Ένα πολύεδρο του οποίου οι όψεις είναι τέσσερα κανονικά τρίγωνα. Κανονικά πολύεδρα

Σκοπός του μαθήματος:

1. Εισάγετε την έννοια των κανονικών πολύεδρων.
2. Εξετάστε τους τύπους κανονικών πολύεδρων.
3. Επίλυση προβλήματος.
4. Να εμφυσήσει το ενδιαφέρον για το θέμα, να διδάξει να βλέπει την ομορφιά στα γεωμετρικά σώματα, την ανάπτυξη της χωρικής φαντασίας.
5. Διαθεματικές επικοινωνίες.

Ορατότητα:τραπέζια, μοντέλα.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

Ι. Οργανωτική στιγμή.Ενημερώστε το θέμα του μαθήματος, διατυπώστε τους στόχους του μαθήματος.

II. Εκμάθηση νέου υλικού/

Διατίθεται στη σχολική γεωμετρία ειδικά θέματα, που ανυπομονείς, προσδοκώντας μια συνάντηση με απίστευτα όμορφο υλικό. Αυτά τα θέματα περιλαμβάνουν «Τακτική πολύεδρα». Εδώ δεν ανοίγεται μόνο ο υπέροχος κόσμος των γεωμετρικών σωμάτων με μοναδικές ιδιότητες, αλλά και ενδιαφέρουσες επιστημονικές υποθέσεις. Και τότε το μάθημα της γεωμετρίας γίνεται ένα είδος μελέτης απροσδόκητων πτυχών του συνηθισμένου σχολικού μαθήματος.

Κανένα από τα γεωμετρικά σώματα δεν διαθέτει τέτοια τελειότητα και ομορφιά όσο τα κανονικά πολύεδρα. «Τα κανονικά πολύεδρα είναι προκλητικά λίγα», έγραψε κάποτε ο L. Carroll, «αλλά αυτή η απόσπαση, που είναι πολύ μέτρια σε αριθμό, κατάφερε να μπει στα ίδια τα βάθη των διαφόρων επιστημών».

Ορισμός κανονικό πολύεδρο.

Ένα πολύεδρο ονομάζεται κανονικό εάν:

1. είναι κυρτό?
2. όλα του τα πρόσωπα είναι ίσα μεταξύ τους κανονικά πολύγωνα;
3. συγκλίνει σε κάθε κορυφή του τον ίδιο αριθμόπαϊδάκια;
4. όλες οι δίεδρες γωνίες του είναι ίσες.

Θεώρημα:Υπάρχουν πέντε διαφορετικοί (έως ομοιότητα) τύποι κανονικών πολύεδρων: κανονικό τετράεδρο, κανονικό εξάεδρο (κύβος), κανονικό οκτάεδρο, κανονικό δωδεκάεδρο και κανονικό εικοσάεδρο.

Τραπέζι 1.Μερικές ιδιότητες των κανονικών πολύεδρων δίνονται στον παρακάτω πίνακα.

Τύπος προσώπου	επίπεδη γωνία στην κορυφή	Άποψη της πολυεδρικής γωνίας στην κορυφή	Το άθροισμα των επίπεδων γωνιών στην κορυφή	ΣΤΟ	R	σολ	Το όνομα του πολύεδρου
ορθογώνιο τρίγωνο	60º	3 όψεων	180º	4	6	4	κανονικό τετράεδρο
ορθογώνιο τρίγωνο	60º	4 όψεων	240º	6	12	8	Κανονικό οκτάεδρο
ορθογώνιο τρίγωνο	60º	5 όψεων	300º	12	30	20	Κανονικό εικοσάεδρο
τετράγωνο	90º	3 όψεων	270º	8	12	6	Κανονικό εξάεδρο (κύβος)
ορθογώνιο τρίγωνο	108º	3 όψεων	324º	20	30	12	Κανονικό δωδεκάεδρο

Εξετάστε τους τύπους πολύεδρων:

κανονικό τετράεδρο

<Рис. 1>

Κανονικό οκτάεδρο

<Рис. 2>

Κανονικό εικοσάεδρο

<Рис. 3>

Κανονικό εξάεδρο (κύβος)

<Рис. 4>

Κανονικό δωδεκάεδρο

<Рис. 5>

Πίνακας 2. Τύποι εύρεσης όγκων κανονικών πολύεδρων.

Τύπος πολυέδρου	Πολύεδρος όγκος
κανονικό τετράεδρο
Κανονικό οκτάεδρο
Κανονικό εικοσάεδρο
Κανονικό εξάεδρο (κύβος)
Κανονικό δωδεκάεδρο

«Πλατωνικά στερεά».

Ο κύβος και το οκτάεδρο είναι διπλά, δηλ. λαμβάνονται μεταξύ τους αν τα κεντροειδή των όψεων του ενός ληφθούν ως κορυφές του άλλου και αντίστροφα. Το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο είναι ομοίως διπλά. Το τετράεδρο είναι διπλό στον εαυτό του. Ένα κανονικό δωδεκάεδρο λαμβάνεται από έναν κύβο κατασκευάζοντας «στέγες» στις όψεις του (μέθοδος του Ευκλείδη), οι κορυφές ενός τετραέδρου είναι οποιεσδήποτε τέσσερις κορυφές του κύβου που δεν είναι κατά ζεύγη γειτονικές κατά μήκος μιας άκρης. Έτσι λαμβάνονται όλα τα άλλα κανονικά πολύεδρα από τον κύβο. Το ίδιο το γεγονός της ύπαρξης μόνο πέντε πραγματικά κανονικών πολύεδρων είναι εκπληκτικό - τελικά, υπάρχουν άπειρα κανονικά πολύγωνα στο επίπεδο!

Όλα τα κανονικά πολύεδρα ήταν γνωστά πίσω Αρχαία Ελλάδα, και σε αυτούς είναι αφιερωμένο το τελευταίο, XII βιβλίο των περίφημων απαρχών του Ευκλείδη. Αυτά τα πολύεδρα ονομάζονται συχνά τα ίδια Πλατωνικά στερεάστην ιδεαλιστική εικόνα του κόσμου που έδωσε ο μεγάλος αρχαίος Έλληνας στοχαστής Πλάτων. Τέσσερα από αυτά προσωποποιούσαν τα τέσσερα στοιχεία: το τετράεδρο-φωτιά, τον κύβο-γη, το εικοσάεδρο-νερό και το οκτάεδρο-αέρας. το πέμπτο πολύεδρο, το δωδεκάεδρο, συμβόλιζε ολόκληρο το σύμπαν. Στα λατινικά, άρχισαν να τον αποκαλούν quinta essentia («πέμπτη ουσία»).

Προφανώς, δεν ήταν δύσκολο να βρούμε το σωστό τετράεδρο, κύβο, οκτάεδρο, ειδικά επειδή αυτές οι μορφές έχουν φυσικούς κρυστάλλους, για παράδειγμα: ένας κύβος είναι ένας μόνο κρύσταλλος επιτραπέζιο αλάτι(NaCl), οκτάεδρο - ένας μόνο κρύσταλλος στυπτηρίας καλίου ((KAlSO 4) 2 l2H 2 O). Υπάρχει η υπόθεση ότι οι αρχαίοι Έλληνες πήραν το σχήμα του δωδεκάεδρου λαμβάνοντας υπόψη κρυστάλλους πυρίτη (θειώδης πυρίτης FeS). Έχοντας το ίδιο δωδεκάεδρο, δεν είναι δύσκολο να κατασκευαστεί ένα εικοσάεδρο: οι κορυφές του θα είναι τα κέντρα των 12 όψεων του δωδεκάεδρου.

Πού αλλού μπορείτε να δείτε αυτά τα εκπληκτικά σώματα;

Σε ένα πολύ όμορφο βιβλίο του Γερμανού βιολόγου των αρχών του αιώνα μας, E. Haeckel, «Η ομορφιά των μορφών στη φύση», μπορεί κανείς να διαβάσει τις ακόλουθες γραμμές: «Η φύση τρέφει στους κόλπους της μια ανεξάντλητη ποσότητα καταπληκτικά πλάσματαπου σε ομορφιά και ποικιλία ξεπερνούν κατά πολύ κάθε μορφή που δημιουργεί η τέχνη του ανθρώπου. Οι δημιουργίες της φύσης σε αυτό το βιβλίο είναι όμορφες και συμμετρικές. Αυτή είναι μια αναπόσπαστη ιδιότητα της φυσικής αρμονίας. Αλλά εδώ μπορείτε να δείτε μονοκύτταροι οργανισμοί- feodarii, το σχήμα των οποίων μεταφέρει με ακρίβεια το εικοσάεδρο. Τι προκάλεσε αυτή τη φυσική γεωμετρία; Ίσως λόγω όλων των πολύεδρων με τον ίδιο αριθμό όψεων, είναι το εικοσάεδρο που έχει τον μεγαλύτερο όγκο και τη μικρότερη επιφάνεια. το γεωμετρική ιδιότηταβοηθά τον θαλάσσιο μικροοργανισμό να ξεπεράσει την πίεση της στήλης του νερού.

Είναι επίσης ενδιαφέρον ότι ήταν το εικοσάεδρο που αποδείχθηκε ότι ήταν το επίκεντρο της προσοχής των βιολόγων στις διαφωνίες τους σχετικά με το σχήμα των ιών. Ο ιός δεν μπορεί να είναι απόλυτα στρογγυλός, όπως πιστεύαμε προηγουμένως. Για να καθορίσουν το σχήμα του, πήραν διάφορα πολύεδρα, κατεύθυναν το φως σε αυτά υπό τις ίδιες γωνίες με τη ροή των ατόμων προς τον ιό. Αποδείχθηκε ότι οι ιδιότητες που αναφέρονται παραπάνω καθιστούν δυνατή την αποθήκευση γενετικών πληροφοριών. Τα κανονικά πολύεδρα είναι τα πιο κερδοφόρα στοιχεία. Και η φύση το εκμεταλλεύεται αυτό. Τα κανονικά πολύεδρα καθορίζουν το σχήμα των κρυσταλλικών δικτυωμάτων ορισμένων ΧΗΜΙΚΕΣ ΟΥΣΙΕΣ. Η επόμενη εργασία θα επεξηγήσει αυτήν την ιδέα.

Μια εργασία.Το μοντέλο του μορίου του μεθανίου CH 4 έχει το σχήμα ενός κανονικού τετραέδρου, με άτομα υδρογόνου σε τέσσερις κορυφές και ένα άτομο άνθρακα στο κέντρο. Προσδιορίστε τη γωνία δεσμού μεταξύ δύο δεσμών CH.

<Рис. 6>

Λύση.Δεδομένου ότι ένα κανονικό τετράεδρο έχει έξι ίσες ακμές, είναι δυνατό να επιλέξετε έναν κύβο τέτοιο ώστε οι διαγώνιοι των όψεών του να είναι οι ακμές ενός κανονικού τετραέδρου. Το κέντρο του κύβου είναι επίσης το κέντρο του τετραέδρου, επειδή οι τέσσερις κορυφές του τετραέδρου είναι επίσης οι κορυφές του κύβου και η σφαίρα που περιγράφεται γύρω τους καθορίζεται μοναδικά από τέσσερα σημεία που δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.

Το τρίγωνο AOC είναι ισοσκελές. Επομένως, a είναι η πλευρά του κύβου, d είναι το μήκος της διαγωνίου της πλευρικής όψης ή της άκρης του τετραέδρου. Άρα, a = 54,73561 0 και j = 109,47 0

Μια εργασία.Σε έναν κύβο μιας κορυφής (D), σχεδιάζονται διαγώνιοι όψεων DA, DB και DC και τα άκρα τους συνδέονται με ευθείες γραμμές. Αποδείξτε ότι το πολύτοπο DABC που σχηματίζεται από τέσσερα επίπεδα που διέρχονται από αυτές τις γραμμές είναι ένα κανονικό τετράεδρο.

<Рис. 7>

Μια εργασία.Η άκρη του κύβου είναι ένα.Υπολογίστε την επιφάνεια ενός κανονικού οκταέδρου που είναι εγγεγραμμένο σε αυτό. Βρείτε τη σχέση του με την επιφάνεια ενός κανονικού τετραέδρου εγγεγραμμένου στον ίδιο κύβο.

<Рис. 8>

Γενίκευση της έννοιας του πολύεδρου.

Ένα πολύεδρο είναι μια συλλογή πεπερασμένου αριθμού επίπεδων πολυγώνων έτσι ώστε:

1. Κάθε πλευρά οποιουδήποτε από τα πολύγωνα είναι ταυτόχρονα μια πλευρά του άλλου (αλλά μόνο η μία (που ονομάζεται δίπλα στην πρώτη) κατά μήκος αυτής της πλευράς).
2. από οποιοδήποτε από τα πολύγωνα που αποτελούν το πολύεδρο, μπορεί κανείς να φτάσει σε οποιοδήποτε από αυτά περνώντας στο διπλανό του και από αυτό, με τη σειρά του, στο διπλανό του κ.λπ.

Αυτά τα πολύγωνα ονομάζονται όψεις, οι πλευρές τους ονομάζονται ακμές και οι κορυφές τους είναι οι κορυφές του πολυεδρικού.

Ο παραπάνω ορισμός του πολυέδρου παίρνει διαφορετική σημασίαανάλογα με το πώς ορίζετε το πολύγωνο:

- αν ένα πολύγωνο νοείται ως επίπεδες κλειστές διακεκομμένες γραμμές (παρόλο που τέμνονται οι ίδιες), τότε έρχονται σε αυτόν τον ορισμόπολύεδρο?

- εάν ένα πολύγωνο νοείται ως τμήμα ενός επιπέδου που οριοθετείται από διακεκομμένες γραμμές, τότε από αυτή την άποψη, ένα πολύεδρο νοείται ως μια επιφάνεια που αποτελείται από πολυγωνικά κομμάτια. Αν αυτή η επιφάνεια δεν τέμνεται από μόνη της, τότε είναι η πλήρης επιφάνεια ορισμένων γεωμετρικό σώμα, που ονομάζεται και πολύεδρο. Από εδώ, μια τρίτη άποψη προκύπτει για τα πολύεδρα όπως και για τα γεωμετρικά σώματα, και επιτρέπεται επίσης αυτά τα σώματα να έχουν «τρύπες» που περιορίζονται από πεπερασμένος αριθμόςεπίπεδες άκρες.

Τα πιο απλά παραδείγματα πολύεδρων είναι τα πρίσματα και οι πυραμίδες.

Το πολύεδρο ονομάζεται n-κάρβουνο πυραμίδα, εάν έχει μία από τις όψεις της (βάση) οποιαδήποτε n-ένα τετράγωνο και οι υπόλοιπες όψεις είναι τρίγωνα με κοινή κορυφή που δεν βρίσκεται στο επίπεδο της βάσης. Μια τριγωνική πυραμίδα ονομάζεται επίσης τετράεδρο.

Το πολύεδρο ονομάζεται n-πρίσμα άνθρακα, αν έχει δύο από τις όψεις του (βάσεις) ίσες n-γωνίες (που δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο) που λαμβάνονται μεταξύ τους με παράλληλη μετάφραση και οι υπόλοιπες όψεις είναι παραλληλόγραμμα, αντίθετες πλευρέςπου είναι οι αντίστοιχες πλευρές των βάσεων.

Για κάθε πολύτοπο του γένους μηδέν, το χαρακτηριστικό Euler (ο αριθμός των κορυφών μείον τον αριθμό των ακμών συν τον αριθμό των όψεων) είναι ίσο με δύο. συμβολικά: V - P + G = 2 (θεώρημα Euler). Για ένα πολύεδρο του γένους Πη σχέση B - R + G \u003d 2 - 2 Π.

Ένα κυρτό πολύεδρο είναι ένα πολύεδρο που βρίσκεται στη μία πλευρά του επιπέδου οποιασδήποτε από τις όψεις του. Τα πιο σημαντικά είναι τα ακόλουθα κυρτά πολύεδρα:

<Рис. 9>

1. κανονικά πολύεδρα (στερεά του Πλάτωνα) - τέτοια κυρτά πολύεδρα, των οποίων όλες οι όψεις είναι τα ίδια κανονικά πολύγωνα και όλες οι πολυεδρικές γωνίες στις κορυφές είναι κανονικές και ίσες<Рис. 9, № 1-5>;
2. ισόγωνα και ισόεδρα - κυρτά πολύεδρα, όλες οι πολυεδρικές γωνίες των οποίων είναι ίσες (ισόεδρα) ή ίσες με όλες τις όψεις (ισόεδρα). Επιπλέον, η ομάδα περιστροφών (με αντανακλάσεις) ενός ισογώνου (ισοέδρου) γύρω από το κέντρο βάρους παίρνει οποιαδήποτε από τις κορυφές του (όψεις) σε οποιαδήποτε από τις άλλες κορυφές του (όψεις). Τα πολύεδρα που λαμβάνονται με αυτόν τον τρόπο ονομάζονται ημικανονικά πολύεδρα (Στερεά του Αρχιμήδη)<Рис. 9, № 10-25>;
3. παραλληλόεδρα (κυρτά) - πολύεδρα, θεωρούμενα ως σώματα, με παράλληλη τομή των οποίων είναι δυνατό να γεμίσει ολόκληρος ο άπειρος χώρος έτσι ώστε να μην εισχωρούν το ένα στο άλλο και να μην αφήνουν κενά μεταξύ τους, δηλ. σχημάτισε μια διαίρεση του χώρου<Рис. 9, № 26-30>;
4. Αν με τον όρο πολύγωνο εννοούμε επίπεδες κλειστές διακεκομμένες γραμμές (ακόμα και αν αυτοτέμνονται), τότε μπορούν να υποδειχθούν 4 ακόμη μη κυρτά (αστεροειδή) κανονικά πολύεδρα (σώματα Poinsot). Σε αυτά τα πολύεδρα, είτε οι όψεις τέμνονται μεταξύ τους, είτε οι όψεις είναι αυτοτεμνόμενα πολύγωνα.<Рис. 9, № 6-9>.

III. Εργασία για το σπίτι.

IV. Επίλυση προβλημάτων Νο 279, Νο 281.

V. Συνοψίζοντας.

Λίστα χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας:

1. “Mathematical Encyclopedia”, επιμ I. M. Vinogradova,εκδοτικό οίκο " Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια», Μόσχα, 1985. Τόμος 4, σσ. 552–553 Τόμος 3, σσ. 708–711.
2. «Μικρή Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια», E. Fried, I. Pastor, I. Reiman et al. Publishing House of the Hungarian Academy of Sciences, Βουδαπέστη, 1976. Σελ. 264–267.
3. «Συλλογή προβλημάτων στα μαθηματικά για τους υποψήφιους στα πανεπιστήμια» σε δύο βιβλία, επιμέλεια M.I. Scanavi, βιβλίο 2 - Γεωμετρία, εκδοτικός οίκος " μεταπτυχιακό σχολείο», Μόσχα, 1998. Σελ. 45–50.
4. “Εργαστήριαμαθηματικά: Φροντιστήριογια τεχνικές σχολές», εκδοτικός οίκος «Vysshaya Shkola», Μόσχα, 1979. Σελ. 388–395, σσ. 405.
5. “Repeat Mathematics”, έκδοση 2–6, συμπληρωματικό, Εγχειρίδιο για υποψήφιους σε πανεπιστήμια, εκδοτικός οίκος “Vysshaya Shkola”, Μόσχα, 1974. Σελ. 446–447.
6. εγκυκλοπαιδικό λεξικόνεαρός μαθηματικός, A. P. Savin,εκδοτικός οίκος "Παιδαγωγική", Μόσχα, 1989. Σελ. 197–199.
7. «Εγκυκλοπαίδεια για παιδιά. T.P. Μαθηματικά», Αρχισυντάκτης M. D. Aksenova; μέθοδο, και αντί. εκδότης V. A. Volodin, εκδοτικός οίκος Avanta+, Μόσχα, 2003. Σελ. 338–340.
8. Γεωμετρία, 10–11: Εγχειρίδιο για Εκπαιδευτικά ιδρύματα/ L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsevκαι άλλα - 10η έκδοση - Μ .: Εκπαίδευση, 2001. Σελ. 68–71.
9. "Kvant" No. 9, 11 - 1983, No. 12 - 1987, No. 11, 12 - 1988, No. 6, 7, 8 - 1989. Δημοφιλές επιστημονικό και μαθηματικό περιοδικό της Ακαδημίας Επιστημών της ΕΣΣΔ και του Ακαδημία παιδαγωγικές επιστήμεςΕΣΣΔ. Εκδοτικός οίκος «Επιστήμη». Η κύρια έκδοση φυσικής και μαθηματικής λογοτεχνίας. Σελίδα 5-9, 6-12, 7-9, 10, 4-8, 13, 16, 58.
10. Επίλυση προβλήματος αυξημένη πολυπλοκότηταστη γεωμετρία: 11η τάξη - Μ .: ΑΡΚΤΗ, 2002. Σελ. 9, 19–20.

Ονομάζονται κανονικά κυρτά πολύεδρα, των οποίων όλες οι όψεις είναι τα ίδια κανονικά πολύγωνα και ο ίδιος αριθμός όψεων συγκλίνουν σε κάθε κορυφή. Τέτοια πολύεδρα ονομάζονται επίσης πλατωνικά στερεά.

Υπάρχουν μόνο πέντε κανονικά πολύεδρα:

Εικόνα	Κανονικός πολυεδρικός τύπος	Αριθμός πλευρών σε ένα πρόσωπο	Αριθμός ακμών δίπλα σε μια κορυφή	Συνολικός αριθμός κορυφών	συνολικός αριθμός άκρων	Συνολικός αριθμός προσώπων
Τετράεδρο
Εξάεδρο ή κύβος
Δωδεκάεδρος
εικοσάεδρο

Το όνομα κάθε πολυέδρου προέρχεται από Ελληνικό όνοματον αριθμό των όψεών του και τη λέξη «άκρη».

Τετράεδρο

Το τετράεδρο (ελληνικά fefsbedspn - τετράεδρο) είναι ένα πολύεδρο με τέσσερις τριγωνικές όψεις, σε κάθε μια από τις κορυφές των οποίων συγκλίνουν 3 όψεις. Ένα τετράεδρο έχει 4 όψεις, 4 κορυφές και 6 ακμές.

Ιδιότητες τετραέδρου

Τα παράλληλα επίπεδα που διέρχονται από ζεύγη διασταυρούμενων ακμών του τετραέδρου καθορίζουν το παραλληλεπίπεδο που περιβάλλεται κοντά στο τετράεδρο.

Το τμήμα που συνδέει την κορυφή του τετραέδρου με το σημείο τομής των διάμεσων της απέναντι όψης ονομάζεται διάμεσος του, που πέφτει από αυτήν την κορυφή.

Το τμήμα που συνδέει τα μέσα των πλευρικών άκρων ενός τετραέδρου ονομάζεται διμέσο του, το οποίο συνδέει αυτές τις ακμές.

Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει μια κορυφή με ένα σημείο στην απέναντι όψη και κάθετο σε αυτήν την όψη ονομάζεται ύψος του από τη δεδομένη κορυφή.

Θεώρημα.Όλες οι διάμεσοι και οι δίμεσοι ενός τετραέδρου τέμνονται σε ένα σημείο. Αυτό το σημείο διαιρεί τις διάμεσους σε αναλογία 3:1, μετρώντας από την κορυφή. Αυτό το σημείο διχοτομεί τους διμέσους.

Διανέμω:

• Ένα ισοεδρικό τετράεδρο, στο οποίο όλες οι όψεις είναι τρίγωνα ίσα μεταξύ τους.
• · ένα ορθοκεντρικό τετράεδρο, στο οποίο όλα τα ύψη που πέφτουν από κορυφές σε αντίθετες όψεις τέμνονται σε ένα σημείο.
• ένα ορθογώνιο τετράεδρο, στο οποίο όλες οι ακμές που γειτνιάζουν με μία από τις κορυφές είναι κάθετες μεταξύ τους.
• κανονικό τετράεδρο, στο οποίο όλες οι όψεις είναι ισόπλευρα τρίγωνα.
• τετράεδρο πλαισίου - ένα τετράεδρο που πληροί οποιαδήποτε από τις ακόλουθες προϋποθέσεις:
• · Υπάρχει μια σφαίρα που αγγίζει όλες τις άκρες.
• · Τα αθροίσματα των μηκών των άκρων διασταύρωσης είναι ίσα.
• · Τα αθροίσματα των διεδρικών γωνιών στις απέναντι ακμές είναι ίσα.
• Οι κύκλοι που είναι εγγεγραμμένοι σε όψεις εφάπτονται σε ζεύγη.
• · Περιγράφονται όλα τα τετράπλευρα που προκύπτουν από την ανάπτυξη ενός τετραέδρου.
• · Οι κάθετες υψωμένες στις όψεις από τα κέντρα των κύκλων που είναι εγγεγραμμένοι σε αυτές τέμνονται σε ένα σημείο.
• ένα ανάλογο τετράεδρο, του οποίου όλα τα διύψη είναι ίσα.
• · ένα κεντρικό τετράεδρο, στο οποίο τα τμήματα που συνδέουν τις κορυφές του τετραέδρου με τα κέντρα των κύκλων που εγγράφονται σε αντίθετες όψεις τέμνονται σε ένα σημείο.

Ένας κύβος ή ένα κανονικό εξάεδρο είναι ένα κανονικό πολύεδρο, κάθε όψη του οποίου είναι ένα τετράγωνο. ειδική περίπτωσηπαραλληλεπίπεδο και πρίσμα.

Ιδιότητες κύβου

• · Τέσσερα τμήματα του κύβου είναι κανονικά εξάγωνα - αυτά τα τμήματα διέρχονται από το κέντρο του κύβου κάθετα στις τέσσερις κύριες διαγώνιές του.
• Ένα τετράεδρο μπορεί να εγγραφεί σε έναν κύβο με δύο τρόπους. Και στις δύο περιπτώσεις, οι τέσσερις κορυφές του τετραέδρου θα ευθυγραμμιστούν με τις τέσσερις κορυφές του κύβου, και οι έξι άκρες του τετραέδρου θα ανήκουν στις όψεις του κύβου. Στην πρώτη περίπτωση, όλες οι κορυφές του τετραέδρου ανήκουν στις όψεις της τριεδρικής γωνίας, η κορυφή της οποίας συμπίπτει με μία από τις κορυφές του κύβου. Στη δεύτερη περίπτωση, τα ζεύγη διασταυρούμενα άκρα του τετραέδρου ανήκουν σε κατά ζεύγη αντίθετες όψεις του κύβου. Ένα τέτοιο τετράεδρο είναι σωστό.
• · Ένα οκτάεδρο μπορεί να εγγραφεί σε έναν κύβο, επιπλέον, και οι έξι κορυφές του οκτάεδρου θα είναι ευθυγραμμισμένες με τα κέντρα των έξι όψεων του κύβου.
• · Ένας κύβος μπορεί να εγγραφεί σε ένα οκτάεδρο, επιπλέον, και οι οκτώ κορυφές του κύβου θα βρίσκονται στα κέντρα των οκτώ όψεων του οκτάεδρου.
• · Ένα εικοσάεδρο μπορεί να εγγραφεί σε έναν κύβο, ενώ έξι αμοιβαία παράλληλες άκρες του εικοσάεδρου θα βρίσκονται αντίστοιχα σε έξι όψεις του κύβου, οι υπόλοιπες 24 άκρες βρίσκονται μέσα στον κύβο. Και οι δώδεκα κορυφές του εικοσάεδρου θα βρίσκονται στις έξι όψεις του κύβου.

Η διαγώνιος ενός κύβου είναι ένα τμήμα που συνδέει δύο κορυφές που είναι συμμετρικές ως προς το κέντρο του κύβου. Η διαγώνιος ενός κύβου βρίσκεται από τον τύπο

πολύεδρο εικοσάεδρο οκτάεδρο δωδεκάεδρο

όπου d είναι η διαγώνιος και a η άκρη του κύβου.

Οκτάεδρο

Το οκτάεδρο (ελληνικά pkfedspn, από τα ελληνικά pkfyu, «οκτώ» και ελληνικά Edsb - «βάση») είναι ένα από τα πέντε κυρτά κανονικά πολύεδρα, τα λεγόμενα πλατωνικά στερεά.

Το οκτάεδρο έχει 8 τριγωνικές όψεις, 12 ακμές, 6 κορυφές, 4 άκρες συγκλίνουν σε κάθε κορυφή.

Αν το μήκος ακμής ενός οκταέδρου είναι a, τότε το εμβαδόν του πλήρη επιφάνειαΤο (S) και ο όγκος του οκταέδρου (V) υπολογίζονται με τους τύπους:

Η ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται γύρω από ένα οκτάεδρο είναι:

Η ακτίνα μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε ένα οκτάεδρο μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο:

Ένα κανονικό οκτάεδρο έχει συμμετρία Oh, η οποία είναι ίδια με αυτή ενός κύβου.

Το οκτάεδρο έχει σχήμα μονού αστεριού. Το οκτάεδρο ανακαλύφθηκε από τον Λεονάρντο ντα Βίντσι, στη συνέχεια, σχεδόν 100 χρόνια αργότερα, ανακαλύφθηκε ξανά από τον Γιοχάνες Κέπλερ και ονόμασε από αυτόν Stella octangula - ένα οκταγωνικό αστέρι. Εξ ου και αυτή η μορφή έχει το δεύτερο όνομα "Kepler's stella octangula".

Στην πραγματικότητα, είναι μια ένωση δύο τετραέδρων

Δωδεκάεδρος

Δωδεκάεδρο (από το ελληνικό dudekb - δώδεκα και edspn - πρόσωπο), δωδεκάεδρο - ένα κανονικό πολύεδρο, που αποτελείται από δώδεκα κανονικά πεντάγωνα. Κάθε κορυφή του δωδεκάεδρου είναι μια κορυφή τριών κανονικών πενταγώνων.

Έτσι, το δωδεκάεδρο έχει 12 όψεις (πενταγωνικές), 30 ακμές και 20 κορυφές (3 άκρες συγκλίνουν σε κάθε μία). Το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε καθεμία από τις 20 κορυφές είναι 324°.

Το δωδεκάεδρο έχει 3 αστερισμούς: μικρό αστρικό δωδεκάεδρο, μεγάλο δωδεκάεδρο, μεγάλο αστρικό δωδεκάεδρο (αστρικό μεγάλο δωδεκάεδρο, τελική μορφή). Τα δύο πρώτα από αυτά ανακαλύφθηκαν από τον Kepler (1619), το τρίτο από τον Poinsot (1809). Σε αντίθεση με το οκτάεδρο, οποιαδήποτε από τις αστρικές μορφές του δωδεκάεδρου δεν είναι ένωση των πλατωνικών στερεών, αλλά σχηματίζει ένα νέο πολύεδρο.

Και οι 3 αστερισμοί του δωδεκάεδρου, μαζί με το μεγάλο εικοσάεδρο, σχηματίζουν μια οικογένεια στερεών Kepler-Poinsot, δηλαδή κανονικά μη κυρτά (αστρικά) πολύεδρα.

Οι μεγάλες όψεις του δωδεκάεδρου είναι πεντάγωνα, τα οποία συγκλίνουν πέντε σε κάθε κορυφή. Τα μικρά αστρικά και μεγάλα αστεροειδή δωδεκάεδρα αντιμετωπίζουν - πεντάκτινα αστέρια(πενταγράμματα), τα οποία στην πρώτη περίπτωση συγκλίνουν κατά 5 και στη δεύτερη κατά 3. Οι κορυφές του μεγάλου αστεριού δωδεκάεδρου συμπίπτουν με τις κορυφές του περιγεγραμμένου δωδεκάεδρου. Κάθε κορυφή συνδέει τρεις όψεις.

Βασικοί τύποι:

Αν πάρουμε το a ως το μήκος της ακμής, τότε η επιφάνεια του δωδεκάεδρου είναι:

Όγκος Δωδεκάεδρου:

Ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας:

Ακτίνα της εγγεγραμμένης σφαίρας:

Στοιχεία συμμετρίας του δωδεκάεδρου:

· Το δωδεκάεδρο έχει κέντρο συμμετρίας και 15 άξονες συμμετρίας.

Καθένας από τους άξονες διέρχεται από τα μεσαία σημεία αντίθετων παράλληλων νευρώσεων.

Το δωδεκάεδρο έχει 15 επίπεδα συμμετρίας. Οποιοδήποτε από τα επίπεδα συμμετρίας διέρχεται σε κάθε όψη από την κορυφή και το μέσο της απέναντι ακμής.

εικοσάεδρο

Εικοσάεδρο (από το ελληνικό eykput - είκοσι; -edspn - πρόσωπο, πρόσωπο, βάση) - σωστό κυρτό πολύεδρο, εικοσάπλευρο, ένα από τα πλατωνικά στερεά. Κάθε ένα από τα 20 πρόσωπα είναι ισόπλευρο τρίγωνο. Ο αριθμός των ακμών είναι 30, ο αριθμός των κορυφών είναι 12.

Το εμβαδόν S, ο όγκος V ενός εικοσάεδρου με μήκος ακμής a, καθώς και οι ακτίνες των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων σφαιρών υπολογίζονται με τους τύπους:

εγγεγραμμένη ακτίνα σφαίρας:

ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας:

Ιδιότητες

• Ένα εικοσάεδρο μπορεί να εγγραφεί σε έναν κύβο, ενώ έξι αμοιβαία κάθετες άκρες του εικοσάεδρου θα βρίσκονται αντίστοιχα σε έξι όψεις του κύβου, οι υπόλοιπες 24 άκρες μέσα στον κύβο, και οι δώδεκα κορυφές του εικοσάεδρου θα βρίσκονται σε έξι όψεις του κύβου .
• · Ένα τετράεδρο μπορεί να εγγραφεί σε ένα εικοσάεδρο, επιπλέον, τέσσερις κορυφές του τετραέδρου θα συνδυαστούν με τέσσερις κορυφές του εικοσάεδρου.
• · Ένα εικοσάεδρο μπορεί να εγγραφεί σε ένα δωδεκάεδρο, ενώ οι κορυφές του εικοσάεδρου θα είναι ευθυγραμμισμένες με τα κέντρα των όψεων του δωδεκάεδρου.
• · Ένα δωδεκάεδρο μπορεί να εγγραφεί σε ένα εικοσάεδρο με την ευθυγράμμιση των κορυφών του δωδεκάεδρου και των κέντρων των όψεων του εικοσάεδρου.
• · Ένα κολοβωμένο εικοσάεδρο μπορεί να ληφθεί αποκόπτοντας 12 κορυφές για να σχηματιστούν όψεις με τη μορφή κανονικών πενταγώνων. Ταυτόχρονα, ο αριθμός των κορυφών του νέου πολυέδρου αυξάνεται 5 φορές (12?5=60), 20 τριγωνικές όψεις μετατρέπονται σε κανονικά εξάγωνα (ο συνολικός αριθμός όψεων γίνεται 20+12=32) και ο αριθμός των ακμών αυξάνεται σε 30+12;5=90.

Το εικοσάεδρο έχει 59 αστερισμούς, εκ των οποίων οι 32 έχουν πλήρη και 27 ημιτελής εικοσάεδρη συμμετρία. Ένας από αυτούς τους αστερισμούς (20ος, mod. 41 σύμφωνα με τον Wenninger), που ονομάζεται μεγάλο εικοσάεδρο, είναι ένας από τα τέσσερα κανονικά αστρικά πολύεδρα Kepler-Poinsot. Οι όψεις του είναι κανονικά τρίγωνα που συγκλίνουν σε κάθε κορυφή πέντε. αυτή την ιδιότητα μοιράζεται το μεγάλο εικοσάεδρο με το εικοσάεδρο.

Μεταξύ των αστρικών μορφών υπάρχουν επίσης: μια ένωση πέντε οκτάεδρων, μια ένωση πέντε τετραέδρων, μια ένωση δέκα τετραέδρων.

Για να χρησιμοποιήσετε την προεπισκόπηση των παρουσιάσεων, δημιουργήστε έναν λογαριασμό Google (λογαριασμό) και συνδεθείτε: https://accounts.google.com

Λεζάντες διαφανειών:

Πολύεδρα. Κορυφές, ακμές, όψεις ενός πολύεδρου. ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ EULER. Βαθμός 10 Συμπλήρωσε: Kaigorodova S.V.

Κανονικό πολύεδρο είναι αυτό στο οποίο όλες οι όψεις είναι κανονικά πολύγωνα και όλες οι πολυεδρικές γωνίες στις κορυφές είναι ίσες.

Από την αρχαιότητα, πέντε καταπληκτικά πολύεδρα ήταν γνωστά στον άνθρωπο.

Σύμφωνα με τον αριθμό των όψεων ονομάζονται κανονικό τετράεδρο.

εξάεδρο (εξάεδρο) ή κύβος

οκτάεδρο (οκτάεδρο)

δωδεκάεδρο (δωδεκάεδρο)

εικοσάεδρο (είκοσι όψεων)

Εξελίξεις κανονικών πολύεδρων

Ιστορικό υπόβαθρο Τέσσερις ουσίες της φύσης ήταν γνωστές στην ανθρωπότητα: φωτιά, νερό, γη και αέρας. Σύμφωνα με τον Πλάτωνα τα άτομά τους έμοιαζαν με κανονικά πολύεδρα.Ο μεγάλος αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος Πλάτων, που έζησε τον 4ο - 5ο αι. π.Χ., πίστευαν ότι αυτά τα σώματα προσωποποιούν την ουσία της φύσης.

το άτομο της φωτιάς έμοιαζε με τετράεδρο, η γη - ένα εξάεδρο (κύβος) αέρα - ένα οκτάεδρο του νερού - ένα εικοσάεδρο

Υπήρχε όμως ένα δωδεκάεδρο, στο οποίο δεν υπήρχε αντιστοιχία.Ο Πλάτωνας πρότεινε ότι υπάρχει μια άλλη (πέμπτη) οντότητα. Τον ονόμασε κόσμο αιθέρα. Τα άτομα αυτής της πέμπτης ουσίας έμοιαζαν με δωδεκάεδρο. Ο Πλάτωνας και οι μαθητές του στα έργα τους μεγάλη προσοχήδίνεται στα αναγραφόμενα πολύεδρα. Επομένως, αυτά τα πολύεδρα ονομάζονται και πλατωνικά στερεά.

Για κάθε κυρτό πολύεδρο, η σχέση είναι αληθής: Г+В-Р=2, όπου Г είναι ο αριθμός των όψεων, В είναι ο αριθμός των κορυφών, Р ο αριθμός των ακμών του δεδομένου πολυέδρου. Όψεις + Κορυφές - Ακμές = 2. Θεώρημα Euler

Χαρακτηριστικά κανονικών πολύεδρων Πολύεδρο Αριθμός πλευρών μιας όψης Αριθμός όψεων που συγκλίνουν σε κάθε κορυφή Αριθμός όψεων (G) Αριθμός ακμών (P) Αριθμός κορυφών (V) Τετράεδρο 3 3 4 6 4 Εξάεδρο 4 3 6 12 8 Οκτάδιο 4 8 12 6 Εικοσάεδρο 3 5 20 30 12 Δωδεκάεδρο 5 3 12 30 20

Δυαδικότητα Κανονικών Πολύεδρων Ένα εξάεδρο (κύβος) και ένα οκτάεδρο σχηματίζουν ένα διπλό ζεύγος πολύεδρων. Ο αριθμός των όψεων του ενός πολυέδρου είναι ίσος με τον αριθμό των κορυφών του άλλου και αντίστροφα.

Πάρτε οποιονδήποτε κύβο και σκεφτείτε ένα πολύεδρο με κορυφές στα κέντρα των όψεών του. Όπως μπορείτε εύκολα να δείτε, έχουμε ένα οκτάεδρο.

Τα κέντρα των όψεων του οκταέδρου χρησιμεύουν ως κορυφές του κύβου.

Το θειικό αντιμόνιο νατρίου είναι ένα τετράεδρο. Τα πολύεδρα στη φύση, τη χημεία και τη βιολογία Οι κρύσταλλοι ορισμένων από τις ουσίες που γνωρίζουμε έχουν το σχήμα κανονικών πολύεδρων. Κρύσταλλο πυρίτη - φυσικό μοντέλο δωδεκάεδρου. Οι κρύσταλλοι αλατιού μεταφέρουν το σχήμα ενός κύβου. Ένας μόνο κρύσταλλος στυπτηρίας αλουμινίου-καλίου έχει σχήμα οκταέδρου. Κρύσταλλο (πρίσμα) Το εικοσάεδρο έχει βρεθεί στο επίκεντρο της προσοχής των βιολόγων στις διαφωνίες τους σχετικά με το σχήμα των ιών. Ο ιός δεν μπορεί να είναι απόλυτα στρογγυλός, όπως πιστεύαμε προηγουμένως. Για να καθορίσουν το σχήμα του, πήραν διάφορα πολύεδρα, κατεύθυναν το φως σε αυτά υπό τις ίδιες γωνίες με τη ροή των ατόμων προς τον ιό. Αποδείχθηκε ότι μόνο ένα πολύεδρο δίνει ακριβώς την ίδια σκιά - το εικοσάεδρο. Στη διαδικασία διαίρεσης του αυγού, σχηματίζεται πρώτα ένα τετράεδρο τεσσάρων κυττάρων, μετά ένα οκτάεδρο, ένας κύβος και τέλος μια δωδεκαεδρική-εικοσαεδρική δομή του γαστρώματος. Και τέλος, ίσως το πιο σημαντικό, η δομή του DNA γενετικός κώδικαςζωή - είναι μια τετραδιάστατη σάρωση (κατά μήκος του άξονα του χρόνου) ενός περιστρεφόμενου δωδεκάεδρου! Στο μόριο μεθανίου, έχει το σχήμα ενός κανονικού τετραέδρου.

Το Πολύεδρο στην τέχνη "Πορτρέτο της Μόνα Λίζα" Η σύνθεση της εικόνας βασίζεται σε χρυσά τρίγωνα, τα οποία αποτελούν μέρη ενός κανονικού πενταγώνου αστεριού. γκραβούρα «Μελαγχολία» Στο πρώτο πλάνο της εικόνας είναι ένα δωδεκάεδρο. «Ο Μυστικός Δείπνος» ο Χριστός με τους μαθητές του απεικονίζεται με φόντο ένα τεράστιο διάφανο δωδεκάεδρο.

Τα Πολύεδρα στην αρχιτεκτονική του Μουσείου Φρούτων στο Γιαμανάσι δημιουργήθηκαν χρησιμοποιώντας τρισδιάστατη μοντελοποίηση. Ο τετραώροφος Πύργος Spasskaya με την Εκκλησία του Σωτήρα που δεν έγινε από τα χέρια είναι η κύρια είσοδος στο Κρεμλίνο του Καζάν. Ανεγέρθηκε τον 16ο αιώνα από τους αρχιτέκτονες του Pskov, Ivan Shiryai και Postnik Yakovlev, με το παρατσούκλι "Barma". Οι τέσσερις βαθμίδες του πύργου είναι ένας κύβος, πολύεδρα και μια πυραμίδα. Πύργος Spasskaya του Κρεμλίνου. Μουσείο Φρούτων Φάρος Πυραμίδων Αλεξάνδρειας

ΣΤΟ σχολικό πρόγραμμα σπουδών, δυστυχώς, η σφαιρική γεωμετρία και η γεωμετρία Lobachevsky δεν μελετώνται. Εν τω μεταξύ, η μελέτη τους μαζί με την Ευκλείδεια γεωμετρία επιτρέπει μια βαθύτερη κατανόηση του τι συμβαίνει με τα αντικείμενα. Για παράδειγμα, για να κατανοήσουμε τη σύνδεση μεταξύ των κανονικών πολύεδρων και των πλακιδίων της σφαίρας, των πλακιδίων του ευκλείδειου επιπέδου και των πλακιδίων του επιπέδου Lobachevsky.
Η γνώση της γεωμετρίας των χώρων σταθερής καμπυλότητας βοηθάει στο να ξεπεράσουμε την τρισδιάστατη και να αποκαλύψουμε πολύεδρα σε χώρους με διάσταση 4 και άνω. Ερωτήσεις εύρεσης πολύεδρων, εύρεση χωρισμάτων χώρων σταθερής καμπυλότητας, εξαγωγή τύπου δίεδρος γωνίακανονικό πολύεδρο σε n-διάστατος χώρος- είναι τόσο στενά αλληλένδετα που αποδείχτηκε προβληματικό να τα βάλουμε όλα στον τίτλο του άρθρου. Ας επικεντρωθούμε στα καθαρά, κανονικά πολύεδρα, αν και δεν είναι μόνο το αποτέλεσμα όλων των συμπερασμάτων, αλλά ταυτόχρονα και ένα εργαλείο για την κατανόηση χώρων υψηλότερων διαστάσεων και ομοιόμορφα καμπυλωτών χώρων.

Για όσους δεν γνωρίζουν (ξέχασαν) ενημερώνω (υπενθυμίζω) ότι στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο που είναι γνωστός σε εμάς, υπάρχουν μόνο πέντε κανονικά πολύεδρα:

1. Τετράεδρο:	2. Κύβος:	3. Οκτάεδρο:	4. Δωδεκάεδρο:	5. Εικοσάεδρο:

ΣΤΟ τρισδιάστατο χώροΈνα κανονικό πολύεδρο είναι ένα κυρτό πολύεδρο στο οποίο όλες οι κορυφές είναι ίσες μεταξύ τους, όλες οι ακμές είναι ίσες μεταξύ τους, όλες οι όψεις είναι ίσες μεταξύ τους και οι όψεις είναι κανονικά πολύγωνα.

Ένα κανονικό πολύγωνο είναι κυρτό πολύγωνο, στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.

Οι κορυφές είναι ίσες μεταξύ τους, πράγμα που σημαίνει ότι ο αριθμός των ακμών και ο αριθμός των όψεων που πλησιάζουν κάθε κορυφή είναι ο ίδιος και πλησιάζουν με τις ίδιες γωνίες σε κάθε κορυφή.

Σε μια τέτοια σημειογραφία, τα πολύεδρά μας θα λάβουν τις ονομασίες:
1. Τετράεδρο (3, 3),
2. Κύβος (4, 3),
3. Οκτάεδρο (3, 4),
4. Δωδεκάεδρο (5, 3),
5. Εικοσάεδρο (3, 5)
Για παράδειγμα, (4, 3) - ο κύβος έχει 4 γωνιακές όψεις, 3 τέτοιες όψεις συγκλίνουν σε κάθε κορυφή.
Στο οκτάεδρο (3, 4), αντίθετα, οι όψεις είναι 3 κάρβουνο, συγκλίνουν 4 κομμάτια στην κορυφή.
Έτσι, το σύμβολο Schläfli καθορίζει πλήρως τη συνδυαστική δομή ενός πολυέδρου.

Γιατί υπάρχουν μόνο 5 κανονικά πολύεδρα; Ίσως είναι περισσότερα;

Για να δώσει κανείς μια πλήρη απάντηση σε αυτό το ερώτημα, πρέπει πρώτα να αποκτήσει μια διαίσθηση για τη γεωμετρία στη σφαίρα και στο επίπεδο Lobachevsky. Για όσους δεν έχουν ακόμη μια τέτοια ιδέα, θα προσπαθήσω να δώσω τις απαραίτητες εξηγήσεις.

Σφαίρα

1. Τι είναι ένα σημείο σε μια σφαίρα; Νομίζω ότι είναι διαισθητικό για όλους. Διανοητικά, δεν είναι δύσκολο να φανταστείς ένα σημείο σε μια σφαίρα.

2. Τι είναι ένα τμήμα σε μια σφαίρα; Πάρτε δύο σημεία και συνδέστε τα η μικρότερη απόστασηστη σφαίρα, θα έχετε ένα τόξο αν κοιτάξετε τη σφαίρα από το πλάι.

3. Εάν συνεχίσετε αυτό το τμήμα και προς τις δύο κατευθύνσεις, τότε θα κλείσει και θα εμφανιστεί ένας κύκλος. Σε αυτή την περίπτωση, το επίπεδο του κύκλου περιέχει το κέντρο της σφαίρας, αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι συνδέσαμε τα δύο σημεία εκκίνησης με τη μικρότερη, και όχι αυθαίρετη, απόσταση. Από το πλάι μοιάζει με κύκλο, αλλά ως προς τη σφαιρική γεωμετρία είναι μια ευθεία γραμμή, αφού λήφθηκε από ένα τμήμα, που συνεχίζει στο άπειρο και στις δύο κατευθύνσεις.

4. Και τέλος, τι είναι ένα τρίγωνο σε μια σφαίρα; Παίρνουμε τρία σημεία στη σφαίρα και τα συνδέουμε με τμήματα.

Κατ' αναλογία με ένα τρίγωνο, μπορείτε να σχεδιάσετε ένα αυθαίρετο πολύγωνο σε μια σφαίρα. Για εμάς, η ιδιότητα ενός σφαιρικού τριγώνου είναι θεμελιωδώς σημαντική, η οποία συνίσταται στο γεγονός ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τέτοιου τριγώνου είναι περισσότερες από 180 μοίρες, κάτι που έχουμε συνηθίσει στο Ευκλείδειο τρίγωνο. Επιπλέον, το άθροισμα των γωνιών δύο διαφορετικών σφαιρικών τριγώνων είναι διαφορετικό. Όσο μεγαλύτερο είναι το τρίγωνο, τόσο ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟ είναι το άθροισμα των γωνιών του.

Αντίστοιχα, εμφανίζεται το 4ο σύμβολο της ισότητας των τριγώνων στη σφαίρα - σε τρεις γωνίες: δύο σφαιρικά τρίγωνα είναι ίσα μεταξύ τους εάν οι αντίστοιχες γωνίες τους είναι ίσες.

Για απλότητα, είναι πιο εύκολο να μην σχεδιάσετε την ίδια τη σφαίρα, τότε το τρίγωνο θα φαίνεται λίγο φουσκωμένο:

Μια σφαίρα ονομάζεται επίσης χώρος σταθερής θετικής καμπυλότητας. Η καμπυλότητα του χώρου οδηγεί απλώς στο γεγονός ότι η μικρότερη απόσταση είναι ένα τόξο, και όχι ένα ευθύγραμμο τμήμα οικείο σε εμάς. Το τμήμα φαίνεται να είναι καμπύλο.

Λομπατσέφσκι

Τώρα που εξοικειωθήκαμε με τη γεωμετρία της σφαίρας, δεν θα είναι δύσκολο να κατανοήσουμε τη γεωμετρία στο υπερβολικό επίπεδο, που ανακάλυψε ο μεγάλος Ρώσος επιστήμονας Νικολάι Ιβάνοβιτς Λομπατσέφσκι, αφού όλα συμβαίνουν εδώ με τον ίδιο τρόπο όπως η σφαίρα, μόνο «μέσα έξω», «αντίστροφα». Αν σχεδιάζαμε τόξα στη σφαίρα με κύκλους, με κέντρο μέσα στη σφαίρα, τώρα τα τόξα πρέπει να σχεδιάζονται με κύκλους με κέντρο έξω από τη σφαίρα.

Ας αρχίσουμε. Θα αναπαραστήσουμε το επίπεδο Lobachevsky στην ερμηνεία του Poincaré II (Jules Henri Poincaré, ο μεγάλος Γάλλος επιστήμονας), αυτή η ερμηνεία της γεωμετρίας του Lobachevsky ονομάζεται επίσης δίσκος Poincaré.

1. Σημείο στο επίπεδο Lobachevsky. Μια τελεία είναι επίσης μια τελεία στην Αφρική.

2. Ένα τμήμα στο αεροπλάνο Lobachevsky. Συνδέουμε δύο σημεία με μια γραμμή κατά μήκος της μικρότερης απόστασης με την έννοια του επιπέδου Lobachevsky.

Η μικρότερη απόσταση απεικονίζεται ως εξής:

Είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε έναν κύκλο ορθογώνιο στον δίσκο Poincaré μέσα από τα δεδομένα δύο σημείων (Z και V στο σχήμα). Το κέντρο αυτού του κύκλου θα είναι πάντα έξω από το δίσκο. Το τόξο που συνδέει τα αρχικά δύο σημεία θα είναι η μικρότερη απόσταση με την έννοια του επιπέδου Lobachevsky.

3. Αφαιρώντας τα βοηθητικά τόξα, παίρνουμε την ευθεία γραμμή E1 - H1 στο επίπεδο Lobachevsky.

Τα σημεία E1, H1 "βρίσκονται" στο άπειρο του επιπέδου Lobachevsky, γενικά, η άκρη του δίσκου Poincaré είναι άπειρη απομακρυσμένα σημείααεροπλάνα Lobachevsky.

4. Και τέλος, τι είναι ένα τρίγωνο στο επίπεδο Lobachevsky; Παίρνουμε τρία σημεία και τα συνδέουμε με τμήματα.

Κατ' αναλογία με ένα τρίγωνο, μπορείτε να σχεδιάσετε ένα αυθαίρετο πολύγωνο στο επίπεδο Lobachevsky. Για εμάς το ακίνητο υπερβολικό τρίγωνο, που συνίσταται στο γεγονός ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τέτοιου τριγώνου είναι πάντα μικρότερο από 180 μοίρες, κάτι που έχουμε συνηθίσει στο Ευκλείδειο τρίγωνο. Επιπλέον, το άθροισμα των γωνιών δύο διαφορετικών υπερβολικών τριγώνων είναι διαφορετικό. Όσο μεγαλύτερο είναι το τρίγωνο σε εμβαδόν, τόσο ΛΙΓΟΤΕΡΟ έχει το άθροισμα των γωνιών.

Αντίστοιχα, το 4ο σημάδι της ισότητας των υπερβολικών τριγώνων λαμβάνει χώρα επίσης εδώ - σε τρεις γωνίες: δύο υπερβολικά τρίγωνα είναι ίσα μεταξύ τους εάν οι αντίστοιχες γωνίες τους είναι ίσες.

Για απλότητα, ο ίδιος ο δίσκος Poincare μπορεί μερικές φορές να παραλειφθεί, τότε το τρίγωνο θα φαίνεται λίγο «συρρικνωμένο», «εξαφανισμένο»:

Το επίπεδο Lobachevsky (και γενικά ο χώρος Lobachevsky οποιασδήποτε διάστασης) ονομάζεται επίσης χώρος της σταθεράς ΑΡΝΗΤΙΚΗ καμπυλότητα. Η καμπυλότητα του χώρου οδηγεί απλώς στο γεγονός ότι η μικρότερη απόσταση είναι ένα τόξο, και όχι ένα ευθύγραμμο τμήμα οικείο σε εμάς. Το τμήμα φαίνεται να είναι καμπύλο.

Κανονικά χωρίσματα της δισδιάστατης σφαίρας και κανονικά τρισδιάστατα πολύεδρα

Όλα όσα λέγονται για τη σφαίρα και το επίπεδο Lobachevsky αναφέρονται στη δισδιάστατη, δηλ. η επιφάνεια μιας σφαίρας είναι δισδιάστατη. Τι σχέση έχει αυτό με την τρισδιάσταση που αναφέρεται στον τίτλο του άρθρου; Αποδεικνύεται ότι κάθε τρισδιάστατο κανονικό Ευκλείδειο πολύεδρο αντιστοιχεί ένα προς ένα με το δικό του διαμέρισμα της δισδιάστατης σφαίρας. Αυτό φαίνεται καλύτερα στο σχήμα:

Για να ληφθεί ένα διαμέρισμα μιας σφαίρας από ένα κανονικό πολύεδρο, είναι απαραίτητο να περιγράψουμε μια σφαίρα γύρω από το πολύεδρο. Οι κορυφές του πολυέδρου θα βρίσκονται στην επιφάνεια της σφαίρας, συνδέοντας αυτά τα σημεία με τμήματα στη σφαίρα (τόξα), θα λάβουμε ένα διαμέρισμα μιας δισδιάστατης σφαίρας σε κανονικά σφαιρικά πολύγωνα. Για παράδειγμα, έγινε μια επίδειξη βίντεο για το πώς ένα εικοσάεδρο αντιστοιχεί στη διαίρεση μιας σφαίρας σε σφαιρικά τρίγωνα και αντίστροφα, πώς μια διαίρεση μιας σφαίρας σε σφαιρικά τρίγωνα που συγκλίνουν πέντε σε μια κορυφή αντιστοιχεί σε ένα εικοσάεδρο.

Για να κατασκευαστεί ένα πολύεδρο από ένα διαμέρισμα μιας σφαίρας, οι κορυφές του διαμερίσματος που αντιστοιχεί στα τόξα πρέπει να συνδέονται με συνηθισμένα, ευκλείδια, ευκλείδεια τμήματα.

Κατά συνέπεια, το σύμβολο Schläfli του εικοσάεδρου (3, 5) - τρίγωνα που συγκλίνουν πέντε κομμάτια στην κορυφή, θέτει όχι μόνο τη δομή αυτού του πολυέδρου, αλλά και τη δομή του διαμερίσματος μιας δισδιάστατης σφαίρας. Ομοίως με άλλους πολύτοπους, τα σύμβολά τους Schläfli καθορίζουν επίσης τη δομή των αντίστοιχων κατατμήσεων. Επιπλέον, χωρίσματα του ευκλείδειου επιπέδου και του επιπέδου Lobachevsky σε κανονικά πολύγωνα μπορούν επίσης να καθοριστούν από το σύμβολο Schläfli. Για παράδειγμα, (4, 4) - τετράπλευρα που συγκλίνουν στα τέσσερα - αυτό είναι το συνηθισμένο τετραγωνισμένο σημειωματάριο για όλους μας, δηλ. είναι μια διαίρεση του επιπέδου του Ευκλείδη σε τετράγωνα. Υπάρχουν άλλα χωρίσματα του επιπέδου του Ευκλείδη; Θα δούμε περαιτέρω.

Κατασκευή χωρισμάτων μιας δισδιάστατης σφαίρας, του επιπέδου Ευκλείδη και του επιπέδου Lobachevsky

Για την κατασκευή χωρισμάτων δισδιάστατων χώρων σταθερής καμπυλότητας (αυτό είναι συνηθισμένο όνομααυτά τα τρεις χώρους) χρειαζόμαστε τη γεωμετρία του δημοτικού σχολείου και τη γνώση ότι το άθροισμα των γωνιών ενός σφαιρικού τριγώνου είναι μεγαλύτερο από 180 μοίρες (μεγαλύτερο από το Pi), ότι το άθροισμα των γωνιών ενός υπερβολικού τριγώνου είναι μικρότερο από 180 μοίρες (μικρότερο από το Pi) , και ποιο είναι το σύμβολο Schläfli. Όλα αυτά έχουν ήδη ειπωθεί παραπάνω.

Λοιπόν, ας πάρουμε ένα αυθαίρετο σύμβολο Schläfli (p1, p2), ορίζει ένα διαμέρισμα ενός από τους τρεις χώρους σταθερής καμπυλότητας (αυτό ισχύει για ένα επίπεδο, για χώρους υψηλότερων διαστάσεων η κατάσταση είναι πιο περίπλοκη, αλλά τίποτα δεν μας εμποδίζει από την εξερεύνηση όλων των συνδυασμών του συμβόλου).

Θεωρήστε ένα κανονικό p1-gon, σχεδιάστε τμήματα που συνδέουν το κέντρο και τις κορυφές του. Πάρτε κομμάτια p1 ισοσκελές τρίγωνο(μόνο ένα τέτοιο τρίγωνο φαίνεται στο σχήμα). Σημειώνουμε το άθροισμα των γωνιών καθενός από αυτά τα τρίγωνα ως t και εκφράζουμε το t με βάση το pi και τον συντελεστή λάμδα.

Τότε αν λάμδα = 1, τότε το Ευκλείδειο τρίγωνο, δηλ. είναι στο ευκλείδειο επίπεδο, εάν το λάμδα είναι στο διάστημα (1, 3), τότε αυτό σημαίνει ότι το άθροισμα των γωνιών είναι μεγαλύτερο από το pi και αυτό σημαίνει ότι αυτό το τρίγωνο είναι σφαιρικό (δεν είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς ότι με αύξηση του σφαιρικού τριγώνου στο όριο, λαμβάνεται ένας κύκλος με τρία σημεία πάνω του, σε Σε κάθε σημείο, η γωνία του τριγώνου αποδεικνύεται ίση με pi, και συνολικά 3 * pi. Αυτό εξηγεί το ανώτερο όριο του το διάστημα = 3). Αν το λάμδα βρίσκεται στο διάστημα (0, 1), τότε το τρίγωνο είναι υπερβολικό, αφού το άθροισμα των γωνιών του είναι μικρότερο από το pi (δηλαδή μικρότερο από 180 μοίρες). Εν συντομία, αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Από την άλλη πλευρά, για τη σύγκλιση στην κορυφή p2 τεμαχίων (δηλαδή ακέραιου αριθμού) των ίδιων πολυγώνων, είναι απαραίτητο να

Εξισώνοντας τις εκφράσεις για 2*betta που βρέθηκαν από τη συνθήκη σύγκλισης και από το πολύγωνο:

Πήραμε μια εξίσωση που δείχνει ποιο από τα τρία κενά χωρίζει το σχήμα που δίνεται από το σύμβολο Schläfli (p1, p2). Για να λύσουμε αυτήν την εξίσωση, πρέπει επίσης να θυμόμαστε ότι τα p1, p2 είναι ακέραιοι αριθμοί μεγαλύτεροι ή ίσοι του 3. Αυτό, ας πούμε, προκύπτει από τους φυσική αίσθηση, αφού πρόκειται για γωνίες p1 (τουλάχιστον 3 γωνίες), που συγκλίνουν σε κομμάτια p2 στην κορυφή (επίσης τουλάχιστον 3, διαφορετικά δεν θα είναι κορυφή).

Η λύση αυτής της εξίσωσης είναι να επαναλάβουμε όλες τις πιθανές τιμές για p1, p2 μεγαλύτερες ή ίσες με 3 και να υπολογίσουμε την τιμή λάμδα. Αν αποδειχθεί ότι είναι ίσο με 1, τότε (p1, p2) χωρίζει το ευκλείδειο επίπεδο, αν είναι μεγαλύτερο από 1 αλλά μικρότερο από 3, τότε αυτό είναι διάσπαση της σφαίρας, αν από 0 σε 1, τότε αυτό είναι μια διάσπαση του αεροπλάνου Lobachevsky. Όλοι αυτοί οι υπολογισμοί συνοψίζονται εύκολα σε έναν πίνακα.

Που μπορείτε να το δείτε:
1. Μόνο 5 λύσεις αντιστοιχούν στη σφαίρα, όταν η λάμδα είναι μεγαλύτερη από 1 και μικρότερη από 3, επισημαίνονται σε πράσινοστο τραπέζι. Αυτά είναι: (3, 3) - τετράεδρο, (3, 4) - οκτάεδρο, (3, 5) - εικοσάεδρο, (4, 3) - κύβος, (5, 3) - δωδεκάεδρο. Οι φωτογραφίες τους παρουσιάστηκαν στην αρχή του άρθρου.
2. Τα χωρίσματα του Ευκλείδειου επιπέδου αντιστοιχούν σε τρεις μόνο λύσεις, όταν λάμδα = 1, επισημαίνονται με μπλε στον πίνακα. Δείτε πώς μοιάζουν αυτοί οι διαχωρισμοί.

3. Και τέλος, όλοι οι άλλοι συνδυασμοί (p1, p2) αντιστοιχούν σε χωρίσματα του επιπέδου Lobachevsky, αντίστοιχα, υπάρχει ένας άπειρος (μετρήσιμος) αριθμός τέτοιων κατατμήσεων. Μένει μόνο να επεξηγήσουμε μερικά από αυτά, για παράδειγμα.

Αποτελέσματα

Έτσι, υπάρχουν μόνο 5 κανονικά πολύεδρα, αντιστοιχούν σε πέντε χωρίσματα μιας δισδιάστατης σφαίρας, υπάρχουν μόνο 3 χωρίσματα του Ευκλείδειου επιπέδου και υπάρχει ένας μετρήσιμος αριθμός χωρισμάτων του επιπέδου Lobachevsky.
Ποια είναι η εφαρμογή αυτής της γνώσης;

Υπάρχουν άνθρωποι που ενδιαφέρονται άμεσα για χωρίσματα της σφαίρας.