Εισαγωγή

Αυτό εργασία μαθημάτωνέχει σχεδιαστεί για να:

1) εδραίωση, εμβάθυνση και επέκταση θεωρητική γνώσηστον τομέα των μεθόδων για τη μοντελοποίηση επιφανειών και αντικειμένων, πρακτικές δεξιότητες στην εφαρμογή λογισμικού μεθόδων.

2) βελτίωση των δεξιοτήτων ανεξάρτητης εργασίας.

3) να αναπτύξει την ικανότητα να διατυπώνει κρίσεις και συμπεράσματα, να τα παρουσιάζει λογικά και πειστικά.

Στερεά του Πλάτωνα

Τα στερεά του Πλάτωνα είναι κυρτά πολύεδρα, του οποίου όλες οι όψεις είναι κανονικά πολύγωνα. Όλες οι πολυεδρικές γωνίες ενός κανονικού πολυέδρου είναι ίσες. Όπως προκύπτει από τον υπολογισμό του αθροίσματος των επίπεδων γωνιών σε μια κορυφή, δεν υπάρχουν περισσότερα από πέντε κυρτά κανονικά πολύεδρα. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο που υποδεικνύεται παρακάτω, μπορεί κανείς να αποδείξει ότι υπάρχουν ακριβώς πέντε κανονικά πολύεδρα (αυτό αποδείχθηκε από τον Ευκλείδη). Είναι κανονικό τετράεδρο, εξάεδρο (κύβος), οκτάεδρο, δωδεκάεδρο και εικοσάεδρο. Τα ονόματα αυτών των κανονικών πολύεδρων προέρχονται από την Ελλάδα. Κυριολεκτικά μεταφρασμένο από τα ελληνικά, "τετράεδρο", "οκτάεδρο", "εξάεδρο", "δωδεκάεδρο", "εικοσάεδρο" σημαίνουν: "τετράεδρο", "οκτάεδρο", "εξάεδρο". «δωδεκάεδρο», «είκοσι έδρον».

Πίνακας Νο. 1

Πίνακας Νο 2

Ονομα:	Ακτίνα περιγεγραμμένης σφαίρας	Ακτίνα της εγγεγραμμένης σφαίρας
Τετράεδρο
Εξάεδρο
Δωδεκάεδρο
Εικοσάεδρο

Τετράεδρο- ένα τετράεδρο, του οποίου όλες οι όψεις είναι τρίγωνα, δηλ. τριγωνική πυραμίδα; ένα κανονικό τετράεδρο οριοθετείται από τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα. (Εικ. 1).

Κύβος ή κανονικό εξάεδρο- ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα με ίσες ακμές, που περιορίζεται από έξι τετράγωνα. (Εικ. 1).

Οκτάεδρο- οκτάεδρο ένα σώμα που οριοθετείται από οκτώ τρίγωνα. Ένα κανονικό οκτάεδρο οριοθετείται από οκτώ ισόπλευρα τρίγωνα. ένα από τα πέντε κανονικά πολύεδρα. (Εικ. 1).

Δωδεκάεδρο- Δωδεκάεδρο, σώμα που οριοθετείται από δώδεκα πολύγωνα. κανονικό πεντάγωνο. (Εικ. 1).

Εικοσάεδρο- είκοσι όψεων, σώμα που οριοθετείται από είκοσι πολύγωνα. Το κανονικό εικοσάεδρο περιορίζεται από είκοσι ισόπλευρα τρίγωνα. (Εικ. 1).

Ο κύβος και το οκτάεδρο είναι διπλά, δηλ. λαμβάνονται μεταξύ τους αν τα κέντρα βάρους των όψεων του ενός ληφθούν ως κορυφές του άλλου και αντίστροφα. Το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο είναι ομοίως διπλά. Το τετράεδρο είναι διπλό στον εαυτό του. Ένα κανονικό δωδεκάεδρο λαμβάνεται από έναν κύβο κατασκευάζοντας «οροφές» στις όψεις του (Ευκλείδεια μέθοδος οι κορυφές του τετραέδρου είναι οποιεσδήποτε τέσσερις κορυφές του κύβου που δεν είναι κατά ζεύγη γειτονικές κατά μήκος μιας ακμής). Έτσι λαμβάνονται όλα τα άλλα κανονικά πολύεδρα από τον κύβο. Το ίδιο το γεγονός της ύπαρξης μόνο πέντε πραγματικά κανονικών πολύεδρων προκαλεί έκπληξη - εξάλλου κανονικά πολύγωναείναι άπειροι στο αεροπλάνο!

Όλα τα κανονικά πολύεδρα ήταν γνωστά πίσω Αρχαία Ελλάδα, και σε αυτούς είναι αφιερωμένο το 13ο βιβλίο των Euclid’s Elements. Ονομάζονται και πλατωνικά στερεά, γιατί. κατέλαβαν σημαντικό μέροςστη φιλοσοφική αντίληψη του Πλάτωνα για τη δομή του σύμπαντος. Τέσσερα πολύεδρα προσωποποιούσαν τέσσερις ουσίες ή «στοιχεία» σε αυτό. Το τετράεδρο συμβόλιζε τη φωτιά, γιατί. Η κορυφή του είναι στραμμένη προς τα πάνω. Εικοσάεδρο; νερό, γιατί είναι το πιο "εξορθολογισμένο"? κύβος - γη, ως η πιο "σταθερή"? οκτάεδρο; αέρα, ως το πιο «αέρινο». Το πέμπτο πολύεδρο, το δωδεκάεδρο, ενσάρκωσε «όλα όσα υπάρχουν», συμβόλιζε ολόκληρο το σύμπαν και θεωρήθηκε το κύριο.

Οι αρχαίοι Έλληνες θεωρούσαν τις αρμονικές σχέσεις ως τη βάση του σύμπαντος, επομένως τα τέσσερα στοιχεία τους συνδέονταν με την εξής αναλογία: γη/νερό = αέρας/φωτιά.

Σε σχέση με αυτά τα σώματα, θα ήταν σκόπιμο να πούμε ότι το πρώτο σύστημα στοιχείων, που περιλάμβανε τέσσερα στοιχεία; γη, νερό, αέρας και φωτιά - αγιοποιήθηκε από τον Αριστοτέλη. Αυτά τα στοιχεία παρέμειναν οι τέσσερις ακρογωνιαίοι λίθοι του σύμπαντος για πολλούς αιώνες. Είναι πολύ πιθανό να τα αναγνωρίσουμε με τις τέσσερις γνωστές σε εμάς καταστάσεις της ύλης - στερεό, υγρό, αέριο και πλάσμα.

Τα κανονικά πολύεδρα κατείχαν σημαντική θέση στο σύστημα αρμονικής δομής του κόσμου του I. Kepler. Η ίδια πίστη στην αρμονία, την ομορφιά και τη μαθηματικά κανονική δομή του σύμπαντος οδήγησε τον I. Kepler στην ιδέα ότι εφόσον υπάρχουν πέντε κανονικά πολύεδρα, μόνο έξι πλανήτες αντιστοιχούν σε αυτά. Κατά τη γνώμη του, οι σφαίρες των πλανητών αλληλοσυνδέονται με τα πλατωνικά στερεά που είναι εγγεγραμμένα σε αυτές. Επειδή για κάθε κανονικό πολύεδρο τα κέντρα των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων σφαιρών συμπίπτουν, ολόκληρο το μοντέλο θα έχει κέντρο μιας στάσης, στο οποίο θα βρίσκεται ο Ήλιος.

Έχοντας κάνει τεράστιο όγκο υπολογιστικής εργασίας, το 1596 ο I. Kepler δημοσίευσε τα αποτελέσματα της ανακάλυψής του στο βιβλίο «The Mystery of the Universe». Εγγράφει έναν κύβο στη σφαίρα της τροχιάς του Κρόνου, σε έναν κύβο; η σφαίρα του Δία, το τετράεδρο στη σφαίρα του Δία και ούτω καθεξής, ταιριάζουν η σφαίρα του Άρη διαδοχικά μεταξύ τους; δωδεκάεδρο, σφαίρα της Γης; Εικοσάεδρο, σφαίρα της Αφροδίτης; οκτάεδρο, σφαίρα του Ερμή. Το μυστήριο του σύμπαντος φαίνεται να είναι ανοιχτό.

Σήμερα μπορούμε να πούμε με σιγουριά ότι οι αποστάσεις μεταξύ των πλανητών δεν σχετίζονται με κανένα πολύεδρο. Ωστόσο, είναι πιθανό ότι χωρίς το «Mystery of the Universe», «Harmony of the World» του I. Kepler, τα κανονικά πολύεδρα δεν θα υπήρχαν τρεις διάσημοι νόμοι του I. Kepler, που παίζουν σημαντικό ρόλοστην περιγραφή των κινήσεων των πλανητών.

Πού αλλού μπορείτε να τα δείτε αυτά καταπληκτικά σώματα? Στο βιβλίο του Γερμανού βιολόγου των αρχών του περασμένου αιώνα, E. Haeckel, «Η ομορφιά των μορφών στη φύση», μπορεί κανείς να διαβάσει τις ακόλουθες γραμμές: «Η φύση τρέφει στους κόλπους της μια ανεξάντλητη ποσότητα καταπληκτικά πλάσματα, που σε ομορφιά και ποικιλομορφία ξεπερνούν κατά πολύ όλες τις μορφές που δημιουργεί η τέχνη του ανθρώπου." Οι δημιουργίες της φύσης που παρουσιάζονται σε αυτό το βιβλίο είναι όμορφες και συμμετρικές. Αυτή είναι μια αναπόσπαστη ιδιότητα της φυσικής αρμονίας. Αλλά εδώ μπορείτε επίσης να δείτε μονοκύτταρους οργανισμούς Το Feodaria, το σχήμα του οποίου μεταφέρει με ακρίβεια το εικοσάεδρο Γιατί προκαλείται αυτή η φυσική γεωμετρία από το γεγονός ότι από όλα τα πολύεδρα είναι το μεγαλύτερο όγκο μικρότερη περιοχήεπιφάνειες. Αυτή η γεωμετρική ιδιότητα βοηθά τον θαλάσσιο μικροοργανισμό να ξεπεράσει την πίεση της στήλης του νερού.

Είναι επίσης ενδιαφέρον ότι ήταν το εικοσάεδρο που έγινε το επίκεντρο της προσοχής των βιολόγων στις διαφωνίες τους σχετικά με το σχήμα των ιών. Ο ιός δεν μπορεί να είναι απόλυτα στρογγυλός, όπως πιστεύαμε προηγουμένως. Για να καθορίσουν το σχήμα του, πήραν διάφορα πολύεδρα και κατεύθυναν το φως σε αυτά με τις ίδιες γωνίες με τη ροή των ατόμων στον ιό. Αποδείχθηκε ότι μόνο ένα πολύεδρο δίνει ακριβώς την ίδια σκιά; εικοσάεδρο Του γεωμετρικές ιδιότητεςπου αναφέρθηκαν παραπάνω σας επιτρέπουν να αποθηκεύσετε γενετικές πληροφορίες. Κανονικά πολύεδρα? τα πιο κερδοφόρα στοιχεία. Και η φύση το χρησιμοποιεί εκτενώς. Οι κρύσταλλοι κάποιων γνωστών σε μας ουσιών έχουν το σχήμα κανονικών πολύεδρων. Έτσι, ο κύβος μεταφέρει το σχήμα των κρυστάλλων επιτραπέζιο αλάτι NaCl, ένας μόνο κρύσταλλος στυπτηρίας αργιλίου-καλίου (KAlSO4)2 12H2O έχει σχήμα οκταέδρου, κρύσταλλος θειούπυρίτη FeS έχει σχήμα δωδεκάεδρου, θειικό νάτριο αντιμόνιο έχει σχήμα τετραέδρου, βόριο έχει σχήμα ένα εικοσάεδρο. Τα κανονικά πολύεδρα καθορίζουν το σχήμα κρυσταλλικά πλέγματακάποια χημικά.

Έτσι, τα κανονικά πολύεδρα μας αποκάλυψαν τις προσπάθειες των επιστημόνων να έρθουν πιο κοντά στο μυστικό της παγκόσμιας αρμονίας και έδειξε την ακαταμάχητη ελκυστικότητα και ομορφιά αυτών των γεωμετρικών μορφών.

Από την αρχαιότητα, τα κανονικά πολύεδρα έχουν προσελκύσει την προσοχή φιλοσόφων, κατασκευαστών, αρχιτεκτόνων, καλλιτεχνών και μαθηματικών. Έμειναν έκπληκτοι από την ομορφιά, την τελειότητα και την αρμονία αυτών των μορφών.

Κανονικό πολύεδρο - ογκομετρικό κυρτό γεωμετρικό σχήμα, όλες οι όψεις των οποίων είναι πανομοιότυπα κανονικά πολύγωνα και όλες οι πολυεδρικές γωνίες στις κορυφές είναι ίσες μεταξύ τους. Υπάρχουν πολλά κανονικά πολύγωνα, αλλά υπάρχουν μόνο πέντε κανονικά πολύεδρα. Τα ονόματα αυτών των πολύεδρων προέρχονται από την Αρχαία Ελλάδα και υποδεικνύουν τον αριθμό ("τέτρα" - 4, "εξά" - 6, "οκτά" - 8, "δώδεκα" - 12, "icos" - 20) των προσώπων (" hedra").

Αυτά τα κανονικά πολύεδρα ονομάζονταν πλατωνικά στερεά από τον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο Πλάτωνα, ο οποίος τους έδωσε μυστικιστική σημασία, αλλά ήταν γνωστά πριν από τον Πλάτωνα. Το τετράεδρο προσωποποιούσε τη φωτιά, καθώς η κορυφή του είναι στραμμένη προς τα πάνω, σαν φλόγα που φουντώνει. Εικοσάεδρο - ως το πιο εξορθολογισμένο - νερό. ο κύβος είναι η πιο σταθερή από τις φιγούρες - η γη, και το οκτάεδρο είναι ο αέρας. Το δωδεκάεδρο ταυτίστηκε με ολόκληρο το Σύμπαν και θεωρήθηκε το πιο σημαντικό.

Τα κανονικά πολύεδρα βρίσκονται στη ζωντανή φύση. Για παράδειγμα, ένας σκελετός μονοκύτταρος οργανισμόςΤο Feodaria έχει σχήμα εικοσάεδρου. Ο κρύσταλλος του πυρίτη (θείο πυρίτη, FeS2) έχει σχήμα δωδεκάεδρου.

Το τετράεδρο είναι μια κανονική τριγωνική πυραμίδα και το εξάεδρο είναι ένας κύβος - φιγούρες που συναντάμε συνεχώς σε πραγματική ζωή. Για να νιώσετε καλύτερα το σχήμα άλλων πλατωνικών στερεών, θα πρέπει να τα δημιουργήσετε μόνοι σας από χοντρό χαρτί ή χαρτόνι. Δεν είναι δύσκολο να κάνουμε μια επίπεδη ανάπτυξη των μορφών. Η δημιουργία κανονικών πολυεδρών είναι εξαιρετικά ενδιαφέρουσα στη διαδικασία της ίδιας της διαμόρφωσης.

Πλήρεις και παράξενες μορφές κανονικών πολύεδρων χρησιμοποιούνται ευρέως στις διακοσμητικές τέχνες. Τα τρισδιάστατα σχήματα μπορούν να γίνουν πιο ενδιαφέροντα εάν τα επίπεδα κανονικά πολύγωνα αντιπροσωπεύονται από άλλα σχήματα που ταιριάζουν στο πολύγωνο. Για παράδειγμα: ένα κανονικό πεντάγωνο μπορεί να αντικατασταθεί με ένα αστέρι. Μια τέτοια τρισδιάστατη φιγούρα δεν θα έχει άκρες. Μπορείτε να το συναρμολογήσετε δένοντας τις άκρες των ακτίνων των αστεριών. Και 10 αστέρια συναρμολογούνται επίπεδη σάρωση. Μια τρισδιάστατη φιγούρα λαμβάνεται αφού στερεωθούν τα υπόλοιπα 2 αστέρια.

Αν στο παιδί σας αρέσει να φτιάχνει χειροτεχνίες με τις δικές του με επιδέξια χέρια, προσκαλέστε τον να συναρμολογήσει μια τρισδιάστατη φιγούρα, ένα πολύεδρο δωδεκάεδρο, από επίπεδα πλαστικά αστέρια. Το αποτέλεσμα της εργασίας θα ευχαριστήσει το παιδί σας: θα φτιάξει ένα πρωτότυπο διακοσμητικό σχέδιο με τα χέρια του, το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να διακοσμήσει το δωμάτιο ενός παιδιού. Αλλά το πιο αξιοσημείωτο είναι ότι η ανοιχτή μπάλα λάμπει στο σκοτάδι. Τα πλαστικά αστέρια κατασκευάζονται με την προσθήκη μιας σύγχρονης αβλαβούς ουσίας - φωσφόρου.

Ο Πλάτων είναι υπεύθυνος για την ανάπτυξη ορισμένων σημαντικών μεθοδολογικά προβλήματαμαθηματικές γνώσεις: αξιωματική κατασκευή μαθηματικών, μελέτη σχέσεων μεταξύ μαθηματικές μεθόδουςκαι διαλεκτική, ανάλυση των βασικών μορφών μαθηματικών γνώσεων. Έτσι, η διαδικασία της απόδειξης συνδέει αναγκαστικά ένα σύνολο αποδεδειγμένων διατάξεων σε ένα σύστημα, το οποίο βασίζεται σε ορισμένες μη αποδείξιμες διατάξεις. Το γεγονός ότι οι απαρχές των μαθηματικών επιστημών είναι «η ουσία της υπόθεσης» μπορεί να εγείρει αμφιβολίες για την αλήθεια όλων των επόμενων κατασκευών. Ο Πλάτων θεώρησε μια τέτοια αμφιβολία αβάσιμη. Σύμφωνα με την εξήγησή του, αν και μαθηματικές επιστήμες, «χρησιμοποιώντας υποθέσεις, τις αφήνουν ακίνητες και δεν μπορούν να τους δώσουν βάση», οι υποθέσεις βρίσκουν θεμέλια μέσω της διαλεκτικής. Ο Πλάτων εξέφρασε επίσης μια σειρά από άλλες προτάσεις που αποδείχθηκαν γόνιμες για την ανάπτυξη των μαθηματικών. Έτσι, στον διάλογο «The Feast» προβάλλεται η έννοια του ορίου. η ιδέα εμφανίζεται εδώ ως το όριο του σχηματισμού ενός πράγματος.

ΣΤΕΡΕΑ ΤΟΥ ΠΛΑΤΩΝΑ.

Τα πλατωνικά στερεά είναι κυρτά πολύεδρα, των οποίων όλες οι όψεις είναι κανονικά πολύγωνα. Όλες οι πολυεδρικές γωνίες ενός κανονικού πολυέδρου είναι ίσες. Όπως προκύπτει από τον υπολογισμό του αθροίσματος των επίπεδων γωνιών σε μια κορυφή, δεν υπάρχουν περισσότερα από πέντε κυρτά κανονικά πολύεδρα. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο που υποδεικνύεται παρακάτω, μπορεί κανείς να αποδείξει ότι υπάρχουν ακριβώς πέντε κανονικά πολύεδρα (αυτό αποδείχθηκε από τον Ευκλείδη). Είναι κανονικό τετράεδρο, κύβος, οκτάεδρο, δωδεκάεδρο και εικοσάεδρο.

ΠΙΝΑΚΑΣ Νο. 1

ΠΙΝΑΚΑΣ Νο. 2

Ονομα:	Ακτίνα περιγεγραμμένης σφαίρας	Ακτίνα της εγγεγραμμένης σφαίρας	Τόμος
Τετράεδρο	α\/6 4	α\/6 12	a3\/2 12
Κύβος	α\/3 2	α 2	α3
Οκτάεδρο	α\/2 2	α\/6 6	a3\/2 12
Δωδεκάεδρο	α 4\/18+6\/5	1 2 25+11\/5 10	a3 4 (15+7\/5)
Εικοσάεδρο	a 12(3+\/5)\/3	5 12 a3(3+\/5)

Ένα τετράεδρο είναι ένα τετράεδρο, του οποίου όλες οι όψεις είναι τρίγωνα, δηλ. τριγωνική πυραμίδα? Ένα κανονικό τετράεδρο οριοθετείται από τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα. ένα από τα πέντε κανονικά πολύγωνα. (Εικ. 1).

Ένας κύβος ή κανονικό εξάεδρο είναι ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα με ίσες ακμές, που οριοθετείται από έξι τετράγωνα. (Εικ. 2).

Οκτάεδρο-οκτάεδρο; ένα σώμα που οριοθετείται από οκτώ τρίγωνα. Ένα κανονικό οκτάεδρο οριοθετείται από οκτώ ισόπλευρα τρίγωνα. ένα από τα πέντε κανονικά πολύεδρα. (Εικ. 3).

Ένα δωδεκάεδρο είναι ένα δωδεκάεδρο, ένα σώμα που οριοθετείται από δώδεκα πολύγωνα. κανονικό πεντάγωνο? ένα από τα πέντε κανονικά πολύεδρα. (Εικ. 4).

Το Εικοσάεδρο είναι ένα εικοσάεδρο, ένα σώμα που οριοθετείται από είκοσι πολύγωνα. το κανονικό εικοσάεδρο περιορίζεται από είκοσι ισόπλευρα τρίγωνα. ένα από τα πέντε κανονικά πολύεδρα. (Εικ. 5).

Ο κύβος και το οκτάεδρο είναι διπλά, δηλ. λαμβάνονται μεταξύ τους αν τα κέντρα βάρους των όψεων του ενός ληφθούν ως κορυφές του άλλου και αντίστροφα. Το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο είναι ομοίως διπλά. Το τετράεδρο είναι διπλό στον εαυτό του. Ένα κανονικό δωδεκάεδρο λαμβάνεται από έναν κύβο κατασκευάζοντας «οροφές» στις όψεις του (Ευκλείδεια μέθοδος οι κορυφές του τετραέδρου είναι οποιεσδήποτε τέσσερις κορυφές του κύβου που δεν είναι κατά ζεύγη γειτονικές κατά μήκος μιας ακμής). Έτσι λαμβάνονται όλα τα άλλα κανονικά πολύεδρα από τον κύβο. Το ίδιο το γεγονός της ύπαρξης μόνο πέντε πραγματικά κανονικών πολύεδρων προκαλεί έκπληξη - άλλωστε, υπάρχει άπειρος αριθμός κανονικών πολυγώνων στο επίπεδο!

Όλα τα κανονικά πολύεδρα ήταν γνωστά στην Αρχαία Ελλάδα και το τελευταίο, XII βιβλίο των περίφημων αρχών του Ευκλείδη είναι αφιερωμένο σε αυτά. Αυτά τα πολύεδρα συχνά ονομάζονται επίσης πλατωνικά στερεά στην ιδεαλιστική εικόνα του κόσμου που δίνει ο μεγάλος αρχαίος Έλληνας στοχαστής Πλάτωνας. Τέσσερα από αυτά προσωποποιούσαν τα τέσσερα στοιχεία: τετράεδρο-φωτιά, κύβος-γη, εικοσάεδρο-νερό και οκτάεδρο-αέρας. Το πέμπτο πολύεδρο, το δωδεκάεδρο, συμβόλιζε ολόκληρο το σύμπαν στα λατινικά άρχισαν να το αποκαλούν quintaessentia («πέμπτη ουσία»). Προφανώς, δεν ήταν δύσκολο να βρούμε το σωστό τετράεδρο, κύβο, οκτάεδρο, ειδικά επειδή αυτές οι μορφές έχουν φυσικούς κρυστάλλους, για παράδειγμα: κύβος-μονοκρύσταλλος επιτραπέζιου αλατιού (NaCl), οκτάεδρο-μονοκρύσταλλος στυπτηρίας καλίου ((KalSO4)2 *12H2O). Υπάρχει η υπόθεση ότι οι αρχαίοι Έλληνες πήραν το σχήμα του δωδεκάεδρου εξετάζοντας κρυστάλλους πυρίτη (θειοπυρίτης FeS). Έχοντας ένα δωδεκάεδρο, δεν είναι δύσκολο να κατασκευαστεί ένα εικοσάεδρο: οι κορυφές του θα είναι τα κέντρα των δώδεκα όψεων του δωδεκάεδρου.

Αναφορές

1." Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια» Μόσχα 1979

2.Μαθηματικό εγκυκλοπαιδικό λεξικό/ «Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια», 1988.

3. Μαθηματικά: Σχολική εγκυκλοπαίδεια/Χρ. εκδ. Μ 34 Σ.Μ. Νικόλσκι. - Μ.: Επιστημονικός εκδοτικός οίκος «Μεγάλη Ρωσική Εγκυκλοπαίδεια», 1996, -527 Σελ.: ill.

Τα κανονικά πολύεδρα ονομάζονται πλατωνικά στερεά, κατέχουν εξέχουσα θέση στη φιλοσοφική εικόνα του κόσμου που αναπτύχθηκε από τον μεγάλο στοχαστή της Αρχαίας Ελλάδας, τον Πλάτωνα.

Έτσι, ο Πλάτωνας γνώριζε πέντε κανονικά πολύεδρα και ο αριθμός των στοιχείων (φωτιά, αέρας, νερό και γη) ήταν ακριβώς τέσσερα. Κατά συνέπεια, από τα πέντε πολύεδρα, πρέπει να επιλεγούν τέσσερα που θα μπορούσαν να συγκριθούν με τα στοιχεία.

Ποιες σκέψεις καθοδήγησαν τον Πλάτωνα σε αυτό; Πρώτα από όλα γιατί κάποια στοιχεία, όπως πίστευε, μπορούσαν να μεταμορφωθούν το ένα στο άλλο. Ο μετασχηματισμός ορισμένων πολύεδρων σε άλλα θα μπορούσε να πραγματοποιηθεί με την αναδιάρθρωση της εσωτερικής τους δομής. Αλλά για αυτό, σε αυτά τα σώματα ήταν απαραίτητο να βρεθούν τέτοια δομικά στοιχεία, που θα ήταν κοινό για αυτούς. Από εμφάνισηκανονικά πολύεδρα, είναι σαφές ότι οι όψεις τριών πολύεδρων - τετράεδρο, οκτάεδρο, εικοσάεδρο - έχουν το σχήμα ισόπλευρο τρίγωνο. Τα δύο εναπομείναντα πολύεδρα - ο κύβος και το δωδεκάεδρο - είναι χτισμένα: το πρώτο - από τετράγωνα και το δεύτερο - από κανονικά πεντάγωνα, επομένως δεν μπορούν να μετατραπούν ούτε το ένα στο άλλο ούτε στα τρία εξεταζόμενα σώματα. Αυτό σημαίνει ότι αν δώσουμε στα σωματίδια των τριών στοιχείων το σχήμα τετραέδρου, οκταέδρου και εικοσάεδρου, τότε τα σωματίδια του τέταρτου στοιχείου θα θεωρηθούν κύβοι ή δωδεκάεδροι, αλλά αυτό το τέταρτο στοιχείο δεν θα μπορεί να μετατραπεί στα άλλα τρία. , αλλά θα παραμένει πάντα ο εαυτός του. Ο Πλάτων αποφάσισε ότι μόνο η γη θα μπορούσε να είναι ένα τέτοιο στοιχείο και αυτό μικροσκοπικά σωματίδια, από τα οποία αποτελείται η γη, πρέπει να είναι κύβοι. Το τετράεδρο, το οκτάεδρο και το εικοσάεδρο συγκρίθηκαν με τη φωτιά, τον αέρα και το νερό, αντίστοιχα.

Όσο για το πέμπτο πολύεδρο - το δωδεκάεδρο, παραμένει εκτός λειτουργίας. Σχετικά με αυτό, ο Πλάτωνας περιορίζεται στον Τίμαιο στην παρατήρηση ότι «ο Θεός το καθόρισε για το Σύμπαν και κατέφυγε σε αυτό όταν το ζωγράφισε και το διακόσμησε».

Τίθεται το ερώτημα: «Ποιες σκέψεις καθοδήγησαν τον Πλάτωνα όταν απέδωσε το σχήμα ενός τετραέδρου σε σωματίδια φωτιάς, το σχήμα ενός κύβου σε σωματίδια γης κ.λπ.;» Εδώ λαμβάνει υπόψη τις αισθητηριακές-αντιληπτές ιδιότητες των αντίστοιχων στοιχείων. Η φωτιά είναι το πιο κινητό στοιχείο, έχει καταστροφική επίδραση, διεισδύει σε άλλα σώματα (κάψιμο ή λιώσιμο ή εξάτμιση). όταν ερχόμαστε σε επαφή με αυτό, νιώθουμε ένα αίσθημα πόνου, σαν να μας τρύπησαν ή μας έκοψαν.

Ποια σωματίδια θα μπορούσαν να προκαλέσουν όλες αυτές τις ιδιότητες και δράσεις; Προφανώς, τα πιο κινητά και ελαφριά σωματίδια και, επιπλέον, έχουν ακμές κοπής και γωνίες διάτρησης. Από τα τέσσερα πολύεδρα που μπορούν να συζητηθούν, το τετράεδρο είναι το πιο ικανοποιητικό. Επομένως, λέει ο Πλάτων, η εικόνα μιας πυραμίδας (δηλαδή ενός τετραέδρου) πρέπει να είναι σύμφωνη με τη σωστή λογική και με αληθοφάνεια, την πρώτη αρχή και σπόρο της φωτιάς, αντίθετα, η γη εμφανίζεται στην εμπειρία μας ως η πιο ακίνητη και σταθερό από όλα τα στοιχεία. Επομένως, τα σωματίδια από τα οποία αποτελείται πρέπει να έχουν τις πιο σταθερές βάσεις. Και από τα τέσσερα σώματα, ο κύβος έχει αυτή την ιδιότητα στο μέγιστο βαθμό. Επομένως, δεν θα παραβιάσουμε την αληθοφάνεια αν αποδώσουμε σε σωματίδια της γης κυβικό σχήμα. Με παρόμοιο τρόπο, θα συσχετίσουμε σωματίδια με ενδιάμεσες ιδιότητες με τα άλλα δύο στοιχεία. Το εικοσάεδρο, όντας το πιο εξορθολογισμένο, αντιπροσωπεύει ένα σωματίδιο νερού, το οκτάεδρο - ένα σωματίδιο αέρα.

Το πέμπτο πολύεδρο - το δωδεκάεδρο - ενσάρκωνε «όλα όσα υπάρχουν», συμβόλιζε ολόκληρο τον κόσμο και θεωρήθηκε το πιο σημαντικό.

Βλέπουμε πώς η αρχή της αληθοφάνειας συνδυάζεται στον Πλάτωνα με τη χρήση δεδομένων από την καθημερινή εμπειρία. Είναι περίεργο ότι ο Πλάτωνας σχεδόν δεν αγγίζει άλλα, καθαρά εικαστικά, κίνητρα (για παράδειγμα, που σχετίζονται με τη θεωρία των αναλογιών) που έπαιξαν καθοριστικό ρόλοστην κατασκευή της κοσμολογικής του αντίληψης και η οποία θα μπορούσε να έχει επηρεάσει ορισμένες πτυχές της θεωρίας του για τη δομή της ύλης.

Αλήθεια, ο ίδιος ο Τίμαιος, μιλώντας μέσα σε αυτή την περίπτωσηΩς καθηγητής που δίνει μια διάλεξη για τη δομή του κόσμου, είναι, κατά πάσα πιθανότητα, εκπρόσωπος της Πυθαγόρειας σχολής. Ωστόσο, δεν είναι ακόμη σαφές εάν ο Τίμαιος υπήρχε ως ιστορικό πρόσωποή ήταν ένας πλασματικός χαρακτήρας που επινόησε ο Πλάτωνας για να μην κάνει τον συγγραφέα του κοσμολογικού και φυσικές θεωρίεςτον συνήθη ήρωά του - τον Σωκράτη, γιατί αυτό θα ήταν πολύ ασυνεπές με την εικόνα του τελευταίου.

Ο Πλάτωνας συστηματοποίησε «εύλογα» την εικόνα του κόσμου. Αυτή ήταν μια από τις πρώτες προσπάθειες εισαγωγής της ίδιας της ιδέας της συστηματοποίησης στην επιστήμη, η οποία αποδείχθηκε πολύ γόνιμη. Βοήθησε να διαχωριστούν ορισμένοι τομείς γνώσης από άλλους, κάνοντας επιστημονική έρευναπιο στοχευμένα.