Προσδιορισμός της εξίσωσης ευθείας από δύο σημεία. Εξίσωση μιας γραμμής που διέρχεται από ένα σημείο, εξίσωση μιας γραμμής που διέρχεται από δύο σημεία, γωνία μεταξύ δύο γραμμών, κλίση μιας γραμμής

Μάθημα από τη σειρά "Γεωμετρικοί αλγόριθμοι"

Γεια σου αγαπητέ αναγνώστη!

Σήμερα θα αρχίσουμε να μαθαίνουμε αλγόριθμους που σχετίζονται με τη γεωμετρία. Το γεγονός είναι ότι υπάρχουν αρκετά προβλήματα Ολυμπιάδας στην επιστήμη των υπολογιστών που σχετίζονται με την υπολογιστική γεωμετρία και η επίλυση τέτοιων προβλημάτων συχνά προκαλεί δυσκολίες.

Κατά τη διάρκεια πολλών μαθημάτων, θα εξετάσουμε μια σειρά από στοιχειώδεις δευτερεύουσες εργασίες στις οποίες βασίζεται η λύση των περισσότερων προβλημάτων στην υπολογιστική γεωμετρία.

Σε αυτό το μάθημα θα δημιουργήσουμε ένα πρόγραμμα για βρίσκοντας την εξίσωση μιας ευθείας, περνώντας μέσα από δεδομένο δύο σημεία. Για να λύσουμε γεωμετρικά προβλήματα, χρειαζόμαστε κάποιες γνώσεις υπολογιστικής γεωμετρίας. Θα αφιερώσουμε μέρος του μαθήματος στη γνωριμία τους.

Πληροφορίες από την Υπολογιστική Γεωμετρία

Η υπολογιστική γεωμετρία είναι ένας κλάδος της επιστήμης των υπολογιστών που μελετά αλγόριθμους για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων.

Τα αρχικά δεδομένα για τέτοια προβλήματα μπορεί να είναι ένα σύνολο σημείων σε ένα επίπεδο, ένα σύνολο τμημάτων, ένα πολύγωνο (που καθορίζονται, για παράδειγμα, από μια λίστα με τις κορυφές του κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού) κ.λπ.

Το αποτέλεσμα μπορεί να είναι είτε μια απάντηση σε κάποια ερώτηση (όπως αν ένα σημείο ανήκει σε ένα τμήμα, αν τέμνονται δύο τμήματα, ...), είτε κάποιο γεωμετρικό αντικείμενο (για παράδειγμα, το μικρότερο κυρτό πολύγωνο που συνδέει δεδομένα σημεία, το εμβαδόν του ένα πολύγωνο, κ.λπ.) .

Θα εξετάσουμε προβλήματα υπολογιστικής γεωμετρίας μόνο στο επίπεδο και μόνο στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Διανύσματα και συντεταγμένες

Για την εφαρμογή των μεθόδων υπολογιστικής γεωμετρίας, είναι απαραίτητο να μεταφραστούν οι γεωμετρικές εικόνες στη γλώσσα των αριθμών. Θα υποθέσουμε ότι στο επίπεδο δίνεται ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, στο οποίο η φορά περιστροφής αριστερόστροφα ονομάζεται θετική.

Τώρα τα γεωμετρικά αντικείμενα λαμβάνουν μια αναλυτική έκφραση. Έτσι, για να καθορίσετε ένα σημείο, αρκεί να υποδείξετε τις συντεταγμένες του: ένα ζεύγος αριθμών (x; y). Ένα τμήμα μπορεί να καθοριστεί καθορίζοντας τις συντεταγμένες των άκρων του, μια ευθεία γραμμή μπορεί να καθοριστεί προσδιορίζοντας τις συντεταγμένες ενός ζεύγους σημείων του.

Αλλά το κύριο εργαλείο μας για την επίλυση προβλημάτων θα είναι τα διανύσματα. Επιτρέψτε μου λοιπόν να υπενθυμίσω κάποιες πληροφορίες σχετικά με αυτές.

Ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, που έχει ένα σημείο ΕΝΑθεωρείται η αρχή (σημείο εφαρμογής), και το σημείο ΣΕ– τέλος, που ονομάζεται διάνυσμα ΑΒκαι συμβολίζεται με ένα ή με ένα έντονο πεζό γράμμα, για παράδειγμα ΕΝΑ .

Για να δηλώσουμε το μήκος ενός διανύσματος (δηλαδή το μήκος του αντίστοιχου τμήματος), θα χρησιμοποιήσουμε το σύμβολο του συντελεστή (για παράδειγμα, ).

Ένα αυθαίρετο διάνυσμα θα έχει συντεταγμένες ίσες με τη διαφορά μεταξύ των αντίστοιχων συντεταγμένων του τέλους και της αρχής του:

,

εδώ είναι τα σημεία ΕΝΑΚαι σι έχουν συντεταγμένες αντίστοιχα.

Για τους υπολογισμούς θα χρησιμοποιήσουμε την έννοια προσανατολισμένη γωνία, δηλαδή μια γωνία που λαμβάνει υπόψη τη σχετική θέση των διανυσμάτων.

Προσανατολισμένη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων ένα Και σι θετική αν η περιστροφή είναι από το διάνυσμα ένα σε διάνυσμα σι εκτελείται σε θετική κατεύθυνση (αριστερόστροφα) και αρνητική στην άλλη περίπτωση. Βλέπε Σχ.1α, Σχ.1β. Λέγεται επίσης ότι ένα ζεύγος διανυσμάτων ένα Και σι θετικά (αρνητικά) προσανατολισμένο.

Έτσι, η τιμή της προσανατολισμένης γωνίας εξαρτάται από τη σειρά με την οποία παρατίθενται τα διανύσματα και μπορεί να λάβει τιμές στο διάστημα.

Πολλά προβλήματα στην υπολογιστική γεωμετρία χρησιμοποιούν την έννοια των διανυσματικών (λοξής ή ψευδοκλιμακωτής) γινομένων των διανυσμάτων.

Το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων a και b είναι το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων και του ημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας:

.

Διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτων σε συντεταγμένες:

Η έκφραση στα δεξιά είναι μια προσδιοριστική δεύτερης τάξης:

Σε αντίθεση με τον ορισμό που δίνεται στην αναλυτική γεωμετρία, είναι βαθμωτός.

Το πρόσημο του γινομένου του διανύσματος καθορίζει τη θέση των διανυσμάτων μεταξύ τους:

ένα Και σι θετικά προσανατολισμένο.

Εάν η τιμή είναι , τότε ένα ζεύγος διανυσμάτων ένα Και σι αρνητικά προσανατολισμένο.

Το διασταυρούμενο γινόμενο μη μηδενικών διανυσμάτων είναι μηδέν εάν και μόνο εάν είναι συγγραμμικά ( ). Αυτό σημαίνει ότι βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες.

Ας δούμε μερικά απλά προβλήματα που είναι απαραίτητα κατά την επίλυση πιο περίπλοκων.

Ας προσδιορίσουμε την εξίσωση μιας ευθείας από τις συντεταγμένες δύο σημείων.

Εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο διαφορετικά σημεία που καθορίζονται από τις συντεταγμένες τους.

Έστω δύο μη συμπίπτοντα σημεία σε μια ευθεία γραμμή: με συντεταγμένες (x1; y1) και με συντεταγμένες (x2; y2). Αντίστοιχα, ένα διάνυσμα με αρχή σε σημείο και τέλος σε σημείο έχει συντεταγμένες (x2-x1, y2-y1). Αν το P(x, y) είναι ένα αυθαίρετο σημείο στην ευθεία μας, τότε οι συντεταγμένες του διανύσματος είναι ίσες με (x-x1, y – y1).

Χρησιμοποιώντας το γινόμενο του διανύσματος, η συνθήκη για τη συγγραμμικότητα των διανυσμάτων και μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Εκείνοι. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Ξαναγράφουμε την τελευταία εξίσωση ως εξής:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Έτσι, η ευθεία μπορεί να προσδιοριστεί με μια εξίσωση της μορφής (1).

Πρόβλημα 1. Δίνονται οι συντεταγμένες δύο σημείων. Βρείτε την αναπαράστασή του με τη μορφή ax + by + c = 0.

Σε αυτό το μάθημα μάθαμε μερικές πληροφορίες για την υπολογιστική γεωμετρία. Λύσαμε το πρόβλημα εύρεσης της εξίσωσης μιας ευθείας από τις συντεταγμένες δύο σημείων.

Στο επόμενο μάθημα, θα δημιουργήσουμε ένα πρόγραμμα για να βρούμε το σημείο τομής δύο ευθειών που δίνονται από τις εξισώσεις μας.

Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο. Ας δώσουμε παραδείγματα κατασκευής μιας γενικής εξίσωσης μιας ευθείας εάν δύο σημεία αυτής της ευθείας είναι γνωστά ή εάν ένα σημείο και το κανονικό διάνυσμα αυτής της ευθείας είναι γνωστά. Ας παρουσιάσουμε μεθόδους για τη μετατροπή μιας εξίσωσης σε γενική μορφή σε κανονικές και παραμετρικές μορφές.

Ας δοθεί ένα αυθαίρετο καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy. Εξετάστε μια εξίσωση πρώτου βαθμού ή γραμμική:

Ax+By+C=0,

(1)

Οπου Α, Β, Γ− μερικές σταθερές και τουλάχιστον ένα από τα στοιχεία ΕΝΑΚαι σιδιαφορετικό από το μηδέν.

Θα δείξουμε ότι μια γραμμική εξίσωση σε ένα επίπεδο ορίζει μια ευθεία γραμμή. Ας αποδείξουμε το παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα 1. Σε ένα αυθαίρετο καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο, κάθε ευθεία μπορεί να προσδιοριστεί με μια γραμμική εξίσωση. Αντίστροφα, κάθε γραμμική εξίσωση (1) σε ένα αυθαίρετο καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο ορίζει μια ευθεία γραμμή.

Απόδειξη. Αρκεί να αποδείξουμε ότι η ευθεία μεγάλοκαθορίζεται από μια γραμμική εξίσωση για οποιοδήποτε καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, αφού τότε θα προσδιοριστεί από μια γραμμική εξίσωση για οποιαδήποτε επιλογή καρτεσιανού ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων.

Αφήστε μια ευθεία γραμμή να δοθεί στο επίπεδο μεγάλο. Ας επιλέξουμε ένα σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε ο άξονας Βόδισυνέπεσε με μια ευθεία γραμμή μεγάλο, και τον άξονα Oyήταν κάθετη σε αυτό. Στη συνέχεια η εξίσωση της ευθείας μεγάλοθα λάβει την εξής μορφή:

y=0.

(2)

Όλα τα σημεία σε μια γραμμή μεγάλοθα ικανοποιεί τη γραμμική εξίσωση (2), και όλα τα σημεία εκτός αυτής της γραμμής δεν θα ικανοποιούν την εξίσωση (2). Το πρώτο μέρος του θεωρήματος έχει αποδειχθεί.

Έστω ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και ας δοθεί μια γραμμική εξίσωση (1), όπου τουλάχιστον ένα από τα στοιχεία ΕΝΑΚαι σιδιαφορετικό από το μηδέν. Ας βρούμε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την εξίσωση (1). Δεδομένου ότι τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές ΕΝΑΚαι σιείναι διαφορετική από το μηδέν, τότε η εξίσωση (1) έχει τουλάχιστον μία λύση Μ(Χ 0 ,y 0). (Για παράδειγμα, πότε ΕΝΑ≠0, σημείο Μ 0 (−C/A, 0) ανήκει στον δεδομένο γεωμετρικό τόπο σημείων). Αντικαθιστώντας αυτές τις συντεταγμένες σε (1) παίρνουμε την ταυτότητα

Τσεκούρι 0 +Με 0 +ντο=0.

(3)

Ας αφαιρέσουμε την ταυτότητα (3) από το (1):

ΕΝΑ(Χ−Χ 0)+σι(y−y 0)=0.

(4)

Προφανώς, η εξίσωση (4) είναι ισοδύναμη με την εξίσωση (1). Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε ότι το (4) ορίζει μια συγκεκριμένη γραμμή.

Εφόσον εξετάζουμε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, από την ισότητα (4) προκύπτει ότι το διάνυσμα με συνιστώσες ( x−x 0 , y−y 0 ) ορθογώνιο ως προς το διάνυσμα nμε συντεταγμένες ( Α, Β}.

Ας εξετάσουμε μια ευθεία γραμμή μεγάλο, περνώντας από το σημείο Μ 0 (Χ 0 , y 0) και κάθετα στο διάνυσμα n(Εικ.1). Αφήστε το θέμα Μ(Χ,y) ανήκει στη γραμμή μεγάλο. Στη συνέχεια το διάνυσμα με συντεταγμένες x−x 0 , y−y 0 κάθετη nκαι η εξίσωση (4) ικανοποιείται (βαθμωτό γινόμενο διανυσμάτων nκαι ίσο με μηδέν). Αντίθετα, αν σημείο Μ(Χ,y) δεν βρίσκεται σε μια γραμμή μεγάλο, μετά το διάνυσμα με συντεταγμένες x−x 0 , y−yΤο 0 δεν είναι ορθογώνιο στο διάνυσμα nκαι η εξίσωση (4) δεν ικανοποιείται. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Απόδειξη. Εφόσον οι γραμμές (5) και (6) ορίζουν την ίδια ευθεία, τότε τα κανονικά διανύσματα n 1 ={ΕΝΑ 1 ,σι 1) και n 2 ={ΕΝΑ 2 ,σι 2) συγγραμμικό. Δεδομένου ότι οι φορείς n 1 ≠0, n 2 ≠0, τότε υπάρχει ένας τέτοιος αριθμός λ , Τι n 2 =n 1 λ . Από εδώ έχουμε: ΕΝΑ 2 =ΕΝΑ 1 λ , σι 2 =σι 1 λ . Ας το αποδείξουμε ντο 2 =ντο 1 λ . Προφανώς, οι γραμμές που συμπίπτουν έχουν ένα κοινό σημείο Μ 0 (Χ 0 , y 0). Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (5) επί λ και αφαιρώντας την εξίσωση (6) από αυτήν παίρνουμε:

Αφού οι δύο πρώτες ισότητες από τις εκφράσεις (7) ικανοποιούνται, τότε ντο 1 λ −ντο 2 =0. Εκείνοι. ντο 2 =ντο 1 λ . Η παρατήρηση έχει αποδειχθεί.

Σημειώστε ότι η εξίσωση (4) ορίζει την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Μ 0 (Χ 0 , y 0) και έχει κανονικό διάνυσμα n={Α, Β). Επομένως, εάν το κανονικό διάνυσμα μιας ευθείας και το σημείο που ανήκει σε αυτή τη γραμμή είναι γνωστά, τότε η γενική εξίσωση της ευθείας μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας την εξίσωση (4).

Παράδειγμα 1. Μια ευθεία διέρχεται από ένα σημείο Μ=(4,−1) και έχει κανονικό διάνυσμα n=(3, 5). Κατασκευάστε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας.

Λύση. Εχουμε: Χ 0 =4, y 0 =−1, ΕΝΑ=3, σι=5. Για να κατασκευάσουμε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στην εξίσωση (4):

Απάντηση:

Το διάνυσμα είναι παράλληλο με την ευθεία μεγάλοκαι, επομένως, κάθετο στο κανονικό διάνυσμα της ευθείας μεγάλο. Ας κατασκευάσουμε ένα κανονικό διάνυσμα γραμμής μεγάλο, λαμβάνοντας υπόψη ότι το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων nκαι ίσο με μηδέν. Μπορούμε να γράψουμε, για παράδειγμα, n={1,−3}.

Για να κατασκευάσουμε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, χρησιμοποιούμε τον τύπο (4). Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου σε (4) Μ 1 (μπορούμε να πάρουμε και τις συντεταγμένες του σημείου Μ 2) και κανονικό διάνυσμα n:

Αντικατάσταση των συντεταγμένων των σημείων Μ 1 και Μ 2 στην (9) μπορούμε να βεβαιωθούμε ότι η ευθεία που δίνεται από την εξίσωση (9) διέρχεται από αυτά τα σημεία.

Απάντηση:

Αφαιρέστε το (10) από το (1):

Λάβαμε την κανονική εξίσωση της γραμμής. Διάνυσμα q={−σι, ΕΝΑ) είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας (12).

Δείτε την αντίστροφη μετατροπή.

Παράδειγμα 3. Μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο αντιπροσωπεύεται από την ακόλουθη γενική εξίσωση:

Ας μετακινήσουμε τον δεύτερο όρο προς τα δεξιά και ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 2,5.

Οι κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο είναι εξισώσεις που ορίζουν μια ευθεία που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο συγγραμμική προς το διάνυσμα κατεύθυνσης.

Έστω ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης. Ένα αυθαίρετο σημείο βρίσκεται σε μια γραμμή μεγάλομόνο εάν τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά, δηλ. ικανοποιείται η συνθήκη για αυτά:

.

Οι παραπάνω εξισώσεις είναι οι κανονικές εξισώσεις της ευθείας.

Αριθμοί Μ , nΚαι Πείναι προβολές του διανύσματος κατεύθυνσης στους άξονες συντεταγμένων. Εφόσον το διάνυσμα είναι μη μηδενικό, τότε όλοι οι αριθμοί Μ , nΚαι Πδεν μπορεί ταυτόχρονα να είναι ίσο με μηδέν. Αλλά ένα ή δύο από αυτά μπορεί να αποδειχθούν μηδενικά. Στην αναλυτική γεωμετρία, για παράδειγμα, επιτρέπεται η ακόλουθη καταχώρηση:

,

που σημαίνει ότι οι προβολές του διανύσματος στον άξονα OyΚαι Οζείναι ίσα με μηδέν. Επομένως, τόσο το διάνυσμα όσο και η ευθεία που ορίζονται από τις κανονικές εξισώσεις είναι κάθετες στους άξονες OyΚαι Οζ, δηλαδή αεροπλάνα yOz .

Παράδειγμα 1.Να γράψετε εξισώσεις για μια ευθεία στο χώρο κάθετη σε ένα επίπεδο και περνώντας από το σημείο τομής αυτού του επιπέδου με τον άξονα Οζ .

Λύση. Ας βρούμε το σημείο τομής αυτού του επιπέδου με τον άξονα Οζ. Από οποιοδήποτε σημείο βρίσκεται στον άξονα Οζ, έχει συντεταγμένες , λοιπόν, υποθέτοντας στη δεδομένη εξίσωση του επιπέδου x = y = 0, παίρνουμε 4 z- 8 = 0 ή z= 2. Επομένως, το σημείο τομής αυτού του επιπέδου με τον άξονα Οζέχει συντεταγμένες (0; 0; 2) . Εφόσον η επιθυμητή ευθεία είναι κάθετη στο επίπεδο, είναι παράλληλη με το κανονικό της διάνυσμα. Επομένως, το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας μπορεί να είναι το κανονικό διάνυσμα δεδομένο αεροπλάνο.

Τώρα ας γράψουμε τις απαιτούμενες εξισώσεις για μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο ΕΝΑ= (0; 0; 2) προς την κατεύθυνση του διανύσματος:

Εξισώσεις ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία

Μια ευθεία γραμμή μπορεί να οριστεί από δύο σημεία που βρίσκονται πάνω της Και Στην περίπτωση αυτή, το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας μπορεί να είναι το διάνυσμα . Τότε οι κανονικές εξισώσεις της ευθείας παίρνουν τη μορφή

.

Οι παραπάνω εξισώσεις καθορίζουν μια ευθεία που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία.

Παράδειγμα 2.Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία στο χώρο που διέρχεται από τα σημεία και .

Λύση. Ας γράψουμε τις απαιτούμενες εξισώσεις της ευθείας με τη μορφή που δίνεται παραπάνω στη θεωρητική αναφορά:

.

Αφού , τότε η επιθυμητή ευθεία είναι κάθετη στον άξονα Oy .

Ευθεία όπως η γραμμή τομής των επιπέδων

Μια ευθεία στον χώρο μπορεί να οριστεί ως η γραμμή τομής δύο μη παράλληλων επιπέδων και, δηλ., ως ένα σύνολο σημείων που ικανοποιούν ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων

Οι εξισώσεις του συστήματος ονομάζονται και γενικές εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο.

Παράδειγμα 3.Να συνθέσετε κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο που δίνονται από γενικές εξισώσεις

Λύση. Για να γράψετε τις κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας ή, το ίδιο πράγμα, τις εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία, πρέπει να βρείτε τις συντεταγμένες οποιωνδήποτε δύο σημείων στη γραμμή. Μπορούν να είναι τα σημεία τομής μιας ευθείας με οποιαδήποτε δύο επίπεδα συντεταγμένων, για παράδειγμα yOzΚαι xOz .

Σημείο τομής γραμμής και επιπέδου yOzέχει τετμημένη Χ= 0 . Επομένως, υποθέτοντας σε αυτό το σύστημα εξισώσεων Χ= 0, παίρνουμε ένα σύστημα με δύο μεταβλητές:

Η απόφασή της y = 2 , z= 6 μαζί με Χ= 0 ορίζει ένα σημείο ΕΝΑ(0; 2; 6) την επιθυμητή γραμμή. Στη συνέχεια υποθέτοντας στο δεδομένο σύστημα εξισώσεων y= 0, παίρνουμε το σύστημα

Η απόφασή της Χ = -2 , z= 0 μαζί με y= 0 ορίζει ένα σημείο σι(-2; 0; 0) τομή μιας ευθείας με ένα επίπεδο xOz .

Τώρα ας γράψουμε τις εξισώσεις της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία ΕΝΑ(0; 2; 6) και σι (-2; 0; 0) :

,

ή αφού διαιρέσουμε τους παρονομαστές με -2:

,

Ορισμός.Οποιαδήποτε ευθεία γραμμή στο επίπεδο μπορεί να προσδιοριστεί με μια εξίσωση πρώτης τάξης

Ax + Wu + C = 0,

Επιπλέον, οι σταθερές Α και Β δεν είναι ίσες με μηδέν ταυτόχρονα. Αυτή η εξίσωση πρώτης τάξης ονομάζεται γενική εξίσωση ευθείας γραμμής.Ανάλογα με τις τιμές των σταθερών A, B και C, είναι δυνατές οι ακόλουθες ειδικές περιπτώσεις:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 - η ευθεία διέρχεται από την αρχή

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Ox

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Oy

B = C = 0, A ≠0 - η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα Oy

A = C = 0, B ≠0 - η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα Ox

Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μπορεί να παρουσιαστεί με διαφορετικές μορφές ανάλογα με τις δεδομένες αρχικές συνθήκες.

Εξίσωση ευθείας από σημείο και κανονικό διάνυσμα

Ορισμός.Στο καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ένα διάνυσμα με συνιστώσες (Α, Β) είναι κάθετο στην ευθεία που δίνεται από την εξίσωση Ax + By + C = 0.

Παράδειγμα. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(1, 2) κάθετο στην (3, -1).

Λύση. Με A = 3 και B = -1, ας συνθέσουμε την εξίσωση της ευθείας: 3x – y + C = 0. Για να βρούμε τον συντελεστή C, αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του δεδομένου σημείου A στην παράσταση που προκύπτει. 3 – 2 + C = 0, επομένως, C = -1 . Σύνολο: η απαιτούμενη εξίσωση: 3x – y – 1 = 0.

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία

Έστω δύο σημεία M 1 (x 1, y 1, z 1) και M 2 (x 2, y 2, z 2) στο διάστημα, τότε η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από αυτά τα σημεία είναι:

Εάν κάποιος από τους παρονομαστές είναι ίσος με μηδέν, ο αντίστοιχος αριθμητής πρέπει να είναι ίσος με μηδέν Στο επίπεδο, η εξίσωση της ευθείας που γράφτηκε παραπάνω απλοποιείται.

αν x 1 ≠ x 2 και x = x 1, εάν x 1 = x 2.

Λέγεται το κλάσμα = k κλίσηευθεία.

Παράδειγμα. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(1, 2) και Β(3, 4).

Λύση.Εφαρμόζοντας τον τύπο που γράφτηκε παραπάνω, παίρνουμε:

Εξίσωση ευθείας από σημείο και κλίση

Εάν το σύνολο Ax + Bu + C = 0, οδηγείτε στη μορφή:

και ορίζουν , τότε καλείται η εξίσωση που προκύπτει εξίσωση ευθείας με κλίσηκ.

Εξίσωση ευθείας από σημείο και διάνυσμα κατεύθυνσης

Κατ' αναλογία με το σημείο που εξετάζει την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μέσω ενός κανονικού διανύσματος, μπορείτε να εισαγάγετε τον ορισμό μιας ευθείας γραμμής μέσω ενός σημείου και το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας γραμμής.

Ορισμός.Κάθε μη μηδενικό διάνυσμα (α 1, α 2), τα συστατικά του οποίου ικανοποιούν τη συνθήκη A α 1 + B α 2 = 0 ονομάζεται κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας

Ax + Wu + C = 0.

Παράδειγμα. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας με διάνυσμα κατεύθυνσης (1, -1) και που διέρχεται από το σημείο Α(1, 2).

Λύση.Θα αναζητήσουμε την εξίσωση της επιθυμητής γραμμής με τη μορφή: Ax + By + C = 0. Σύμφωνα με τον ορισμό, οι συντελεστές πρέπει να πληρούν τις προϋποθέσεις:

1 * A + (-1) * B = 0, δηλ. Α = Β.

Τότε η εξίσωση της ευθείας έχει τη μορφή: Ax + Ay + C = 0, ή x + y + C / A = 0. για x = 1, y = 2 παίρνουμε C/ A = -3, δηλ. απαιτούμενη εξίσωση:

Εξίσωση ευθείας σε τμήματα

Αν στη γενική εξίσωση της ευθείας Ах + Ву + С = 0 С≠0, τότε, διαιρώντας με –С, παίρνουμε: ή

Η γεωμετρική σημασία των συντελεστών είναι ότι ο συντελεστής ΕΝΑείναι η συντεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα Ox, και σι– η συντεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα Oy.

Παράδειγμα.Δίνεται η γενική εξίσωση της ευθείας x – y + 1 = 0 Βρείτε την εξίσωση αυτής της ευθείας σε τμήματα.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Κανονική εξίσωση μιας γραμμής

Αν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης Ax + By + C = 0 πολλαπλασιαστούν με τον αριθμό η οποία ονομάζεται παράγοντα ομαλοποίησης, τότε παίρνουμε

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

κανονική εξίσωση μιας γραμμής. Το πρόσημο ± του κανονικοποιητικού παράγοντα πρέπει να επιλέγεται έτσι ώστε μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Παράδειγμα. Δίνεται η γενική εξίσωση της γραμμής 12x – 5y – 65 = 0 Απαιτείται να γραφτούν διάφοροι τύποι εξισώσεων για αυτή τη γραμμή.

εξίσωση αυτής της γραμμής σε τμήματα:

εξίσωση αυτής της ευθείας με κλίση: (διαιρέστε με 5)

; cos φ = 12/13; αμαρτία φ= -5/13; p = 5.

Πρέπει να σημειωθεί ότι δεν μπορεί να αναπαρασταθεί κάθε ευθεία με εξίσωση σε τμήματα, για παράδειγμα, ευθείες παράλληλες προς τους άξονες ή που διέρχονται από την αρχή των συντεταγμένων.

Παράδειγμα. Η ευθεία γραμμή κόβει ίσα θετικά τμήματα στους άξονες συντεταγμένων. Γράψτε μια εξίσωση ευθείας αν το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από αυτά τα τμήματα είναι 8 cm 2.

Λύση.Η εξίσωση της ευθείας έχει τη μορφή: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Παράδειγμα. Να γράψετε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α(-2, -3) και την αρχή.

Λύση. Η εξίσωση της ευθείας είναι: , όπου x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3.

Γωνία μεταξύ ευθειών γραμμών σε επίπεδο

Ορισμός.Εάν δοθούν δύο ευθείες y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, τότε η οξεία γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών θα οριστεί ως

.

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν k 1 = k 2. Δύο ευθείες είναι κάθετες αν k 1 = -1 / k 2.

Θεώρημα.Οι ευθείες Ax + Bу + C = 0 και A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 είναι παράλληλες όταν οι συντελεστές A 1 = λA, B 1 = λB είναι ανάλογοι. Αν επίσης C 1 = λC, τότε οι γραμμές συμπίπτουν. Οι συντεταγμένες του σημείου τομής δύο ευθειών βρίσκονται ως λύση στο σύστημα εξισώσεων αυτών των ευθειών.

Εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία

Ορισμός.Μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1, y 1) και είναι κάθετη στην ευθεία y = kx + b παριστάνεται από την εξίσωση:

Απόσταση από σημείο σε γραμμή

Θεώρημα.Εάν δοθεί ένα σημείο M(x 0, y 0), τότε η απόσταση από την ευθεία Ax + Bу + C = 0 προσδιορίζεται ως

.

Απόδειξη.Έστω το σημείο M 1 (x 1, y 1) η βάση της καθέτου που έπεσε από το σημείο M σε μια δεδομένη ευθεία. Τότε η απόσταση μεταξύ των σημείων M και M 1:

(1)

Οι συντεταγμένες x 1 και y 1 μπορούν να βρεθούν λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων:

Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο M 0 κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία. Αν μετατρέψουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος στη μορφή:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

τότε, λύνοντας, παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην εξίσωση (1), βρίσκουμε:

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παράδειγμα. Προσδιορίστε τη γωνία μεταξύ των ευθειών: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Παράδειγμα. Δείξτε ότι οι ευθείες 3x – 5y + 7 = 0 και 10x + 6y – 3 = 0 είναι κάθετες.

Λύση. Βρίσκουμε: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, επομένως, οι ευθείες είναι κάθετες.

Παράδειγμα. Δίνονται οι κορυφές του τριγώνου A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Να βρείτε την εξίσωση του ύψους που αντλείται από την κορυφή Γ.

Λύση. Βρίσκουμε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Η απαιτούμενη εξίσωση ύψους έχει τη μορφή: Ax + By + C = 0 ή y = kx + b. k = . Τότε y = . Επειδή το ύψος διέρχεται από το σημείο C, τότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση: από όπου b = 17. Σύνολο: .

Απάντηση: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Ιδιότητες ευθείας στην Ευκλείδεια γεωμετρία.

Ένας άπειρος αριθμός ευθειών μπορεί να σχεδιαστεί σε οποιοδήποτε σημείο.

Μέσω οποιωνδήποτε δύο σημείων που δεν συμπίπτουν μπορεί να σχεδιαστεί μια ευθεία γραμμή.

Δύο αποκλίνουσες ευθείες σε ένα επίπεδο είτε τέμνονται σε ένα μόνο σημείο είτε είναι

παράλληλη (ακολουθεί από την προηγούμενη).

Στον τρισδιάστατο χώρο, υπάρχουν τρεις επιλογές για τη σχετική θέση δύο γραμμών:

• γραμμές τέμνονται?

• Οι γραμμές είναι παράλληλες.

• οι ευθείες τέμνονται.

Ευθεία γραμμή— αλγεβρική καμπύλη πρώτης τάξης: ευθεία γραμμή στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων

δίνεται στο επίπεδο από εξίσωση πρώτου βαθμού (γραμμική εξίσωση).

Γενική εξίσωση ευθείας.

Ορισμός. Οποιαδήποτε ευθεία γραμμή στο επίπεδο μπορεί να προσδιοριστεί με μια εξίσωση πρώτης τάξης

Ax + Wu + C = 0,

και σταθερό Α, Βδεν είναι ίσα με μηδέν ταυτόχρονα. Αυτή η εξίσωση πρώτης τάξης ονομάζεται γενικός

εξίσωση ευθείας γραμμής.Ανάλογα με τις τιμές των σταθερών Α, ΒΚαι ΜΕΕίναι δυνατές οι ακόλουθες ειδικές περιπτώσεις:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- μια ευθεία διέρχεται από την αρχή

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Ω

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- ευθεία παράλληλη προς τον άξονα OU

. B = C = 0, A ≠0- η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα OU

. A = C = 0, B ≠0- η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα Ω

Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μπορεί να παρουσιαστεί με διαφορετικές μορφές ανάλογα με κάθε δεδομένο

αρχικές συνθήκες.

Εξίσωση ευθείας από σημείο και κανονικό διάνυσμα.

Ορισμός. Σε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ένα διάνυσμα με συνιστώσες (Α, Β)

κάθετη στην ευθεία που δίνεται από την εξίσωση

Ax + Wu + C = 0.

Παράδειγμα. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο A(1, 2)κάθετο στο διάνυσμα (3, -1).

Λύση. Με A = 3 και B = -1, ας συνθέσουμε την εξίσωση της ευθείας: 3x - y + C = 0. Για να βρούμε τον συντελεστή C

Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του δεδομένου σημείου Α στην παράσταση που προκύπτει Παίρνουμε: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Σύνολο: η απαιτούμενη εξίσωση: 3x - y - 1 = 0.

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία.

Αφήστε δύο σημεία να δίνονται στο διάστημα M 1 (x 1 , y 1 , z 1)Και M2 (x 2, y 2, z 2),Επειτα εξίσωση μιας γραμμής,

περνώντας από αυτά τα σημεία:

Εάν κάποιος από τους παρονομαστές είναι μηδέν, ο αντίστοιχος αριθμητής πρέπει να ισούται με μηδέν. Επί

επίπεδο, η εξίσωση της ευθείας που γράφτηκε παραπάνω απλοποιείται:

Αν x 1 ≠ x 2Και x = x 1, Αν x 1 = x 2 .

Κλάσμα = κπου ονομάζεται κλίση ευθεία.

Παράδειγμα. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(1, 2) και Β(3, 4).

Λύση. Εφαρμόζοντας τον τύπο που γράφτηκε παραπάνω, παίρνουμε:

Εξίσωση ευθείας με χρήση σημείου και κλίσης.

Αν η γενική εξίσωση της ευθείας Ax + Wu + C = 0οδηγεί σε:

και ορίζουν , τότε καλείται η εξίσωση που προκύπτει

εξίσωση ευθείας με κλίση k.

Εξίσωση ευθείας από σημείο και διάνυσμα κατεύθυνσης.

Κατ' αναλογία με το σημείο που εξετάζει την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μέσω του κανονικού διανύσματος, μπορείτε να εισαγάγετε την εργασία

μια ευθεία γραμμή μέσα από ένα σημείο και ένα κατευθυντικό διάνυσμα μιας ευθείας γραμμής.

Ορισμός. Κάθε μη μηδενικό διάνυσμα (α 1 , α 2), τα συστατικά του οποίου ικανοποιούν την προϋπόθεση

Αα 1 + Βα 2 = 0που ονομάζεται κατευθυντικό διάνυσμα μιας ευθείας γραμμής.

Ax + Wu + C = 0.

Παράδειγμα. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας με διάνυσμα κατεύθυνσης (1, -1) και που διέρχεται από το σημείο Α(1, 2).

Λύση. Θα αναζητήσουμε την εξίσωση της επιθυμητής γραμμής με τη μορφή: Ax + By + C = 0.Σύμφωνα με τον ορισμό,

Οι συντελεστές πρέπει να πληρούν τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

1 * A + (-1) * B = 0, δηλ. Α = Β.

Τότε η εξίσωση της ευθείας έχει τη μορφή: Ax + Ay + C = 0,ή x + y + C / A = 0.

στο x = 1, y = 2παίρνουμε C/A = -3, δηλ. απαιτούμενη εξίσωση:

x + y - 3 = 0

Εξίσωση ευθείας σε τμήματα.

Αν στη γενική εξίσωση της ευθείας Αх + Ву + С = 0 С≠0, τότε, διαιρώντας με -С, παίρνουμε:

ή πού

Η γεωμετρική σημασία των συντελεστών είναι ότι ο συντελεστής a είναι η συντεταγμένη του σημείου τομής

ευθεία με άξονα Ω,ΕΝΑ σι- συντεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα OU.

Παράδειγμα. Δίνεται η γενική εξίσωση μιας ευθείας x - y + 1 = 0.Βρείτε την εξίσωση αυτής της ευθείας σε τμήματα.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Κανονική εξίσωση μιας γραμμής.

Αν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης Ax + Wu + C = 0διαιρέστε με αριθμό η οποία ονομάζεται

παράγοντα ομαλοποίησης, τότε παίρνουμε

xcosφ + ysinφ - p = 0 -κανονική εξίσωση μιας γραμμής.

Το πρόσημο ± του κανονικοποιητικού παράγοντα πρέπει να επιλέγεται έτσι ώστε μ*C< 0.

R- το μήκος της καθέτου που έπεσε από την αρχή στην ευθεία,

ΕΝΑ φ - τη γωνία που σχηματίζει αυτή η κάθετη με τη θετική φορά του άξονα Ω.

Παράδειγμα. Δίνεται η γενική εξίσωση της ευθείας 12x - 5y - 65 = 0. Απαιτείται για τη σύνταξη διαφορετικών τύπων εξισώσεων

αυτή η ευθεία γραμμή.

Η εξίσωση αυτής της ευθείας σε τμήματα:

Η εξίσωση αυτής της ευθείας με την κλίση: (διαιρέστε με 5)

Εξίσωση μιας ευθείας:

cos φ = 12/13; αμαρτία φ= -5/13; p = 5.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι δεν μπορεί να αναπαρασταθεί κάθε ευθεία με μια εξίσωση σε τμήματα, για παράδειγμα, ευθείες,

παράλληλα με τους άξονες ή περνώντας από την αρχή.

Η γωνία μεταξύ ευθειών σε ένα επίπεδο.

Ορισμός. Αν δίνονται δύο γραμμές y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, τότε η οξεία γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών

θα οριστεί ως

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν k 1 = k 2. Δύο ευθείες είναι κάθετες

Αν k 1 = -1 / k 2 .

Θεώρημα.

Απευθείας Ax + Wu + C = 0Και A 1 x + B 1 y + C 1 = 0παράλληλη όταν οι συντελεστές είναι ανάλογοι

A 1 = λA, B 1 = λB. Αν επίσης С 1 = λС, τότε οι γραμμές συμπίπτουν. Συντεταγμένες του σημείου τομής δύο ευθειών

βρίσκονται ως λύση στο σύστημα εξισώσεων αυτών των γραμμών.

Η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία.

Ορισμός. Γραμμή που διέρχεται από ένα σημείο M 1 (x 1, y 1)και κάθετα στη γραμμή y = kx + b

παριστάνεται από την εξίσωση:

Απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή.

Θεώρημα. Αν δοθεί ένας βαθμός M(x 0, y 0),τότε η απόσταση από την ευθεία Ax + Wu + C = 0οριζεται ως:

Απόδειξη. Αφήστε το θέμα M 1 (x 1, y 1)- η βάση μιας καθέτου έπεσε από ένα σημείο Μγια ένα δεδομένο

απευθείας. Στη συνέχεια η απόσταση μεταξύ των σημείων ΜΚαι Μ 1:

(1)

Συντεταγμένες x 1Και στο 1μπορεί να βρεθεί ως λύση στο σύστημα εξισώσεων:

Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο M 0 κάθετα

δεδομένη ευθεία γραμμή. Αν μετατρέψουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος στη μορφή:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

τότε, λύνοντας, παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην εξίσωση (1), βρίσκουμε:

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.