνία α που σχηματίζεται από ευθείες γραμμές δεν είναι αμβλεία, τότε sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

Σε αυτή την περίπτωση, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Απάντηση: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Ας αναλύσουμε την τελευταία περίπτωση - βρίσκοντας τη γωνία μεταξύ ευθειών, αν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης μιας ευθείας και του κανονικού διανύσματος της άλλης.

Ας υποθέσουμε ότι η ευθεία a έχει διάνυσμα κατεύθυνσης a → = (a x , a y) , και η ευθεία b έχει ένα κανονικό διάνυσμα n b → = (n b x , n b y) . Πρέπει να παραμερίσουμε αυτά τα διανύσματα από το σημείο τομής και να εξετάσουμε όλες τις επιλογές για τις σχετικές θέσεις τους. Δείτε στην εικόνα:

Εάν η γωνία μεταξύ των δεδομένων διανυσμάτων δεν είναι μεγαλύτερη από 90 μοίρες, αποδεικνύεται ότι θα συμπληρώσει τη γωνία μεταξύ a και b σε ορθή γωνία.

a → , n b → ^ = 90 ° - α εάν a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Αν είναι μικρότερη από 90 μοίρες, τότε παίρνουμε τα εξής:

a → , n b → ^ > 90 ° , μετά a → , n b → ^ = 90 ° + α

Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της ισότητας των συνημιτόνων ίσων γωνιών, γράφουμε:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = αμαρτία α για a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α για a → , n b → ^ > 90 ° .

Ετσι,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^, a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Ας διατυπώσουμε ένα συμπέρασμα.

Ορισμός 4

Για να βρείτε το ημίτονο της γωνίας μεταξύ δύο ευθειών που τέμνονται σε ένα επίπεδο, πρέπει να υπολογίσετε το συντελεστή συνημιτόνων της γωνίας μεταξύ του διανύσματος κατεύθυνσης της πρώτης γραμμής και του κανονικού διανύσματος της δεύτερης.

Ας γράψουμε τους απαραίτητους τύπους. Εύρεση του ημιτόνου μιας γωνίας:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Εύρεση της ίδιας της γωνίας:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Εδώ a → είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης της πρώτης γραμμής και n b → είναι το κανονικό διάνυσμα της δεύτερης.

Παράδειγμα 3

Δύο τεμνόμενες ευθείες δίνονται από τις εξισώσεις x - 5 = y - 6 3 και x + 4 y - 17 = 0. Βρείτε τη γωνία τομής.

Λύση

Παίρνουμε τις συντεταγμένες του οδηγού και του κανονικού διανύσματος από τις δεδομένες εξισώσεις. Αποδεικνύεται a → = (- 5, 3) και n → b = (1, 4). Παίρνουμε τον τύπο α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 και υπολογίζουμε:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Σημειώστε ότι πήραμε τις εξισώσεις από το προηγούμενο πρόβλημα και λάβαμε ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα, αλλά με διαφορετικό τρόπο.

Απάντηση:α = a r c sin 7 2 34

Ας παρουσιάσουμε έναν άλλο τρόπο για να βρούμε την επιθυμητή γωνία χρησιμοποιώντας τους γωνιακούς συντελεστές δεδομένων ευθειών.

Έχουμε μια ευθεία a, η οποία ορίζεται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων χρησιμοποιώντας την εξίσωση y = k 1 x + b 1, και μια ευθεία b, που ορίζεται ως y = k 2 x + b 2. Αυτές είναι εξισώσεις γραμμών με κλίσεις. Για να βρούμε τη γωνία τομής, χρησιμοποιούμε τον τύπο:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, όπου k 1 και k 2 είναι οι κλίσεις των δεδομένων γραμμών. Για να ληφθεί αυτή η εγγραφή, χρησιμοποιήθηκαν τύποι για τον προσδιορισμό της γωνίας μέσω των συντεταγμένων των κανονικών διανυσμάτων.

Παράδειγμα 4

Υπάρχουν δύο ευθείες που τέμνονται σε ένα επίπεδο, που δίνονται από τις εξισώσεις y = - 3 5 x + 6 και y = - 1 4 x + 17 4. Υπολογίστε την τιμή της γωνίας τομής.

Λύση

Οι γωνιακοί συντελεστές των ευθειών μας είναι ίσοι με k 1 = - 3 5 και k 2 = - 1 4. Ας τα προσθέσουμε στον τύπο α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 και υπολογίσουμε:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Απάντηση:α = a r c cos 23 2 34

Στα συμπεράσματα αυτής της παραγράφου, θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι τύποι για την εύρεση της γωνίας που δίνονται εδώ δεν χρειάζεται να μάθουν από πάνω. Για να γίνει αυτό, αρκεί να γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των οδηγών ή/και τα κανονικά διανύσματα δεδομένων γραμμών και να μπορούμε να τις προσδιορίσουμε χρησιμοποιώντας διαφορετικούς τύπους εξισώσεων. Αλλά είναι καλύτερα να θυμάστε ή να γράψετε τους τύπους για τον υπολογισμό του συνημίτονος μιας γωνίας.

Πώς να υπολογίσετε τη γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών στο χώρο

Ο υπολογισμός μιας τέτοιας γωνίας μπορεί να περιοριστεί στον υπολογισμό των συντεταγμένων των διανυσμάτων κατεύθυνσης και στον προσδιορισμό του μεγέθους της γωνίας που σχηματίζουν αυτά τα διανύσματα. Για τέτοια παραδείγματα, χρησιμοποιείται ο ίδιος συλλογισμός που δώσαμε προηγουμένως.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων που βρίσκεται σε τρισδιάστατο χώρο. Περιέχει δύο ευθείες α και β με σημείο τομής Μ. Για να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης, πρέπει να γνωρίζουμε τις εξισώσεις αυτών των γραμμών. Ας συμβολίσουμε τα διανύσματα κατεύθυνσης a → = (a x , a y , a z) και b → = (b x , b y , b z) . Για να υπολογίσουμε το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας, χρησιμοποιούμε τον τύπο:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Για να βρούμε την ίδια τη γωνία, χρειαζόμαστε αυτόν τον τύπο:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Παράδειγμα 5

Έχουμε μια γραμμή που ορίζεται σε τρισδιάστατο χώρο χρησιμοποιώντας την εξίσωση x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Είναι γνωστό ότι τέμνεται με τον άξονα O z. Να υπολογίσετε τη γωνία τομής και το συνημίτονο αυτής της γωνίας.

Λύση

Ας υποδηλώσουμε τη γωνία που πρέπει να υπολογιστεί με το γράμμα α. Ας γράψουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης για την πρώτη ευθεία – a → = (1, - 3, - 2) . Για τον άξονα εφαρμογής, μπορούμε να πάρουμε ως οδηγό το διάνυσμα συντεταγμένων k → = (0, 0, 1). Έχουμε λάβει τα απαραίτητα δεδομένα και μπορούμε να τα προσθέσουμε στον επιθυμητό τύπο:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Ως αποτέλεσμα, βρήκαμε ότι η γωνία που χρειαζόμαστε θα είναι ίση με a r c cos 1 2 = 45 °.

Απάντηση: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

ΕΝΑ. Έστω δύο ευθείες γραμμές Αυτές οι ευθείες, όπως υποδεικνύονται στο Κεφάλαιο 1, σχηματίζουν διάφορες θετικές και αρνητικές γωνίες, οι οποίες μπορεί να είναι οξείες ή αμβλείες. Γνωρίζοντας μία από αυτές τις γωνίες, μπορούμε εύκολα να βρούμε οποιαδήποτε άλλη.

Παρεμπιπτόντως, για όλες αυτές τις γωνίες η αριθμητική τιμή της εφαπτομένης είναι η ίδια, η διαφορά μπορεί να είναι μόνο στο πρόσημο

Εξισώσεις γραμμών. Οι αριθμοί είναι οι προβολές των διανυσμάτων κατεύθυνσης της πρώτης και της δεύτερης ευθείας. Επομένως, το πρόβλημα έγκειται στον προσδιορισμό της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων

Για απλότητα, μπορούμε να συμφωνήσουμε ότι η γωνία μεταξύ δύο ευθειών είναι μια οξεία θετική γωνία (όπως, για παράδειγμα, στο Σχ. 53).

Τότε η εφαπτομένη αυτής της γωνίας θα είναι πάντα θετική. Έτσι, εάν υπάρχει ένα σύμβολο μείον στη δεξιά πλευρά του τύπου (1), τότε πρέπει να το απορρίψουμε, δηλαδή να αποθηκεύσουμε μόνο την απόλυτη τιμή.

Παράδειγμα. Προσδιορίστε τη γωνία μεταξύ των ευθειών

Σύμφωνα με τον τύπο (1) έχουμε

Με. Αν υποδεικνύεται ποια από τις πλευρές της γωνίας είναι η αρχή και ποια το τέλος της, τότε, μετρώντας πάντα την φορά της γωνίας αριστερόστροφα, μπορούμε να εξαγάγουμε κάτι παραπάνω από τον τύπο (1). Όπως φαίνεται εύκολα από το Σχ. 53, το σύμβολο που λαμβάνεται στη δεξιά πλευρά του τύπου (1) θα υποδεικνύει τι είδους γωνία - οξεία ή αμβλεία - σχηματίζει η δεύτερη ευθεία με την πρώτη.

(Πράγματι, από το Σχ. 53 βλέπουμε ότι η γωνία μεταξύ του πρώτου και του δεύτερου διανύσματος κατεύθυνσης είναι είτε ίση με την επιθυμητή γωνία μεταξύ των ευθειών είτε διαφέρει από αυτήν κατά ±180°.)

ρε. Αν οι ευθείες είναι παράλληλες, τότε τα διανύσματα κατεύθυνσής τους είναι παράλληλα Εφαρμόζοντας την συνθήκη του παραλληλισμού δύο διανυσμάτων, παίρνουμε!

Αυτή είναι απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τον παραλληλισμό δύο ευθειών.

Παράδειγμα. Απευθείας

είναι παράλληλες γιατί

μι. Αν οι ευθείες είναι κάθετες τότε κάθετα είναι και τα διανύσματα κατεύθυνσής τους. Εφαρμόζοντας τη συνθήκη της καθετότητας δύο διανυσμάτων, προκύπτει η συνθήκη της καθετότητας δύο ευθειών, δηλαδή

Παράδειγμα. Απευθείας

είναι κάθετες λόγω του ότι

Σε σχέση με τις συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας, θα λύσουμε τα ακόλουθα δύο προβλήματα.

φά. Σχεδιάστε μια ευθεία σε σημείο παράλληλο στη δεδομένη ευθεία

Η λύση πραγματοποιείται ως εξής. Εφόσον η επιθυμητή ευθεία είναι παράλληλη με αυτήν, τότε για το διάνυσμα κατεύθυνσής της μπορούμε να πάρουμε το ίδιο με αυτό της δεδομένης γραμμής, δηλαδή ένα διάνυσμα με προβολές Α και Β. Και τότε η εξίσωση της επιθυμητής ευθείας θα γραφεί στο το έντυπο (§ 1)

Παράδειγμα. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σημείο (1; 3) παράλληλο προς την ευθεία

θα υπάρξει επόμενο!

σολ. Σχεδιάστε μια ευθεία σε ένα σημείο κάθετο στη δεδομένη ευθεία

Εδώ δεν είναι πλέον κατάλληλο να παίρνουμε το διάνυσμα με προβολές Α και ως καθοδηγητικό διάνυσμα, αλλά είναι απαραίτητο να παίρνουμε το διάνυσμα κάθετο σε αυτό. Οι προβολές αυτού του διανύσματος πρέπει επομένως να επιλέγονται σύμφωνα με την συνθήκη της καθετότητας και των δύο διανυσμάτων, δηλαδή σύμφωνα με την συνθήκη

Αυτή η συνθήκη μπορεί να εκπληρωθεί με αμέτρητους τρόπους, αφού εδώ υπάρχει μια εξίσωση με δύο άγνωστα, αλλά ο ευκολότερος τρόπος είναι να ληφθεί ή Στη συνέχεια η εξίσωση της επιθυμητής γραμμής θα γραφτεί στη μορφή

Παράδειγμα. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σημείο (-7; 2) σε κάθετη ευθεία

θα υπάρχει το εξής (σύμφωνα με τον δεύτερο τύπο)!

η. Στην περίπτωση που οι γραμμές δίνονται με εξισώσεις της μορφής

ξαναγράφοντας αυτές τις εξισώσεις διαφορετικά, έχουμε