Παραδείγματα υπολογισμού της εργασίας που γίνεται με τη βαρύτητα. Φόρμουλα εργασίας

30.2.1. Εργασία με τη βαρύτητα

τελική κίνηση του σημείου εφαρμογής του

Αφήστε το υλικό να επικεντρωθεί
μετακινείται από τη θέση
στη θέση
κατά μήκος μιας αυθαίρετης τροχιάς - βλέπε Εικ. 3.

Εικόνα 30.3

.

Συνήθως ονομάζεται: - γεωδαιτικό ύψος της αρχικής θέσης του σημείου. - γεωδαιτικό ύψος της τελικής θέσης του σημείου.
- διαφορά στα γεωδαιτικά ύψη. Ετσι:

- το έργο που γίνεται από τη βαρύτητα δεν εξαρτάται από το σχήμα της τροχιάς του σημείου εφαρμογής του και είναι ίσο με το γινόμενο του συντελεστή βαρύτητας και τη διαφορά στα γεωδαιτικά ύψη της αρχικής και τελικής θέσης αυτού του σημείου.

30.2.2. Το έργο μιας ελαστικής δύναμης στην τελική μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της

Στην Εικ. 30.4:
- σώμα στο οποίο ασκείται ελαστική δύναμη ; - θέση σώματος που αντιστοιχεί στην μη παραμορφωμένη κατάσταση του ελατηρίου.

- συντονίζω

Να εξαχθεί ο τύπος για τον υπολογισμό του έργου της ελαστικής δύναμης

ata που καθορίζει κάποια τρέχουσα θέση του σώματος
.

ΣΕ
σύμφωνα με το νόμο του Χουκ
, Οπου - ακαμψία ελατηρίου, - το μέγεθος της παραμόρφωσής του. Το τρίγωνο που φαίνεται στο Σχ. 30.4 ονομάζεται διάγραμμα ελαστικής δύναμης.

Το έργο μιας ελαστικής δύναμης όταν κινείται ένα σώμα από μια ορισμένη παραμορφωμένη κατάσταση που καθορίζεται από τη συντεταγμένη , σε απαραμόρφωτο (
), ονομάζεται το συνολικό έργο της ελαστικής δύναμης.

Εικόνα 30.4

το συνολικό έργο της ελαστικής δύναμης (όταν το ελαστικό στοιχείο μεταφέρεται στην απαραμόρφωτη κατάστασή του) καθορίζεται από τον τύπο

.

Ημιτελής εργασία ελαστικής δύναμης (αποδεκτή συντομογραφία: «εργασία ελαστικής δύναμης») είναι η εργασία που εκτελείται από ένα ελαστικό στοιχείο κατά τη μετάβαση από τη μία από τις παραμορφωμένες καταστάσεις του σε μια άλλη. Είναι σαφές ότι:

το έργο της ελαστικής δύναμης είναι ίσο με το εμβαδόν εκείνου του τμήματος του τριγωνικού του διαγράμματος που βρίσκεται ανάμεσα στις συντεταγμένες που διακρίνουν μια παραμορφωμένη κατάσταση του ελαστικού στοιχείου από την άλλη.

30.2.3. Έργο βαρυτικής δύναμης

Ν

Να εξαχθεί τύπος για τον υπολογισμό του έργου της βαρυτικής δύναμης

και Εικ. 30.5:
- ελκυστικό κέντρο (Γη, Ήλιος κ.λπ.) - ελκυσμένη μάζα. - δύναμη έλξης, που καθορίζεται από το νόμο του Νεύτωνα:
. Αξονας αρχίζει στις
, - κάποια τελική τιμή συντεταγμένων .

Συνολικό έργο που γίνεται από τη βαρυτική δύναμη (
) είναι το έργο που θα κάνει όταν μετακινεί την ελκόμενη μάζα από το άπειρο σε μια θέση που καθορίζεται από την απόσταση . Ας βγάλουμε έναν τύπο για αυτό

Εικόνα 30.5

υπολογισμοί:

το συνολικό έργο που εκτελείται από τη βαρυτική δύναμη (που εκτελείται από αυτήν όταν μετακινείται η έλκουσα μάζα από το άπειρο σε μια θέση που καθορίζεται από την απόσταση από το κέντρο έλξης) καθορίζεται από τον τύπο
.

Λάβετε μόνοι σας το αποτέλεσμα:

έργο της βαρυτικής δύναμης που δαπανάται για τη μετακίνηση της ελκόμενης μάζας από τη θέση V καθορίζεται από τον τύπο

.

30.3. Τύποι για τον υπολογισμό των συνολικών δυνάμεων των δυνάμεων που δρουν σε στερεά σώματα

30.3.1. Περίπτωση μεταφραστικής κίνησης

Δυνάμεις που αναπτύσσονται από μεμονωμένες δυνάμεις:

Επειδή το σώμα προχωρά, τότε

Μόλις .

Επομένως, η συνολική ισχύς:

η συνολική ισχύς των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα μεταφορικά κινούμενο σώμα ορίζεται ως η ισχύς μιας μεμονωμένης δύναμης ίσης με το κύριο διάνυσμα των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό το σώμα και το σημείο εφαρμογής της οποίας κινείται με την ταχύτητα του σώματος.

8.3.2. Περίπτωση σφαιρικής κίνησης

Η συνολική ισχύς των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σφαιρικά κινούμενο σώμα ορίζεται ως η ισχύς ενός χωριστού ζεύγους δυνάμεων που εφαρμόζεται σε αυτό το σώμα, η ροπή του οποίου είναι ίση με την κύρια ροπή των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα.

30.3.3. Περίπτωση περιστροφικής κίνησης

Η περιστροφική κίνηση είναι μια ειδική περίπτωση σφαιρικής κίνησης.

Έστω ο άξονας περιστροφής . Επειτα

η συνολική ισχύς των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα περιστροφικά κινούμενο σώμα ορίζεται ως το γινόμενο της κύριας ροπής των εξωτερικών δυνάμεων σε σχέση με τον άξονα περιστροφής και της προβολής της γωνιακής ταχύτητας στον ίδιο άξονα.

Κατά την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων, συχνά πρέπει κανείς να αντιμετωπίσει σταθερές ροπές δυνάμεων και, ταυτόχρονα, να καθορίσει το έργο τους σε πεπερασμένες μετατοπίσεις. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε:

(μετά την ενσωμάτωση)
, δηλαδή:

το συνολικό έργο των δυνάμεων στην τελική περιστροφή του σώματος ορίζεται ως το γινόμενο της κύριας ροπής των εξωτερικών δυνάμεων σε σχέση με τον άξονα περιστροφής και της προκύπτουσας αύξησης στη γωνιακή συντεταγμένη.

Ξέρεις τι είναι δουλειά; Χωρίς καμία αμφιβολία. Κάθε άνθρωπος ξέρει τι είναι δουλειά, με την προϋπόθεση ότι γεννήθηκε και ζει στον πλανήτη Γη. Τι είναι η μηχανική εργασία;

Αυτή η έννοια είναι επίσης γνωστή στους περισσότερους ανθρώπους στον πλανήτη, αν και ορισμένα άτομα έχουν μια μάλλον ασαφή κατανόηση αυτής της διαδικασίας. Αλλά δεν μιλάμε για αυτούς τώρα. Ακόμα λιγότεροι άνθρωποι έχουν ιδέα τι είναι μηχανική εργασία από τη σκοπιά της φυσικής.Στη φυσική, η μηχανική εργασία δεν είναι ανθρώπινη εργασία για τροφή, είναι μια φυσική ποσότητα που μπορεί να είναι εντελώς άσχετη ούτε με ένα άτομο ούτε με οποιοδήποτε άλλο ζωντανό πλάσμα. Πως και έτσι; Ας το καταλάβουμε τώρα.

Μηχανική εργασία στη φυσική

Ας δώσουμε δύο παραδείγματα. Στο πρώτο παράδειγμα, τα νερά του ποταμού, αντιμέτωπα με μια άβυσσο, πέφτουν θορυβωδώς με τη μορφή καταρράκτη. Το δεύτερο παράδειγμα είναι ένας άνδρας που κρατά ένα βαρύ αντικείμενο στα απλωμένα χέρια του, για παράδειγμα, κρατώντας τη σπασμένη στέγη πάνω από τη βεράντα ενός εξοχικού σπιτιού από πτώση, ενώ η γυναίκα και τα παιδιά του αναζητούν μανιωδώς κάτι για να το στηρίξουν. Πότε εκτελούνται μηχανικές εργασίες;

Ορισμός μηχανικής εργασίας

Σχεδόν όλοι, χωρίς δισταγμό, θα απαντήσουν: στο δεύτερο. Και θα κάνουν λάθος. Το αντίθετο ισχύει. Στη φυσική περιγράφεται η μηχανική εργασία με τους ακόλουθους ορισμούς:Η μηχανική εργασία εκτελείται όταν μια δύναμη επιδρά σε ένα σώμα και αυτό κινείται. Η μηχανική εργασία είναι ευθέως ανάλογη με τη δύναμη που εφαρμόζεται και τη διανυθείσα απόσταση.

Τύπος μηχανικής εργασίας

Η μηχανική εργασία καθορίζεται από τον τύπο:

όπου το Α είναι η εργασία,
F - δύναμη,
s είναι η απόσταση που διανύθηκε.

Έτσι, παρ' όλο τον ηρωισμό του κουρασμένου κατόχου της στέγης, η δουλειά που έχει κάνει είναι μηδενική, αλλά το νερό, πέφτοντας υπό την επίδραση της βαρύτητας από ψηλό γκρεμό, κάνει την πιο μηχανική δουλειά. Δηλαδή, αν σπρώξουμε ανεπιτυχώς ένα βαρύ ντουλάπι, τότε η δουλειά που έχουμε κάνει από τη σκοπιά της φυσικής θα είναι ίση με το μηδέν, παρά το γεγονός ότι εφαρμόζουμε μεγάλη δύναμη. Αλλά αν μετακινήσουμε το ντουλάπι σε μια ορισμένη απόσταση, τότε θα κάνουμε εργασία ίση με το γινόμενο της ασκούμενης δύναμης και την απόσταση στην οποία μετακινήσαμε το σώμα.

Η μονάδα εργασίας είναι 1 J. Αυτό είναι το έργο που κάνει μια δύναμη 1 Newton για να μετακινήσει ένα σώμα σε απόσταση 1 m Αν η κατεύθυνση της ασκούμενης δύναμης συμπίπτει με την κατεύθυνση κίνησης του σώματος, τότε αυτή η δύναμη κάνει θετική δουλειά. Ένα παράδειγμα είναι όταν σπρώχνουμε ένα σώμα και αυτό κινείται. Και στην περίπτωση που ασκείται μια δύναμη προς την αντίθετη κατεύθυνση από την κίνηση του σώματος, για παράδειγμα, δύναμη τριβής, τότε αυτή η δύναμη κάνει αρνητικό έργο. Εάν η ασκούμενη δύναμη δεν επηρεάζει την κίνηση του σώματος με οποιονδήποτε τρόπο, τότε η δύναμη που ασκείται από αυτό το έργο είναι ίση με μηδέν.

Αυτή η διάλεξη καλύπτει τα ακόλουθα θέματα:

1. Έργο δύναμης.

2. Συντηρητικές δυνάμεις.

2. Ισχύς.

3. Παραδείγματα υπολογισμών εργασίας.

4. Δυνητική ενέργεια

5. Κινητική ενέργεια

6. Θεώρημα για τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σημείου.

7. Θεώρημα ροπών.

Η μελέτη αυτών των θεμάτων είναι απαραίτητη για τη δυναμική της κίνησης του κέντρου μάζας ενός μηχανικού συστήματος, τη δυναμική της περιστροφικής κίνησης ενός άκαμπτου σώματος, την κινητική ροπή ενός μηχανικού συστήματος, για την επίλυση προβλημάτων στους κλάδους «Θεωρία Μηχανών και Μηχανισμών» και «Ανταλλακτικά Μηχανών».

Έργο δύναμης. Εξουσία.

Για να χαρακτηριστεί η δράση που ασκείται από μια δύναμη σε ένα σώμα κατά τη διάρκεια κάποιας κίνησης, εισάγεται η έννοια του έργου της δύναμης.

Εικ.1

Στην περίπτωση αυτή, το έργο χαρακτηρίζει τη δράση της δύναμης που καθορίζει τη μεταβολή μονάδα μέτρησης ταχύτητα ενός κινούμενου σημείου.

Ας εισαγάγουμε πρώτα την έννοια του στοιχειώδους έργου μιας δύναμης σε μια απειροελάχιστη μετατόπιση ds. Στοιχειώδες έργο δύναμης(Εικ. 1) ονομάζεται βαθμωτό μέγεθος:

,

όπου είναι η προβολή της δύναμης στην εφαπτομένη της τροχιάς, κατευθυνόμενη προς την κατεύθυνση κίνησης του σημείου, και ds - μια απειροελάχιστη μετατόπιση ενός σημείου που κατευθύνεται κατά μήκος αυτής της εφαπτομένης.

Αυτός ο ορισμός αντιστοιχεί στην έννοια του έργου ως χαρακτηριστικού της δράσης μιας δύναμης που οδηγεί σε αλλαγή του συντελεστή της ταχύτητας ενός σημείου. Αν μάλιστα αποσυνθέσουμε τη δύναμησε εξαρτήματα και , τότε μόνο η συνιστώσα θα αλλάξει το μέτρο της ταχύτητας του σημείου, προσδίδοντας εφαπτομενική επιτάχυνση στο σημείο. Το συστατικόή αλλάζει την κατεύθυνση του διανύσματος της ταχύτητας v(ενημερώνει το σημείο κανονικής επιτάχυνσης), ή, όταν δεν είναι ελεύθερη, η κίνηση αλλάζει την πίεση στη σύνδεση. Ανά εξάρτημα μονάδας ταχύτητας δεν θα επηρεάσει, δηλαδή, όπως λένε, τη δύναμη«δεν θα παράγει έργο».

Παρατηρώντας αυτό, παίρνουμε:

.(1)

Έτσι, το στοιχειώδες έργο δύναμης είναι ίσο με την προβολή της δύναμης στην κατεύθυνση κίνησης του σημείου, πολλαπλασιαζόμενη με τη στοιχειώδη μετατόπιση ds ή το στοιχειώδες έργο δύναμης ισούται με το γινόμενο του συντελεστή δύναμης και της στοιχειώδους μετατόπισης ds και το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ της διεύθυνσης της δύναμης και της διεύθυνσης μετατόπισης.

Αν η γωνία απότομη, τότε το έργο είναι θετικό. Ειδικότερα, ότανβασική εργασίαdA= Fds.

Αν η γωνία ηλίθιο, τότε το έργο είναι αρνητικό. Ειδικότερα, ότανβασική εργασίαdA=- Fds.

Αν η γωνία , δηλ. αν η δύναμη κατευθύνεται κάθετα στη μετατόπιση, τότε το στοιχειώδες έργο της δύναμης είναι μηδέν.

Θετική δύναμηφά(α > 90° ) λέγονται οδήγησηκαι αρνητικό (α > 90° ) – με το ΖΟΡΙ αντίσταση.

Ας βρούμε μια αναλυτική έκφραση για τη στοιχειώδη εργασία. Για να γίνει αυτό, ας αναλύσουμε τη δύναμησε εξαρτήματα κατά μήκος των κατευθύνσεων των αξόνων συντεταγμένων (Εικ. 2, η ίδια η δύναμηδεν φαίνεται στο σχέδιο).

Εικ.2

Στοιχειώδη κίνησηαποτελείται από κινήσειςdx, dy , dz κατά μήκος των αξόνων συντεταγμένων, όπου x, y, z- συντεταγμένες σημείων Μ. Μετά το έργο της δύναμηςσε κίνηση ds μπορεί να υπολογιστεί ως το άθροισμα του έργου των συστατικών τουστις κινήσεις dx, dy , dz .

Αλλά εν κινήσει dx μόνο το εξάρτημα λειτουργεί, και το έργο του είναι ίσοφά x δχ. Εργαστείτε στις κινήσειςdy Και dz υπολογίζεται ομοίως.

Τελικά βρίσκουμε:dA= F x dx+ Fydy+ F z dz.

Ο τύπος δίνει μια αναλυτική έκφραση για το στοιχειώδες έργο της δύναμης.

Έργο που εκτελείται από μια δύναμη σε οποιαδήποτε πεπερασμένη μετατόπιση Μ 0 ΜΤο 1 υπολογίζεται ως το ολοκληρωτικό άθροισμα των αντίστοιχων στοιχειωδών εργασιών και θα ισούται με:

Ως εκ τούτου, εργασία που γίνεται με τη βία σε οποιαδήποτε μετατόπιση M 0 Μ 1 είναι ίσο με το ολοκλήρωμα της στοιχειώδους εργασίας που λαμβάνεται κατά μήκος αυτής της μετατόπισης. Τα όρια του ολοκληρώματος αντιστοιχούν στις τιμές των μεταβλητών ολοκλήρωσης στα σημεία Μ 0 Και Μ 1 . Μ 0 Και ΜΓραφικά, η περιοχή κάτω από ολόκληρη την καμπύλη

1 θα είναι η δουλειά που ψάχνετε.

Εικ.3 Αν η ποσότητα είναι σταθερή ( Μ 0 Μ, τότε δηλώνει την κίνηση 1 έως

παίρνουμε: .φά= Μια τέτοια περίπτωση μπορεί να συμβεί όταν η ενεργούσα δύναμη είναι σταθερή σε μέγεθος και κατεύθυνση (συνθ), και το σημείο στο οποίο ασκείται η δύναμη κινείται ευθύγραμμα (Εικ. 3). Σε αυτήν την περίπτωση

και έργο δύναμης. Η μονάδα εργασίας SI είναι μονάδα ενέργειας ή έργου (1 J = 1 N∙m

). 1 J είναι το έργο που εκτελείται από μια δύναμη 1 N σε 1 m διαδρομής. .

Συντηρητικές δυνάμεις Οι δυνάμεις που δρουν σε ένα σώμα μπορεί να είναι συντηρητικές ή μη. Η δύναμη ονομάζεταισυντηρητικός ήδυνητικός , εάν το έργο που γίνεται από αυτή τη δύναμη όταν μετακινείται ένα υλικό σημείο από τη μια θέση στην άλλη,δεν εξαρτάται σχετικά με τον τύπο της τροχιάς (σχήμα διαδρομής) και καθορίζεται μόνο από την αρχική και την τελική θέση του σώματος (Εικ. 3.1):ΕΝΑ σχετικά με τον τύπο της τροχιάς (σχήμα διαδρομής) και καθορίζεται μόνο από την αρχική και την τελική θέση του σώματος (Εικ. 3.1): 1Β2 = σχετικά με τον τύπο της τροχιάς (σχήμα διαδρομής) και καθορίζεται μόνο από την αρχική και την τελική θέση του σώματος (Εικ. 3.1): 12 .

1С2 =

Εικ.3.1 Οταν σχετικά με τον τύπο της τροχιάς (σχήμα διαδρομής) και καθορίζεται μόνο από την αρχική και την τελική θέση του σώματος (Εικ. 3.1): 12 = –σχετικά με τον τύπο της τροχιάς (σχήμα διαδρομής) και καθορίζεται μόνο από την αρχική και την τελική θέση του σώματος (Εικ. 3.1):, εάν το σώμα κινείται προς την αντίθετη κατεύθυνση

21, δηλ. η αλλαγή της κατεύθυνσης της κίνησης κατά μήκος της τροχιάς προς το αντίθετο προκαλεί αλλαγή στο πρόσημο του έργου. Κατά συνέπεια, όταν ένα υλικό σημείο κινείται κατά μήκος μιας κλειστής τροχιάς, το έργο που επιτελείται από τη συντηρητική δύναμη είναι μηδέν (για παράδειγμα, ανύψωση και μείωση ενός φορτίου): Οι συντηρητικές δυνάμεις είναι οι δυνάμεις της βαρυτικής αλληλεπίδρασης, οι ελαστικές δυνάμεις και οι ηλεκτροστατικές δυνάμεις. Οι δυνάμεις που δεν ικανοποιούν την προϋπόθεση (1) ονομάζονταιμη συντηρητικός

. Οι μη συντηρητικές δυνάμεις περιλαμβάνουν δυνάμεις τριβής και αντίστασης. Το πεδίο στο οποίο δρουν οι συντηρητικές δυνάμεις ονομάζεται δυναμικό.

Εξουσία. Εξουσία

είναι ένα μέγεθος που καθορίζει το έργο που εκτελείται από μια δύναμη ανά μονάδα χρόνου. Εάν η εργασία γίνεται ομοιόμορφα, τότε η ισχύς Οπου - t χρόνο κατά τον οποίο εκτελέστηκε η εργασίαΕΝΑ

. Γενικά

Επομένως, η ισχύς είναι ίση με το γινόμενο της εφαπτομενικής συνιστώσας της δύναμης και της ταχύτητας κίνησης. Μονάδα μέτρησης ισχύος στο σύστημαΣΙ είναι (1 βάτ = 1 Τρ j/sec). Στην τεχνολογία, μια μονάδα ισχύος συχνά θεωρείται ότι είναι 1 ίππος, ίση με 75 kGm/δευτ ή 736

Τρ. Η εργασία που κάνει μια μηχανή μπορεί να μετρηθεί από το γινόμενο της ισχύος της και το χρόνο λειτουργίας της. Εδώ προέκυψε η μονάδα εργασίας της κιλοβατώρας που χρησιμοποιείται στην τεχνολογία (1 3,6 ∙ 10 6 kWh = ≈ 367100 ι

kGm). Από την ισότηταμπορεί να φανεί ότι ένας κινητήρας με δεδομένη ισχύ, ελκτική δύναμη θα είναι μεγαλύτερη, όσο χαμηλότερη είναι η ταχύτητα κίνησηςV. Επομένως, για παράδειγμα, σε ανηφορική πλαγιά ή σε κακό τμήμα του δρόμου, το αυτοκίνητο αλλάζει σε χαμηλότερες ταχύτητες, γεγονός που του επιτρέπει να κινείται με χαμηλότερη ταχύτητα με πλήρη ισχύ και να αναπτύσσει μεγαλύτερη ελκτική δύναμη.

Παραδείγματα υπολογισμών εργασίας.

Τα παραδείγματα που συζητούνται παρακάτω παρέχουν αποτελέσματα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν άμεσα κατά την επίλυση προβλημάτων.

1) Έργο βαρύτητας. Αφήστε το θέμα Μ,ενεργεί από τη βαρύτητα, μετακινείται από τη θέση M 0 ( Χ­ 0 , y 0,z 0 ) στη θέση Μ 1 (x 1, y 1,z 1 ). Ας επιλέξουμε τους άξονες συντεταγμένων έτσι ώστε ο άξοναςΟζκατευθύνθηκε κατακόρυφα προς τα πάνω (Εικ. 4).

Εικ.4

Επειτα R Χ=0, R y =0,Π z= -R. Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές και λαμβάνοντας υπόψη τη μεταβλητή ολοκλήρωσηςz:

Αν το σημείο Μ 0 παραπάνω Μ 1 , Οτι, Οπου η-το μέγεθος της κάθετης κίνησης του σημείου.

Ε αν το σημείο Μ 0 κάτω από το σημείο Μ 1 Οτι .

Τελικά παίρνουμε:.

Κατά συνέπεια, το έργο που γίνεται από τη βαρύτητα είναι ίσο με το γινόμενο του μεγέθους της δύναμης που λαμβάνεται με πρόσημο συν ή πλην και την κατακόρυφη μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της. Το έργο είναι θετικό εάν το σημείο εκκίνησης είναι υψηλότερο από το σημείο λήξης και αρνητικό εάν το σημείο εκκίνησης είναι χαμηλότερο από το σημείο λήξης. Από το ληφθέν αποτέλεσμα προκύπτει ότι το έργο της βαρύτητας δεν εξαρτάται από τον τύπο της τροχιάς κατά μήκος της οποίας κινείται το σημείο εφαρμογής του.

Οι δυνάμεις με αυτή την ιδιότητα ονομάζονται δυναμικό.

2) Έργο ελαστικής δύναμης . Σκεφτείτε το φορτίο Μ, που βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο και προσαρτάται στο ελεύθερο άκρο κάποιου ελατηρίου (Εικ. 5,α). Ας σημειώσουμε στο επίπεδο ένα σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕη θέση που καταλαμβάνει το τέλος του ελατηρίου όταν δεν είναι τεντωμένο (- το μήκος του άτονου ελατηρίου) και πάρτε αυτό το σημείο ως την αρχή των συντεταγμένων. Αν τώρα τραβήξουμε το φορτίο μακριά από τη θέση ισορροπίας του ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ, επιμηκύνοντας το ελατήριο στην τιμήμεγάλο, τότε η ελαστική δύναμη του ελατηρίου θα δράσει στο φορτίο φά, κατευθύνεται προς το σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ.

Εικ.5

Σύμφωνα με το νόμο του Χουκ, το μέγεθος αυτής της δύναμης είναι ανάλογο με την επιμήκυνση του ελατηρίου. Αφού στην περίπτωσή μας, μετά modulo

Συντελεστής Με που ονομάζεται συντελεστής σκληρότητας ελατήρια. Στην τεχνολογία συνήθως μετράμε την ποσότητα Με V H/cm,υποθέτοντας συντελεστή Μεαριθμητικά ίση με τη δύναμη που πρέπει να ασκηθεί στο ελατήριο για να τεντωθεί κατά 1 εκ .

Ας βρούμε το έργο που κάνει η ελαστική δύναμη κατά τη μετακίνηση του φορτίου από τη θέσηστη θέση Αφού στην προκειμένη περίπτωσηF x=- F =- cx, Fy= F z=0, τότε παίρνουμε:

(Το ίδιο αποτέλεσμα μπορεί να ληφθεί από το γράφημα εξάρτησης φάαπό Χ(Εικ. 20, σι),υπολογιστικό εμβαδόντο τραπεζοειδές σκιασμένο στο σχέδιο και λαμβάνοντας υπόψη το πρόσημο του έργου.) Στον τύπο που προκύπτειαντιπροσωπεύει την αρχική επιμήκυνση του ελατηρίου, ΕΝΑ τελική επιμήκυνση ελατηρίου. Ως εκ τούτου,

εκείνοι. το έργο της ελαστικής δύναμης είναι ίσο με το ήμισυ του γινόμενου του συντελεστή ακαμψίας και της διαφοράς μεταξύ των τετραγώνων των αρχικών και τελικών επιμηκύνσεων (ή συμπιέσεων) του ελατηρίου.

Η δουλειά θα είναι θετική όταν, δηλαδή όταν το άκρο του ελατηρίου μετακινείται στη θέση ισορροπίας και αρνητικό όταν, δηλ. το άκρο του ελατηρίου απομακρύνεται από τη θέση ισορροπίας του. Μπορεί να αποδειχθεί ότι ο τύπος παραμένει έγκυρος στην περίπτωση που το σημείο μετακινηθεί Μδεν είναι απλή.

Έτσι, αποδεικνύεται ότι το έργο που έκανε η δύναμη φάεξαρτάται μόνο από τις τιμέςΚαι και δεν εξαρτάται από τον τύπο της σημειακής τροχιάς Μ. Επομένως, η ελαστική δύναμη είναι επίσης δυναμική.

Εικ.6

3) Έργο δύναμης τριβής. Ας εξετάσουμε ένα σημείο που κινείται κατά μήκος κάποιας τραχιάς επιφάνειας (Εικ. 6) ή καμπύλης. Η δύναμη τριβής που ασκείται σε ένα σημείο είναι ίση σε μέγεθος fN, Οπουφά - συντελεστής τριβής, και- κανονική επιφανειακή αντίδραση. Η δύναμη τριβής κατευθύνεται αντίθετα από την κίνηση του σημείου. Ως εκ τούτου,φά tr =- fN και σύμφωνα με τον τύπο

Αν το μέγεθος της δύναμης τριβής είναι σταθερό, τότε, Οπου μικρό- μήκος τόξου της καμπύλης Μ 0 Μ 1 κατά μήκος του οποίου κινείται το σημείο.

Ετσι, το έργο που επιτελείται από τη δύναμη τριβής κατά την ολίσθηση είναι πάντα αρνητικό . Η ποσότητα αυτής της εργασίας εξαρτάται από το μήκος του τόξου Μ 0 Μ 1 . Επομένως, η δύναμη τριβής είναι δύναμη μη δυνητικό .

4) Το έργο μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα που περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα.

Στην περίπτωση αυτή (Εικ. 7) το σημείο εφαρμογής της δύναμηςκινείται κατά μήκος ενός κύκλου ακτίναςr. Στοιχειώδη εργασία, σύμφωνα με το (1),, Οπου .

Εικ.7

Να γιατί .

Αλλά .

Αυτό είναι εύκολο να διαπιστωθεί με την αποσύνθεση της δύναμης σε τρεις συνιστώσες (Εικ. 7). (Στιγμές δύναμηςΚαι είναι ίσα με μηδέν). Που σημαίνει,

(2)

Ειδικότερα, εάν η ροπή δύναμης γύρω από τον άξονα, έργο που εκτελείται από μια δύναμη όταν στρέφεται ένα σώμα σε μια γωνίαίσο με

.(3)

Το πρόσημο του έργου καθορίζεται από τα σημάδια της στιγμής της δύναμης και της γωνίας περιστροφής. Αν είναι τα ίδια, η δουλειά είναι θετική.

Από τον τύπο (3) ακολουθεί ο κανόνας για τον προσδιορισμό του έργου ενός ζεύγους δυνάμεων. Αν ένα ζευγάρι έχει μια στιγμήΜβρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής του σώματος, τότε το έργο του όταν το σώμα περιστρέφεται υπό γωνία

.(4)

Εάν ένα ζεύγος δυνάμεων ενεργεί σε ένα επίπεδο που δεν είναι κάθετο στον άξονα περιστροφής, τότε πρέπει να αντικατασταθεί από δύο ζεύγη. Τοποθετήστε το ένα στο επίπεδο που είναι κάθετο στον άξονα, το άλλο στο επίπεδο παράλληλο προς τον άξονα. Οι ροπές τους καθορίζονται από την επέκταση του διανύσματος ροπήςσε σχετικούς τομείς:. Φυσικά, μόνο το πρώτο ζευγάρι με τη στιγμή θα κάνει τη δουλειά, Οπου – γωνία μεταξύ διανύσματοςκαι άξονα περιστροφής z,

.(5)

Ενέργεια .

Το μέτρο της μεταφορικής κίνησης είναι η ορμή του σώματος, αλλά αυτό το χαρακτηριστικό δεν είναι καθολικό. Το καθολικό ποσοτικό μέτρο της κίνησης και της αλληλεπίδρασης όλων των τύπων ύλης είναι ενέργεια. Μορφές ενέργειας: μηχανική, θερμική, ηλεκτρική, πυρηνική, εσωτερική κ.λπ. Η ενέργεια μπορεί να μεταφερθεί από τη μια μορφή στην άλλη. Ενέργεια μηχανικού συστήματοςτο χαρακτηρίζει ποσοτικά από την άποψη πιθανών ποσοτικών και ποιοτικών μετασχηματισμών της κίνησης. Αυτοί οι μετασχηματισμοί προκαλούνται από την αλληλεπίδραση των σωμάτων του συστήματος μεταξύ τους και με εξωτερικά σώματα. Έτσι, η κίνηση και η ενέργεια είναι άρρηκτα συνδεδεμένες, και από τότε Δεδομένου ότι η κίνηση είναι αναπόσπαστο μέρος της ύλης, κάθε σώμα έχει κάποιο είδος ενέργειας.

Κινητική ενέργεια ένα σώμα ονομάζεται ενέργεια, η οποία είναι ένα μέτρο της μηχανικής του κίνησης και καθορίζεται από το έργο που πρέπει να γίνει για να προκληθεί αυτή η κίνηση.

Αν υπό την επίδραση της δύναμηςένα σώμα κινείται από την κατάσταση ηρεμίας με ταχύτητα, τότε θα γίνει δουλειά και η ενέργεια του σώματος αυξάνεται κατά την ποσότητα της εργασίας που δαπανάται:

που είναι η κίνηση? dA – βασική εργασία.

Λαμβάνοντας υπόψη τη βαθμιδωτή σημειογραφία του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα:

Παίρνουμε

Και αφού η δουλειά που γίνεται ισούται με την αύξηση της ενέργειας, τότε

Η συνολική ενέργεια βρίσκεται με ολοκλήρωση όταν η ταχύτητα αλλάζει από 0 σε μια συγκεκριμένη τιμήV:

Η κινητική ενέργεια είναι πάντα θετική . Η κινητική ενέργεια ενός συστήματος υλικών σημείων είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των κινητικών ενεργειών όλων των υλικών σημείων του συστήματος.

Η κινητική ενέργεια ενός συστήματος είναι συνάρτηση της κατάστασης κίνησής του.

Η κινητική ενέργεια εξαρτάται από την επιλογή του πλαισίου αναφοράς, γιατί σε διαφορετικά αδρανειακά συστήματα αναφοράς η ταχύτητα δεν είναι η ίδια.

Δυναμική ενέργεια - μέρος της συνολικής μηχανικής ενέργειας του συστήματος, που καθορίζεται από τη σχετική θέση των σωμάτων που δρουν μεταξύ τους.

Το τμήμα του χώρου στο οποίο μια δύναμη που εξαρτάται από τη θέση του σημείου δρα σε ένα υλικό σημείο που βρίσκεται εκεί ονομάζεται πεδίο δύναμης.

Επιπλέον, αυτή η δύναμη προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση δύναμης u = u(x, y, z). Αν δεν εξαρτάται από το χρόνο, τότε καλείται ένα τέτοιο πεδίο ακίνητος. Αν είναι το ίδιο σε όλα τα σημεία, τότε το πεδίο είναι ομοιογενής.

Αν οι προβολές της δύναμης επάνω υπάρχουν καρτεσιανά τσεκούριαμερικές παράγωγοι της συνάρτησης δύναμης ως προς τις αντίστοιχες συντεταγμένες

τότε ονομάζεται ένα τέτοιο πεδίο δυνητικός.

Αν το έργο εξαρτάται από την τροχιά, τότε ονομάζονται οι δυνάμεις διαλυτική(δύναμη τριβής).

Ας υπολογίσουμε το έργο που κάνει η δυναμική δύναμη πεδίου κατά τη μετακίνηση ενός σημείου από τη θέση του Μ 1 στη θέση Μ 2. (Εικ. 8).

Εικ.8

Στοιχειώδη εργασία,

Αυτή είναι μια πλήρης διαφορά της συνάρτησης ισχύος.

Εργαστείτε στην τελική κίνηση

είναι ένα μέγεθος που καθορίζει το έργο που εκτελείται από μια δύναμη ανά μονάδα χρόνου. Εάν η εργασία γίνεται ομοιόμορφα, τότε η ισχύς u 2 και u 1 – τιμές της συνάρτησης δύναμης σε σημεία Μ 2 και Μ 1 .

Ως εκ τούτου, το έργο που γίνεται από τη δυνητική δύναμη πεδίου δεν εξαρτάται από την τροχιά του σημείου, αλλά καθορίζεται μόνο από τις τιμές της συνάρτησης δύναμης στις αρχικές και τελικές θέσεις του σημείου.

Φυσικά, αν το σημείο επιστρέψει στην αρχική του θέση, το έργο που έχει κάνει η δύναμηθα είναι ίσο με μηδέν. Το έργο θα είναι ίσο με το μηδέν ακόμη και όταν μετακινηθείτε σε άλλο σημείο Μ 3, εάν εκεί η τιμή της συνάρτησης δύναμης είναι ίδια με την αρχική θέση.

Δεν είναι δύσκολο να μαντέψει κανείς ότι σημεία με ίδιες τιμές της συνάρτησης δύναμης θα σχηματίσουν μια ολόκληρη επιφάνεια. Και ότι το πεδίο δύναμης είναι ένας πολυεπίπεδος χώρος που αποτελείται από τέτοιες επιφάνειες (Εικ. 8). Αυτές οι επιφάνειες ονομάζονται επίπεδες επιφάνειες ή ισοδυναμικές επιφάνειες . Οι εξισώσεις τους:u( Χ, y, z)= ντο(ντο– σταθερά ίση με την τιμήu σε σημεία αυτής της επιφάνειας). Και η συνάρτηση δύναμης ονομάζεται, αντίστοιχα, δυνητικόςχωράφια.

Φυσικά, οι ισοδυναμικές επιφάνειες δεν τέμνονται. Διαφορετικά, θα υπήρχαν σημεία πεδίου με απροσδιόριστες δυνατότητες.

Δεδομένου ότι, όταν κινείται ένα σημείο κατά μήκος μιας ισοδυναμικής επιφάνειας, το έργο που γίνεται από τη δύναμηείναι μηδέν, τότε το διάνυσμα δύναμης είναι κάθετο στην επιφάνεια.

Ας επιλέξουμε μία από αυτές τις επιφάνειες και ας την ονομάσουμε μηδενική επιφάνεια (την ορίζουμεu= u 0 ).

Έργο που έγινε από τη δύναμη όταν ένα σημείο μετακινείται από ένα ορισμένο μέρος M στη μηδενική επιφάνεια, ονομάζεται δυναμική ενέργεια του σημείου σε αυτό το συγκεκριμένο μέρος M:

Εάν ένα σώμα βρίσκεται σε δυνητικό πεδίο δυνάμεων, τότε θα έχει δυναμική ενέργεια. Η δυναμική ενέργεια του σώματος που σχετίζεται με το μηδενικό επίπεδο του συστήματος αναφοράς λαμβάνεται ως μηδέν και η ενέργεια άλλων θέσεων μετράται σε σχέση με το μηδενικό επίπεδο.

Σύμφωνα με τη συνάρτηση ισχύος (8).. Επομένως, οι προβολές δύναμης στους καρτεσιανούς άξονες, σύμφωνα με το (6), αφού,

και διάνυσμα δύναμης.

Ας δούμε πολλά πιθανά πεδία.

1) Πεδίο βαρύτητας.

Κοντά στην επιφάνεια της Γης, η δύναμη της βαρύτητας είναι ίδια σε όλα τα σημεία, ισούται με το σωματικό βάρος. Αυτό σημαίνει ότι αυτό το πεδίο δύναμης είναι ομοιογενές. Εφόσον όταν ένα σημείο κινείται σε οριζόντιο επίπεδο, το έργο της δύναμης είναι μηδέν, τότε οι ισοδυναμικές επιφάνειες θα είναι οριζόντια επίπεδα (Εικ. 9), και οι εξισώσεις τους είναι:u = z = ντο.

Εικ.9

Εάν η μηδενική επιφάνεια εκχωρηθεί στο επίπεδο xOy , τότε η δυναμική ενέργεια του σημείου στη θέση Μθα είναι ίσο με το έργο της βαρύτητας:

W P = A = Ph= mgh.

αυτή είναι η ενέργεια ενός σώματος που υψώνεται πάνω από τη Γη σε ένα ύψοςη.

Αφού η προέλευση επιλέγεται αυθαίρετα, λοιπόνμπορεί να φανεί ότι ένας κινητήρας με δεδομένη ισχύ Π μπορεί γενικά να λάβει αρνητικές τιμές (για παράδειγμα,μπορεί να φανεί ότι ένας κινητήρας με δεδομένη ισχύ P στο κάτω μέρος του άξονα).

2) Ελαστικό πεδίο δύναμης.

Όταν ένα ελαστικό σώμα, όπως ένα ελατήριο, παραμορφώνεται, εμφανίζεται μια δύναμη. Δηλαδή, ένα πεδίο δύναμης προκύπτει κοντά σε αυτό το σώμα, οι δυνάμεις του οποίου είναι ανάλογες με την παραμόρφωση του σώματος και κατευθύνονται προς την απαραμόρφωτη κατάσταση. Στην άνοιξη - στο σημείο Μ 0, όπου βρίσκεται το άκρο του μη παραμορφωμένου ελατηρίου (Εικ. 10).

Εικ.10

Εάν μετακινήσετε το άκρο ενός ελατηρίου έτσι ώστε να μην αλλάξει το μήκος του, τότε το έργο που κάνει η ελαστική δύναμηθα είναι ίσο με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι οι ισοδυναμικές επιφάνειες είναισφαιρικές επιφάνειες με κέντρο στο σημείο Ο.

Ας αντιστοιχίσουμε τη μηδενική επιφάνεια στη σφαίρα που διέρχεται από το σημείο Μ 0, μέχρι το τέλος του μη παραμορφωμένου ελατηρίου. Τότε η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου στη θέση του Μ: μπορεί να φανεί ότι ένας κινητήρας με δεδομένη ισχύ P = ΕΝΑ = 0,5 kx 2 .

Με αυτή την επιλογή της μηδενικής επιφάνειας, η δυναμική ενέργεια θα είναι πάντα θετική (μπορεί να φανεί ότι ένας κινητήρας με δεδομένη ισχύΠ >0), τόσο σε τεντωμένες όσο και σε συμπιεσμένες καταστάσεις.

Η συνολική μηχανική ενέργεια του συστήματος ίση με την ενέργεια της μηχανικής κίνησης και την ενέργεια της αλληλεπίδρασης:

Η συνολική μηχανική ενέργεια ενός σώματος όταν κινείται κατά μήκος οποιασδήποτε τροχιάς σε ένα δυναμικό πεδίο παραμένει σταθερή.

Παράδειγμα 1.Μαζικό αυτοκίνητοΜκινείται ευθεία κατά μήκος ενός οριζόντιου δρόμου με ταχύτηταv. Ο συντελεστής τριβής κύλισης μεταξύ των τροχών του αυτοκινήτου και του δρόμου είναι ίσος μεfk , ακτίνα τροχού – r, η δύναμη της αεροδυναμικής αντίστασης του αέρα είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας:, όπου μ – συντελεστής ανάλογα με το σχήμα του αυτοκινήτου. Προσδιορίστε την ισχύ του κινητήρα που μεταδίδεται στους άξονες των κινητήριων τροχών σε σταθερή κατάσταση.

Λύση.

Σύμφωνα με το θεώρημα για την αλλαγή της κινητικής ενέργειας, θα έχουμε

είναι ένα μέγεθος που καθορίζει το έργο που εκτελείται από μια δύναμη ανά μονάδα χρόνου. Εάν η εργασία γίνεται ομοιόμορφα, τότε η ισχύς - στοιχειώδες έργο της κινητήριας δύναμης,- στοιχειώδες έργο των δυνάμεων αντίστασης στην κίνηση. Ταχύτητα σταθερής κατάστασηςvτου αυτοκινήτου είναι σταθερή και, επομένως, η κινητική του ενέργεια δεν μεταβάλλεται, δηλ.dT =0. Αυτό σημαίνει ότι. Ας επεκτείνουμε τη δεξιά πλευρά της ισότητας που προκύπτει:

Εδώ dS – βασική κίνηση του αυτοκινήτου. Τότε η ισχύς που μεταδίδεται από τον κινητήρα στους άξονες των κινητήριων τροχών θα είναι ίση με

Έτσι, όταν οδηγείτε με σταθερή ταχύτητα σε οριζόντιο δρόμο, ο κινητήρας του αυτοκινήτου αναπτύσσει σταθερή ισχύ. Κατά συνέπεια, το καύσιμο στη δεξαμενή καταναλώνεται ομοιόμορφα.

Παράδειγμα 2.Ατσάλινη μπάλα έπεσε από ύψοςH = 15 m χωρίς αρχική ταχύτητα. Βρείτε την ταχύτητα της μπάλαςVτη στιγμή που χτυπάει στο έδαφος. Παραμελήστε την αντίσταση του αέρα.

Λύση.

Η μπάλα ενεργείται μόνο από τη βαρύτητα, η οποία είναι δυναμική και η δυναμική της σαφώς δεν εξαρτάται από το χρόνο. Επομένως, σύμφωνα με το (10), η συνολική μηχανική ενέργεια της μπάλας κατά την κίνησή της θα είναι σταθερή

Εφόσον την αρχική στιγμή η μπάλα ήταν σε ηρεμία και είχε μόνο δυναμική ενέργεια, τότε τη στιγμή που χτυπά στο έδαφος, όλη η αρχική της δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια

Από αυτό προκύπτει ότιΤο αποτέλεσμα της επίλυσης αυτού του προβλήματος μας δίνει το δικαίωμα να ισχυριστούμε ότι η ταχύτητα της ελεύθερης πτώσης των σωμάτων δεν εξαρτάται από τη μάζα τους.

Παράδειγμα3 . Σκεφτείτε την ελεύθερη πτώση μιας πέτρας με μάζαΜ, ρίχνονται στο βαρυτικό πεδίο της Γης από το σημείο 1 έως το σημείο 2 (Εικ. 11).

Εικ.11

Η στοιχειώδης εργασία που γίνεται από τη βαρύτητα κατά τη μετακίνηση μιας πέτρας είναι ίση με:

Η πλήρης εργασία στην ενότητα 1–2 βρίσκεται ως

είναι ένα μέγεθος που καθορίζει το έργο που εκτελείται από μια δύναμη ανά μονάδα χρόνου. Εάν η εργασία γίνεται ομοιόμορφα, τότε η ισχύς φά γρ = mg- βαρύτητα τότε παίρνουμε:

Από την τελευταία έκφραση είναι σαφές ότι το έργο καθορίζεται μόνο από τη θέση των αρχικών και τελικών σημείων της τροχιάς του σώματος.

Παράδειγμα4 . Ας βρούμε τη δυναμική ενέργεια ενός ελαστικά παραμορφωμένου σώματος (ελατήριο). Είναι γνωστό ότι η ελαστική δύναμη είναι ανάλογη της παραμόρφωσηςΧ:

είναι ένα μέγεθος που καθορίζει το έργο που εκτελείται από μια δύναμη ανά μονάδα χρόνου. Εάν η εργασία γίνεται ομοιόμορφα, τότε η ισχύς κ– συντελεστής ελαστικότητας.Χ– τιμή παραμόρφωσης. Το σύμβολο (–) υποδεικνύει ότιφά έλεγχος κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από την παραμόρφωση.

Για να ξεπεραστεί η ελαστική δύναμη, είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί η ακόλουθη δύναμη:

Στοιχειώδη εργασία είναι η εργασία που εκτελείται με απειροελάχιστη παραμόρφωση:

Το πλήρες έργο μπορεί να βρεθεί ως

Η εργασία σε αυτό το παράδειγμα είναι να αυξηθεί η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου. Αν στοΧ = 0 Κέρδισε = 0, λοιπόν c = 0. Η δυναμική ενέργεια ενός ελαστικά παραμορφωμένου σώματος είναι ίση με

Παράδειγμα5 . Υλικό σημείο με μάζαΜ κινείται κατά μήκος του άξονα ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ Χσε ένα δυναμικό πεδίο με ενέργεια ανάλογα με τη συντεταγμένηΧνομικά: μπορεί να φανεί ότι ένας κινητήρας με δεδομένη ισχύ p = - α x 4, όπου α - θετική σταθερά. Να βρείτε την εξάρτηση της επιτάχυνσης ενός σημείου από τη συντεταγμένηΧ.

Λύση.Χρησιμοποιώντας τη σχέση μεταξύ δύναμης και δυναμικής ενέργειας:

ας βρούμε την εξάρτηση της δύναμης από τη συντεταγμένηΧ:

Χρησιμοποιώντας τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, λαμβάνουμε την έκφραση για την επιτάχυνση:

Εάν η εξάρτηση της δυναμικής ενέργειας από τη γωνία περιστροφής κατά την περιστροφική κίνηση προσδιορίζεται αναλυτικά ή γραφικά, τότε, χρησιμοποιώντας τη σχέση, μπορείτε να εκφράσετε τη στιγμή της δύναμης και επίσης να βρείτε τη γωνιακή επιτάχυνση

Παράδειγμα6 . Βάρος αυτοκινήτου Μ= 20 t, κινούμενο εξίσου αργόμε αρχική ταχύτηταv 0 = 54 km/h, υπό την επίδραση της τριβής Fmp = 6 kN σταματά μετά από λίγο. Βρισκω δουλειαΕΝΑ δυνάμεις τριβής και απόστασημικρό, το οποίο θα περάσει το αυτοκίνητο πριν σταματήσει.

Λύση.

1) Εργασία σχετικά με τον τύπο της τροχιάς (σχήμα διαδρομής) και καθορίζεται μόνο από την αρχική και την τελική θέση του σώματος (Εικ. 3.1):, που επιτυγχάνεται από την προκύπτουσα δύναμη, μπορεί να οριστεί ως μέτρο της μεταβολής της κινητικής ενέργειας ενός υλικού σημείου:

όπου W k = mv 2 /2=0.

Επομένως Α =- Εβ 0 ;

χρόνο κατά τον οποίο εκτελέστηκε η εργασία=-2,25 MJ

2) Απόσταση

Απάντηση: Το έργο που γίνεται από τις δυνάμεις τριβής είναι ίσο με -2,25 MJ, η απόσταση που θα διανύσει το αυτοκίνητο μέχρι τη στάση είναι 375 μ.

Παράδειγμα 7 . Το σχήμα δείχνει την εξάρτηση προβολήςφά Χδύναμη που ενεργεί σε ένα υλικό σημείο από τη συντεταγμένη x. Προσδιορίστε την εργασία που γίνεται όταν μετακινείτε ένα σημείο σε απόσταση 5 m.

Εικ.12

Λύση. Σύμφωνα με την συνθήκη, η δύναμη εξαρτάται από τη συντεταγμένηΧ. Έργο μεταβλητής δύναμης στην περιοχή απόΧ 1 πρινΧ 2 ίσο με

Γεωμετρικά, το ολοκλήρωμα μπορεί να ερμηνευτεί ως το εμβαδόν ενός σχήματος που περιορίζεται από το αντίστοιχο τμήμα του γραφήματος, ένα τμήμα του άξοναΧκαι οι κάθετοι έπεσαν από τα τελικά σημεία της γραφικής παράστασης στον άξονα x. Στην πρώτη ενότητα του γραφήματος, η προβολή δύναμηςF xαρνητικό και το έργο είναι επίσης αρνητικό. Αριθμητικά ισούται με το εμβαδόν του τριγώνου. Στη δεύτερη και τρίτη ενότηταF x> 0, το έργο σε αυτές τις περιοχές είναι θετικό και υπολογίζεται ως τα αντίστοιχα εμβαδά του ορθογωνίου και του τριγώνου. Ως αποτέλεσμα έχουμε:

A = -(1∙ 2)/2 + 1 ∙ 2 + (1 ∙ 1) ∙ 2 = 1,5 J.

Αν δοθεί η εξάρτηση της ροπής της δύναμης από τη γωνιακή συντεταγμένηφ , τότε η εργασία υπολογίζεται χρησιμοποιώντας έναν παρόμοιο τύπο είτε αναλυτικά είτε γραφικά.

Παράδειγμα 8 . Στο χείλος του δίσκου με μάζαΜ = 5 kg εφαπτομενική δύναμη που εφαρμόζεταιφά = 19,6 Ν.Τι κινητική ενέργειαW Προς την θα έχει δίσκο μετά από λίγοt = 5 ντομετά την έναρξη της δύναμης;

Λύση.

1) - κινητική ενέργεια του δίσκου.

2) ω = ε t- γωνιακή ταχύτητα;

3)

4) Ροπή αδράνειας για το δίσκο ;

6) Αντικαθιστώντας τα δεδομένα, παίρνουμε:

Απάντηση: Κινητική ενέργεια, μετά από 5 δευτερόλεπτα. μετά την έναρξη της δύναμης θα είναι ίση με 1,9 kJ.

Θεώρημα για τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σημείου.

Θεωρήστε ένα σημείο με μάζα Τ,κινείται υπό την επίδραση των δυνάμεων που του ασκούνται από τη θέση Μ 0 όπου έχει ταχύτητα , στη θέση Μ 1 , όπου η ταχύτητά του είναι ίση .

Για να αποκτήσουμε την απαιτούμενη εξάρτηση, ας στραφούμε στο εξίσωση εκφράζοντας τον θεμελιώδη νόμο της δυναμικής. Προβάλλοντας και τις δύο πλευρές αυτής της ισότητας στην εφαπτομένη στην τροχιά του σημείου Μ,με κατεύθυνση προς την κατεύθυνση της κίνησης, παίρνουμε:

Η τιμή της εφαπτομενικής επιτάχυνσης στα αριστερά μπορεί να αναπαρασταθεί ως

Ως αποτέλεσμα θα έχουμε:

Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές αυτής της ισότητας μεds , θα συνεισφέρουμε Τκάτω από το διαφορικό πρόσημο. Στη συνέχεια, παρατηρώντας ότι είναι ένα μέγεθος που καθορίζει το έργο που εκτελείται από μια δύναμη ανά μονάδα χρόνου. Εάν η εργασία γίνεται ομοιόμορφα, τότε η ισχύς - στοιχειώδες έργο δύναμηςF k λαμβάνουμε την έκφραση του θεωρήματος της μεταβολής της κινητικής ενέργειας σε διαφορική μορφή:

Έχοντας πλέον ενσωματώσει και τις δύο πλευρές αυτής της ισότητας εντός των ορίων που αντιστοιχούν στις τιμές των μεταβλητών στα σημείαΜ 0 ΚαιΜ 1 , τελικά βρίσκουμε:

Η εξίσωση εκφράζει το θεώρημα για τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σημείου σε τελική μορφή: η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σημείου κατά τη διάρκεια μιας ορισμένης μετατόπισης είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα του έργου που επιτελείται από όλες τις δυνάμεις που δρουν στο σημείο με την ίδια μετατόπιση.

Παράδειγμα 9 . Σύμφωνα με τη γραφική παράσταση της ταχύτητας έναντι του χρόνου v (t) προσδιορίστε εάν το έργο που εκτελείται από μια δύναμη που ασκεί σε ένα υλικό σημείο στο χρονικό διάστημα από το 0 πριντ θετικό, αρνητικό, ίσο με μηδέν (Εικ. 13). Λάβετε υπόψη ότι AO = OB.

Εικ.13

Λύση. Το έργο που επιτελείται από μια δύναμη που επενεργεί σε ένα σωματίδιο είναι ίσο με την αύξηση της κινητικής ενέργειας του σωματιδίου.

Η κινητική ενέργεια ενός υλικού σημείου σχετίζεται με την ταχύτητα από τη σχέση Δεδομένου ότι το σωματίδιο επιταχύνει σε στιγμές του χρόνουt=0 καιt= τ Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, είναι ίσες σε αξία (στο γράφημα ΑΟ = ΟΒ), τότε οι κινητικές ενέργειες σε αυτές τις καταστάσεις είναι ίδιες, δηλ. Επομένως, το έργο που εκτελείται από την εφαρμοζόμενη δύναμη κατά τη διάρκεια της καθορισμένης χρονικής περιόδου είναι μηδέν.

Παράδειγμα 10 . Το σημείο κινείται κατά μήκος του άξοναΒόδιυπό την επίδραση μιας δύναμης που κατευθύνεται κατά μήκος του άξοναΧ(Εικ. 14). Συγκρίνετε τις τιμές της κινητικής ενέργειας ενός σημείου στην αρχική και τελική κατάσταση για περιπτώσεις όπου η προβολή δύναμης στον άξονα συντεταγμένων αλλάζει σύμφωνα με τα γραφήματα "a" και "b" ?

Εικ.14

Λύση. Σύμφωνα με το θεώρημα, η αύξηση της κινητικής ενέργειας ενός σωματιδίου είναι ίση με το έργο που επιτελεί η δύναμη που ασκεί το σωματίδιο.

Το έργο μιας μεταβλητής δύναμης καθορίζεται από τη σχέση Λαμβάνοντας υπόψη τη γεωμετρική σημασία του ολοκληρώματος (το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς), είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι στην περίπτωση "a" το έργο είναι μηδέν και οι κινητικές ενέργειες της αρχικής και της τελικής κατάστασης συμπίπτουν. Στην περίπτωση «β» το έργο είναι θετικό και η κινητική ενέργεια της τελικής κατάστασης είναι μεγαλύτερη από την αρχική.

Παράδειγμα 11 . Δύο δίσκοι με ίσες μάζες, επίδιαφορετικά μεγέθη (R χρόνο κατά τον οποίο εκτελέστηκε η εργασία = 2 R σι ) περιστρέφονται με τις ίδιες γωνιακές ταχύτητες. Βρείτε τη σχέση μεταξύ της εργασίας που εκτελείται.

Λύση. Το έργο της περιστροφής του δίσκου ισούται με την αύξηση της κινητικής ενέργειας, δηλ.χρόνο κατά τον οποίο εκτελέστηκε η εργασία= ∆ Εβ. Η αρχική κινητική ενέργεια κάθε δίσκου είναι μηδέν, η τελική σχετίζεται με τη γωνιακή ταχύτητα με τον τύπο

Λαμβάνοντας υπόψη ότι η ροπή αδράνειας ενός συμπαγούς ομοιογενούς δίσκου είναι ίση με z , που μπορεί να επαληθευτεί προβάλλοντας και τις δύο πλευρές της ισότηταςπρος αυτόν τον άξονα. Η μαθηματική έκφραση του θεωρήματος της ροπής για έναν άξονα δίνεται από τον τύπο.

Ερωτήσεις αυτοδιαγνωστικού ελέγχου

- Ποια είναι τα δύο μέτρα της μηχανικής κίνησης και τα αντίστοιχα δυναμόμετρα;

- Ποιες δυνάμεις ονομάζονται κινητήριες δυνάμεις;

- Ποιες δυνάμεις ονομάζονται δυνάμεις αντίστασης;

- Καταγράψτε τους τύπους για τον προσδιορισμό της εργασίας κατά τη διάρκεια μεταφορικών και περιστροφικών κινήσεων;

- Ποια είναι η περιφερειακή δύναμη; Τι είναι η ροπή;

- Να διατυπώσετε το θεώρημα για το προκύπτον έργο.

- Πώς προσδιορίζεται το έργο μιας σταθερής δύναμης σε μέγεθος και κατεύθυνση κατά την ευθύγραμμη κίνηση;

- Ποιο είναι το έργο που κάνει η δύναμη τριβής ολίσθησης αν αυτή η δύναμη είναι σταθερή σε μέγεθος και κατεύθυνση;

- Ποιος είναι ένας απλός τρόπος υπολογισμού του έργου που είναι σταθερό ως προς το μέγεθος και την κατεύθυνση μιας δύναμης σε μια καμπυλόγραμμη κίνηση;

- Ποιο είναι το έργο που κάνει η προκύπτουσα δύναμη;

- Πώς να εκφράσετε το στοιχειώδες έργο μιας δύναμης μέσω της στοιχειώδους διαδρομής του σημείου εφαρμογής της δύναμης και πώς - μέσω της αύξησης της συντεταγμένης του τόξου αυτού του σημείου;

- Ποια είναι η διανυσματική έκφραση της στοιχειώδους εργασίας;

- Ποια είναι η έκφραση για το στοιχειώδες έργο δύναμης μέσω της προβολής δύναμης στους άξονες συντεταγμένων;

- Γράψτε διάφορους τύπους ολοκληρωμάτων καμπύλης που καθορίζουν το έργο μιας μεταβλητής δύναμης σε μια πεπερασμένη καμπυλόγραμμη μετατόπιση.

- Ποια είναι η γραφική μέθοδος για τον προσδιορισμό του έργου μιας μεταβλητής δύναμης σε μια καμπυλόγραμμη κίνηση;

- Πώς υπολογίζεται το έργο της βαρύτητας και το έργο της ελαστικής δύναμης;

- Σε ποιες μετατοπίσεις είναι το έργο της βαρύτητας: α) θετικό, β) αρνητικό, γ) ίσο με μηδέν.

- Σε ποια περίπτωση το έργο της ελαστικής δύναμης είναι θετικό και σε ποια περίπτωση αρνητικό;

- Ποια δύναμη ονομάζεται: α) συντηρητική; β) μη συντηρητικό? γ) διαλυτικό;

- Τι ονομάζεται δυναμικό των συντηρητικών δυνάμεων;

- Ποιο πεδίο ονομάζεται δυναμικό;

- Τι ονομάζεται συνάρτηση ισχύος;

- Τι ονομάζεται πεδίο δύναμης; Δώστε παραδείγματα πεδίων δύναμης.

- Ποιες μαθηματικές σχέσεις σχετίζονται μεταξύ του δυναμικού πεδίου και της συνάρτησης δύναμης;

- Πώς να προσδιορίσετε το στοιχειώδες έργο των δυνάμεων ενός δυναμικού πεδίου και το έργο αυτών των δυνάμεων στην τελική μετατόπιση του συστήματος εάν είναι γνωστή η συνάρτηση δύναμης του πεδίου;

- Ποιο είναι το έργο των δυνάμεων που δρουν στα σημεία του συστήματος σε ένα δυναμικό πεδίο σε μια κλειστή μετατόπιση;

- Ποια είναι η δυναμική ενέργεια του συστήματος σε οποιαδήποτε θέση;

- Ποια είναι η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας ενός μηχανικού συστήματος όταν αυτό μετακινείται από τη μια θέση στην άλλη;

- Ποια σχέση υπάρχει μεταξύ της συνάρτησης δύναμης ενός δυναμικού πεδίου και της δυναμικής ενέργειας ενός συστήματος που βρίσκεται σε αυτό το πεδίο;

- Να υπολογίσετε τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σημείου βάρους 20 kg αν η ταχύτητά του αυξήθηκε από 10 σε 20 m/s;

- Πώς προσδιορίζονται οι προβολές στους άξονες συντεταγμένων της δύναμης που ενεργεί σε ένα δυναμικό πεδίο σε οποιοδήποτε σημείο του συστήματος;

- Ποιες επιφάνειες ονομάζονται ισοδυναμικές και ποιες οι εξισώσεις τους;

- Πώς κατευθύνεται η δύναμη που ασκείται σε ένα υλικό σημείο ενός δυναμικού πεδίου σε σχέση με την ισοδυναμική επιφάνεια που διέρχεται από αυτό το σημείο;

- Ποια είναι η δυναμική ενέργεια ενός υλικού σημείου και ενός μηχανικού συστήματος υπό την επίδραση της βαρύτητας;

- Τι είδους ισοδυναμικές επιφάνειες του πεδίου βαρύτητας και Νευτώνειαβαρύτητα;

- Ποιος είναι ο νόμος διατήρησης και μετατροπής της μηχανικής ενέργειας;

- Γιατί ένα υλικό σημείο περιγράφει μια επίπεδη καμπύλη υπό την επίδραση μιας κεντρικής δύναμης;

- Τι ονομάζεται ταχύτητα τομέα και πώς εκφράζεται το μέγεθός της σε πολικές συντεταγμένες;

- Ποιος είναι ο νόμος των περιοχών;

- Ποια είναι η μορφή της διαφορικής εξίσωσης στη μορφή Binet, που καθορίζει την τροχιά ενός σημείου που κινείται υπό την επίδραση κεντρικής δύναμης;

- Ποιος τύπος χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της ενότητας; Νευτώνειαβαρύτητα;

- Ποια είναι η κανονική μορφή της εξίσωσης μιας κωνικής τομής και σε ποιες τιμές εκκεντρότητας είναι η τροχιά ενός σώματος που κινείται σε ένα πεδίο Νευτώνειαδύναμη της βαρύτητας, είναι κύκλος, έλλειψη, παραβολή, υπερβολή;

- Διατυπώστε τους νόμους της κίνησης των πλανητών που ανακάλυψε ο Κέπλερ.

- Κάτω από ποιες αρχικές συνθήκες γίνεται ένα σώμα δορυφόρος της Γης και υπό ποιες συνθήκες μπορεί να υπερνικήσει τη βαρύτητα;

- Ποιες είναι η πρώτη και η δεύτερη ταχύτητα διαφυγής;

- Καταγράψτε τους τύπους για τον υπολογισμό της εργασίας κατά τη διάρκεια μεταφορικών και περιστροφικών κινήσεων;

- Ένα αυτοκίνητο βάρους 1000 kg κινείται κατά μήκος μιας οριζόντιας τροχιάς για 5 m, ο συντελεστής τριβής είναι 0,15. Προσδιορίστε το έργο που γίνεται από τη βαρύτητα;

- Καταγράψτε τους τύπους για τον υπολογισμό της ισχύος για μεταφορικές και περιστροφικές κινήσεις;

- Προσδιορίστε την απαιτούμενη ισχύ για την ανύψωση φορτίου βάρους 0,5 kN σε ύψος 10 m σε 1 λεπτό;

- Ποιο είναι το έργο της δύναμης που ασκείται σε ένα ευθύγραμμα κινούμενο σώμα βάρους 100 kg αν η ταχύτητα του σώματος αυξηθεί από 5 σε 25 m/s;

- Προσδιορίστε τη συνολική απόδοση του μηχανισμού εάν, με ισχύ κινητήρα 12,5 kW και συνολική δύναμη κινούμενης αντίστασης 2 kN, η ταχύτητα κίνησης είναι 5 m/s.

- Εάν ένα αυτοκίνητο ανεβεί ένα βουνό με την ίδια ισχύ κινητήρα, μειώνει την ταχύτητά του. Γιατί;

- Έργο σταθερής δύναμης κατά τη γραμμική κίνηση W=10 J. Ποια γωνία σχηματίζει η φορά της δύναμης με τη φορά μετατόπισης;

1) οξεία γωνία.

2) ορθή γωνία?

3) αμβλεία γωνία.

- Πώς θα αλλάξει η κινητική ενέργεια ενός ευθύγραμμα κινούμενου σημείου αν διπλασιαστεί η ταχύτητά του;

1) θα διπλασιαστεί?

2) θα τετραπλασιαστεί.

- Ποιο είναι το έργο που επιτελεί η βαρύτητα κατά την οριζόντια κίνηση ενός σώματος;

1) το γινόμενο της βαρύτητας και της μετατόπισης.

2) το έργο που γίνεται από τη βαρύτητα είναι μηδέν.

- Ο νόμος διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ικανοποιείται αν

1) το άθροισμα όλων των εσωτερικών δυνάμεων είναι μηδέν.

2) το άθροισμα όλων των ταχυτήτων είναι μηδέν.

3) το άθροισμα όλων των εξωτερικών δυνάμεων.

4) το άθροισμα όλων των ροπών των εξωτερικών δυνάμεων είναι μηδέν.

5) υπό την επίδραση συντηρητικών δυνάμεων.

- Η εργασία στη μηχανική ισούται με

1)

1 ) δυνάμεις των οποίων το έργο δεν εξαρτάται από το σχήμα της διαδρομής.

2 ) δυνάμεις των οποίων το έργο εξαρτάται από το σχήμα της διαδρομής.

3 ) δυνάμεις τριβής?

4 ) βαρύτητα;

5 ) ηλεκτροστατικές δυνάμεις.

- Ποιο είναι το έργο που κάνει η προκύπτουσα δύναμη:

1 ) μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος;

2 ) κινητική ενέργεια

Μηχανολογικές εργασίες. Μονάδες εργασίας.

Στην καθημερινή ζωή καταλαβαίνουμε τα πάντα με την έννοια της «εργασίας».

Στη φυσική, η έννοια Δουλειάκάπως διαφορετικό. Είναι ένα καθορισμένο φυσικό μέγεθος, που σημαίνει ότι μπορεί να μετρηθεί. Στη φυσική μελετάται κυρίως μηχανική εργασία .

Ας δούμε παραδείγματα μηχανικής εργασίας.

Το τρένο κινείται υπό την ελκτική δύναμη μιας ηλεκτρικής ατμομηχανής και εκτελείται μηχανική εργασία. Όταν εκτοξεύεται ένα όπλο, η δύναμη πίεσης των αερίων σκόνης λειτουργεί - μετακινεί τη σφαίρα κατά μήκος της κάννης και η ταχύτητα της σφαίρας αυξάνεται.

Από αυτά τα παραδείγματα είναι σαφές ότι η μηχανική εργασία εκτελείται όταν ένα σώμα κινείται υπό την επίδραση δύναμης. Η μηχανική εργασία εκτελείται επίσης στην περίπτωση που μια δύναμη που ασκεί ένα σώμα (για παράδειγμα, δύναμη τριβής) μειώνει την ταχύτητα της κίνησής του.

Θέλοντας να μετακινήσουμε το ντουλάπι, το πιέζουμε δυνατά, αλλά αν δεν κουνηθεί, τότε δεν κάνουμε μηχανικές εργασίες. Μπορεί κανείς να φανταστεί μια περίπτωση όταν ένα σώμα κινείται χωρίς τη συμμετοχή δυνάμεων (με αδράνεια, σε αυτή την περίπτωση, δεν εκτελείται επίσης μηχανική εργασία).

Ετσι, μηχανική εργασία γίνεται μόνο όταν σε ένα σώμα ασκείται δύναμη και αυτό κινείται .

Δεν είναι δύσκολο να καταλάβουμε ότι όσο μεγαλύτερη είναι η δύναμη που ασκείται στο σώμα και όσο μεγαλύτερη είναι η διαδρομή που διανύει το σώμα υπό την επίδραση αυτής της δύναμης, τόσο μεγαλύτερη είναι η εργασία που γίνεται.

Η μηχανική εργασία είναι ευθέως ανάλογη με τη δύναμη που εφαρμόζεται και ευθέως ανάλογη με τη διανυθείσα απόσταση .

Επομένως, συμφωνήσαμε να μετρήσουμε το μηχανικό έργο με το γινόμενο της δύναμης και τη διαδρομή που διανύθηκε κατά μήκος αυτής της κατεύθυνσης αυτής της δύναμης:

έργο = δύναμη × διαδρομή

Οπου σχετικά με τον τύπο της τροχιάς (σχήμα διαδρομής) και καθορίζεται μόνο από την αρχική και την τελική θέση του σώματος (Εικ. 3.1):- Δουλειά, φά- δύναμη και μικρό- διανυθείσα απόσταση.

Ως μονάδα εργασίας θεωρείται το έργο που εκτελείται από μια δύναμη 1Ν σε μια διαδρομή 1 m.

Ενότητα εργασίας - Η μονάδα εργασίας SI είναι (J ) πήρε το όνομά του από τον Άγγλο επιστήμονα Joule. Ετσι,

1 J = 1 N m.

Χρησιμοποιείται επίσης χιλιοτζούλες (kJ) .

1 kJ = 1000 J.

Τύπος A = Fsισχύει όταν η δύναμη φάσταθερό και συμπίπτει με την κατεύθυνση κίνησης του σώματος.

Αν η κατεύθυνση της δύναμης συμπίπτει με την κατεύθυνση κίνησης του σώματος, τότε αυτή η δύναμη κάνει θετική δουλειά.

Εάν το σώμα κινείται προς την αντίθετη κατεύθυνση από την κατεύθυνση της ασκούμενης δύναμης, για παράδειγμα, η δύναμη τριβής ολίσθησης, τότε αυτή η δύναμη λειτουργεί αρνητικά.

Εάν η κατεύθυνση της δύναμης που ασκεί το σώμα είναι κάθετη προς την κατεύθυνση της κίνησης, τότε αυτή η δύναμη δεν κάνει κανένα έργο, το έργο είναι μηδέν:

Στο μέλλον, μιλώντας για μηχανική εργασία, θα το ονομάσουμε εν συντομία με μια λέξη - εργασία.

Παράδειγμα. Υπολογίστε την εργασία που γίνεται κατά την ανύψωση πλάκας γρανίτη με όγκο 0,5 m3 σε ύψος 20 m. Η πυκνότητα του γρανίτη είναι 2500 kg/m3.

Δεδομένος:

ρ = 2500 kg/m 3

Λύση:

όπου F είναι η δύναμη που πρέπει να ασκηθεί για την ομοιόμορφη ανύψωση της πλάκας. Αυτή η δύναμη είναι ίση σε συντελεστή με τη δύναμη Fstrand που ενεργεί στην πλάκα, δηλαδή F = Fstrand. Και η δύναμη της βαρύτητας μπορεί να προσδιοριστεί από τη μάζα της πλάκας: Fweight = gm. Ας υπολογίσουμε τη μάζα της πλάκας, γνωρίζοντας τον όγκο της και την πυκνότητα του γρανίτη: m = ρV; s = h, δηλαδή η διαδρομή είναι ίση με το ύψος ανύψωσης.

Άρα, m = 2500 kg/m3 · 0,5 m3 = 1250 kg.

F = 9,8 N/kg · 1250 kg ≈ 12.250 N.

A = 12.250 N · 20 m = 245.000 J = 245 kJ.

Απάντηση: A =245 kJ.

Μοχλοί.Δύναμη.Ενέργεια

Διαφορετικοί κινητήρες απαιτούν διαφορετικούς χρόνους για να ολοκληρώσουν την ίδια εργασία. Για παράδειγμα, ένας γερανός σε ένα εργοτάξιο σηκώνει εκατοντάδες τούβλα στον τελευταίο όροφο ενός κτιρίου μέσα σε λίγα λεπτά. Εάν αυτά τα τούβλα μετακινούνταν από έναν εργάτη, θα του έπαιρνε αρκετές ώρες για να το κάνει. Ενα άλλο παράδειγμα. Ένα άλογο μπορεί να οργώσει ένα εκτάριο γης σε 10-12 ώρες, ενώ ένα τρακτέρ με άροτρο πολλαπλών μερίδων ( υνίο- μέρος του αλέτρι που κόβει το στρώμα της γης από κάτω και το μεταφέρει στη χωματερή. πολυάροτρο - πολλά άροτρα), η εργασία αυτή θα ολοκληρωθεί σε 40-50 λεπτά.

Είναι σαφές ότι ένας γερανός κάνει την ίδια δουλειά πιο γρήγορα από έναν εργάτη και ένα τρακτέρ κάνει την ίδια δουλειά πιο γρήγορα από ένα άλογο. Η ταχύτητα της εργασίας χαρακτηρίζεται από μια ειδική ποσότητα που ονομάζεται ισχύς.

Η ισχύς είναι ίση με την αναλογία της εργασίας προς το χρόνο κατά τον οποίο εκτελέστηκε.

Για να υπολογίσετε την ισχύ, πρέπει να διαιρέσετε την εργασία με το χρόνο κατά τον οποίο έγινε αυτή η εργασία.ισχύς = εργασία/χρόνος.

Οπου Ν- εξουσία, χρόνο κατά τον οποίο εκτελέστηκε η εργασία- Δουλειά, t- χρόνος ολοκλήρωσης της εργασίας.

Η ισχύς είναι μια σταθερή ποσότητα όταν η ίδια εργασία γίνεται κάθε δευτερόλεπτο σε άλλες περιπτώσεις η αναλογία Στοκαθορίζει τη μέση ισχύ:

Νμέσος = Στο . Ως μονάδα ισχύος λαμβάνεται η ισχύς με την οποία το J του έργου γίνεται σε 1 s.

Αυτή η μονάδα ονομάζεται watt ( W) προς τιμήν ενός άλλου Άγγλου επιστήμονα, του Watt.

1 watt = 1 joule/1 δευτερόλεπτο, ή 1 W = 1 J/s.

Watt (joule ανά δευτερόλεπτο) - W (1 J/s).

Οι μεγαλύτερες μονάδες ισχύος χρησιμοποιούνται ευρέως στην τεχνολογία - κιλοβάτ (kW), μεγαβάτ (MW) .

1 MW = 1.000.000 W

1 kW = 1000 W

1 mW = 0,001 W

1 W = 0,000001 MW

1 W = 0,001 kW

1 W = 1000 mW

Παράδειγμα. Βρείτε την ισχύ της ροής του νερού που ρέει μέσα από το φράγμα εάν το ύψος της πτώσης του νερού είναι 25 m και ο ρυθμός ροής του είναι 120 m3 ανά λεπτό.

Δεδομένος:

ρ = 1000 kg/m3

Λύση:

Μάζα νερού που πέφτει: m = ρV,

m = 1000 kg/m3 120 m3 = 120.000 kg (12 104 kg).

Η βαρύτητα που δρα στο νερό:

F = 9,8 m/s2 120.000 kg ≈ 1.200.000 N (12 105 N)

Εργασία που εκτελείται με ροή ανά λεπτό:

A - 1.200.000 N · 25 m = 30.000.000 J (3 · 107 J).

Ισχύς ροής: N = A/t,

N = 30.000.000 J / 60 s = 500.000 W = 0,5 MW.

Απάντηση: N = 0,5 MW.

Διάφοροι κινητήρες έχουν ισχύ που κυμαίνονται από τα εκατοστά και τα δέκατα του κιλοβάτ (κινητήρας ηλεκτρικής ξυριστικής μηχανής, ραπτομηχανής) έως εκατοντάδες χιλιάδες κιλοβάτ (τουρμπίνες νερού και ατμού).

Πίνακας 5.

Ισχύς ορισμένων κινητήρων, kW.

Κάθε κινητήρας έχει μια πινακίδα (διαβατήριο κινητήρα), η οποία υποδεικνύει ορισμένες πληροφορίες για τον κινητήρα, συμπεριλαμβανομένης της ισχύος του.

Η ανθρώπινη ισχύς υπό κανονικές συνθήκες λειτουργίας είναι κατά μέσο όρο 70-80 W. Όταν πηδά ή τρέχει ανεβαίνοντας σκάλες, ένα άτομο μπορεί να αναπτύξει ισχύ έως και 730 W, και σε ορισμένες περιπτώσεις ακόμη περισσότερο.

Από τον τύπο N = A/t προκύπτει ότι

Για να υπολογίσετε την εργασία, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσετε την ισχύ με το χρόνο κατά τον οποίο εκτελέστηκε αυτή η εργασία.

Παράδειγμα. Ο κινητήρας ανεμιστήρα δωματίου έχει ισχύ 35 watt. Πόση δουλειά κάνει σε 10 λεπτά;

Ας γράψουμε τις συνθήκες του προβλήματος και ας το λύσουμε.

Δεδομένος:

Λύση:

A = 35 W * 600s = 21.000 W * s = 21.000 J = 21 kJ.

Απάντηση χρόνο κατά τον οποίο εκτελέστηκε η εργασία= 21 kJ.

Απλοί μηχανισμοί.

Από αμνημονεύτων χρόνων, ο άνθρωπος χρησιμοποιούσε διάφορες συσκευές για την εκτέλεση μηχανικών εργασιών.

Όλοι γνωρίζουν ότι ένα βαρύ αντικείμενο (πέτρα, ντουλάπι, εργαλειομηχανή), που δεν μπορεί να μετακινηθεί με το χέρι, μπορεί να μετακινηθεί με τη βοήθεια ενός αρκετά μεγάλου ραβδιού - ενός μοχλού.

Αυτή τη στιγμή, πιστεύεται ότι με τη βοήθεια μοχλών πριν από τρεις χιλιάδες χρόνια, κατά την κατασκευή των πυραμίδων στην Αρχαία Αίγυπτο, βαριές πέτρινες πλάκες μετακινήθηκαν και ανυψώθηκαν σε μεγάλα ύψη.

Σε πολλές περιπτώσεις, αντί να σηκώνεται ένα βαρύ φορτίο σε ένα ορισμένο ύψος, μπορεί να κυληθεί ή να τραβηχτεί στο ίδιο ύψος κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου ή να ανυψωθεί χρησιμοποιώντας μπλοκ.

Οι συσκευές που χρησιμοποιούνται για τη μετατροπή της δύναμης ονομάζονται μηχανισμών .

Οι απλοί μηχανισμοί περιλαμβάνουν: μοχλούς και τις ποικιλίες τους - μπλοκ, πύλη? κεκλιμένο επίπεδο και οι ποικιλίες του - σφήνα, βίδα. Στις περισσότερες περιπτώσεις, απλοί μηχανισμοί χρησιμοποιούνται για να αποκτήσουν δύναμη, δηλαδή να αυξήσουν τη δύναμη που ασκεί στο σώμα αρκετές φορές.

Απλοί μηχανισμοί υπάρχουν τόσο στα οικιακά όσο και σε όλα τα πολύπλοκα βιομηχανικά και βιομηχανικά μηχανήματα που κόβουν, στρίβουν και σφραγίζουν μεγάλα φύλλα χάλυβα ή τραβούν τα καλύτερα νήματα από τα οποία κατασκευάζονται στη συνέχεια τα υφάσματα. Οι ίδιοι μηχανισμοί μπορούν να βρεθούν σε σύγχρονες πολύπλοκες αυτόματες μηχανές, μηχανές εκτύπωσης και μέτρησης.

Μοχλός βραχίονας. Ισορροπία δυνάμεων στο μοχλό.

Ας εξετάσουμε τον απλούστερο και πιο συνηθισμένο μηχανισμό - τον μοχλό.

Ο μοχλός είναι ένα άκαμπτο σώμα που μπορεί να περιστρέφεται γύρω από ένα σταθερό στήριγμα.

Οι εικόνες δείχνουν πώς ένας εργαζόμενος χρησιμοποιεί έναν λοστό ως μοχλό για να σηκώσει ένα φορτίο. Στην πρώτη περίπτωση ο εργάτης με δύναμη φάπιέζει την άκρη του λοστού σι, στο δεύτερο - ανεβάζει το τέλος σι.

Ο εργαζόμενος πρέπει να ξεπεράσει το βάρος του φορτίου Π- δύναμη κατευθυνόμενη κάθετα προς τα κάτω. Για να το κάνει αυτό, γυρίζει τον λοστό γύρω από έναν άξονα που διέρχεται από τον μοναδικό ακίνητοςτο σημείο θραύσης είναι το σημείο της υποστήριξής του ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ. Δύναμη φάμε την οποία ο εργάτης ενεργεί στο μοχλό είναι λιγότερη δύναμη Π, έτσι ο εργαζόμενος λαμβάνει κέρδος σε δύναμη. Χρησιμοποιώντας ένα μοχλό, μπορείτε να σηκώσετε ένα τόσο βαρύ φορτίο που δεν μπορείτε να το σηκώσετε μόνοι σας.

Το σχήμα δείχνει έναν μοχλό του οποίου ο άξονας περιστροφής είναι ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ(υπομόχλιο) βρίσκεται μεταξύ των σημείων εφαρμογής των δυνάμεων σχετικά με τον τύπο της τροχιάς (σχήμα διαδρομής) και καθορίζεται μόνο από την αρχική και την τελική θέση του σώματος (Εικ. 3.1):Και ΣΕ. Μια άλλη εικόνα δείχνει ένα διάγραμμα αυτού του μοχλού. Και οι δύο δυνάμεις φά 1 και φά 2 που ενεργούν στο μοχλό κατευθύνονται προς μία κατεύθυνση.

Η μικρότερη απόσταση ανάμεσα στο υπομόχλιο και την ευθεία γραμμή κατά την οποία ασκείται η δύναμη στον μοχλό ονομάζεται βραχίονας δύναμης.

Για να βρείτε τον βραχίονα της δύναμης, πρέπει να χαμηλώσετε την κάθετο από το υπομόχλιο στη γραμμή δράσης της δύναμης.

Το μήκος αυτής της κάθετης θα είναι ο βραχίονας αυτής της δύναμης. Το σχήμα δείχνει ότι ΟΑ- δύναμη ώμου φά 1; OB- δύναμη ώμου φά 2. Οι δυνάμεις που ασκούνται στον μοχλό μπορούν να τον περιστρέψουν γύρω από τον άξονά του προς δύο κατευθύνσεις: δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα. Ναι, δύναμη φά 1 περιστρέφει το μοχλό δεξιόστροφα και τη δύναμη φά 2 το περιστρέφει αριστερόστροφα.

Η κατάσταση υπό την οποία ο μοχλός βρίσκεται σε ισορροπία υπό την επίδραση των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτόν μπορεί να προσδιοριστεί πειραματικά. Πρέπει να θυμόμαστε ότι το αποτέλεσμα της δράσης μιας δύναμης εξαρτάται όχι μόνο από την αριθμητική της τιμή (μέτρο), αλλά και από το σημείο στο οποίο εφαρμόζεται στο σώμα ή από το πώς κατευθύνεται.

Διάφορα βάρη αιωρούνται από το μοχλό (βλ. εικόνα) και στις δύο πλευρές του υπομόχλου έτσι ώστε κάθε φορά ο μοχλός να παραμένει σε ισορροπία. Οι δυνάμεις που ασκούνται στο μοχλό είναι ίσες με τα βάρη αυτών των φορτίων. Για κάθε περίπτωση, μετρώνται οι μονάδες δύναμης και οι ώμοι τους. Από την εμπειρία που φαίνεται στο Σχήμα 154, είναι σαφές ότι η δύναμη 2 Νεξισορροπεί τη δύναμη 4 Ν. Σε αυτή την περίπτωση, όπως φαίνεται από το σχήμα, ο ώμος μικρότερης αντοχής είναι 2 φορές μεγαλύτερος από τον ώμο μεγαλύτερης αντοχής.

Με βάση τέτοια πειράματα, καθορίστηκε η συνθήκη (κανόνας) της ισορροπίας του μοχλού.

Ένας μοχλός βρίσκεται σε ισορροπία όταν οι δυνάμεις που ασκούνται σε αυτόν είναι αντιστρόφως ανάλογες με τους βραχίονες αυτών των δυνάμεων.

Αυτός ο κανόνας μπορεί να γραφτεί ως τύπος:

φά 1/φά 2 = μεγάλο 2/ μεγάλο 1 ,

Οπου φά 1Καιφά 2 - δυνάμεις που δρουν στο μοχλό, μεγάλο 1Καιμεγάλο 2 , - οι ώμοι αυτών των δυνάμεων (βλ. σχήμα).

Ο κανόνας της ισορροπίας του μοχλού καθιερώθηκε από τον Αρχιμήδη γύρω στο 287 - 212. προ ΧΡΙΣΤΟΥ μι. (αλλά στην τελευταία παράγραφο ειπώθηκε ότι οι μοχλοί χρησιμοποιήθηκαν από τους Αιγύπτιους; Ή μήπως η λέξη «κατεστημένο» παίζει σημαντικό ρόλο εδώ;)

Από αυτόν τον κανόνα προκύπτει ότι μια μικρότερη δύναμη μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εξισορροπήσει μια μεγαλύτερη δύναμη χρησιμοποιώντας ένα μοχλό. Αφήστε τον ένα βραχίονα του μοχλού να είναι 3 φορές μεγαλύτερος από τον άλλο (βλ. εικόνα). Στη συνέχεια, εφαρμόζοντας μια δύναμη, για παράδειγμα, 400 N στο σημείο B, μπορείτε να σηκώσετε μια πέτρα βάρους 1200 N. Για να σηκώσετε ένα ακόμη βαρύτερο φορτίο, πρέπει να αυξήσετε το μήκος του μοχλοβραχίονα στον οποίο ενεργεί ο εργάτης.

Παράδειγμα. Χρησιμοποιώντας ένα μοχλό, ένας εργαζόμενος σηκώνει μια πλάκα βάρους 240 kg (βλ. Εικ. 149). Ποια δύναμη ασκεί στον μεγαλύτερο μοχλοβραχίονα των 2,4 m αν ο μικρότερος βραχίονας είναι 0,6 m;

Ας γράψουμε τις συνθήκες του προβλήματος και ας το λύσουμε.

Δεδομένος:

Λύση:

Σύμφωνα με τον κανόνα της ισορροπίας του μοχλού, F1/F2 = l2/l1, από όπου F1 = F2 l2/l1, όπου F2 = P είναι το βάρος της πέτρας. Βάρος πέτρας asd = gm, F = 9,8 N 240 kg ≈ 2400 N

Τότε, F1 = 2400 N · 0,6/2,4 = 600 N.

Απάντηση: F1 = 600 N.

Στο παράδειγμά μας, ο εργάτης υπερνικά μια δύναμη 2400 N, εφαρμόζοντας μια δύναμη 600 N στο μοχλό, αλλά σε αυτή την περίπτωση, ο βραχίονας στον οποίο ενεργεί ο εργάτης είναι 4 φορές μεγαλύτερος από αυτόν στον οποίο δρα το βάρος της πέτρας. ( μεγάλο 1 : μεγάλο 2 = 2,4 m: 0,6 m = 4).

Εφαρμόζοντας τον κανόνα της μόχλευσης, μια μικρότερη δύναμη μπορεί να εξισορροπήσει μια μεγαλύτερη δύναμη. Σε αυτή την περίπτωση, ο ώμος μικρότερης δύναμης θα πρέπει να είναι μακρύτερος από τον ώμο μεγαλύτερης αντοχής.

Στιγμή δύναμης.

Γνωρίζετε ήδη τον κανόνα της ισορροπίας του μοχλού:

φά 1 / φά 2 = μεγάλο 2 / μεγάλο 1 ,

Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της αναλογίας (το γινόμενο των ακραίων μελών του είναι ίσο με το γινόμενο των μεσαίων μελών του), το γράφουμε με αυτή τη μορφή:

φά 1μεγάλο 1 = φά 2 μεγάλο 2 .

Στην αριστερή πλευρά της ισότητας είναι το γινόμενο της δύναμης φά 1 στον ώμο της μεγάλο 1, και στα δεξιά - το προϊόν της δύναμης φά 2 στον ώμο της μεγάλο 2 .

Το γινόμενο του συντελεστή της δύναμης που περιστρέφει το σώμα και τον ώμο του ονομάζεται στιγμή της δύναμης; δηλώνεται με το γράμμα Μ. Αυτό σημαίνει

Ένας μοχλός βρίσκεται σε ισορροπία υπό την επίδραση δύο δυνάμεων αν η ροπή της δύναμης που τον περιστρέφει δεξιόστροφα είναι ίση με τη στιγμή της δύναμης που τον περιστρέφει αριστερόστροφα.

Αυτός ο κανόνας ονομάζεται κανόνας των στιγμών , μπορεί να γραφτεί ως τύπος:

Μ1 = Μ2

Πράγματι, στο πείραμα που εξετάσαμε (§ 56), οι δρώντες δυνάμεις ήταν ίσες με 2 N και 4 N, οι ώμοι τους αντιστοιχούσαν σε 4 και 2 πιέσεις μοχλού, δηλαδή οι ροπές αυτών των δυνάμεων είναι ίδιες όταν ο μοχλός βρίσκεται σε ισορροπία .

Η στιγμή της δύναμης, όπως κάθε φυσικό μέγεθος, μπορεί να μετρηθεί. Ως μονάδα ροπής δύναμης λαμβάνεται μια ροπή δύναμης 1 N, ο βραχίονας της οποίας είναι ακριβώς 1 m.

Αυτή η μονάδα ονομάζεται νεοτονόμετρο (N m).

Η ροπή της δύναμης χαρακτηρίζει τη δράση μιας δύναμης και δείχνει ότι εξαρτάται ταυτόχρονα τόσο από το μέτρο της δύναμης όσο και από τη μόχλευση της. Πράγματι, γνωρίζουμε ήδη, για παράδειγμα, ότι η δράση μιας δύναμης σε μια πόρτα εξαρτάται τόσο από το μέγεθος της δύναμης όσο και από το πού ασκείται η δύναμη. Όσο πιο εύκολο είναι να στρίψετε την πόρτα, τόσο πιο μακριά από τον άξονα περιστροφής ασκείται η δύναμη που ασκείται σε αυτήν. Είναι καλύτερα να ξεβιδώσετε το παξιμάδι με ένα μακρύ κλειδί παρά με ένα κοντό. Όσο πιο εύκολο είναι να σηκώσετε έναν κουβά από το πηγάδι, τόσο μακρύτερη είναι η λαβή της πύλης κ.λπ.

Μοχλοί στην τεχνολογία, την καθημερινότητα και τη φύση.

Ο κανόνας της μόχλευσης (ή ο κανόνας των στιγμών) αποτελεί τη βάση της δράσης διαφόρων ειδών εργαλείων και συσκευών που χρησιμοποιούνται στην τεχνολογία και την καθημερινή ζωή όπου απαιτείται κέρδος σε δύναμη ή ταξίδια.

Έχουμε κέρδος σε δύναμη όταν δουλεύουμε με ψαλίδι. Ψαλίδι - αυτό είναι μοχλός(εικ), ο άξονας περιστροφής του οποίου συμβαίνει μέσω μιας βίδας που συνδέει και τα δύο μισά του ψαλιδιού. Δρούσα δύναμη φά 1 είναι η μυϊκή δύναμη του χεριού του ατόμου που πιάνει το ψαλίδι. Αντίρροπη δύναμη φά 2 είναι η δύναμη αντίστασης του υλικού που κόβεται με ψαλίδι. Ανάλογα με τον σκοπό του ψαλιδιού, ο σχεδιασμός τους ποικίλλει. Το ψαλίδι γραφείου, σχεδιασμένο για κοπή χαρτιού, έχει μακριές λεπίδες και λαβές σχεδόν στο ίδιο μήκος. Το κόψιμο του χαρτιού δεν απαιτεί μεγάλη δύναμη και μια μακριά λεπίδα διευκολύνει την κοπή σε ευθεία γραμμή. Τα ψαλίδια για την κοπή λαμαρίνας (Εικ.) έχουν λαβές πολύ μακρύτερες από τις λεπίδες, καθώς η δύναμη αντίστασης του μετάλλου είναι μεγάλη και για να εξισορροπηθεί, πρέπει να αυξηθεί σημαντικά ο βραχίονας της ενεργού δύναμης. Η διαφορά μεταξύ του μήκους των λαβών και της απόστασης του τμήματος κοπής και του άξονα περιστροφής είναι ακόμη μεγαλύτερη συρματοκόπτης(Εικ.), σχεδιασμένο για κοπή σύρματος.

Πολλά μηχανήματα έχουν διαφορετικούς τύπους μοχλών. Η λαβή μιας ραπτομηχανής, τα πεντάλ ή το χειρόφρενο ενός ποδηλάτου, τα πεντάλ ενός αυτοκινήτου και ενός τρακτέρ και τα πλήκτρα ενός πιάνου είναι όλα παραδείγματα μοχλών που χρησιμοποιούνται σε αυτές τις μηχανές και εργαλεία.

Παραδείγματα χρήσης μοχλών είναι οι λαβές των μέγγενων και των πάγκων εργασίας, ο μοχλός μιας μηχανής διάτρησης κ.λπ.

Η δράση των ζυγών μοχλού βασίζεται στην αρχή του μοχλού (Εικ.). Οι κλίμακες εκπαίδευσης που φαίνονται στο Σχήμα 48 (σελ. 42) λειτουργούν ως ίσος μοχλός βραχίονα . ΣΕ δεκαδικές κλίμακεςο ώμος από τον οποίο αναρτάται το κύπελλο με τα βάρη είναι 10 φορές μεγαλύτερος από τον ώμο που φέρει το φορτίο. Αυτό κάνει τη ζύγιση μεγάλων φορτίων πολύ πιο εύκολη. Όταν ζυγίζετε ένα φορτίο σε δεκαδική κλίμακα, θα πρέπει να πολλαπλασιάσετε τη μάζα των βαρών επί 10.

Η συσκευή της ζυγαριάς για τη ζύγιση εμπορευματικών βαγονιών των αυτοκινήτων βασίζεται επίσης στον κανόνα της μόχλευσης.

Μοχλοί βρίσκονται επίσης σε διάφορα μέρη του σώματος των ζώων και των ανθρώπων. Αυτά είναι, για παράδειγμα, τα χέρια, τα πόδια, τα σαγόνια. Πολλοί μοχλοί μπορούν να βρεθούν στο σώμα των εντόμων (διαβάζοντας ένα βιβλίο για τα έντομα και τη δομή του σώματός τους), των πτηνών και στη δομή των φυτών.

Εφαρμογή του νόμου της ισορροπίας ενός μοχλού σε ένα μπλοκ.

ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΕίναι τροχός με αυλάκι, τοποθετημένος σε θήκη. Ένα σχοινί, καλώδιο ή αλυσίδα περνά μέσα από την αυλάκωση του μπλοκ.

Σταθερό μπλοκ Αυτό ονομάζεται μπλοκ του οποίου ο άξονας είναι σταθερός και δεν ανεβαίνει ή πέφτει κατά την ανύψωση φορτίων (Εικ.).

Ένα σταθερό μπλοκ μπορεί να θεωρηθεί ως μοχλός ίσου οπλισμού, στον οποίο οι βραχίονες των δυνάμεων είναι ίσοι με την ακτίνα του τροχού (Εικ.): OA = OB = r. Ένα τέτοιο μπλοκ δεν παρέχει κέρδος στη δύναμη. ( φά 1 = φά 2), αλλά σας επιτρέπει να αλλάξετε την κατεύθυνση της δύναμης. Κινητό μπλοκ - αυτό είναι ένα μπλοκ. ο άξονας του οποίου ανεβαίνει και πέφτει μαζί με το φορτίο (Εικ.). Το σχήμα δείχνει τον αντίστοιχο μοχλό: ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ- σημείο υπομόχλιο του μοχλού, ΟΑ- δύναμη ώμου RΚαι OB- δύναμη ώμου φά. Από τον ώμο OB 2 φορές τον ώμο ΟΑ, μετά η δύναμη φά 2 φορές λιγότερη δύναμη R:

F = P/2 .

Ετσι, το κινητό μπλοκ δίνει διπλάσιο κέρδος σε αντοχή .

Αυτό μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας την έννοια της ροπής δύναμης. Όταν το μπλοκ βρίσκεται σε ισορροπία, οι ροπές των δυνάμεων φάΚαι Rίσα μεταξύ τους. Αλλά ο ώμος της δύναμης φά 2 φορές η μόχλευση R, και, επομένως, η ίδια η εξουσία φά 2 φορές λιγότερη δύναμη R.

Συνήθως στην πράξη χρησιμοποιείται συνδυασμός σταθερού μπλοκ και κινητού (Εικ.). Το σταθερό μπλοκ χρησιμοποιείται μόνο για ευκολία. Δεν δίνει κέρδος σε δύναμη, αλλά αλλάζει την κατεύθυνση της δύναμης. Για παράδειγμα, σας επιτρέπει να σηκώνετε ένα φορτίο ενώ στέκεστε στο έδαφος. Αυτό είναι χρήσιμο για πολλούς ανθρώπους ή εργαζόμενους. Δίνει όμως κέρδος σε δύναμη 2 φορές μεγαλύτερο από το συνηθισμένο!

Ισότητα εργασίας κατά τη χρήση απλών μηχανισμών. «Χρυσός κανόνας» της μηχανικής.

Οι απλοί μηχανισμοί που εξετάσαμε χρησιμοποιούνται κατά την εκτέλεση εργασιών σε περιπτώσεις όπου είναι απαραίτητο να εξισορροπηθεί μια άλλη δύναμη μέσω της δράσης μιας δύναμης.

Φυσικά, τίθεται το ερώτημα: ενώ δίνουν ένα κέρδος σε δύναμη ή μονοπάτι, οι απλοί μηχανισμοί δεν δίνουν κέρδος στην εργασία; Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα μπορεί να ληφθεί από την εμπειρία.

Εξισορροπώντας δύο διαφορετικές δυνάμεις μεγέθους σε έναν μοχλό φά 1 και φά 2 (εικ.), θέστε το μοχλό σε κίνηση. Αποδεικνύεται ότι ταυτόχρονα το σημείο εφαρμογής της μικρότερης δύναμης φά 2 πηγαίνει παραπέρα μικρό 2, και το σημείο εφαρμογής της μεγαλύτερης δύναμης φά 1 - μικρότερη διαδρομή μικρό 1. Έχοντας μετρήσει αυτές τις διαδρομές και τις μονάδες δύναμης, διαπιστώνουμε ότι οι διαδρομές που διανύονται από τα σημεία εφαρμογής των δυνάμεων στο μοχλό είναι αντιστρόφως ανάλογες με τις δυνάμεις:

μικρό 1 / μικρό 2 = φά 2 / φά 1.

Έτσι, ενεργώντας στον μακρύ βραχίονα του μοχλού, κερδίζουμε σε δύναμη, αλλά ταυτόχρονα χάνουμε ίδιες φορές στην πορεία.

Προϊόν δύναμης φάστο δρόμο μικρόυπάρχει δουλειά. Τα πειράματά μας δείχνουν ότι το έργο που γίνεται από τις δυνάμεις που ασκούνται στον μοχλό είναι ίσο μεταξύ τους:

φά 1 μικρό 1 = φά 2 μικρό 2, δηλ. σχετικά με τον τύπο της τροχιάς (σχήμα διαδρομής) και καθορίζεται μόνο από την αρχική και την τελική θέση του σώματος (Εικ. 3.1): 1 = σχετικά με τον τύπο της τροχιάς (σχήμα διαδρομής) και καθορίζεται μόνο από την αρχική και την τελική θέση του σώματος (Εικ. 3.1): 2.

Ετσι, Όταν χρησιμοποιείτε μόχλευση, δεν θα μπορείτε να κερδίσετε στη δουλειά.

Χρησιμοποιώντας μόχλευση, μπορούμε να κερδίσουμε είτε σε δύναμη είτε σε απόσταση. Εφαρμόζοντας δύναμη στον κοντό βραχίονα του μοχλού, κερδίζουμε σε απόσταση, αλλά χάνουμε με το ίδιο ποσό σε δύναμη.

Υπάρχει ένας θρύλος ότι ο Αρχιμήδης, ευχαριστημένος με την ανακάλυψη του κανόνα της μόχλευσης, αναφώνησε: «Δώσε μου ένα υπομόχλιο και θα αναποδογυρίσω τη Γη!»

Φυσικά, ο Αρχιμήδης δεν θα μπορούσε να ανταπεξέλθει σε ένα τέτοιο έργο ακόμα κι αν του είχε δοθεί ένα υπομόχλιο (που θα έπρεπε να ήταν έξω από τη Γη) και ένας μοχλός του απαιτούμενου μήκους.

Για να ανυψωθεί η γη μόλις 1 cm, ο μακρύς βραχίονας του μοχλού θα έπρεπε να περιγράφει ένα τόξο τεράστιου μήκους. Θα χρειάζονταν εκατομμύρια χρόνια για να μετακινήσετε το μακρύ άκρο του μοχλού κατά μήκος αυτής της διαδρομής, για παράδειγμα, με ταχύτητα 1 m/s!

Ένα σταθερό μπλοκ δεν δίνει κανένα κέρδος στην εργασία,που είναι εύκολο να επαληθευτεί πειραματικά (βλ. σχήμα). Μονοπάτια που διανύονται από τα σημεία εφαρμογής των δυνάμεων φάΚαι φά, είναι τα ίδια, οι δυνάμεις είναι ίδιες, που σημαίνει ότι το έργο είναι το ίδιο.

Μπορείτε να μετρήσετε και να συγκρίνετε την εργασία που έγινε με τη βοήθεια ενός κινούμενου μπλοκ. Προκειμένου να ανυψωθεί ένα φορτίο σε ύψος h χρησιμοποιώντας ένα κινητό μπλοκ, είναι απαραίτητο να μετακινήσετε το άκρο του σχοινιού στο οποίο είναι στερεωμένο το δυναμόμετρο, όπως δείχνει η εμπειρία (Εικ.), σε ύψος 2 ωρών.

Ετσι, παίρνοντας διπλάσιο κέρδος σε δύναμη, χάνουν 2 φορές στο δρόμο, επομένως, το κινητό μπλοκ δεν δίνει κέρδος στην εργασία.

Η πρακτική αιώνων το έχει δείξει Κανένας από τους μηχανισμούς δεν δίνει κέρδος στην απόδοση.Χρησιμοποιούν διάφορους μηχανισμούς για να κερδίσουν σε δύναμη ή σε ταξίδι, ανάλογα με τις συνθήκες εργασίας.

Ήδη οι αρχαίοι επιστήμονες γνώριζαν έναν κανόνα που ισχύει για όλους τους μηχανισμούς: όσες φορές κι αν νικήσουμε σε δύναμη, τόσες φορές χάνουμε σε απόσταση. Αυτός ο κανόνας έχει ονομαστεί «χρυσός κανόνας» της μηχανικής.

Αποτελεσματικότητα του μηχανισμού.

Κατά την εξέταση του σχεδιασμού και της δράσης του μοχλού, δεν λάβαμε υπόψη την τριβή, καθώς και το βάρος του μοχλού. κάτω από αυτές τις ιδανικές συνθήκες, το έργο που επιτελείται από την εφαρμοζόμενη δύναμη (θα το ονομάσουμε αυτό έργο γεμάτος), είναι ίσο με χρήσιμοςεργασίες για την ανύψωση φορτίων ή την υπέρβαση οποιασδήποτε αντίστασης.

Στην πράξη, η συνολική εργασία που γίνεται από έναν μηχανισμό είναι πάντα ελαφρώς μεγαλύτερη από τη χρήσιμη εργασία.

Μέρος της εργασίας γίνεται ενάντια στη δύναμη τριβής στον μηχανισμό και μετακινώντας τα επιμέρους μέρη του. Έτσι, όταν χρησιμοποιείτε ένα κινητό μπλοκ, πρέπει να κάνετε επιπλέον εργασίες για να σηκώσετε το ίδιο το μπλοκ, το σχοινί και να προσδιορίσετε τη δύναμη τριβής στον άξονα του μπλοκ.

Όποιο μηχανισμό κι αν πάρουμε, η χρήσιμη εργασία που γίνεται με τη βοήθειά του αποτελεί πάντα μόνο ένα μέρος της συνολικής εργασίας. Αυτό σημαίνει, δηλώνοντας χρήσιμη εργασία με το γράμμα Ap, συνολική (δαπανημένη) εργασία με το γράμμα Az, μπορούμε να γράψουμε:

Πάνω< Аз или Ап / Аз < 1.

Ο λόγος της χρήσιμης εργασίας προς το συνολικό έργο ονομάζεται απόδοση του μηχανισμού.

Ο παράγοντας απόδοσης συντομεύεται ως αποδοτικότητα.

Αποδοτικότητα = Απ / Αζ.

Η απόδοση εκφράζεται συνήθως ως ποσοστό και συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα η, που διαβάζεται ως «eta»:

η = Ap / Az · 100%.

Παράδειγμα: Ένα φορτίο βάρους 100 kg είναι αναρτημένο στον κοντό βραχίονα ενός μοχλού. Για την ανύψωση του ασκείται δύναμη 250 N στο μακρύ βραχίονα Το φορτίο ανυψώνεται σε ύψος h1 = 0,08 m, ενώ το σημείο εφαρμογής της κινητήριας δύναμης πέφτει σε ύψος h2 = 0,4 m αποτελεσματικότητα του μοχλού.

Ας γράψουμε τις συνθήκες του προβλήματος και ας το λύσουμε.

Δεδομένος :

Λύση :

η = Ap / Az · 100%.

Συνολική (δαπανημένη) εργασία Az = Fh2.

Χρήσιμη εργασία Ap = Рh1

P = 9,8 100 kg ≈ 1000 N.

Απ = 1000 N · 0,08 = 80 J.

Az = 250 N · 0,4 m = 100 J.

η = 80 J/100 J 100% = 80%.

Απάντηση : η = 80%.

Αλλά ο «χρυσός κανόνας» ισχύει και σε αυτή την περίπτωση. Μέρος της χρήσιμης εργασίας - το 20% της - δαπανάται για την αντιμετώπιση της τριβής στον άξονα του μοχλού και της αντίστασης του αέρα, καθώς και για την κίνηση του ίδιου του μοχλού.

Η απόδοση οποιουδήποτε μηχανισμού είναι πάντα μικρότερη από 100%. Κατά το σχεδιασμό μηχανισμών, οι άνθρωποι προσπαθούν να αυξήσουν την αποτελεσματικότητά τους. Για να επιτευχθεί αυτό, μειώνονται οι τριβές στους άξονες των μηχανισμών και το βάρος τους.

Ενέργεια.

Στα εργοστάσια και τα εργοστάσια, οι μηχανές και οι μηχανές κινούνται από ηλεκτρικούς κινητήρες, οι οποίοι καταναλώνουν ηλεκτρική ενέργεια (εξ ου και το όνομα).

Ένα συμπιεσμένο ελατήριο (Εικ.), όταν ευθυγραμμίζεται, λειτουργεί, ανυψώνει ένα φορτίο σε ύψος ή κάνει ένα καρότσι να κινείται. Ένα σταθερό φορτίο που ανυψώνεται πάνω από το έδαφος δεν λειτουργεί, αλλά αν αυτό το φορτίο πέσει, μπορεί να κάνει δουλειά (για παράδειγμα, μπορεί να οδηγήσει ένα σωρό στο έδαφος). Κάθε κινούμενο σώμα έχει την ικανότητα να κάνει δουλειά. Έτσι, μια χαλύβδινη σφαίρα Α (σύκο) που κυλά προς τα κάτω από ένα κεκλιμένο επίπεδο, χτυπώντας ένα ξύλινο μπλοκ Β, την μετακινεί σε μια ορισμένη απόσταση. Ταυτόχρονα γίνεται δουλειά. Εάν ένα σώμα ή πολλά σώματα που αλληλεπιδρούν (ένα σύστημα σωμάτων) μπορούν να κάνουν δουλειά, λέγεται ότι έχουν ενέργεια. Ενέργεια - μια φυσική ποσότητα που δείχνει πόση δουλειά μπορεί να κάνει ένα σώμα (ή πολλά σώματα). Η ενέργεια εκφράζεται στο σύστημα SI στις ίδιες μονάδες με το έργο, δηλαδή σε τζάουλ. Όσο περισσότερη δουλειά μπορεί να κάνει ένα σώμα, τόσο περισσότερη ενέργεια έχει. Όταν γίνεται εργασία, η ενέργεια των σωμάτων αλλάζει. Η εργασία που γίνεται είναι ίση με την αλλαγή της ενέργειας. Δυναμική και κινητική ενέργεια. Δυνατότητα (από λατ.δραστικότητα - δυνατότητα) ενέργεια είναι η ενέργεια που καθορίζεται από τη σχετική θέση σωμάτων που αλληλεπιδρούν και μερών του ίδιου σώματος. Δυνητική ενέργεια, για παράδειγμα, κατέχεται από ένα σώμα ανυψωμένο σε σχέση με την επιφάνεια της Γης, επειδή η ενέργεια εξαρτάται από τη σχετική θέση αυτού και της Γης. και την αμοιβαία έλξη τους. Αν θεωρήσουμε ότι η δυναμική ενέργεια ενός σώματος που βρίσκεται στη Γη είναι μηδέν, τότε η δυναμική ενέργεια ενός σώματος που ανυψώνεται σε ένα ορισμένο ύψος θα καθοριστεί από το έργο που κάνει η βαρύτητα όταν το σώμα πέφτει στη Γη. Ας υποδηλώσουμε τη δυναμική ενέργεια του σώματος μιν, επειδή Ε = Α, και το έργο, όπως ξέρουμε, είναι ίσο με το γινόμενο δύναμης και διαδρομής, λοιπόν A = Fh, Οπου φά- βαρύτητα. Αυτό σημαίνει ότι η δυναμική ενέργεια En είναι ίση με: E = Fh, ή E = gmh, Οπου σολ- επιτάχυνση της βαρύτητας, Μ- μάζα σώματος, η- το ύψος στο οποίο ανυψώνεται το σώμα. Το νερό στα ποτάμια που συγκρατούνται από φράγματα έχει τεράστια δυναμική ενέργεια. Πέφτοντας κάτω, το νερό λειτουργεί, οδηγώντας ισχυρούς στρόβιλους σταθμών παραγωγής ενέργειας. Η δυναμική ενέργεια ενός σφυριού κόπρα (Εικ.) χρησιμοποιείται στην κατασκευή για την εκτέλεση του έργου της οδήγησης πασσάλων. Όταν ανοίγετε μια πόρτα με ένα ελατήριο, γίνεται εργασία για να τεντώσει (ή να συμπιέσει) το ελατήριο. Λόγω της κεκτημένης ενέργειας, το ελατήριο, συστέλλοντας (ή ανορθώνοντας), λειτουργεί, κλείνοντας την πόρτα. Η ενέργεια των συμπιεσμένων και ξετυλιγμένων ελατηρίων χρησιμοποιείται, για παράδειγμα, σε ρολόγια, διάφορα παιχνίδια κουρδίσματος κ.λπ. Οποιοδήποτε ελαστικό παραμορφωμένο σώμα έχει δυναμική ενέργεια.Η δυναμική ενέργεια του συμπιεσμένου αερίου χρησιμοποιείται στη λειτουργία θερμικών κινητήρων, σε σφυριά, που χρησιμοποιούνται ευρέως στη βιομηχανία εξόρυξης, στην οδοποιία, στην εκσκαφή σκληρού εδάφους κ.λπ. Η ενέργεια που κατέχει ένα σώμα ως αποτέλεσμα της κίνησής του ονομάζεται κινητική (από τα ελληνικά. kinema - κίνηση) ενέργεια. Η κινητική ενέργεια ενός σώματος συμβολίζεται με το γράμμα μιΠρος την. Το κινούμενο νερό, οδηγώντας τις τουρμπίνες των υδροηλεκτρικών σταθμών, ξοδεύει την κινητική του ενέργεια και λειτουργεί. Ο κινούμενος αέρας, ο άνεμος, έχει επίσης κινητική ενέργεια. Από τι εξαρτάται η κινητική ενέργεια; Ας στραφούμε στην εμπειρία (βλέπε σχήμα). Εάν κυλήσετε τη μπάλα Α από διαφορετικά ύψη, θα παρατηρήσετε ότι όσο πιο ψηλά κυλάει η μπάλα, τόσο μεγαλύτερη είναι η ταχύτητά της και όσο περισσότερο μετακινεί το μπλοκ, δηλαδή κάνει περισσότερη δουλειά. Αυτό σημαίνει ότι η κινητική ενέργεια ενός σώματος εξαρτάται από την ταχύτητά του. Λόγω της ταχύτητάς της, μια ιπτάμενη σφαίρα έχει υψηλή κινητική ενέργεια. Η κινητική ενέργεια ενός σώματος εξαρτάται και από τη μάζα του. Ας κάνουμε ξανά το πείραμά μας, αλλά θα κυλήσουμε μια άλλη μπάλα μεγαλύτερης μάζας από το κεκλιμένο επίπεδο. Η μπάρα Β θα προχωρήσει περαιτέρω, δηλαδή θα γίνει περισσότερη δουλειά. Αυτό σημαίνει ότι η κινητική ενέργεια της δεύτερης μπάλας είναι μεγαλύτερη από την πρώτη. Όσο μεγαλύτερη είναι η μάζα ενός σώματος και η ταχύτητα με την οποία κινείται, τόσο μεγαλύτερη είναι η κινητική του ενέργεια. Για τον προσδιορισμό της κινητικής ενέργειας ενός σώματος χρησιμοποιείται ο τύπος: Ek = mv^2 /2, Οπου Μ- μάζα σώματος, v- ταχύτητα κίνησης του σώματος. Η κινητική ενέργεια των σωμάτων χρησιμοποιείται στην τεχνολογία. Το νερό που συγκρατεί το φράγμα έχει, όπως ήδη αναφέρθηκε, μεγάλη δυναμική ενέργεια. Όταν το νερό πέφτει από ένα φράγμα, κινείται και έχει την ίδια υψηλή κινητική ενέργεια. Οδηγεί έναν στρόβιλο συνδεδεμένο με μια γεννήτρια ηλεκτρικού ρεύματος. Λόγω της κινητικής ενέργειας του νερού, παράγεται ηλεκτρική ενέργεια. Η ενέργεια του κινούμενου νερού έχει μεγάλη σημασία στην εθνική οικονομία. Αυτή η ενέργεια χρησιμοποιείται χρησιμοποιώντας ισχυρούς υδροηλεκτρικούς σταθμούς. Η ενέργεια του νερού που πέφτει είναι μια φιλική προς το περιβάλλον πηγή ενέργειας, σε αντίθεση με την ενέργεια των καυσίμων. Όλα τα σώματα στη φύση, σε σχέση με τη συμβατική μηδενική τιμή, έχουν είτε δυναμική είτε κινητική ενέργεια και μερικές φορές και τα δύο μαζί. Για παράδειγμα, ένα ιπτάμενο αεροπλάνο έχει τόσο κινητική όσο και δυναμική ενέργεια σε σχέση με τη Γη. Γνωριστήκαμε με δύο είδη μηχανικής ενέργειας. Άλλα είδη ενέργειας (ηλεκτρική, εσωτερική κ.λπ.) θα συζητηθούν σε άλλες ενότητες του μαθήματος της φυσικής. Μετατροπή ενός τύπου μηχανικής ενέργειας σε άλλο. Το φαινόμενο της μετατροπής ενός τύπου μηχανικής ενέργειας σε άλλο είναι πολύ βολικό να παρατηρηθεί στη συσκευή που φαίνεται στο σχήμα. Τυλίγοντας το νήμα στον άξονα, ο δίσκος της συσκευής ανυψώνεται. Ένας δίσκος που σηκώνεται προς τα πάνω έχει κάποια δυναμική ενέργεια. Αν το αφήσετε, θα περιστραφεί και θα αρχίσει να πέφτει. Καθώς πέφτει, η δυναμική ενέργεια του δίσκου μειώνεται, αλλά ταυτόχρονα αυξάνεται η κινητική του ενέργεια. Στο τέλος της πτώσης, ο δίσκος έχει ένα τέτοιο απόθεμα κινητικής ενέργειας που μπορεί να ανέβει ξανά σχεδόν στο προηγούμενο ύψος του. (Μέρος της ενέργειας δαπανάται δουλεύοντας ενάντια στη δύναμη τριβής, οπότε ο δίσκος δεν φτάνει στο αρχικό του ύψος.) Αφού σηκωθεί, ο δίσκος πέφτει ξανά και μετά ανεβαίνει ξανά. Σε αυτό το πείραμα, όταν ο δίσκος κινείται προς τα κάτω, η δυναμική του ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια και όταν κινείται προς τα πάνω, η κινητική ενέργεια μετατρέπεται σε δυναμική ενέργεια. Ο μετασχηματισμός της ενέργειας από τον έναν τύπο στον άλλο συμβαίνει επίσης όταν δύο ελαστικά σώματα συγκρούονται, για παράδειγμα, μια λαστιχένια μπάλα στο πάτωμα ή μια χαλύβδινη σφαίρα σε μια χαλύβδινη πλάκα. Αν σηκώσετε μια χαλύβδινη μπάλα (ρύζι) πάνω από μια ατσάλινη πλάκα και την απελευθερώσετε από τα χέρια σας, θα πέσει. Καθώς η μπάλα πέφτει, η δυναμική της ενέργεια μειώνεται και η κινητική της ενέργεια αυξάνεται, καθώς αυξάνεται η ταχύτητα της μπάλας. Όταν η μπάλα χτυπήσει στο πιάτο, τόσο η μπάλα όσο και η πλάκα θα συμπιεστούν. Η κινητική ενέργεια που είχε η μπάλα θα μετατραπεί σε δυναμική ενέργεια της συμπιεσμένης πλάκας και της συμπιεσμένης μπάλας. Στη συνέχεια, χάρη στη δράση των ελαστικών δυνάμεων, η πλάκα και η μπάλα θα πάρουν το αρχικό τους σχήμα. Η μπάλα θα αναπηδήσει από την πλάκα και η δυναμική της ενέργεια θα μετατραπεί ξανά στην κινητική ενέργεια της μπάλας: η μπάλα θα αναπηδήσει προς τα πάνω με ταχύτητα σχεδόν ίση με την ταχύτητα που είχε τη στιγμή που χτυπούσε στην πλάκα. Καθώς η μπάλα ανεβαίνει προς τα πάνω, η ταχύτητα της μπάλας, άρα και η κινητική της ενέργεια, μειώνεται, ενώ η δυναμική ενέργεια αυξάνεται. Έχοντας αναπηδήσει από την πλάκα, η μπάλα ανεβαίνει σχεδόν στο ίδιο ύψος από το οποίο άρχισε να πέφτει. Στο κορυφαίο σημείο της ανόδου, όλη η κινητική του ενέργεια θα μετατραπεί ξανά σε δυναμικό. Τα φυσικά φαινόμενα συνήθως συνοδεύονται από τη μετατροπή ενός τύπου ενέργειας σε άλλο. Η ενέργεια μπορεί να μεταφερθεί από το ένα σώμα στο άλλο. Για παράδειγμα, κατά την τοξοβολία, η δυναμική ενέργεια ενός τραβηγμένου τόξου μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια ενός ιπτάμενου βέλους.

Τα παραδείγματα που συζητούνται παρακάτω παρέχουν αποτελέσματα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν άμεσα κατά την επίλυση προβλημάτων.

1. Έργο βαρύτητας. Έστω το σημείο M, στο οποίο δρα η δύναμη της βαρύτητας P, να κινείται από θέση σε θέση Ας επιλέξουμε τους άξονες συντεταγμένων έτσι ώστε ο άξονας να κατευθύνεται κατακόρυφα προς τα πάνω (Εικ. 231). Επειτα . Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στον τύπο (44), λαμβάνουμε, λαμβάνοντας υπόψη ότι η μεταβλητή ολοκλήρωσης είναι:

Εάν το σημείο είναι υψηλότερο, τότε , όπου h είναι η κατακόρυφη κίνηση του σημείου. αν το σημείο είναι κάτω από το σημείο τότε .

Τελικά παίρνουμε

Κατά συνέπεια, το έργο που γίνεται από τη βαρύτητα είναι ίσο με το γινόμενο του μεγέθους της δύναμης που λαμβάνεται με πρόσημο συν ή πλην και την κατακόρυφη μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της. Το έργο είναι θετικό εάν το σημείο εκκίνησης είναι υψηλότερο από το σημείο λήξης και αρνητικό εάν το σημείο εκκίνησης είναι χαμηλότερο από το σημείο λήξης.

Από το ληφθέν αποτέλεσμα προκύπτει ότι το έργο της βαρύτητας δεν εξαρτάται από τον τύπο της τροχιάς κατά μήκος της οποίας κινείται το σημείο εφαρμογής του. Οι δυνάμεις με αυτή την ιδιότητα ονομάζονται δυναμικές (βλ. § 126).

2. Έργο ελαστικής δύναμης. Ας εξετάσουμε ένα φορτίο M που βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο και προσαρτάται στο ελεύθερο άκρο ενός ελατηρίου (Εικ. 232, α). Στο επίπεδο, σημειώστε με ένα σημείο O τη θέση που καταλαμβάνει το τέλος του ελατηρίου όταν δεν είναι τεταμένο - το μήκος του μη τεντωμένου ελατηρίου) και λάβετε αυτό το σημείο ως αρχή των συντεταγμένων. Αν τώρα τραβήξουμε το φορτίο από τη θέση ισορροπίας O, τεντώνοντας το ελατήριο σε τιμή I, τότε το ελατήριο θα λάβει επιμήκυνση και η ελαστική δύναμη F που κατευθύνεται στο σημείο O θα δράσει στο φορτίο αφού στην περίπτωσή μας στον τύπο (6) από την § 76

Η τελευταία ισότητα ισχύει επίσης για (το φορτίο βρίσκεται στα αριστερά του σημείου Ο). τότε η δύναμη F κατευθύνεται προς τα δεξιά και το αποτέλεσμα θα είναι όπως θα έπρεπε,

Ας βρούμε το έργο που κάνει η ελαστική δύναμη κατά τη μετακίνηση ενός φορτίου από θέση σε θέση

Δεδομένου ότι σε αυτήν την περίπτωση, αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στον τύπο (44), βρίσκουμε

(Το ίδιο αποτέλεσμα μπορεί να ληφθεί από τη γραφική παράσταση της εξάρτησης του F από (Εικ. 232, β), υπολογίζοντας το εμβαδόν a του τραπεζοειδούς που σκιάζεται στο σχέδιο και λαμβάνοντας υπόψη το πρόσημο του έργου.) Στον τύπο που προκύπτει , αντιπροσωπεύει την αρχική επιμήκυνση του ελατηρίου - την τελική επιμήκυνση του ελατηρίου Επομένως,

δηλαδή το έργο της ελαστικής δύναμης είναι ίσο με το μισό του γινόμενου του συντελεστή ακαμψίας και της διαφοράς μεταξύ των τετραγώνων των αρχικών και τελικών επιμηκύσεων (ή συμπιέσεων) του ελατηρίου.

Το έργο θα είναι θετικό όταν, δηλαδή, όταν το άκρο του ελατηρίου κινείται προς τη θέση ισορροπίας, και αρνητικό όταν, δηλαδή, όταν το άκρο του ελατηρίου απομακρύνεται από τη θέση ισορροπίας.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι ο τύπος (48) παραμένει έγκυρος στην περίπτωση που η κίνηση του σημείου Μ δεν είναι ευθύγραμμη. Έτσι, αποδεικνύεται ότι το έργο της δύναμης F εξαρτάται μόνο από τις τιμές και δεν εξαρτάται από τον τύπο της τροχιάς του σημείου M. Κατά συνέπεια, η ελαστική δύναμη είναι επίσης δυναμική.

3. Έργο δύναμης τριβής. Ας εξετάσουμε ένα σημείο που κινείται κατά μήκος κάποιας τραχιάς επιφάνειας (Εικ. 233) ή καμπύλης. Η δύναμη τριβής που ασκείται σε ένα σημείο είναι ίση σε μέγεθος με όπου f είναι ο συντελεστής τριβής και N είναι η κανονική αντίδραση της επιφάνειας. Η δύναμη τριβής κατευθύνεται αντίθετα από την κίνηση του σημείου. Κατά συνέπεια, και σύμφωνα με τον τύπο (44)

Εάν η δύναμη τριβής είναι αριθμητικά σταθερή, τότε όπου s είναι το μήκος του τόξου καμπύλης κατά μήκος του οποίου κινείται το σημείο.

Έτσι, το έργο που γίνεται από τη δύναμη τριβής κατά τη διάρκεια της ολίσθησης είναι πάντα αρνητικό. Εφόσον αυτό το έργο εξαρτάται από το μήκος του τόξου, επομένως, η δύναμη τριβής είναι μια μη δυνητική δύναμη.

4. Έργο βαρύτητας Εάν η Γη (πλανήτης) θεωρείται ως μια ομοιογενής μπάλα (ή μια μπάλα που αποτελείται από ομοιογενή ομόκεντρα στρώματα), τότε σε ένα σημείο M με μάζα που βρίσκεται έξω από τη σφαίρα σε απόσταση από το κέντρο της O (ή βρίσκεται στο την επιφάνεια της μπάλας), θα υπάρξει πράξη της βαρυτικής δύναμης F που κατευθύνεται προς το κέντρο O (Εικ. 234), η τιμή της οποίας καθορίζεται από τον τύπο (5) από την § 76. Ας παρουσιάσουμε αυτόν τον τύπο στη μορφή

n προσδιορίζουμε τον συντελεστή k από την συνθήκη ότι όταν ένα σημείο βρίσκεται στην επιφάνεια της Γης (r = R, όπου R είναι η ακτίνα της Γης), η δύναμη της βαρύτητας είναι ίση με mg, όπου g είναι η επιτάχυνση του βαρύτητα (ακριβέστερα, η δύναμη της βαρύτητας) στην επιφάνεια της γης. Τότε πρέπει να είναι