Πολύγωνο, κυρτό πολύγωνο, τετράπλευρο. Κυρτό πολύγωνο Ποιο πολύγωνο ονομάζεται κυρτό

Η έννοια του πολυγώνου

Ορισμός 1

πολύγωνοονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα σε ένα επίπεδο, το οποίο αποτελείται από ζεύγη αλληλοσυνδεδεμένα τμήματα, τα γειτονικά των οποίων δεν βρίσκονται σε μία ευθεία γραμμή.

Σε αυτήν την περίπτωση, τα τμήματα καλούνται πλευρές πολυγώνου, και τα άκρα τους είναι κορυφές πολυγώνου.

Ορισμός 2

Ένα $n$-gon είναι ένα πολύγωνο με $n$ κορυφές.

Τύποι πολυγώνων

Ορισμός 3

Εάν ένα πολύγωνο βρίσκεται πάντα στη μία πλευρά οποιασδήποτε ευθείας που διέρχεται από τις πλευρές του, τότε το πολύγωνο καλείται κυρτός(Εικ. 1).

Εικόνα 1. Κυρτό πολύγωνο

Ορισμός 4

Εάν το πολύγωνο βρίσκεται σε αντίθετες πλευρές τουλάχιστον μιας ευθείας που διέρχεται από τις πλευρές του, τότε το πολύγωνο ονομάζεται μη κυρτό (Εικ. 2).

Εικόνα 2. Μη κυρτό πολύγωνο

Το άθροισμα των γωνιών ενός πολυγώνου

Εισάγουμε το θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών ενός -gon.

Θεώρημα 1

Το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού γώνου ορίζεται ως εξής

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Απόδειξη.

Ας μας δοθεί ένα κυρτό πολύγωνο $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Συνδέστε την κορυφή του $A_1$ με όλες τις άλλες κορυφές του δεδομένου πολυγώνου (Εικ. 3).

Εικόνα 3

Με μια τέτοια σύνδεση, παίρνουμε τρίγωνα $n-2$. Αθροίζοντας τις γωνίες τους, παίρνουμε το άθροισμα των γωνιών του δεδομένου -gon. Εφόσον το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι $(180)^0,$ παίρνουμε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού -gon καθορίζεται από τον τύπο

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Η έννοια του τετράπλευρου

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό των $2$, είναι εύκολο να εισαγάγουμε τον ορισμό του τετράπλευρου.

Ορισμός 5

Ένα τετράπλευρο είναι ένα πολύγωνο με κορυφές $4$ (Εικ. 4).

Εικόνα 4. Τετράπλευρο

Για ένα τετράπλευρο, οι έννοιες ενός κυρτού τετράπλευρου και ενός μη κυρτού τετράπλευρου ορίζονται με παρόμοιο τρόπο. Κλασικά παραδείγματα κυρτών τετραγώνων είναι ένα τετράγωνο, ένα ορθογώνιο, ένα τραπεζοειδές, ένας ρόμβος, ένα παραλληλόγραμμο (Εικ. 5).

Εικόνα 5. Κυρτά τετράπλευρα

Θεώρημα 2

Το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού τετράπλευρου είναι $(360)^0$

Απόδειξη.

Με το θεώρημα $1$, γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού -gon καθορίζεται από τον τύπο

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Επομένως, το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού τετράπλευρου είναι

\[\αριστερά(4-2\δεξιά)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Σε αυτό το μάθημα, θα ξεκινήσουμε ένα νέο θέμα και θα εισαγάγουμε μια νέα έννοια για εμάς - ένα "πολύγωνο". Θα εξετάσουμε τις βασικές έννοιες που σχετίζονται με τα πολύγωνα: πλευρές, κορυφές, γωνίες, κυρτότητα και μη κυρτότητα. Στη συνέχεια θα αποδείξουμε τα πιο σημαντικά γεγονότα, όπως το θεώρημα για το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός πολυγώνου, το θεώρημα για το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός πολυγώνου. Ως αποτέλεσμα, θα πλησιάσουμε στη μελέτη ειδικών περιπτώσεων πολυγώνων, οι οποίες θα εξεταστούν σε μελλοντικά μαθήματα.

Θέμα: Τετράγωνα

Μάθημα: Πολύγωνα

Στο μάθημα της γεωμετρίας, μελετάμε τις ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων και έχουμε ήδη εξετάσει τις απλούστερες από αυτές: τρίγωνα και κύκλους. Παράλληλα, συζητήσαμε και συγκεκριμένες ειδικές περιπτώσεις αυτών των μορφών, όπως ορθογώνια, ισοσκελή και κανονικά τρίγωνα. Τώρα ήρθε η ώρα να μιλήσουμε για πιο γενικά και σύνθετα σχήματα - πολύγωνα.

Με ειδική θήκη πολύγωναείμαστε ήδη εξοικειωμένοι - αυτό είναι ένα τρίγωνο (βλ. Εικ. 1).

Ρύζι. 1. Τρίγωνο

Το ίδιο το όνομα τονίζει ήδη ότι πρόκειται για μια φιγούρα που έχει τρεις γωνίες. Επομένως, σε πολύγωνομπορεί να υπάρχουν πολλά από αυτά, δηλ. περισσότερα από τρία. Για παράδειγμα, ας σχεδιάσουμε ένα πεντάγωνο (βλ. Εικ. 2), δηλ. φιγούρα με πέντε γωνίες.

Ρύζι. 2. Πεντάγωνο. Κυρτό πολύγωνο

Ορισμός.Πολύγωνο- ένα σχήμα που αποτελείται από πολλά σημεία (περισσότερα από δύο) και τον αντίστοιχο αριθμό τμημάτων που τα συνδέουν σε σειρά. Αυτά τα σημεία ονομάζονται κορυφέςπολύγωνο και τμήματα - κόμματα. Σε αυτή την περίπτωση, δεν υπάρχουν δύο γειτονικές πλευρές στην ίδια ευθεία και δεν τέμνονται δύο μη γειτονικές πλευρές.

Ορισμός.κανονικό πολύγωνοείναι ένα κυρτό πολύγωνο στο οποίο όλες οι πλευρές και οι γωνίες είναι ίσες.

Οποιος πολύγωνοχωρίζει το επίπεδο σε δύο περιοχές: εσωτερική και εξωτερική. Το εσωτερικό αναφέρεται επίσης ως πολύγωνο.

Με άλλα λόγια, για παράδειγμα, όταν μιλούν για ένα πεντάγωνο, εννοούν και ολόκληρη την εσωτερική του περιοχή και τα σύνορά του. Και η εσωτερική περιοχή περιλαμβάνει επίσης όλα τα σημεία που βρίσκονται μέσα στο πολύγωνο, δηλ. το σημείο ανήκει επίσης στο πεντάγωνο (βλ. Εικ. 2).

Τα πολύγωνα μερικές φορές ονομάζονται επίσης n-gons για να τονιστεί ότι εξετάζεται η γενική περίπτωση ύπαρξης κάποιου άγνωστου αριθμού γωνιών (n κομμάτια).

Ορισμός. Πολύγωνο περίμετροςείναι το άθροισμα των μηκών των πλευρών του πολυγώνου.

Τώρα πρέπει να εξοικειωθούμε με τους τύπους των πολυγώνων. Χωρίζονται σε κυρτόςκαι μη κυρτό. Για παράδειγμα, το πολύγωνο που φαίνεται στο Σχ. 2 είναι κυρτό και στο Σχ. 3 μη κυρτό.

Ρύζι. 3. Μη κυρτό πολύγωνο

Ορισμός 1. Πολύγωνοπου ονομάζεται κυρτός, εάν όταν σχεδιάζετε μια ευθεία γραμμή μέσω κάποιας από τις πλευρές του, ολόκληρο πολύγωνοβρίσκεται μόνο στη μία πλευρά αυτής της γραμμής. μη κυρτόείναι όλα τα υπόλοιπα πολύγωνα.

Είναι εύκολο να φανταστεί κανείς ότι όταν εκτείνεται οποιαδήποτε πλευρά του πενταγώνου στο Σχ. 2 θα είναι όλα στη μία πλευρά αυτής της ευθείας γραμμής, δηλ. είναι κυρτός. Αλλά όταν σχεδιάζετε μια ευθεία γραμμή μέσω του τετράπλευρου στο Σχ. 3 βλέπουμε ήδη ότι το χωρίζει σε δύο μέρη, δηλ. είναι μη κυρτό.

Υπάρχει όμως ένας άλλος ορισμός της κυρτότητας ενός πολυγώνου.

Ορισμός 2. Πολύγωνοπου ονομάζεται κυρτόςεάν, όταν επιλέγουμε δύο από τα εσωτερικά του σημεία και τα συνδέουμε με ένα τμήμα, όλα τα σημεία του τμήματος είναι επίσης εσωτερικά σημεία του πολυγώνου.

Μια επίδειξη της χρήσης αυτού του ορισμού μπορεί να φανεί στο παράδειγμα κατασκευής τμημάτων στο Σχ. 2 και 3.

Ορισμός. ΔιαγώνιοςΠολύγωνο είναι κάθε τμήμα που συνδέει δύο μη γειτονικές κορυφές.

Για να περιγράψουμε τις ιδιότητες των πολυγώνων, υπάρχουν δύο πιο σημαντικά θεωρήματα σχετικά με τις γωνίες τους: Θεώρημα αθροίσματος κυρτού πολυγώνου εσωτερικής γωνίαςκαι Θεώρημα αθροίσματος κυρτού πολυγώνου εξωτερικής γωνίας. Ας τα εξετάσουμε.

Θεώρημα. Στο άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου (n-gon).

Πού είναι ο αριθμός των γωνιών του (πλευρών).

Απόδειξη 1. Ας απεικονίσουμε στο Σχ. 4 κυρτό n-gon.

Ρύζι. 4. Κυρτό n-gon

Σχεδιάστε όλες τις πιθανές διαγώνιους από την κορυφή. Χωρίζουν το ν-γώνιο σε τρίγωνα, γιατί καθεμία από τις πλευρές του πολυγώνου σχηματίζει ένα τρίγωνο, εκτός από τις πλευρές που γειτνιάζουν με την κορυφή. Είναι εύκολο να δούμε από το σχήμα ότι το άθροισμα των γωνιών όλων αυτών των τριγώνων θα είναι απλώς ίσο με το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών του n-gon. Εφόσον το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι , τότε το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός n-γώνου είναι:

Q.E.D.

Απόδειξη 2. Μια άλλη απόδειξη αυτού του θεωρήματος είναι επίσης δυνατή. Ας σχεδιάσουμε ένα παρόμοιο n-gon στο Σχ. 5 και συνδέστε οποιοδήποτε από τα εσωτερικά του σημεία σε όλες τις κορυφές.

Ρύζι. 5.

Πήραμε ένα διαμέρισμα ενός n-gon σε n τρίγωνα (πόσες πλευρές, τόσα τρίγωνα). Το άθροισμα όλων των γωνιών τους είναι ίσο με το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών του πολυγώνου και το άθροισμα των γωνιών στο εσωτερικό σημείο, και αυτή είναι η γωνία. Εχουμε:

Q.E.D.

Αποδεδειγμένος.

Σύμφωνα με το αποδεδειγμένο θεώρημα, μπορεί να φανεί ότι το άθροισμα των γωνιών ενός n-γωνίου εξαρτάται από τον αριθμό των πλευρών του (στο n). Για παράδειγμα, σε ένα τρίγωνο, και το άθροισμα των γωνιών είναι . Σε ένα τετράπλευρο, και το άθροισμα των γωνιών - κ.λπ.

Θεώρημα. Στο άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου (n-gon).

Πού είναι ο αριθμός των γωνιών του (πλευρές), και , ..., είναι οι εξωτερικές γωνίες.

Απόδειξη. Ας σχεδιάσουμε ένα κυρτό n-gon στο Σχ. 6 και να δηλώσετε τις εσωτερικές και εξωτερικές γωνίες του.

Ρύζι. 6. Κυρτό n-gon με σημαδεμένες εξωτερικές γωνίες

Επειδή η εξωτερική γωνία συνδέεται με την εσωτερική ως γειτονική, λοιπόν και ομοίως για άλλες εξωτερικές γωνίες. Επειτα:

Κατά τους μετασχηματισμούς χρησιμοποιήσαμε το ήδη αποδεδειγμένο θεώρημα για το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός n-gon.

Αποδεδειγμένος.

Από το αποδεδειγμένο θεώρημα προκύπτει ένα ενδιαφέρον γεγονός ότι το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού n-gon είναι ίσο με στον αριθμό των γωνιών του (πλευρών). Παρεμπιπτόντως, σε αντίθεση με το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών.

Βιβλιογραφία

1. Aleksandrov A.D. κλπ. Γεωμετρία, τάξη 8. - Μ.: Εκπαίδευση, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Γεωμετρία, 8η τάξη. - Μ.: Εκπαίδευση, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Γεωμετρία, 8η τάξη. - Μ.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com().

Εργασία για το σπίτι

Αυτά τα γεωμετρικά σχήματα μας περιβάλλουν παντού. Τα κυρτά πολύγωνα είναι φυσικά, όπως οι κηρήθρες, ή τεχνητά (ανθρωπογενή). Οι φιγούρες αυτές χρησιμοποιούνται στην παραγωγή διαφόρων τύπων επιστρώσεων, στη ζωγραφική, την αρχιτεκτονική, τη διακόσμηση κ.λπ. Τα κυρτά πολύγωνα έχουν την ιδιότητα όλα τα σημεία τους να βρίσκονται στην ίδια πλευρά μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από ένα ζεύγος γειτονικών κορυφών αυτού του γεωμετρικού σχήματος. Υπάρχουν και άλλοι ορισμοί. Ένα πολύγωνο ονομάζεται κυρτό αν βρίσκεται σε ένα μόνο ημιεπίπεδο σε σχέση με οποιαδήποτε ευθεία που περιέχει μια από τις πλευρές του.

Στην πορεία της στοιχειώδους γεωμετρίας, λαμβάνονται πάντα υπόψη μόνο τα απλά πολύγωνα. Για να κατανοήσουμε όλες τις ιδιότητες τέτοιων, είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε τη φύση τους. Αρχικά, θα πρέπει να γίνει κατανοητό ότι οποιαδήποτε γραμμή ονομάζεται κλειστή, τα άκρα της οποίας συμπίπτουν. Επιπλέον, το σχήμα που σχηματίζεται από αυτό μπορεί να έχει ποικίλες διαμορφώσεις. Ένα πολύγωνο είναι μια απλή κλειστή διακεκομμένη γραμμή, στην οποία οι γειτονικοί σύνδεσμοι δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Οι σύνδεσμοι και οι κορυφές του είναι, αντίστοιχα, οι πλευρές και οι κορυφές αυτού του γεωμετρικού σχήματος. Μια απλή πολύγραμμη δεν πρέπει να έχει αυτοτομές.

Οι κορυφές ενός πολυγώνου ονομάζονται γειτονικές αν αντιπροσωπεύουν τα άκρα μιας από τις πλευρές του. Ένα γεωμετρικό σχήμα που έχει τον ν-οστό αριθμό κορυφών, και ως εκ τούτου τον ν-οστό αριθμό πλευρών, ονομάζεται n-gon. Η ίδια η διακεκομμένη γραμμή ονομάζεται περίγραμμα ή περίγραμμα αυτού του γεωμετρικού σχήματος. Πολυγωνικό επίπεδο ή επίπεδο πολύγωνο ονομάζεται το άκρο κάθε επιπέδου που οριοθετείται από αυτό. Οι γειτονικές πλευρές αυτού του γεωμετρικού σχήματος ονομάζονται τμήματα μιας διακεκομμένης γραμμής που προέρχεται από μια κορυφή. Δεν θα είναι γειτονικά αν προέρχονται από διαφορετικές κορυφές του πολυγώνου.

Άλλοι ορισμοί κυρτών πολυγώνων

Στη στοιχειώδη γεωμετρία, υπάρχουν αρκετοί ακόμη ισοδύναμοι ορισμοί που υποδεικνύουν ποιο πολύγωνο ονομάζεται κυρτό. Όλες αυτές οι δηλώσεις είναι εξίσου αληθινές. Κυρτό πολύγωνο είναι αυτό που έχει:

Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει οποιαδήποτε δύο σημεία εντός του βρίσκεται εξ ολοκλήρου μέσα σε αυτό.

Όλες οι διαγώνιες του βρίσκονται μέσα του.

Οποιαδήποτε εσωτερική γωνία δεν υπερβαίνει τις 180°.

Ένα πολύγωνο χωρίζει πάντα ένα επίπεδο σε 2 μέρη. Ένα από αυτά είναι περιορισμένο (μπορεί να περικλείεται σε κύκλο) και το άλλο είναι απεριόριστο. Η πρώτη ονομάζεται εσωτερική περιοχή και η δεύτερη είναι η εξωτερική περιοχή αυτού του γεωμετρικού σχήματος. Αυτό το πολύγωνο είναι μια τομή (με άλλα λόγια, μια κοινή συνιστώσα) πολλών ημιεπίπεδων. Επιπλέον, κάθε τμήμα που έχει άκρα σε σημεία που ανήκουν στο πολύγωνο ανήκει πλήρως σε αυτό.

Ποικιλίες κυρτών πολυγώνων

Ο ορισμός ενός κυρτού πολυγώνου δεν υποδεικνύει ότι υπάρχουν πολλά είδη από αυτά. Και καθένα από αυτά έχει ορισμένα κριτήρια. Έτσι, τα κυρτά πολύγωνα που έχουν εσωτερική γωνία 180° ονομάζονται ασθενώς κυρτά. Ένα κυρτό γεωμετρικό σχήμα που έχει τρεις κορυφές ονομάζεται τρίγωνο, τέσσερις - τετράπλευρο, πέντε - πεντάγωνο, κ.λπ. Κάθε ένα από τα κυρτά n-γόνια πληροί την ακόλουθη βασική απαίτηση: n πρέπει να είναι ίσο ή μεγαλύτερο από 3. Κάθε ένα από τα τρίγωνα είναι κυρτά. Ένα γεωμετρικό σχήμα αυτού του τύπου, στο οποίο όλες οι κορυφές βρίσκονται στον ίδιο κύκλο, ονομάζεται εγγεγραμμένο σε κύκλο. Ένα κυρτό πολύγωνο ονομάζεται περιγεγραμμένο εάν όλες οι πλευρές του κοντά στον κύκλο το αγγίζουν. Δύο πολύγωνα λέγονται ίσα μόνο αν μπορούν να υπερτεθούν με υπέρθεση. Ένα επίπεδο πολύγωνο είναι ένα πολυγωνικό επίπεδο (τμήμα επιπέδου), το οποίο περιορίζεται από αυτό το γεωμετρικό σχήμα.

Κανονικά κυρτά πολύγωνα

Τα κανονικά πολύγωνα είναι γεωμετρικά σχήματα με ίσες γωνίες και πλευρές. Μέσα τους υπάρχει ένα σημείο 0, το οποίο βρίσκεται στην ίδια απόσταση από κάθε κορυφή του. Ονομάζεται κέντρο αυτού του γεωμετρικού σχήματος. Τα τμήματα που συνδέουν το κέντρο με τις κορυφές αυτού του γεωμετρικού σχήματος ονομάζονται αποθέματα και αυτά που συνδέουν το σημείο 0 με τις πλευρές ονομάζονται ακτίνες.

Ένα κανονικό τετράπλευρο είναι ένα τετράγωνο. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο ονομάζεται ισόπλευρο τρίγωνο. Για τέτοια σχήματα, υπάρχει ο ακόλουθος κανόνας: κάθε γωνία ενός κυρτού πολυγώνου είναι 180° * (n-2)/ n,

όπου n είναι ο αριθμός των κορυφών αυτού του κυρτού γεωμετρικού σχήματος.

Το εμβαδόν οποιουδήποτε κανονικού πολυγώνου καθορίζεται από τον τύπο:

όπου p είναι ίσο με το μισό του αθροίσματος όλων των πλευρών του δεδομένου πολυγώνου και h ίσο με το μήκος του αποθέματος.

Ιδιότητες κυρτών πολυγώνων

Τα κυρτά πολύγωνα έχουν ορισμένες ιδιότητες. Άρα, ένα τμήμα που συνδέει οποιαδήποτε 2 σημεία ενός τέτοιου γεωμετρικού σχήματος βρίσκεται αναγκαστικά σε αυτό. Απόδειξη:

Ας υποθέσουμε ότι το P είναι ένα δεδομένο κυρτό πολύγωνο. Παίρνουμε 2 αυθαίρετα σημεία, για παράδειγμα, Α, Β, τα οποία ανήκουν στο P. Σύμφωνα με τον υπάρχοντα ορισμό ενός κυρτού πολυγώνου, αυτά τα σημεία βρίσκονται στην ίδια πλευρά της ευθείας, η οποία περιέχει οποιαδήποτε πλευρά του P. Επομένως, ΑΒ έχει επίσης αυτή την ιδιότητα και περιέχεται στο P. Ένα κυρτό πολύγωνο είναι πάντα δυνατό να το σπάσουμε σε πολλά τρίγωνα από απολύτως όλες τις διαγώνιες που έχουν σχεδιαστεί από μια από τις κορυφές του.

Γωνίες κυρτών γεωμετρικών σχημάτων

Οι γωνίες ενός κυρτού πολυγώνου είναι οι γωνίες που σχηματίζονται από τις πλευρές του. Οι εσωτερικές γωνίες βρίσκονται στην εσωτερική περιοχή ενός δεδομένου γεωμετρικού σχήματος. Η γωνία που σχηματίζεται από τις πλευρές του που συγκλίνουν σε μία κορυφή ονομάζεται γωνία κυρτού πολυγώνου. με εσωτερικές γωνίες ενός δεδομένου γεωμετρικού σχήματος ονομάζονται εξωτερικές. Κάθε γωνία ενός κυρτού πολυγώνου που βρίσκεται στο εσωτερικό του ισούται με:

όπου x είναι η τιμή της εξωτερικής γωνίας. Αυτή η απλή φόρμουλα ισχύει για οποιαδήποτε γεωμετρικά σχήματα αυτού του τύπου.

Γενικά, για τις εξωτερικές γωνίες, υπάρχει ο ακόλουθος κανόνας: κάθε γωνία ενός κυρτού πολυγώνου είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ 180° και της τιμής της εσωτερικής γωνίας. Μπορεί να έχει τιμές που κυμαίνονται από -180° έως 180°. Επομένως, όταν η εσωτερική γωνία είναι 120°, η εξωτερική γωνία θα είναι 60°.

Άθροισμα γωνιών κυρτών πολυγώνων

Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου καθορίζεται από τον τύπο:

όπου n είναι ο αριθμός των κορυφών του n-γώνου.

Το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου είναι αρκετά εύκολο να υπολογιστεί. Σκεφτείτε οποιοδήποτε τέτοιο γεωμετρικό σχήμα. Για να προσδιοριστεί το άθροισμα των γωνιών μέσα σε ένα κυρτό πολύγωνο, μια από τις κορυφές του πρέπει να συνδεθεί με άλλες κορυφές. Ως αποτέλεσμα αυτής της ενέργειας, προκύπτουν (n-2) τρίγωνα. Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι πάντα 180°. Δεδομένου ότι ο αριθμός τους σε οποιοδήποτε πολύγωνο είναι (n-2), το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τέτοιου σχήματος είναι 180° x (n-2).

Το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου, δηλαδή οποιωνδήποτε δύο εσωτερικών και γειτονικών εξωτερικών γωνιών, για ένα δεδομένο κυρτό γεωμετρικό σχήμα θα είναι πάντα 180°. Με βάση αυτό, μπορείτε να προσδιορίσετε το άθροισμα όλων των γωνιών του:

Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών είναι 180° * (n-2). Με βάση αυτό, το άθροισμα όλων των εξωτερικών γωνιών ενός δεδομένου σχήματος καθορίζεται από τον τύπο:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών οποιουδήποτε κυρτού πολυγώνου θα είναι πάντα 360° (ανεξάρτητα από τον αριθμό των πλευρών).

Η εξωτερική γωνία ενός κυρτού πολυγώνου αντιπροσωπεύεται γενικά από τη διαφορά μεταξύ 180° και εσωτερικής γωνίας.

Άλλες ιδιότητες ενός κυρτού πολυγώνου

Εκτός από τις βασικές ιδιότητες αυτών των γεωμετρικών σχημάτων, έχουν και άλλες που προκύπτουν κατά τον χειρισμό τους. Έτσι, οποιοδήποτε από τα πολύγωνα μπορεί να χωριστεί σε πολλά κυρτά n-γώνια. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να συνεχίσετε κάθε πλευρά του και να κόψετε αυτό το γεωμετρικό σχήμα κατά μήκος αυτών των ευθειών γραμμών. Είναι επίσης δυνατό να χωριστεί οποιοδήποτε πολύγωνο σε πολλά κυρτά μέρη με τέτοιο τρόπο ώστε οι κορυφές καθενός από τα κομμάτια να συμπίπτουν με όλες τις κορυφές του. Από ένα τέτοιο γεωμετρικό σχήμα, τα τρίγωνα μπορούν να γίνουν πολύ απλά, σχεδιάζοντας όλες τις διαγώνιες από μια κορυφή. Έτσι, οποιοδήποτε πολύγωνο, τελικά, μπορεί να χωριστεί σε έναν ορισμένο αριθμό τριγώνων, κάτι που αποδεικνύεται πολύ χρήσιμο για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων που σχετίζονται με τέτοια γεωμετρικά σχήματα.

Περίμετρος κυρτού πολυγώνου

Τα τμήματα μιας διακεκομμένης γραμμής, που ονομάζονται πλευρές ενός πολυγώνου, υποδεικνύονται συχνότερα με τα ακόλουθα γράμματα: ab, bc, cd, de, ea. Αυτές είναι οι πλευρές ενός γεωμετρικού σχήματος με κορυφές a, b, c, d, e. Το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών αυτού του κυρτού πολυγώνου ονομάζεται περίμετρός του.

Κύκλος πολυγώνου

Τα κυρτά πολύγωνα μπορούν να είναι εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα. Ένας κύκλος που αγγίζει όλες τις πλευρές αυτού του γεωμετρικού σχήματος ονομάζεται εγγεγραμμένος σε αυτόν. Ένα τέτοιο πολύγωνο ονομάζεται περιγεγραμμένο. Το κέντρο ενός κύκλου που είναι εγγεγραμμένο σε ένα πολύγωνο είναι το σημείο τομής των διχοτόμων όλων των γωνιών μέσα σε ένα δεδομένο γεωμετρικό σχήμα. Το εμβαδόν ενός τέτοιου πολυγώνου είναι:

όπου r η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και p η ημιπερίμετρος του δεδομένου πολυγώνου.

Ένας κύκλος που περιέχει τις κορυφές ενός πολυγώνου ονομάζεται περιγεγραμμένος γύρω του. Επιπλέον, αυτό το κυρτό γεωμετρικό σχήμα ονομάζεται εγγεγραμμένο. Το κέντρο του κύκλου, που περιβάλλεται γύρω από ένα τέτοιο πολύγωνο, είναι το σημείο τομής των λεγόμενων κάθετων διχοτόμων όλων των πλευρών.

Διαγώνιες κυρτών γεωμετρικών σχημάτων

Οι διαγώνιοι ενός κυρτού πολυγώνου είναι ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν μη γειτονικές κορυφές. Κάθε ένα από αυτά βρίσκεται μέσα σε αυτό το γεωμετρικό σχήμα. Ο αριθμός των διαγωνίων ενός τέτοιου n-gon καθορίζεται από τον τύπο:

N = n (n - 3) / 2.

Ο αριθμός των διαγωνίων ενός κυρτού πολυγώνου παίζει σημαντικό ρόλο στη στοιχειώδη γεωμετρία. Ο αριθμός των τριγώνων (K) στα οποία μπορεί να διαιρεθεί κάθε κυρτό πολύγωνο υπολογίζεται με τον ακόλουθο τύπο:

Ο αριθμός των διαγωνίων ενός κυρτού πολυγώνου εξαρτάται πάντα από τον αριθμό των κορυφών του.

Διαίρεση κυρτού πολυγώνου

Σε ορισμένες περιπτώσεις, για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων, είναι απαραίτητο να χωριστεί ένα κυρτό πολύγωνο σε πολλά τρίγωνα με μη τέμνουσες διαγώνιες. Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με την εξαγωγή ενός συγκεκριμένου τύπου.

Ορισμός του προβλήματος: ας ονομάσουμε μια σωστή κατάτμηση ενός κυρτού n-γώνου σε πολλά τρίγωνα με διαγώνιες που τέμνονται μόνο στις κορυφές αυτού του γεωμετρικού σχήματος.

Λύση: Ας υποθέσουμε ότι τα Р1, Р2, Р3…, Pn είναι κορυφές αυτού του n-γώνου. Ο αριθμός Xn είναι ο αριθμός των κατατμήσεων του. Ας εξετάσουμε προσεκτικά την προκύπτουσα διαγώνιο του γεωμετρικού σχήματος Pi Pn. Σε οποιοδήποτε από τα κανονικά διαμερίσματα το P1 Pn ανήκει σε ένα συγκεκριμένο τρίγωνο P1 Pi Pn, το οποίο έχει 1

Έστω i = 2 μια ομάδα κανονικών διαμερισμάτων που περιέχει πάντα τη διαγώνιο Р2 Pn. Ο αριθμός των κατατμήσεων που περιλαμβάνονται σε αυτό συμπίπτει με τον αριθμό των κατατμήσεων του (n-1)-gon Р2 Р3 Р4… Pn. Με άλλα λόγια, ισούται με Xn-1.

Εάν i = 3, τότε αυτή η άλλη ομάδα κατατμήσεων θα περιέχει πάντα τις διαγώνιες P3 P1 και P3 Pn. Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμός των κανονικών κατατμήσεων που περιέχονται σε αυτήν την ομάδα θα συμπίπτει με τον αριθμό των κατατμήσεων του (n-2)-gon Р3 Р4… Pn. Με άλλα λόγια, θα ισούται με Xn-2.

Έστω i = 4, τότε μεταξύ των τριγώνων ένα κανονικό διαμέρισμα θα περιέχει σίγουρα ένα τρίγωνο P1 P4 Pn, στο οποίο θα γειτνιάζει το τετράπλευρο P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 ... Pn. Ο αριθμός των κανονικών διαμερισμάτων ενός τέτοιου τετράπλευρου είναι X4 και ο αριθμός των διαμερισμάτων ενός (n-3)-gon είναι Xn-3. Με βάση τα παραπάνω, μπορούμε να πούμε ότι ο συνολικός αριθμός των σωστών κατατμήσεων που περιέχονται σε αυτή την ομάδα είναι Xn-3 X4. Άλλες ομάδες για τις οποίες i = 4, 5, 6, 7… θα περιέχουν Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … κανονικές κατατμήσεις.

Έστω i = n-2, τότε ο αριθμός των σωστών κατατμήσεων σε αυτήν την ομάδα θα είναι ίδιος με τον αριθμό των κατατμήσεων στην ομάδα όπου i=2 (με άλλα λόγια, ισούται με Xn-1).

Εφόσον X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2…, τότε ο αριθμός όλων των διαμερισμάτων ενός κυρτού πολυγώνου είναι ίσος με:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Ο αριθμός των κανονικών χωρισμάτων που τέμνονται κατά μία διαγώνιο στο εσωτερικό

Κατά τον έλεγχο ειδικών περιπτώσεων, μπορεί κανείς να υποθέσει ότι ο αριθμός των διαγωνίων των κυρτών n-γώνων είναι ίσος με το γινόμενο όλων των διαμερισμάτων αυτού του σχήματος κατά (n-3).

Απόδειξη αυτής της υπόθεσης: φανταστείτε ότι P1n = Xn * (n-3), τότε οποιοδήποτε n-gon μπορεί να χωριστεί σε (n-2)-τρίγωνα. Επιπλέον, ένα (n-3)-τετράπλευρο μπορεί να αποτελείται από αυτά. Μαζί με αυτό, κάθε τετράπλευρο θα έχει μια διαγώνιο. Εφόσον σε αυτό το κυρτό γεωμετρικό σχήμα μπορούν να σχεδιαστούν δύο διαγώνιοι, αυτό σημαίνει ότι σε οποιαδήποτε (n-3)-τετράπλευρα είναι δυνατό να σχεδιάσουμε επιπλέον διαγώνιους (n-3). Με βάση αυτό, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι σε οποιοδήποτε κανονικό διαμέρισμα είναι δυνατό να σχεδιάσουμε (n-3)-διαγώνιους που πληρούν τις προϋποθέσεις αυτού του προβλήματος.

Εμβαδόν κυρτών πολυγώνων

Συχνά, κατά την επίλυση διαφόρων προβλημάτων στοιχειώδους γεωμετρίας, καθίσταται απαραίτητο να προσδιοριστεί η περιοχή ενός κυρτού πολυγώνου. Ας υποθέσουμε ότι (Xi. Yi), i = 1,2,3… n είναι η ακολουθία των συντεταγμένων όλων των γειτονικών κορυφών ενός πολυγώνου που δεν έχει αυτοτομές. Στην περίπτωση αυτή, το εμβαδόν του υπολογίζεται με τον ακόλουθο τύπο:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

όπου (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1).

Προσδιορισμός της κυρτότητας ενός πολυγώνου.

Ο αλγόριθμος Kyrus-Back υποθέτει ότι ένα κυρτό πολύγωνο χρησιμοποιείται ως παράθυρο.

Ωστόσο, στην πράξη, το πρόβλημα της αποκοπής από ένα πολύγωνο προκύπτει αρκετά συχνά και οι πληροφορίες σχετικά με το εάν είναι κυρτό ή όχι δεν προσδιορίζονται αρχικά. Σε αυτήν την περίπτωση, πριν ξεκινήσετε τη διαδικασία αποκοπής, είναι απαραίτητο να προσδιορίσετε εάν το δεδομένο πολύγωνο είναι κυρτό ή όχι.

Ας δώσουμε ορισμένους ορισμούς της κυρτότητας ενός πολυγώνου

Ένα πολύγωνο θεωρείται κυρτό εάν πληρούται μία από τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

1) σε ένα κυρτό πολύγωνο, όλες οι κορυφές βρίσκονται στη μία πλευρά της γραμμής που φέρει οποιαδήποτε ακμή (στο εσωτερικό της δεδομένης ακμής).

2) όλες οι εσωτερικές γωνίες του πολυγώνου είναι μικρότερες από 180 o.

3) όλες οι διαγώνιοι που συνδέουν τις κορυφές ενός πολυγώνου βρίσκονται μέσα σε αυτό το πολύγωνο.

4) όλες οι γωνίες του πολυγώνου παρακάμπτονται προς την ίδια κατεύθυνση (Εικ. 3.3-1).

Για να αναπτύξουμε μια αναλυτική αναπαράσταση του τελευταίου κριτηρίου κυρτότητας, χρησιμοποιούμε το διανυσματικό γινόμενο.

διανυσματικό προϊόν W δύο διανύσματα ένα και σι (Εικ. 3.3-2 α) οριζεται ως:

A x ,a y ,a z και b x ,b y ,b z ένακαι σι,

- Εγώ, ι, κ– μοναδιαία διανύσματα κατά μήκος των αξόνων συντεταγμένων X , Y , Z .

Ρύζι.3.3 ‑ 1

Ρύζι.3.3 ‑ 2

Αν θεωρήσουμε τη δισδιάστατη αναπαράσταση ενός πολυγώνου ως την αναπαράστασή του στο επίπεδο συντεταγμένων XY του τρισδιάστατου συστήματος συντεταγμένων X ,Y ,Z (Εικ. 3.3-2 b ), τότε η έκφραση για το σχηματισμό του διασταυρούμενου γινομένου των φορέων Uκαι V, όπου τα διανύσματα Uκαι Vείναι γειτονικές ακμές που σχηματίζουν τη γωνία του πολυγώνου, μπορούν να γραφούν ως ορίζουσα:

Το διάνυσμα διασταυρούμενου γινομένου είναι κάθετο στο επίπεδο στο οποίο βρίσκονται τα διανύσματα παραγόντων. Η κατεύθυνση του διανύσματος γινομένου καθορίζεται από τον κανόνα του τεμαχίου ή από τον κανόνα μιας δεξιόστροφης βίδας.

Για την περίπτωση που φαίνεται στο Σχ. 3.3-2 β), διάνυσμα W, που αντιστοιχεί στο διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων V, U, θα έχει την ίδια κατευθυντικότητα με την κατεύθυνση του άξονα συντεταγμένων Ζ.

Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι οι προβολές στον άξονα Z των διανυσμάτων-παραγόντων σε αυτή την περίπτωση είναι ίσες με μηδέν, το διανυσματικό γινόμενο μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

(3.3-1)

Μονάδα διάνυσμα κπάντα θετικό, εξ ου και το πρόσημο του διανύσματος wΤο διανυσματικό προϊόν θα προσδιοριστεί μόνο από το πρόσημο της ορίζουσας D στην παραπάνω έκφραση. Σημειώστε ότι, με βάση την ιδιότητα του διανυσματικού γινομένου, κατά την αναδιάταξη των διανυσμάτων παραγόντων Uκαι Vδιάνυσμα σημάδι wθα αλλάξει στο αντίθετο.

Από αυτό προκύπτει ότι αν ως διανύσματα Vκαι Uεξετάστε δύο γειτονικές ακμές του πολυγώνου, τότε η σειρά απαρίθμησης των διανυσμάτων στο διανυσματικό γινόμενο μπορεί να τεθεί σύμφωνα με την παράκαμψη της εξεταζόμενης γωνίας του πολυγώνου ή των ακμών που σχηματίζουν αυτή τη γωνία. Αυτό μας επιτρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα ως κριτήριο για τον προσδιορισμό της κυρτότητας ενός πολυγώνου:

εάν για όλα τα ζεύγη ακμών του πολυγώνου ικανοποιείται η ακόλουθη συνθήκη:

Εάν τα πρόσημα των διανυσματικών γινομένων για μεμονωμένες γωνίες δεν ταιριάζουν, τότε το πολύγωνο δεν είναι κυρτό.

Δεδομένου ότι οι ακμές ενός πολυγώνου καθορίζονται ως οι συντεταγμένες των τελικών σημείων τους, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε την ορίζουσα για τον προσδιορισμό του πρόσημου ενός εγκάρσιου γινόμενου.

Κυρτό σύνολο σημείων στο επίπεδο.

Ένα σύνολο σημείων σε ένα επίπεδο ή σε τρισδιάστατο χώρο ονομάζεται κυρτός, εάν οποιαδήποτε δύο σημεία αυτού του συνόλου μπορούν να συνδεθούν με ένα τμήμα γραμμής που βρίσκεται πλήρως σε αυτό το σύνολο.

Θεώρημα 1. Η τομή ενός πεπερασμένου αριθμού κυρτών συνόλων είναι ένα κυρτό σύνολο.

Συνέπεια.Η τομή ενός πεπερασμένου αριθμού κυρτών συνόλων είναι ένα κυρτό σύνολο.

γωνιακά σημεία.

Το οριακό σημείο ενός κυρτού συνόλου ονομάζεται γωνιώδης, εάν είναι δυνατό να διασχίσει ένα τμήμα μέσα από αυτό, όλα τα σημεία του οποίου δεν ανήκουν στο δεδομένο σύνολο.

Τα σύνολα διαφόρων σχημάτων μπορούν να έχουν έναν πεπερασμένο ή άπειρο αριθμό γωνιακών σημείων.

Κυρτό πολύγωνο.

Πολύγωνοπου ονομάζεται κυρτός, αν βρίσκεται στη μία πλευρά κάθε ευθείας που διέρχεται από τις δύο γειτονικές κορυφές της.

Θεώρημα: Το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού n-γώνου είναι 180˚ *(n-2)

6) Επίλυση συστημάτων m γραμμικών ανισώσεων με δύο μεταβλητές

Δίνεται σύστημα m γραμμικών ανισώσεων με δύο μεταβλητές

Τα πρόσημα ορισμένων ή όλων των ανισοτήτων μπορεί να είναι ≥.

Εξετάστε την πρώτη ανισότητα στο σύστημα συντεταγμένων X1OX2. Ας φτιάξουμε μια ευθεία γραμμή

που είναι η οριακή γραμμή.

Αυτή η ευθεία διαιρεί το επίπεδο σε δύο ημιεπίπεδα 1 και 2 (Εικ. 19.4).

Το μισό επίπεδο 1 περιέχει την αρχή, το μισό επίπεδο 2 δεν περιέχει την αρχή.

Για να προσδιορίσετε σε ποια πλευρά της οριακής γραμμής βρίσκεται ένα δεδομένο ημιεπίπεδο, πρέπει να πάρετε ένα αυθαίρετο σημείο στο επίπεδο (καλύτερα, την αρχή) και να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες αυτού του σημείου στην ανισότητα. Εάν η ανισότητα είναι αληθής, τότε το ημιεπίπεδο στρέφεται προς αυτό το σημείο, εάν δεν είναι αληθές, τότε στην αντίθετη κατεύθυνση από το σημείο.

Η κατεύθυνση του ημιεπίπεδου στα σχήματα φαίνεται με ένα βέλος.

Ορισμός 15. Η λύση σε κάθε ανισότητα του συστήματος είναι ένα ημιεπίπεδο που περιέχει την οριακή γραμμή και βρίσκεται στη μία πλευρά της.

Ορισμός 16. Η τομή ημιεπίπεδων, καθένα από τα οποία καθορίζεται από την αντίστοιχη ανισότητα του συστήματος, ονομάζεται περιοχή λύσης του συστήματος (SR).

Ορισμός 17. Η περιοχή λύσης ενός συστήματος που ικανοποιεί τις συνθήκες μη αρνητικότητας (xj ≥ 0, j =) ονομάζεται περιοχή μη αρνητικών ή αποδεκτών λύσεων (ODS).

Εάν το σύστημα των ανισοτήτων είναι συνεπές, τότε το OP και το ODE μπορεί να είναι ένα πολύεδρο, μια απεριόριστη πολυεδρική περιοχή ή ένα μόνο σημείο.

Εάν το σύστημα των ανισοτήτων είναι ασυνεπές, τότε το OR και το ODR είναι ένα κενό σύνολο.

Παράδειγμα 1

Λύση. Ας βρούμε το OR της πρώτης ανίσωσης: x1 + 3x2 ≥ 3. Ας κατασκευάσουμε την οριακή γραμμή x1 + 3x2 - 3 = 0 (Εικ. 19.5). Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του σημείου (0,0) στην ανίσωση: 1∙0 + 3∙0 > 3; αφού οι συντεταγμένες του σημείου (0,0) δεν το ικανοποιούν, τότε η λύση της ανίσωσης (19,1) είναι ένα ημιεπίπεδο που δεν περιέχει το σημείο (0,0).

Ομοίως, βρίσκουμε λύσεις στις υπόλοιπες ανισότητες του συστήματος. Λαμβάνουμε ότι η ΟΡ και η ΟΔΕ του συστήματος των ανισοτήτων είναι ένα κυρτό πολύεδρο ΑΒΓΔ.

Βρείτε τα γωνιακά σημεία του πολύεδρου. Ως σημείο Α ορίζεται το σημείο τομής των γραμμών

Λύνοντας το σύστημα, παίρνουμε Α(3/7, 6/7).

Βρίσκουμε το σημείο Β ως σημείο τομής των ευθειών

Από το σύστημα παίρνουμε Β(5/3, 10/3). Ομοίως, βρίσκουμε τις συντεταγμένες των σημείων Γ και Δ: Γ(11/4; 9/14), Δ(3/10; 21/10).

Παράδειγμα 2. Να βρείτε τα OR και ODR του συστήματος ανισοτήτων

Λύση. Ας κατασκευάσουμε ευθείες γραμμές και ας προσδιορίσουμε τις λύσεις των ανισώσεων (19,5)-(19,7). Το OR και το ODR είναι απεριόριστες πολυεδρικές περιοχές ACFM και ABDEKM, αντίστοιχα (Εικ. 19.6).

Παράδειγμα 3. Να βρείτε τα OR και ODR του συστήματος ανισοτήτων

Λύση. Βρίσκουμε λύσεις στις ανισότητες (19.8)-(19.10) (Εικ. 19.7). Το OP αντιπροσωπεύει την απεριόριστη πολυεδρική περιοχή ABC. ODR - σημείο Β.

Παράδειγμα 4. Να βρείτε το OP και το ODS του συστήματος των ανισοτήτων

Λύση. Έχοντας κατασκευάσει ευθείες, βρίσκουμε λύσεις στις ανισότητες του συστήματος. Το OR και το ODR δεν είναι συμβατά (Εικ. 19.8).

ΓΥΜΝΑΣΙΑ

Βρείτε OR και ODR συστημάτων ανισοτήτων

Θεώρημα. Αν xn ® a, τότε .

Απόδειξη. Από το xn ® a προκύπτει ότι . Ταυτοχρονα:

Εκείνοι. , δηλ. . Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Θεώρημα. Αν xn ® a, τότε η ακολουθία (xn) είναι οριοθετημένη.

Πρέπει να σημειωθεί ότι η αντίστροφη πρόταση δεν είναι αληθής, δηλ. το όριο μιας ακολουθίας δεν συνεπάγεται τη σύγκλιση της.

Για παράδειγμα, η ακολουθία δεν έχει όριο, αν και

Επέκταση λειτουργιών σε σειρές ισχύος.

Η επέκταση των συναρτήσεων σε μια σειρά ισχύος έχει μεγάλη σημασία για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων μελέτης συναρτήσεων, διαφοροποίησης, ολοκλήρωσης, επίλυσης διαφορικών εξισώσεων, υπολογισμού ορίων, υπολογισμού κατά προσέγγιση τιμών μιας συνάρτησης.

Συνολικά, παίρνουμε:

Εξετάστε έναν τρόπο επέκτασης μιας συνάρτησης σε μια σειρά χρησιμοποιώντας ενοποίηση.

Με τη βοήθεια της ολοκλήρωσης, είναι δυνατό να επεκταθεί σε μια σειρά μια τέτοια συνάρτηση για την οποία είναι γνωστή ή μπορεί να βρεθεί εύκολα η επέκταση σε μια σειρά της παραγώγου της.

Βρίσκουμε το διαφορικό της συνάρτησης και το ενσωματώνουμε στο εύρος από 0 έως x.