Κατασκευάστε ένα γράφημα μιας συνεχούς συνάρτησης online. Έρευνα συναρτήσεων και γραφική παράσταση

Σήμερα σας προσκαλούμε να εξερευνήσετε και να δημιουργήσετε ένα γράφημα μιας συνάρτησης μαζί μας. Αφού μελετήσετε προσεκτικά αυτό το άρθρο, δεν θα χρειαστεί να ιδρώνετε για πολύ για να ολοκληρώσετε αυτό το είδος εργασίας. Δεν είναι εύκολο να μελετήσετε και να κατασκευάσετε ένα γράφημα μιας συνάρτησης, είναι μια ογκώδης εργασία που απαιτεί τη μέγιστη προσοχή και ακρίβεια των υπολογισμών. Για να γίνει πιο κατανοητό το υλικό, θα μελετήσουμε την ίδια συνάρτηση βήμα προς βήμα και θα εξηγήσουμε όλες τις ενέργειες και τους υπολογισμούς μας. Καλώς ήρθατε στον εκπληκτικό και συναρπαστικό κόσμο των μαθηματικών! Πηγαίνω!

Τομέα

Για να εξερευνήσετε και να γράψετε μια συνάρτηση, πρέπει να γνωρίζετε αρκετούς ορισμούς. Η συνάρτηση είναι μια από τις κύριες (βασικές) έννοιες στα μαθηματικά. Αντικατοπτρίζει την εξάρτηση μεταξύ πολλών μεταβλητών (δύο, τρεις ή περισσότερες) κατά τη διάρκεια των αλλαγών. Η συνάρτηση δείχνει επίσης την εξάρτηση των συνόλων.

Φανταστείτε ότι έχουμε δύο μεταβλητές που έχουν ένα συγκεκριμένο εύρος μεταβολών. Άρα, το y είναι συνάρτηση του x, με την προϋπόθεση ότι κάθε τιμή της δεύτερης μεταβλητής αντιστοιχεί σε μία τιμή της δεύτερης. Σε αυτή την περίπτωση, η μεταβλητή y είναι εξαρτημένη και ονομάζεται συνάρτηση. Συνηθίζεται να λέμε ότι οι μεταβλητές x και y βρίσκονται σε Για μεγαλύτερη σαφήνεια αυτής της εξάρτησης, δημιουργείται ένα γράφημα της συνάρτησης. Τι είναι το γράφημα μιας συνάρτησης; Αυτό είναι ένα σύνολο σημείων στο επίπεδο συντεταγμένων, όπου κάθε τιμή x αντιστοιχεί σε μία τιμή y. Τα γραφήματα μπορεί να είναι διαφορετικά - ευθεία γραμμή, υπερβολή, παραβολή, ημιτονοειδές κύμα και ούτω καθεξής.

Είναι αδύνατο να γραφτεί μια συνάρτηση χωρίς έρευνα. Σήμερα θα μάθουμε πώς να διεξάγουμε έρευνα και να κατασκευάζουμε ένα γράφημα μιας συνάρτησης. Είναι πολύ σημαντικό να κρατάτε σημειώσεις κατά τη διάρκεια της μελέτης. Αυτό θα κάνει την εργασία πολύ πιο εύκολη στην αντιμετώπιση. Το πιο βολικό σχέδιο έρευνας:

1. Τομέα.
2. Συνέχεια.
3. Ζυγά η μονά.
4. Περιοδικότης.
5. Ασύμπτωτοι.
6. Μηδενικά.
7. Σημάδι σταθερότητα.
8. Αυξάνεται και μειώνεται.
9. Ακρα.
10. Κυρτότητα και κοιλότητα.

Ας ξεκινήσουμε με το πρώτο σημείο. Ας βρούμε το πεδίο ορισμού, δηλαδή σε ποια διαστήματα υπάρχει η συνάρτησή μας: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). Στην περίπτωσή μας, η συνάρτηση υπάρχει για οποιεσδήποτε τιμές του x, δηλαδή το πεδίο ορισμού είναι ίσο με το R. Αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής xÎR.

Συνέχεια

Τώρα θα εξετάσουμε τη συνάρτηση ασυνέχειας. Στα μαθηματικά, ο όρος «συνέχεια» εμφανίστηκε ως αποτέλεσμα της μελέτης των νόμων της κίνησης. Τι είναι το άπειρο; Χώρος, χρόνος, ορισμένες εξαρτήσεις (ένα παράδειγμα είναι η εξάρτηση των μεταβλητών S και t στα προβλήματα κίνησης), η θερμοκρασία ενός θερμαινόμενου αντικειμένου (νερό, τηγάνι, θερμόμετρο κ.λπ.), μια συνεχής γραμμή (δηλαδή, αυτή που μπορεί να σχεδιαστεί χωρίς να το σηκώσετε από το μολύβι φύλλου).

Ένα γράφημα θεωρείται συνεχές αν δεν σπάσει κάποια στιγμή. Ένα από τα πιο προφανή παραδείγματα ενός τέτοιου γραφήματος είναι ένα ημιτονοειδές, το οποίο μπορείτε να δείτε στην εικόνα σε αυτήν την ενότητα. Η συνάρτηση είναι συνεχής σε κάποιο σημείο x0 εάν πληρούνται ορισμένες προϋποθέσεις:

• μια συνάρτηση ορίζεται σε ένα δεδομένο σημείο.
• τα δεξιά και αριστερά όρια σε ένα σημείο είναι ίσα.
• το όριο είναι ίσο με την τιμή της συνάρτησης στο σημείο x0.

Εάν δεν πληρούται τουλάχιστον μία προϋπόθεση, η λειτουργία λέγεται ότι αποτυγχάνει. Και τα σημεία στα οποία διακόπτεται η συνάρτηση ονομάζονται συνήθως σημεία διακοπής. Ένα παράδειγμα συνάρτησης που θα "σπάσει" όταν εμφανίζεται γραφικά είναι: y=(x+4)/(x-3). Επιπλέον, το y δεν υπάρχει στο σημείο x = 3 (αφού είναι αδύνατο να διαιρεθεί με το μηδέν).

Στη συνάρτηση που μελετάμε (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) όλα αποδείχθηκαν απλά, αφού το γράφημα θα είναι συνεχές.

Ζυγά μονά

Τώρα εξετάστε τη συνάρτηση για ισοτιμία. Πρώτον, μια μικρή θεωρία. Μια άρτια συνάρτηση είναι αυτή που ικανοποιεί τη συνθήκη f(-x)=f(x) για οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής x (από το εύρος τιμών). Τα παραδείγματα περιλαμβάνουν:

• ενότητα x (το γράφημα μοιάζει με αυγή, η διχοτόμος του πρώτου και του δεύτερου τετάρτου του γραφήματος).
• x τετράγωνο (παραβολή);
• συνημίτονο x (συνημίτονο).

Σημειώστε ότι όλα αυτά τα γραφήματα είναι συμμετρικά όταν τα βλέπουμε σε σχέση με τον άξονα y (δηλαδή τον άξονα y).

Τι ονομάζεται λοιπόν περιττή συνάρτηση; Αυτές είναι οι συναρτήσεις που ικανοποιούν την συνθήκη: f(-x)=-f(x) για οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής x. Παραδείγματα:

• υπερβολή;
• κυβική παραβολή?
• ημιτονοειδής?
• εφαπτομένη και ούτω καθεξής.

Σημειώστε ότι αυτές οι συναρτήσεις είναι συμμετρικές ως προς το σημείο (0:0), δηλαδή την αρχή. Με βάση όσα ειπώθηκαν σε αυτήν την ενότητα του άρθρου, μια άρτια και περιττή συνάρτηση πρέπει να έχει την ιδιότητα: το x ανήκει στο σύνολο ορισμού και το -x επίσης.

Ας εξετάσουμε τη συνάρτηση για ισοτιμία. Μπορούμε να δούμε ότι δεν ταιριάζει σε καμία από τις περιγραφές. Επομένως, η συνάρτησή μας δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

Ασύμπτωτοι

Ας ξεκινήσουμε με έναν ορισμό. Ασύμπτωτη είναι μια καμπύλη που είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά στο γράφημα, δηλαδή η απόσταση από ένα συγκεκριμένο σημείο τείνει στο μηδέν. Συνολικά, υπάρχουν τρεις τύποι ασυμπτωμάτων:

• κατακόρυφη, δηλαδή παράλληλη προς τον άξονα y.
• οριζόντια, δηλαδή παράλληλα με τον άξονα x.
• κεκλιμένος.

Όσον αφορά τον πρώτο τύπο, αυτές οι γραμμές θα πρέπει να αναζητηθούν σε ορισμένα σημεία:

• χάσμα;
• άκρα του τομέα ορισμού.

Στην περίπτωσή μας, η συνάρτηση είναι συνεχής και το πεδίο ορισμού είναι ίσο με το R. Επομένως, δεν υπάρχουν κάθετες ασύμπτωτες.

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης έχει μια οριζόντια ασύμπτωτη, η οποία πληροί την ακόλουθη απαίτηση: αν το x τείνει στο άπειρο ή μείον το άπειρο, και το όριο είναι ίσο με έναν ορισμένο αριθμό (για παράδειγμα, a). Στην περίπτωση αυτή, το y=a είναι η οριζόντια ασύμπτωτη. Δεν υπάρχουν οριζόντιες ασύμπτωτες στη συνάρτηση που μελετάμε.

Μια λοξή ασύμπτωτη υπάρχει μόνο εάν πληρούνται δύο προϋποθέσεις:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Στη συνέχεια μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο: y=kx+b. Και πάλι, στην περίπτωσή μας δεν υπάρχουν πλάγιες ασύμπτωτες.

Συναρτήσεις μηδενικά

Το επόμενο βήμα είναι να εξετάσουμε το γράφημα της συνάρτησης για μηδενικά. Είναι επίσης πολύ σημαντικό να σημειωθεί ότι η εργασία που σχετίζεται με την εύρεση των μηδενικών μιας συνάρτησης συμβαίνει όχι μόνο κατά τη μελέτη και την κατασκευή γραφήματος μιας συνάρτησης, αλλά και ως ανεξάρτητη εργασία και ως τρόπος επίλυσης ανισώσεων. Μπορεί να σας ζητηθεί να βρείτε τα μηδενικά μιας συνάρτησης σε ένα γράφημα ή να χρησιμοποιήσετε μαθηματικούς συμβολισμούς.

Η εύρεση αυτών των τιμών θα σας βοηθήσει να γράψετε τη συνάρτηση με μεγαλύτερη ακρίβεια. Με απλά λόγια, το μηδέν μιας συνάρτησης είναι η τιμή της μεταβλητής x στην οποία y = 0. Αν ψάχνετε για τα μηδενικά μιας συνάρτησης σε ένα γράφημα, τότε θα πρέπει να δώσετε προσοχή στα σημεία στα οποία το γράφημα τέμνεται με τον άξονα x.

Για να βρείτε τα μηδενικά της συνάρτησης, πρέπει να λύσετε την ακόλουθη εξίσωση: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Αφού κάνουμε τους απαραίτητους υπολογισμούς, παίρνουμε την ακόλουθη απάντηση:

Σημάδι σταθερότητα

Το επόμενο στάδιο έρευνας και κατασκευής μιας συνάρτησης (γραφήματος) είναι η εύρεση διαστημάτων σταθερού πρόσημου. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να προσδιορίσουμε σε ποια διαστήματα η συνάρτηση παίρνει θετική τιμή και σε ποια διαστήματα παίρνει αρνητική τιμή. Οι μηδενικές συναρτήσεις που βρέθηκαν στην τελευταία ενότητα θα μας βοηθήσουν να το κάνουμε αυτό. Επομένως, πρέπει να δημιουργήσουμε μια ευθεία γραμμή (χωριστή από το γράφημα) και να κατανείμουμε τα μηδενικά της συνάρτησης κατά μήκος της με τη σωστή σειρά από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο. Τώρα πρέπει να προσδιορίσετε ποιο από τα διαστήματα που προκύπτουν έχει σύμβολο "+" και ποιο έχει "-".

Στην περίπτωσή μας, η συνάρτηση παίρνει θετική τιμή στα διαστήματα:

• από 1 έως 4?
• από το 9 στο άπειρο.

Αρνητική σημασία:

• από μείον άπειρο έως 1.
• από 4 έως 9.

Αυτό είναι αρκετά εύκολο να προσδιοριστεί. Αντικαταστήστε οποιονδήποτε αριθμό από το διάστημα στη συνάρτηση και δείτε τι πρόσημο έχει η απάντηση (μείον ή συν).

Λειτουργία αύξησης και μείωσης

Προκειμένου να εξερευνήσουμε και να κατασκευάσουμε μια συνάρτηση, πρέπει να γνωρίζουμε πού θα αυξηθεί το γράφημα (ανεβαίνει κατά μήκος του άξονα Oy) και πού θα πέσει (ανιχνεύουμε προς τα κάτω κατά μήκος του άξονα y).

Μια συνάρτηση αυξάνεται μόνο εάν μια μεγαλύτερη τιμή της μεταβλητής x αντιστοιχεί σε μεγαλύτερη τιμή του y. Δηλαδή, το x2 είναι μεγαλύτερο από το x1 και το f(x2) είναι μεγαλύτερο από το f(x1). Και παρατηρούμε ένα εντελώς αντίθετο φαινόμενο με φθίνουσα συνάρτηση (όσο περισσότερο x, τόσο λιγότερο y). Για να προσδιορίσετε τα διαστήματα αύξησης και μείωσης, πρέπει να βρείτε τα ακόλουθα:

• τομέας ορισμού (έχουμε ήδη).
• παράγωγο (στην περίπτωσή μας: 1/3 (3x^2-28x+49);
• λύστε την εξίσωση 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Μετά από υπολογισμούς παίρνουμε το αποτέλεσμα:

Παίρνουμε: η συνάρτηση αυξάνεται στα διαστήματα από το μείον άπειρο στο 7/3 και από το 7 στο άπειρο και μειώνεται στο διάστημα από 7/3 στο 7.

Ακρα

Η υπό μελέτη συνάρτηση y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) είναι συνεχής και υπάρχει για οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής x. Το ακραίο σημείο δείχνει το μέγιστο και το ελάχιστο μιας δεδομένης συνάρτησης. Στην περίπτωσή μας δεν υπάρχουν, κάτι που απλοποιεί πολύ το έργο κατασκευής. Διαφορετικά, μπορούν επίσης να βρεθούν χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση παραγώγου. Μόλις βρεθούν, μην ξεχάσετε να τα σημειώσετε στο γράφημα.

Κυρτότητα και κοιλότητα

Συνεχίζουμε να εξερευνούμε περαιτέρω τη συνάρτηση y(x). Τώρα πρέπει να το ελέγξουμε για κυρτότητα και κοιλότητα. Οι ορισμοί αυτών των εννοιών είναι αρκετά δύσκολο να κατανοηθούν, είναι καλύτερο να αναλύσουμε τα πάντα χρησιμοποιώντας παραδείγματα. Για τη δοκιμή: μια συνάρτηση είναι κυρτή αν είναι μη φθίνουσα συνάρτηση. Συμφωνώ, αυτό είναι ακατανόητο!

Πρέπει να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης δεύτερης τάξης. Παίρνουμε: y=1/3(6x-28). Τώρα ας εξισώσουμε τη δεξιά πλευρά με το μηδέν και ας λύσουμε την εξίσωση. Απάντηση: x=14/3. Βρήκαμε το σημείο καμπής, δηλαδή το σημείο όπου το γράφημα αλλάζει από κυρτότητα σε κοιλότητα ή αντίστροφα. Στο διάστημα από μείον άπειρο έως 14/3 η συνάρτηση είναι κυρτή και από 14/3 έως συν άπειρο είναι κοίλη. Είναι επίσης πολύ σημαντικό να σημειωθεί ότι το σημείο καμπής στο γράφημα πρέπει να είναι ομαλό και απαλό, δεν πρέπει να υπάρχουν αιχμηρές γωνίες.

Καθορισμός πρόσθετων σημείων

Το καθήκον μας είναι να διερευνήσουμε και να κατασκευάσουμε ένα γράφημα της συνάρτησης. Ολοκληρώσαμε τη μελέτη η κατασκευή ενός γραφήματος της συνάρτησης δεν είναι πλέον δύσκολη. Για πιο ακριβή και λεπτομερή αναπαραγωγή μιας καμπύλης ή μιας ευθείας γραμμής στο επίπεδο συντεταγμένων, μπορείτε να βρείτε πολλά βοηθητικά σημεία. Είναι αρκετά εύκολο να υπολογιστούν. Για παράδειγμα, παίρνουμε x=3, λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει και βρίσκουμε y=4. Ή x=5, και y=-5 και ούτω καθεξής. Μπορείτε να πάρετε όσους επιπλέον πόντους χρειάζεστε για την κατασκευή. Βρίσκονται τουλάχιστον 3-5 από αυτά.

Σχεδιάζοντας ένα γράφημα

Χρειάστηκε να διερευνήσουμε τη συνάρτηση (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Όλα τα απαραίτητα σημάδια κατά τους υπολογισμούς έγιναν στο επίπεδο συντεταγμένων. Το μόνο που μένει να γίνει είναι να φτιάξουμε ένα γράφημα, δηλαδή να συνδέσουμε όλες τις τελείες. Η σύνδεση των κουκκίδων πρέπει να είναι ομαλή και ακριβής, αυτό είναι θέμα δεξιότητας - λίγη εξάσκηση και το πρόγραμμά σας θα είναι τέλειο.

Για να μελετήσετε πλήρως τη συνάρτηση και να σχεδιάσετε το γράφημά της, συνιστάται το ακόλουθο σχήμα:
Α) βρείτε τον τομέα ορισμού, σημεία διακοπής. εξερευνήστε τη συμπεριφορά μιας συνάρτησης κοντά σε σημεία ασυνέχειας (βρείτε τα όρια της συνάρτησης αριστερά και δεξιά σε αυτά τα σημεία). Υποδείξτε τις κατακόρυφες ασύμπτωτες.
Β) Να προσδιορίσετε αν μια συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή και να συμπεράνετε ότι υπάρχει συμμετρία. Αν , τότε η συνάρτηση είναι άρτια και συμμετρική ως προς τον άξονα OY. όταν η συνάρτηση είναι περιττή, συμμετρική ως προς την προέλευση. και αν είναι συνάρτηση γενικής μορφής.
Γ) βρείτε τα σημεία τομής της συνάρτησης με τους άξονες συντεταγμένων OY και OX (αν είναι δυνατόν), προσδιορίστε τα διαστήματα σταθερού πρόσημου της συνάρτησης. Τα όρια των διαστημάτων σταθερού πρόσημου μιας συνάρτησης καθορίζονται από τα σημεία στα οποία η συνάρτηση είναι ίση με το μηδέν (συνάρτηση μηδενικά) ή δεν υπάρχει και τα όρια του πεδίου ορισμού αυτής της συνάρτησης. Σε διαστήματα όπου η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα OX, και όπου - κάτω από αυτόν τον άξονα.
Δ) Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης, να προσδιορίσετε τα μηδενικά της και τα διαστήματα σταθερού πρόσημου. Σε διαστήματα όπου η συνάρτηση αυξάνεται και όπου μειώνεται. Βγάλτε ένα συμπέρασμα για την παρουσία των ακρών (σημεία όπου υπάρχει συνάρτηση και παράγωγος και όταν διέρχεται από τα οποία αλλάζει πρόσημο. Εάν το πρόσημο αλλάξει από συν σε πλην, τότε σε αυτό το σημείο η συνάρτηση έχει μέγιστο, και αν από μείον σε συν , μετά ένα ελάχιστο). Βρείτε τις τιμές της συνάρτησης στα ακραία σημεία.
Δ) Να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο, τα μηδενικά της και τα διαστήματα σταθερού πρόσημου. Σε διαστήματα όπου< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
Ε) βρείτε κεκλιμένες (οριζόντιες) ασύμπτωτες, οι εξισώσεις των οποίων έχουν τη μορφή ; Οπου
.
Στο το γράφημα της συνάρτησης θα έχει δύο λοξές ασύμπτωτες και κάθε τιμή του x at και μπορεί επίσης να αντιστοιχεί σε δύο τιμές του b.
Ζ) Βρείτε πρόσθετα σημεία για να διευκρινίσετε τη γραφική παράσταση (αν χρειάζεται) και κατασκευάστε μια γραφική παράσταση.

Παράδειγμα 1 Εξερευνήστε τη συνάρτηση και δημιουργήστε το γράφημά της. Λύση: Α) πεδίο ορισμού ; η συνάρτηση είναι συνεχής στον τομέα ορισμού της. – σημείο διακοπής, γιατί ;. Στη συνέχεια – κατακόρυφη ασύμπτωτη.
ΣΙ)
εκείνοι. Το y(x) είναι συνάρτηση γενικής μορφής.
Γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα OY: σύνολο x=0; τότε y(0)=–1, δηλ. η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα στο σημείο (0;-1). Μηδενικά της συνάρτησης (σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα OX): σύνολο y=0; Επειτα
.
Η διάκριση μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι μικρότερη από το μηδέν, που σημαίνει ότι δεν υπάρχουν μηδενικά. Τότε το όριο των διαστημάτων σταθερού πρόσημου είναι το σημείο x=1, όπου η συνάρτηση δεν υπάρχει.
Το πρόσημο της συνάρτησης σε κάθε ένα από τα διαστήματα καθορίζεται με τη μέθοδο των μερικών τιμών:

Είναι σαφές από το διάγραμμα ότι στο διάστημα το γράφημα της συνάρτησης βρίσκεται κάτω από τον άξονα OX και στο διάστημα - πάνω από τον άξονα OX.
Δ) Διαπιστώνουμε την ύπαρξη κρίσιμων σημείων.
.
Βρίσκουμε κρίσιμα σημεία (όπου υπάρχουν ή δεν υπάρχουν) από τις ισότητες και .

Παίρνουμε: x1=1, x2=0, x3=2. Ας δημιουργήσουμε έναν βοηθητικό πίνακα

Τραπέζι 1

(Η πρώτη γραμμή περιέχει κρίσιμα σημεία και τα διαστήματα στα οποία διαιρούνται αυτά τα σημεία με τον άξονα OX· η δεύτερη γραμμή δείχνει τις τιμές της παραγώγου σε κρίσιμα σημεία και τα σημάδια στα διαστήματα. Τα πρόσημα καθορίζονται από τη μερική τιμή Η τρίτη γραμμή δείχνει τις τιμές της συνάρτησης y(x) σε κρίσιμα σημεία και δείχνει τη συμπεριφορά της συνάρτησης - αυξανόμενη ή μειούμενη στα αντίστοιχα διαστήματα του αριθμητικού άξονα υποδεικνύεται.
Δ) Να βρείτε τα διαστήματα κυρτότητας και κοιλότητας της συνάρτησης.
; δημιουργήστε έναν πίνακα όπως στο σημείο Δ). Μόνο στη δεύτερη γραμμή σημειώνουμε τα σημάδια και στην τρίτη υποδεικνύουμε τον τύπο της κυρτότητας. Επειδή ; τότε το κρίσιμο σημείο είναι ένα x=1.
πίνακας 2

Το σημείο x=1 είναι το σημείο καμπής.
Ε) Να βρείτε πλάγιες και οριζόντιες ασύμπτωτες

Τότε το y=x είναι λοξή ασύμπτωτη.
Ζ) Με βάση τα δεδομένα που ελήφθησαν, κατασκευάζουμε ένα γράφημα της συνάρτησης

Παράδειγμα 2 Εκτελέστε μια πλήρη μελέτη της συνάρτησης και κατασκευάστε τη γραφική παράσταση της. Λύση.

1). Το εύρος της λειτουργίας.
Είναι προφανές ότι αυτή η συνάρτηση ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή, εκτός από τα σημεία «» και «», επειδή σε αυτά τα σημεία ο παρονομαστής είναι ίσος με μηδέν και, επομένως, η συνάρτηση δεν υπάρχει, και οι ευθείες και είναι κάθετες ασύμπτωτες.

2). Η συμπεριφορά μιας συνάρτησης καθώς το όρισμα τείνει στο άπειρο, η ύπαρξη σημείων ασυνέχειας και ο έλεγχος για την παρουσία λοξών ασυμπτωμάτων.
Ας ελέγξουμε πρώτα πώς συμπεριφέρεται η συνάρτηση καθώς πλησιάζει το άπειρο προς τα αριστερά και προς τα δεξιά.

Έτσι, όταν η συνάρτηση τείνει στο 1, δηλ. – οριζόντια ασύμπτωτη.
Στην περιοχή των σημείων ασυνέχειας, η συμπεριφορά της συνάρτησης προσδιορίζεται ως εξής:


Εκείνοι. Όταν πλησιάζετε σημεία ασυνέχειας στα αριστερά, η συνάρτηση μειώνεται άπειρα και στα δεξιά αυξάνεται άπειρα.
Προσδιορίζουμε την παρουσία μιας λοξής ασύμπτωτης λαμβάνοντας υπόψη την ισότητα:

Δεν υπάρχουν πλάγιες ασύμπτωτες.

3). Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων.
Εδώ είναι απαραίτητο να εξετάσουμε δύο καταστάσεις: να βρείτε το σημείο τομής με τον άξονα Ox και τον άξονα Oy. Το πρόσημο τομής με τον άξονα Ox είναι η μηδενική τιμή της συνάρτησης, δηλ. είναι απαραίτητο να λυθεί η εξίσωση:

Αυτή η εξίσωση δεν έχει ρίζες, επομένως, η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης δεν έχει σημεία τομής με τον άξονα Ox.
Το πρόσημο τομής με τον άξονα Oy είναι η τιμή x = 0. Στην περίπτωση αυτή
,
εκείνοι. – το σημείο τομής της γραφικής παράστασης συνάρτησης με τον άξονα Oy.

4).Προσδιορισμός ακραίων σημείων και διαστημάτων αύξησης και μείωσης.
Για να μελετήσουμε αυτό το ζήτημα, ορίζουμε την πρώτη παράγωγο:
.
Ας εξισώσουμε την τιμή της πρώτης παραγώγου με μηδέν.
.
Ένα κλάσμα είναι ίσο με μηδέν όταν ο αριθμητής του είναι ίσος με μηδέν, δηλ. .
Ας προσδιορίσουμε τα διαστήματα αύξησης και μείωσης της συνάρτησης.

Έτσι, η συνάρτηση έχει ένα ακραίο σημείο και δεν υπάρχει σε δύο σημεία.
Έτσι, η συνάρτηση αυξάνεται στα διαστήματα και και μειώνεται στα διαστήματα και .

5). Σημεία καμπής και περιοχές κυρτότητας και κοιλότητας.
Αυτό το χαρακτηριστικό της συμπεριφοράς μιας συνάρτησης προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τη δεύτερη παράγωγο. Ας προσδιορίσουμε πρώτα την παρουσία σημείων καμπής. Η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης είναι ίση με

Πότε και η συνάρτηση είναι κοίλη.

όταν και η συνάρτηση είναι κυρτή.

6). Γραφική παράσταση συνάρτησης.
Χρησιμοποιώντας τις τιμές που βρέθηκαν σε σημεία, θα κατασκευάσουμε σχηματικά ένα γράφημα της συνάρτησης:

Παράδειγμα 3 Λειτουργία εξερεύνησης και να φτιάξεις το γράφημά του.

Λύση
Η δεδομένη συνάρτηση είναι μια μη περιοδική συνάρτηση γενικής μορφής. Η γραφική παράσταση του διέρχεται από την αρχή των συντεταγμένων, αφού .
Το πεδίο ορισμού μιας δεδομένης συνάρτησης είναι όλες οι τιμές της μεταβλητής εκτός και για τις οποίες ο παρονομαστής του κλάσματος γίνεται μηδέν.
Κατά συνέπεια, τα σημεία είναι τα σημεία ασυνέχειας της συνάρτησης.
Επειδή ,

Επειδή ,
, τότε το σημείο είναι ένα σημείο ασυνέχειας του δεύτερου είδους.
Οι ευθείες γραμμές είναι οι κάθετες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.
Εξισώσεις λοξών ασυμπτωμάτων, όπου, .
Στο ,
.
Έτσι, για και η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει μία ασύμπτωτη.
Ας βρούμε τα διαστήματα αύξησης και μείωσης της συνάρτησης και των ακραίων σημείων.
.
Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης at και, επομένως, at και η συνάρτηση αυξάνεται.
Πότε , επομένως, όταν , η συνάρτηση μειώνεται.
δεν υπάρχει για , .
, επομένως, όταν Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι κοίλη.
Στο , επομένως, όταν Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι κυρτή.

Όταν διέρχεται από τα σημεία , , αλλάζει πρόσημο. Όταν , η συνάρτηση δεν έχει οριστεί, επομένως, η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει ένα σημείο καμπής.
Ας φτιάξουμε ένα γράφημα της συνάρτησης.

Οδηγίες

Βρείτε τον τομέα της συνάρτησης. Για παράδειγμα, η συνάρτηση sin(x) ορίζεται σε ολόκληρο το διάστημα από -∞ έως +∞ και η συνάρτηση 1/x ορίζεται από -∞ έως +∞, εκτός από το σημείο x = 0.

Προσδιορίστε περιοχές συνέχειας και σημεία ασυνέχειας. Συνήθως μια συνάρτηση είναι συνεχής στην ίδια περιοχή όπου ορίζεται. Για να ανιχνευθούν ασυνέχειες, πρέπει να υπολογιστεί καθώς το όρισμα πλησιάζει σε απομονωμένα σημεία εντός του πεδίου ορισμού. Για παράδειγμα, η συνάρτηση 1/x τείνει στο άπειρο όταν x→0+, και στο μείον άπειρο όταν x→0-. Αυτό σημαίνει ότι στο σημείο x = 0 έχει ασυνέχεια δεύτερου είδους.
Εάν τα όρια στο σημείο ασυνέχειας είναι πεπερασμένα, αλλά όχι ίσα, τότε πρόκειται για ασυνέχεια πρώτου είδους. Αν είναι ίσες, τότε η συνάρτηση θεωρείται συνεχής, αν και δεν ορίζεται σε απομονωμένο σημείο.

Βρείτε κάθετες ασύμπτωτες, εάν υπάρχουν. Οι υπολογισμοί από το προηγούμενο βήμα θα σας βοηθήσουν εδώ, καθώς η κατακόρυφη ασύμπτωτη βρίσκεται σχεδόν πάντα στο σημείο ασυνέχειας του δεύτερου είδους. Ωστόσο, μερικές φορές δεν εξαιρούνται μεμονωμένα σημεία από τον τομέα ορισμού, αλλά ολόκληρα διαστήματα σημείων και, στη συνέχεια, οι κάθετες ασύμπτωτες μπορούν να εντοπιστούν στα άκρα αυτών των διαστημάτων.

Ελέγξτε εάν η συνάρτηση έχει ειδικές ιδιότητες: ζυγές, περιττές και περιοδικές.
Η συνάρτηση θα είναι άρτια αν για οποιοδήποτε x στον τομέα f(x) = f(-x). Για παράδειγμα, οι cos(x) και x^2 είναι ζυγές συναρτήσεις.

Η περιοδικότητα είναι μια ιδιότητα που λέει ότι υπάρχει ένας ορισμένος αριθμός T, που ονομάζεται περίοδος, που για κάθε x f(x) = f(x + T). Για παράδειγμα, όλες οι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις (ημιτονοειδές, συνημίτονο, εφαπτομένη) είναι περιοδικές.

Βρείτε τα σημεία. Για να το κάνετε αυτό, υπολογίστε την παράγωγο της δεδομένης συνάρτησης και βρείτε αυτές τις τιμές του x όπου γίνεται μηδέν. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x) = x^3 + 9x^2 -15 έχει μια παράγωγο g(x) = 3x^2 + 18x, η οποία εξαφανίζεται στο x = 0 και x = -6.

Για να προσδιορίσετε ποια ακραία σημεία είναι μέγιστα και ποια ελάχιστα, παρακολουθήστε τη μεταβολή στα πρόσημα της παραγώγου στα μηδενικά που βρέθηκαν. Η g(x) αλλάζει πρόσημο από συν στο σημείο x = -6, και στο σημείο x = 0 πίσω από μείον σε συν. Συνεπώς, η συνάρτηση f(x) έχει ελάχιστο στο πρώτο σημείο και ελάχιστο στο δεύτερο.

Έτσι, βρήκατε επίσης περιοχές μονοτονίας: η f(x) αυξάνεται μονοτονικά στο διάστημα -∞;-6, μονοτονικά μειώνεται στο -6;0 και αυξάνεται ξανά στο 0;+∞.

Βρείτε τη δεύτερη παράγωγο. Οι ρίζες της θα δείχνουν πού θα είναι κυρτή η γραφική παράσταση μιας δεδομένης συνάρτησης και πού θα είναι κοίλη. Για παράδειγμα, η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης f(x) θα είναι h(x) = 6x + 18. Πάει στο μηδέν στο x = -3, αλλάζοντας πρόσημο από μείον σε συν. Κατά συνέπεια, η γραφική παράσταση της f(x) πριν από αυτό το σημείο θα είναι κυρτή, μετά από αυτήν - κοίλη, και αυτό το ίδιο το σημείο θα είναι ένα σημείο καμπής.

Μια συνάρτηση μπορεί να έχει άλλες ασύμπτωτες εκτός από τις κατακόρυφες, αλλά μόνο εάν ο τομέας ορισμού της περιλαμβάνει . Για να τα βρείτε, υπολογίστε το όριο της f(x) όταν x→∞ ή x→-∞. Αν είναι πεπερασμένο, τότε έχετε βρει την οριζόντια ασύμπτωτη.

Η πλάγια ασύμπτωτη είναι μια ευθεία γραμμή της μορφής kx + b. Για να βρείτε το k, υπολογίστε το όριο της f(x)/x ως x→∞. Να βρείτε το b - όριο (f(x) – kx) για το ίδιο x→∞.

Σχεδιάστε ένα γράφημα της συνάρτησης με βάση τα υπολογισμένα δεδομένα. Επισημάνετε τα ασύμπτωτα, εάν υπάρχουν. Σημειώστε τα ακραία σημεία και τις τιμές συνάρτησης σε αυτά. Για μεγαλύτερη ακρίβεια γραφήματος, υπολογίστε τις τιμές της συνάρτησης σε πολλά ακόμη ενδιάμεσα σημεία. Η μελέτη ολοκληρώθηκε.

Τα σημεία αναφοράς κατά τη μελέτη συναρτήσεων και την κατασκευή των γραφημάτων τους είναι χαρακτηριστικά σημεία - σημεία ασυνέχειας, ακρότατου, καμπής, τομής με άξονες συντεταγμένων. Χρησιμοποιώντας διαφορικό λογισμό, είναι δυνατό να καθοριστούν τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα των αλλαγών στις συναρτήσεις: αύξηση και μείωση, μέγιστα και ελάχιστα, κατεύθυνση κυρτότητας και κοιλότητας του γραφήματος, παρουσία ασυμπτωτών.

Ένα σκίτσο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης μπορεί (και πρέπει) να σχεδιαστεί μετά την εύρεση των ασυμπτωμάτων και των ακραίων σημείων και είναι βολικό να συμπληρώσετε τον συνοπτικό πίνακα της μελέτης της συνάρτησης καθώς προχωρά η μελέτη.

Συνήθως χρησιμοποιείται το ακόλουθο σχήμα μελέτης συναρτήσεων.

1.Βρείτε το πεδίο ορισμού, τα διαστήματα συνέχειας και τα σημεία διακοπής της συνάρτησης.

2.Εξετάστε τη συνάρτηση για ομαλότητα ή περιττότητα (αξονική ή κεντρική συμμετρία του γραφήματος.

3.Βρείτε ασύμπτωτες (κάθετες, οριζόντιες ή πλάγιες).

4.Να βρείτε και να μελετήσετε τα διαστήματα αύξησης και μείωσης της συνάρτησης, τα ακραία σημεία της.

5.Να βρείτε τα διαστήματα κυρτότητας και κοιλότητας της καμπύλης, τα σημεία καμπής της.

6.Να βρείτε τα σημεία τομής της καμπύλης με τους άξονες συντεταγμένων, αν υπάρχουν.

7.Να συντάξετε έναν συνοπτικό πίνακα της μελέτης.

8.Κατασκευάζεται ένα γράφημα, λαμβάνοντας υπόψη τη μελέτη της συνάρτησης που πραγματοποιείται σύμφωνα με τα σημεία που περιγράφονται παραπάνω.

Παράδειγμα.Λειτουργία εξερεύνησης

και να φτιάξεις το γράφημά του.

7. Ας συντάξουμε έναν συνοπτικό πίνακα για τη μελέτη της συνάρτησης, όπου θα εισάγουμε όλα τα χαρακτηριστικά σημεία και τα διαστήματα μεταξύ τους. Λαμβάνοντας υπόψη την ισοτιμία της συνάρτησης, λαμβάνουμε τον ακόλουθο πίνακα:

				Χαρακτηριστικά γραφήματος
[-1, 0[			Αυξάνεται	Κυρτός
				(0; 1) – μέγιστος βαθμός
]0, 1[			Φθίνων	Κυρτός
				Το σημείο καμπής σχηματίζεται με τον άξονα Βόδιαμβλεία γωνία

Ένα από τα πιο σημαντικά καθήκοντα του διαφορικού λογισμού είναι η ανάπτυξη γενικών παραδειγμάτων μελέτης της συμπεριφοράς των συναρτήσεων.

Εάν η συνάρτηση y=f(x) είναι συνεχής στο διάστημα , και η παράγωγός της είναι θετική ή ίση με 0 στο διάστημα (a,b), τότε η y=f(x) αυξάνεται κατά (f"(x)0) Αν η συνάρτηση y=f (x) είναι συνεχής στο τμήμα , και η παράγωγός της είναι αρνητική ή ίση με 0 στο διάστημα (a,b), τότε η y=f(x) μειώνεται κατά (f"(x)0. )

Τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση δεν μειώνεται ή αυξάνεται ονομάζονται διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης. Η μονοτονία μιας συνάρτησης μπορεί να αλλάξει μόνο σε εκείνα τα σημεία του πεδίου ορισμού της στα οποία αλλάζει το πρόσημο της πρώτης παραγώγου. Τα σημεία στα οποία η πρώτη παράγωγος μιας συνάρτησης εξαφανίζεται ή έχει ασυνέχεια ονομάζονται κρίσιμα.

Θεώρημα 1 (1η επαρκής συνθήκη για την ύπαρξη άκρου).

Έστω η συνάρτηση y=f(x) να οριστεί στο σημείο x 0 και έστω μια γειτονιά δ>0 τέτοια ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο διάστημα και διαφορίσιμη στο διάστημα (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , και η παράγωγός του διατηρεί ένα σταθερό πρόσημο σε καθένα από αυτά τα διαστήματα. Τότε αν στα x 0 -δ,x 0) και (x 0 , x 0 +δ) τα πρόσημα της παραγώγου είναι διαφορετικά, τότε το x 0 είναι ακρότατο σημείο και αν συμπίπτουν, τότε το x 0 δεν είναι ακρότατο σημείο . Επιπλέον, εάν, όταν διέρχεται από το σημείο x0, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από συν σε μείον (στα αριστερά του x 0 f"(x)>0 ικανοποιείται, τότε το x 0 είναι το μέγιστο σημείο· εάν η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από μείον στο συν (στα δεξιά του x 0 εκτελείται f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία ονομάζονται ακραία σημεία της συνάρτησης και το μέγιστο και ελάχιστο της συνάρτησης ονομάζονται ακραίες τιμές της.

Θεώρημα 2 (απαραίτητο σημάδι τοπικού άκρου).

Αν η συνάρτηση y=f(x) έχει άκρο στο ρεύμα x=x 0, τότε είτε f’(x 0)=0 είτε f’(x 0) δεν υπάρχει.
Στα ακραία σημεία της διαφοροποιήσιμης συνάρτησης, η εφαπτομένη στη γραφική της παράσταση είναι παράλληλη προς τον άξονα Ox.

Αλγόριθμος για τη μελέτη μιας συνάρτησης για ακρότατο:

1) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης.
2) Βρείτε κρίσιμα σημεία, δηλ. σημεία στα οποία η συνάρτηση είναι συνεχής και η παράγωγος είναι μηδέν ή δεν υπάρχει.
3) Εξετάστε τη γειτονιά κάθε σημείου και εξετάστε το πρόσημο της παραγώγου αριστερά και δεξιά αυτού του σημείου.
4) Προσδιορίστε τις συντεταγμένες των ακραίων σημείων για αυτό, αντικαταστήστε τις τιμές των κρίσιμων σημείων σε αυτή τη συνάρτηση. Χρησιμοποιώντας επαρκείς συνθήκες για το ακραίο, βγάλτε τα κατάλληλα συμπεράσματα.

Παράδειγμα 18. Εξετάστε τη συνάρτηση y=x 3 -9x 2 +24x για ένα άκρο

Λύση.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Εξισώνοντας την παράγωγο με το μηδέν, βρίσκουμε x 1 =2, x 2 =4. Σε αυτή την περίπτωση, η παράγωγος ορίζεται παντού. Αυτό σημαίνει ότι εκτός από τα δύο σημεία που βρέθηκαν, δεν υπάρχουν άλλα κρίσιμα σημεία.
3) Το πρόσημο της παραγώγου y"=3(x-2)(x-4) αλλάζει ανάλογα με το διάστημα όπως φαίνεται στο σχήμα 1. Όταν διέρχεται από το σημείο x=2, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από συν σε πλην, και κατά τη διέλευση από το σημείο x=4 - από μείον στο συν.
4) Στο σημείο x=2 η συνάρτηση έχει μέγιστο y max =20, και στο σημείο x=4 - ελάχιστο y min =16.

Θεώρημα 3. (2η επαρκής συνθήκη για την ύπαρξη άκρου).

Έστω f"(x 0) και στο σημείο x 0 υπάρχει f""(x 0). Τότε αν f""(x 0)>0, τότε x 0 είναι το ελάχιστο σημείο, και αν f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Σε ένα τμήμα, η συνάρτηση y=f(x) μπορεί να φτάσει τη μικρότερη (y το λιγότερο) ή τη μεγαλύτερη (y την υψηλότερη) τιμή είτε στα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης που βρίσκεται στο διάστημα (a;b), είτε στο τα άκρα του τμήματος.

Αλγόριθμος για την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας συνεχούς συνάρτησης y=f(x) στο τμήμα:

1) Βρείτε το f"(x).
2) Βρείτε τα σημεία στα οποία δεν υπάρχει f"(x)=0 ή f"(x) και επιλέξτε από αυτά αυτά που βρίσκονται μέσα στο τμήμα.
3) Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης y=f(x) στα σημεία που προέκυψαν στο βήμα 2), καθώς και στα άκρα του τμήματος και επιλέξτε το μεγαλύτερο και το μικρότερο από αυτά: είναι, αντίστοιχα, το μεγαλύτερο (y η μεγαλύτερη) και η μικρότερη (y η ελάχιστη) τιμές της συνάρτησης στο διάστημα.

Παράδειγμα 19. Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνεχούς συνάρτησης y=x 3 -3x 2 -45+225 στο τμήμα.

1) Έχουμε y"=3x 2 -6x-45 στο τμήμα
2) Η παράγωγος y" υπάρχει για όλα τα x. Ας βρούμε τα σημεία στα οποία y"=0; παίρνουμε:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης στα σημεία x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Το τμήμα περιέχει μόνο το σημείο x=5. Η μεγαλύτερη από τις τιμές της συνάρτησης που βρέθηκαν είναι 225 και η μικρότερη είναι ο αριθμός 50. Άρα, y max = 225, y min = 50.

Μελέτη συνάρτησης κυρτότητας

Το σχήμα δείχνει γραφήματα δύο συναρτήσεων. Το πρώτο από αυτά είναι κυρτό προς τα πάνω, το δεύτερο είναι κυρτό προς τα κάτω.

Η συνάρτηση y=f(x) είναι συνεχής σε ένα διάστημα και διαφοροποιήσιμη στο διάστημα (a;b), ονομάζεται κυρτή προς τα πάνω (κάτω) σε αυτό το διάστημα εάν, για το axb, η γραφική παράσταση της δεν βρίσκεται ψηλότερα (όχι χαμηλότερα) από το εφαπτομένη σε οποιοδήποτε σημείο M 0 (x 0 ;f(x 0)), όπου axb.

Θεώρημα 4. Έστω η συνάρτηση y=f(x) να έχει δεύτερη παράγωγο σε οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο x του τμήματος και να είναι συνεχής στα άκρα αυτού του τμήματος. Τότε αν η ανισότητα f""(x)0 ισχύει στο διάστημα (a;b), τότε η συνάρτηση είναι κυρτή προς τα κάτω στο διάστημα ; αν η ανισότητα f""(x)0 ισχύει στο διάστημα (a;b), τότε η συνάρτηση είναι κυρτή προς τα πάνω στο .

Θεώρημα 5. Αν η συνάρτηση y=f(x) έχει δεύτερη παράγωγο στο διάστημα (a;b) και αν αλλάξει πρόσημο όταν διέρχεται από το σημείο x 0, τότε το M(x 0 ;f(x 0)) είναι ένα σημείο καμπής.

Κανόνας για την εύρεση σημείων καμπής:

1) Βρείτε τα σημεία στα οποία η f""(x) δεν υπάρχει ή εξαφανίζεται.
2) Εξετάστε το σύμβολο f""(x) αριστερά και δεξιά από κάθε σημείο που βρίσκεται στο πρώτο βήμα.
3) Με βάση το Θεώρημα 4, βγάλτε ένα συμπέρασμα.

Παράδειγμα 20. Να βρείτε τα άκρα και τα σημεία καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Έχουμε f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Προφανώς, f"(x)=0 όταν x 1 =0, x 2 =1. Όταν διέρχεται από το σημείο x=0, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν, αλλά όταν περνά από το σημείο x=1 δεν αλλάζει πρόσημο. Αυτό σημαίνει ότι x=0 είναι το ελάχιστο σημείο (y min =12), και δεν υπάρχει άκρο στο σημείο x=1. Στη συνέχεια, βρίσκουμε . Η δεύτερη παράγωγος εξαφανίζεται στα σημεία x 1 =1, x 2 =1/3. Τα πρόσημα της δεύτερης παραγώγου αλλάζουν ως εξής: Στην ακτίνα (-∞;) έχουμε f""(x)>0, στο διάστημα (;1) έχουμε f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Επομένως, x= είναι το σημείο καμπής του γραφήματος συνάρτησης (μετάβαση από κυρτότητα προς τα κάτω στην κυρτότητα προς τα πάνω) και x=1 είναι επίσης το σημείο καμπής (μετάβαση από κυρτότητα προς τα πάνω στην κυρτότητα προς τα κάτω). Αν x=, τότε y=; αν, τότε x=1, y=13.

Αλγόριθμος για την εύρεση της ασύμπτοτης ενός γραφήματος

I. Αν y=f(x) ως x → a, τότε το x=a είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη.
II. Αν y=f(x) ως x → ∞ ή x → -∞, τότε το y=A είναι μια οριζόντια ασύμπτωτη.
III. Για να βρούμε την πλάγια ασύμπτωτη, χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο αλγόριθμο:
1) Υπολογίστε. Εάν το όριο υπάρχει και είναι ίσο με b, τότε το y=b είναι μια οριζόντια ασύμπτωτη. αν , τότε μεταβείτε στο δεύτερο βήμα.
2) Υπολογίστε. Αν αυτό το όριο δεν υπάρχει, τότε δεν υπάρχει ασύμπτωτο. αν υπάρχει και είναι ίσο με k, τότε πηγαίνετε στο τρίτο βήμα.
3) Υπολογίστε. Αν αυτό το όριο δεν υπάρχει, τότε δεν υπάρχει ασύμπτωτο. αν υπάρχει και ισούται με b, τότε πηγαίνετε στο τέταρτο βήμα.
4) Να γράψετε την εξίσωση της πλάγιας ασύμπτωτης y=kx+b.

Παράδειγμα 21: Βρείτε την ασύμπτωτη για μια συνάρτηση

1)
2)
3)
4) Η εξίσωση της πλάγιας ασύμπτωτης έχει τη μορφή

Σχέδιο μελέτης μιας συνάρτησης και κατασκευής της γραφικής της παράστασης

I. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
II. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης συνάρτησης με τους άξονες συντεταγμένων.
III. Βρείτε ασύμπτωτες.
IV. Βρείτε πιθανά ακραία σημεία.
V. Βρείτε κρίσιμα σημεία.
VI. Χρησιμοποιώντας το βοηθητικό σχήμα, εξερευνήστε το πρόσημο της πρώτης και της δεύτερης παραγώγου. Προσδιορίστε περιοχές αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης, βρείτε την κατεύθυνση της κυρτότητας της γραφικής παράστασης, τα σημεία των άκρων και τα σημεία καμπής.
VII. Κατασκευάστε ένα γράφημα, λαμβάνοντας υπόψη την έρευνα που έγινε στις παραγράφους 1-6.

Παράδειγμα 22: Κατασκευάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης σύμφωνα με το παραπάνω διάγραμμα

Λύση.
I. Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών εκτός από x=1.
II. Εφόσον η εξίσωση x 2 +1=0 δεν έχει πραγματικές ρίζες, η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν έχει σημεία τομής με τον άξονα Ox, αλλά τέμνει τον άξονα Oy στο σημείο (0;-1).
III. Ας διευκρινίσουμε το ζήτημα της ύπαρξης ασυμπτωτών. Ας μελετήσουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης κοντά στο σημείο ασυνέχειας x=1. Εφόσον y → ∞ ως x → -∞, y → +∞ ως x → 1+, τότε η ευθεία x=1 είναι η κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.
Αν x → +∞(x → -∞), τότε y → +∞(y → -∞); Επομένως, το γράφημα δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη. Περαιτέρω, από την ύπαρξη ορίων

Λύνοντας την εξίσωση x 2 -2x-1=0 λαμβάνουμε δύο πιθανά ακραία σημεία:
x 1 =1-√2 και x 2 =1+√2

V. Για να βρούμε τα κρίσιμα σημεία, υπολογίζουμε τη δεύτερη παράγωγο:

Εφόσον η f""(x) δεν εξαφανίζεται, δεν υπάρχουν κρίσιμα σημεία.
VI. Ας εξετάσουμε το πρόσημο της πρώτης και της δεύτερης παραγώγου. Πιθανά ακραία σημεία που πρέπει να ληφθούν υπόψη: x 1 =1-√2 και x 2 =1+√2, διαιρέστε τον τομέα ύπαρξης της συνάρτησης σε διαστήματα (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) και (1+√2;+∞).

Σε καθένα από αυτά τα διαστήματα, η παράγωγος διατηρεί το πρόσημό της: στο πρώτο - συν, στο δεύτερο - μείον, στο τρίτο - συν. Η ακολουθία των σημείων της πρώτης παραγώγου θα γραφεί ως εξής: +,-,+.
Βρίσκουμε ότι η συνάρτηση αυξάνεται στο (-∞;1-√2), μειώνεται στο (1-√2;1+√2) και αυξάνεται ξανά στο (1+√2;+∞). Ακραία σημεία: μέγιστο στο x=1-√2, και f(1-√2)=2-2√2 ελάχιστο στο x=1+√2 και f(1+√2)=2+2√2. Στο (-∞;1) το γράφημα είναι κυρτό προς τα πάνω και στο (1;+∞) είναι κυρτό προς τα κάτω.
VII Ας φτιάξουμε έναν πίνακα με τις λαμβανόμενες τιμές

VIII Με βάση τα δεδομένα που ελήφθησαν, κατασκευάζουμε ένα σκίτσο του γραφήματος της συνάρτησης