Ποιες δυνάμεις δρουν σε ένα μαθηματικό εκκρεμές; Μαθηματικό εκκρεμές: περίοδος, επιτάχυνση και τύποι

Μαθηματικό εκκρεμές.

Ένα μαθηματικό εκκρεμές είναι ένα υλικό σημείο που αιωρείται σε ένα μη εκτατό αβαρές νήμα, που εκτελεί ταλαντωτική κίνηση σε ένα κατακόρυφο επίπεδο υπό την επίδραση της βαρύτητας.

Ένα τέτοιο εκκρεμές μπορεί να θεωρηθεί μια βαριά μπάλα μάζας m, αναρτημένη σε ένα λεπτό νήμα, το μήκος του οποίου l είναι πολύ μεγαλύτερο από το μέγεθος της μπάλας. Εάν εκτρέπεται από μια γωνία α (Εικ. 7.3.) από την κατακόρυφη γραμμή, τότε υπό την επίδραση της δύναμης F, μιας από τις συνιστώσες του βάρους P, θα ταλαντωθεί. Το άλλο συστατικό, που κατευθύνεται κατά μήκος του νήματος, δεν λαμβάνεται υπόψη, επειδή εξισορροπείται από την τάση του νήματος. Σε μικρές γωνίες μετατόπισης και, στη συνέχεια, η συντεταγμένη x μπορεί να μετρηθεί στην οριζόντια κατεύθυνση. Από το σχήμα 7.3 είναι σαφές ότι η συνιστώσα βάρους κάθετη στο νήμα ισούται με

Ροπή δύναμης σε σχέση με το σημείο O: , και ροπή αδράνειας:
M=FL .
Ροπή αδράνειας Jσε αυτήν την περίπτωση
Γωνιώδης επιτάχυνση:

Λαμβάνοντας υπόψη αυτές τις τιμές, έχουμε:

(7.8)

Η απόφασή του
,

Όπως μπορούμε να δούμε, η περίοδος ταλάντωσης ενός μαθηματικού εκκρεμούς εξαρτάται από το μήκος του και την επιτάχυνση της βαρύτητας και δεν εξαρτάται από το πλάτος των ταλαντώσεων.

Φυσικό εκκρεμές.

Ένα φυσικό εκκρεμές είναι ένα άκαμπτο σώμα στερεωμένο σε σταθερό οριζόντιο άξονα (άξονας ανάρτησης) που δεν διέρχεται από το κέντρο βάρους και το οποίο ταλαντώνεται γύρω από αυτόν τον άξονα υπό την επίδραση της βαρύτητας. Σε αντίθεση με ένα μαθηματικό εκκρεμές, η μάζα ενός τέτοιου σώματος δεν μπορεί να θεωρηθεί σημειακή.

Σε μικρές γωνίες παραμόρφωσης α (Εικ. 7.4), το φυσικό εκκρεμές εκτελεί επίσης αρμονικές ταλαντώσεις. Θα υποθέσουμε ότι το βάρος του φυσικού εκκρεμούς εφαρμόζεται στο κέντρο βάρους του στο σημείο C. Η δύναμη που επαναφέρει το εκκρεμές στη θέση ισορροπίας, σε αυτή την περίπτωση, θα είναι η συνιστώσα της βαρύτητας - δύναμη F.

Το σύμβολο μείον στη δεξιά πλευρά σημαίνει ότι η δύναμη F κατευθύνεται προς τη μείωση της γωνίας α. Λαμβάνοντας υπόψη τη μικρότητα της γωνίας α

Για να εξαγάγουμε τον νόμο της κίνησης των μαθηματικών και φυσικών εκκρεμών, χρησιμοποιούμε τη βασική εξίσωση της δυναμικής της περιστροφικής κίνησης

Ροπή δύναμης: δεν μπορεί να προσδιοριστεί ρητά. Λαμβάνοντας υπόψη όλες τις ποσότητες που περιλαμβάνονται στην αρχική διαφορική εξίσωση ταλαντώσεων ενός φυσικού εκκρεμούς έχει τη μορφή:

Ένα μαθηματικό εκκρεμές είναι ένα μοντέλο ενός συνηθισμένου εκκρεμούς. Ένα μαθηματικό εκκρεμές είναι ένα υλικό σημείο που αιωρείται σε ένα μακρύ αβαρές και μη εκτατό νήμα.

Ας μετακινήσουμε την μπάλα από τη θέση ισορροπίας της και ας την αφήσουμε. Δύο δυνάμεις θα δράσουν στην μπάλα: η βαρύτητα και η τάση του νήματος. Όταν το εκκρεμές κινείται, η δύναμη της τριβής του αέρα θα εξακολουθεί να ενεργεί πάνω του. Θα το θεωρήσουμε όμως πολύ μικρό.

Ας αποσυνθέσουμε τη δύναμη της βαρύτητας σε δύο συνιστώσες: μια δύναμη που κατευθύνεται κατά μήκος του νήματος και μια δύναμη που κατευθύνεται κάθετα στην εφαπτομένη στην τροχιά της μπάλας.

Αυτές οι δύο δυνάμεις αθροίζονται στη δύναμη της βαρύτητας. Οι ελαστικές δυνάμεις του νήματος και η συνιστώσα της βαρύτητας Fn προσδίδουν κεντρομόλο επιτάχυνση στη σφαίρα. Το έργο που γίνεται από αυτές τις δυνάμεις θα είναι μηδέν, και επομένως θα αλλάξουν μόνο την κατεύθυνση του διανύσματος της ταχύτητας. Σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή, θα κατευθύνεται εφαπτομενικά στο τόξο του κύκλου.

Υπό την επίδραση της συνιστώσας της βαρύτητας Fτ, η μπάλα θα κινηθεί κατά μήκος ενός κυκλικού τόξου με ταχύτητα που αυξάνεται σε μέγεθος. Η τιμή αυτής της δύναμης αλλάζει πάντα σε μέγεθος όταν διέρχεται από τη θέση ισορροπίας, είναι ίση με μηδέν.

Δυναμική ταλαντωτικής κίνησης

Εξίσωση κίνησης σώματος που ταλαντώνεται υπό την επίδραση ελαστικής δύναμης.

Γενική εξίσωση κίνησης:

Οι κραδασμοί στο σύστημα συμβαίνουν υπό την επίδραση ελαστικής δύναμης, η οποία, σύμφωνα με το νόμο του Hooke, είναι ευθέως ανάλογη με τη μετατόπιση του φορτίου

Τότε η εξίσωση κίνησης της μπάλας θα πάρει την εξής μορφή:

Διαιρέστε αυτήν την εξίσωση με m, παίρνουμε τον ακόλουθο τύπο:

Και δεδομένου ότι ο συντελεστής μάζας και ελαστικότητας είναι σταθερές ποσότητες, ο λόγος (-k/m) θα είναι επίσης σταθερός. Λάβαμε μια εξίσωση που περιγράφει τις δονήσεις ενός σώματος υπό την επίδραση ελαστικής δύναμης.

Η προβολή της επιτάχυνσης του σώματος θα είναι ευθέως ανάλογη με τη συντεταγμένη του, λαμβανόμενη με το αντίθετο πρόσημο.

Εξίσωση κίνησης μαθηματικού εκκρεμούς

Η εξίσωση κίνησης ενός μαθηματικού εκκρεμούς περιγράφεται από τον ακόλουθο τύπο:

Αυτή η εξίσωση έχει την ίδια μορφή με την εξίσωση κίνησης μιας μάζας σε ένα ελατήριο. Κατά συνέπεια, οι ταλαντώσεις του εκκρεμούς και οι κινήσεις της μπάλας στο ελατήριο συμβαίνουν με τον ίδιο τρόπο.

Η μετατόπιση της μπάλας στο ελατήριο και η μετατόπιση του σώματος του εκκρεμούς από τη θέση ισορροπίας αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου σύμφωνα με τους ίδιους νόμους.

Εκκρεμές Φουκώ- ένα εκκρεμές που χρησιμοποιείται για να δείξει πειραματικά την καθημερινή περιστροφή της Γης.

Ένα εκκρεμές Foucault είναι ένα τεράστιο φορτίο που αιωρείται σε ένα σύρμα ή νήμα, το άνω άκρο του οποίου ενισχύεται (για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας μια γενική άρθρωση) έτσι ώστε το εκκρεμές να μπορεί να ταλαντεύεται σε οποιοδήποτε κατακόρυφο επίπεδο. Εάν το εκκρεμές Foucault εκτραπεί από την κατακόρυφο και απελευθερωθεί χωρίς αρχική ταχύτητα, τότε οι δυνάμεις της βαρύτητας και η τάση του νήματος που επενεργούν στο φορτίο του εκκρεμούς θα βρίσκονται όλη την ώρα στο επίπεδο της αιώρησης του εκκρεμούς και δεν θα μπορούν να προκαλέσουν την περιστροφή του σε σχέση με τα αστέρια (στο αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς που σχετίζεται με τα αστέρια) . Ένας παρατηρητής που βρίσκεται στη Γη και περιστρέφεται μαζί της (δηλαδή βρίσκεται σε ένα μη αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς) θα δει ότι το επίπεδο αιώρησης του εκκρεμούς του Φουκώ περιστρέφεται αργά σε σχέση με την επιφάνεια της γης προς την αντίθετη κατεύθυνση από την περιστροφή της γης. Αυτό επιβεβαιώνει το γεγονός της καθημερινής περιστροφής της Γης.

Στο Βόρειο ή στο Νότιο Πόλο, το επίπεδο αιώρησης του εκκρεμούς Foucault θα περιστρέφεται 360° ανά αστρική ημέρα (κατά 15 o ανά αστρική ώρα). Σε ένα σημείο της επιφάνειας της γης, του οποίου το γεωγραφικό πλάτος είναι ίσο με φ, το επίπεδο του ορίζοντα περιστρέφεται γύρω από την κατακόρυφο με γωνιακή ταχύτητα ω 1 = ω sinφ (ω είναι το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της Γης) και το επίπεδο αιώρησης του εκκρεμούς περιστρέφεται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα. Επομένως, η φαινομενική γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του επιπέδου αιώρησης του εκκρεμούς Φουκώ στο γεωγραφικό πλάτος φ, εκφρασμένη σε μοίρες ανά αστρική ώρα, έχει την τιμή ω m =15 o sinφ, δηλαδή όσο μικρότερο φ, τόσο μικρότερο φ, και στο στον ισημερινό γίνεται μηδέν (το επίπεδο δεν περιστρέφεται). Στο νότιο ημισφαίριο, η περιστροφή του επιπέδου αιώρησης θα παρατηρηθεί προς την αντίθετη κατεύθυνση από αυτή που παρατηρείται στο βόρειο ημισφαίριο. Ένας εκλεπτυσμένος υπολογισμός δίνει την τιμή

ω m = 15 o sinφ

Οπου ΕΝΑ-πλάτος ταλαντώσεων του βάρους του εκκρεμούς, μεγάλο- μήκος νήματος. Ένας επιπλέον όρος που μειώνει τη γωνιακή ταχύτητα, όσο μικρότερη τόσο μεγαλύτερη μεγάλο. Επομένως, για την επίδειξη του πειράματος, συνιστάται η χρήση εκκρεμούς Foucault με το μεγαλύτερο δυνατό μήκος νήματος (αρκετές δεκάδες m).

Ιστορία

Αυτή η συσκευή σχεδιάστηκε για πρώτη φορά από τον Γάλλο επιστήμονα Jean Bernard Leon Foucault.

Αυτή η συσκευή ήταν μια ορειχάλκινη μπάλα πέντε κιλών αναρτημένη από την οροφή σε ένα ατσάλινο σύρμα δύο μέτρων.

Ο Φουκώ πραγματοποίησε το πρώτο του πείραμα στο υπόγειο του σπιτιού του. 8 Ιανουαρίου 1851. Έγινε μια καταχώρηση σχετικά με αυτό στο επιστημονικό ημερολόγιο του επιστήμονα.

3 Φεβρουαρίου 1851 Ο Ζαν Φουκώ έδειξε το εκκρεμές του στο Αστεροσκοπείο του Παρισιού σε ακαδημαϊκούς που έλαβαν επιστολές με το ακόλουθο περιεχόμενο: «Σας προσκαλώ να παρακολουθήσετε την περιστροφή της Γης».

Η πρώτη δημόσια επίδειξη του πειράματος έγινε με πρωτοβουλία του Λουδοβίκου Βοναπάρτη στο Πάνθεον του Παρισιού τον Απρίλιο του ίδιου έτους. Μια μεταλλική μπάλα κρεμόταν κάτω από τον τρούλο του Πάνθεον βάρους 28 κιλών με μύτη στερεωμένη πάνω σε ατσάλινο σύρμαδιάμετρος 1,4 mm και Μήκος 67 μ. Τοποθέτησητο εκκρεμές του επέτρεψε να αιωρείται ελεύθερα σε όλα κατευθύνσεις. Κάτω απόΈνας κυκλικός φράκτης με διάμετρο 6 μέτρων κατασκευάστηκε ως σημείο προσάρτησης ένα μονοπάτι άμμου κατά μήκος της άκρης του φράχτη, έτσι ώστε το εκκρεμές, κατά την κίνησή του, να τραβήξει σημάδια στην άμμο όταν το διασχίζει. Για να αποφευχθεί μια πλάγια ώθηση κατά την εκκίνηση του εκκρεμούς, το πήραν στο πλάι και το έδεσαν με ένα σχοινί, μετά το οποίο το σχοινί κάηκε. Η περίοδος ταλάντωσης ήταν 16 δευτερόλεπτα.

Το πείραμα είχε μεγάλη επιτυχία και προκάλεσε μεγάλη απήχηση στους επιστημονικούς και δημόσιους κύκλους της Γαλλίας και άλλων χωρών του κόσμου. Μόνο το 1851 δημιουργήθηκαν άλλα εκκρεμή με βάση το μοντέλο του πρώτου και τα πειράματα του Φουκώ πραγματοποιήθηκαν στο Αστεροσκοπείο του Παρισιού, στον Καθεδρικό Ναό της Ρεμς, στην Εκκλησία του Αγίου Ιγνατίου στη Ρώμη, στο Λίβερπουλ, στην Οξφόρδη του Δουβλίνου, στο Ρίο ντε Τζανέιρο, στην πόλη του Κολόμπο στην Κεϋλάνη της Νέας Υόρκης.

Σε όλα αυτά τα πειράματα, οι διαστάσεις της μπάλας και το μήκος του εκκρεμούς ήταν διαφορετικές, αλλά όλα επιβεβαίωσαν τα συμπεράσματαJean Bernard Leon Foucault.

Στοιχεία του εκκρεμούς, που παρουσιάστηκε στο Πάνθεον, φυλάσσονται τώρα στο Μουσείο Τεχνών και Χειροτεχνίας του Παρισιού. Και τα εκκρεμή του Φουκώ βρίσκονται πλέον σε πολλά μέρη του κόσμου: σε πολυτεχνικά και επιστημονικά μουσεία φυσικής ιστορίας, επιστημονικά παρατηρητήρια, πλανητάρια, πανεπιστημιακά εργαστήρια και βιβλιοθήκες.

Υπάρχουν τρία εκκρεμή Foucault στην Ουκρανία. Το ένα είναι αποθηκευμένο στο Εθνικό Τεχνικό Πανεπιστήμιο της Ουκρανίας «KPI με το όνομά του. Igor Sikorsky», το δεύτερο - στο Εθνικό Πανεπιστήμιο του Kharkov. V.N. Karazin, τρίτος - στο Πλανητάριο του Χάρκοβο.

Τα εκκρεμή που φαίνονται στο Σχ. 2, είναι εκτεταμένα σώματα διαφόρων σχημάτων και μεγεθών που ταλαντώνονται γύρω από ένα σημείο ανάρτησης ή στήριξης. Τέτοια συστήματα ονομάζονται φυσικά εκκρεμή. Σε κατάσταση ισορροπίας, όταν το κέντρο βάρους βρίσκεται στην κατακόρυφο κάτω από το σημείο ανάρτησης (ή στήριξης), η δύναμη της βαρύτητας εξισορροπείται (μέσω των ελαστικών δυνάμεων ενός παραμορφωμένου εκκρεμούς) από την αντίδραση του στηρίγματος. Κατά την απόκλιση από τη θέση ισορροπίας, η βαρύτητα και οι ελαστικές δυνάμεις καθορίζουν σε κάθε χρονική στιγμή τη γωνιακή επιτάχυνση του εκκρεμούς, δηλ. καθορίζουν τη φύση της κίνησής του (ταλάντωση). Τώρα θα εξετάσουμε τη δυναμική των ταλαντώσεων με περισσότερες λεπτομέρειες χρησιμοποιώντας το απλούστερο παράδειγμα ενός λεγόμενου μαθηματικού εκκρεμούς, το οποίο είναι ένα μικρό βάρος που αιωρείται σε ένα μακρύ λεπτό νήμα.

Σε ένα μαθηματικό εκκρεμές, μπορούμε να παραβλέψουμε τη μάζα του νήματος και την παραμόρφωση του βάρους, δηλαδή μπορούμε να υποθέσουμε ότι η μάζα του εκκρεμούς συγκεντρώνεται στο βάρος και οι ελαστικές δυνάμεις συγκεντρώνονται στο νήμα, το οποίο θεωρείται μη εκτατό . Ας δούμε τώρα υπό ποιες δυνάμεις ταλαντώνεται το εκκρεμές μας αφού αφαιρεθεί από τη θέση ισορροπίας του με κάποιο τρόπο (ώθηση, εκτροπή).

Όταν το εκκρεμές βρίσκεται σε ηρεμία στη θέση ισορροπίας, η δύναμη της βαρύτητας που ασκεί το βάρος του και κατευθύνεται κάθετα προς τα κάτω εξισορροπείται από τη δύναμη τάνυσης του νήματος. Στη θέση εκτροπής (Εικ. 15), η δύναμη της βαρύτητας δρα υπό γωνία ως προς τη δύναμη τάσης που κατευθύνεται κατά μήκος του νήματος. Ας αποσυνθέσουμε τη δύναμη της βαρύτητας σε δύο συνιστώσες: προς την κατεύθυνση του νήματος () και κάθετα σε αυτό (). Όταν το εκκρεμές ταλαντώνεται, η δύναμη τάνυσης του νήματος υπερβαίνει ελαφρώς τη συνιστώσα - κατά την ποσότητα της κεντρομόλου δύναμης, η οποία αναγκάζει το φορτίο να κινηθεί σε ένα τόξο. Το εξάρτημα κατευθύνεται πάντα προς τη θέση ισορροπίας. φαίνεται να προσπαθεί να αποκαταστήσει αυτή την κατάσταση. Ως εκ τούτου, συχνά ονομάζεται δύναμη αποκατάστασης. Όσο περισσότερο εκτρέπεται το εκκρεμές, τόσο μεγαλύτερη είναι η απόλυτη τιμή.

Ρύζι. 15. Επαναφορά δύναμης όταν το εκκρεμές αποκλίνει από τη θέση ισορροπίας

Έτσι, μόλις το εκκρεμές, κατά τις ταλαντώσεις του, αρχίσει να αποκλίνει από τη θέση ισορροπίας, ας πούμε, προς τα δεξιά, εμφανίζεται μια δύναμη που επιβραδύνει την κίνησή του τόσο περισσότερο, τόσο περισσότερο αποκλίνει. Τελικά, αυτή η δύναμη θα τον σταματήσει και θα τον τραβήξει πίσω στη θέση ισορροπίας. Ωστόσο, όσο πλησιάζουμε σε αυτή τη θέση, η δύναμη θα γίνεται όλο και λιγότερη και στη θέση ισορροπίας η ίδια θα μηδενίζεται. Έτσι, το εκκρεμές διέρχεται από τη θέση ισορροπίας με αδράνεια. Μόλις αρχίσει να αποκλίνει προς τα αριστερά, θα εμφανιστεί ξανά μια δύναμη, που αυξάνεται με αυξανόμενη απόκλιση, αλλά τώρα κατευθύνεται προς τα δεξιά. Η κίνηση προς τα αριστερά θα επιβραδυνθεί ξανά, στη συνέχεια το εκκρεμές θα σταματήσει για μια στιγμή, μετά την οποία θα ξεκινήσει η επιταχυνόμενη κίνηση προς τα δεξιά κ.λπ.

Τι συμβαίνει με την ενέργεια ενός εκκρεμούς καθώς ταλαντώνεται;

Δύο φορές κατά τη διάρκεια της περιόδου - στις μεγαλύτερες αποκλίσεις προς τα αριστερά και προς τα δεξιά - το εκκρεμές σταματά, δηλαδή σε αυτές τις στιγμές η ταχύτητα είναι μηδέν, που σημαίνει ότι η κινητική ενέργεια είναι μηδέν. Αλλά είναι ακριβώς αυτές τις στιγμές που το κέντρο βάρους του εκκρεμούς ανυψώνεται στο μέγιστο ύψος του και, επομένως, η δυναμική ενέργεια είναι μεγαλύτερη. Αντίθετα, τις στιγμές διέλευσης από τη θέση ισορροπίας, η δυναμική ενέργεια είναι η χαμηλότερη και η ταχύτητα και η κινητική ενέργεια φτάνουν τις μεγαλύτερες τιμές τους.

Θα υποθέσουμε ότι οι δυνάμεις τριβής του εκκρεμούς στον αέρα και η τριβή στο σημείο ανάρτησης μπορούν να αγνοηθούν. Τότε, σύμφωνα με το νόμο της διατήρησης της ενέργειας, αυτή η μέγιστη κινητική ενέργεια είναι ακριβώς ίση με την περίσσεια δυναμικής ενέργειας στη θέση της μεγαλύτερης απόκλισης έναντι της δυναμικής ενέργειας στη θέση ισορροπίας.

Έτσι, όταν το εκκρεμές ταλαντώνεται, συμβαίνει μια περιοδική μετάβαση της κινητικής ενέργειας σε δυναμική ενέργεια και αντίστροφα, και η περίοδος αυτής της διαδικασίας είναι η μισή από την περίοδο ταλάντωσης του ίδιου του εκκρεμούς. Ωστόσο, η συνολική ενέργεια του εκκρεμούς (το άθροισμα του δυναμικού και της κινητικής ενέργειας) είναι σταθερή όλη την ώρα. Είναι ίση με την ενέργεια που μεταδόθηκε στο εκκρεμές κατά την εκτόξευση, ανεξάρτητα από το αν είναι με τη μορφή δυναμικής ενέργειας (αρχική εκτροπή) ή με τη μορφή κινητικής ενέργειας (αρχική ώθηση).

Αυτό συμβαίνει με οποιεσδήποτε ταλαντώσεις απουσία τριβής ή οποιωνδήποτε άλλων διεργασιών που αφαιρούν ενέργεια από το σύστημα ταλάντωσης ή μεταδίδουν ενέργεια σε αυτό. Γι' αυτό το πλάτος παραμένει αμετάβλητο και καθορίζεται από την αρχική εκτροπή ή δύναμη της ώθησης.

Θα έχουμε τις ίδιες αλλαγές στη δύναμη επαναφοράς και την ίδια μεταφορά ενέργειας αν, αντί να κρεμάσουμε την μπάλα σε μια κλωστή, την κάνουμε να κυλήσει σε κάθετο επίπεδο σε ένα σφαιρικό κύπελλο ή σε μια αυλάκωση κυρτή κατά μήκος της περιφέρειας. Σε αυτή την περίπτωση, τον ρόλο της τάσης του νήματος θα αναλάβει η πίεση των τοιχωμάτων του κυπέλλου ή της υδρορροής (παραμελούμε και πάλι την τριβή της μπάλας στα τοιχώματα και τον αέρα).