Σουβόροφ Μιχαήλ, μαθητής της 10ης τάξης

Η εργασία αυτή είναι αφιερωμένη στην περιγραφή των απόψεων του αρχαίου Έλληνα φιλοσόφου Πλάτωνα για τη δομή του Σύμπαντος, μέσω της χρήσης κανονικά πολύγωνα, όπως το τετράεδρο, το οκτάεδρο, το εξάεδρο (κύβος), το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο. Στα σύγχρονα μαθηματικά, αυτά τα στερεά ονομάζονται πλατωνικά στερεά.

Το έργο αντικατοπτρίζει επίσης το ερώτημα πώς χρησιμοποιούνται τα πλατωνικά στερεά στις σύγχρονες θεωρίες της φυσικής επιστήμης.

Κατεβάστε:

Προεπισκόπηση:

Για να χρησιμοποιήσετε την προεπισκόπηση των παρουσιάσεων, δημιουργήστε έναν λογαριασμό Google (λογαριασμό) και συνδεθείτε: https://accounts.google.com

Λεζάντες διαφανειών:

Ερευνητική εργασία για τη γεωμετρία. Θέμα: "Πλατωνικά στερεά" Ετοίμασε μια παρουσίαση: Σουβοροβίτης Σουβόροφ Μιχαήλ Δάσκαλος μαθηματικών Χάρκοβα Μαρίνα Βαλερίεβνα

Πλάτων (427-347 π.Χ.) - ο μεγάλος αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος, μαθητής του Σωκράτη, ιδρυτής της Ακαδημίας. Η κύρια αξία του Πλάτωνα στην ιστορία των μαθηματικών είναι ότι αναγνώρισε ότι η γνώση των μαθηματικών είναι απαραίτητη για όλους. μορφωμένο άτομο. Η συμβολή του Πλάτωνα στα μαθηματικά είναι ασήμαντη. Ωστόσο, οι ιδέες του για τη δομή και τις μεθόδους των μαθηματικών είναι εξαιρετικά πολύτιμες. Εισήγαγε την παράδοση να δίνεις άψογους ορισμούς και να προσδιορίζει ποιες προτάσεις σε μαθηματικούς λόγους μπορούν να γίνουν δεκτές χωρίς απόδειξη. Ο Πλάτωνας ήταν ο πρώτος που τεκμηρίωσε τη μέθοδο της απόδειξης με αντίφαση, η οποία χρησιμοποιείται πλέον ευρέως στη γεωμετρία. Στη Σχολή του Πλάτωνα Ιδιαίτερη προσοχήαφιερωμένο στην επίλυση κτιριακών προβλημάτων. Χάρη σε αυτό, διαμορφώθηκε σε αυτό η έννοια του τόπου των σημείων και αναπτύχθηκε μια μεθοδολογία για την επίλυση προβλημάτων κατασκευής. Τα κυρτά κανονικά πολύεδρα - τετράεδρο, οκτάεδρο, εξάεδρο (κύβος), δωδεκάεδρο και εικοσάεδρο - ονομάζονται συνήθως πλατωνικά στερεά.

Ορισμός: ΤΑ ΣΩΜΑΤΑ ΠΛΑΤΩΝΑ - από τα ελληνικά. Πλάτων 427-347 ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ. - ένα σύνολο από όλα τα κανονικά πολύεδρα [δηλαδή ογκομετρικά σώματα που οριοθετούνται από ίσα κανονικά πολύγωνα] του τρισδιάστατου Κόσμου, που περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον Πλάτωνα.

Κανονικό πολύγωνο ονομάζεται: ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από ευθείες γραμμές με ίσες πλευρές και ίσες εσωτερικές γωνίες. Ένα ανάλογο ενός κανονικού πολυγώνου σε τρισδιάστατο χώρο είναι ένα κανονικό πολύεδρο: μια χωρική φιγούρα με πανομοιότυπες όψεις με τη μορφή κανονικών πολυγώνων και πανομοιότυπες πολυεδρικές γωνίες στις κορυφές. Υπάρχουν μόνο πέντε κανονικά κυρτά πολύεδρα: το κανονικό τετράεδρο, ο κύβος, το οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο.

Η ιστορία της δημιουργίας των πλατωνικών στερεών. Τέσσερα πολύεδρα προσωποποιούσαν σε αυτό τέσσερις ουσίες ή «στοιχεία». Το τετράεδρο συμβόλιζε τη Φωτιά, αφού η κορυφή του είναι στραμμένη προς τα πάνω. Εικοσάεδρο - Νερό, καθώς είναι το πιο "εξορθολογισμένο" πολύεδρο. Κύβος - η Γη, ως το πιο "σταθερό" πολύεδρο. Οκτάεδρο – Αέρας, ως το πιο «αέρινο» πολύεδρο. Το πέμπτο πολύεδρο, το Δωδεκάεδρο, ενσάρκωσε «όλα όσα υπάρχουν»

Τετράεδρο Οι αρχαίοι Έλληνες ονόμασαν το πολύεδρο από τον αριθμό των όψεων. "Tetra" σημαίνει τέσσερα, "khedra" - σημαίνει πρόσωπο (τετράεδρο - τετράεδρο).Το πολύεδρο αναφέρεται σε κανονικά πολύεδρα και είναι ένα από τα πέντε πλατωνικά στερεά. Το τετράεδρο έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Τύπος προσώπου - κανονικό τρίγωνο. Ο αριθμός των πλευρών στην άκρη είναι 3. Ο συνολικός αριθμός προσώπων είναι 4. Ο αριθμός των ακμών δίπλα στην κορυφή είναι 3. Ο συνολικός αριθμός κορυφών είναι 4. Ο συνολικός αριθμός των άκρων είναι 6. Ένα κανονικό τετράεδρο αποτελείται από τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα. Κάθε κορυφή του είναι μια κορυφή τριών τριγώνων. Επομένως, το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε κάθε κορυφή είναι 180°. Το τετράεδρο δεν έχει κέντρο συμμετρίας, αλλά έχει 3 άξονες συμμετρίας και 6 επίπεδα συμμετρίας.

Εξάεδρο (πιο κοινό όνομα - κύβος) Οι αρχαίοι Έλληνες έδωσαν στο πολύεδρο όνομα για τον αριθμό των όψεων. "Έξο" σημαίνει έξι, "χέδρα" - σημαίνει πρόσωπο (Εξάεδρο - εξάεδρο) Το πολύεδρο ανήκει στα κανονικά πολύεδρα και είναι ένα από τα πέντε πλατωνικά στερεά. Το εξάεδρο έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Ο αριθμός των πλευρών στην όψη είναι 4. Ο συνολικός αριθμός προσώπων είναι 6. Ο αριθμός των ακμών δίπλα στην κορυφή είναι 3. Ο συνολικός αριθμός κορυφών είναι 8. Ο συνολικός αριθμός των άκρων είναι 12. Το εξάεδρο αποτελείται από έξι τετράγωνα. Κάθε κορυφή του κύβου είναι η κορυφή τριών τετραγώνων. Επομένως, το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε κάθε κορυφή είναι 270°. Το εξάεδρο δεν έχει κέντρο συμμετρίας, αλλά έχει 3 άξονες συμμετρίας και 6 επίπεδα συμμετρίας.

Εικοσάεδρο Οι αρχαίοι Έλληνες ονόμασαν το πολύεδρο από τον αριθμό των όψεων. "Ikosi" σημαίνει είκοσι, "khedra" - σημαίνει πρόσωπο (Icosahedron - είκοσι όψεων). Το πολύεδρο ανήκει στα κανονικά πολύεδρα και είναι ένα από τα πέντε πλατωνικά στερεά. Το εικοσάεδρο έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Τύπος προσώπου - κανονικό τρίγωνο. Ο αριθμός των πλευρών στην άκρη είναι 3. Ο συνολικός αριθμός προσώπων είναι 20. Ο αριθμός των ακμών δίπλα στην κορυφή είναι 5. Ο συνολικός αριθμός κορυφών είναι 12. Ο συνολικός αριθμός των άκρων είναι 30. Ένα κανονικό εικοσάεδρο αποτελείται από είκοσι ισόπλευρα τρίγωνα. Κάθε κορυφή του εικοσάεδρου είναι μια κορυφή πέντε τριγώνων. Επομένως, το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε κάθε κορυφή είναι 270°. Το εικοσάεδρο έχει κέντρο συμμετρίας - το κέντρο του εικοσάεδρου, 15 άξονες συμμετρίας και 15 επίπεδα συμμετρίας.

Οκτάεδρο Οι αρχαίοι Έλληνες ονόμασαν το πολύεδρο από τον αριθμό των όψεων. «Οκτώ» σημαίνει οκτώ, «χέδρα» σημαίνει πρόσωπο (οκτάεδρο - οκτάεδρο) Το πολύεδρο είναι ένα κανονικό πολύεδρο και είναι ένα από τα πέντε πλατωνικά στερεά. Το οκτάεδρο έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Τύπος προσώπου - κανονικό τρίγωνο. Ο αριθμός των πλευρών στην άκρη είναι 3. Ο συνολικός αριθμός προσώπων είναι 8. Ο αριθμός των ακμών δίπλα στην κορυφή είναι 4. Ο συνολικός αριθμός των κορυφών είναι 6. Ο συνολικός αριθμός των άκρων είναι 12. Ένα κανονικό οκτάεδρο αποτελείται από οκτώ ισόπλευρα τρίγωνα. Κάθε κορυφή του οκταέδρου είναι μια κορυφή τεσσάρων τριγώνων. Επομένως, το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε κάθε κορυφή είναι 240°. Το οκτάεδρο έχει κέντρο συμμετρίας - το κέντρο του οκτάεδρου, 9 άξονες συμμετρίας και 9 επίπεδα συμμετρίας.

Δωδεκάεδρο Οι αρχαίοι Έλληνες ονόμασαν το πολύεδρο από τον αριθμό των όψεων. «Δώδεκα» σημαίνει δώδεκα, «χέδρα» σημαίνει πρόσωπο (δωδεκάεδρο – δωδεκάεδρο). Το πολύεδρο ανήκει στα κανονικά πολύεδρα και είναι ένα από τα πέντε πλατωνικά στερεά. Το δωδεκάεδρο έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Ο τύπος προσώπου είναι κανονικό πεντάγωνο. Ο αριθμός των πλευρών στην άκρη είναι 5. Ο συνολικός αριθμός προσώπων είναι 12. Ο αριθμός των ακμών δίπλα στην κορυφή είναι 3. Ο συνολικός αριθμός κορυφών είναι 20. Ο συνολικός αριθμός των άκρων είναι 30. Ένα κανονικό δωδεκάεδρο αποτελείται από δώδεκα κανονικά πεντάγωνα. Κάθε κορυφή του δωδεκάεδρου είναι μια κορυφή τριών κανονικών πενταγώνων. Επομένως, το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε κάθε κορυφή είναι 324°. Το δωδεκάεδρο έχει ένα κέντρο συμμετρίας - το κέντρο του δωδεκάεδρου, 15 άξονες συμμετρίας και 15 επίπεδα συμμετρίας.

Η χρήση των πλατωνικών στερεών στην επιστήμη Ο Johannes Kepler (1571-1630) ήταν Γερμανός αστρονόμος. Ανακάλυψε τους νόμους της κίνησης των πλανητών. Το 1596, ο Κέπλερ πρότεινε έναν κανόνα σύμφωνα με τον οποίο ένα δωδεκάεδρο περιγράφεται γύρω από τη σφαίρα της Γης και ένα εικοσάεδρο εγγράφεται σε αυτό. Η απόσταση μεταξύ των τροχιών των πλανητών μπορεί να ληφθεί με βάση τα πλατωνικά στερεά που είναι φωλιασμένα μεταξύ τους. Οι αποστάσεις που υπολογίστηκαν χρησιμοποιώντας αυτό το μοντέλο ήταν αρκετά κοντά στις αληθινές.

Οι V. Makarov και V. Morozov πιστεύουν ότι ο πυρήνας της Γης έχει τη μορφή και τις ιδιότητες ενός αναπτυσσόμενου κρυστάλλου που αναπτύσσει όλες τις φυσικές αλληλεπιδράσεις και διαδικασίες που λαμβάνουν χώρα στον πλανήτη. Το πεδίο δύναμης αυτού του αναπτυσσόμενου κρυστάλλου προκαλεί το εικοσάεδρο - δωδεκαεδρική δομήΓη (IDSZ). Αυτά τα πολύεδρα είναι εγγεγραμμένα το ένα στο άλλο. Όλες οι φυσικές ανωμαλίες, καθώς και τα κέντρα ανάπτυξης των πολιτισμών, αντιστοιχούν στις κορυφές και τις άκρες αυτών των μορφών.

Παραδείγματα: Μερικά από τα κανονικά πολύεδρα εμφανίζονται φυσικά ως κρυσταλλικοί ιοί. Ο ιός της πολιομυελίτιδας έχει σχήμα δωδεκάεδρου. Μπορεί να ζήσει και να πολλαπλασιαστεί μόνο σε κύτταρα ανθρώπου ή πρωτευόντων. Σε μικροσκοπικό επίπεδο, το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο είναι οι σχετικές παράμετροι του DNA, πάνω στις οποίες χτίζεται όλη η ζωή. Μπορείτε να δείτε ότι το μόριο του DNA είναι ένας περιστρεφόμενος κύβος.

Εφαρμογές στην κρυσταλλογραφία Τα πλατωνικά στερεά χρησιμοποιούνται ευρέως στην κρυσταλλογραφία, καθώς πολλοί κρύσταλλοι είναι κανονικά πολύεδρα. Για παράδειγμα, ένας κύβος είναι ένας μονοκρύσταλλος του κοινού άλατος (NaCl), ένα οκτάεδρο είναι ένας μόνο κρύσταλλος στυπτηρίας καλίου, μια από τις μορφές των κρυστάλλων διαμαντιών είναι ένα οκτάεδρο.

http:// www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320031.htm http:// www.mnogogranniki.ru/stati/129-svojstva-platonovyh-tel.html stepanov.lk.net http:/ /www.goldenmuseum.com/0213Solids_rus.html

Stakhov A.P.

«Ο κώδικας Ντα Βίντσι», πλατωνικά και αρχιμήδεια στερεά, οιονεί κρύσταλλοι, φουλερένια, πλέγματα Penrose και ο καλλιτεχνικός κόσμος της Matyushka Teija Kraszek

σχόλιο

Το έργο του Σλοβένου καλλιτέχνη Matyushka Teija Krashek είναι ελάχιστα γνωστό στον ρωσόφωνο αναγνώστη. Ταυτόχρονα, στη Δύση αποκαλείται το «Escher της Ανατολικής Ευρώπης» και το «Σλοβενικό δώρο» στην παγκόσμια πολιτιστική κοινότητα. Οι καλλιτεχνικές της συνθέσεις είναι εμπνευσμένες από τις τελευταίες επιστημονικές ανακαλύψεις (fullerenes, Dan Shechtman quasicrystals, Penrose tiles), οι οποίες με τη σειρά τους βασίζονται σε κανονικά και ημικανονικά πολύγωνα (Στερεά Πλάτωνος και Αρχιμήδης), τη Χρυσή Τομή και τους αριθμούς Fibonacci.

Τι είναι ο Κώδικας Ντα Βίντσι;

Σίγουρα κάθε άτομο έχει σκεφτεί περισσότερες από μία φορές το ερώτημα γιατί η Φύση είναι σε θέση να δημιουργήσει τέτοιες εκπληκτικές αρμονικές δομές που απολαμβάνουν και ευχαριστούν το μάτι. Γιατί καλλιτέχνες, ποιητές, συνθέτες, αρχιτέκτονες δημιουργούν εκπληκτικά έργα τέχνης από αιώνα σε αιώνα. Ποιο είναι το μυστικό της Αρμονίας τους και ποιοι νόμοι διέπουν αυτά τα αρμονικά πλάσματα;

Η αναζήτηση αυτών των νόμων, των «Νόμων της Αρμονίας του Σύμπαντος», ξεκίνησε στην αρχαία επιστήμη. Ήταν κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου ανθρώπινη ιστορίαΟι επιστήμονες καταλήγουν σε μια σειρά από εκπληκτικές ανακαλύψεις που διαπερνούν ολόκληρη την ιστορία της επιστήμης. Το πρώτο από αυτά θεωρείται ότι είναι μια υπέροχη μαθηματική αναλογία που εκφράζει την Αρμονία. Λέγεται διαφορετικά: "χρυσή αναλογία", "χρυσός αριθμός", "χρυσός μέσος όρος", "χρυσή αναλογία"και ακόμα «θεϊκή αναλογία». Χρυσή Τομήεπίσης λέγεται Αριθμός PHIπρος τιμήν του μεγάλου αρχαίου Έλληνα γλύπτη Φειδία (Φειδίου), που χρησιμοποίησε αυτόν τον αριθμό στα γλυπτά του.

Το θρίλερ Ο Κώδικας Ντα Βίντσι, γραμμένο από τον δημοφιλή Άγγλο συγγραφέα Νταν Μπράουν, έγινε μπεστ σέλερ του 21ου αιώνα. Τι σημαίνει όμως ο Κώδικας Ντα Βίντσι; Υπάρχουν διάφορες απαντήσεις σε αυτό το ερώτημα. Είναι γνωστό ότι το θέμα ήταν η περίφημη «Χρυσή Τομή». μεγάλη προσοχήκαι τα χόμπι του Λεονάρντο ντα Βίντσι. Επιπλέον, το ίδιο το όνομα «Χρυσή Τομή» εισήχθη στην ευρωπαϊκή κουλτούρα από τον Λεονάρντο ντα Βίντσι. Με πρωτοβουλία του Λεονάρντο, ο διάσημος Ιταλός μαθηματικός και λόγιος μοναχός Λούκα Πατσιόλι, φίλος και επιστημονικός σύμβουλος του Λεονάρντο ντα Βίντσι, δημοσίευσε το βιβλίο «Divina Proportione», το πρώτο μαθηματικό έργο στην παγκόσμια λογοτεχνία για τη Χρυσή Τομή, το οποίο ο συγγραφέας ονόμασε « Θεία Αναλογία". Είναι επίσης γνωστό ότι ο ίδιος ο Λεονάρντο εικονογράφησε αυτό το διάσημο βιβλίο, σχεδιάζοντας για αυτό 60 υπέροχα σχέδια. Αυτά τα γεγονότα, τα οποία δεν είναι πολύ καλά γνωστά στη γενική επιστημονική κοινότητα, είναι που δίνουν το δικαίωμα να διατυπωθεί η υπόθεση ότι ο Κώδικας Ντα Βίντσι δεν είναι παρά η Χρυσή Τομή. Και επιβεβαίωση αυτής της υπόθεσης βρίσκεται σε μια διάλεξη για φοιτητές στο Πανεπιστήμιο του Χάρβαρντ, την οποία υπενθυμίζει ο πρωταγωνιστής του βιβλίου «Ο κώδικας Ντα Βίντσι» καθ. Λάνγκντον:

«Παρά τη σχεδόν μυστικιστική προέλευσή του, ο αριθμός PHI έχει παίξει μοναδικό ρόλο με τον δικό του τρόπο. Ο ρόλος του τούβλου στη βάση της οικοδόμησης όλης της ζωής στη γη. Όλα τα φυτά, τα ζώα ακόμα και οι άνθρωποι είναι προικισμένα με φυσικές αναλογίες, περίπου ίσο με τη ρίζααπό την αναλογία του αριθμού των PHI προς 1. Αυτή η πανταχού παρουσία του PHI στη φύση ... δείχνει τη σύνδεση όλων των ζωντανών όντων. Παλαιότερα πίστευαν ότι ο αριθμός PHI ήταν προκαθορισμένος από τον Δημιουργό του σύμπαντος. Οι επιστήμονες της αρχαιότητας ονόμασαν ένα σημείο εξακόσια δεκαοκτώ χιλιοστά «θεϊκή αναλογία».

Έτσι, ο περίφημος παράλογος αριθμός PHI = 1.618, που ο Λεονάρντο ντα Βίντσι ονόμασε Χρυσό Μέσο, είναι ο Κώδικας Ντα Βίντσι!

Μια άλλη μαθηματική ανακάλυψη της αρχαίας επιστήμης είναι κανονικά πολύεδρα, που ονομάστηκαν "Πλατωνικά Στερεά"Και "ημικανονικά πολύεδρα", με όνομα «Αρχιμήδεια στερεά».Είναι αυτά τα εκπληκτικά όμορφα χωρικά γεωμετρικά σχήματα που αποτελούν τη βάση δύο από τις μεγαλύτερες επιστημονικές ανακαλύψεις του 20ου αιώνα - οιονεί κρύσταλλοι(συγγραφέας της ανακάλυψης είναι ο Ισραηλινός φυσικός Dan Shechtman) και φουλερένια(Βραβείο Νόμπελ 1996). Αυτές οι δύο ανακαλύψεις είναι η πιο σημαντική επιβεβαίωση του γεγονότος ότι είναι η Χρυσή Αναλογία που είναι ο Παγκόσμιος Κώδικας της Φύσης («Ο Κώδικας Ντα Βίντσι»), που βρίσκεται κάτω από το Σύμπαν.

Η ανακάλυψη οιονεί κρυστάλλων και φουλερενίων έχει εμπνεύσει πολλούς σύγχρονους καλλιτέχνες να δημιουργήσουν έργα που αντανακλούν μορφή τέχνηςοι σημαντικότερες φυσικές ανακαλύψεις του 20ού αιώνα. Ένας από αυτούς τους καλλιτέχνες είναι ο Σλοβένος καλλιτέχνης Μητέρα Theia Kraszek.Αυτό το άρθρο παρουσιάζει τον καλλιτεχνικό κόσμο της Matyushka Teija Krashek μέσα από το πρίσμα των τελευταίων επιστημονικών ανακαλύψεων.

Πλατωνικά Στερεά

Ένα άτομο δείχνει ενδιαφέρον για τα κανονικά πολύγωνα και τα πολύεδρα σε όλη τη συνειδητή του δραστηριότητα - από ένα δίχρονο παιδί που παίζει με ξύλινους κύβους μέχρι έναν ώριμο μαθηματικό. Μερικά από τα σωστά και ημι σωστά σώματαεμφανίζονται φυσικά ως κρύσταλλοι, άλλοι ως ιοί που μπορούν να φανούν με ηλεκτρονικό μικροσκόπιο.

Τι είναι ένα κανονικό πολύεδρο; Ένα πολύεδρο ονομάζεται κανονικό αν όλες οι όψεις του είναι ίσες (ή ίσες) μεταξύ τους και ταυτόχρονα είναι κανονικά πολύγωνα. Πόσα κανονικά πολύεδρα υπάρχουν; Με την πρώτη ματιά, η απάντηση σε αυτό το ερώτημα είναι πολύ απλή - όσα και κανονικά πολύγωνα. Ωστόσο, δεν είναι. Στα Στοιχεία του Ευκλείδη βρίσκουμε μια αυστηρή απόδειξη ότι υπάρχουν μόνο πέντε κυρτά κανονικά πολύεδρα και ότι μόνο τρεις τύποι κανονικών πολυγώνων μπορούν να είναι οι όψεις τους: τρίγωνα, τετράγωναΚαι πεντάγωνα (κανονικά πεντάγωνα).

Πολλά βιβλία έχουν αφιερωθεί στη θεωρία των πολυεδρών. Ένα από τα πιο γνωστά είναι το βιβλίο του Άγγλου μαθηματικού M. Wenniger «Models of polyhedra». Σε ρωσική μετάφραση, αυτό το βιβλίο εκδόθηκε από τον εκδοτικό οίκο Mir το 1974. Η επιγραφή του βιβλίου είναι η δήλωση του Μπέρτραντ Ράσελ: «Τα μαθηματικά δεν διαθέτουν μόνο αλήθεια, αλλά και υψηλή ομορφιά - ομορφιά ακονισμένη και αυστηρή, υπέροχα αγνή και προσπάθεια για γνήσια τελειότητα, η οποία είναι χαρακτηριστικό μόνο των σπουδαιότερων παραδειγμάτων τέχνης».

Το βιβλίο ξεκινά με μια περιγραφή του λεγόμενου κανονικά πολύεδρα, δηλαδή πολύεδρα που σχηματίζονται από τα απλούστερα κανονικά πολύγωνα του ίδιου τύπου. Αυτά τα πολύεδρα ονομάζονται Πλατωνικά στερεά(Εικ. 1) , πήρε το όνομά του από τον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο Πλάτωνα, ο οποίος χρησιμοποιούσε κανονικά πολύεδρα στα δικά του κοσμολογία.

Εικόνα 1.Πλατωνικά στερεά: (α) οκτάεδρο ("Φωτιά"), (β) εξάεδρο ή κύβος ("Γη"),

(γ) οκτάεδρο ("Αέρας"), (δ) εικοσάεδρο ("Νερό"), (ε) δωδεκάεδρο ("Καθολικός Νους")

Θα ξεκινήσουμε την εξέταση μας με κανονικά πολύεδρα, των οποίων τα πρόσωπα είναι ισόπλευρα τρίγωνα.Το πρώτο από αυτά είναι τετράεδρο(Εικ.1-α). Σε ένα τετράεδρο, τρία ισόπλευρα τρίγωνα συναντώνται σε μία κορυφή. ενώ οι βάσεις τους σχηματίζουν νέο ισόπλευρο τρίγωνο. Το τετράεδρο έχει μικρότερος αριθμόςαντιμετωπίζει ανάμεσα στα πλατωνικά στερεά και είναι ένα τρισδιάστατο ανάλογο ενός επιπέδου ορθογώνιο τρίγωνο, που έχει τον μικρότερο αριθμό πλευρών μεταξύ των κανονικών πολυγώνων.

Το επόμενο σώμα, που σχηματίζεται από ισόπλευρα τρίγωνα, ονομάζεται οκτάεδρο(Εικ.1-β). Σε ένα οκτάεδρο, τέσσερα τρίγωνα συναντώνται σε μία κορυφή. το αποτέλεσμα είναι μια πυραμίδα με τετράγωνη βάση. Εάν συνδέσετε δύο τέτοιες πυραμίδες με βάσεις, θα έχετε ένα συμμετρικό σώμα με οκτώ τριγωνικές όψεις - οκτάεδρο.

Τώρα μπορείτε να δοκιμάσετε να συνδέσετε πέντε ισόπλευρα τρίγωνα σε ένα σημείο. Το αποτέλεσμα είναι μια φιγούρα με 20 τριγωνικά πρόσωπα - εικοσάεδρο(Εικ.1-δ).

Επόμενο σωστή φόρμαπολύγωνο - τετράγωνο.Αν συνδέσουμε τρία τετράγωνα σε ένα σημείο και μετά προσθέσουμε άλλα τρία, παίρνουμε ένα τέλειο σχήμα έξι όψεων που ονομάζεται εξάεδροή κύβος(Εικ. 1-γ).

Τέλος, υπάρχει μια άλλη δυνατότητα κατασκευής ενός κανονικού πολυέδρου με βάση τη χρήση του παρακάτω κανονικού πολυγώνου − Πεντάγωνο. Αν συγκεντρώσουμε 12 πεντάγωνα με τέτοιο τρόπο ώστε τρία πεντάγωνα να συναντώνται σε κάθε σημείο, παίρνουμε ένα άλλο πλατωνικό στερεό, που ονομάζεται δωδεκάεδρο(Εικ.1-ε).

Το επόμενο κανονικό πολύγωνο είναι εξάγωνο. Αν όμως συνδέσουμε τρία εξάγωνα σε ένα σημείο, τότε παίρνουμε επιφάνεια, δηλαδή είναι αδύνατο να χτίσουμε από εξάγωνα ογκομετρικό σχήμα. Οποιαδήποτε άλλα κανονικά πολύγωνα πάνω από ένα εξάγωνο δεν μπορούν να σχηματίσουν στερεά καθόλου. Από αυτές τις σκέψεις προκύπτει ότι υπάρχουν μόνο πέντε κανονικά πολύεδρα των οποίων οι όψεις μπορούν να είναι μόνο ισόπλευρα τρίγωνα, τετράγωνα και πεντάγωνα.

Υπάρχουν καταπληκτικά γεωμετρικές συνδέσειςμεταξύ όλων κανονικά πολύεδρα. Για παράδειγμα, κύβος(Εικ.1-β) και οκτάεδρο(Εικ.1-γ) είναι διπλά, δηλ. λαμβάνονται μεταξύ τους αν τα κεντροειδή των όψεων του ενός ληφθούν ως κορυφές του άλλου και αντίστροφα. Ομοίως διπλή εικοσάεδρο(Εικ.1-δ) και δωδεκάεδρο(Εικ.1-δ) . Τετράεδρο(Εικ.1-α) είναι διπλό στον εαυτό του. Το δωδεκάεδρο λαμβάνεται από τον κύβο κατασκευάζοντας «στέγες» στις όψεις του (μέθοδος του Ευκλείδη), οι κορυφές του τετραέδρου είναι οποιεσδήποτε τέσσερις κορυφές του κύβου που δεν γειτνιάζουν κατά ζεύγη κατά μήκος της άκρης, δηλαδή όλα τα άλλα κανονικά πολύεδρα μπορούν να είναι που λαμβάνεται από τον κύβο. Το ίδιο το γεγονός της ύπαρξης μόνο πέντε πραγματικά κανονικών πολύεδρων προκαλεί έκπληξη γιατί υπάρχουν άπειρα κανονικά πολύγωνα στο επίπεδο!

Αριθμητικά χαρακτηριστικά των πλατωνικών στερεών

Τα κύρια αριθμητικά χαρακτηριστικά Πλατωνικά στερεάείναι ο αριθμός των πλευρών του προσώπου Μ,ο αριθμός των όψεων που συγκλίνουν σε κάθε κορυφή, Μ,αριθμός προσώπων σολ, αριθμός κορυφών ΣΕ,αριθμός νευρώσεων Rκαι τον αριθμό των επίπεδων γωνιών Στοστην επιφάνεια ενός πολυέδρου, ο Euler ανακάλυψε και απέδειξε τον περίφημο τύπο

B P + G = 2,

συνδέοντας τον αριθμό των κορυφών, των ακμών και των όψεων οποιουδήποτε κυρτού πολυέδρου. Τα παραπάνω αριθμητικά χαρακτηριστικά δίνονται στον Πίνακα. 1.

Τραπέζι 1

Αριθμητικά χαρακτηριστικά των πλατωνικών στερεών

Πολύεδρο	Ο αριθμός των πλευρών του προσώπου, Μ	Ο αριθμός των όψεων που συγκλίνουν στην κορυφή, n	Αριθμός προσώπων	Αριθμός κορυφών	Αριθμός νευρώσεων	Αριθμός επίπεδων γωνιών σε μια επιφάνεια
Τετράεδρο
Εξάεδρο (κύβος)
εικοσάεδρο
Δωδεκάεδρο

Χρυσή αναλογία σε δωδεκάεδρο και εικοσάεδρο

Το δωδεκάεδρο και το διπλό εικοσάεδρό του (Εικ. 1-δ, ε) καταλαμβάνουν ιδιαίτερο μέροςαναμεταξύ Πλατωνικά στερεά. Πρώτα από όλα πρέπει να τονιστεί ότι η γεωμετρία δωδεκάεδροΚαι εικοσάεδροσχετίζεται άμεσα με τη χρυσή τομή. Πράγματι, οι άκρες δωδεκάεδρο(Εικ.1-ε) είναι πεντάγωνα, δηλ. κανονικά πεντάγωνα με βάση τη χρυσή τομή. Αν κοιτάξετε προσεκτικά εικοσάεδρο(Εικ. 1-δ), τότε μπορείτε να δείτε ότι πέντε τρίγωνα συγκλίνουν σε κάθε κορυφή του, οι εξωτερικές πλευρές του οποίου σχηματίζουν πεντάγωνο. Ήδη αυτά τα στοιχεία είναι αρκετά για να βεβαιωθούμε ότι παίζει η χρυσή τομή ουσιαστικό ρόλοστο σχεδιασμό αυτών των δύο Πλατωνικά στερεά.

Αλλά υπάρχουν βαθύτερες μαθηματικές αποδείξεις για τον θεμελιώδη ρόλο που παίζει η χρυσή τομή εικοσάεδροΚαι δωδεκάεδρο. Είναι γνωστό ότι αυτά τα σώματα έχουν τρεις συγκεκριμένες σφαίρες. Η πρώτη (εσωτερική) σφαίρα είναι εγγεγραμμένη στο σώμα και αγγίζει τα πρόσωπά του. Ας υποδηλώσουμε την ακτίνα αυτής της εσωτερικής σφαίρας ως R i. Η δεύτερη ή η μεσαία σφαίρα αγγίζει τις άκρες της. Ας υποδηλώσουμε την ακτίνα αυτής της σφαίρας ως R m .Τέλος, η τρίτη (εξωτερική) σφαίρα περιβάλλεται γύρω από το σώμα και διέρχεται από τις κορυφές του. Ας υποδηλώσουμε την ακτίνα του με Rc. Στη γεωμετρία, αποδεικνύεται ότι οι τιμές των ακτίνων των υποδεικνυόμενων σφαιρών για δωδεκάεδροΚαι εικοσάεδρο, που έχει ακμή μοναδιαίου μήκους, εκφράζεται με τη χρυσή αναλογία t (Πίνακας 2).

πίνακας 2

Η χρυσή τομή στις σφαίρες του δωδεκάεδρου και του εικοσάεδρου

εικοσάεδρο
Δωδεκάεδρο

Σημειώστε ότι ο λόγος των ακτίνων = είναι ο ίδιος με τον για εικοσάεδρο, και για δωδεκάεδρο. Έτσι, εάν δωδεκάεδροΚαι εικοσάεδροέχουν τις ίδιες εγγεγραμμένες σφαίρες, τότε οι περιγεγραμμένες σφαίρες τους είναι επίσης ίσες μεταξύ τους. Απόδειξη μαθηματικό αποτέλεσμαδωσμένο σε ΑρχέςΕυκλείδης.

Στη γεωμετρία, άλλες σχέσεις είναι επίσης γνωστές δωδεκάεδροΚαι εικοσάεδροεπιβεβαιώνοντας τη σύνδεσή τους με τη χρυσή τομή. Για παράδειγμα, αν πάρουμε εικοσάεδροΚαι δωδεκάεδρομε μήκος άκρου ίσο με ένα, και υπολογίστε το εξωτερικό εμβαδόν και τον όγκο τους, στη συνέχεια εκφράζονται με τη χρυσή τομή (Πίνακας 3).

Πίνακας 3

Χρυσή αναλογία στην εξωτερική περιοχή και όγκος του δωδεκάεδρου και του εικοσάεδρου

	εικοσάεδρο	Δωδεκάεδρο
εξωτερική περιοχή

Έτσι, υπάρχει ένας τεράστιος αριθμός σχέσεων που αποκτήθηκαν από αρχαίους μαθηματικούς, επιβεβαιώνοντας το αξιοσημείωτο γεγονός ότι είναι η χρυσή τομή είναι η κύρια αναλογία του δωδεκάεδρου και του εικοσάεδρου, και το γεγονός αυτό είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρον από την άποψη του λεγόμενου "δωδεκαεδρικό-εικοσαεδρικό δόγμα",που θα εξετάσουμε παρακάτω.

Η κοσμολογία του Πλάτωνα

Τα κανονικά πολύεδρα που εξετάστηκαν παραπάνω ονομάζονται Πλατωνικά στερεά, αφού κατείχαν σημαντική θέση στη φιλοσοφική αντίληψη του Πλάτωνα για τη δομή του σύμπαντος.

Πλάτων (427-347 π.Χ.)

Τέσσερα πολύεδρα προσωποποιούσαν σε αυτό τέσσερις ουσίες ή «στοιχεία». Τετράεδροσυμβολίζεται Φωτιά, αφού η κορυφή του είναι στραμμένη προς τα πάνω. εικοσάεδρο — νερό, μιας και είναι το πιο "εξορθολογισμένο" πολύεδρο? Κύβος — γη, ως το πιο "σταθερό" πολύεδρο? Οκτάεδρο — Αέρας, ως το πιο «αέρινο» πολύεδρο. πέμπτο πολύεδρο, Δωδεκάεδρο, ενσάρκωνε «ό,τι υπάρχει», «Συμπαντικό μυαλό», συμβόλιζε ολόκληρο το σύμπαν και θεωρήθηκε το κύριο γεωμετρικό σχήμα του σύμπαντος.

Οι αρχαίοι Έλληνες θεωρούσαν τις αρμονικές σχέσεις ως τη βάση του σύμπαντος, έτσι τα τέσσερα στοιχεία συνδέονταν με μια τέτοια αναλογία: γη / νερό = αέρας / φωτιά. Τα άτομα των «στοιχείων» κουρδίζονταν από τον Πλάτωνα σε τέλειους συμφώνους, όπως οι τέσσερις χορδές μιας λύρας. Θυμηθείτε ότι η ομοφωνία είναι μια ευχάριστη συμφωνία. Σε σχέση με αυτά τα σώματα, θα ήταν σκόπιμο να πούμε ότι ένα τέτοιο σύστημα στοιχείων, που περιλάμβανε τέσσερα στοιχεία - γη, νερό, αέρα και φωτιά - αγιοποιήθηκε από τον Αριστοτέλη. Αυτά τα στοιχεία παρέμειναν οι τέσσερις ακρογωνιαίοι λίθοι του σύμπαντος για πολλούς αιώνες. Είναι πολύ πιθανό να τα αναγνωρίσουμε με τις τέσσερις γνωστές σε εμάς καταστάσεις της ύλης - στερεό, υγρό, αέριο και πλάσμα.

Έτσι, οι αρχαίοι Έλληνες συνέδεσαν την ιδέα της «διαμέσου» της αρμονίας της ύπαρξης με την ενσάρκωσή της στα πλατωνικά στερεά. Επηρέασε και την επιρροή του διάσημου Έλληνα στοχαστή Πλάτωνα ΑρχέςΕυκλείδης. Σε αυτό το βιβλίο, που για αιώνες ήταν το μοναδικό εγχειρίδιο γεωμετρίας, δίνεται μια περιγραφή «ιδανικών» γραμμών και «ιδανικών» μορφών. Η πιο "ιδανική" γραμμή - ευθεία, και το πιο "ιδανικό" πολύγωνο - κανονικό πολύγωνο,έχοντας ίσες πλευρέςκαι ίσες γωνίες. Μπορεί να θεωρηθεί το απλούστερο κανονικό πολύγωνο ισόπλευρο τρίγωνο,αφού έχει τον μικρότερο αριθμό πλευρών που μπορούν να οριοθετήσουν ένα μέρος του επιπέδου. Είναι ενδιαφέρον ότι ΑρχέςΟ Ευκλείδης ξεκινά με μια περιγραφή της κατασκευής ορθογώνιο τρίγωνοκαι τελειώνουμε με πέντε Πλατωνικά στερεά.σημειώσε ότι Πλατωνικά στερεάαφιερωμένο στον τελικό, δηλαδή στο 13ο βιβλίο ΞεκίνησεΕυκλείδης. Παρεμπιπτόντως, αυτό το γεγονός, δηλαδή η τοποθέτηση της θεωρίας των κανονικών πολυεδρών στο τελικό (δηλαδή, το πιο σημαντικό) βιβλίο ΞεκίνησεΟ Ευκλείδης, έδωσε αφορμή στον αρχαίο Έλληνα μαθηματικό Πρόκλο, ο οποίος ήταν σχολιαστής του Ευκλείδη, να διατυπώσει μια ενδιαφέρουσα υπόθεση σχετικά με τους αληθινούς στόχους που επιδιώκει ο Ευκλείδης, δημιουργώντας τον Αρχές. Σύμφωνα με τον Πρόκλο, ο Ευκλείδης δημιούργησε Αρχέςόχι με σκοπό την παρουσίαση της γεωμετρίας ως τέτοια, αλλά για να δώσει μια πλήρη συστηματοποιημένη θεωρία για την κατασκευή «ιδανικών» σχημάτων, ιδίως πέντε Πλατωνικά στερεά, στην πορεία τονίζοντας μερικά από τα τελευταία επιτεύγματα στα μαθηματικά!

Δεν είναι τυχαίο ότι ένας από τους συγγραφείς της ανακάλυψης των φουλερενίων, ο νομπελίστας Harold Kroto, στη διάλεξή του για το Νόμπελ, ξεκινά την ιστορία του για τη συμμετρία ως «τη βάση της αντίληψής μας για τον φυσικό κόσμο» και τον «ρόλο της στις προσπάθειες να εξηγήσουμε το περιεκτικά» ακριβώς με Πλατωνικά στερεάκαι «τα στοιχεία όλων των πραγμάτων»: «Η έννοια της δομικής συμμετρίας πηγαίνει πίσω στην αρχαιότητα...» Οι περισσότεροι αξιοσημείωτα παραδείγματαμπορεί, βέβαια, να βρεθεί στον Τίμαιο διάλογο του Πλάτωνα, όπου στην ενότητα 53, αναφερόμενος στα «Στοιχεία», γράφει: «Πρώτον, είναι σαφές σε όλους (!), Φυσικά, ότι φωτιά και γη, νερό. και ο αέρας είναι σώματα, και κάθε σώμα είναι στερεό»(!!) Ο Πλάτωνας συζητά τα προβλήματα της χημείας στη γλώσσα αυτών των τεσσάρων στοιχείων και τα συνδέει με τα τέσσερα πλατωνικά στερεά (εκείνη την εποχή μόνο τέσσερα, μέχρι που ο Ίππαρχος ανακάλυψε το πέμπτο - το δωδεκάεδρο). Αν και με την πρώτη ματιά μια τέτοια φιλοσοφία μπορεί να φαίνεται κάπως αφελής, δείχνει μια βαθιά κατανόηση του πώς λειτουργεί στην πραγματικότητα η Φύση.

Αρχιμήδεια στερεά

Ημικανονικά πολύεδρα

Πολλά περισσότερα τέλεια σώματα είναι γνωστά, που ονομάζονται ημικανονικά πολύεδραή Αρχιμήδεια σώματα.Έχουν επίσης όλες τις πολυεδρικές γωνίες ίσες και όλες οι όψεις είναι κανονικά πολύγωνα, αλλά πολλά ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ. Υπάρχουν 13 ημικανονικά πολύεδρα των οποίων η ανακάλυψη αποδίδεται στον Αρχιμήδη.

Αρχιμήδης (287 π.Χ. - 212 π.Χ.)

Ενα μάτσο Αρχιμήδεια στερεάμπορεί να χωριστεί σε πολλές ομάδες. Το πρώτο από αυτά αποτελείται από πέντε πολύεδρα, τα οποία προέρχονται από Πλατωνικά στερεάως αποτέλεσμα τους περικοπή.Ένα κολοβωμένο σώμα είναι ένα σώμα με κομμένη κορυφή. Για Πλατωνικά στερεάΗ περικοπή μπορεί να γίνει με τέτοιο τρόπο ώστε τόσο οι νέες όψεις που προκύπτουν όσο και τα υπόλοιπα μέρη των παλαιών να είναι κανονικά πολύγωνα. Π.χ, τετράεδρο(Εικ. 1-α) μπορεί να περικοπεί έτσι ώστε οι τέσσερις τριγωνικές όψεις του να μετατραπούν σε τέσσερις εξαγωνικές και να προστεθούν σε αυτές τέσσερις κανονικές τριγωνικές όψεις. Με αυτόν τον τρόπο, πέντε Αρχιμήδεια στερεά: κολοβωμένο τετράεδρο, κολοβό εξάεδρο (κύβος), κολοβωμένο οκτάεδρο, κολοβό δωδεκάεδροΚαι κολοβό εικοσάεδρο(Εικ. 2).

(ΕΝΑ)	(σι)	(V)

(ΣΟΛ)	(μι)

Σχήμα 2. Αρχιμήδεια στερεά: (α) κολοβωμένο τετράεδρο, (β) κολοβωμένος κύβος, (γ) κολοβωμένο οκτάεδρο, (δ) κολοβό δωδεκάεδρο, (ε) κολοβό εικοσάεδρο

Στη διάλεξή του για το Νόμπελ, ο Αμερικανός επιστήμονας Smalley, ένας από τους συγγραφείς της πειραματικής ανακάλυψης των φουλερενίων, μιλά για τον Αρχιμήδη (287-212 π.Χ.) ως τον πρώτο ερευνητή των κολοβωμένων πολυεδρών, ειδικότερα κολοβό εικοσάεδρο, ωστόσο, με τον όρο ότι ίσως ο Αρχιμήδης οικειοποιείται αυτήν την αξία και, ίσως, εικοσάεδρα να περικόπηκαν πολύ πριν από αυτόν. Αρκεί να αναφέρουμε αυτά που βρέθηκαν στη Σκωτία και χρονολογούνται γύρω στο 2000 π.Χ. εκατοντάδες πέτρινα αντικείμενα (προφανώς για τελετουργικούς σκοπούς) σε μορφή σφαιρών και διάφορα πολύεδρα(σώματα οριοθετημένα από όλες τις πλευρές με επίπεδο πρόσωπα), συμπεριλαμβανομένων των εικοσάεδρων και των δωδεκάεδρων. Το αρχικό έργο του Αρχιμήδη, δυστυχώς, δεν έχει διατηρηθεί και τα αποτελέσματά του έχουν φτάσει σε εμάς, όπως λένε, «από δεύτερο χέρι». Κατά την Αναγέννηση όλα Αρχιμήδεια στερεάτο ένα μετά το άλλο «ανακαλύφθηκαν» εκ νέου. Στο τέλος, ο Κέπλερ το 1619 στο βιβλίο του "World Harmony" ("Harmonice Mundi") έδωσε μια εξαντλητική περιγραφή ολόκληρου του συνόλου των αρχιμήδειων στερεών - πολύεδρων, κάθε όψη του οποίου είναι κανονικό πολύγωνο, και όλα κορυφέςβρίσκονται σε ισοδύναμη θέση (όπως τα άτομα άνθρακα στο μόριο C 60). Τα στερεά του Αρχιμήδειου αποτελούνται από τουλάχιστον δύο διαφορετικούς τύπους πολυγώνων, σε αντίθεση με 5 Πλατωνικά στερεά, των οποίων όλες οι όψεις είναι ίδιες (όπως στο μόριο C 20, για παράδειγμα).

Εικόνα 3. Κατασκευή του αρχιμήδειου κόλουρου εικοσάεδρου
από το πλατωνικό εικοσάεδρο

Πώς λοιπόν κατασκευάζετε Αρχιμήδειο κολοβό εικοσάεδροαπό Πλατωνικό εικοσάεδρο? Η απάντηση απεικονίζεται με τη βοήθεια του Σχ. 3. Πράγματι, όπως φαίνεται από τον Πίνακα. 1, 5 όψεις συγκλίνουν σε οποιαδήποτε από τις 12 κορυφές του εικοσάεδρου. Εάν σε κάθε κορυφή 12 μέρη του εικοσάεδρου αποκόπτονται (αποκόπτονται) από ένα επίπεδο, τότε σχηματίζονται 12 νέες πενταγωνικές όψεις. Μαζί με τις ήδη υπάρχουσες 20 όψεις, οι οποίες έχουν μετατραπεί από τριγωνικές σε εξαγωνικές μετά από μια τέτοια τομή, θα αποτελούν 32 όψεις ενός κόλουρου εικοσάεδρου. Σε αυτήν την περίπτωση, θα υπάρχουν 90 άκρες και 60 κορυφές.

άλλη ομάδα Αρχιμήδεια στερεάαπαρτίζουν δύο σώματα που ονομάζονται σχεδόν σωστάπολύεδρα. Το «οιονεί» σωματίδιο τονίζει ότι οι όψεις αυτών των πολύεδρων είναι κανονικά πολύγωνα δύο μόνο τύπων, με κάθε όψη ενός τύπου να περιβάλλεται από πολύγωνα άλλου τύπου. Αυτά τα δύο σώματα ονομάζονται ρομβοβοκτάεδροΚαι εικοσιδωδεκάεδρο(Εικ. 4).

Εικόνα 5. Αρχιμήδεια στερεά: (α) ρομβοβοκτάεδρο, (β) ρομβικοσιδωδεκάεδρο

Τέλος, υπάρχουν δύο τροποποιήσεις που ονομάζονται "snub" - μία για τον κύβο ( κύβος snub), το άλλο είναι για το δωδεκάεδρο ( σνομπάρισμα δωδεκάεδρο) (Εικ. 6).

(ΕΝΑ)	(σι)

Εικόνα 6Αρχιμήδεια στερεά: (α) κύβος snub, (b) snub δωδεκάεδρο

Στο αναφερόμενο βιβλίο του Wenniger "Models of Polyhedra" (1974) ο αναγνώστης μπορεί να βρει 75 διαφορετικά μοντέλα κανονικών πολύεδρων. "Η θεωρία των πολύεδρων, ιδιαίτερα των κυρτών πολύεδρων, είναι ένα από τα πιο συναρπαστικά κεφάλαια της γεωμετρίας"Αυτή είναι η γνώμη του Ρώσου μαθηματικού L.A. Lyusternak, ο οποίος έκανε πολλά σε αυτόν τον τομέα των μαθηματικών. Η ανάπτυξη αυτής της θεωρίας συνδέεται με ονόματα επιφανών επιστημόνων. Μεγάλη συμβολή στην ανάπτυξη της θεωρίας των πολυεδρών είχε ο Johannes Kepler (1571-1630). Κάποτε έγραψε το σκίτσο "About a snowflake", στο οποίο έκανε την εξής παρατήρηση: «Ανάμεσα στα κανονικά σώματα, το πρώτο, η αρχή και ο γενάρχης των υπολοίπων είναι ο κύβος, και η σύζυγός του, αν μπορώ να το πω, είναι το οκτάεδρο, γιατί το οκτάεδρο έχει τόσες γωνίες όσες έχει ο κύβος όψεις».Ο Κέπλερ ήταν ο πρώτος που δημοσίευσε πλήρης λίσταδεκατρείς Αρχιμήδεια στερεάκαι τους έδωσε τα ονόματα με τα οποία είναι γνωστοί μέχρι σήμερα.

Ο Κέπλερ ήταν ο πρώτος που μελέτησε το λεγόμενο αστέρι πολύεδρα,τα οποία, σε αντίθεση με τα πλατωνικά και τα αρχιμήδεια στερεά, είναι κανονικά κυρτά πολύεδρα. Στις αρχές του περασμένου αιώνα, ο Γάλλος μαθηματικός και μηχανικός L. Poinsot (1777-1859), του οποίου τα γεωμετρικά έργα σχετίζονται με αστεροειδή πολύεδρα, ανέπτυξε το έργο του Kepler και ανακάλυψε την ύπαρξη δύο ακόμη τύπων κανονικών μη κυρτών. πολύεδρα. Έτσι, χάρη στο έργο των Kepler και Poinsot, έγιναν γνωστοί τέσσερις τύποι τέτοιων μορφών (Εικ. 7). Το 1812, ο O. Cauchy απέδειξε ότι δεν υπάρχουν άλλα κανονικά πολύεδρα σε σχήμα αστεριού.

Εικόνα 7Κανονικά αστρικά πολύεδρα (στερεά Poinsot)

Πολλοί αναγνώστες μπορεί να έχουν μια ερώτηση: «Γιατί να μελετάς καθόλου τα κανονικά πολύεδρα; Σε τι χρησιμεύουν;» Αυτό το ερώτημα μπορεί να απαντηθεί: «Και σε τι χρησιμεύει η μουσική ή η ποίηση; Είναι όλα τα όμορφα χρήσιμα; Τα πολυεδρικά μοντέλα που φαίνονται στα Σχ. 1-7, πρώτα απ 'όλα, μας κάνουν αισθητική εντύπωση και μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως διακοσμητικά στολίδια. Αλλά στην πραγματικότητα, η ευρεία εκδήλωση των κανονικών πολύεδρων σε φυσικές δομές προκάλεσε μεγάλο ενδιαφέρον σε αυτόν τον κλάδο της γεωμετρίας. σύγχρονη επιστήμη.

Το μυστήριο του αιγυπτιακού ημερολογίου

Τι είναι το ημερολόγιο;

Μια ρωσική παροιμία λέει: «Ο χρόνος είναι το μάτι της ιστορίας». Όλα όσα υπάρχουν στο Σύμπαν: ο Ήλιος, η Γη, τα αστέρια, οι πλανήτες, οι γνωστοί και άγνωστοι κόσμοι, και ό,τι υπάρχει στη φύση, ζωντανό και άψυχο, όλα έχουν χωροχρονική διάσταση. Ο χρόνος μετριέται παρατηρώντας περιοδικά επαναλαμβανόμενες διαδικασίες ορισμένης διάρκειας.

Ακόμη και στην αρχαιότητα, οι άνθρωποι παρατήρησαν ότι η μέρα δίνει πάντα τη θέση της στη νύχτα και οι εποχές περνούν με μια αυστηρή σειρά: η άνοιξη έρχεται μετά το χειμώνα, το καλοκαίρι μετά την άνοιξη, το φθινόπωρο μετά το καλοκαίρι. Αναζητώντας μια ένδειξη για αυτά τα φαινόμενα, ο άνθρωπος επέστησε την προσοχή στα ουράνια σώματα - τον Ήλιο, τη Σελήνη, τα αστέρια - και στην αυστηρή περιοδικότητα της κίνησής τους στον ουρανό. Αυτές ήταν οι πρώτες παρατηρήσεις που προηγήθηκαν της γέννησης μιας από τις αρχαιότερες επιστήμες - της αστρονομίας.

Η αστρονομία βασίστηκε στη μέτρηση του χρόνου στην κίνηση. ουράνια σώματα, που αντανακλά τρεις παράγοντες: την περιστροφή της Γης γύρω από τον άξονά της, την περιστροφή της Σελήνης γύρω από τη Γη και την κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο. Σε ποιο από αυτά τα φαινόμενα βασίζεται η μέτρηση του χρόνου, εξαρτώνται και διαφορετικές έννοιες του χρόνου. Η αστρονομία ξέρει αστρικόςχρόνος, ηλιόλουστοςχρόνος, τοπικόςχρόνος, μέσηχρόνος, άδεια μητρότηταςχρόνος, ατομικόςχρόνος, κλπ.

Ο ήλιος, όπως όλα τα άλλα φωτιστικά σώματα, εμπλέκεται στην κίνηση στον ουρανό. Εκτός ημερήσια κίνηση, ο Ήλιος έχει μια λεγόμενη ετήσια κίνηση και ολόκληρη η διαδρομή της ετήσιας κίνησης του Ήλιου στον ουρανό ονομάζεται εκλειπτική.Αν, για παράδειγμα, παρατηρήσετε τη θέση των αστερισμών σε κάποιο συγκεκριμένο απογευματινή ώρα, και μετά επαναλάβετε αυτή την παρατήρηση κάθε μήνα, τότε θα δούμε μια διαφορετική εικόνα του ουρανού. Η θέα του έναστρου ουρανού αλλάζει συνεχώς: κάθε εποχή έχει τη δική της εικόνα των βραδινών αστερισμών και κάθε τέτοια εικόνα επαναλαμβάνεται κάθε χρόνο. Κατά συνέπεια, μετά τη λήξη του έτους, ο Ήλιος σε σχέση με τα αστέρια επιστρέφει στην αρχική του θέση.

Για την ευκολία του προσανατολισμού στον αστρικό κόσμο, οι αστρονόμοι χώρισαν ολόκληρο τον ουρανό σε 88 αστερισμούς. Κάθε ένα από αυτά έχει το δικό του όνομα. Από τους 88 αστερισμούς, ιδιαίτερη θέση στην αστρονομία κατέχουν αυτοί από τους οποίους διέρχεται η εκλειπτική. Αυτοί οι αστερισμοί, εκτός από τα δικά τους ονόματα, έχουν επίσης ένα γενικευμένο όνομα - ζωδιακός(από την ελληνική λέξη «ζώο» ζώο), καθώς και σύμβολα (σημάδια) ευρέως γνωστά σε όλο τον κόσμο και διάφορες αλληγορικές εικόνες που περιλαμβάνονται στα ημερολογιακά συστήματα.

Είναι γνωστό ότι κατά τη διαδικασία της κίνησης κατά μήκος της εκλειπτικής, ο Ήλιος διασχίζει 13 αστερισμούς. Ωστόσο, οι αστρονόμοι θεώρησαν απαραίτητο να χωρίσουν το μονοπάτι του Ήλιου όχι σε 13, αλλά σε 12 μέρη, συνδυάζοντας τους αστερισμούς του Σκορπιού και του Οφιούχου σε ένα ενιαίο κάτω συνηθισμένο όνομαΣκορπιός (γιατί;)

Τα προβλήματα της μέτρησης του χρόνου αντιμετωπίζονται από μια ειδική επιστήμη που ονομάζεται ιστορική αναδρομή.Βρίσκεται κάτω από όλα τα ημερολογιακά συστήματα που δημιουργήθηκαν από την ανθρωπότητα. Η δημιουργία ημερολογίων στην αρχαιότητα ήταν ένα από τα κρίσιμα καθήκοντααστρονομία.

Τι είναι «ημερολόγιο» και τι είναι ημερολογιακά συστήματα? Λέξη Ημερολόγιοπου προέρχονται από Λατινική λέξη ημερολόγιο, που κυριολεκτικά σημαίνει "βιβλίο χρεών"? σε τέτοια βιβλία αναφέρονταν οι πρώτες ημέρες κάθε μήνα - καλένδες,στην οποία στην αρχαία Ρώμη οι οφειλέτες πλήρωναν τόκους.

Από τα αρχαία χρόνια στις χώρες της Ανατολικής και Νοτιοανατολική Ασίακατά τη σύνταξη ημερολογίων, δόθηκε μεγάλη σημασία στην περιοδικότητα της κίνησης του Ήλιου, της Σελήνης, καθώς και ΖεύςΚαι Κρόνος, οι δύο γιγάντιοι πλανήτες του ηλιακού συστήματος. Υπάρχει λόγος να πιστεύουμε ότι η ιδέα της δημιουργίας ημερολόγιο του Δίαμε ουράνιο συμβολισμό του 12ετούς κύκλου των ζώων που σχετίζεται με την περιστροφή Ζεύςγύρω από τον Ήλιο, που κάνει μια πλήρη περιστροφή γύρω από τον Ήλιο σε περίπου 12 χρόνια (11.862 χρόνια). Από την άλλη πλευρά, ο δεύτερος γιγάντιος πλανήτης του ηλιακού συστήματος - Κρόνοςκάνει μια πλήρη περιστροφή γύρω από τον Ήλιο σε περίπου 30 χρόνια (29.458 χρόνια). Θέλοντας να συντονίσουν τους κύκλους κίνησης των γιγάντιων πλανητών, οι αρχαίοι Κινέζοι είχαν την ιδέα να εισαγάγουν έναν κύκλο 60 ετών του ηλιακού συστήματος. Κατά τη διάρκεια αυτού του κύκλου ο Κρόνος κάνει 2 πλήρεις στροφέςγύρω από τον ήλιο και 5 περιστροφές του Δία.

Κατά τη δημιουργία ετήσιων ημερολογίων, χρησιμοποιούνται αστρονομικά φαινόμενα: η αλλαγή της ημέρας και της νύχτας, η αλλαγή στις σεληνιακές φάσεις και η αλλαγή των εποχών. Η χρήση διαφόρων αστρονομικών φαινομένων οδήγησε στη δημιουργία τριών ειδών ημερολογίων μεταξύ των διαφόρων λαών: σεληνιακός,με βάση την κίνηση της σελήνης, ηλιακός,με βάση την κίνηση του ήλιου, και σεληνιακό.

Δομή του αιγυπτιακού ημερολογίου

Ενας από τους πρώτους ηλιακά ημερολόγιαήταν Αιγύπτιος, που δημιουργήθηκε την 4η χιλιετία π.Χ. Το αρχικό αιγυπτιακό ημερολογιακό έτος αποτελούνταν από 360 ημέρες. Το έτος χωρίστηκε σε 12 μήνες των 30 ακριβώς ημερών ο καθένας. Ωστόσο, αργότερα διαπιστώθηκε ότι μια τέτοια διάρκεια του ημερολογιακού έτους δεν αντιστοιχεί στην αστρονομική. Και μετά οι Αιγύπτιοι πρόσθεσαν άλλες 5 ημέρες στο ημερολογιακό έτος, που όμως δεν ήταν οι ημέρες των μηνών. Αυτές ήταν 5 αργίες που συνέδεαν γειτονικά ημερολογιακά έτη. Έτσι, το αιγυπτιακό ημερολογιακό έτος είχε την εξής δομή: 365 = 12ґ 30 + 5. Σημειώστε ότι το αιγυπτιακό ημερολόγιο είναι το πρωτότυπο του σύγχρονου ημερολογίου.

Τίθεται το ερώτημα: γιατί οι Αιγύπτιοι χώρισαν το ημερολογιακό έτος σε 12 μήνες; Εξάλλου, υπήρχαν ημερολόγια με διαφορετικό αριθμό μηνών μέσα στο έτος. Για παράδειγμα, στο ημερολόγιο των Μάγια, το έτος αποτελούνταν από 18 μήνες των 20 ημερών το μήνα. Επόμενη ερώτησησχετικά με το αιγυπτιακό ημερολόγιο: γιατί κάθε μήνας είχε ακριβώς 30 ημέρες (ακριβέστερα, ημέρες); Μπορούν να τεθούν ορισμένα ερωτήματα σχετικά με το αιγυπτιακό σύστημα μέτρησης του χρόνου, ιδίως σχετικά με την επιλογή τέτοιων μονάδων χρόνου όπως ώρα, λεπτό, δευτερόλεπτο.Συγκεκριμένα, τίθεται το ερώτημα: γιατί επιλέχθηκε η μονάδα ώρας με τέτοιο τρόπο ώστε να χωράει ακριβώς 24 φορές την ημέρα, δηλαδή γιατί 1 ημέρα = 24 (2ґ 12) ώρες; Επιπλέον: γιατί 1 ώρα = 60 λεπτά και 1 λεπτό = 60 δευτερόλεπτα; Τα ίδια ερωτήματα ισχύουν για την επιλογή των μονάδων γωνιακών μεγεθών, ειδικότερα: γιατί ο κύκλος χωρίζεται σε 360°, δηλαδή γιατί 2p = 360° = 12ґ 30°; Σε αυτά τα ερωτήματα προστίθενται και άλλα, ιδίως: γιατί οι αστρονόμοι θεώρησαν σκόπιμο να θεωρήσουν ότι υπάρχουν 12 ζωδιακόςζώδια, αν και στην πραγματικότητα, κατά τη διαδικασία της κίνησής του κατά μήκος της εκλειπτικής, ο Ήλιος διασχίζει 13 αστερισμούς; Και μια ακόμη «περίεργη» ερώτηση: γιατί το σύστημα αριθμών της Βαβυλωνίας είχε μια πολύ ασυνήθιστη βάση - τον αριθμό 60;

Σχέση του αιγυπτιακού ημερολογίου με τα αριθμητικά χαρακτηριστικά του δωδεκάεδρου

Αναλύοντας το αιγυπτιακό ημερολόγιο, καθώς και τα αιγυπτιακά συστήματα μέτρησης του χρόνου και των γωνιακών τιμών, διαπιστώνουμε ότι τέσσερις αριθμοί επαναλαμβάνονται με εκπληκτική σταθερότητα: 12, 30, 60 και ο αριθμός 360 \u003d 12ґ 30 που προέρχεται από αυτούς. Τίθεται το ερώτημα: υπάρχει τότε κάποια θεμελιώδης επιστημονική ιδέα που θα μπορούσε να δώσει μια απλή και λογική εξήγηση για τη χρήση αυτών των αριθμών στα αιγυπτιακά συστήματα;

Για να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα, στραφούμε ξανά στο δωδεκάεδροφαίνεται στο Σχ. 1-δ. Θυμηθείτε ότι όλες οι γεωμετρικές αναλογίες του δωδεκάεδρου βασίζονται στη χρυσή τομή.

Γνώριζαν οι Αιγύπτιοι το δωδεκάεδρο; Οι ιστορικοί των μαθηματικών παραδέχονται ότι οι αρχαίοι Αιγύπτιοι είχαν γνώση των κανονικών πολύεδρων. Γνώριζαν όμως και τα πέντε κανονικά πολύεδρα, συγκεκριμένα δωδεκάεδροΚαι εικοσάεδροπως τα πιο δύσκολα; Ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Πρόκλος αποδίδει την κατασκευή κανονικών πολύεδρων στον Πυθαγόρα. Αλλά πολλά μαθηματικά θεωρήματα και αποτελέσματα (ιδίως, Πυθαγόρειο θεώρημα) Ο Πυθαγόρας δανείστηκε από τους αρχαίους Αιγύπτιους κατά τη διάρκεια του πολύ μεγάλου «επαγγελματικού ταξιδιού» του στην Αίγυπτο (σύμφωνα με ορισμένες αναφορές, ο Πυθαγόρας έζησε στην Αίγυπτο για 22 χρόνια!). Επομένως, μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο Πυθαγόρας δανείστηκε επίσης γνώση για τα κανονικά πολύεδρα από τους αρχαίους Αιγύπτιους (και πιθανώς από τους αρχαίους Βαβυλώνιους, επειδή σύμφωνα με το μύθο, ο Πυθαγόρας έζησε αρχαία Βαβυλώνα 12 χρονών). Υπάρχουν όμως και άλλες, πιο στέρεες ενδείξεις ότι οι Αιγύπτιοι είχαν πληροφορίες και για τα πέντε κανονικά πολύεδρα. Συγκεκριμένα, στο Βρετανικό Μουσείο υπάρχει ένα ζάρι από την εποχή των Πτολεμαίων, το οποίο έχει το σχήμα εικοσάεδρο, δηλαδή το «πλατωνικό στερεό», το διπλό δωδεκάεδρο. Όλα αυτά τα δεδομένα μας δίνουν το δικαίωμα να υποβάλουμε την υπόθεση ότι Οι Αιγύπτιοι γνώριζαν το δωδεκάεδρο.Και αν είναι έτσι, τότε από αυτήν την υπόθεση προκύπτει ένα πολύ αρμονικό σύστημα, το οποίο καθιστά δυνατή την εξήγηση της προέλευσης του αιγυπτιακού ημερολογίου και ταυτόχρονα την προέλευση του αιγυπτιακού συστήματος για τη μέτρηση των χρονικών διαστημάτων και των γεωμετρικών γωνιών.

Νωρίτερα διαπιστώσαμε ότι το δωδεκάεδρο έχει 12 όψεις, 30 άκρες και 60 επίπεδες γωνίες στην επιφάνειά του (Πίνακας 1). Με βάση την υπόθεση που γνώριζαν οι Αιγύπτιοι δωδεκάεδροκαι τα αριθμητικά χαρακτηριστικά του είναι 12, 30. 60, τότε ποια ήταν η έκπληξή τους όταν ανακάλυψαν ότι οι κύκλοι του ηλιακού συστήματος εκφράζονται με τους ίδιους αριθμούς, δηλαδή, τον 12ετή κύκλο του Δία, τον 30ετή κύκλο του Κρόνου και, τέλος, ο 60-θερινός κύκλος του ηλιακού συστήματος. Έτσι, ανάμεσα σε μια τόσο τέλεια χωρική φιγούρα όπως δωδεκάεδρο, και το ηλιακό σύστημα, υπάρχει μια βαθιά μαθηματική σύνδεση! Αυτό το συμπέρασμα βγήκε από αρχαίους επιστήμονες. Αυτό οδήγησε στο γεγονός ότι δωδεκάεδρουιοθετήθηκε ως η «κύρια φιγούρα», που συμβόλιζε Αρμονία του Σύμπαντος. Και τότε οι Αιγύπτιοι αποφάσισαν ότι όλα τα κύρια συστήματά τους (ημερολογιακό σύστημα, σύστημα μέτρησης χρόνου, σύστημα μέτρησης γωνίας) πρέπει να αντιστοιχούν σε αριθμητικές παραμέτρους. δωδεκάεδρο! Δεδομένου ότι, σύμφωνα με τους αρχαίους, η κίνηση του Ήλιου κατά μήκος της εκλειπτικής ήταν αυστηρά κυκλική, επιλέγοντας 12 ζώδια, η απόσταση τόξου μεταξύ των οποίων ήταν ακριβώς 30 °, οι Αιγύπτιοι συντόνισαν εκπληκτικά όμορφα την ετήσια κίνηση του Ήλιου κατά μήκος του εκλειπτική με τη δομή του ημερολογιακού τους έτους: ένας μήνας αντιστοιχούσε στην κίνηση του Ήλιου κατά μήκος της εκλειπτικής ανάμεσα σε δύο γειτονικά ζώδια του Ζωδιακού!Επιπλέον, η κίνηση του Ήλιου κατά μία μοίρα αντιστοιχούσε σε μία ημέρα του αιγυπτιακού ημερολογιακού έτους! Σε αυτή την περίπτωση, η εκλειπτική χωρίστηκε αυτόματα σε 360°. Διαιρώντας κάθε μέρα σε δύο μέρη, ακολουθώντας το δωδεκάεδρο, οι Αιγύπτιοι χώρισαν στη συνέχεια κάθε μισό της ημέρας σε 12 μέρη (12 όψεις δωδεκάεδρο) και έτσι εισάγεται ώραείναι η πιο σημαντική μονάδα χρόνου. Χωρίζοντας μια ώρα σε 60 λεπτά (60 επίπεδες γωνίες στην επιφάνεια δωδεκάεδρο), εισήγαγαν οι Αιγύπτιοι με αυτόν τον τρόπο λεπτόείναι η επόμενη σημαντική μονάδα χρόνου. Παρόμοια μπήκαν δώσε μου ένα λεπτό- τη μικρότερη μονάδα χρόνου για τη συγκεκριμένη περίοδο.

Έτσι, επιλέγοντας δωδεκάεδροως η κύρια «αρμονική» μορφή του σύμπαντος, και ακολουθώντας αυστηρά τα αριθμητικά χαρακτηριστικά του δωδεκαέδρου 12, 30, 60, οι Αιγύπτιοι κατάφεραν να κατασκευάσουν ένα εξαιρετικά αρμονικό ημερολόγιο, καθώς και συστήματα μέτρησης χρόνου και γωνιακών τιμών. Αυτά τα συστήματα ήταν σε πλήρη συμφωνία με τη «Θεωρία της Αρμονίας» τους, βασισμένα στη χρυσή τομή, αφού αυτή η αναλογία είναι που βασίζεται δωδεκάεδρο.

Αυτά τα εκπληκτικά συμπεράσματα προκύπτουν από τη σύγκριση δωδεκάεδρομε το ηλιακό σύστημα. Και αν η υπόθεσή μας είναι σωστή (ας προσπαθήσει κάποιος να τη διαψεύσει), τότε προκύπτει ότι για πολλές χιλιετίες, η ανθρωπότητα ζει κάτω από το πρόσημο της χρυσής τομής! Και κάθε φορά κοιτάμε την πρόσοψη του ρολογιού μας, η οποία βασίζεται επίσης στη χρήση του αριθμητικά χαρακτηριστικά δωδεκάεδρο 12, 30 και 60, αγγίζουμε το κύριο «Μυστήριο του Σύμπαντος» τη χρυσή τομή, χωρίς να το ξέρουμε!

Quasicrystals του Dan Shechtman

Στις 12 Νοεμβρίου 1984, σε ένα μικρό άρθρο που δημοσιεύτηκε στο έγκυρο περιοδικό Physical Review Letters από τον Ισραηλινό φυσικό Dan Shechtman, παρουσιάστηκαν πειραματικά στοιχεία για την ύπαρξη ενός κράματος μετάλλων με εξαιρετικές ιδιότητες. Όταν μελετήθηκε με μεθόδους περίθλασης ηλεκτρονίων, αυτό το κράμα έδειξε όλα τα σημάδια ενός κρυστάλλου. Το μοτίβο περίθλασής του αποτελείται από φωτεινές και κανονικά απέχουσες κουκκίδες, ακριβώς όπως ένας κρύσταλλος. Ωστόσο, αυτή η εικόνα χαρακτηρίζεται από την παρουσία "εικοσαεδρικής" ή "πενταγωνικής" συμμετρίας, η οποία απαγορεύεται αυστηρά σε έναν κρύσταλλο λόγω γεωμετρικών κριτηρίων. Τέτοια ασυνήθιστα κράματα ονομάζονταν οιονεί κρύσταλλοι.Σε λιγότερο από ένα χρόνο, ανακαλύφθηκαν πολλά άλλα κράματα αυτός ο τύπος. Ήταν τόσα πολλά από αυτά που η οιονεί κρυσταλλική κατάσταση αποδείχθηκε πολύ πιο συνηθισμένη από ό,τι θα μπορούσε κανείς να φανταστεί.

Ισραηλινός φυσικός Dan Shechtman

Η έννοια του οιονεί κρυστάλλου έχει θεμελιώδες ενδιαφέρον γιατί γενικεύει και ολοκληρώνει τον ορισμό του κρυστάλλου. Μια θεωρία που βασίζεται σε αυτήν την έννοια αντικαθιστά την παλαιά ιδέα «μιας δομικής μονάδας που επαναλαμβάνεται στο χώρο με αυστηρά περιοδικό τρόπο» με τη βασική έννοια μακρινή τάξη.Όπως τονίζεται στο άρθρο «Quasicrystals» του διάσημου φυσικού D. Gratia, «Αυτή η ιδέα οδήγησε στην επέκταση της κρυσταλλογραφίας, τα πλούτη της οποίας μόλις αρχίζουμε να εξερευνούμε. Η σημασία του στον κόσμο των ορυκτών μπορεί να εξισωθεί με την προσθήκη της έννοιας παράλογους αριθμούςστο ορθολογικό στα μαθηματικά.

Τι είναι ο οιονεί κρύσταλλος; Ποιες είναι οι ιδιότητές του και πώς μπορεί να περιγραφεί; Όπως προαναφέρθηκε, σύμφωνα με θεμελιώδης νόμος της κρυσταλλογραφίαςεπιβάλλονται αυστηροί περιορισμοί στην κρυσταλλική δομή. Σύμφωνα με τις κλασικές ιδέες, ένας κρύσταλλος συντίθεται επ' άπειρον από ένα μόνο κελί, το οποίο θα πρέπει πυκνά (πρόσωπο με πρόσωπο) να «καλύπτει» ολόκληρο το επίπεδο χωρίς κανέναν περιορισμό.

Όπως είναι γνωστό, η πυκνή πλήρωση του επιπέδου μπορεί να πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας τρίγωνα(Εικ.7-α), τετράγωνα(Εικ.7-β) και εξάγωνα(Εικ. 7-δ). Με τη χρήση πεντάγωνα (πεντάγωνα) τέτοια γέμιση είναι αδύνατη (Εικ. 7-γ).

ΕΝΑ)	σι)	V)	ΣΟΛ)

Εικόνα 7Η πυκνή πλήρωση του επιπέδου μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τρίγωνα (a), τετράγωνα (b) και εξάγωνα (d)

Αυτοί ήταν οι κανόνες της παραδοσιακής κρυσταλλογραφίας που υπήρχαν πριν από την ανακάλυψη ενός ασυνήθιστου κράματος αλουμινίου και μαγγανίου, που ονομαζόταν οιονεί κρύσταλλοι. Ένα τέτοιο κράμα σχηματίζεται με υπερταχεία ψύξη του τήγματος με ρυθμό 10 6 K ανά δευτερόλεπτο. Ταυτόχρονα, κατά τη διάρκεια μιας μελέτης περίθλασης ενός τέτοιου κράματος, εμφανίζεται στην οθόνη ένα διατεταγμένο σχέδιο, χαρακτηριστικό της συμμετρίας του εικοσάεδρου, που έχει τους περίφημους απαγορευμένους άξονες συμμετρίας 5ης τάξης.

Διάφορες επιστημονικές ομάδες σε όλο τον κόσμο τα επόμενα χρόνια μελέτησαν αυτό το ασυνήθιστο κράμα ηλεκτρονική μικροσκοπίαυψηλής ανάλυσης. Όλα επιβεβαίωσαν την ιδανική ομοιογένεια της ύλης, στην οποία διατηρήθηκε η συμμετρία 5ης τάξης σε μακροσκοπικές περιοχές με διαστάσεις κοντά σε αυτές των ατόμων (αρκετές δεκάδες νανόμετρα).

Σύμφωνα με μοντέρνα θέαέχει αναπτυχθεί το ακόλουθο μοντέλο για τη λήψη της κρυσταλλικής δομής ενός οιονεί κρυστάλλου. Αυτό το μοντέλο βασίζεται στην έννοια του «βασικού στοιχείου». Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο, το εσωτερικό εικοσάεδρο των ατόμων αλουμινίου περιβάλλεται από το εξωτερικό εικοσάεδρο των ατόμων μαγγανίου. Τα εικοσάεδρα συνδέονται με οκτάεδρα ατόμων μαγγανίου. Το «στοιχείο βάσης» έχει 42 άτομα αλουμινίου και 12 άτομα μαγγανίου. Στη διαδικασία της στερεοποίησης, υπάρχει ένας γρήγορος σχηματισμός «βασικών στοιχείων», τα οποία συνδέονται γρήγορα μεταξύ τους με άκαμπτες οκταεδρικές «γέφυρες». Θυμηθείτε ότι οι όψεις του εικοσάεδρου είναι ισόπλευρα τρίγωνα. Για να σχηματιστεί μια οκταεδρική γέφυρα μαγγανίου, είναι απαραίτητο δύο τέτοια τρίγωνα (ένα σε κάθε κελί) να πλησιάσουν αρκετά κοντά το ένα στο άλλο και να ευθυγραμμιστούν παράλληλα. Ως αποτέλεσμα μιας τέτοιας φυσικής διαδικασίας, σχηματίζεται μια οιονεί κρυσταλλική δομή με «εικοσαεδρική» συμμετρία.

Τις τελευταίες δεκαετίες, έχουν ανακαλυφθεί πολλοί τύποι οιονεί κρυσταλλικών κραμάτων. Εκτός από την «εικοσαεδρική» συμμετρία (5η τάξη), υπάρχουν και κράματα με δεκαγωνική συμμετρία (10η τάξη) και δωδεκαγωνική συμμετρία (12η τάξη). Οι φυσικές ιδιότητες των οιονεί κρυστάλλων άρχισαν να ερευνώνται μόλις πρόσφατα.

Τι είναι πρακτική αξίαανακάλυψη οιονεί κρυστάλλων; Όπως σημειώνεται στο άρθρο της Gratia που αναφέρεται παραπάνω, «Η μηχανική αντοχή των οιονεί κρυσταλλικών κραμάτων αυξάνεται δραματικά. η απουσία περιοδικότητας οδηγεί σε επιβράδυνση της διάδοσης των εξαρθρώσεων σε σύγκριση με τα συνηθισμένα μέταλλα ... Αυτή η ιδιότητα έχει μεγάλη εφαρμοσμένη τιμή: η χρήση της εικοσαεδρικής φάσης θα καταστήσει δυνατή τη λήψη ελαφρών και πολύ ισχυρών κραμάτων με την εισαγωγή μικρών σωματιδίων οιονεί κρυστάλλων στη μήτρα αλουμινίου.

Τι αποτελείται μεθοδολογική σημασίαανακάλυψη οιονεί κρυστάλλων; Πρώτα απ 'όλα, η ανακάλυψη των οιονεί κρυστάλλων είναι η στιγμή του μεγάλου θριάμβου του «δωδεκαεδρικού-εικοσαεδρικού δόγματος», που διαπερνά ολόκληρη την ιστορία της φυσικής επιστήμης και αποτελεί πηγή βαθιών και χρήσιμων επιστημονικών ιδεών. Δεύτερον, οι οιονεί κρύσταλλοι κατέστρεψαν την παραδοσιακή έννοια του ανυπέρβλητου χάσματος μεταξύ του κόσμου των ορυκτών, στον οποίο η "πενταγωνική" συμμετρία ήταν απαγορευμένη, και του κόσμου της άγριας ζωής, όπου η "πενταγωνική" συμμετρία είναι μία από τις πιο κοινές. Και δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι η κύρια αναλογία του εικοσάεδρου είναι η «χρυσή τομή». Και η ανακάλυψη των οιονεί κρυστάλλων είναι μια άλλη επιστημονική επιβεβαίωση ότι, ίσως, είναι η «χρυσή αναλογία», που εκδηλώνεται τόσο στον κόσμο της άγριας ζωής όσο και στον κόσμο των ορυκτών, είναι η κύρια αναλογία του Σύμπαντος.

Πλακάκια Penrose

Όταν ο Dan Shechtman έδωσε πειραματική απόδειξη της ύπαρξης οιονεί κρυστάλλων με εικοσαεδρική συμμετρία, φυσικοί σε αναζήτηση θεωρητική εξήγησηφαινόμενο των οιονεί κρυστάλλων, επέστησε την προσοχή σε μια μαθηματική ανακάλυψη που έγινε 10 χρόνια νωρίτερα Άγγλος μαθηματικόςΡότζερ Πένροουζ. Ως «επίπεδο ανάλογο» οιονεί κρυστάλλων, επιλέξαμε ροζ πλακάκια, που είναι απεριοδικές κανονικές δομές που σχηματίζονται από «χοντρούς» και «λεπτούς» ρόμβους, υπακούοντας στις αναλογίες της «χρυσής τομής». Ακριβώς ροζ πλακάκιαυιοθετήθηκαν από κρυσταλλογράφους για να εξηγήσουν το φαινόμενο οιονεί κρύσταλλοι. Παράλληλα, ο ρόλος Διαμάντια Penroseστον χώρο των τριών διαστάσεων άρχισε να παίζει εικοσάεδρα, με τη βοήθεια του οποίου πραγματοποιείται πυκνή πλήρωση τρισδιάστατου χώρου.

Εξετάστε ξανά προσεκτικά το πεντάγωνο στο Σχ. 8.

Εικόνα 8Πεντάγωνο

Αφού σχεδιάσετε διαγώνιες σε αυτό, το αρχικό πεντάγωνο μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα σύνολο τριών τύπων γεωμετρικά σχήματα. Στο κέντρο υπάρχει ένα νέο πεντάγωνο που σχηματίζεται από τα σημεία τομής των διαγωνίων. Επιπλέον, το πεντάγωνο στο Σχ. Το 8 περιλαμβάνει πέντε κίτρινα ισοσκελή τρίγωνα και πέντε κόκκινα ισοσκελή τρίγωνα. Τα κίτρινα τρίγωνα είναι "χρυσά" επειδή η αναλογία του ισχίου προς τη βάση είναι ίση με τη χρυσή τομή. έχουν οξείες γωνίες 36° στην κορυφή και οξείες γωνίες 72° στη βάση. Τα κόκκινα τρίγωνα είναι επίσης "χρυσά", αφού η αναλογία του ισχίου προς τη βάση είναι ίση με τη χρυσή τομή. έχουν αμβλεία γωνίαστις 108° στην κορυφή και στις οξείες γωνίες στις 36° στη βάση.

Και τώρα ας συνδέσουμε δύο κίτρινα τρίγωνα και δύο κόκκινα τρίγωνα με τις βάσεις τους. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε δύο «χρυσός» ρόμβος. Το πρώτο (κίτρινο) έχει οξεία γωνία 36° και αμβλεία γωνία 144° (Εικ. 9).

(ΕΝΑ)	(σι)

Εικόνα 9."Χρυσοί» ρόμβοι: α) «λεπτός» ρόμβος. (β) «χοντρός» ρόμβος

Ρόμβος στο Σχ. 9-α θα καλέσουμε λεπτός ρόμβος,και ο ρόμβος στο Σχ. 9-β - χοντρός ρόμβος.

Ο Άγγλος μαθηματικός και φυσικός Rogers Penrose χρησιμοποίησε «χρυσούς» ρόμβους στο Σχ. 9 για την κατασκευή του «χρυσού» παρκέ, που ονομάστηκε Πλακάκια Penrose.Τα πλακάκια Penrose είναι ένας συνδυασμός από χοντρά και λεπτά διαμάντια, όπως φαίνεται στο Σχ. 10.

Εικόνα 10. Πλακάκια Penrose

Είναι σημαντικό να τονιστεί αυτό ροζ πλακάκιαέχουν «πενταγωνική» συμμετρία ή συμμετρία 5ης τάξης, και η αναλογία του αριθμού των χοντρού ρόμβων προς τους λεπτούς τείνει στη χρυσή τομή!

Φουλερένια

Και τώρα ας μιλήσουμε για μια άλλη εξαιρετική σύγχρονη ανακάλυψη στον τομέα της χημείας. Αυτή η ανακάλυψη έγινε το 1985, δηλαδή λίγα χρόνια αργότερα από τους οιονεί κρυστάλλους. Μιλάμε για τις λεγόμενες «φουλλερένιες». Ο όρος "φουλλερένια" αναφέρεται σε κλειστά μόρια όπως τα C 60 , C 70 , C 76 , C 84 , στα οποία όλα τα άτομα άνθρακα βρίσκονται σε μια σφαιρική ή σφαιροειδή επιφάνεια. Σε αυτά τα μόρια, τα άτομα άνθρακα βρίσκονται στις κορυφές κανονικών εξαγώνων ή πενταγώνων που καλύπτουν την επιφάνεια μιας σφαίρας ή σφαιροειδούς. Την κεντρική θέση μεταξύ των φουλερενίων κατέχει το μόριο C 60, το οποίο χαρακτηρίζεται από την υψηλότερη συμμετρία και, ως εκ τούτου, την υψηλότερη σταθερότητα. Σε αυτό το μόριο, που μοιάζει με ελαστικό με μπάλα ποδοσφαίρου και έχει τη δομή ενός κανονικού κόλουρου εικοσάεδρου (Εικ. 2e και Εικ. 3), τα άτομα άνθρακα βρίσκονται σε μια σφαιρική επιφάνεια στις κορυφές 20 κανονικών εξαγώνων και 12 κανονικών πενταγώνων, έτσι ώστε κάθε εξάγωνο συνορεύει με τρία εξάγωνα και τρία πεντάγωνα, και κάθε πεντάγωνο συνορεύει με εξάγωνα.

Ο όρος "fullerene" προέρχεται από το όνομα του Αμερικανού αρχιτέκτονα Buckminster Fuller, ο οποίος, όπως αποδεικνύεται, χρησιμοποίησε τέτοιες κατασκευές κατά την κατασκευή θόλων κτιρίων (άλλη μια χρήση ενός κόλουρου εικοσάεδρου!).

Τα «φουλερένια» είναι ουσιαστικά «τεχνητές» δομές που προέρχονται από τη θεμελιώδη έρευνα της φυσικής. Συντέθηκαν για πρώτη φορά από τους επιστήμονες G. Kroto και R. Smalley (που έλαβαν το βραβείο Νόμπελ το 1996 για αυτή την ανακάλυψη). Αλλά βρέθηκαν απροσδόκητα στα βράχια της Προκάμβριας περιόδου, δηλαδή, τα φουλερένια αποδείχθηκαν όχι μόνο "τεχνητοί", αλλά φυσικοί σχηματισμοί. Τώρα τα φουλερένια μελετώνται εντατικά σε εργαστήρια. διαφορετικές χώρες, προσπαθώντας να δημιουργήσει τις προϋποθέσεις για το σχηματισμό, τη δομή, τις ιδιότητες και πιθανούς τομείς εφαρμογής τους. Ο πιο πλήρως μελετημένος εκπρόσωπος της οικογένειας του φουλερενίου είναι το φουλερένιο-60 (C 60) (μερικές φορές ονομάζεται buckminster-fullerene. Τα φουλερένια C 70 και C 84 είναι επίσης γνωστά. Το φουλερένιο C 60 λαμβάνεται με εξάτμιση γραφίτη σε ατμόσφαιρα ηλίου. Αυτό σχηματίζει μια λεπτή σκόνη σαν αιθάλη που περιέχει 10% άνθρακα· όταν διαλύεται σε βενζόλιο, η σκόνη δίνει ένα κόκκινο διάλυμα, από το οποίο αναπτύσσονται κρύσταλλοι C 60. Τα φουλερένια έχουν ασυνήθιστες χημικές και φυσικές ιδιότητες. Έτσι, σε υψηλή πίεση, το C 60 γίνεται σκληρό σαν διαμάντι.Τα μόριά του σχηματίζουν μια κρυσταλλική δομή, σαν να αποτελούνται από απόλυτα λείες μπάλες, που περιστρέφονται ελεύθερα σε ένα κεντραρισμένο κυβικό πλέγμα. Λόγω αυτής της ιδιότητας, το C 60 μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως στερεό λιπαντικό. Τα φουλερένια έχουν επίσης μαγνητικά και υπεραγώγιμες ιδιότητες.

Οι Ρώσοι επιστήμονες A.V. Yeletsky και B.M. Ο Smirnov στο άρθρο του "Fullerenes", που δημοσιεύτηκε στο περιοδικό "Uspekhi Φυσικές Επιστήμες«(1993, τόμος 163, αρ. 2), σημειώστε ότι «fullerenes, η ύπαρξη των οποίων διαπιστώθηκε στα μέσα της δεκαετίας του '80 και αποδοτική τεχνολογίαη απομόνωση του οποίου αναπτύχθηκε το 1990, έχει γίνει πλέον αντικείμενο εντατικής έρευνας από δεκάδες επιστημονικές ομάδες. Τα αποτελέσματα αυτών των μελετών παρακολουθούνται στενά από εταιρείες εφαρμογών. Δεδομένου ότι αυτή η τροποποίηση του άνθρακα έδωσε στους επιστήμονες ολόκληρη γραμμήεκπλήξεις, δεν θα ήταν συνετό να συζητήσουμε προβλέψεις και πιθανές συνέπειεςμελέτη των φουλερενίων την επόμενη δεκαετία, αλλά θα πρέπει κανείς να είναι προετοιμασμένος για νέες εκπλήξεις».

Ο καλλιτεχνικός κόσμος του Σλοβένου καλλιτέχνη Matiushka Teija Kraszek

Η Matjuska Teja Krasek είναι κάτοχος πτυχίου ζωγραφικής από το College of Visual Arts (Λουμπλιάνα, Σλοβενία) και είναι ανεξάρτητος καλλιτέχνης. Ζει και εργάζεται στη Λιουμπλιάνα. Το θεωρητικό της και πρακτική δουλειάεστιάζει στη συμμετρία ως συνδετική έννοια μεταξύ τέχνης και επιστήμης. Τα έργα της έχουν παρουσιαστεί σε πολλές διεθνείς εκθέσεις και έχουν δημοσιευτεί σε διεθνή περιοδικά(Leonardo Journal, Leonardo online).

Μ.Τ. Ο Kraszek στην έκθεσή του "Kaleidoscopic Fragrances", Λουμπλιάνα, 2005

Το καλλιτεχνικό έργο της Matyushka Teija Kraszek συνδέεται με διάφορους τύπους συμμετρίας, πλακάκια Penrose και ρόμβους, οιονεί κρυστάλλους, τη χρυσή τομή ως κύριο στοιχείο συμμετρίας, αριθμούς Fibonacci κ.λπ. Με τη βοήθεια του προβληματισμού, της φαντασίας και της διαίσθησης, προσπαθεί να βρείτε νέες σχέσεις, νέα επίπεδα δομής, νέα και διαφορετικά είδητάξη σε αυτά τα στοιχεία και τις δομές. Στα έργα της χρησιμοποιεί εκτενώς τα γραφικά υπολογιστή ως ένα πολύ χρήσιμο μέσο για τη δημιουργία έργων τέχνης, που είναι ο σύνδεσμος μεταξύ επιστήμης, μαθηματικών και τέχνης.

Στο Σχ. 11 δείχνει τη σύνθεση του Τ.Μ. Το Crashek σχετίζεται με αριθμούς Fibonacci. Αν επιλέξουμε έναν από τους αριθμούς Fibonacci (για παράδειγμα, 21 cm) για το μήκος της πλευράς του διαμαντιού Penrose σε αυτήν την αισθητά ασταθή σύνθεση, μπορούμε να παρατηρήσουμε πώς τα μήκη ορισμένων τμημάτων στη σύνθεση σχηματίζουν την ακολουθία Fibonacci.

Εικόνα 11. Matushka Teija Kraszek "Αριθμοί Fibonacci", καμβάς, 1998.

Ενας μεγάλος αριθμός από καλλιτεχνικές συνθέσειςτου καλλιτέχνη είναι αφιερωμένο στους οιονεί κρυστάλλους και τα πλέγματα Penrose του Shechtman (Εικ. 12).

(ΕΝΑ)	(σι)

(V)	(ΣΟΛ)

Εικόνα 12.Ο κόσμος της Theia Kraszek: (α) Ο κόσμος των οιονεί κρυστάλλων. Γραφικά Υπολογιστών, 1996.
(β) Αστέρια. Computer Graphics, 1998 (γ) 10/5. Holst, 1998 (δ) Quasicube. Καμβάς, 1999

Στη σύνθεση των Matyushka Teija Kraszek και Clifford Pickover «Biogenesis», 2005 (Εικ. 13), παρουσιάζεται ένα δεκάγωνο, που αποτελείται από ρόμβους Penrose. Μπορεί κανείς να παρατηρήσει τη σχέση μεταξύ των διαμαντιών Petrouse. κάθε δύο γειτονικά διαμάντια Penrose σχηματίζουν ένα πενταγωνικό αστέρι.

Εικόνα 13. Matushka Theia Kraszek και Clifford Pickover. Biogenesis, 2005.

στην φωτογραφία Double Star GA(Εικόνα 14) βλέπουμε πώς τα πλακίδια Penrose ταιριάζουν μεταξύ τους για να σχηματίσουν μια δισδιάστατη αναπαράσταση ενός δυνητικά υπερδιάστατου αντικειμένου με δεκαγωνική βάση. Όταν απεικόνιζε τον πίνακα, ο καλλιτέχνης χρησιμοποίησε τη μέθοδο των σκληρών άκρων που πρότεινε ο Λεονάρντο ντα Βίντσι. Είναι αυτή η μέθοδος εικόνας που σας επιτρέπει να βλέπετε στην προβολή της εικόνας σε ένα επίπεδο μεγάλος αριθμόςπεντάγωνα και πεντάλφα, τα οποία σχηματίζονται από προβολές μεμονωμένων άκρων ρόμβων Penrose. Επιπλέον, στην προβολή της εικόνας σε ένα επίπεδο, βλέπουμε ένα δεκάγωνο που σχηματίζεται από τις άκρες 10 παρακείμενων ρόμβων Penrose. Στην ουσία, σε αυτήν την εικόνα, η Matyushka Teija Kraszek βρήκε ένα νέο κανονικό πολύεδρο, το οποίο πιθανότατα υπάρχει πραγματικά στη φύση.

Εικόνα 14. Matushka Teia Kraszek. Double Star GA

Στη σύνθεση του Crashek «Stars for Donald» (Εικ. 15), μπορούμε να παρατηρήσουμε την ατελείωτη αλληλεπίδραση ρόμβων Penrose, πενταγράμμων, πενταγώνων, που μειώνονται προς το κεντρικό σημείο της σύνθεσης. Οι χρυσές αναλογίες αναπαρίστανται με πολλούς διαφορετικούς τρόπους σε διαφορετικές κλίμακες.

Εικόνα 15. Matyushka Teija Kraszek "Stars for Donald", γραφικά υπολογιστή, 2005.

Οι καλλιτεχνικές συνθέσεις του Matyushka Teija Kraszek προσέλκυσαν μεγάλη προσοχή από εκπροσώπους της επιστήμης και της τέχνης. Η τέχνη της ταυτίζεται με την τέχνη του Maurits Escher και ο Σλοβένος καλλιτέχνης ονομάζεται «Escher της Ανατολικής Ευρώπης» και το «Σλοβενικό δώρο» στην παγκόσμια τέχνη.

Stakhov A.P. "The Da Vinci Code", Πλατωνικά και Αρχιμήδεια στερεά, οιονεί κρύσταλλοι, φουλλερένια, πλέγματα Penrose και ο καλλιτεχνικός κόσμος του Matyushka Teija Kraszek // "Academy of Trinitarianism", M., El No. 77-6567, δημοσίευση 12561, 07. 2005

Εισαγωγή

Αυτό το μάθημα έχει σχεδιαστεί για να:

1) να εδραιώσει, να εμβαθύνει και να επεκτείνει τη θεωρητική γνώση στον τομέα των μεθόδων για τη μοντελοποίηση επιφανειών και αντικειμένων, πρακτικές δεξιότητες και δεξιότητες στην εφαρμογή λογισμικού μεθόδων.

2) βελτίωση των δεξιοτήτων της ανεξάρτητης εργασίας.

3) να αναπτύξει την ικανότητα να διατυπώνει κρίσεις και συμπεράσματα, να τα εκθέτει λογικά και οριστικά.

Στερεά του Πλάτωνα

Τα στερεά του Πλάτωνα είναι κυρτά πολύεδρα, των οποίων όλες οι όψεις είναι κανονικά πολύγωνα. Όλες οι πολυεδρικές γωνίες ενός κανονικού πολυέδρου είναι ίσες. Όπως προκύπτει ήδη από τον υπολογισμό του αθροίσματος των επίπεδων γωνιών στην κορυφή, δεν υπάρχουν περισσότερα από πέντε κυρτά κανονικά πολύεδρα. Με τον τρόπο που υποδεικνύεται παρακάτω, μπορεί να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ακριβώς πέντε κανονικά πολύεδρα (αυτό απέδειξε ο Ευκλείδης). Είναι το κανονικό τετράεδρο, το εξάεδρο (κύβος), το οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο. Τα ονόματα αυτών των κανονικών πολύεδρων προέρχονται από την Ελλάδα. Στην κυριολεκτική μετάφραση από τα ελληνικά "τετράεδρο", "οκτάεδρο", "εξάεδρο", "δωδεκάεδρο", "εικοσάεδρο" σημαίνουν: "τετράεδρο", "οκτάεδρο", "εξάεδρο". δωδεκάεδρος, δωδεκάεδρος.

Πίνακας Νο. 1

Πίνακας αριθμός 2

Ονομα:	Ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας	Ακτίνα της εγγεγραμμένης σφαίρας
Τετράεδρο
Εξάεδρο
Δωδεκάεδρο
εικοσάεδρο

Τετράεδρο- ένα τετράεδρο, του οποίου όλες οι όψεις είναι τρίγωνα, δηλ. τριγωνική πυραμίδα; ένα κανονικό τετράεδρο οριοθετείται από τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα. (Εικ. 1).

Κύβος ή κανονικό εξάεδρο- ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα με ίσες ακμές, που περιορίζεται από έξι τετράγωνα. (Εικ. 1).

Οκτάεδρο- οκτάεδρο ένα σώμα που οριοθετείται από οκτώ τρίγωνα. Ένα κανονικό οκτάεδρο οριοθετείται από οκτώ ισόπλευρα τρίγωνα. ένα από τα πέντε κανονικά πολύεδρα. (Εικ. 1).

Δωδεκάεδρο- Δωδεκάεδρο, σώμα που οριοθετείται από δώδεκα πολύγωνα. κανονικό πεντάγωνο. (Εικ. 1).

εικοσάεδρο- ένα σώμα είκοσι πλευρών, ένα σώμα που οριοθετείται από είκοσι πολύγωνα. ένα κανονικό εικοσάεδρο οριοθετείται από είκοσι ισόπλευρα τρίγωνα. (Εικ. 1).

Ο κύβος και το οκτάεδρο είναι διπλά, δηλ. λαμβάνονται μεταξύ τους αν τα κεντροειδή των όψεων του ενός ληφθούν ως κορυφές του άλλου και αντίστροφα. Το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο είναι ομοίως διπλά. Το τετράεδρο είναι διπλό στον εαυτό του. Ένα κανονικό δωδεκάεδρο λαμβάνεται από έναν κύβο κατασκευάζοντας «στέγες» στις όψεις του (μέθοδος του Ευκλείδη), οι κορυφές ενός τετραέδρου είναι οποιεσδήποτε τέσσερις κορυφές του κύβου που δεν είναι κατά ζεύγη γειτονικές κατά μήκος μιας άκρης. Έτσι λαμβάνονται όλα τα άλλα κανονικά πολύεδρα από τον κύβο. Το ίδιο το γεγονός της ύπαρξης μόνο πέντε πραγματικά κανονικών πολύεδρων είναι εκπληκτικό - τελικά, υπάρχουν άπειρα κανονικά πολύγωνα στο επίπεδο!

Όλα τα κανονικά πολύεδρα ήταν γνωστά στην αρχαία Ελλάδα και σε αυτά είναι αφιερωμένο το 13ο βιβλίο των «Αρχών» του Ευκλείδη. Ονομάζονται και σώματα του Πλάτωνα, γιατί. κατέλαβαν σημαντική θέση στη φιλοσοφική αντίληψη του Πλάτωνα για τη δομή του σύμπαντος. Τέσσερα πολύεδρα προσωποποιούσαν σε αυτό τέσσερις ουσίες ή «στοιχεία». Το τετράεδρο συμβόλιζε τη φωτιά, γιατί. Η κορυφή του είναι στραμμένη προς τα πάνω. εικοσάεδρο; νερό, γιατί είναι ο πιο "εξορθολογισμένος"? κύβος - γη, ως το πιο "σταθερό"? οκτάεδρο? αέρα, ως το πιο «αέρινο». Το πέμπτο πολύεδρο, το δωδεκάεδρο, ενσάρκωνε «όλα όσα υπάρχουν», συμβόλιζε ολόκληρο το σύμπαν και θεωρούνταν το κύριο.

Οι αρχαίοι Έλληνες θεωρούσαν τις αρμονικές σχέσεις ως τη βάση του σύμπαντος, έτσι τα τέσσερα στοιχεία συνδέονταν με μια τέτοια αναλογία: γη / νερό = αέρας / φωτιά.

Σε σχέση με αυτά τα σώματα, θα ήταν σκόπιμο να πούμε ότι το πρώτο σύστημα στοιχείων, που περιλάμβανε τέσσερα στοιχεία; γη, νερό, αέρας και φωτιά - αγιοποιήθηκε από τον Αριστοτέλη. Αυτά τα στοιχεία παρέμειναν οι τέσσερις ακρογωνιαίοι λίθοι του σύμπαντος για πολλούς αιώνες. Είναι πολύ πιθανό να τα αναγνωρίσουμε με τις τέσσερις γνωστές σε εμάς καταστάσεις της ύλης - στερεό, υγρό, αέριο και πλάσμα.

Σημαντική θέση κατείχαν τα κανονικά πολύεδρα στο σύστημα της αρμονικής δομής του κόσμου από τον I. Kepler. Η ίδια πίστη στην αρμονία, την ομορφιά και τη μαθηματικά κανονική δομή του σύμπαντος οδήγησε τον I. Kepler στην ιδέα ότι εφόσον υπάρχουν πέντε κανονικά πολύεδρα, μόνο έξι πλανήτες αντιστοιχούν σε αυτά. Κατά τη γνώμη του, οι σφαίρες των πλανητών αλληλοσυνδέονται με τα πλατωνικά στερεά που είναι εγγεγραμμένα σε αυτές. Εφόσον για κάθε κανονικό πολύεδρο τα κέντρα των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων σφαιρών συμπίπτουν, ολόκληρο το μοντέλο θα έχει ένα ενιαίο κέντρο, στο οποίο θα βρίσκεται ο Ήλιος.

Έχοντας κάνει ένα τεράστιο υπολογιστικό έργο, το 1596 ο I. Kepler δημοσίευσε τα αποτελέσματα της ανακάλυψής του στο βιβλίο «The Secret of the Universe». Εγγράφει έναν κύβο στη σφαίρα της τροχιάς του Κρόνου, σε έναν κύβο; η σφαίρα του Δία, η σφαίρα του Δία - ένα τετράεδρο, και ούτω καθεξής χωρούν διαδοχικά μεταξύ τους τη σφαίρα του Άρη; δωδεκάεδρο, η σφαίρα της γης; Εικοσάεδρο, σφαίρα της Αφροδίτης; οκτάεδρο, η σφαίρα του Ερμή. Το μυστικό του σύμπαντος φαίνεται ανοιχτό.

Σήμερα μπορούμε να πούμε με ασφάλεια ότι οι αποστάσεις μεταξύ των πλανητών δεν σχετίζονται με κανένα πολύεδρο. Ωστόσο, είναι πιθανό ότι χωρίς τα «Μυστικά του Σύμπαντος», «Αρμονία του Κόσμου» του Ι. Κέπλερ, τα κανονικά πολύεδρα δεν θα υπήρχαν τρεις διάσημοι νόμοι του Ι. Κέπλερ, που παίζουν σημαντικός ρόλοςστην περιγραφή της κίνησης των πλανητών.

Πού αλλού μπορείτε να δείτε αυτά τα εκπληκτικά σώματα; Στο βιβλίο του Γερμανού βιολόγου των αρχών του περασμένου αιώνα E. Haeckel «Η ομορφιά των μορφών στη φύση» μπορεί κανείς να διαβάσει τις ακόλουθες γραμμές: «Η φύση τρέφεται στους κόλπους της ανεξάντλητη ποσότητα καταπληκτικά πλάσματαπου σε ομορφιά και ποικιλομορφία ξεπερνούν κατά πολύ όλες τις μορφές που δημιουργεί η ανθρώπινη τέχνη. "Οι δημιουργίες της φύσης που δίνονται σε αυτό το βιβλίο είναι όμορφες και συμμετρικές. Αυτή είναι μια αναπόσπαστη ιδιότητα της φυσικής αρμονίας. Αλλά και οι μονοκύτταροι οργανισμοί είναι ορατοί εδώ; feodarii, the το σχήμα του οποίου μεταφέρει με ακρίβεια το εικοσάεδρο Τι είναι αυτή η φυσική γεωμετρία που προκαλείται από το γεγονός ότι από όλα τα πολύεδρα με τον ίδιο αριθμό όψεων, είναι το εικοσάεδρο που έχει τον μεγαλύτερο όγκο και μικρότερη περιοχήεπιφάνειες. Αυτή η γεωμετρική ιδιότητα βοηθά τον θαλάσσιο μικροοργανισμό να ξεπεράσει την πίεση της στήλης του νερού.

Είναι επίσης ενδιαφέρον ότι ήταν το εικοσάεδρο που αποδείχθηκε ότι ήταν το επίκεντρο της προσοχής των βιολόγων στις διαφωνίες τους σχετικά με το σχήμα των ιών. Ο ιός δεν μπορεί να είναι απόλυτα στρογγυλός, όπως πιστεύαμε προηγουμένως. Για να καθορίσουν το σχήμα του, πήραν διάφορα πολύεδρα, κατεύθυναν το φως σε αυτά υπό τις ίδιες γωνίες με τη ροή των ατόμων προς τον ιό. Αποδείχθηκε ότι μόνο ένα πολύεδρο δίνει ακριβώς την ίδια σκιά; εικοσάεδρο. Του γεωμετρικές ιδιότητες, που αναφέρθηκε παραπάνω, σας επιτρέπει να αποθηκεύσετε γενετικές πληροφορίες. Κανονικά πολύεδρα; τα πιο κερδοφόρα στοιχεία. Και η φύση το εκμεταλλεύεται αυτό. Οι κρύσταλλοι κάποιων γνωστών σε μας ουσιών έχουν τη μορφή κανονικών πολύεδρων. Έτσι, ο κύβος μεταφέρει το σχήμα των κρυστάλλων χλωριούχου νατρίου NaCl, ο μονοκρύσταλλος στυπτηρίας αλουμινίου-καλίου (KAlSO4) 2 12H2O έχει σχήμα οκταέδρου, ο κρύσταλλος του θειούχου πυρίτη FeS έχει σχήμα δωδεκάεδρου σουλφονικού νατρίου, αντιμόνιο ένα τετράεδρο, το βόριο είναι ένα εικοσάεδρο. Τα κανονικά πολύεδρα καθορίζουν το σχήμα των κρυσταλλικών δικτυωμάτων ορισμένων χημικών ουσιών.

Έτσι, τα κανονικά πολύεδρα μας αποκάλυψαν τις προσπάθειες των επιστημόνων να προσεγγίσουν το μυστικό της παγκόσμιας αρμονίας και έδειξε την ακαταμάχητη ελκυστικότητα και ομορφιά αυτών των γεωμετρικών μορφών.

ΠΛΑΤΩΝΙΚΑ ΣΩΜΑΤΑ ΜΕ ΤΗ ΛΕΠΤΟΜΕΡΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥΣ

ΤΑ ΣΩΜΑΤΑ ΤΟΥ ΠΛΑΤΩΝΑ [Π. - από τα ελληνικά. Πλάτων (427-347 π.Χ. / Τ. - προέλευση. βλέπε ΣΩΜΑ), η συλλογή όλων των κανονικών πολύεδρων [δηλ. ε. ογκομετρικά (τρισδιάστατα) σώματα που οριοθετούνται από ίσα κανονικά πολύγωνα] του τρισδιάστατου Κόσμου, που περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον Πλάτωνα (το τελευταίο, XIII-ο βιβλίο των «Αρχών» του μαθητή του Πλάτωνα Ευκλείδη είναι επίσης αφιερωμένο σε αυτά). // με όλη την άπειρη ποικιλία κανονικών πολυγώνων (δισδιάστατα γεωμετρικά σχήματα που οριοθετούνται από ίσες πλευρές, γειτονικά ζεύγη των οποίων σχηματίζουν ίσες γωνίες), υπάρχουν μόνο πέντε ογκομετρικά P.T. (βλ. Πίνακας 6), σύμφωνα με την οποία, από την εποχή του Πλάτωνα, έχουν τοποθετηθεί τα πέντε στοιχεία του Σύμπαντος. Η σύνδεση που υπάρχει μεταξύ του εξάεδρου και του οκτάεδρου, καθώς και μεταξύ του δωδεκάεδρου και του εικοσάεδρου, είναι περίεργη: τα γεωμετρικά κέντρα των όψεων καθενός από τα πρώτα είναι οι κορυφές του καθενός από τα δεύτερα.

Ένα άτομο δείχνει ενδιαφέρον για τα πολύεδρα σε όλη τη συνειδητή του δραστηριότητα - από ένα δίχρονο παιδί που παίζει με ξύλινους κύβους μέχρι έναν ώριμο μαθηματικό. Μερικά από τα κανονικά και ημικανονικά σώματα εμφανίζονται στη φύση με τη μορφή κρυστάλλων, άλλα με τη μορφή ιών που μπορούν να φανούν με ηλεκτρονικό μικροσκόπιο. Τι είναι ένα πολύεδρο; Για να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα, ας θυμηθούμε ότι η ίδια η γεωμετρία μερικές φορές ορίζεται ως η επιστήμη του χώρου και των χωρικών μορφών - δισδιάστατων και τρισδιάστατων. Ένα δισδιάστατο σχήμα μπορεί να οριστεί ως ένα σύνολο γραμμικών τμημάτων που οριοθετούν ένα τμήμα ενός επιπέδου. Ένα τέτοιο επίπεδο σχήμα ονομάζεται πολύγωνο. Από αυτό προκύπτει ότι ένα πολύεδρο μπορεί να οριστεί ως ένα σύνολο πολυγώνων που οριοθετούν ένα τμήμα του τρισδιάστατου χώρου. Τα πολύγωνα που σχηματίζουν ένα πολύεδρο ονομάζονται όψεις του.

Από την αρχαιότητα, οι επιστήμονες ενδιαφέρθηκαν για τα «ιδανικά» ή κανονικά πολύγωνα, δηλαδή τα πολύγωνα που έχουν ίσες πλευρές και ίσες γωνίες. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο μπορεί να θεωρηθεί το απλούστερο κανονικό πολύγωνο, αφού έχει τον μικρότερο αριθμό πλευρών που μπορούν να περιορίσουν ένα τμήμα ενός επιπέδου. Η γενική εικόνα των κανονικών πολυγώνων που μας ενδιαφέρουν, μαζί με ένα ισόπλευρο τρίγωνο, είναι: ένα τετράγωνο (τέσσερις πλευρές), ένα πεντάγωνο (πέντε πλευρές), ένα εξάγωνο (έξι πλευρές), ένα οκτάγωνο (οκτώ πλευρές), ένα δεκάγωνο ( δέκα πλευρές) κ.λπ. Προφανώς, θεωρητικά δεν υπάρχουν περιορισμοί στον αριθμό των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου, δηλαδή ο αριθμός των κανονικών πολυγώνων είναι άπειρος.

Τι είναι ένα κανονικό πολύεδρο; Ένα πολύεδρο ονομάζεται κανονικό αν όλες οι όψεις του είναι ίσες (ή ίσες) μεταξύ τους και ταυτόχρονα είναι κανονικά πολύγωνα. Πόσα κανονικά πολύεδρα υπάρχουν; Με την πρώτη ματιά, η απάντηση σε αυτό το ερώτημα είναι πολύ απλή - όσα και κανονικά πολύγωνα. Ωστόσο, δεν είναι. Στα Στοιχεία του Ευκλείδη βρίσκουμε μια αυστηρή απόδειξη ότι υπάρχουν μόνο πέντε κανονικά πολύεδρα και ότι μόνο τρεις τύποι κανονικών πολυγώνων μπορούν να είναι οι όψεις τους: τρίγωνα, τετράγωνα και πεντάγωνα.

Όνομα Αριθμός προσώπων Στοιχείο
Tetrahedron 4 Fire
Εξάεδρο/Κύβος 6 Γη
Οκτάεδρο 8 Αέρας
Εικοσάεδρο 10 Νερό
Δωδεκάεδρο 12 Αιθέρας

Ο κόσμος των αστεριών πολύεδρων

Ο κόσμος μας είναι γεμάτος συμμετρία. Από την αρχαιότητα, οι ιδέες μας για την ομορφιά έχουν συνδεθεί με αυτήν. Ίσως αυτό εξηγεί το διαρκές ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα εκπληκτικά σύμβολα της συμμετρίας, που τράβηξαν την προσοχή πολλών επιφανών στοχαστών, από τον Πλάτωνα και τον Ευκλείδη μέχρι τον Euler και τον Cauchy.

Ωστόσο, τα πολύεδρα δεν αποτελούν σε καμία περίπτωση μόνο αντικείμενο επιστημονικής έρευνας. Οι μορφές τους είναι πλήρεις και παράξενες, χρησιμοποιούνται ευρέως στη διακοσμητική τέχνη.

Τα πολύεδρα σε σχήμα αστεριού είναι πολύ διακοσμητικά, γεγονός που τους επιτρέπει να χρησιμοποιούνται ευρέως στη βιομηχανία κοσμημάτων για την κατασκευή όλων των ειδών κοσμημάτων. Χρησιμοποιούνται επίσης στην αρχιτεκτονική. Πολλές μορφές αστρικών πολύεδρων προτείνονται από την ίδια τη φύση. Οι νιφάδες χιονιού είναι πολύεδρα σε σχήμα αστεριού. Από την αρχαιότητα, οι άνθρωποι προσπάθησαν να περιγράψουν όλους τους πιθανούς τύπους νιφάδων χιονιού και έχουν συντάξει ειδικούς άτλαντες. Αρκετές χιλιάδες διαφορετικοί τύποι νιφάδων χιονιού είναι πλέον γνωστοί.

αστρικό δωδεκάεδρο

Το μεγάλο αστρικό δωδεκάεδρο ανήκει στην οικογένεια των στερεών Kepler-Poinsot, δηλαδή των κανονικών μη κυρτών πολύεδρων. Οι όψεις του μεγάλου αστεριού δωδεκάεδρου είναι πενταγράμμες, όπως αυτές του μικρού αστεριού δωδεκάεδρου. Κάθε κορυφή συνδέει τρεις όψεις. Οι κορυφές του μεγάλου αστεριού δωδεκάεδρου συμπίπτουν με τις κορυφές του περιγεγραμμένου δωδεκάεδρου.

Το μεγάλο αστρικό δωδεκάεδρο περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον Κέπλερ το 1619. Αυτή είναι η τελευταία αστρική μορφή του κανονικού δωδεκάεδρου.

Δωδεκάεδρο

Οι αρχαίοι σοφοί έλεγαν: «Για να γνωρίσεις το αόρατο, κοίτα προσεκτικά το ορατό». Όσον αφορά τις ιερές δυνάμεις, το δωδεκάεδρο είναι το πιο ισχυρό πολύεδρο. Δεν είναι περίεργο που ο Σαλβαδόρ Νταλί επέλεξε αυτή τη φιγούρα για τον «Μυστικό Δείπνο» του. Σε αυτό, από δώδεκα πεντάγωνα - επίσης ισχυρή φιγούρα, συγκεντρώνονται δυνάμεις σε ένα σημείο - στον Ιησού Χριστό.

Δωδεκάεδρο(από τα ελληνικά δώδεκα - δώδεκα και έδρα - ακμή) είναι ένα κανονικό πολύεδρο, που αποτελείται από δώδεκα ισόπλευρα πεντάγωνα.

Το δωδεκάεδρο έχει 20 κορυφές και 30 ακμές.
Η κορυφή του δωδεκάεδρου είναι η κορυφή τριών πενταγώνων, επομένως το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε κάθε κορυφή είναι 324°.
Το άθροισμα των μηκών όλων των ακμών είναι 30α.
Το δωδεκάεδρο έχει κέντρο συμμετρίας και 15 άξονες συμμετρίας.

Καθένας από τους άξονες διέρχεται από τα μεσαία σημεία αντίθετων παράλληλων νευρώσεων. Το δωδεκάεδρο έχει 15 επίπεδα συμμετρίας. Οποιοδήποτε από τα επίπεδα συμμετρίας διέρχεται σε κάθε όψη από την κορυφή και το μέσο της απέναντι ακμής.

Τα κανονικά πολύεδρα προσελκύουν με την τελειότητα των μορφών τους, την πλήρη συμμετρία. Μερικά από τα σωστά και ημικανονικά σώματα εμφανίζονται στη φύση με τη μορφή κρυστάλλων, άλλα - με τη μορφή ιών, των απλούστερων μικροοργανισμών.
Οι κρύσταλλοι είναι σώματα που έχουν πολύπλευρο σχήμα. Εδώ είναι ένα παράδειγμα τέτοιων σωμάτων: ένας κρύσταλλος πυρίτη (θειώδης πυρίτης FeS) είναι ένα φυσικό μοντέλο ενός δωδεκάεδρου.
Ο ιός της πολιομυελίτιδας έχει σχήμα δωδεκάεδρου. Μπορεί να ζήσει και να πολλαπλασιαστεί μόνο σε κύτταρα ανθρώπων και πρωτευόντων. Αυτό, συγκεκριμένα, σημαίνει ότι μπορείτε να κολλήσετε πολιομυελίτιδα μόνο από ανθρώπους. Επιπλέον, πολλοί ιοί μεταδίδονται μέσω φορέων, που συχνά μεταφέρονται από αρθρόποδα (π.χ. τσιμπούρια). Τέτοιοι ιοί μπορούν να έχουν ένα ευρύ φάσμα ξενιστών, συμπεριλαμβανομένων τόσο των σπονδυλωτών όσο και των ασπόνδυλων.

Τα φύκια Volvox - ένας από τους απλούστερους πολυκύτταρους οργανισμούς - είναι ένα σφαιρικό κέλυφος, που αποτελείται κυρίως από επταγωνικά, εξαγωνικά και πενταγωνικά κύτταρα (δηλαδή κύτταρα που έχουν επτά, έξι ή πέντε γειτονικά, τρία κύτταρα συγκλίνουν σε κάθε "κορυφή").

Υπάρχουν περιπτώσεις που έχουν τόσο τετράγωνα όσο και οκταγωνικά κύτταρα, αλλά οι βιολόγοι έχουν παρατηρήσει ότι εάν δεν υπάρχουν τέτοια «μη τυπικά» κύτταρα (με λιγότερες από πέντε και περισσότερες από επτά) πλευρές, τότε υπάρχουν πάντα ακριβώς δώδεκα περισσότερα πενταγωνικά κύτταρα από τα επταγωνικά (μπορεί να υπάρχουν αρκετές εκατοντάδες ή και χιλιάδες κύτταρα συνολικά). Αυτή η δήλωση προκύπτει από τη γνωστή φόρμουλα Euler.
Τα φουλερένια είναι μια από τις μορφές άνθρακα. Ανακαλύφθηκαν ενώ προσπαθούσαν να μοντελοποιήσουν τις διαδικασίες που συμβαίνουν στο διάστημα. Αργότερα, επιστήμονες σε επίγεια εργαστήρια κατάφεραν να συνθέσουν και να μελετήσουν πολυάριθμα παράγωγα αυτών των σφαιρικών μορίων. Προέκυψε η χημεία των φουλερενίων. Ορισμένες ενώσεις που περιλαμβάνονται στο κρυσταλλικό πλέγμα του φουλλερενίου C60 αποδείχθηκαν «θερμοί υπεραγωγοί» με κρίσιμη θερμοκρασία έως και 117 Κ.
Γίνονται προσπάθειες να δημιουργηθούν υλικά με βάση τα φουλερένια για εκκολαπτόμενα μοριακά ηλεκτρονικά. Όλα αυτά είναι ενδιαφέροντα και σημαντικά. Αλλά τα φουλερένια, όπως αποδείχθηκε, βρίσκονται και σε επίγεια πετρώματα. Τώρα, με την παρουσία φουλερενίων στους σουνγκίτες, ορισμένοι λάτρεις συνδέουν τη θεραπευτική επίδραση των πολεμικών νερών που ανακαλύφθηκαν το 1714, με τα οποία θεραπεύτηκε ο Μέγας Πέτρος. Και οι τελευταίες ανακαλύψεις γεωχημικών μας κάνουν να επιστρέψουμε στο πρόβλημα της προέλευσης των φουλερενίων. Είναι πιθανό ότι καινούργιο χημική έρευνατα επίγεια φουλερένια θα ανοίξουν ελαφρώς άλλες σελίδες της πλούσιας ιστορίας του πλανήτη Γη!
Στην αλχημεία, μόνο αυτά τα στοιχεία αναφέρονται συνήθως: φωτιά, γη, αέρας και νερό. Ο αιθέρας αναφέρεται σπάνια γιατί είναι τόσο ιερός. Στην Πυθαγόρεια σχολή, αν απλώς ανέφερες τη λέξη «δωδεκάεδρο» έξω από τα τείχη του σχολείου, θα σε σκότωναν επί τόπου. Αυτή η φιγούρα θεωρήθηκε τόσο ιερή. Δεν μίλησαν καν για αυτήν. Διακόσια χρόνια αργότερα, κατά τη διάρκεια της ζωής του Πλάτωνα, μίλησαν για αυτήν, αλλά πολύ προσεκτικά. Γιατί; Επειδή το δωδεκάεδρο βρίσκεται στο εξωτερικό άκρο του ενεργειακό πεδίοκαι είναι η υψηλότερη μορφή συνείδησης. Όταν φτάσετε στο όριο των 55 ποδιών του ενεργειακού σας πεδίου, θα έχει σχήμα σφαίρας. Αλλά το εσωτερικό σχήμα που βρίσκεται πιο κοντά στη σφαίρα είναι το δωδεκάεδρο (στην πραγματικότητα, η σχέση δωδεκάεδρου-εικοσάεδρου). Επιπλέον, ζούμε μέσα σε ένα μεγάλο δωδεκάεδρο που περιέχει το σύμπαν. Όταν το μυαλό σου φτάσει στο όριο του χώρου του σύμπαντος -και υπάρχει ένα όριο- τότε σκοντάφτει σε ένα δωδεκάεδρο κλειστό σε μια σφαίρα. Το δωδεκάεδρο είναι το τελικό σχήμα της γεωμετρίας και είναι πολύ σημαντικό.
Σε μικροσκοπικό επίπεδο, το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο είναι οι σχετικές διαστάσεις του DNA βάσει των οποίων χτίζεται όλη η ζωή. Μπορείτε επίσης να δείτε ότι το μόριο του DNA είναι ένας περιστρεφόμενος κύβος. Όταν ο κύβος περιστρέφεται διαδοχικά κατά 72 μοίρες σύμφωνα με ένα συγκεκριμένο μοντέλο, προκύπτει ένα εικοσάεδρο, το οποίο, με τη σειρά του, είναι ένα ζεύγος δωδεκάεδρου.
Έτσι, ο διπλός κλώνος της έλικας του DNA χτίζεται με βάση την αρχή της αμφίδρομης αντιστοιχίας: το εικοσάεδρο ακολουθείται από το δωδεκάεδρο, μετά πάλι το εικοσάεδρο και ούτω καθεξής. Αυτή η περιστροφή μέσω του κύβου δημιουργεί ένα μόριο DNA.
Η δομή του DNA βασίζεται στην ιερή γεωμετρία, αν και μπορεί να αποκαλυφθούν άλλες κρυφές σχέσεις.
Το βιβλίο Heartmath του Dan Winter δείχνει ότι το μόριο DNA αποτελείται από τις δυαδικές σχέσεις των δωδεκαέδρων και των εικοσάεδρων.

Τρέχουσα σελίδα: 4 (το σύνολο του βιβλίου έχει 36 σελίδες) [προσβάσιμο αναγνωστικό απόσπασμα: 9 σελίδες]

Πλάτων Ι: Δομή από συμμετρία - Πλατωνικά στερεά

Τα πλατωνικά στερεά υποστηρίζουν κάποιο είδος μαγείας γύρω τους. Πάντα ήταν και παραμένουν εκείνα τα αντικείμενα με τα οποία μπορείς να κάνεις μαγικά. Έχουν τις ρίζες τους βαθιά στην προϊστορική εποχή της ανθρωπότητας και τώρα ζουν ως αντικείμενα που υπόσχονται καλή ή κακή τύχη στα πιο διάσημα επιτραπέζια παιχνίδια, ιδιαίτερα στα περίφημα Dungeons and Dragons. Επιπλέον, η μυστηριώδης δύναμή τους έχει εμπνεύσει τους επιστήμονες σε μερικές από τις πιο σημαίνουσες ανακαλύψεις στην ανάπτυξη των μαθηματικών και της φυσικής. Η ανέκφραστη ομορφιά τους αξίζει βαθιάς συγκέντρωσης πάνω τους.

Ο Άλμπρεχτ Ντύρερ, στο χαρακτικό του "Melancholia I" (ειλ. 4), υπονοεί τη γοητεία των κανονικών πολύεδρων, αν και το σώμα που απεικονίζεται στην εικόνα του δεν είναι εντελώς πλατωνικό. (Τεχνικά, είναι ένα κολοβωμένο τριγωνικό τραπεζόεδρο. Μπορεί να επιτευχθεί με το τέντωμα των όψεων του οκταέδρου με έναν συγκεκριμένο τρόπο.) Ίσως η φτερωτή ιδιοφυΐα έπεσε σε μελαγχολία επειδή δεν μπορούσε να καταλάβει γιατί το κακό νυχτερίδαπέταξε στο γραφείο του ακριβώς αυτό, όχι εντελώς πλατωνικό στερεό αντί για κανονική φιγούρα.

Εγώ θα. 4. Άλμπρεχτ Ντύρερ «Μελαγχολία Ι»

Ο πίνακας δείχνει ένα περικομμένο πλατωνικό στερεό, μαγικό τετράγωνοκαι πολλά άλλα εσωτερικά σύμβολα. Από την άποψή μου, απεικονίζει τέλεια την ενόχληση που νιώθω συχνά όταν προσπαθώ να κατανοήσω την πραγματικότητα με μια καθαρή ιδέα. Ευτυχώς, αυτό δεν συμβαίνει πάντα.

Κανονικά πολύγωνα

Πριν προχωρήσουμε στα πλατωνικά στερεά, ας ξεκινήσουμε με κάτι πιο απλό - με τα πλησιέστερα ανάλογα τους σε δύο διαστάσεις, δηλαδή τα κανονικά πολύγωνα. Ένα κανονικό πολύγωνο είναι ένα επίπεδο σχήμα στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες και συναντώνται σε ίσες γωνίες. Το απλούστερο κανονικό πολύγωνο έχει τρεις πλευρές - είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Ακολουθεί ένα τετράγωνο με τέσσερις πλευρές. Στη συνέχεια - ένα κανονικό πεντάγωνο ή πεντάγωνο (το οποίο επιλέχθηκε ως σύμβολο των Πυθαγορείων και ελήφθη ως βάση στο σχεδιασμό του γνωστού αρχηγείου των ενόπλων δυνάμεων 9
Αυτό αναφέρεται στο Πεντάγωνο - το κύριο διοικητικό κτίριο του Υπουργείου Άμυνας των ΗΠΑ. - Σημείωση. ανά.

), ένα εξάγωνο (τμήμα κυψέλης και, όπως θα δούμε στη συνέχεια, γραφένιο 10
Ένα στρώμα ατόμων άνθρακα συνδεδεμένο σε ένα εξαγωνικό δισδιάστατο κρυσταλλικό πλέγμα. - Σημείωση. ανά.

), ένα επτάγωνο (μπορεί να το βρεις σε διάφορα νομίσματα), ένα οκτάγωνο (υποχρεωτικά σημάδια στοπ), ένα μηγωνικό ... Αυτή η σειρά μπορεί να συνεχιστεί επ' αόριστον: για κάθε ακέραιο αριθμό, ξεκινώντας από το τρία, υπάρχει ένα μοναδικό κανονικό πολύγωνο. Σε κάθε περίπτωση, ο αριθμός των κορυφών είναι ίσος με τον αριθμό των πλευρών. Μπορούμε επίσης να θεωρήσουμε τον κύκλο ως ακραία περίπτωση ενός κανονικού πολυγώνου, όπου ο αριθμός των πλευρών γίνεται άπειρος.

Τα κανονικά πολύγωνα, με κάποια διαισθητική έννοια, μπορούν να λάβουν την έννοια της ιδανικής ενσωμάτωσης επίπεδων «ατόμων». Μπορούν να χρησιμεύσουν ως εννοιολογικά άτομα από τα οποία μπορούμε να συνθέσουμε πιο σύνθετες δομές τάξης και συμμετρίας.

Πλατωνικά Στερεά

Τώρα ας περάσουμε από τις επίπεδες φιγούρες στις τρισδιάστατες. Για μέγιστη ομοιομορφία, μπορούμε να γενικεύσουμε την έννοια του κανονικού πολυέδρου με διάφορους τρόπους. Το πιο φυσικό από αυτά, που αποδεικνύεται και το πιο γόνιμο, οδηγεί στα πλατωνικά στερεά. Μιλάμε για τρισδιάστατα σώματα, των οποίων οι όψεις είναι κανονικά πολύγωνα, όλα ίδια και κλείνουν με τον ίδιο τρόπο σε κάθε κορυφή. Τότε, αντί για μια άπειρη σειρά λύσεων, παίρνουμε ακριβώς πέντε σώματα!

Εγώ θα. 5. Πέντε πλατωνικά στερεά - μαγικές φιγούρες

Τα πέντε πλατωνικά στερεά είναι:

τετράεδρομε τέσσερις τριγωνικές όψεις και τέσσερις κορυφές, σε καθεμία από τις οποίες συγκλίνουν τρεις όψεις.

οκτάεδρομε οκτώ τριγωνικές όψεις και έξι κορυφές, καθεμία από τις οποίες συγκλίνει τέσσερις όψεις.

εικοσάεδρομε 20 τριγωνικές όψεις και 12 κορυφές, σε καθεμία από τις οποίες συγκλίνουν πέντε όψεις.

Δωδεκάεδρομε 20 πενταγωνικές όψεις και 20 κορυφές, σε καθεμία από τις οποίες συγκλίνουν τρεις όψεις.

Κύβοςμε έξι τετράγωνες όψεις και οκτώ κορυφές, καθεμία από τις οποίες συναντά τρεις όψεις.

Η ύπαρξη αυτών των πέντε πολύεδρων είναι εύκολα κατανοητή και τα μοντέλα τους μπορούν να κατασκευαστούν χωρίς μεγάλη δυσκολία. Γιατί όμως είναι μόνο πέντε; (Ή υπάρχουν και άλλοι;)

Για να αντιμετωπίσετε αυτήν την ερώτηση, παρατηρήστε ότι οι κορυφές του τετραέδρου, του οκταέδρου και του εικοσάεδρου ενώνουν τρία, τέσσερα και πέντε τρίγωνα που συγκλίνουν μεταξύ τους και κάντε την ερώτηση: "Τι θα συμβεί αν συνεχίσουμε και είναι έξι;" Τότε θα καταλάβουμε ότι έξι ισόπλευρα τρίγωνα που έχουν κοινή κορυφή θα βρίσκονται στο επίπεδο. Όσο κι αν επαναλάβουμε αυτό το επίπεδο αντικείμενο, δεν θα μας επιτρέψει να φτιάξουμε μια ολοκληρωμένη φιγούρα που περιορίζει έναν συγκεκριμένο όγκο. Αντίθετα, το σχήμα θα εξαπλωθεί επ 'αόριστον σε όλο το επίπεδο, όπως φαίνεται στο Σχ. 6 (αριστερά).

Εγώ θα. 6. Τρεις άπειρες πλατωνικές επιφάνειες

Το σχήμα δείχνει μόνο τα τελικά τους μέρη. Αυτές οι τρεις σωστές αντικαταστάσεις για το αεροπλάνο μπορούν και πρέπει να εκληφθούν ως παρόμοιες με τα πλατωνικά στερεά - τα άσωτα αδέρφια τους που πήγαν σε προσκύνημα και δεν θα επιστρέψουν ποτέ.

Θα έχουμε τα ίδια αποτελέσματα αν ταιριάξουμε τέσσερα τετράγωνα ή τρία εξάγωνα. Αυτά τα τρία σωστές ενότητεςστο επίπεδο - άξιες προσθήκες στα πλατωνικά στερεά. Περαιτέρω θα δούμε πώς ζωντανεύουν στον μικρόκοσμο (εισ. 29).

Αν προσπαθήσουμε να χωρέσουμε περισσότερα από έξι ισόπλευρα τρίγωνα, τέσσερα τετράγωνα ή οποιαδήποτε τρία μεγάλα κανονικά πολύγωνα, θα μας τελειώσει ο χώρος και απλά δεν μπορούμε να τοποθετήσουμε τη συνολική τους γωνία γύρω από την κορυφή. Και έτσι τα πέντε πλατωνικά στερεά είναι όλα πεπερασμένα κανονικά πολύεδρα που μπορούν να υπάρχουν.

Είναι σημαντικό ότι βέβαιο πεπερασμένος αριθμός- πέντε - προκύπτει από εκτιμήσεις γεωμετρικής ορθότητας και συμμετρίας. Η ορθότητα και η συμμετρία είναι φυσικά και υπέροχα πράγματα που πρέπει να σκεφτείς, αλλά δεν έχουν καμία προφανή ή άμεση σχέση με ορισμένους αριθμούς. Όπως θα δούμε, ο Πλάτων το ερμήνευσε αυτό δύσκολη υπόθεσητην ανάδειξή τους με έναν εκπληκτικά δημιουργικό τρόπο.

Ιστορικό

Συχνά ΔΙΑΣΗΜΟΙ ΑνθρωποιΗ φήμη δίνεται για τις ανακαλύψεις που έκαναν άλλοι. Αυτό είναι το «φαινόμενο του Ματθαίου», που ανακαλύφθηκε από τον κοινωνιολόγο Ρόμπερτ Μέρτον και βασίζεται στις γραμμές από το Ευαγγέλιο του Ματθαίου:

Διότι σε όποιον έχει, θα δοθεί, και θα έχει αφθονία, αλλά από αυτόν που δεν έχει, θα ληφθεί και αυτό που έχει. 11
Ευαγγέλιο κατά Ματθαίον 13:12. - Σημείωση. ανά.

Αυτό συνέβη με τα πλατωνικά στερεά.

Στο Μουσείο Ashmoline του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης 12
Μουσείο Τέχνης και Αρχαιολογίας, Οξφόρδη. - Σημείωση. ανά.

Μπορείτε να δείτε ένα σταντ με πέντε λαξευμένες πέτρες, φτιαγμένο γύρω στο 2000 π.Χ. μι. στη Σκωτία, που φαίνεται να είναι πραγματώσεις των πέντε πλατωνικών στερεών (αν και ορισμένοι μελετητές το αμφισβητούν). Προφανώς, χρησιμοποιήθηκαν σε κάποιο είδος παιχνιδιού με ζάρια. Μπορεί κανείς να φανταστεί πώς οι άνθρωποι των σπηλαίων μαζεύτηκαν γύρω από μια κοινή φωτιά και χάραξαν τα «μπουντρούμια και τους δράκους» της παλαιολιθικής εποχής. Είναι πολύ πιθανό όχι ο Πλάτωνας, αλλά ο σύγχρονος του Θεαίτητος (417-369 π.Χ.) να ήταν ο πρώτος που απέδειξε μαθηματικά ότι αυτά τα ίδια πέντε σώματα είναι τα μόνα πιθανά κανονικά πολύεδρα. Δεν είναι σαφές σε ποιο βαθμό ο Πλάτωνας ενέπνευσε τον Θεαίτητο ή το αντίστροφο, ή αν υπήρχε κάτι στον αέρα της αρχαίας Αθήνας που ενέπνευσαν και οι δύο. Σε κάθε περίπτωση, τα πλατωνικά στερεά πήραν το όνομά τους επειδή ο Πλάτωνας τα χρησιμοποίησε αρχικά στο έργο μιας ιδιοφυΐας προικισμένης δημιουργική φαντασίανα δημιουργήσει μια θεωρία του φυσικού κόσμου με οραματικό τρόπο.

Εγώ θα. 7. Προπλατωνικές εικόνες των πλατωνικών στερεών, που μπορεί να χρησιμοποιήθηκαν σε παιχνίδια με ζάρια γύρω στο 2000 π.Χ. μι.

Κοιτάζοντας σε ένα πολύ πιο μακρινό παρελθόν, καταλαβαίνουμε ότι μερικά από τα πιο απλά πλάσματα της βιόσφαιρας, συμπεριλαμβανομένων των ιών και των διατόμων (όχι ζεύγη ατόμων, όπως θα μπορούσε κανείς να σκεφτεί από το όνομα, αλλά φύκια, τα οποία συχνά αναπτύσσουν περίτεχνα κελύφη με τη μορφή Πλατωνικά στερεά), όχι μόνο «ανακαλύφθηκαν», αλλά και κυριολεκτικά ενσάρκωσαν τα πλατωνικά στερεά πολύ πριν εμφανιστούν οι πρώτοι άνθρωποι στη Γη. ιός έρπητα? ο ιός που προκαλεί ηπατίτιδα Β. ο ιός της ανθρώπινης ανοσοανεπάρκειας και οι ιοί πολλών άλλων ασθενειών έχουν σχήμα εικοσάεδρου ή δωδεκάεδρου. Ενσωματώνουν το γενετικό τους υλικό —DNA ή RNA— σε κάψουλες εξωσκελετού πρωτεΐνης που καθορίζουν τα εξωτερικά τους σχήματα, όπως φαίνεται στο χρωματικό πλαίσιο D. Οι κάψουλες είναι χρωματικά κωδικοποιημένες έτσι ώστε τα ίδια χρώματα να αντιπροσωπεύουν τα ίδια δομικά στοιχεία. Η σύνδεση τριών πενταγώνων, χαρακτηριστική του δωδεκάεδρου, τραβάει τα βλέμματα. Αλλά αν τραβήξουμε ευθείες γραμμές μέσα από τα κέντρα των μπλε περιοχών, τότε θα δούμε ένα εικοσάεδρο.

Πιο πολύπλοκα μικροσκοπικά πλάσματα, συμπεριλαμβανομένων των ραδιολαρίων που ο Ernst Haeckel άρεσε να απεικονίζει στο εξαιρετικό βιβλίο του The Beauty of Forms in Nature, ζωντανεύουν επίσης τα πλατωνικά στερεά. Σε άρρωστο. 8 βλέπουμε τον περίπλοκο εξωσκελετό πυριτίου αυτών των μονοκύτταρων οργανισμών. Οι ακτινοβολίες είναι μια αρχαία μορφή ζωής που βρέθηκε στα πρώτα απολιθώματα. Οι ωκεανοί είναι γεμάτοι από αυτά σήμερα. Καθένα από τα πέντε πλατωνικά στερεά ενσωματώνεται σε έναν ορισμένο αριθμό είδοςζωντανοί οργανισμοί. Τα ονόματα μερικών από αυτά έφτιαξαν ακόμη και τη μορφή τους, συμπεριλαμβανομένων Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedraΚαι Κυρκορραγία δωδεκάεδρων.

Η εμπνευσμένη ιδέα του Ευκλείδη

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη είναι το σπουδαιότερο εγχειρίδιο όλων των εποχών και άλλα βιβλία δεν τους ταιριάζουν. Αυτό το βιβλίο έφερε σύστημα και αυστηρότητα στη γεωμετρία. Ευρύτερα, εισήγαγε στη σφαίρα των ιδεών -μέσω πρακτικής εφαρμογής- τη μέθοδο της ανάλυσης και της σύνθεσης.

Εγώ θα. 8. Οι ακτινοβολίες γίνονται ορατές κάτω από τον φακό του απλούστερου μικροσκοπίου. Οι εξωσκελετές τους συχνά δείχνουν τη συμμετρία των πλατωνικών στερεών.

Η Ανάλυση και η Σύνθεση είναι η προτιμώμενη διατύπωση «αναγωγισμού» για τον Ισαάκ Νεύτωνα και για εμάς επίσης. Να τι λέει ο Newton:

Με μια τέτοια ανάλυση μπορούμε να περάσουμε από τις ενώσεις στα συστατικά, από τις κινήσεις στις δυνάμεις που τις παράγουν και γενικά από τα αποτελέσματα στις αιτίες τους, από τις συγκεκριμένες αιτίες σε πιο γενικές, μέχρι να τελειώσει το επιχείρημα με την πιο γενική αιτία. Αυτή είναι η μέθοδος ανάλυσης, ενώ η σύνθεση προϋποθέτει αιτίες που ανακαλύπτονται και καθιερώνονται ως αρχές. συνίσταται στην εξήγηση μέσω αρχών των φαινομένων που προέρχονται από αυτές και στην απόδειξη των εξηγήσεων 13
Cit. Παράθεση από: Newton I. Optics, ή μια πραγματεία για τις αντανακλάσεις, τις διαθλάσεις, τις κάμψεις και τα χρώματα του φωτός. - M.-L.: Gosizdat, 1927. - S. 306.

Αυτή η στρατηγική μπορεί να συγκριθεί με την προσέγγιση του Ευκλείδη στη γεωμετρία, όπου ξεκινά με απλά, διαισθητικά αξιώματα για να συναγάγει από αυτά πιο περίπλοκες και εκπληκτικές συνέπειες. Το μεγάλο Principia Mathematica του Νεύτωνα, το ιδρυτικό έγγραφο της σύγχρονης μαθηματικής φυσικής, ακολουθεί επίσης το εκθετικό στυλ του Ευκλείδη, κινούμενο βήμα προς βήμα από τα αξιώματα μέσω λογικών κατασκευών σε πιο σημαντικά αποτελέσματα.

Είναι σημαντικό να τονίσουμε ότι τα αξιώματα (ή οι νόμοι της φυσικής) δεν σας λένε τι να κάνετε με αυτά. Συγκεντρώνοντάς τα μαζί χωρίς κανένα σκοπό, είναι εύκολο να δημιουργήσετε έναν μεγάλο αριθμό του τίποτα. ουσιαστικά γεγονόταπου σύντομα θα ξεχαστεί. Είναι σαν ένα κομμάτι ή ένα μουσικό κομμάτι που τριγυρνά σαν αδέσποτο και δεν φτάνει πουθενά. Όπως έχουν διαπιστώσει όσοι προσπάθησαν να προσαρμόσουν την τεχνητή νοημοσύνη για να λύσουν δημιουργικά μαθηματικά προβλήματα, το πιο δύσκολο πράγμα σε αυτήν την επιχείρηση είναι να καθορίσεις τους στόχους. Έχοντας κατά νου έναν αξιόλογο στόχο, γίνεται ευκολότερο να βρεις τα μέσα για να τον πετύχεις. Λατρεύω τα μπισκότα τύχης και μόλις βρήκα το πιο τυχερό μπισκότο στον κόσμο, το ρητό που βρήκα σε αυτό τα συνοψίζει όλα τέλεια:

Το ίδιο το έργο θα σας διδάξει πώς να το κάνετε.

Και, φυσικά, για καλύτερη μάθηση, είναι δελεαστικό για τους μαθητές και τους πιθανούς αναγνώστες να έχουν μπροστά τους έναν εμπνευσμένο στόχο. Από την αρχή, εντυπωσιάζονται βαθιά με τη γνώση ότι μπορούν να προλάβουν την αίσθηση του εκπληκτικού κόλπου της δημιουργίας μιας κατασκευής που κινείται απαρέγκλιτα από «προφανή» αξιώματα σε πολύ από προφανή συμπεράσματα.

Ποιος ήταν λοιπόν ο στόχος του Ευκλείδη στα Στοιχεία; Ο δέκατος τρίτος και τελευταίος τόμος αυτού του αριστουργήματος ολοκληρώνεται με την κατασκευή των πέντε πλατωνικών στερεών και την απόδειξη γιατί υπάρχουν μόνο πέντε. Με ευχαριστεί να σκέφτομαι —πολύ περισσότερο αφού είναι αρκετά εύλογο— ότι ο Ευκλείδης σκεφτόταν αυτό το συμπέρασμα όταν άρχισε να εργάζεται για ολόκληρο το βιβλίο και ενώ το έγραφε. Είτε έτσι είτε αλλιώς, είναι ένα κατάλληλο και ικανοποιητικό συμπέρασμα.

Πλατωνικά στερεά ως άτομα

Οι αρχαίοι Έλληνες αναγνώρισαν τέσσερα βασικά συστατικά, ή στοιχεία, στον υλικό κόσμο: τη φωτιά, το νερό, τη γη και τον αέρα. Ίσως έχετε παρατηρήσει ότι ο αριθμός των στοιχείων - τέσσερα - είναι κοντά στα πέντε, ο αριθμός των κανονικών πολύεδρων. Ο Πλάτων φυσικά παρατήρησε! Στον πιο έγκυρο, προφητικό και ακατανόητο διάλογό του, τον Τίμαιο, βρίσκει κανείς μια θεωρία των στοιχείων που βασίζεται στα πολύεδρα. Αποτελείται από τα εξής.

Κάθε στοιχείο αποτελείται από ορισμένους τύπους ατόμων. Τα άτομα έχουν τη μορφή πλατωνικών στερεών: τα άτομα της φωτιάς έχουν τη μορφή τετραέδρου, τα άτομα του νερού έχουν ένα εικοσάεδρο, τα άτομα της γης έχουν έναν κύβο, τα άτομα του αέρα έχουν ένα οκτάεδρο.

Υπάρχει κάποια αληθοφάνεια σε αυτούς τους ισχυρισμούς. Δίνουν εξηγήσεις. Τα άτομα της φωτιάς έχουν έντονα σχήματα, γεγονός που εξηγεί γιατί η φωτιά είναι επώδυνη στην αφή. Τα άτομα του νερού είναι τα πιο ομαλά και στρογγυλότερα, ώστε να μπορούν να ρέουν ομαλά το ένα γύρω από το άλλο. Τα άτομα της γης μπορούν να πιεστούν σφιχτά μεταξύ τους και να γεμίσουν τον χώρο χωρίς κενά. Ο αέρας, ο οποίος μπορεί να είναι τόσο ζεστός όσο και υγρός, έχει μια ενδιάμεση μορφή ατόμων μεταξύ φωτιάς και νερού.

Αν και το τέσσερα είναι κοντά στο πέντε, δεν μπορούν να είναι ίσα, επομένως δεν μπορεί να υπάρξει πλήρης αντιστοίχιση μεταξύ των κανονικών πολύεδρων, που θεωρούνται άτομα, και των στοιχείων. Ένας λιγότερο προικισμένος στοχαστής θα αποθαρρυνόταν ίσως από αυτή τη δυσκολία, αλλά ο λαμπρός Πλάτων δεν έχασε την παρουσία του μυαλού του. Το πήρε και ως πρόκληση και ως ευκαιρία. Πρότεινε ότι το εναπομείναν κανονικό πολύεδρο, το δωδεκάεδρο, έπαιζε επίσης ρόλο στα χέρια του Δημιουργού-κατασκευαστή, αλλά όχι ως άτομο. Όχι, το δωδεκάεδρο δεν είναι απλώς κάποιο είδος ατόμου, αλλά επαναλαμβάνει το σχήμα του ίδιου του Σύμπαντος στο σύνολό του.

Ο Αριστοτέλης, που πάντα προσπαθούσε να ξεπεράσει τον Πλάτωνα, πρότεινε μια άλλη, πιο συντηρητική και συνεπή θεωρία. Οι δύο κύριες ιδέες αυτών των σημαντικών φιλοσόφων ήταν ότι το φεγγάρι, οι πλανήτες και τα αστέρια που κατοικούν θόλος του ουρανού, αποτελούνται από μια εντελώς διαφορετική ύλη από αυτή που μπορούμε να βρούμε στον υποσεληνιακό κόσμο, και ότι «η φύση δεν ανέχεται το κενό». Έτσι, ο ουράνιος χώρος δεν θα μπορούσε να είναι κενός. Αυτός ο συλλογισμός απαιτούσε την ύπαρξη ενός πέμπτου στοιχείου, ή πεμπτουσίας, εκτός από τη γη, τη φωτιά, το νερό και τον αέρα, για να γεμίσει το στερέωμα. Έτσι το δωδεκάεδρο βρήκε τη θέση του ως το άτομο της πεμπτουσίας ή του αιθέρα.

Σήμερα είναι δύσκολο να συμφωνήσουμε με τις λεπτομέρειες και των δύο αυτών θεωριών. Δεν είναι χρήσιμο για την επιστήμη να αναλύει τον κόσμο με βάση αυτά τα τέσσερα (ή πέντε) στοιχεία. Στη σύγχρονη άποψη, τα άτομα δεν είναι καθόλου στερεά σώματα, και ακόμη περισσότερο δεν έχουν τη μορφή πλατωνικών στερεών. Η θεωρία του Πλάτωνα για τα στοιχεία από τη σημερινή σκοπιά φαίνεται ωμή και απελπιστικά λανθασμένη από κάθε άποψη.

Δομή από συμμετρία

Όμως, αν και οι απόψεις του Πλάτωνα απέτυχαν ως επιστημονική θεωρία, ήταν επιτυχημένες ως πρόβλεψη και, θα έλεγα, ως έργο πνευματικής τέχνης. Για να εκτιμήσουμε την ιδέα με αυτή την ιδιότητα, πρέπει να απομακρυνθούμε από τις λεπτομέρειες και να την δούμε συνολικά. Μια βαθιά, βασική εικασία στο σύστημα του φυσικού κόσμου από τη σκοπιά του Πλάτωνα είναι ότι αυτός ο κόσμος πρέπει, σε γενικές γραμμές, να ενσωματώνει όμορφες έννοιες. Και αυτή η ομορφιά πρέπει να είναι μια ομορφιά ενός ιδιαίτερου είδους: η ομορφιά της μαθηματικής ορθότητας, η τέλεια συμμετρία. Για τον Πλάτωνα, όπως και για τον Πυθαγόρα, αυτή η εικασία ήταν ταυτόχρονα πεποίθηση, λαχτάρα και θεμελιώδης αρχή. Λαχταρούσαν να φέρουν το Νου σε αρμονία με την Ουσία, δείχνοντας ότι η Ουσία αποτελείται από τα πιο αγνά προϊόντα του Νου.

Είναι σημαντικό να τονιστεί ότι ο Πλάτων ανήλθε στις ιδέες του πάνω από το γενικά αποδεκτό επίπεδο των φιλοσοφικών γενικεύσεων της εποχής του, προκειμένου να κάνει ορισμένες δηλώσεις σχετικά με το τι είναι η ύλη. Οι ιδιόρρυθμες, αν και λάθος, ιδέες του δεν εμπίπτουν στην περιβόητη κατηγορία «ούτε καν λάθος». 14
Ο διάσημος θεωρητικός φυσικός Βόλφγκανγκ Πάουλι λέγεται ότι κάποτε επέκρινε την αβοήθητη δουλειά ενός νεαρού επιστήμονα με τις παροιμιώδεις λέξεις: «Αυτό δεν είναι μόνο λάθος, ούτε καν στερείται λάθους!». - Σημείωση. ανά.

Όπως είδαμε, ο Πλάτων έκανε ακόμη και κάποια βήματα προς τη σύγκριση αυτής της θεωρίας με την πραγματικότητα. Η φωτιά καίγεται επειδή το τετράεδρο έχει αιχμηρές άκρες, το νερό ρέει επειδή τα εικοσάεδρα κυλίονται εύκολα το ένα πάνω στο άλλο, και ούτω καθεξής. χημικές αντιδράσειςκαι ιδιότητες σύνθετων (που αποτελούνται από περισσότερα από ένα στοιχεία) ουσιών. Αυτές οι εξηγήσεις βασίζονται στη γεωμετρία των ατόμων. Αλλά αυτές οι χαμένες προσπάθειες απέχουν καταθλιπτικά από αυτό που, με όλη μας την επιθυμία, θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ως σοβαρή πειραματική απόδειξη μιας επιστημονικής θεωρίας, και ακόμη πιο μακριά από τη χρήση επιστημονική γνώσηγια πρακτικούς σκοπούς.

Ωστόσο, οι απόψεις του Πλάτωνα με διάφορους τρόπους προβλέπουν τις σύγχρονες ιδέες που βρίσκονται στην πρώτη γραμμή της επιστημονικής σκέψης σήμερα.

Αν και τα δομικά στοιχεία της ύλης που πρότεινε ο Πλάτων δεν είναι καθόλου αυτά που γνωρίζουμε σήμερα, η ίδια η ιδέα ότι υπάρχουν μόνο λίγα δομικά στοιχεία που υπάρχουν σε πολλά πανομοιότυπα αντίγραφα παραμένει θεμελιώδης.

Αλλά ακόμα κι αν αυτή η αόριστη εμπνευσμένη ιδέα δεν ληφθεί υπόψη, η πιο συγκεκριμένη αρχή κατασκευής της θεωρίας του Πλάτωνα είναι να τονίσει δομέςαπό συμμετρίαάφησε το στίγμα του στους αιώνες. Φτάνουμε σε έναν μικρό αριθμό ειδικών δομών από καθαρά μαθηματικούς λόγους - θεωρήσεις συμμετρίας - και τις παρουσιάζουμε στη φύση ως πιθανά στοιχείατα κτίριά της. Το είδος της μαθηματικής συμμετρίας που επέλεξε ο Πλάτωνας για να συντάξει τον κατάλογο των συστατικών του στοιχείων είναι αρκετά διαφορετικό από τη συμμετρία που χρησιμοποιούμε σήμερα. Αλλά η ιδέα του τι βρίσκεται στην καρδιά της Φύσης ψέματαΗ συμμετρία έχει κυριαρχήσει στην αντίληψή μας για τη φυσική πραγματικότητα. Η εικαστική ιδέα ότι η συμμετρία ορίζει τη δομή -δηλαδή ότι μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει υψηλές απαιτήσεις μαθηματικής τελειότητας για να καταλήξει σε μια μικρή λίστα πιθανών υλοποιήσεων και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσει αυτή τη λίστα ως οδηγό για την οικοδόμηση ενός μοντέλου του κόσμου- έγινε ο οδηγός μας αστέρι.στα όρια του αγνώστου, μη σημειωμένο σε κανένα χάρτη. Αυτή η ιδέα είναι σχεδόν βλάσφημη στην απερισκεψία της, αφού ισχυρίζεται ότι μπορούμε να καταλάβουμε πώς ενήργησε ο Δάσκαλος και να γνωρίζουμε ακριβώς πώς έγιναν όλα. Και, όπως θα δούμε στη συνέχεια, αποδείχθηκε απολύτως σωστό.

Για να προσδιορίσει τον Δημιουργό του φυσικού κόσμου, ο Πλάτων χρησιμοποίησε τη λέξη «δημιούργος». Η κυριολεκτική του σημασία είναι «κύριος». συνήθως μεταφράζεται με τη λέξη "δημιουργός", η οποία δεν είναι απολύτως αληθής. Ο Πλάτωνας διάλεξε αυτή την ελληνική λέξη πολύ προσεκτικά. Αντανακλά την πεποίθησή του ότι ο φυσικός κόσμος δεν ήταν η απόλυτη πραγματικότητα. Υπάρχει επίσης ένας αιώνιος και διαχρονικός κόσμος Ιδεών που υπάρχουν πριν από κάθε, με την ανάγκη μιας ατελούς, φυσικής ενσάρκωσης και ανεξάρτητα από αυτήν. Το ανήσυχο δημιουργικό μυαλό - ο Δάσκαλος ή ο Δημιουργός - διαμορφώνει τις δημιουργίες του από ιδέες, χρησιμοποιώντας τις τελευταίες ως καλούπια.

Ο Τίμαιος είναι ένα δύσκολο έργο στην κατανόηση, και υπάρχει πάντα ο πειρασμός να μπερδέψουμε την αφάνεια ή το λάθος με το βάθος. Συνειδητοποιώντας αυτό, βρίσκω ωστόσο ενδιαφέρον και εμπνευσμένο το γεγονός ότι ο Πλάτωνας δεν μένει στα πλατωνικά στερεά, αλλά αντανακλά ότι τα άτομα σε άλλες μορφές, όπως φυσικά αντικείμενα, με τη σειρά του, μπορεί να αποτελείται από πιο πρωτόγονα τρίγωνα. Οι λεπτομέρειες, φυσικά, «δεν είναι καν λανθασμένες», αλλά η διαίσθηση που απαιτεί να παίρνουμε το μοντέλο στα σοβαρά, να μιλάμε τη γλώσσα του και να περνάμε τα όρια, είναι θεμελιωδώς σωστή. Η ιδέα ότι τα άτομα μπορούν να έχουν συστατικά μέρη προϋποθέτει τη σύγχρονη ώθηση για ανάλυση όλο και πιο βαθιά. Και η ιδέα ότι αυτά τα συστατικά υπό κανονικές συνθήκες δεν μπορούν να υπάρχουν ως ξεχωριστά αντικείμενα, αλλά βρίσκονται μόνο ως μέρη πιο πολύπλοκων αντικειμένων, ίσως μόλις πραγματοποιηθεί στα σημερινά κουάρκ και γκλουόνια, αιώνια δεσμευμένα μέσα στους ατομικούς πυρήνες.

Μεταξύ άλλων, μεταξύ των στοχασμών του Πλάτωνα θα βρούμε την ιδέα που είναι κεντρική στους προβληματισμούς μας - την ιδέα ότι ο κόσμος στη βαθιά του δομή ενσαρκώνει την Ομορφιά. Είναι το αναζωογονημένο πνεύμα του συλλογισμού του Πλάτωνα. Υποθέτει ότι η ίδια η βάση της δομής του κόσμου - τα άτομα του - είναι οι ενσωματώσεις καθαρών ιδεών που μπορούν να ανακαλυφθούν και να διατυπωθούν ξεκάθαρα με μια απλή προσπάθεια του νου.

Εξοικονόμηση χρημάτων

Επιστροφή στους ιούς: πού έμαθαν τη γεωμετρία τους;

Αυτό συμβαίνει όταν η απλότητα παίρνει τη μορφή πολυπλοκότητας ή, για να είμαστε πιο ακριβείς, όταν απλοί κανόνες καθορίζουν τη δομή του φαινομένου πολύπλοκες δομές, τα οποία, μετά από ώριμο προβληματισμό, γίνονται ιδανικά απλά. Η ουσία είναι ότι το DNA των ιών 15
Δεν έχουν όλοι οι ιοί γενετικό υλικό με τη μορφή DNA. Υπάρχουν επίσης ιοί που περιέχουν RNA. - Σημείωση. εκδ.

Το οποίο θα πρέπει να φέρει πληροφορίες για όλες τις πτυχές της ζωής τους, είναι πολύ περιορισμένο σε μέγεθος. Για να εξοικονομήσετε μήκος οικοδομικά υλικά, αξίζει να κάνετε κάτι από απλά πανομοιότυπα μέρη που συνδέονται με τον ίδιο τρόπο. Έχουμε ήδη ακούσει αυτό το τραγούδι: "απλά, πανομοιότυπα μέρη, εξίσου συνδεδεμένα" - και ακριβώς στον ορισμό των πλατωνικών στερεών! Δεδομένου ότι το μέρος αποτελεί το σύνολο, οι ιοί δεν χρειάζεται να γνωρίζουν για τα δωδεκάεδρα ή τα εικοσάεδρα, μόνο για τα τρίγωνα, συν έναν ή δύο κανόνες για να τα συνδέσουν μεταξύ τους. Μόνο που τα πιο ετερογενή, ακανόνιστα και εκ πρώτης όψεως ακόμη και τυχαία σώματα -όπως οι άνθρωποι- απαιτούν πιο λεπτομερείς οδηγίες συναρμολόγησης. Η συμμετρία εμφανίζεται ως η προεπιλεγμένη δομή όταν οι πληροφορίες και οι πόροι είναι περιορισμένοι.