Μέθοδος Cramer and Gauss online. Μέθοδος Cramer για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Στο πρώτο μέρος, εξετάσαμε κάποιο θεωρητικό υλικό, τη μέθοδο αντικατάστασης, καθώς και τη μέθοδο προσθήκης εξισώσεων συστήματος ανά όρο. Συνιστώ σε όλους όσους έχουν πρόσβαση στον ιστότοπο μέσω αυτής της σελίδας να διαβάσουν το πρώτο μέρος. Ίσως κάποιοι επισκέπτες θα βρουν το υλικό πολύ απλό, αλλά κατά τη διαδικασία επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, έκανα μια σειρά από πολύ σημαντικά σχόλια και συμπεράσματα σχετικά με την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων γενικά.

Τώρα θα αναλύσουμε τον κανόνα του Cramer, καθώς και θα λύσουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας έναν αντίστροφο πίνακα (μέθοδος μήτρας). Όλα τα υλικά παρουσιάζονται απλά, λεπτομερώς και με σαφήνεια, σχεδόν όλοι οι αναγνώστες θα μπορούν να μάθουν πώς να λύνουν συστήματα χρησιμοποιώντας τις παραπάνω μεθόδους.

Αρχικά, θα ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στον κανόνα του Cramer για ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων σε δύο άγνωστα. Για τι; – Άλλωστε το απλούστερο σύστημα μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο του σχολείου, τη μέθοδο της πρόσθεσης κάθε όρου!

Το γεγονός είναι ότι, αν και μερικές φορές, συμβαίνει μια τέτοια εργασία - να λύσουμε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer. Δεύτερον, ένα απλούστερο παράδειγμα θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε πώς να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα του Cramer για μια πιο περίπλοκη περίπτωση - ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους.

Επιπλέον, υπάρχουν συστήματα γραμμικών εξισώσεων με δύο μεταβλητές, που καλό είναι να λυθούν χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Cramer!

Εξετάστε το σύστημα των εξισώσεων

Στο πρώτο βήμα, υπολογίζουμε την ορίζουσα, λέγεται κύριος καθοριστικός παράγοντας του συστήματος.

Μέθοδος Gauss.

Αν , τότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση και για να βρούμε τις ρίζες πρέπει να υπολογίσουμε δύο ακόμη ορίζοντες:
Και

Στην πράξη, οι παραπάνω προσδιορισμοί μπορούν να υποδηλωθούν και με λατινικό γράμμα.

Βρίσκουμε τις ρίζες της εξίσωσης χρησιμοποιώντας τους τύπους:
,

Παράδειγμα 7

Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων

Διάλυμα: Βλέπουμε ότι οι συντελεστές της εξίσωσης είναι αρκετά μεγάλοι στη δεξιά πλευρά υπάρχουν δεκαδικά κλάσματα με κόμμα. Το κόμμα είναι ένας μάλλον σπάνιος επισκέπτης σε πρακτικές εργασίες στα μαθηματικά. Πήρα αυτό το σύστημα από ένα οικονομετρικό πρόβλημα.

Πώς να λύσετε ένα τέτοιο σύστημα; Μπορείτε να προσπαθήσετε να εκφράσετε μια μεταβλητή με όρους μιας άλλης, αλλά σε αυτήν την περίπτωση πιθανότατα θα καταλήξετε με τρομερά φανταχτερά κλάσματα με τα οποία είναι εξαιρετικά άβολο να εργαστείτε και ο σχεδιασμός της λύσης θα φαίνεται απλά τρομερός. Μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τη δεύτερη εξίσωση με 6 και να αφαιρέσετε όρο με όρο, αλλά θα προκύψουν τα ίδια κλάσματα και εδώ.

Τι να κάνουμε; Σε τέτοιες περιπτώσεις, οι φόρμουλες του Cramer έρχονται στη διάσωση.

;

;

Απάντηση: ,

Και οι δύο ρίζες έχουν άπειρες ουρές και βρίσκονται κατά προσέγγιση, κάτι που είναι αρκετά αποδεκτό (και ακόμη και συνηθισμένο) για οικονομικά προβλήματα.

Δεν χρειάζονται σχόλια εδώ, καθώς η εργασία επιλύεται χρησιμοποιώντας έτοιμες φόρμουλες, ωστόσο, υπάρχει μια προειδοποίηση. Όταν χρησιμοποιείτε αυτή τη μέθοδο, επιτακτικόςΈνα τμήμα του σχεδιασμού της εργασίας είναι το ακόλουθο τμήμα: «Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα έχει μια μοναδική λύση». Διαφορετικά, ο αναθεωρητής μπορεί να σας τιμωρήσει για την έλλειψη σεβασμού του θεωρήματος του Cramer.

Δεν θα ήταν περιττό να ελέγξουμε, κάτι που μπορεί να πραγματοποιηθεί εύκολα σε μια αριθμομηχανή: αντικαθιστούμε κατά προσέγγιση τιμές στην αριστερή πλευρά κάθε εξίσωσης του συστήματος. Ως αποτέλεσμα, με ένα μικρό σφάλμα, θα πρέπει να λάβετε αριθμούς που βρίσκονται στις δεξιές πλευρές.

Παράδειγμα 8

Να παρουσιάσετε την απάντηση σε συνηθισμένα ακατάλληλα κλάσματα. Κάντε έναν έλεγχο.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να λύσετε μόνοι σας (ένα παράδειγμα του τελικού σχεδίου και η απάντηση στο τέλος του μαθήματος).

Ας προχωρήσουμε στην εξέταση του κανόνα του Cramer για ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους:

Βρίσκουμε τον κύριο καθοριστικό παράγοντα του συστήματος:

Αν , τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις ή είναι ασυνεπές (δεν έχει λύσεις). Σε αυτήν την περίπτωση, ο κανόνας του Cramer δεν θα σας βοηθήσει να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο Gauss.

Αν , τότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση και για να βρούμε τις ρίζες πρέπει να υπολογίσουμε τρεις ακόμη ορίζοντες:
, ,

Και τέλος, η απάντηση υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Όπως μπορείτε να δείτε, η περίπτωση "τρία επί τρία" δεν διαφέρει ουσιαστικά από την περίπτωση "δύο προς δύο" η στήλη των ελεύθερων όρων "βαδίζει" διαδοχικά από τα αριστερά προς τα δεξιά κατά μήκος των στηλών της κύριας ορίζουσας.

Παράδειγμα 9

Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer.

Διάλυμα: Ας λύσουμε το σύστημα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer.

, πράγμα που σημαίνει ότι το σύστημα έχει μια μοναδική λύση.

Απάντηση: .

Στην πραγματικότητα, και εδώ δεν υπάρχει κάτι ιδιαίτερο να σχολιάσουμε, λόγω του ότι η λύση ακολουθεί έτοιμες φόρμουλες. Υπάρχουν όμως μερικά σχόλια.

Συμβαίνει ότι ως αποτέλεσμα των υπολογισμών, λαμβάνονται "κακά" μη αναγώγιμα κλάσματα, για παράδειγμα: .
Συνιστώ τον ακόλουθο αλγόριθμο «θεραπείας». Εάν δεν έχετε υπολογιστή στο χέρι, κάντε το εξής:

1) Μπορεί να υπάρχει σφάλμα στους υπολογισμούς. Μόλις συναντήσετε ένα «κακό» κλάσμα, πρέπει αμέσως να ελέγξετε Έχει ξαναγραφτεί σωστά η συνθήκη;. Εάν η συνθήκη ξαναγραφτεί χωρίς σφάλματα, τότε πρέπει να υπολογίσετε εκ νέου τους ορίζοντες χρησιμοποιώντας επέκταση σε μια άλλη σειρά (στήλη).

2) Εάν δεν εντοπιστούν σφάλματα ως αποτέλεσμα του ελέγχου, τότε πιθανότατα υπήρξε τυπογραφικό λάθος στις συνθήκες εργασίας. Σε αυτή την περίπτωση, δουλέψτε ήρεμα και ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΑ την εργασία μέχρι το τέλος και μετά φροντίστε να ελέγξετεκαι το καταρτίζουμε σε καθαρό φύλλο μετά την απόφαση. Φυσικά, ο έλεγχος μιας κλασματικής απάντησης είναι μια δυσάρεστη εργασία, αλλά θα είναι ένα αφοπλιστικό επιχείρημα για τον δάσκαλο, ο οποίος πραγματικά του αρέσει να δίνει ένα μείον για κάθε μαλακία όπως το . Ο τρόπος χειρισμού των κλασμάτων περιγράφεται λεπτομερώς στην απάντηση στο Παράδειγμα 8.

Εάν έχετε έναν υπολογιστή στο χέρι, χρησιμοποιήστε ένα αυτοματοποιημένο πρόγραμμα για έλεγχο, το οποίο μπορείτε να το κατεβάσετε δωρεάν στην αρχή του μαθήματος. Παρεμπιπτόντως, είναι πιο κερδοφόρο να χρησιμοποιήσετε το πρόγραμμα αμέσως (ακόμη και πριν ξεκινήσετε τη λύση, θα δείτε αμέσως το ενδιάμεσο βήμα όπου κάνατε λάθος). Η ίδια αριθμομηχανή υπολογίζει αυτόματα τη λύση του συστήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο matrix.

Δεύτερη παρατήρηση. Κατά καιρούς υπάρχουν συστήματα στις εξισώσεις των οποίων λείπουν κάποιες μεταβλητές, για παράδειγμα:

Εδώ στην πρώτη εξίσωση δεν υπάρχει μεταβλητή, στη δεύτερη δεν υπάρχει μεταβλητή. Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι πολύ σημαντικό να γράψετε σωστά και ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΑ τον κύριο προσδιοριστικό παράγοντα:
– Τα μηδενικά τοποθετούνται στη θέση των μεταβλητών που λείπουν.
Παρεμπιπτόντως, είναι λογικό να ανοίγουμε ορίζουσες με μηδενικά σύμφωνα με τη σειρά (στήλη) στην οποία βρίσκεται το μηδέν, καθώς υπάρχουν αισθητά λιγότεροι υπολογισμοί.

Παράδειγμα 10

Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση (ένα δείγμα του τελικού σχεδίου και η απάντηση στο τέλος του μαθήματος).

Για την περίπτωση ενός συστήματος 4 εξισώσεων με 4 αγνώστους, οι τύποι του Cramer γράφονται σύμφωνα με παρόμοιες αρχές. Μπορείτε να δείτε ένα ζωντανό παράδειγμα στο μάθημα Properties of Determinants. Μείωση της σειράς της ορίζουσας - πέντε ορίζουσες 4ης τάξης είναι αρκετά επιλύσιμες. Αν και το έργο θυμίζει ήδη πολύ το παπούτσι ενός καθηγητή στο στήθος ενός τυχερού μαθητή.

Επίλυση του συστήματος με χρήση αντίστροφου πίνακα

Η μέθοδος του αντίστροφου πίνακα είναι ουσιαστικά μια ειδική περίπτωση εξίσωση μήτρας(Βλ. Παράδειγμα Νο. 3 του καθορισμένου μαθήματος).

Για να μελετήσετε αυτήν την ενότητα, πρέπει να είστε σε θέση να επεκτείνετε ορίζουσες, να βρείτε το αντίστροφο ενός πίνακα και να εκτελέσετε πολλαπλασιασμό πίνακα. Σχετικοί σύνδεσμοι θα παρέχονται καθώς προχωρούν οι επεξηγήσεις.

Παράδειγμα 11

Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο matrix

Διάλυμα: Ας γράψουμε το σύστημα σε μορφή πίνακα:
, Πού

Παρακαλούμε δείτε το σύστημα των εξισώσεων και των πινάκων. Νομίζω ότι όλοι κατανοούν την αρχή με την οποία γράφουμε στοιχεία σε πίνακες. Το μόνο σχόλιο: αν έλειπαν κάποιες μεταβλητές από τις εξισώσεις, τότε θα έπρεπε να τοποθετηθούν μηδενικά στις αντίστοιχες θέσεις του πίνακα.

Βρίσκουμε τον αντίστροφο πίνακα χρησιμοποιώντας τον τύπο:
, όπου είναι ο μετατιθέμενος πίνακας των αλγεβρικών συμπληρωμάτων των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα.

Αρχικά, ας δούμε τον προσδιοριστικό παράγοντα:

Εδώ η ορίζουσα επεκτείνεται στην πρώτη γραμμή.

Προσοχή! Εάν , τότε ο αντίστροφος πίνακας δεν υπάρχει και είναι αδύνατο να λυθεί το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του πίνακα. Στην περίπτωση αυτή, το σύστημα επιλύεται με τη μέθοδο της εξάλειψης αγνώστων (μέθοδος Gauss).

Τώρα πρέπει να υπολογίσουμε 9 δευτερεύοντα και να τα γράψουμε στον πίνακα δευτερευόντων

Αναφορά:Είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε την έννοια των διπλών δεικτών στη γραμμική άλγεβρα. Το πρώτο ψηφίο είναι ο αριθμός της γραμμής στην οποία βρίσκεται το στοιχείο. Το δεύτερο ψηφίο είναι ο αριθμός της στήλης στην οποία βρίσκεται το στοιχείο:

Δηλαδή, ένας διπλός δείκτης υποδεικνύει ότι το στοιχείο βρίσκεται στην πρώτη σειρά, στην τρίτη στήλη και, για παράδειγμα, το στοιχείο βρίσκεται σε 3 σειρές, 2 στήλη

Έστω ότι το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων περιέχει τόσες εξισώσεις όσες και ο αριθμός των ανεξάρτητων μεταβλητών, δηλ. μοιάζει με

Τέτοια συστήματα γραμμικών εξισώσεων ονομάζονται τετραγωνικά. Η ορίζουσα, που αποτελείται από συντελεστές για τις ανεξάρτητες μεταβλητές του συστήματος (1.5), ονομάζεται κύρια ορίζουσα του συστήματος. Θα το συμβολίσουμε με το ελληνικό γράμμα Δ. Έτσι,

. (1.6)

Εάν η κύρια ορίζουσα περιέχει ένα αυθαίρετο ( ιου) στήλη, αντικαταστήστε με μια στήλη δωρεάν όρων συστήματος (1.5), τότε μπορείτε να αποκτήσετε nβοηθητικά προκριματικά:

(ι = 1, 2, …, n). (1.7)

Ο κανόνας του Cramerη επίλυση τετραγωνικών συστημάτων γραμμικών εξισώσεων είναι η εξής. Εάν η κύρια ορίζουσα D του συστήματος (1.5) είναι διαφορετική από το μηδέν, τότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση, η οποία μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τους τύπους:

(1.8)

Παράδειγμα 1.5.Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer

.

Ας υπολογίσουμε τον κύριο προσδιοριστικό παράγοντα του συστήματος:

Από το D¹0, το σύστημα έχει μια μοναδική λύση, η οποία μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τους τύπους (1.8):

Ετσι,

Ενέργειες σε πίνακες

1. Πολλαπλασιάζοντας έναν πίνακα με έναν αριθμό.Η λειτουργία του πολλαπλασιασμού ενός πίνακα με έναν αριθμό ορίζεται ως εξής.

2. Για να πολλαπλασιάσετε έναν πίνακα με έναν αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε όλα τα στοιχεία του με αυτόν τον αριθμό. Ήτοι

. (1.9)

Παράδειγμα 1.6. .

Προσθήκη μήτρας.

Αυτή η λειτουργία εισάγεται μόνο για πίνακες ίδιας τάξης.

Για να προσθέσετε δύο πίνακες, είναι απαραίτητο να προσθέσετε τα αντίστοιχα στοιχεία ενός άλλου πίνακα στα στοιχεία ενός πίνακα:

(1.10)
Η λειτουργία της πρόσθεσης πίνακα έχει τις ιδιότητες της συσχέτισης και της ανταλλαγής.

Παράδειγμα 1.7. .

Πολλαπλασιασμός μήτρας.

Αν ο αριθμός των στηλών του πίνακα ΕΝΑσυμπίπτει με τον αριθμό των σειρών του πίνακα ΣΕ, τότε για τέτοιους πίνακες εισάγεται η πράξη πολλαπλασιασμού:

2

Έτσι, κατά τον πολλαπλασιασμό ενός πίνακα ΕΝΑδιαστάσεις m´ nστη μήτρα ΣΕδιαστάσεις n´ κπαίρνουμε μια μήτρα ΜΕδιαστάσεις m´ κ. Σε αυτή την περίπτωση, τα στοιχεία του πίνακα ΜΕυπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους παρακάτω τύπους:

Πρόβλημα 1.8.Βρείτε, αν είναι δυνατόν, το γινόμενο των πινάκων ΑΒΚαι B.A.:

Διάλυμα. 1) Για να βρω δουλειά ΑΒ, χρειάζεστε σειρές μήτρας ΕΝΑπολλαπλασιάζονται με στήλες μήτρας σι:

2) Εργασία B.A.δεν υπάρχει, επειδή ο αριθμός των στηλών μήτρας σιδεν ταιριάζει με τον αριθμό των σειρών μήτρας ΕΝΑ.

Αντίστροφος πίνακας. Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο του πίνακα

Μήτρα ΕΝΑ-Το 1 ονομάζεται αντίστροφο ενός τετραγωνικού πίνακα ΕΝΑ, εάν η ισότητα ικανοποιείται:

όπου μέσω εγώυποδηλώνει τον πίνακα ταυτότητας της ίδιας σειράς με τον πίνακα ΕΝΑ:

.

Προκειμένου ένας τετραγωνικός πίνακας να έχει αντίστροφο, είναι απαραίτητο και αρκετό η ορίζοντή του να είναι διαφορετική από το μηδέν. Ο αντίστροφος πίνακας βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:

, (1.13)

Οπου Ένα ij- αλγεβρικές προσθήκες σε στοιχεία ένα ijμήτρες ΕΝΑ(σημειώστε ότι οι αλγεβρικές προσθήκες σε γραμμές πινάκων ΕΝΑβρίσκονται στον αντίστροφο πίνακα με τη μορφή αντίστοιχων στηλών).

Παράδειγμα 1.9.Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα ΕΝΑ- 1 σε μήτρα

.

Βρίσκουμε τον αντίστροφο πίνακα χρησιμοποιώντας τον τύπο (1.13), ο οποίος για την περίπτωση n= 3 έχει τη μορφή:

.

Ας βρούμε το det ΕΝΑ = | ΕΝΑ| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Εφόσον η ορίζουσα του αρχικού πίνακα είναι μη μηδενική, υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας.

1) Βρείτε αλγεβρικά συμπληρώματα Ένα ij:

Για ευκολία εύρεσης του αντίστροφου πίνακα, τοποθετήσαμε τις αλγεβρικές προσθήκες στις σειρές του αρχικού πίνακα στις αντίστοιχες στήλες.

Από τις αλγεβρικές προσθήκες που προέκυψαν συνθέτουμε έναν νέο πίνακα και τον διαιρούμε με την ορίζουσα det ΕΝΑ. Έτσι, παίρνουμε τον αντίστροφο πίνακα:

Τετραγωνικά συστήματα γραμμικών εξισώσεων με μη μηδενική κύρια ορίζουσα μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο πίνακα. Για να γίνει αυτό, το σύστημα (1.5) είναι γραμμένο σε μορφή πίνακα:

Οπου

Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της ισότητας (1,14) από τα αριστερά με ΕΝΑ- 1, παίρνουμε τη λύση στο σύστημα:

, όπου

Έτσι, για να βρείτε μια λύση σε ένα τετράγωνο σύστημα, πρέπει να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα του κύριου πίνακα του συστήματος και να τον πολλαπλασιάσετε στα δεξιά με τον πίνακα στηλών των ελεύθερων όρων.

Πρόβλημα 1.10.Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων

χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο πίνακα.

Διάλυμα.Ας γράψουμε το σύστημα σε μορφή πίνακα: ,

Οπου - ο κύριος πίνακας του συστήματος, - η στήλη των αγνώστων και - η στήλη των ελεύθερων όρων. Δεδομένου ότι ο κύριος καθοριστικός παράγοντας του συστήματος , τότε ο κύριος πίνακας του συστήματος ΕΝΑέχει αντίστροφο πίνακα ΕΝΑ-1. Για να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα ΕΝΑ-1 , υπολογίζουμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα σε όλα τα στοιχεία του πίνακα ΕΝΑ:

Από τους ληφθέντες αριθμούς θα συνθέσουμε έναν πίνακα (και αλγεβρικές προσθήκες στις σειρές του πίνακα ΕΝΑγράψτε το στις κατάλληλες στήλες) και διαιρέστε το με την ορίζουσα D. Έτσι, βρήκαμε τον αντίστροφο πίνακα:

Βρίσκουμε τη λύση στο σύστημα χρησιμοποιώντας τον τύπο (1.15):

Ετσι,

Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη συνηθισμένη μέθοδο εξάλειψης Jordan

Ας δοθεί ένα αυθαίρετο (όχι απαραίτητα τετραγωνικό) σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

(1.16)

Απαιτείται να βρεθεί λύση στο σύστημα, δηλ. ένα τέτοιο σύνολο μεταβλητών που ικανοποιεί όλες τις ισότητες του συστήματος (1.16). Στη γενική περίπτωση, το σύστημα (1.16) μπορεί να έχει όχι μόνο μία λύση, αλλά και αμέτρητες λύσεις. Μπορεί επίσης να μην έχει καθόλου λύσεις.

Κατά την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, χρησιμοποιείται η γνωστή μέθοδος σχολικών μαθημάτων για την εξάλειψη αγνώστων, η οποία ονομάζεται επίσης μέθοδος εξάλειψης της συνηθισμένης Jordan. Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι ότι σε μία από τις εξισώσεις του συστήματος (1.16) μία από τις μεταβλητές εκφράζεται με όρους άλλων μεταβλητών. Αυτή η μεταβλητή στη συνέχεια αντικαθίσταται με άλλες εξισώσεις του συστήματος. Το αποτέλεσμα είναι ένα σύστημα που περιέχει μία εξίσωση και μία μεταβλητή μικρότερη από το αρχικό σύστημα. Απομνημονεύεται η εξίσωση από την οποία εκφράστηκε η μεταβλητή.

Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να παραμείνει μια τελευταία εξίσωση στο σύστημα. Μέσω της διαδικασίας εξάλειψης αγνώστων, ορισμένες εξισώσεις μπορεί να γίνουν αληθινές ταυτότητες, π.χ. Τέτοιες εξισώσεις εξαιρούνται από το σύστημα, αφού ικανοποιούνται για οποιεσδήποτε τιμές των μεταβλητών και, επομένως, δεν επηρεάζουν τη λύση του συστήματος. Εάν, κατά τη διαδικασία εξάλειψης αγνώστων, τουλάχιστον μία εξίσωση γίνει ισότητα που δεν μπορεί να ικανοποιηθεί για καμία τιμή των μεταβλητών (για παράδειγμα), τότε συμπεραίνουμε ότι το σύστημα δεν έχει λύση.

Εάν δεν προκύψουν αντιφατικές εξισώσεις κατά τη διάρκεια της λύσης, τότε μία από τις υπόλοιπες μεταβλητές σε αυτήν βρίσκεται από την τελευταία εξίσωση. Αν έχει μείνει μόνο μία μεταβλητή στην τελευταία εξίσωση, τότε αυτή εκφράζεται ως αριθμός. Εάν άλλες μεταβλητές παραμένουν στην τελευταία εξίσωση, τότε θεωρούνται παράμετροι και η μεταβλητή που εκφράζεται μέσω αυτών θα είναι συνάρτηση αυτών των παραμέτρων. Τότε λαμβάνει χώρα η λεγόμενη «αντίστροφη κίνηση». Η μεταβλητή που βρέθηκε αντικαθίσταται στην τελευταία απομνημονευμένη εξίσωση και βρίσκεται η δεύτερη μεταβλητή. Στη συνέχεια, οι δύο μεταβλητές που βρέθηκαν αντικαθίστανται στην προτελευταία απομνημονευμένη εξίσωση και βρίσκεται η τρίτη μεταβλητή, και ούτω καθεξής, μέχρι την πρώτη απομνημονευμένη εξίσωση.

Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε μια λύση στο σύστημα. Αυτή η λύση θα είναι μοναδική εάν οι μεταβλητές που βρέθηκαν είναι αριθμοί. Εάν η πρώτη μεταβλητή που βρέθηκε, και μετά όλες οι άλλες, εξαρτώνται από τις παραμέτρους, τότε το σύστημα θα έχει άπειρο αριθμό λύσεων (κάθε σύνολο παραμέτρων αντιστοιχεί σε μια νέα λύση). Οι τύποι που σας επιτρέπουν να βρείτε μια λύση σε ένα σύστημα ανάλογα με ένα συγκεκριμένο σύνολο παραμέτρων ονομάζονται γενική λύση του συστήματος.

Παράδειγμα 1.11.

x

Μετά την απομνημόνευση της πρώτης εξίσωσης και φέρνοντας παρόμοιους όρους στη δεύτερη και τρίτη εξίσωση φτάνουμε στο σύστημα:

Ας εκφραστούμε yαπό τη δεύτερη εξίσωση και αντικαταστήστε την στην πρώτη εξίσωση:

Ας θυμηθούμε τη δεύτερη εξίσωση, και από την πρώτη βρίσκουμε z:

Δουλεύοντας προς τα πίσω, βρίσκουμε με συνέπεια yΚαι z. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε πρώτα την τελευταία εξίσωση που θυμόμαστε, από όπου βρίσκουμε y:

.

Στη συνέχεια θα το αντικαταστήσουμε στην πρώτη απομνημονευμένη εξίσωση που μπορούμε να το βρούμε x:

Πρόβλημα 1.12.Λύστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων εξαλείφοντας αγνώστους:

. (1.17)

Διάλυμα.Ας εκφράσουμε τη μεταβλητή από την πρώτη εξίσωση xκαι αντικαταστήστε το στη δεύτερη και τρίτη εξίσωση:

.

Ας θυμηθούμε την πρώτη εξίσωση

Σε αυτό το σύστημα, η πρώτη και η δεύτερη εξίσωση έρχονται σε αντίθεση μεταξύ τους. Πράγματι, εκφράζοντας y , παίρνουμε ότι 14 = 17. Αυτή η ισότητα δεν ισχύει για καμία τιμή των μεταβλητών x, y, Και z. Κατά συνέπεια, το σύστημα (1.17) είναι ασυνεπές, δηλ. δεν έχει λύση.

Καλούμε τους αναγνώστες να ελέγξουν μόνοι τους ότι ο κύριος προσδιοριστής του αρχικού συστήματος (1.17) είναι ίσος με μηδέν.

Ας εξετάσουμε ένα σύστημα που διαφέρει από το σύστημα (1.17) κατά έναν μόνο ελεύθερο όρο.

Πρόβλημα 1.13.Λύστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων εξαλείφοντας αγνώστους:

. (1.18)

Διάλυμα.Όπως και πριν, εκφράζουμε τη μεταβλητή από την πρώτη εξίσωση xκαι αντικαταστήστε το στη δεύτερη και τρίτη εξίσωση:

.

Ας θυμηθούμε την πρώτη εξίσωση και να παρουσιάσετε παρόμοιους όρους στη δεύτερη και τρίτη εξίσωση. Φτάνουμε στο σύστημα:

εκφράζοντας yαπό την πρώτη εξίσωση και αντικαθιστώντας την στη δεύτερη εξίσωση , παίρνουμε την ταυτότητα 14 = 14, η οποία δεν επηρεάζει τη λύση του συστήματος και, επομένως, μπορεί να αποκλειστεί από το σύστημα.

Στην τελευταία που θυμήθηκε ισότητα, η μεταβλητή zθα το θεωρήσουμε παράμετρο. πιστεύουμε. Τότε

Ας αντικαταστήσουμε yΚαι zστην πρώτη θυμήθηκε ισότητα και βρείτε x:

.

Έτσι, το σύστημα (1.18) έχει άπειρο αριθμό λύσεων και οποιαδήποτε λύση μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τους τύπους (1.19), επιλέγοντας μια αυθαίρετη τιμή της παραμέτρου t:

(1.19)
Έτσι, οι λύσεις του συστήματος, για παράδειγμα, είναι τα ακόλουθα σύνολα μεταβλητών (1; 2; 0), (2; 26; 14), κλπ. Οι τύποι (1.19) εκφράζουν τη γενική (οποιαδήποτε) λύση του συστήματος (1.18). ).

Στην περίπτωση που το αρχικό σύστημα (1.16) έχει αρκετά μεγάλο αριθμό εξισώσεων και αγνώστων, η υποδεικνυόμενη μέθοδος της συνηθισμένης εξάλειψης του Jordan φαίνεται δυσκίνητη. Ωστόσο, αυτό δεν είναι αλήθεια. Αρκεί να εξαχθεί ο αλγόριθμος για τον επανυπολογισμό των συντελεστών του συστήματος σε ένα βήμα σε γενική μορφή και να επισημοποιηθεί η λύση του προβλήματος με τη μορφή ειδικών πινάκων Jordan.

Έστω ένα σύστημα γραμμικών μορφών (εξισώσεων):

, (1.20)
Οπου x j- ανεξάρτητες (αναζήτητες) μεταβλητές, ένα ij- σταθεροί συντελεστές
(i = 1, 2,…, m; ι = 1, 2,…, n). Σωστά μέρη του συστήματος y i (i = 1, 2,…, m) μπορεί να είναι είτε μεταβλητές (εξαρτώμενες) είτε σταθερές. Απαιτείται να βρεθούν λύσεις σε αυτό το σύστημα εξαλείφοντας τα άγνωστα.

Ας εξετάσουμε την ακόλουθη λειτουργία, η οποία αναφέρεται παρακάτω ως «ένα βήμα των συνηθισμένων εξαλείψεων της Ιορδανίας». Από αυθαίρετο ( rου) ισότητα εκφράζουμε μια αυθαίρετη μεταβλητή ( xs) και αντικαθιστούν όλες τις άλλες ισότητες. Φυσικά, αυτό είναι δυνατό μόνο εάν ένα rs¹ 0. Συντελεστής ένα rsπου ονομάζεται επίλυση (μερικές φορές καθοδηγητικό ή κύριο) στοιχείο.

Θα λάβουμε το ακόλουθο σύστημα:

. (1.21)

Από μικρό- ισότητα συστήματος (1.21), βρίσκουμε στη συνέχεια τη μεταβλητή xs(αφού έχουν βρεθεί οι υπόλοιπες μεταβλητές). μικρόΗ -η γραμμή απομνημονεύεται και στη συνέχεια αποκλείεται από το σύστημα. Το υπόλοιπο σύστημα θα περιέχει μία εξίσωση και μία λιγότερο ανεξάρτητη μεταβλητή από το αρχικό σύστημα.

Ας υπολογίσουμε τους συντελεστές του προκύπτοντος συστήματος (1,21) μέσω των συντελεστών του αρχικού συστήματος (1,20). Ας ξεκινήσουμε με rη εξίσωση, η οποία αφού εκφράσει τη μεταβλητή xsμέσα από τις υπόλοιπες μεταβλητές θα μοιάζει με αυτό:

Έτσι, οι νέοι συντελεστές rΟι εξισώσεις υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους:

(1.23)
Ας υπολογίσουμε τώρα τους νέους συντελεστές b ij(εγώ¹ r) μιας αυθαίρετης εξίσωσης. Για να γίνει αυτό, ας αντικαταστήσουμε τη μεταβλητή που εκφράζεται στο (1.22) xs V εγώη εξίσωση του συστήματος (1.20):

Αφού φέρουμε παρόμοιους όρους, παίρνουμε:

(1.24)
Από την ισότητα (1,24) λαμβάνουμε τύπους με τους οποίους υπολογίζονται οι υπόλοιποι συντελεστές του συστήματος (1,21) (με εξαίρεση το rη εξίσωση):

(1.25)
Ο μετασχηματισμός συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο της συνηθισμένης εξάλειψης Jordan παρουσιάζεται με τη μορφή πινάκων (πίνακες). Αυτοί οι πίνακες ονομάζονται "Τραπέζι της Ιορδανίας".

Έτσι, το πρόβλημα (1.20) σχετίζεται με τον ακόλουθο πίνακα Jordan:

Πίνακας 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	xs	…	x n
y 1 =	ένα 11	ένα 12		ένα 1ι		ένα 1μικρό		ένα 1n
…………………………………………………………………..
y i=	ένα i 1	ένα i 2		ένα ij		α είναι		ένα in
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		ένα rj		ένα rs		arn
………………………………………………………………….
y n=	ένα μ 1	ένα μ 2		ένας mj		μια κα		ένα μν

Ο πίνακας Jordan 1.1 περιέχει μια αριστερή στήλη κεφαλίδας στην οποία είναι γραμμένα τα δεξιά μέρη του συστήματος (1.20) και μια επάνω γραμμή κεφαλίδας στην οποία είναι γραμμένες ανεξάρτητες μεταβλητές.

Τα υπόλοιπα στοιχεία του πίνακα αποτελούν τον κύριο πίνακα συντελεστών του συστήματος (1.20). Αν πολλαπλασιάσετε τον πίνακα ΕΝΑστον πίνακα που αποτελείται από τα στοιχεία της επάνω σειράς τίτλου, λαμβάνετε έναν πίνακα που αποτελείται από τα στοιχεία της αριστερής στήλης τίτλου. Δηλαδή, ουσιαστικά, ο πίνακας Jordan είναι μια μορφή πίνακα γραφής ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων: . Το σύστημα (1.21) αντιστοιχεί στον ακόλουθο πίνακα Jordan:

Πίνακας 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	σι 11	σι 12		σι 1 ι		σι 1 μικρό		σι 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	β i 1	β i 2		b ij		β είναι		β σε
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		brn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		bms		b mn

Επιτρεπτικό στοιχείο ένα rs Θα τα τονίσουμε με έντονους χαρακτήρες. Θυμηθείτε ότι για να εφαρμοστεί ένα βήμα της εξάλειψης της Ιορδανίας, το στοιχείο επίλυσης πρέπει να είναι μη μηδενικό. Η σειρά του πίνακα που περιέχει το στοιχείο ενεργοποίησης ονομάζεται γραμμή ενεργοποίησης. Η στήλη που περιέχει το στοιχείο ενεργοποίησης ονομάζεται στήλη ενεργοποίησης. Όταν μετακινείστε από έναν δεδομένο πίνακα στον επόμενο πίνακα, μια μεταβλητή ( xs) από την επάνω γραμμή κεφαλίδας του πίνακα μετακινείται στην αριστερή στήλη κεφαλίδας και, αντίστροφα, ένα από τα ελεύθερα μέλη του συστήματος ( y r) μετακινείται από την αριστερή στήλη κεφαλιού του πίνακα στην επάνω γραμμή κεφαλίδας.

Ας περιγράψουμε τον αλγόριθμο για τον επανυπολογισμό των συντελεστών κατά τη μετάβαση από τον πίνακα Jordan (1.1) στον πίνακα (1.2), ο οποίος προκύπτει από τους τύπους (1.23) και (1.25).

1. Το στοιχείο επίλυσης αντικαθίσταται από τον αντίστροφο αριθμό:

2. Τα υπόλοιπα στοιχεία της συμβολοσειράς επίλυσης χωρίζονται στο στοιχείο επίλυσης και αλλάζουν το πρόσημο στο αντίθετο:

3. Τα υπόλοιπα στοιχεία της στήλης ανάλυσης χωρίζονται στο στοιχείο ανάλυσης:

4. Τα στοιχεία που δεν περιλαμβάνονται στην επιτρεπόμενη γραμμή και στη στήλη επιτρεπόμενης επανυπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Ο τελευταίος τύπος είναι εύκολο να θυμάστε αν παρατηρήσετε ότι τα στοιχεία που αποτελούν το κλάσμα , βρίσκονται στη διασταύρωση εγώ-ω και r-η γραμμές και ιου και μικρότις στήλες (γραμμή επίλυσης, στήλη επίλυσης και η γραμμή και η στήλη στη διασταύρωση των οποίων βρίσκεται το στοιχείο που υπολογίστηκε εκ νέου). Πιο συγκεκριμένα, κατά την απομνημόνευση του τύπου μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το παρακάτω διάγραμμα:

-21 -26 -13 -37

Κατά την εκτέλεση του πρώτου βήματος των εξαιρέσεων Jordan, μπορείτε να επιλέξετε οποιοδήποτε στοιχείο του Πίνακα 1.3 που βρίσκεται στις στήλες ως στοιχείο επίλυσης x 1 ,…, x 5 (όλα τα καθορισμένα στοιχεία δεν είναι μηδέν). Απλώς μην επιλέξετε το στοιχείο ενεργοποίησης στην τελευταία στήλη, γιατί πρέπει να βρείτε ανεξάρτητες μεταβλητές x 1 ,…, x 5. Για παράδειγμα, επιλέγουμε τον συντελεστή 1 με μεταβλητή x 3 στην τρίτη γραμμή του Πίνακα 1.3 (το στοιχείο ενεργοποίησης εμφανίζεται με έντονους χαρακτήρες). Κατά τη μετάβαση στον πίνακα 1.4, η μεταβλητή xΤο 3 από την επάνω σειρά κεφαλίδας ανταλλάσσεται με τη σταθερά 0 της αριστερής στήλης κεφαλίδας (τρίτη σειρά). Σε αυτή την περίπτωση, η μεταβλητή xΤο 3 εκφράζεται μέσω των υπόλοιπων μεταβλητών.

Σειρά x 3 (Πίνακας 1.4) μπορεί, αφού θυμηθεί εκ των προτέρων, να εξαιρεθεί από τον Πίνακα 1.4. Η τρίτη στήλη με μηδέν στην επάνω γραμμή τίτλου εξαιρείται επίσης από τον Πίνακα 1.4. Το θέμα είναι ότι ανεξάρτητα από τους συντελεστές μιας δεδομένης στήλης β i 3 όλους τους αντίστοιχους όρους κάθε εξίσωσης 0 β i 3 συστήματα θα είναι ίσα με μηδέν. Επομένως, αυτοί οι συντελεστές δεν χρειάζεται να υπολογιστούν. Εξάλειψη μιας μεταβλητής x 3 και θυμόμαστε μια από τις εξισώσεις, φτάνουμε σε ένα σύστημα που αντιστοιχεί στον Πίνακα 1.4 (με τη γραμμή διαγραμμένη x 3). Επιλογή στον πίνακα 1.4 ως στοιχείο επίλυσης σι 14 = -5, μεταβείτε στον πίνακα 1.5. Στον Πίνακα 1.5, θυμηθείτε την πρώτη σειρά και εξαιρέστε την από τον πίνακα μαζί με την τέταρτη στήλη (με ένα μηδέν στην κορυφή).

Πίνακας 1.5 Πίνακας 1.6

Από τον τελευταίο πίνακα 1.7 βρίσκουμε: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Αντικαθιστώντας με συνέπεια τις μεταβλητές που έχουν ήδη βρεθεί στις απομνημονευμένες γραμμές, βρίσκουμε τις υπόλοιπες μεταβλητές:

Έτσι, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Μεταβλητός x 5, μπορούν να εκχωρηθούν αυθαίρετες τιμές. Αυτή η μεταβλητή λειτουργεί ως παράμετρος x 5 = t. Αποδείξαμε τη συμβατότητα του συστήματος και βρήκαμε τη γενική του λύση:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Δίνοντας παράμετρο tδιαφορετικές τιμές, θα λάβουμε άπειρο αριθμό λύσεων στο αρχικό σύστημα. Έτσι, για παράδειγμα, η λύση στο σύστημα είναι το ακόλουθο σύνολο μεταβλητών (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Ο Gabriel Kramer είναι Ελβετός μαθηματικός, μαθητής και φίλος του Johann Bernoulli, ενός από τους δημιουργούς της γραμμικής άλγεβρας.

Ο Cramer θεώρησε ένα σύστημα αυθαίρετου αριθμού γραμμικών εξισώσεων με τετράγωνο πίνακα. Παρουσίασε τη λύση στο σύστημα ως στήλη κλασμάτων με κοινό παρονομαστή - την ορίζουσα του πίνακα. Η μέθοδος του Cramer βασίζεται στη χρήση οριζόντων στην επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, γεγονός που επιταχύνει σημαντικά τη διαδικασία επίλυσης. Αυτή η μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση ενός συστήματος τόσων γραμμικών εξισώσεων όσες υπάρχουν άγνωστοι σε κάθε εξίσωση. Το κύριο πράγμα είναι ότι ο προσδιοριστής του συστήματος δεν είναι ίσος με το "0", τότε η μέθοδος του Cramer μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη λύση, εάν "0" - αυτή η μέθοδος δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί. Αυτή η μέθοδος μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με μια μοναδική λύση.

Θεώρημα Cramer. Εάν η ορίζουσα του συστήματος είναι μη μηδενική, τότε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων έχει μία μοναδική λύση και ο άγνωστος είναι ίσος με τον λόγο των οριζόντων. Ο παρονομαστής περιέχει την ορίζουσα του συστήματος και ο αριθμητής περιέχει την ορίζουσα που προκύπτει από την ορίζουσα του συστήματος αντικαθιστώντας τους συντελεστές αυτού του αγνώστου με ελεύθερους όρους. Αυτό το θεώρημα ισχύει για ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων οποιασδήποτε τάξης.

Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται ένα SLAE αυτού του τύπου:

\[\αριστερά\(\αρχή(μήτρα) 3x_1 + 2x_2 =1\\ x_1 + 4x_2 = -3 \end(μήτρα)\δεξιά.\]

Σύμφωνα με το θεώρημα του Cramer παίρνουμε:

Απάντηση: \

Πού μπορώ να λύσω μια εξίσωση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer χρησιμοποιώντας έναν διαδικτυακό λύτη;

Μπορείτε να λύσετε την εξίσωση στην ιστοσελίδα μας https://site. Ο δωρεάν διαδικτυακός λύτης θα σας επιτρέψει να λύσετε διαδικτυακές εξισώσεις οποιασδήποτε πολυπλοκότητας μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι απλώς να εισαγάγετε τα δεδομένα σας στο πρόγραμμα επίλυσης. Μπορείτε επίσης να παρακολουθήσετε οδηγίες βίντεο και να μάθετε πώς να λύσετε την εξίσωση στον ιστότοπό μας. Και αν εξακολουθείτε να έχετε ερωτήσεις, μπορείτε να τις ρωτήσετε στην ομάδα VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Γίνετε μέλος της ομάδας μας, είμαστε πάντα στην ευχάριστη θέση να σας βοηθήσουμε.

Με τον ίδιο αριθμό εξισώσεων με τον αριθμό των αγνώστων με κύρια ορίζουσα του πίνακα, που δεν ισούται με μηδέν, οι συντελεστές του συστήματος (για τέτοιες εξισώσεις υπάρχει λύση και υπάρχει μόνο μία).

Θεώρημα Cramer. Όταν η ορίζουσα του πίνακα ενός τετραγωνικού συστήματος είναι μη μηδενική, σημαίνει ότι το σύστημα είναι συνεπές και έχει μία λύση και μπορεί να βρεθεί με:

Οι τύποι του Cramer όπου Δ -,

Δ ορίζουσα του πίνακα συστήματοςεγώ εγώείναι η ορίζουσα του πίνακα συστήματος, στον οποίο αντί για

Όταν η ορίζουσα ενός συστήματος είναι μηδέν, σημαίνει ότι το σύστημα μπορεί να γίνει συνεργάσιμο ή ασυμβίβαστο.

Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται συνήθως για μικρά συστήματα με εκτεταμένους υπολογισμούς και εάν είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί ένα από τα άγνωστα. Η πολυπλοκότητα της μεθόδου είναι ότι πρέπει να υπολογιστούν πολλοί καθοριστικοί παράγοντες.

Περιγραφή της μεθόδου Cramer.

Υπάρχει ένα σύστημα εξισώσεων:

Ένα σύστημα 3 εξισώσεων μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Cramer, η οποία συζητήθηκε παραπάνω για ένα σύστημα 2 εξισώσεων.

Συνθέτουμε μια ορίζουσα από τους συντελεστές των αγνώστων:

θα είναι καθοριστικός παράγοντας συστήματος. Οταν D≠0, πράγμα που σημαίνει ότι το σύστημα είναι συνεπές. Τώρα ας δημιουργήσουμε 3 επιπλέον ορίζοντες:

,,

Λύνουμε το σύστημα με Όταν η ορίζουσα του πίνακα ενός τετραγωνικού συστήματος είναι μη μηδενική, σημαίνει ότι το σύστημα είναι συνεπές και έχει μία λύση και μπορεί να βρεθεί με:

Παραδείγματα επίλυσης συστημάτων εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer.

Παράδειγμα 1.

Δεδομένο σύστημα:

Ας το λύσουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer.

Πρώτα πρέπει να υπολογίσετε την ορίζουσα του πίνακα συστήματος:

Επειδή Δ≠0, που σημαίνει ότι από το θεώρημα του Cramer το σύστημα είναι συνεπές και έχει μία λύση. Υπολογίζουμε επιπλέον ορίζοντες. Η ορίζουσα Δ 1 λαμβάνεται από την ορίζουσα Δ, αντικαθιστώντας την πρώτη στήλη της με μια στήλη ελεύθερων συντελεστών. Παίρνουμε:

Με τον ίδιο τρόπο, λαμβάνουμε την ορίζουσα του Δ 2 από την ορίζουσα του πίνακα συστήματος αντικαθιστώντας τη δεύτερη στήλη με μια στήλη ελεύθερων συντελεστών:

Μέθοδοι ΚράμερΚαι Γκάους- μία από τις πιο δημοφιλείς μεθόδους λύσης SLAU. Επιπλέον, σε ορισμένες περιπτώσεις είναι σκόπιμο να χρησιμοποιηθούν συγκεκριμένες μέθοδοι. Η συνεδρία είναι κοντά και τώρα είναι η ώρα να τα επαναλάβετε ή να τα κατακτήσετε από την αρχή. Σήμερα θα εξετάσουμε τη λύση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer. Εξάλλου, η επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Cramer είναι μια πολύ χρήσιμη δεξιότητα.

Συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων

Ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων είναι ένα σύστημα εξισώσεων της μορφής:

Σύνολο τιμής x , στο οποίο οι εξισώσεις του συστήματος μετατρέπονται σε ταυτότητες, ονομάζεται λύση του συστήματος, ένα Και σι είναι πραγματικοί συντελεστές. Ένα απλό σύστημα που αποτελείται από δύο εξισώσεις με δύο αγνώστους μπορεί να λυθεί στο μυαλό σας ή εκφράζοντας τη μία μεταβλητή ως προς την άλλη. Αλλά μπορεί να υπάρχουν πολύ περισσότερες από δύο μεταβλητές (xes) σε ένα SLAE, και εδώ οι απλοί σχολικοί χειρισμοί δεν αρκούν. Τι να κάνουμε; Για παράδειγμα, λύστε SLAE χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer!

Έτσι, αφήστε το σύστημα να αποτελείται από n εξισώσεις με n άγνωστος.

Ένα τέτοιο σύστημα μπορεί να ξαναγραφτεί σε μορφή μήτρας

Εδώ ΕΝΑ – η κύρια μήτρα του συστήματος, Χ Και σι , αντίστοιχα, πίνακες στηλών άγνωστων μεταβλητών και ελεύθερων όρων.

Επίλυση SLAE με τη μέθοδο του Cramer

Εάν η ορίζουσα του κύριου πίνακα δεν είναι ίση με το μηδέν (ο πίνακας είναι μη ενικός), το σύστημα μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer.

Σύμφωνα με τη μέθοδο του Cramer, η λύση βρίσκεται χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Εδώ δέλτα είναι η ορίζουσα του κύριου πίνακα, και δέλτα χ nth – ορίζουσα που λαμβάνεται από την ορίζουσα του κύριου πίνακα αντικαθιστώντας την nη στήλη με μια στήλη ελεύθερων όρων.

Αυτή είναι η όλη ουσία της μεθόδου Cramer. Αντικατάσταση των τιμών που βρέθηκαν χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους x στο επιθυμητό σύστημα, είμαστε πεπεισμένοι για την ορθότητα (ή το αντίστροφο) της λύσης μας. Για να σας βοηθήσουμε να κατανοήσετε γρήγορα την ουσία, δίνουμε παρακάτω ένα παράδειγμα λεπτομερούς λύσης SLAE χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Cramer:

Ακόμα κι αν δεν τα καταφέρετε την πρώτη φορά, μην απογοητεύεστε! Με λίγη εξάσκηση θα αρχίσετε να σπάτε τα SLAU σαν καρύδια. Επιπλέον, τώρα δεν είναι απολύτως απαραίτητο να περάσετε πόρους πάνω από ένα σημειωματάριο, λύνοντας δυσκίνητους υπολογισμούς και γράφοντας τον πυρήνα. Μπορείτε εύκολα να λύσετε SLAE χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer στο διαδίκτυο, απλώς αντικαθιστώντας τους συντελεστές στην τελική μορφή. Μπορείτε να δοκιμάσετε μια ηλεκτρονική αριθμομηχανή λύσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer, για παράδειγμα, σε αυτόν τον ιστότοπο.

Και αν το σύστημα αποδειχθεί πεισματάρικο και δεν τα παρατάει, μπορείτε πάντα να απευθυνθείτε στους συγγραφείς μας για βοήθεια, για παράδειγμα, για. Αν υπάρχουν τουλάχιστον 100 άγνωστα στο σύστημα, σίγουρα θα το λύσουμε σωστά και στην ώρα τους!