Πώς να λύσετε τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων

Οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις λύνονται, κατά κανόνα, χρησιμοποιώντας τύπους. Να σας υπενθυμίσω ότι οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις είναι:

sinx = α

cosx = α

tgx = α

ctgx = α

x είναι η γωνία που πρέπει να βρεθεί,
α είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Και εδώ είναι οι τύποι με τους οποίους μπορείτε να γράψετε αμέσως τις λύσεις σε αυτές τις απλούστερες εξισώσεις.

Για ημιτονοειδή:

Για το συνημίτονο:

x = ± τόξο a + 2π n, n ∈ Z

Για εφαπτομένη:

x = αρκτάνη a + π n, n ∈ Z

Για συμεφαπτομένη:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Στην πραγματικότητα, αυτό είναι το θεωρητικό μέρος της επίλυσης των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων. Επιπλέον, τα πάντα!) Τίποτα απολύτως. Ωστόσο, ο αριθμός των σφαλμάτων σε αυτό το θέμα είναι απλώς εκτός γραφημάτων. Ειδικά αν το παράδειγμα αποκλίνει ελαφρώς από το πρότυπο. Γιατί;

Ναι, επειδή πολλοί άνθρωποι γράφουν αυτά τα γράμματα, χωρίς να καταλαβαίνω καθόλου τη σημασία τους!Γράφει με προσοχή, μήπως συμβεί κάτι...) Αυτό πρέπει να διευθετηθεί. Τριγωνομετρία για τους ανθρώπους ή άνθρωποι για τριγωνομετρία τελικά!;)

Ας το καταλάβουμε;

Μια γωνία θα είναι ίση με τόξο α, δεύτερος: -arccos α.

Και πάντα έτσι θα βγαίνει.Για κάθε ΕΝΑ.

Αν δεν με πιστεύετε, τοποθετήστε το ποντίκι σας πάνω από την εικόνα ή αγγίξτε την εικόνα στο tablet σας.) Άλλαξα τον αριθμό ΕΝΑ σε κάτι αρνητικό. Τέλος πάντων, έχουμε μια γωνία τόξο α, δεύτερος: -arccos α.

Επομένως, η απάντηση μπορεί πάντα να γραφτεί ως δύο σειρές ριζών:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Ας συνδυάσουμε αυτές τις δύο σειρές σε μία:

x= ± τόξο a + 2π n, n ∈ Z

Και αυτό είναι όλο. Λάβαμε έναν γενικό τύπο για την επίλυση της απλούστερης τριγωνομετρικής εξίσωσης με συνημίτονο.

Αν καταλαβαίνετε ότι δεν πρόκειται για κάποιου είδους υπερεπιστημονική σοφία, αλλά απλώς μια συντομευμένη έκδοση δύο σειρών απαντήσεων,Θα μπορείτε επίσης να χειρίζεστε εργασίες "C". Με ανισότητες, με επιλογή ριζών από ένα δεδομένο διάστημα... Εκεί η απάντηση με συν/πλην δεν λειτουργεί. Αλλά αν αντιμετωπίσετε την απάντηση με επιχειρηματικό τρόπο και τη χωρίσετε σε δύο ξεχωριστές απαντήσεις, όλα θα λυθούν.) Στην πραγματικότητα, γι' αυτό το εξετάζουμε. Τι, πώς και πού.

Στην απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση

sinx = α

παίρνουμε επίσης δύο σειρές ριζών. Πάντα. Και αυτές οι δύο σειρές μπορούν επίσης να ηχογραφηθούν σε μια γραμμή. Μόνο αυτή η γραμμή θα είναι πιο δύσκολη:

x = (-1) n τόξο a + π n, n ∈ Z

Όμως η ουσία παραμένει η ίδια. Οι μαθηματικοί απλώς σχεδίασαν έναν τύπο για να κάνουν μία αντί για δύο καταχωρήσεις για σειρές ριζών. Αυτό είναι όλο!

Ας ελέγξουμε τους μαθηματικούς; Και ποτέ δεν ξέρεις...)

Στο προηγούμενο μάθημα, συζητήθηκε λεπτομερώς η λύση (χωρίς τύπους) μιας τριγωνομετρικής εξίσωσης με ημίτονο:

Η απάντηση είχε ως αποτέλεσμα δύο σειρές ριζών:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Αν λύσουμε την ίδια εξίσωση χρησιμοποιώντας τον τύπο, παίρνουμε την απάντηση:

x = (-1) n τόξο 0,5 + π n, n ∈ Z

Στην πραγματικότητα, αυτή είναι μια ημιτελής απάντηση.) Ο μαθητής πρέπει να το γνωρίζει αυτό τόξο 0,5 = π /6.Η πλήρης απάντηση θα ήταν:

x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z

Αυτό εγείρει ένα ενδιαφέρον ερώτημα. Απάντηση μέσω x 1; x 2 (αυτή είναι η σωστή απάντηση!) και μέσω της μοναξιάς Χ (και αυτή είναι η σωστή απάντηση!) - είναι το ίδιο πράγμα ή όχι; Θα μάθουμε τώρα.)

Αντικαθιστούμε στην απάντηση με x 1 αξίες n =0; 1; 2; κ.λπ., μετράμε, παίρνουμε μια σειρά από ρίζες:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 και ούτω καθεξής.

Με την ίδια αντικατάσταση σε απάντηση με x 2 , παίρνουμε:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 και ούτω καθεξής.

Τώρα ας αντικαταστήσουμε τις τιμές n (0; 1; 2; 3; 4...) στον γενικό τύπο για το single Χ . Δηλαδή ανεβάζουμε μείον ένα στη μηδενική ισχύ, μετά στην πρώτη, δεύτερη κ.λπ. Λοιπόν, φυσικά, αντικαθιστούμε το 0 στον δεύτερο όρο. 1; 2 3; 4, κ.λπ. Και μετράμε. Παίρνουμε τη σειρά:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 και ούτω καθεξής.

Αυτό είναι το μόνο που μπορείτε να δείτε.) Ο γενικός τύπος μας δίνει ακριβώς τα ίδια αποτελέσματαόπως και οι δύο απαντήσεις χωριστά. Όλα ταυτόχρονα, με τη σειρά. Οι μαθηματικοί δεν ξεγελάστηκαν.)

Μπορούν επίσης να ελεγχθούν τύποι για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων με εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. Αλλά δεν θα το κάνουμε.) Είναι ήδη απλά.

Έγραψα όλη αυτή την αντικατάσταση και επαλήθευση συγκεκριμένα. Εδώ είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ένα απλό πράγμα: υπάρχουν τύποι για την επίλυση στοιχειωδών τριγωνομετρικών εξισώσεων, μόνο μια σύντομη περίληψη των απαντήσεων.Για αυτή τη συντομία, έπρεπε να εισαγάγουμε συν/πλην στο συνημιτονικό διάλυμα και (-1) n στο ημιτονικό διάλυμα.

Αυτά τα ένθετα δεν παρεμβαίνουν με κανέναν τρόπο σε εργασίες όπου χρειάζεται απλώς να γράψετε την απάντηση σε μια στοιχειώδη εξίσωση. Αλλά αν πρέπει να λύσετε μια ανισότητα ή τότε πρέπει να κάνετε κάτι με την απάντηση: επιλέξτε ρίζες σε ένα διάστημα, ελέγξτε για ODZ κ.λπ., αυτές οι εισαγωγές μπορούν εύκολα να αναστατώσουν ένα άτομο.

Αρα τι πρέπει να κάνω; Ναι, είτε γράψτε την απάντηση σε δύο σειρές, είτε λύστε την εξίσωση/ανίσωση χρησιμοποιώντας τον τριγωνομετρικό κύκλο. Τότε αυτές οι παρεμβολές εξαφανίζονται και η ζωή γίνεται ευκολότερη.)

Μπορούμε να συνοψίσουμε.

Για την επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων, υπάρχουν έτοιμοι τύποι απαντήσεων. Τέσσερα κομμάτια. Είναι καλοί για να γράφουν αμέσως τη λύση μιας εξίσωσης. Για παράδειγμα, πρέπει να λύσετε τις εξισώσεις:

sinx = 0,3

Εύκολα: x = (-1) n τόξο 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Κανένα πρόβλημα: x = ± τόξο 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Εύκολα: x = αρκτάνη 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Ένα έμεινε: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Αν λάμπεις από γνώση, γράψε αμέσως την απάντηση:

x= ± τόξο 1,8 + 2π n, n ∈ Z

τότε ήδη λάμπεις, αυτό... εκείνο... από μια λακκούβα.) Σωστή απάντηση: δεν υπάρχουν λύσεις. Δεν καταλαβαίνετε γιατί; Διαβάστε τι είναι το συνημίτονο τόξου. Επιπλέον, εάν στη δεξιά πλευρά της αρχικής εξίσωσης υπάρχουν πινακικές τιμές ημιτονοειδούς, συνημιτονοειδούς, εφαπτομένης, συνεφαπτομένης, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 και ούτω καθεξής. - η απάντηση μέσα από τις καμάρες θα είναι ημιτελής. Τα τόξα πρέπει να μετατραπούν σε ακτίνια.

Και αν συναντήσετε ανισότητα, κάντε like

τότε η απάντηση είναι:

x πn, n ∈ Z

υπάρχουν σπάνιες ανοησίες, ναι...) Εδώ πρέπει να λύσετε χρησιμοποιώντας τον τριγωνομετρικό κύκλο. Τι θα κάνουμε στο αντίστοιχο θέμα.

Για όσους διαβάζουν ηρωικά αυτές τις γραμμές. Δεν μπορώ παρά να εκτιμήσω τις τιτάνιες προσπάθειές σας. Μπόνους για εσάς.)

Δώρο:

Όταν γράφετε τύπους σε μια ανησυχητική κατάσταση μάχης, ακόμη και οι έμπειροι σπασίκλες συχνά μπερδεύονται σχετικά με το πού πn, Και που 2π n. Εδώ είναι ένα απλό κόλπο για εσάς. Σε Ολοιφόρμουλες αξίας πn. Εκτός από τη μοναδική φόρμουλα με συνημίτονο τόξου. Στέκεται εκεί 2πn. Δύοοξύ άκρο της σφύρας. Λέξη-κλειδί - δύο.Στην ίδια φόρμουλα υπάρχουν δύουπογράψει στην αρχή. Συν και πλην. Εδώ και εκεί - δύο.

Αν λοιπόν έγραψες δύουπογράψτε πριν από το συνημίτονο τόξου, είναι πιο εύκολο να θυμάστε τι θα συμβεί στο τέλος δύοοξύ άκρο της σφύρας. Και συμβαίνει και το αντίστροφο. Το άτομο θα χάσει το σημάδι ± , φτάνει στο τέλος, γράφει σωστά δύο Pien, και θα συνέλθει. Υπάρχει κάτι μπροστά δύοσημάδι! Το άτομο θα επιστρέψει στην αρχή και θα διορθώσει το λάθος! Σαν αυτό.)

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Κατά την επίλυση πολλών μαθηματικά προβλήματα, ειδικά αυτές που συμβαίνουν πριν από τον βαθμό 10, η σειρά των ενεργειών που εκτελούνται που θα οδηγήσουν στον στόχο είναι σαφώς καθορισμένη. Τέτοια προβλήματα περιλαμβάνουν, για παράδειγμα, γραμμικές και τετραγωνικές εξισώσεις, γραμμικές και τετραγωνικές ανισώσεις, κλασματικές εξισώσεις και εξισώσεις που ανάγονται σε τετραγωνικές. Η αρχή της επιτυχούς επίλυσης καθενός από τα αναφερόμενα προβλήματα είναι η εξής: πρέπει να καθορίσετε τον τύπο του προβλήματος που επιλύετε, να θυμάστε την απαραίτητη σειρά ενεργειών που θα οδηγήσουν στο επιθυμητό αποτέλεσμα, δηλ. απαντήστε και ακολουθήστε αυτά τα βήματα.

Είναι προφανές ότι η επιτυχία ή η αποτυχία στην επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος εξαρτάται κυρίως από το πόσο σωστά καθορίζεται ο τύπος της εξίσωσης που επιλύεται, πόσο σωστά αναπαράγεται η ακολουθία όλων των σταδίων της επίλυσής της. Φυσικά, σε αυτή την περίπτωση είναι απαραίτητο να έχετε τις δεξιότητες για την εκτέλεση πανομοιότυπων μετασχηματισμών και υπολογισμών.

Η κατάσταση είναι διαφορετική με τριγωνομετρικές εξισώσεις.Δεν είναι καθόλου δύσκολο να τεκμηριωθεί το γεγονός ότι η εξίσωση είναι τριγωνομετρική. Προκύπτουν δυσκολίες κατά τον καθορισμό της αλληλουχίας των ενεργειών που θα οδηγούσαν στη σωστή απάντηση.

Μερικές φορές είναι δύσκολο να προσδιοριστεί ο τύπος του με βάση την εμφάνιση μιας εξίσωσης. Και χωρίς να γνωρίζουμε τον τύπο της εξίσωσης, είναι σχεδόν αδύνατο να επιλέξετε το σωστό από πολλές δεκάδες τριγωνομετρικούς τύπους.

Για να λύσετε μια τριγωνομετρική εξίσωση, πρέπει να δοκιμάσετε:

1. Φέρτε όλες τις συναρτήσεις που περιλαμβάνονται στην εξίσωση στις «ίδιες γωνίες».
2. Φέρτε την εξίσωση σε «πανομοιότυπες συναρτήσεις».
3. παραμετροποιήστε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης κ.λπ.

Ας σκεφτούμε βασικές μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.

I. Αναγωγή στις απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Να εκφράσετε μια τριγωνομετρική συνάρτηση ως προς γνωστές συνιστώσες.

Βήμα 2.Βρείτε το όρισμα συνάρτησης χρησιμοποιώντας τους τύπους:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = αρκτάνη a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Βήμα 3.Βρείτε την άγνωστη μεταβλητή.

Παράδειγμα.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Λύση.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Απάντηση: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Αντικατάσταση μεταβλητής

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Ανάγουμε την εξίσωση σε αλγεβρική μορφή σε σχέση με μία από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Βήμα 2.Σημειώστε τη συνάρτηση που προκύπτει με τη μεταβλητή t (αν χρειάζεται, εισάγετε περιορισμούς στο t).

Βήμα 3.Καταγράψτε και λύστε την αλγεβρική εξίσωση που προκύπτει.

Βήμα 4.Κάντε μια αντίστροφη αντικατάσταση.

Βήμα 5.Να λύσετε την απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση.

Παράδειγμα.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Λύση.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Έστω sin (x/2) = t, όπου |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ή e = -3/2, δεν ικανοποιεί τη συνθήκη |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Απάντηση: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Μέθοδος μείωσης σειράς εξίσωσης

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Αντικαταστήστε αυτήν την εξίσωση με μια γραμμική, χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη μείωση του βαθμού:

αμαρτία 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Βήμα 2.Λύστε την εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας τις μεθόδους I και II.

Παράδειγμα.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Λύση.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Απάντηση: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ομογενείς εξισώσεις

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Μειώστε αυτήν την εξίσωση στη φόρμα

α) a sin x + b cos x = 0 (ομογενής εξίσωση πρώτου βαθμού)

ή στη θέα

β) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ομοιογενής εξίσωση δεύτερου βαθμού).

Βήμα 2.Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με

α) cos x ≠ 0;

β) cos 2 x ≠ 0;

και πάρτε την εξίσωση για το tan x:

α) a tan x + b = 0;

β) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Βήμα 3.Λύστε την εξίσωση χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.

Παράδειγμα.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Λύση.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Έστω tg x = t, τότε

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 ή t = -4, που σημαίνει

tg x = 1 ή tg x = -4.

Από την πρώτη εξίσωση x = π/4 + πn, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Απάντηση: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Μέθοδος μετασχηματισμού εξίσωσης με χρήση τριγωνομετρικών τύπων

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Χρησιμοποιώντας όλους τους πιθανούς τριγωνομετρικούς τύπους, ανάγετε αυτήν την εξίσωση σε μια εξίσωση που επιλύεται με τις μεθόδους I, II, III, IV.

Βήμα 2.Λύστε την εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.

Παράδειγμα.

αμαρτία x + αμαρτία 2x + αμαρτία 3x = 0.

Λύση.

1) (αμαρτία x + αμαρτία 3x) + αμαρτία 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) αμαρτία 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ή 2cos x + 1 = 0;

Από την πρώτη εξίσωση 2x = π/2 + πn, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση cos x = -1/2.

Έχουμε x = π/4 + πn/2, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Ως αποτέλεσμα, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Απάντηση: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Η ικανότητα και η ικανότητα επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι πολύ σημαντικό, η ανάπτυξή τους απαιτεί σημαντική προσπάθεια, τόσο από την πλευρά του μαθητή όσο και από την πλευρά του δασκάλου.

Πολλά προβλήματα στερεομετρίας, φυσικής κ.λπ. σχετίζονται με την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων Η διαδικασία επίλυσης τέτοιων προβλημάτων ενσωματώνει πολλές από τις γνώσεις και τις δεξιότητες που αποκτώνται με τη μελέτη των στοιχείων της τριγωνομετρίας.

Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις καταλαμβάνουν σημαντική θέση στη διαδικασία εκμάθησης των μαθηματικών και γενικότερα της προσωπικής ανάπτυξης.

Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε τριγωνομετρικές εξισώσεις;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

ιστοσελίδα, κατά την πλήρη ή μερική αντιγραφή υλικού, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις δεν είναι εύκολο θέμα. Είναι πολύ διαφορετικά.) Για παράδειγμα, αυτά:

αμαρτία 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = κούνια(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Και τα λοιπά...

Όμως αυτά (και όλα τα άλλα) τριγωνομετρικά τέρατα έχουν δύο κοινά και υποχρεωτικά χαρακτηριστικά. Πρώτον - δεν θα το πιστέψετε - υπάρχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις στις εξισώσεις.) Δεύτερον: όλες οι εκφράσεις με x βρίσκονται μέσα σε αυτές τις ίδιες λειτουργίες.Και μόνο εκεί! Αν κάπου εμφανίζεται το Χ εξω απο,Για παράδειγμα, sin2x + 3x = 3,αυτή θα είναι ήδη μια εξίσωση μικτού τύπου. Τέτοιες εξισώσεις απαιτούν ατομική προσέγγιση. Δεν θα τα εξετάσουμε εδώ.

Δεν θα λύσουμε κακές εξισώσεις ούτε σε αυτό το μάθημα.) Εδώ θα ασχοληθούμε οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις.Γιατί; Ναι γιατί η λύση όποιοςΟι τριγωνομετρικές εξισώσεις αποτελούνται από δύο στάδια. Στο πρώτο στάδιο, η εξίσωση του κακού μειώνεται σε απλή μέσω ποικίλων μετασχηματισμών. Στη δεύτερη, λύνεται αυτή η απλούστερη εξίσωση. Δεν έχει άλλο τρόπο.

Έτσι, εάν έχετε προβλήματα στο δεύτερο στάδιο, το πρώτο στάδιο δεν έχει πολύ νόημα.)

Πώς μοιάζουν οι στοιχειώδεις τριγωνομετρικές εξισώσεις;

sinx = α

cosx = α

tgx = α

ctgx = α

Εδώ ΕΝΑ σημαίνει οποιονδήποτε αριθμό. Οποιος.

Παρεμπιπτόντως, μέσα σε μια συνάρτηση μπορεί να μην υπάρχει ένα καθαρό X, αλλά κάποιο είδος έκφρασης, όπως:

cos(3x+π /3) = 1/2

και τα λοιπά. Αυτό περιπλέκει τη ζωή, αλλά δεν επηρεάζει τη μέθοδο επίλυσης μιας τριγωνομετρικής εξίσωσης.

Πώς να λύσετε τριγωνομετρικές εξισώσεις;

Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις μπορούν να λυθούν με δύο τρόπους. Ο πρώτος τρόπος: χρησιμοποιώντας τη λογική και τον τριγωνομετρικό κύκλο. Θα δούμε αυτό το μονοπάτι εδώ. Ο δεύτερος τρόπος - χρησιμοποιώντας μνήμη και τύπους - θα συζητηθεί στο επόμενο μάθημα.

Ο πρώτος τρόπος είναι σαφής, αξιόπιστος και δύσκολος να ξεχαστεί.) Είναι καλός για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων, ανισώσεων και όλων των ειδών δύσκολων μη τυπικών παραδειγμάτων. Η λογική είναι πιο δυνατή από τη μνήμη!)

Επίλυση εξισώσεων με χρήση τριγωνομετρικού κύκλου.

Περιλαμβάνουμε τη στοιχειώδη λογική και τη δυνατότητα χρήσης του τριγωνομετρικού κύκλου. Δεν ξέρεις πώς; Ωστόσο... Θα δυσκολευτείτε στην τριγωνομετρία...) Αλλά δεν πειράζει. Ρίξτε μια ματιά στα μαθήματα "Τριγωνομετρικός κύκλος...... Τι είναι;" και "Μέτρηση γωνιών σε τριγωνομετρικό κύκλο." Όλα είναι απλά εκεί. Σε αντίθεση με τα σχολικά βιβλία...)

Α, ξέρεις! Και μάλιστα κατακτήστε την "Πρακτική εργασία με τον τριγωνομετρικό κύκλο"!; Συγχαρητήρια. Αυτό το θέμα θα είναι κοντινό και κατανοητό σε εσάς.) Αυτό που είναι ιδιαίτερα ευχάριστο είναι ότι ο τριγωνομετρικός κύκλος δεν ενδιαφέρεται για την εξίσωση που θα λύσετε. Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη - όλα είναι ίδια για αυτόν. Υπάρχει μόνο μια αρχή λύσης.

Παίρνουμε λοιπόν οποιαδήποτε στοιχειώδη τριγωνομετρική εξίσωση. Τουλάχιστον αυτό:

cosx = 0,5

Πρέπει να βρούμε το Χ. Μιλώντας στην ανθρώπινη γλώσσα, χρειάζεστε Να βρείτε τη γωνία (x) της οποίας το συνημίτονο είναι 0,5.

Πώς χρησιμοποιούσαμε προηγουμένως τον κύκλο; Σχεδιάσαμε μια γωνία πάνω του. Σε μοίρες ή ακτίνια. Και αμέσως είδε τριγωνομετρικές συναρτήσεις αυτής της γωνίας. Τώρα ας κάνουμε το αντίθετο. Ας σχεδιάσουμε ένα συνημίτονο στον κύκλο ίσο με 0,5 και αμέσως θα δούμε γωνία. Το μόνο που μένει είναι να γράψετε την απάντηση.) Ναι, ναι!

Σχεδιάστε έναν κύκλο και σημειώστε το συνημίτονο ίσο με 0,5. Στον άξονα συνημιτόνου, φυσικά. Σαν αυτό:

Τώρα ας σχεδιάσουμε τη γωνία που μας δίνει αυτό το συνημίτονο. Τοποθετήστε το ποντίκι σας πάνω από την εικόνα (ή αγγίξτε την εικόνα στο tablet σας) και θα δείτεαυτή ακριβώς τη γωνιά Χ.

Το συνημίτονο ποιας γωνίας είναι 0,5;

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Μερικοί άνθρωποι θα γελάσουν δύσπιστα, ναι... Όπως, άξιζε να γίνει ένας κύκλος όταν όλα είναι ήδη ξεκάθαρα... Μπορείτε, φυσικά, να γελάσετε...) Αλλά το γεγονός είναι ότι αυτή είναι μια λανθασμένη απάντηση. Ή μάλλον ανεπαρκής. Οι γνώστες του κύκλου καταλαβαίνουν ότι υπάρχουν πολλές άλλες γωνίες εδώ που δίνουν επίσης συνημίτονο 0,5.

Εάν στρίψετε την κινούμενη πλευρά ΟΑ πλήρης στροφή, το σημείο Α θα επιστρέψει στην αρχική του θέση. Με το ίδιο συνημίτονο ίσο με 0,5. Εκείνοι. η γωνία θα αλλάξεικατά 360° ή 2π ακτίνια, και συνημίτονο - όχι.Η νέα γωνία 60° + 360° = 420° θα είναι επίσης μια λύση στην εξίσωσή μας, επειδή

Ένας άπειρος αριθμός τέτοιων πλήρους περιστροφών μπορεί να γίνει... Και όλες αυτές οι νέες γωνίες θα είναι λύσεις στην τριγωνομετρική μας εξίσωση. Και όλα πρέπει να καταγραφούν με κάποιο τρόπο ως απάντηση. Ολα.Διαφορετικά, η απόφαση δεν μετράει, ναι...)

Τα μαθηματικά μπορούν να το κάνουν αυτό απλά και κομψά. Γράψτε σε μια σύντομη απάντηση άπειρο σύνολοαποφάσεις. Εδώ είναι πώς φαίνεται για την εξίσωσή μας:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Θα το αποκρυπτογραφήσω. Γράψε ακόμα με νόημαΕίναι πιο ευχάριστο από το να ζωγραφίζεις ανόητα μερικά μυστηριώδη γράμματα, σωστά;)

π /3 - Αυτή είναι η ίδια γωνιά με εμάς είδεστον κύκλο και προσδιορίζεταισύμφωνα με τον συνημίτονο πίνακα.

2π είναι μια πλήρης περιστροφή σε ακτίνια.

n - αυτός είναι ο αριθμός των πλήρων, δηλ. ολόκληροςσ.α.λ Είναι ξεκάθαρο ότι n μπορεί να είναι ίσο με 0, ±1, ±2, ±3.... και ούτω καθεξής. Όπως υποδεικνύεται από τη σύντομη καταχώρηση:

n ∈ Z

n ανήκει ( ∈ ) σύνολο ακεραίων αριθμών ( Ζ ). Παρεμπιπτόντως, αντί για το γράμμα n γράμματα μπορεί κάλλιστα να χρησιμοποιηθούν κ, μ, τ και τα λοιπά.

Αυτή η σημείωση σημαίνει ότι μπορείτε να πάρετε οποιονδήποτε ακέραιο n . Τουλάχιστον -3, τουλάχιστον 0, τουλάχιστον +55. Ο, τι θέλεις. Εάν αντικαταστήσετε αυτόν τον αριθμό στην απάντηση, θα λάβετε μια συγκεκριμένη γωνία, η οποία σίγουρα θα είναι η λύση στη σκληρή μας εξίσωση.)

Ή, με άλλα λόγια, x = π /3 είναι η μόνη ρίζα ενός άπειρου συνόλου. Για να λάβετε όλες τις άλλες ρίζες, αρκεί να προσθέσετε οποιονδήποτε αριθμό πλήρους περιστροφών στο π /3 ( n ) σε ακτίνια. Εκείνοι. 2πn ακτίνιο.

Ολα; Οχι. Παρατείνω επίτηδες την ευχαρίστηση. Για να θυμόμαστε καλύτερα.) Λάβαμε μόνο μέρος των απαντήσεων στην εξίσωσή μας. Θα γράψω αυτό το πρώτο μέρος της λύσης ως εξής:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - όχι μόνο μία ρίζα, αλλά μια ολόκληρη σειρά από ρίζες, γραμμένες σε σύντομη μορφή.

Υπάρχουν όμως και γωνίες που δίνουν και συνημίτονο 0,5!

Ας επιστρέψουμε στην εικόνα μας από την οποία γράψαμε την απάντηση. Εδώ είναι:

Περάστε το ποντίκι σας πάνω από την εικόνα και βλέπουμεμια άλλη γωνία που δίνει επίσης συνημίτονο 0,5.Με τι πιστεύετε ότι ισούται; Τα τρίγωνα είναι ίδια... Ναι! Είναι ίσο με τη γωνία Χ , καθυστέρησε μόνο προς την αρνητική κατεύθυνση. Αυτή είναι η γωνία -Χ. Αλλά έχουμε ήδη υπολογίσει το x. π /3 ή 60°. Επομένως, μπορούμε να γράψουμε με ασφάλεια:

x 2 = - π /3

Λοιπόν, φυσικά, προσθέτουμε όλες τις γωνίες που λαμβάνονται μέσω πλήρους περιστροφών:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Αυτό είναι όλο τώρα.) Στον τριγωνομετρικό κύκλο εμείς είδε(ποιος καταλαβαίνει φυσικά)) Ολαγωνίες που δίνουν συνημίτονο 0,5. Και καταγράψαμε αυτές τις γωνίες σε μια σύντομη μαθηματική μορφή. Η απάντηση είχε ως αποτέλεσμα δύο άπειρες σειρές ριζών:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Αυτή είναι η σωστή απάντηση.

Ελπίδα, γενική αρχή για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεωνη χρήση κύκλου είναι σαφής. Σημειώνουμε το συνημίτονο (ημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη) από τη δεδομένη εξίσωση σε κύκλο, σχεδιάζουμε τις γωνίες που του αντιστοιχούν και σημειώνουμε την απάντηση.Φυσικά, πρέπει να καταλάβουμε τι γωνίες είμαστε είδεστον κύκλο. Μερικές φορές δεν είναι τόσο προφανές. Λοιπόν, είπα ότι εδώ απαιτείται λογική.)

Για παράδειγμα, ας δούμε μια άλλη τριγωνομετρική εξίσωση:

Λάβετε υπόψη σας ότι ο αριθμός 0,5 δεν είναι ο μόνος δυνατός αριθμός στις εξισώσεις!) Απλώς είναι πιο βολικό για μένα να τον γράφω από τις ρίζες και τα κλάσματα.

Δουλεύουμε σύμφωνα με τη γενική αρχή. Σχεδιάζουμε έναν κύκλο, σημειώνουμε (στον ημιτονοειδή άξονα, φυσικά!) 0,5. Σχεδιάζουμε όλες τις γωνίες που αντιστοιχούν σε αυτό το ημίτονο ταυτόχρονα. Παίρνουμε αυτή την εικόνα:

Ας ασχοληθούμε πρώτα με τη γωνία Χ στο πρώτο τρίμηνο. Ανακαλούμε τον πίνακα των ημιτόνων και προσδιορίζουμε την τιμή αυτής της γωνίας. Είναι απλό το θέμα:

x = π /6

Θυμόμαστε τις πλήρεις στροφές και, με καθαρή συνείδηση, γράφουμε την πρώτη σειρά απαντήσεων:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Η μισή δουλειά έχει γίνει. Τώρα όμως πρέπει να προσδιορίσουμε δεύτερη γωνία...Είναι πιο δύσκολο από το να χρησιμοποιούμε συνημίτονα, ναι... Αλλά η λογική θα μας σώσει! Πώς να προσδιορίσετε τη δεύτερη γωνία μέσω x; Ναι Εύκολα! Τα τρίγωνα στην εικόνα είναι τα ίδια και η κόκκινη γωνία Χ ίσο με γωνία Χ . Μόνο που μετράται από τη γωνία π στην αρνητική κατεύθυνση. Γι' αυτό είναι κόκκινο.) Και για την απάντηση χρειαζόμαστε μια γωνία, μετρημένη σωστά, από τον θετικό ημιάξονα ΟΧ, δηλ. από γωνία 0 μοιρών.

Περνάμε τον κέρσορα πάνω από το σχέδιο και βλέπουμε τα πάντα. Αφαίρεσα την πρώτη γωνία για να μην περιπλέκω την εικόνα. Η γωνία που μας ενδιαφέρει (με πράσινο χρώμα) θα είναι ίση με:

π - x

Χ το ξέρουμε αυτό π /6 . Επομένως, η δεύτερη γωνία θα είναι:

π - π /6 = 5π /6

Και πάλι θυμόμαστε την προσθήκη πλήρων περιστροφών και γράφουμε τη δεύτερη σειρά απαντήσεων:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Αυτό είναι όλο. Μια πλήρης απάντηση αποτελείται από δύο σειρές ριζών:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Οι εξισώσεις εφαπτομένης και συνεφαπτομένης μπορούν εύκολα να λυθούν χρησιμοποιώντας την ίδια γενική αρχή για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων. Εάν, φυσικά, ξέρετε πώς να σχεδιάζετε εφαπτομένη και συνεφαπτομένη σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο.

Στα παραπάνω παραδείγματα, χρησιμοποίησα την τιμή του πίνακα του ημιτόνου και του συνημίτονου: 0,5. Εκείνοι. μια από αυτές τις έννοιες που γνωρίζει ο μαθητής πρέπει.Τώρα ας επεκτείνουμε τις δυνατότητές μας σε όλες τις άλλες αξίες.Αποφασίστε, αποφασίστε λοιπόν!)

Λοιπόν, ας πούμε ότι πρέπει να λύσουμε αυτήν την τριγωνομετρική εξίσωση:

Δεν υπάρχει τέτοια τιμή συνημίτονου στους σύντομους πίνακες. Αγνοούμε ψυχρά αυτό το τρομερό γεγονός. Σχεδιάστε έναν κύκλο, σημειώστε τα 2/3 στον άξονα συνημιτόνου και σχεδιάστε τις αντίστοιχες γωνίες. Παίρνουμε αυτή την εικόνα.

Ας δούμε, πρώτα, τη γωνία στο πρώτο τρίμηνο. Αν ξέραμε με τι ισούται το x, θα γράφαμε αμέσως την απάντηση! Δεν ξέρουμε... Αποτυχία!; Ηρεμία! Τα μαθηματικά δεν αφήνουν τους δικούς τους ανθρώπους σε μπελάδες! Βρήκε συνημίτονα τόξου για αυτή την περίπτωση. Δεν ξέρω; Μάταια. Μάθετε, είναι πολύ πιο εύκολο από όσο νομίζετε. Δεν υπάρχει ούτε ένα δύσκολο ξόρκι για τις «αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις» σε αυτόν τον σύνδεσμο... Αυτό είναι περιττό σε αυτό το θέμα.

Εάν γνωρίζετε, απλώς πείτε στον εαυτό σας: «Το X είναι μια γωνία της οποίας το συνημίτονο είναι ίσο με 2/3». Και αμέσως, καθαρά με τον ορισμό του συνημιτόνου τόξου, μπορούμε να γράψουμε:

Θυμόμαστε τις πρόσθετες περιστροφές και καταγράφουμε ήρεμα την πρώτη σειρά ριζών της τριγωνομετρικής μας εξίσωσης:

x 1 = τόξο 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Η δεύτερη σειρά ριζών για τη δεύτερη γωνία καταγράφεται σχεδόν αυτόματα. Όλα είναι ίδια, μόνο το X (arccos 2/3) θα είναι με ένα μείον:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Και τέλος! Αυτή είναι η σωστή απάντηση. Ακόμα πιο εύκολο από ό,τι με τις τιμές του πίνακα. Δεν χρειάζεται να θυμάστε τίποτα.) Παρεμπιπτόντως, οι πιο προσεκτικοί θα παρατηρήσουν ότι αυτή η εικόνα δείχνει τη λύση μέσω του συνημιτόνου τόξου στην ουσία, δεν διαφέρει από την εικόνα για την εξίσωση cosx = 0,5.

Ακριβώς! Η γενική αρχή είναι ακριβώς αυτή! Σχεδίασα επίτηδες δύο σχεδόν πανομοιότυπες εικόνες. Ο κύκλος μας δείχνει τη γωνία Χ από το συνημίτονό του. Το αν είναι πίνακας συνημίτονο ή όχι είναι άγνωστο σε όλους. Τι είδους γωνία είναι αυτή, π /3, ή τι συνημίτονο τόξου είναι - αυτό εξαρτάται από εμάς να αποφασίσουμε.

Το ίδιο τραγούδι με το sine. Για παράδειγμα:

Σχεδιάστε ξανά έναν κύκλο, σημειώστε το ημίτονο ίσο με το 1/3, σχεδιάστε τις γωνίες. Αυτή είναι η εικόνα που έχουμε:

Και πάλι η εικόνα είναι σχεδόν ίδια με την εξίσωση sinx = 0,5.Και πάλι ξεκινάμε από τη γωνία στο πρώτο δεκάλεπτο. Τι ισούται με το Χ αν το ημίτονο του είναι 1/3; Κανένα πρόβλημα!

Τώρα το πρώτο πακέτο ριζών είναι έτοιμο:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Ας ασχοληθούμε με τη δεύτερη γωνία. Στο παράδειγμα με τιμή πίνακα 0,5, ήταν ίση με:

π - x

Ακριβώς το ίδιο θα είναι και εδώ! Μόνο το x είναι διαφορετικό, arcsin 1/3. Και λοιπόν!; Μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια το δεύτερο πακέτο ριζών:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Αυτή είναι μια απολύτως σωστή απάντηση. Αν και δεν φαίνεται πολύ οικείο. Αλλά είναι ξεκάθαρο, ελπίζω.)

Έτσι λύνονται οι τριγωνομετρικές εξισώσεις χρησιμοποιώντας έναν κύκλο. Αυτή η διαδρομή είναι ξεκάθαρη και κατανοητή. Είναι αυτός που αποθηκεύει σε τριγωνομετρικές εξισώσεις με την επιλογή των ριζών σε ένα δεδομένο διάστημα, σε τριγωνομετρικές ανισότητες - γενικά λύνονται σχεδόν πάντα σε κύκλο. Με λίγα λόγια, σε όποιες εργασίες είναι λίγο πιο δύσκολες από τις τυπικές.

Ας εφαρμόσουμε τη γνώση στην πράξη;)

Λύστε τριγωνομετρικές εξισώσεις:

Πρώτον, πιο απλό, κατευθείαν από αυτό το μάθημα.

Τώρα είναι πιο περίπλοκο.

Συμβουλή: εδώ θα πρέπει να σκεφτείτε τον κύκλο. Προσωπικά.)

Και τώρα είναι εξωτερικά απλά... Λέγονται και ειδικές περιπτώσεις.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Συμβουλή: εδώ πρέπει να καταλάβετε σε κύκλο πού υπάρχουν δύο σειρές απαντήσεων και πού μία... Και πώς να γράψετε μία αντί για δύο σειρές απαντήσεων. Ναι, για να μην χαθεί ούτε μια ρίζα από έναν άπειρο αριθμό!)

Λοιπόν, πολύ απλό):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Συμβουλή: εδώ πρέπει να ξέρετε τι είναι το arcsine και το arccosine; Τι είναι arctangent, arccotangent; Οι απλούστεροι ορισμοί. Αλλά δεν χρειάζεται να θυμάστε καμία τιμή πίνακα!)

Οι απαντήσεις είναι, φυσικά, ένα χάος):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Δεν πάνε όλα καλά; Συμβαίνει. Διαβάστε ξανά το μάθημα. Μόνο σκεπτικώς(υπάρχει μια τόσο ξεπερασμένη λέξη...) Και ακολουθήστε τους συνδέσμους. Οι κύριοι σύνδεσμοι αφορούν τον κύκλο. Χωρίς αυτό, η τριγωνομετρία είναι σαν να διασχίζεις το δρόμο με δεμένα μάτια. Μερικές φορές λειτουργεί.)

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Για να λύσετε μια τριγωνομετρική εξίσωση, πρέπει να δοκιμάσετε:

Ας σκεφτούμε βασικές μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.

I. Αναγωγή στις απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Να εκφράσετε μια τριγωνομετρική συνάρτηση ως προς γνωστές συνιστώσες.

Βήμα 2.Βρείτε το όρισμα συνάρτησης χρησιμοποιώντας τους τύπους:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = αρκτάνη a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Βήμα 3.Βρείτε την άγνωστη μεταβλητή.

Παράδειγμα.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Λύση.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Απάντηση: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Αντικατάσταση μεταβλητής

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Ανάγουμε την εξίσωση σε αλγεβρική μορφή σε σχέση με μία από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Βήμα 2.Σημειώστε τη συνάρτηση που προκύπτει με τη μεταβλητή t (αν χρειάζεται, εισάγετε περιορισμούς στο t).

Βήμα 3.Καταγράψτε και λύστε την αλγεβρική εξίσωση που προκύπτει.

Βήμα 4.Κάντε μια αντίστροφη αντικατάσταση.

Βήμα 5.Να λύσετε την απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση.

Παράδειγμα.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Λύση.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Έστω sin (x/2) = t, όπου |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ή e = -3/2, δεν ικανοποιεί τη συνθήκη |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Απάντηση: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Μέθοδος μείωσης σειράς εξίσωσης

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Αντικαταστήστε αυτήν την εξίσωση με μια γραμμική, χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη μείωση του βαθμού:

αμαρτία 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Βήμα 2.Λύστε την εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας τις μεθόδους I και II.

Παράδειγμα.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Λύση.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Απάντηση: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ομογενείς εξισώσεις

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Μειώστε αυτήν την εξίσωση στη φόρμα

α) a sin x + b cos x = 0 (ομογενής εξίσωση πρώτου βαθμού)

ή στη θέα

β) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ομοιογενής εξίσωση δεύτερου βαθμού).

Βήμα 2.Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με

α) cos x ≠ 0;

β) cos 2 x ≠ 0;

και πάρτε την εξίσωση για το tan x:

α) a tan x + b = 0;

β) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Βήμα 3.Λύστε την εξίσωση χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.

Παράδειγμα.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Λύση.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Έστω tg x = t, τότε

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 ή t = -4, που σημαίνει

tg x = 1 ή tg x = -4.

Από την πρώτη εξίσωση x = π/4 + πn, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Απάντηση: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Μέθοδος μετασχηματισμού εξίσωσης με χρήση τριγωνομετρικών τύπων

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 2.Λύστε την εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.

Παράδειγμα.

αμαρτία x + αμαρτία 2x + αμαρτία 3x = 0.

Λύση.

1) (αμαρτία x + αμαρτία 3x) + αμαρτία 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) αμαρτία 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ή 2cos x + 1 = 0;

Από την πρώτη εξίσωση 2x = π/2 + πn, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση cos x = -1/2.

Έχουμε x = π/4 + πn/2, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Ως αποτέλεσμα, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Απάντηση: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε τριγωνομετρικές εξισώσεις;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο -.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

blog.site, κατά την πλήρη ή μερική αντιγραφή υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην αρχική πηγή.

Απαιτεί γνώση των βασικών τύπων της τριγωνομετρίας - το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου, η έκφραση της εφαπτομένης μέσω του ημιτόνου και του συνημιτόνου και άλλα. Για όσους τα έχουν ξεχάσει ή δεν τα γνωρίζουν, συνιστούμε να διαβάσετε το άρθρο "".
Έτσι, γνωρίζουμε τους βασικούς τριγωνομετρικούς τύπους, ήρθε η ώρα να τους χρησιμοποιήσουμε στην πράξη. Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεωνμε τη σωστή προσέγγιση, είναι μια αρκετά συναρπαστική δραστηριότητα, όπως, για παράδειγμα, η επίλυση ενός κύβου του Ρούμπικ.

Με βάση το ίδιο το όνομα, είναι σαφές ότι μια τριγωνομετρική εξίσωση είναι μια εξίσωση στην οποία το άγνωστο βρίσκεται κάτω από το πρόσημο της τριγωνομετρικής συνάρτησης.
Υπάρχουν οι λεγόμενες απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις. Δείτε πώς μοιάζουν: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Ας σκεφτούμε πώς να λύσετε τέτοιες τριγωνομετρικές εξισώσεις, για λόγους σαφήνειας θα χρησιμοποιήσουμε τον ήδη γνωστό τριγωνομετρικό κύκλο.

sinx = α

cos x = α

ταν x = α

κούνια x = α

Οποιαδήποτε τριγωνομετρική εξίσωση λύνεται σε δύο στάδια: ανάγουμε την εξίσωση στην απλούστερη μορφή της και στη συνέχεια τη λύνουμε ως απλή τριγωνομετρική εξίσωση.
Υπάρχουν 7 βασικές μέθοδοι με τις οποίες λύνονται οι τριγωνομετρικές εξισώσεις.

Μεταβλητή υποκατάσταση και μέθοδος αντικατάστασης

Λύστε την εξίσωση 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Χρησιμοποιώντας τους τύπους μείωσης παίρνουμε:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Αντικαταστήστε το cos(x + /6) με το y για να απλοποιήσετε και να πάρετε τη συνηθισμένη τετραγωνική εξίσωση:

2 ετών 2 – 3 ετών + 1 + 0

Οι ρίζες των οποίων είναι y 1 = 1, y 2 = 1/2

Τώρα ας πάμε με την αντίστροφη σειρά

Αντικαθιστούμε τις τιμές του y που βρέθηκαν και παίρνουμε δύο επιλογές απάντησης:

Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων μέσω παραγοντοποίησης

Πώς να λύσετε την εξίσωση sin x + cos x = 1;

Ας μετακινήσουμε τα πάντα προς τα αριστερά, ώστε το 0 να παραμείνει στα δεξιά:

sin x + cos x – 1 = 0

Ας χρησιμοποιήσουμε τις ταυτότητες που συζητήθηκαν παραπάνω για να απλοποιήσουμε την εξίσωση:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Ας συνυπολογίσουμε:

2 sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2 sin(x/2) * = 0

Παίρνουμε δύο εξισώσεις

Αναγωγή σε ομοιογενή εξίσωση

Μια εξίσωση είναι ομοιογενής ως προς το ημίτονο και το συνημίτονο αν όλοι οι όροι της είναι σε σχέση με το ημίτονο και το συνημίτονο της ίδιας μοίρας της ίδιας γωνίας. Για να λύσετε μια ομοιογενή εξίσωση, προχωρήστε ως εξής:

α) μεταφέρει όλα τα μέλη του στην αριστερή πλευρά.

β) αφαιρέστε όλους τους κοινούς παράγοντες εκτός παρενθέσεων.

γ) εξισώστε όλους τους παράγοντες και τις αγκύλες με 0.

δ) λαμβάνεται μια ομοιογενής εξίσωση χαμηλότερου βαθμού σε αγκύλες, η οποία με τη σειρά της διαιρείται σε ημίτονο ή συνημίτονο υψηλότερου βαθμού.

ε) να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει για το tg.

Λύστε την εξίσωση 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο sin 2 x + cos 2 x = 1 και ας απαλλαγούμε από τα ανοιχτά δύο στα δεξιά:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Διαιρέστε με το cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Αντικαταστήστε το tan x με y και λάβετε μια τετραγωνική εξίσωση:

y 2 + 4y +3 = 0, των οποίων οι ρίζες είναι y 1 =1, y 2 = 3

Από εδώ βρίσκουμε δύο λύσεις στην αρχική εξίσωση:

x 2 = αρκτάν 3 + k

Επίλυση εξισώσεων μέσω της μετάβασης σε μισή γωνία

Λύστε την εξίσωση 3sin x – 5cos x = 7

Ας προχωρήσουμε στο x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Ας μετακινήσουμε τα πάντα προς τα αριστερά:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Διαιρέστε με συν(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0

Εισαγωγή βοηθητικής γωνίας

Για εξέταση, ας πάρουμε μια εξίσωση της μορφής: a sin x + b cos x = c,

όπου a, b, c είναι κάποιοι αυθαίρετοι συντελεστές και x είναι άγνωστος.

Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με:

Τώρα οι συντελεστές της εξίσωσης, σύμφωνα με τριγωνομετρικούς τύπους, έχουν τις ιδιότητες sin και cos, δηλαδή: ο συντελεστής τους δεν είναι μεγαλύτερος από 1 και το άθροισμα των τετραγώνων = 1. Ας τους συμβολίσουμε αντίστοιχα ως cos και sin, όπου - αυτό είναι η λεγόμενη βοηθητική γωνία. Τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή:

cos * sin x + sin * cos x = C

ή sin(x + ) = C

Η λύση σε αυτή την απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση είναι

x = (-1) k * arcsin C - + k, όπου

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι συμβολισμοί cos και sin είναι εναλλάξιμοι.

Λύστε την εξίσωση sin 3x – cos 3x = 1

Οι συντελεστές σε αυτή την εξίσωση είναι:

a = , b = -1, οπότε διαιρέστε και τις δύο πλευρές με το = 2

Πώς να λύσετε τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Πώς μοιάζουν οι στοιχειώδεις τριγωνομετρικές εξισώσεις;

Πώς να λύσετε τριγωνομετρικές εξισώσεις;

Επίλυση εξισώσεων με χρήση τριγωνομετρικού κύκλου.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

sinx = α

cos x = α

ταν x = α

κούνια x = α

Μεταβλητή υποκατάσταση και μέθοδος αντικατάστασης

Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων μέσω παραγοντοποίησης

Αναγωγή σε ομοιογενή εξίσωση

Επίλυση εξισώσεων μέσω της μετάβασης σε μισή γωνία

Εισαγωγή βοηθητικής γωνίας