Οι ορθολογικές ανισότητες και το σύστημά τους. Κλασματικές ορθολογικές ανισότητες

>>Μαθηματικά: Ορθολογικές ανισότητες

Μια ορθολογική ανισότητα με μια μεταβλητή x είναι μια ανισότητα των μορφο - ορθολογικών εκφράσεων, δηλ. αλγεβρικές εκφράσεις που αποτελούνται από αριθμούς και τη μεταβλητή x χρησιμοποιώντας τις πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης και αύξησης στη φυσική δύναμη. Φυσικά, μια μεταβλητή μπορεί να συμβολιστεί με οποιοδήποτε άλλο γράμμα, αλλά στα μαθηματικά το γράμμα x προτιμάται συχνότερα.

Κατά την επίλυση ορθολογικών ανισώσεων, χρησιμοποιούνται οι τρεις κανόνες που διατυπώθηκαν παραπάνω στην § 1 Με τη βοήθεια αυτών των κανόνων, μια δεδομένη ορθολογική ανισότητα μετατρέπεται συνήθως στη μορφή / (x) > 0, όπου / (x) είναι αλγεβρική. κλάσμα (ή πολυώνυμο). Στη συνέχεια, διασπάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος f (x) σε συντελεστές της μορφής x - a (εάν, φυσικά, αυτό είναι δυνατό) και εφαρμόστε τη μέθοδο του διαστήματος, που ήδη αναφέραμε παραπάνω (βλ. παράδειγμα 3 στο προηγούμενο παράγραφος).

Παράδειγμα 1.Λύστε την ανίσωση (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.

Λύση.Θεωρήστε την παράσταση f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).

Γυρίζει στο 0 στα σημεία 1,-1,2. Ας σημειώσουμε αυτά τα σημεία στην αριθμητική γραμμή. Η αριθμητική γραμμή διαιρείται από τα υποδεικνυόμενα σημεία σε τέσσερα διαστήματα (Εικ. 6), σε καθένα από τα οποία η έκφραση f (x) διατηρεί ένα σταθερό πρόσημο. Για να το επαληθεύσουμε αυτό, ας εκτελέσουμε τέσσερα ορίσματα (για καθένα από τα υποδεικνυόμενα διαστήματα χωριστά).

Ας πάρουμε οποιοδήποτε σημείο x από το διάστημα (2. Αυτό το σημείο βρίσκεται στην αριθμητική γραμμή στα δεξιά του σημείου -1, στα δεξιά του σημείου 1 και στα δεξιά του σημείου 2. Αυτό σημαίνει ότι x > -1, x > 1, x > 2 (Εικ. 7 Αλλά μετά x-1>0, x+1>0, x - 2 > 0, και επομένως f (x) > 0 (ως το γινόμενο μιας ορθολογικής ανισότητας τριών). θετικοί αριθμοί Άρα, η ανισότητα f (x) ισχύει για ολόκληρο το διάστημα ) > 0.

Ας πάρουμε οποιοδήποτε σημείο x από το διάστημα (1,2). Αυτό το σημείο βρίσκεται στην αριθμητική γραμμή στα δεξιά του σημείου-1, στα δεξιά του σημείου 1, αλλά στα αριστερά του σημείου 2. Αυτό σημαίνει x > -1, x > 1, αλλά x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Ας πάρουμε οποιοδήποτε σημείο x από το διάστημα (-1,1). Αυτό το σημείο βρίσκεται στην αριθμητική γραμμή στα δεξιά του σημείου -1, στα αριστερά του σημείου 1 και στα αριστερά του σημείου 2. Αυτό σημαίνει x > -1, αλλά x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (ως γινόμενο δύο αρνητικών και ενός θετικού αριθμού). Άρα, στο διάστημα (-1,1) ισχύει η ανίσωση f (x)> 0.

Τέλος, πάρτε οποιοδήποτε σημείο x από την ανοιχτή ακτίνα (-oo, -1). Αυτό το σημείο βρίσκεται στην αριθμητική γραμμή στα αριστερά του σημείου -1, στα αριστερά του σημείου 1 και στα αριστερά του σημείου 2. Αυτό σημαίνει ότι x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Ας συνοψίσουμε. Τα πρόσημα της έκφρασης f (x) στα επιλεγμένα διαστήματα είναι όπως φαίνεται στο Σχ. 11. Μας ενδιαφέρουν εκείνα για τα οποία ισχύει η ανισότητα f (x) > 0 Χρησιμοποιώντας το γεωμετρικό μοντέλο που παρουσιάζεται στο Σχ. 11, καθορίζουμε ότι η ανισότητα f (x) > 0 ισχύει στο διάστημα (-1, 1) ή στην ανοιχτή ακτίνα
Απάντηση: -1 < х < 1; х > 2.

Παράδειγμα 2.Λύστε την ανισότητα
Λύση.Όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, θα συγκεντρώσουμε τις απαραίτητες πληροφορίες από το Σχ. 11, αλλά με δύο αλλαγές σε σύγκριση με το παράδειγμα 1. Πρώτον, αφού μας ενδιαφέρει ποιες τιμές του x ισχύει η ανισότητα f (x)< 0, нам придется выбрать промежутки Δεύτερον, ικανοποιούμαστε και με εκείνα τα σημεία στα οποία ισχύει η ισότητα f (x) = 0 Αυτά είναι τα σημεία -1, 1, 2, θα τα σημειώσουμε στο σχήμα με μαύρους κύκλους και θα τα συμπεριλάβουμε στην απάντηση. Στο Σχ. Το σχήμα 12 παρουσιάζει ένα γεωμετρικό μοντέλο της απάντησης, από το οποίο είναι εύκολο να προχωρήσουμε στην αναλυτική σημειογραφία.
Απάντηση:
Παράδειγμα 3.Λύστε την ανισότητα
Λύση. Ας παραγοντοποιήσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του αλγεβρικού κλάσματος fx που περιέχεται στην αριστερή πλευρά της ανισότητας. Στον αριθμητή έχουμε x 2 - x = x(x - 1).

Για να συνυπολογίσουμε το τετράγωνο τριώνυμο x 2 - bx ~ 6 που περιέχεται στον παρονομαστή του κλάσματος, βρίσκουμε τις ρίζες του. Από την εξίσωση x 2 - 5x - 6 = 0 βρίσκουμε x 1 = -1, x 2 = 6. Αυτό σημαίνει (χρησιμοποιήσαμε τον τύπο για την παραγοντοποίηση ενός τετραγωνικού τριωνύμου: ax 2 + bx + c = a(x - x 1 - x 2)).
Έτσι, μετατρέψαμε τη δεδομένη ανισότητα στη μορφή

Σκεφτείτε την έκφραση:

Ο αριθμητής αυτού του κλάσματος γίνεται 0 στα σημεία 0 και 1 και γίνεται 0 στα σημεία -1 και 6. Ας σημειώσουμε αυτά τα σημεία στην αριθμητική ευθεία (Εικ. 13). Η αριθμητική γραμμή διαιρείται από τα υποδεικνυόμενα σημεία σε πέντε διαστήματα και σε κάθε διάστημα η έκφραση fx) διατηρεί ένα σταθερό πρόσημο. Συλλογίζοντας με τον ίδιο τρόπο όπως στο Παράδειγμα 1, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι τα σημάδια της έκφρασης fх) στα επιλεγμένα διαστήματα είναι όπως φαίνεται στο Σχ. 13. Μας ενδιαφέρει πού ισχύει η ανίσωση f (x).< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0απάντηση: -1

Παράδειγμα 4.Λύστε την ανισότητα

Λύση.Κατά την επίλυση ορθολογικών ανισώσεων, κατά κανόνα, προτιμούν να αφήνουν μόνο τον αριθμό 0 στη δεξιά πλευρά της ανισότητας. Επομένως, μετατρέπουμε την ανισότητα σε μορφή

Περαιτέρω:

Όπως δείχνει η εμπειρία, αν η δεξιά πλευρά μιας ανισότητας περιέχει μόνο τον αριθμό 0, είναι πιο βολικό να πραγματοποιηθεί ο συλλογισμός όταν στην αριστερή πλευρά και ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν θετικό συντελεστή παρονομαστής, τα κλάσματα με αυτή την έννοια είναι όλα στη σειρά (ο κύριος συντελεστής, δηλ. ο συντελεστής x 2, είναι ίσος με 6 - ένας θετικός αριθμός), αλλά δεν είναι όλα στη σειρά στον αριθμητή - ο κύριος συντελεστής (ο συντελεστής του x) ισούται με -4 (αρνητικός αριθμός -1 και αλλάζοντας το πρόσημο της ανίσωσης στο αντίθετο, παίρνουμε μια ισοδύναμη ανισότητα).

Ας συνυπολογίσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός αλγεβρικού κλάσματος. Στον αριθμητή όλα είναι απλά:
Να συνυπολογίσουμε το τετράγωνο τριώνυμο που περιέχεται στον παρονομαστή ενός κλάσματος

(χρησιμοποιήσαμε ξανά τον τύπο για την παραγοντοποίηση ενός τετραγωνικού τριωνύμου).
Έτσι, μειώσαμε τη δεδομένη ανισότητα στη μορφή

Σκεφτείτε την έκφραση

Ο αριθμητής αυτού του κλάσματος γίνεται 0 στο σημείο και ο παρονομαστής - στα σημεία Σημειώνουμε αυτά τα σημεία στην αριθμητική γραμμή (Εικ. 14), η οποία διαιρείται με τα υποδεικνυόμενα σημεία σε τέσσερα διαστήματα, και σε κάθε διάστημα την έκφραση. Το f (x) διατηρεί ένα σταθερό πρόσημο (αυτά τα σημάδια υποδεικνύονται στο Σχ. 14). Μας ενδιαφέρουν εκείνα τα διαστήματα στα οποία η ανισότητα fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

Σε όλα τα παραδείγματα που εξετάστηκαν, μετατρέψαμε τη δεδομένη ανισότητα σε ισοδύναμη ανισότητα της μορφής f (x) > 0 ή f (x)<0,где
Στην περίπτωση αυτή, ο αριθμός των παραγόντων στον αριθμητή και στον παρονομαστή του κλάσματος μπορεί να είναι οποιοσδήποτε. Στη συνέχεια σημειώθηκαν στην αριθμητική γραμμή τα σημεία α, β, γ, δ. και προσδιόρισε τα πρόσημα της παράστασης f (x) στα επιλεγμένα διαστήματα. Παρατηρήσαμε ότι στα δεξιά από τα επιλεγμένα διαστήματα ισχύει η ανισότητα f (x) > 0, και στη συνέχεια κατά μήκος των διαστημάτων τα πρόσημα της παράστασης f (x) εναλλάσσονται (βλ. Εικ. 16a). Είναι βολικό να απεικονιστεί αυτή η εναλλαγή χρησιμοποιώντας μια κυματιστή καμπύλη, η οποία σχεδιάζεται από δεξιά προς τα αριστερά και από πάνω προς τα κάτω (Εικ. 166). Σε εκείνα τα διαστήματα όπου αυτή η καμπύλη (μερικές φορές ονομάζεται καμπύλη προσήμου) βρίσκεται πάνω από τον άξονα x, ισχύει η ανισότητα f (x) > 0. όπου αυτή η καμπύλη βρίσκεται κάτω από τον άξονα x, ικανοποιείται η ανισότητα f (x).< 0.

Παράδειγμα 5.Λύστε την ανισότητα

Λύση.Εχουμε

(και οι δύο πλευρές της προηγούμενης ανισότητας πολλαπλασιάστηκαν επί 6).
Για να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο διαστήματος, σημειώστε τα σημεία στην αριθμητική γραμμή (σε αυτά τα σημεία ο αριθμητής του κλάσματος που περιέχεται στην αριστερή πλευρά της ανίσωσης γίνεται μηδέν) και πόντους (σε αυτά τα σημεία ο παρονομαστής του υποδεικνυόμενου κλάσματος γίνεται μηδέν). Συνήθως τα σημεία σημειώνονται σχηματικά, λαμβάνοντας υπόψη τη σειρά με την οποία εμφανίζονται (που είναι δεξιά, που είναι αριστερά) και χωρίς να δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στον σεβασμό της κλίμακας. Είναι ξεκάθαρο ότι Η κατάσταση με τους αριθμούς είναι πιο περίπλοκη Η πρώτη εκτίμηση δείχνει ότι και οι δύο αριθμοί είναι ελαφρώς μεγαλύτεροι από το 2,6, από το οποίο είναι αδύνατο να συμπεράνουμε ποιος από τους αναφερόμενους αριθμούς είναι μεγαλύτερος και ποιος είναι μικρότερος. Ας υποθέσουμε (τυχαία) ότι Τότε
Η ανισότητα αποδείχθηκε σωστή, πράγμα που σημαίνει ότι η εικασία μας επιβεβαιώθηκε: στην πραγματικότητα
Ετσι,

Ας σημειώσουμε τα υποδεικνυόμενα 5 σημεία με την υποδεικνυόμενη σειρά στην αριθμητική γραμμή (Εικ. 17α). Ας τακτοποιήσουμε τα σημάδια έκφρασης
στα διαστήματα που προκύπτουν: στο δεξιότερο υπάρχει ένα σύμβολο + και στη συνέχεια τα σημάδια εναλλάσσονται (Εικ. 176). Ας σχεδιάσουμε μια καμπύλη σημείων και ας επισημάνουμε (με σκίαση) εκείνα τα διαστήματα στα οποία ισχύει η ανισότητα που μας ενδιαφέρει f (x) > 0 (Εικ. 17γ). Ας το λάβουμε επιτέλους υπόψη αυτό μιλάμε γιαγια τη μη αυστηρή ανισότητα f (x) > 0, που σημαίνει ότι μας ενδιαφέρουν και εκείνα τα σημεία στα οποία η έκφραση f (x) εξαφανίζεται. Αυτές είναι οι ρίζες του αριθμητή του κλάσματος f (x), δηλ. σημεία Ας τα σημειώσουμε στο Σχ. 17c σε μαύρους κύκλους (και, φυσικά, θα συμπεριληφθεί στην απάντηση). Εδώ είναι το ρύζι. Το 17c δίνει ένα πλήρες γεωμετρικό μοντέλο λύσεων σε μια δεδομένη ανισότητα.

Παραδείγματα:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(\leq0\)

\(\frac(1)(2x)\) \(+\) \(\frac(x)(x+1)\) \(<\)\(\frac{1}{2}\)

\(\frac(6)(x+1)\) \(>\) \(\frac(x^2-5x)(x+1)\) .

Κατά την επίλυση κλασματικών ορθολογικών ανισώσεων, χρησιμοποιείται η μέθοδος του διαστήματος. Επομένως, εάν ο αλγόριθμος που δίνεται παρακάτω σας προκαλεί δυσκολίες, ρίξτε μια ματιά στο άρθρο για .

Πώς να λύσετε κλασματικές ορθολογικές ανισότητες:

Αλγόριθμος επίλυσης κλασματικών ορθολογικών ανισώσεων.

Παραδείγματα:



Τοποθετήστε τα σημάδια στα διαστήματα των αριθμογραμμών. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω τους κανόνες τοποθέτησης πινακίδων:

Καθορίζουμε το πρόσημο στο δεξιότερο διάστημα - πάρτε έναν αριθμό από αυτό το διάστημα και αντικαταστήστε τον με την ανισότητα αντί για το X. Μετά από αυτό, προσδιορίζουμε τα σημάδια σε παρενθέσεις και το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού αυτών των σημείων.

Παραδείγματα:




Επιλέξτε τα απαιτούμενα διαστήματα. Εάν υπάρχει ξεχωριστή ρίζα, τότε σημειώστε την με ένα πλαίσιο ελέγχου για να μην ξεχάσετε να τη συμπεριλάβετε στην απάντηση (βλ. παράδειγμα παρακάτω).

Παραδείγματα:


Σημειώστε τα επισημασμένα κενά και τις επισημασμένες ρίζες (αν υπάρχουν) στην απάντησή σας.

Παραδείγματα:
Απάντηση: \((-∞;-1)∪(-1;1,2]∪)