Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία στο διαδίκτυο. Προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής

Κάθε μεμονωμένη τιμή καθορίζεται πλήρως από τη συνάρτηση διανομής της. Επίσης, για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων, αρκεί να γνωρίζουμε πολλά αριθμητικά χαρακτηριστικά, χάρη στα οποία καθίσταται δυνατή η παρουσίαση των κύριων χαρακτηριστικών μιας τυχαίας μεταβλητής σε σύντομη μορφή.

Αυτές οι ποσότητες περιλαμβάνουν κυρίως αναμενόμενη αξίαΚαι διασπορά .

Αναμενόμενη αξία— η μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής στη θεωρία πιθανοτήτων. Συμβολίζεται ως .

Με τον απλούστερο τρόπο, η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής X(w), βρες πώς αναπόσπαστοLebesgueσε σχέση με το μέτρο πιθανότητας R πρωτότυπο χώρο πιθανοτήτων

Μπορείτε επίσης να βρείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας τιμής ως Ολόκληρο Lebesgueαπό Χμε κατανομή πιθανοτήτων R Xποσότητες Χ:

όπου είναι το σύνολο όλων των πιθανών τιμών Χ.

Μαθηματική προσδοκία συναρτήσεων από τυχαία μεταβλητή Χβρέθηκαν μέσω της διανομής R X. Για παράδειγμα, Αν Χ- μια τυχαία μεταβλητή με τιμές σε και f(x)- μονοσήμαντο του Μπορέλλειτουργία Χ , Οτι:

Αν F(x)- συνάρτηση διανομής Χ, τότε η μαθηματική προσδοκία είναι αναπαραστάσιμη αναπόσπαστοLebesgue - Stieltjes (ή Riemann - Stieltjes):

σε αυτή την περίπτωση την ενσωμάτωση ΧΑπό την άποψη του ( * ) αντιστοιχεί στο πεπερασμένο του ολοκληρώματος

Σε συγκεκριμένες περιπτώσεις, εάν Χέχει διακριτή κατανομή με πιθανές τιμές x k, k=1, 2, . , και οι πιθανότητες, λοιπόν

Αν Χέχει απόλυτα συνεχή κατανομή με πυκνότητα πιθανότητας p(x), Οτι

Στην περίπτωση αυτή, η ύπαρξη μαθηματικής προσδοκίας ισοδυναμεί με την απόλυτη σύγκλιση της αντίστοιχης σειράς ή ολοκληρώματος.

Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας μιας τυχαίας μεταβλητής.

• Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθερής τιμής είναι ίση με αυτήν την τιμή:

ντο- σταθερό

• M=C.M[X]

• Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος των τυχαία λαμβανόμενων τιμών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών τους:

• Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών = το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους:

M=M[X]+M[Y]

Αν ΧΚαι Υανεξάρτητος.

αν η σειρά συγκλίνει:

Αλγόριθμος για τον υπολογισμό της μαθηματικής προσδοκίας.

Ιδιότητες διακριτών τυχαίων μεταβλητών: όλες οι τιμές τους μπορούν να επαναριθμηθούν με φυσικούς αριθμούς. αντιστοιχίστε σε κάθε τιμή μια πιθανότητα μη μηδενική.

1. Πολλαπλασιάστε τα ζεύγη ένα προς ένα: x iεπί πι.

2. Προσθέστε το γινόμενο κάθε ζεύγους x i p i.

Για παράδειγμα, Για n = 4 :

Συνάρτηση κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητήςσταδιακά, αυξάνεται απότομα σε εκείνα τα σημεία των οποίων οι πιθανότητες έχουν θετικό πρόσημο.

Παράδειγμα:Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία χρησιμοποιώντας τον τύπο.

Βασικά αριθμητικά χαρακτηριστικά διακριτών και συνεχών τυχαίων μεταβλητών: μαθηματική προσδοκία, διασπορά και τυπική απόκλιση. Οι ιδιότητες και τα παραδείγματα τους.

Ο νόμος κατανομής (συνάρτηση κατανομής και σειρά διανομής ή πυκνότητα πιθανότητας) περιγράφει πλήρως τη συμπεριφορά μιας τυχαίας μεταβλητής. Αλλά σε μια σειρά προβλημάτων, αρκεί να γνωρίζουμε ορισμένα αριθμητικά χαρακτηριστικά της υπό μελέτη τιμής (για παράδειγμα, τη μέση τιμή της και πιθανή απόκλιση από αυτήν) για να απαντήσουμε στο ερώτημα που τίθεται. Ας εξετάσουμε τα κύρια αριθμητικά χαρακτηριστικά των διακριτών τυχαίων μεταβλητών.

Ορισμός 7.1.Μαθηματική προσδοκίαΜια διακριτή τυχαία μεταβλητή είναι το άθροισμα των γινομένων των πιθανών τιμών της και των αντίστοιχων πιθανοτήτων τους:

Μ(Χ) = Χ 1 R 1 + Χ 2 R 2 + … + x p p p.(7.1)

Εάν ο αριθμός των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής είναι άπειρος, τότε εάν η σειρά που προκύπτει συγκλίνει απόλυτα.

Σημείωση 1.Η μαθηματική προσδοκία ονομάζεται μερικές φορές σταθμισμένος μέσος όρος, αφού είναι περίπου ίσος με τον αριθμητικό μέσο όρο των παρατηρούμενων τιμών της τυχαίας μεταβλητής σε μεγάλο αριθμό πειραμάτων.

Σημείωση 2.Από τον ορισμό της μαθηματικής προσδοκίας προκύπτει ότι η τιμή της δεν είναι μικρότερη από τη μικρότερη δυνατή τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής και όχι μεγαλύτερη από τη μεγαλύτερη.

Σημείωση 3.Η μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι μη τυχαία(συνεχής. Θα δούμε αργότερα ότι το ίδιο ισχύει για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές.

Παράδειγμα 1. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής Χ- τον αριθμό των τυπικών εξαρτημάτων μεταξύ τριών που επιλέχθηκαν από μια παρτίδα 10 εξαρτημάτων, συμπεριλαμβανομένων 2 ελαττωματικών. Ας δημιουργήσουμε μια σειρά διανομής για Χ. Από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ότι Χμπορεί να πάρει τιμές 1, 2, 3. Στη συνέχεια

Παράδειγμα 2. Προσδιορίστε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής Χ- τον αριθμό των ρίψεων νομισμάτων πριν από την πρώτη εμφάνιση του οικόσημου. Αυτή η ποσότητα μπορεί να λάβει έναν άπειρο αριθμό τιμών (το σύνολο των πιθανών τιμών είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών). Η σειρά διανομής του έχει τη μορφή:

Χ			…	Π	…
R	0,5	(0,5) 2	…	(0,5)Π	…

+ (κατά τον υπολογισμό, ο τύπος για το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου χρησιμοποιήθηκε δύο φορές: , από όπου ).

Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας.

1) Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθεράς είναι ίση με την ίδια τη σταθερά:

Μ(ΜΕ) = ΜΕ.(7.2)

Απόδειξη. Αν αναλογιστούμε ΜΕως διακριτή τυχαία μεταβλητή λαμβάνοντας μόνο μία τιμή ΜΕμε πιθανότητα R= 1, λοιπόν Μ(ΜΕ) = ΜΕ?1 = ΜΕ.

2) Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της μαθηματικής προσδοκίας:

Μ(CX) = ΕΚ(Χ). (7.3)

Απόδειξη. Αν η τυχαία μεταβλητή Χδίνεται ανά σειρά διανομής

Επειτα Μ(CX) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p p p = ΜΕ(Χ 1 R 1 + Χ 2 R 2 + … + x p r p) = ΕΚ(Χ).

Ορισμός 7.2.Καλούνται δύο τυχαίες μεταβλητές ανεξάρτητος, εάν ο νόμος κατανομής ενός από αυτούς δεν εξαρτάται από τις τιμές που έχει λάβει ο άλλος. Διαφορετικά οι τυχαίες μεταβλητές εξαρτώμενος.

Ορισμός 7.3.Ας καλέσουμε γινόμενο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών ΧΚαι Υ τυχαία μεταβλητή XY, οι πιθανές τιμές των οποίων είναι ίσες με τα γινόμενα όλων των πιθανών τιμών Χγια όλες τις πιθανές τιμές Υ, και οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι ίσες με τα γινόμενα των πιθανοτήτων των παραγόντων.

3) Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους:

Μ(XY) = Μ(Χ)Μ(Υ). (7.4)

Απόδειξη. Για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς, περιοριζόμαστε στην περίπτωση όταν ΧΚαι Υπάρτε μόνο δύο πιθανές τιμές:

Ως εκ τούτου, Μ(XY) = Χ 1 y 1 ?Π 1 σολ 1 + Χ 2 y 1 ?Π 2 σολ 1 + Χ 1 y 2 ?Π 1 σολ 2 + Χ 2 y 2 ?Π 2 σολ 2 = y 1 σολ 1 (Χ 1 Π 1 + Χ 2 Π 2) + + y 2 σολ 2 (Χ 1 Π 1 + Χ 2 Π 2) = (y 1 σολ 1 + y 2 σολ 2) (Χ 1 Π 1 + Χ 2 Π 2) = Μ(Χ)?Μ(Υ).

Σημείωση 1.Αυτή η ιδιότητα μπορεί να αποδειχθεί ομοίως για μεγαλύτερο αριθμό πιθανών τιμών των παραγόντων.

Σημείωση 2.Η ιδιότητα 3 ισχύει για το γινόμενο οποιουδήποτε αριθμού ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών, το οποίο αποδεικνύεται με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής.

Ορισμός 7.4.Ας ορίσουμε άθροισμα τυχαίων μεταβλητών ΧΚαι Υ ως τυχαία μεταβλητή Χ+Υ, οι πιθανές τιμές των οποίων είναι ίσες με τα αθροίσματα κάθε πιθανής τιμής Χμε κάθε δυνατή τιμή Υ; οι πιθανότητες τέτοιων ποσών είναι ίσες με τα γινόμενα των πιθανοτήτων των όρων (για εξαρτημένες τυχαίες μεταβλητές - τα γινόμενα της πιθανότητας ενός όρου με την υπό όρους πιθανότητα του δεύτερου).

4) Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος δύο τυχαίων μεταβλητών (εξαρτημένων ή ανεξάρτητων) είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών των όρων:

Μ (Χ+Υ) = Μ (Χ) + Μ (Υ). (7.5)

Απόδειξη.

Ας εξετάσουμε ξανά τις τυχαίες μεταβλητές που ορίζονται από τη σειρά κατανομής που δίνεται στην απόδειξη της ιδιότητας 3. Στη συνέχεια, οι πιθανές τιμές Χ+Υείναι Χ 1 + στο 1 , Χ 1 + στο 2 , Χ 2 + στο 1 , Χ 2 + στο 2. Ας υποδηλώσουμε τις πιθανότητες τους αντίστοιχα ως R 11 , R 12 , R 21 και R 22. Θα βρούμε Μ(Χ+Υ) = (Χ 1 + y 1)Π 11 + (Χ 1 + y 2)Π 12 + (Χ 2 + y 1)Π 21 + (Χ 2 + y 2)Π 22 =

= Χ 1 (Π 11 + Π 12) + Χ 2 (Π 21 + Π 22) + y 1 (Π 11 + Π 21) + y 2 (Π 12 + Π 22).

Ας το αποδείξουμε R 11 + R 22 = R 1 . Πράγματι, το γεγονός που Χ+Υθα πάρει αξίες Χ 1 + στο 1 ή Χ 1 + στο 2 και η πιθανότητα του οποίου είναι R 11 + R 22 συμπίπτει με το γεγονός που Χ = Χ 1 (η πιθανότητα είναι R 1). Αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο ότι Π 21 + Π 22 = R 2 , Π 11 + Π 21 = σολ 1 , Π 12 + Π 22 = σολ 2. Που σημαίνει,

Μ(Χ+Υ) = Χ 1 Π 1 + Χ 2 Π 2 + y 1 σολ 1 + y 2 σολ 2 = Μ (Χ) + Μ (Υ).

Σχόλιο. Από την ιδιότητα 4 προκύπτει ότι το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού τυχαίων μεταβλητών είναι ίσο με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών των όρων.

Παράδειγμα. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος του αριθμού των πόντων που αποκτήθηκαν κατά τη ρίψη πέντε ζαριών.

Ας βρούμε τη μαθηματική προσδοκία του αριθμού των πόντων που ρίχνονται όταν ρίχνουμε ένα ζάρι:

Μ(Χ 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Ο ίδιος αριθμός είναι ίσος με τη μαθηματική προσδοκία του αριθμού των πόντων που ρίχνονται σε οποιοδήποτε ζάρι. Επομένως, κατά ιδιοκτησία 4 Μ(Χ)=

Διασπορά.

Για να έχουμε μια ιδέα για τη συμπεριφορά μιας τυχαίας μεταβλητής, δεν αρκεί να γνωρίζουμε μόνο τις μαθηματικές προσδοκίες της. Ας εξετάσουμε δύο τυχαίες μεταβλητές: ΧΚαι Υ, καθορίζεται από τη σειρά διανομής της φόρμας

Χ
R	0,1	0,8	0,1

Υ
Π	0,5	0,5

Θα βρούμε Μ(Χ) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, Μ(Υ) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Όπως μπορείτε να δείτε, οι μαθηματικές προσδοκίες και των δύο μεγεθών είναι ίσες, αλλά αν για HM(Χ) περιγράφει καλά τη συμπεριφορά μιας τυχαίας μεταβλητής, καθώς είναι η πιο πιθανή δυνατή τιμή της (και οι υπόλοιπες τιμές δεν διαφέρουν πολύ από το 50), και στη συνέχεια οι τιμές Υαφαιρέθηκε σημαντικά από Μ(Υ). Επομένως, μαζί με τη μαθηματική προσδοκία, είναι επιθυμητό να γνωρίζουμε πόσο αποκλίνουν από αυτήν οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής. Για τον χαρακτηρισμό αυτού του δείκτη, χρησιμοποιείται διασπορά.

Ορισμός 7.5.Διασπορά (σκέδαση)μιας τυχαίας μεταβλητής είναι η μαθηματική προσδοκία του τετραγώνου της απόκλισής της από τη μαθηματική της προσδοκία:

ρε(Χ) = Μ (X-M(Χ))². (7.6)

Ας βρούμε τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής Χ(αριθμός τυπικών εξαρτημάτων μεταξύ αυτών που επιλέχθηκαν) στο παράδειγμα 1 αυτής της διάλεξης. Ας υπολογίσουμε την τετραγωνική απόκλιση κάθε πιθανής τιμής από τη μαθηματική προσδοκία:

(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Ως εκ τούτου,

Σημείωση 1.Κατά τον προσδιορισμό της διασποράς, δεν αξιολογείται η απόκλιση από τον ίδιο τον μέσο όρο, αλλά το τετράγωνό του. Αυτό γίνεται έτσι ώστε οι αποκλίσεις διαφορετικών ζωδίων να μην αλληλοεξουδετερώνονται.

Σημείωση 2.Από τον ορισμό της διασποράς προκύπτει ότι αυτή η ποσότητα παίρνει μόνο μη αρνητικές τιμές.

Σημείωση 3.Υπάρχει ένας τύπος για τον υπολογισμό της διακύμανσης που είναι πιο βολικός για τους υπολογισμούς, η εγκυρότητα του οποίου αποδεικνύεται στο ακόλουθο θεώρημα:

Θεώρημα 7.1.ρε(Χ) = Μ(Χ²) - Μ²( Χ). (7.7)

Απόδειξη.

Χρησιμοποιώντας τι Μ(Χ) είναι μια σταθερή τιμή και οι ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας, μετατρέπουμε τον τύπο (7.6) στη μορφή:

ρε(Χ) = Μ(X-M(Χ))² = Μ(Χ² - 2 X?M(Χ) + Μ²( Χ)) = Μ(Χ²) - 2 Μ(Χ)?Μ(Χ) + Μ²( Χ) =

= Μ(Χ²) - 2 Μ²( Χ) + Μ²( Χ) = Μ(Χ²) - Μ²( Χ), που ήταν αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.

Παράδειγμα. Ας υπολογίσουμε τις διακυμάνσεις των τυχαίων μεταβλητών ΧΚαι Υπου συζητήθηκε στην αρχή αυτής της ενότητας. Μ(Χ) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

Μ(Υ) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Άρα, η διακύμανση της δεύτερης τυχαίας μεταβλητής είναι αρκετές χιλιάδες φορές μεγαλύτερη από τη διακύμανση της πρώτης. Έτσι, ακόμη και χωρίς να γνωρίζουμε τους νόμους κατανομής αυτών των μεγεθών, με βάση τις γνωστές τιμές διασποράς μπορούμε να δηλώσουμε ότι Χαποκλίνει ελάχιστα από τη μαθηματική προσδοκία της, ενώ για Υαυτή η απόκλιση είναι αρκετά σημαντική.

Ιδιότητες διασποράς.

1) Διακύμανση σταθερής τιμής ΜΕίσο με μηδέν:

ρε (ντο) = 0. (7.8)

Απόδειξη. ρε(ντο) = Μ((ΕΚ(ντο))²) = Μ((Γ-Γ)²) = Μ(0) = 0.

2) Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο διασποράς τετραγωνίζοντάς τον:

ρε(CX) = ντο² ρε(Χ). (7.9)

Απόδειξη. ρε(CX) = Μ((CX-M(CX))²) = Μ((CX-CM(Χ))²) = Μ(ντο²( X-M(Χ))²) =

= ντο² ρε(Χ).

3) Η διακύμανση του αθροίσματος δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεών τους:

ρε(Χ+Υ) = ρε(Χ) + ρε(Υ). (7.10)

Απόδειξη. ρε(Χ+Υ) = Μ(Χ² + 2 XY + Υ²) - ( Μ(Χ) + Μ(Υ))² = Μ(Χ²) + 2 Μ(Χ)Μ(Υ) +

+ Μ(Υ²) - Μ²( Χ) - 2Μ(Χ)Μ(Υ) - Μ²( Υ) = (Μ(Χ²) - Μ²( Χ)) + (Μ(Υ²) - Μ²( Υ)) = ρε(Χ) + ρε(Υ).

Συμπέρασμα 1.Η διακύμανση του αθροίσματος πολλών αμοιβαία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεών τους.

Συμπέρασμα 2.Η διακύμανση του αθροίσματος μιας σταθεράς και μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ίση με τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής.

4) Η διακύμανση της διαφοράς μεταξύ δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων τους:

ρε(Χ-Υ) = ρε(Χ) + ρε(Υ). (7.11)

Απόδειξη. ρε(Χ-Υ) = ρε(Χ) + ρε(-Υ) = ρε(Χ) + (-1)² ρε(Υ) = ρε(Χ) + ρε(Χ).

Η διακύμανση δίνει τη μέση τιμή της τετραγωνικής απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μέση τιμή. Για να αξιολογηθεί η ίδια η απόκλιση, χρησιμοποιείται μια τιμή που ονομάζεται τυπική απόκλιση.

Ορισμός 7.6.Τυπική απόκλισησ τυχαία μεταβλητή Χονομάζεται τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης:

Παράδειγμα. Στο προηγούμενο παράδειγμα, οι τυπικές αποκλίσεις ΧΚαι Υείναι ίσα αντίστοιχα

– ο αριθμός των αγοριών μεταξύ 10 νεογνών.

Είναι απολύτως σαφές ότι αυτός ο αριθμός δεν είναι γνωστός εκ των προτέρων και τα επόμενα δέκα παιδιά που θα γεννηθούν μπορεί να περιλαμβάνουν:

Ή αγόρια - ένα και μοναδικόαπό τις επιλογές που αναφέρονται.

Και, για να παραμείνουμε σε φόρμα, λίγη φυσική αγωγή:

– απόσταση άλματος εις μήκος (σε ορισμένες μονάδες).

Ακόμη και ένας κύριος του αθλητισμού δεν μπορεί να το προβλέψει :)

Ωστόσο, οι υποθέσεις σας;

2) Συνεχής τυχαία μεταβλητή – αποδέχεται Ολααριθμητικές τιμές από κάποιο πεπερασμένο ή άπειρο διάστημα.

Σημείωση : οι συντομογραφίες DSV και NSV είναι δημοφιλείς στην εκπαιδευτική βιβλιογραφία

Αρχικά, ας αναλύσουμε τη διακριτή τυχαία μεταβλητή και μετά - συνεχής.

Νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής

- Αυτό αλληλογραφίαμεταξύ των πιθανών τιμών αυτής της ποσότητας και των πιθανοτήτων τους. Τις περισσότερες φορές, ο νόμος γράφεται σε έναν πίνακα:

Ο όρος εμφανίζεται αρκετά συχνά σειρά διανομή, αλλά σε κάποιες περιπτώσεις ακούγεται διφορούμενο, και έτσι θα μείνω στον «νόμο».

Και τώρα πολύ σημαντικό σημείο: αφού η τυχαία μεταβλητή Αναγκαίωςθα δεχθεί μια από τις αξίες, τότε σχηματίζονται τα αντίστοιχα συμβάντα πλήρης ομάδακαι το άθροισμα των πιθανοτήτων εμφάνισής τους είναι ίσο με μία:

ή, εάν γράφεται συμπυκνωμένο:

Έτσι, για παράδειγμα, ο νόμος της κατανομής πιθανοτήτων των σημείων που κυλούν σε μια μήτρα έχει την ακόλουθη μορφή:

Χωρίς σχόλια.

Μπορεί να έχετε την εντύπωση ότι μια διακριτή τυχαία μεταβλητή μπορεί να λάβει μόνο «καλές» ακέραιες τιμές. Ας διαλύσουμε την ψευδαίσθηση - μπορεί να είναι οτιδήποτε:

Παράδειγμα 1

Κάποιο παιχνίδι έχει τον ακόλουθο νόμο διανομής νίκης:

...μάλλον ονειρευόσασταν από καιρό τέτοιες εργασίες :) Θα σας πω ένα μυστικό - κι εγώ. Ειδικά μετά την ολοκλήρωση της εργασίας θεωρία πεδίου.

Λύση: δεδομένου ότι μια τυχαία μεταβλητή μπορεί να λάβει μόνο μία από τις τρεις τιμές, σχηματίζονται τα αντίστοιχα συμβάντα πλήρης ομάδα, που σημαίνει ότι το άθροισμα των πιθανοτήτων τους είναι ίσο με ένα:

Αποκαλύπτοντας τον «κομματικό»:

– έτσι, η πιθανότητα να κερδίσετε συμβατικές μονάδες είναι 0,4.

Έλεγχος: αυτό έπρεπε να βεβαιωθούμε.

Απάντηση:

Δεν είναι ασυνήθιστο όταν χρειάζεται να συντάξετε μόνοι σας έναν νόμο διανομής. Για αυτό χρησιμοποιούν κλασικός ορισμός της πιθανότητας, Θεωρήματα πολλαπλασιασμού/προσθήκης για πιθανότητες γεγονότωνκαι άλλες μάρκες τερβέρα:

Παράδειγμα 2

Το κουτί περιέχει 50 λαχεία, μεταξύ των οποίων τα 12 κερδίζουν, και 2 από αυτά κερδίζουν 1000 ρούβλια το καθένα και τα υπόλοιπα - 100 ρούβλια το καθένα. Σχεδιάστε έναν νόμο για την κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής - το μέγεθος των κερδών, εάν ένα δελτίο τραβηχτεί τυχαία από το κουτί.

Λύση: όπως παρατηρήσατε, συνήθως τοποθετούνται οι τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής με αύξουσα σειρά. Επομένως, ξεκινάμε με τα μικρότερα κέρδη, δηλαδή τα ρούβλια.

Υπάρχουν 50 τέτοια εισιτήρια συνολικά - 12 = 38, και σύμφωνα με κλασικός ορισμός:
– η πιθανότητα ότι ένα εισιτήριο που κληρώθηκε τυχαία θα είναι χαμένο.

Σε άλλες περιπτώσεις όλα είναι απλά. Η πιθανότητα να κερδίσετε ρούβλια είναι:

Ελέγξτε: – και αυτή είναι μια ιδιαίτερα ευχάριστη στιγμή τέτοιων εργασιών!

Απάντηση: ο επιθυμητός νόμος κατανομής των κερδών:

Η παρακάτω εργασία πρέπει να λύσετε μόνοι σας:

Παράδειγμα 3

Η πιθανότητα ο σκοπευτής να χτυπήσει τον στόχο είναι . Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής για μια τυχαία μεταβλητή - τον αριθμό των χτυπημάτων μετά από 2 βολές.

...το ήξερα ότι σου έλειψε :) Ας θυμηθούμε θεωρήματα πολλαπλασιασμού και πρόσθεσης. Η λύση και η απάντηση βρίσκονται στο τέλος του μαθήματος.

Ο νόμος κατανομής περιγράφει πλήρως μια τυχαία μεταβλητή, αλλά στην πράξη μπορεί να είναι χρήσιμο (και μερικές φορές πιο χρήσιμο) να γνωρίζουμε μόνο μερικές από αυτές αριθμητικά χαρακτηριστικά .

Προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής

Με απλά λόγια, αυτό είναι μέση αναμενόμενη τιμήόταν η δοκιμή επαναλαμβάνεται πολλές φορές. Αφήστε την τυχαία μεταβλητή να λάβει τιμές με πιθανότητες αντίστοιχα. Τότε η μαθηματική προσδοκία αυτής της τυχαίας μεταβλητής είναι ίση με άθροισμα προϊόντωνόλες τις τιμές του στις αντίστοιχες πιθανότητες:

ή κατέρρευσε:

Ας υπολογίσουμε, για παράδειγμα, τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής - τον αριθμό των σημείων που κυλήθηκαν σε μια μήτρα:

Ας θυμηθούμε τώρα το υποθετικό μας παιχνίδι:

Γεννιέται το ερώτημα: είναι καθόλου κερδοφόρο να παίζεις αυτό το παιχνίδι; ...ποιος έχει εντυπώσεις; Οπότε δεν μπορείς να το πεις «αυθόρμητα»! Αλλά αυτή η ερώτηση μπορεί εύκολα να απαντηθεί με τον υπολογισμό της μαθηματικής προσδοκίας, ουσιαστικά - σταθμισμένος μέσος όροςκατά πιθανότητα νίκης:

Έτσι, η μαθηματική προσδοκία αυτού του παιχνιδιού χάνοντας.

Μην εμπιστεύεστε τις εντυπώσεις σας - εμπιστευτείτε τους αριθμούς!

Ναι, εδώ μπορείς να κερδίσεις 10 ή και 20-30 φορές στη σειρά, αλλά μακροπρόθεσμα, μας περιμένει αναπόφευκτη καταστροφή. Και δεν θα σε συμβούλευα να παίζεις τέτοια παιχνίδια :) Λοιπόν, ίσως μόνο για πλάκα.

Από όλα τα παραπάνω προκύπτει ότι η μαθηματική προσδοκία δεν είναι πλέον τυχαία τιμή.

Δημιουργική εργασία για ανεξάρτητη έρευνα:

Παράδειγμα 4

Ο Mr. X παίζει ευρωπαϊκή ρουλέτα χρησιμοποιώντας το ακόλουθο σύστημα: ποντάρει συνεχώς 100 ρούβλια στο "κόκκινο". Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής - τα κέρδη της. Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία των κερδών και στρογγυλοποιήστε την στο πλησιέστερο καπίκι. Πόσα μέση τιμήΧάνει ο παίκτης για κάθε εκατό που στοιχηματίζει;

Αναφορά : Η ευρωπαϊκή ρουλέτα περιέχει 18 κόκκινους, 18 μαύρους και 1 πράσινο τομέα («μηδέν»). Εάν εμφανιστεί ένα "κόκκινο", ο παίκτης πληρώνεται το διπλάσιο του στοιχήματος, διαφορετικά πηγαίνει στα έσοδα του καζίνο

Υπάρχουν πολλά άλλα συστήματα ρουλέτας για τα οποία μπορείτε να δημιουργήσετε τους δικούς σας πίνακες πιθανοτήτων. Αλλά αυτό συμβαίνει όταν δεν χρειαζόμαστε νόμους ή πίνακες διανομής, γιατί έχει διαπιστωθεί με βεβαιότητα ότι η μαθηματική προσδοκία του παίκτη θα είναι ακριβώς η ίδια. Το μόνο που αλλάζει από σύστημα σε σύστημα είναι

Τυχαία μεταβλητήΜια μεταβλητή ονομάζεται μια μεταβλητή που, ως αποτέλεσμα κάθε δοκιμής, παίρνει μια προηγουμένως άγνωστη τιμή, ανάλογα με τυχαίους λόγους. Οι τυχαίες μεταβλητές συμβολίζονται με κεφαλαία λατινικά γράμματα: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Ανάλογα με τον τύπο τους, οι τυχαίες μεταβλητές μπορούν να είναι διακεκριμένοςΚαι συνεχής.

Διακριτή τυχαία μεταβλητή- αυτή είναι μια τυχαία μεταβλητή της οποίας οι τιμές δεν μπορούν να είναι περισσότερες από μετρήσιμες, δηλαδή είτε πεπερασμένες είτε μετρήσιμες. Με τον όρο αριθμησιμότητα εννοούμε ότι οι τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής μπορούν να αριθμηθούν.

Παράδειγμα 1 . Ακολουθούν παραδείγματα διακριτών τυχαίων μεταβλητών:

α) ο αριθμός των χτυπημάτων στο στόχο με $n$ βολές, εδώ οι πιθανές τιμές είναι $0,\ 1,\ \dots,\ n$.

β) ο αριθμός των εμβλημάτων που έπεσαν κατά την ρίψη ενός νομίσματος, εδώ οι πιθανές τιμές είναι $0,\ 1,\ \dots,\ n$.

γ) τον αριθμό των πλοίων που φτάνουν επί του πλοίου (ένα μετρήσιμο σύνολο τιμών).

δ) τον αριθμό των κλήσεων που φτάνουν στο PBX (μετρήσιμο σύνολο τιμών).

1. Νόμος της κατανομής πιθανότητας μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.

Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή $X$ μπορεί να πάρει τιμές $x_1,\dots ,\ x_n$ με πιθανότητες $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Η αντιστοιχία μεταξύ αυτών των τιμών και των πιθανοτήτων τους ονομάζεται νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής. Κατά κανόνα, αυτή η αντιστοιχία καθορίζεται χρησιμοποιώντας έναν πίνακα, η πρώτη γραμμή του οποίου υποδεικνύει τις τιμές $x_1,\dots ,\ x_n$ και η δεύτερη γραμμή περιέχει τις πιθανότητες $p_1,\dots ,\ p_n$ που αντιστοιχούν σε αυτές τις αξίες.

$\begin(πίνακας)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(πίνακας)$

Παράδειγμα 2 . Έστω η τυχαία μεταβλητή $X$ ο αριθμός των πόντων που κυλήθηκαν κατά την ρίψη μιας μήτρας. Μια τέτοια τυχαία μεταβλητή $X$ μπορεί να λάβει τις ακόλουθες τιμές: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Οι πιθανότητες όλων αυτών των τιμών είναι ίσες με $1/6$. Τότε ο νόμος της κατανομής πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής $X$:

$\begin(πίνακας)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(πίνακας)$

Σχόλιο. Εφόσον στον νόμο κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής $X$ τα γεγονότα $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα γεγονότων, τότε το άθροισμα των πιθανοτήτων πρέπει να είναι ίσο με ένα, δηλαδή $ \sum(p_i)=1$.

2. Μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.

Μαθηματική προσδοκία τυχαίας μεταβλητήςθέτει την «κεντρική» σημασία του. Για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, η μαθηματική προσδοκία υπολογίζεται ως το άθροισμα των γινομένων των τιμών $x_1,\dots ,\ x_n$ και των πιθανοτήτων $p_1,\dots,\ p_n$ που αντιστοιχούν σε αυτές τις τιμές, δηλαδή : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Στην αγγλόφωνη βιβλιογραφία, χρησιμοποιείται ένας άλλος συμβολισμός $E\left(X\right)$.

Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας$M\αριστερά(X\δεξιά)$:

1. Το $M\left(X\right)$ βρίσκεται μεταξύ της μικρότερης και της μεγαλύτερης τιμής της τυχαίας μεταβλητής $X$.
2. Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθεράς είναι ίση με την ίδια τη σταθερά, δηλ. $M\left(C\right)=C$.
3. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της μαθηματικής προσδοκίας: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος των τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών τους: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Παράδειγμα 3 . Ας βρούμε τη μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής $X$ από το παράδειγμα $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\πάνω (6))+2\cdot ((1)\πάνω (6) )+3\cdot ((1)\πάνω (6))+4\cdot ((1)\πάνω (6))+5\cdot ((1)\πάνω (6))+6\cdot ((1 )\πάνω (6))=3,5.$$

Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι το $M\left(X\right)$ βρίσκεται ανάμεσα στις μικρότερες ($1$) και μεγαλύτερες ($6$) τιμές της τυχαίας μεταβλητής $X$.

Παράδειγμα 4 . Είναι γνωστό ότι η μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής $X$ είναι ίση με $M\left(X\right)=2$. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής $3X+5$.

Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω ιδιότητες, παίρνουμε $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Παράδειγμα 5 . Είναι γνωστό ότι η μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής $X$ είναι ίση με $M\left(X\right)=4$. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής $2X-9$.

Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω ιδιότητες, παίρνουμε $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Διασπορά μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.

Πιθανές τιμές τυχαίων μεταβλητών με ίσες μαθηματικές προσδοκίες μπορεί να διασκορπίζονται διαφορετικά γύρω από τις μέσες τιμές τους. Για παράδειγμα, σε δύο ομάδες μαθητών ο μέσος όρος βαθμολογίας για την εξέταση στη θεωρία πιθανοτήτων ήταν 4, αλλά στη μία ομάδα όλοι ήταν καλοί μαθητές και στην άλλη ομάδα υπήρχαν μόνο μαθητές Γ και αριστούχοι. Επομένως, υπάρχει ανάγκη για ένα αριθμητικό χαρακτηριστικό μιας τυχαίας μεταβλητής που θα δείχνει την εξάπλωση των τιμών της τυχαίας μεταβλητής γύρω από τις μαθηματικές προσδοκίες της. Αυτό το χαρακτηριστικό είναι η διασπορά.

Διακύμανση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητήςΤο $X$ ισούται με:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

Στην αγγλική βιβλιογραφία χρησιμοποιείται ο συμβολισμός $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Πολύ συχνά η διακύμανση $D\left(X\right)$ υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ αριστερά(Χ \δεξιά)\δεξιά))^2$.

Ιδιότητες διασποράς$D\αριστερά(X\δεξιά)$:

1. Η διακύμανση είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν, δηλ. $D\αριστερά(X\δεξιά)\ge 0$.
2. Η διακύμανση της σταθεράς είναι μηδέν, δηλ. $D\left(C\right)=0$.
3. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της διασποράς με την προϋπόθεση ότι είναι τετράγωνο, δηλ. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Η διακύμανση του αθροίσματος των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων τους, δηλ. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Η διακύμανση της διαφοράς μεταξύ ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των αποκλίσεων τους, δηλ. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Παράδειγμα 6 . Ας υπολογίσουμε τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής $X$ από το παράδειγμα $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +( (1)\πάνω (6))\cdot (\αριστερά(6-3,5\δεξιά))^2=((35)\πάνω (12))\περίπου 2,92.$$

Παράδειγμα 7 . Είναι γνωστό ότι η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής $X$ είναι ίση με $D\left(X\right)=2$. Βρείτε τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής $4X+1$.

Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω ιδιότητες, βρίσκουμε $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ αριστερά(Χ\δεξιά)=16\cdot 2=32$.

Παράδειγμα 8 . Είναι γνωστό ότι η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής $X$ είναι ίση με $D\left(X\right)=3$. Βρείτε τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής $3-2X$.

Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω ιδιότητες, βρίσκουμε $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ αριστερά(Χ\δεξιά)=4\cdot 3=12$.

4. Συνάρτηση κατανομής διακριτής τυχαίας μεταβλητής.

Η μέθοδος αναπαράστασης μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής με τη μορφή μιας σειράς διανομής δεν είναι η μόνη και το πιο σημαντικό, δεν είναι καθολική, αφού μια συνεχής τυχαία μεταβλητή δεν μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας μια σειρά διανομής. Υπάρχει ένας άλλος τρόπος να αναπαραστήσουμε μια τυχαία μεταβλητή - τη συνάρτηση κατανομής.

Λειτουργία διανομήςΗ τυχαία μεταβλητή $X$ ονομάζεται συνάρτηση $F\left(x\right)$, η οποία καθορίζει την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή $X$ να λάβει τιμή μικρότερη από κάποια σταθερή τιμή $x$, δηλαδή $F\ αριστερά(x\δεξιά)=P\αριστερά(X< x\right)$

Ιδιότητες της συνάρτησης διανομής:

1. $0\le F\αριστερά(x\δεξιά)\le 1$.
2. Η πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή $X$ θα λάβει τιμές από το διάστημα $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ των τιμών της συνάρτησης κατανομής στα άκρα αυτού διάστημα: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - μη φθίνουσα.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \δεξιά)=1\ )$.

Παράδειγμα 9 . Ας βρούμε τη συνάρτηση κατανομής $F\left(x\right)$ για τον νόμο κατανομής της διακριτής τυχαίας μεταβλητής $X$ από το παράδειγμα $2$.

$\begin(πίνακας)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(πίνακας)$

Αν $x\le 1$, τότε, προφανώς, $F\left(x\right)=0$ (συμπεριλαμβανομένου του $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Αν $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Αν $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Αν $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Αν $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Αν $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Αν $x > 6$, τότε $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Άρα $F(x)=\αριστερά\(\αρχή(μήτρα)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, στο \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, στο\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ για\ x > 6.
\end(matrix)\right.$

Η έννοια της μαθηματικής προσδοκίας μπορεί να εξεταστεί χρησιμοποιώντας το παράδειγμα της ρίψης ζαριού. Με κάθε ρίψη καταγράφονται οι πόντοι που πέφτουν. Για την έκφρασή τους, χρησιμοποιούνται φυσικές τιμές στην περιοχή 1 – 6.

Μετά από έναν ορισμένο αριθμό ρίψεων, χρησιμοποιώντας απλούς υπολογισμούς, μπορείτε να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο των πόντων που κυλήθηκαν.

Ακριβώς όπως η εμφάνιση οποιασδήποτε από τις τιμές στο εύρος, αυτή η τιμή θα είναι τυχαία.

Τι γίνεται αν αυξήσετε τον αριθμό των βολών πολλές φορές; Με μεγάλο αριθμό ρίψεων, ο αριθμητικός μέσος όρος των πόντων θα πλησιάσει έναν συγκεκριμένο αριθμό, ο οποίος στη θεωρία πιθανοτήτων ονομάζεται μαθηματική προσδοκία.

Έτσι, με τον όρο μαθηματική προσδοκία εννοούμε τη μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής. Αυτός ο δείκτης μπορεί επίσης να παρουσιαστεί ως σταθμισμένο άθροισμα πιθανών τιμών.

Αυτή η έννοια έχει πολλά συνώνυμα:

• μέση αξία;
• μέση αξία;
• δείκτης κεντρικής τάσης.
• πρώτη στιγμή.

Με άλλα λόγια, δεν είναι τίποτα περισσότερο από έναν αριθμό γύρω από τον οποίο κατανέμονται οι τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής.

Σε διαφορετικούς τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας, οι προσεγγίσεις για την κατανόηση των μαθηματικών προσδοκιών θα είναι κάπως διαφορετικές.

Μπορεί να θεωρηθεί ως:

• το μέσο όφελος που προκύπτει από τη λήψη μιας απόφασης, όταν μια τέτοια απόφαση εξετάζεται από τη σκοπιά της θεωρίας των μεγάλων αριθμών·
• το πιθανό ποσό νίκης ή ήττας (θεωρία τζόγου), που υπολογίζεται κατά μέσο όρο για κάθε στοίχημα. Στην αργκό, ακούγονται σαν «πλεονέκτημα του παίκτη» (θετικό για τον παίκτη) ή «πλεονέκτημα καζίνο» (αρνητικό για τον παίκτη).
• ποσοστό του κέρδους που λαμβάνεται από τα κέρδη.

Η προσδοκία δεν είναι υποχρεωτική για όλες τις τυχαίες μεταβλητές. Απουσιάζει για όσους έχουν απόκλιση στο αντίστοιχο άθροισμα ή ολοκλήρωμα.

Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας

Όπως κάθε στατιστική παράμετρος, η μαθηματική προσδοκία έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

Βασικοί τύποι για τη μαθηματική προσδοκία

Ο υπολογισμός της μαθηματικής προσδοκίας μπορεί να πραγματοποιηθεί τόσο για τυχαίες μεταβλητές που χαρακτηρίζονται τόσο από συνέχεια (τύπος Α) όσο και από διακριτικότητα (τύπος Β):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, όπου xi είναι οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής, pi είναι οι πιθανότητες:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, όπου f(x) είναι η δεδομένη πυκνότητα πιθανότητας.

Παραδείγματα υπολογισμού μαθηματικών προσδοκιών

Παράδειγμα Α.

Είναι δυνατόν να μάθετε το μέσο ύψος των νάνων στο παραμύθι για τη Χιονάτη. Είναι γνωστό ότι καθένας από τους 7 νάνους είχε ένα ορισμένο ύψος: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 και 0,81 μ.

Ο αλγόριθμος υπολογισμού είναι αρκετά απλός:

• βρίσκουμε το άθροισμα όλων των τιμών του δείκτη ανάπτυξης (τυχαία μεταβλητή):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Διαιρέστε το ποσό που προκύπτει με τον αριθμό των καλικάντζαρων:
  6,31:7=0,90.

Έτσι, το μέσο ύψος των καλικάντζαρων σε ένα παραμύθι είναι 90 εκατοστά. Με άλλα λόγια, αυτή είναι η μαθηματική προσδοκία για την ανάπτυξη των καλικάντζαρων.

Τύπος εργασίας - M(x)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6

Πρακτική εφαρμογή της μαθηματικής προσδοκίας

Ο υπολογισμός του στατιστικού δείκτη της μαθηματικής προσδοκίας καταφεύγει σε διάφορους τομείς πρακτικής δραστηριότητας. Πρώτα απ 'όλα, μιλάμε για την εμπορική σφαίρα. Εξάλλου, η εισαγωγή αυτού του δείκτη από τον Huygens συνδέεται με τον προσδιορισμό των πιθανοτήτων που μπορεί να είναι ευνοϊκές ή, αντίθετα, δυσμενείς, για κάποιο γεγονός.

Αυτή η παράμετρος χρησιμοποιείται ευρέως για την αξιολόγηση των κινδύνων, ειδικά όταν πρόκειται για χρηματοοικονομικές επενδύσεις.
Έτσι, στις επιχειρήσεις, ο υπολογισμός των μαθηματικών προσδοκιών λειτουργεί ως μέθοδος για την εκτίμηση του κινδύνου κατά τον υπολογισμό των τιμών.

Αυτός ο δείκτης μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της αποτελεσματικότητας ορισμένων μέτρων, για παράδειγμα, της προστασίας της εργασίας. Χάρη σε αυτό, μπορείτε να υπολογίσετε την πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν.

Ένας άλλος τομέας εφαρμογής αυτής της παραμέτρου είναι η διαχείριση. Μπορεί επίσης να υπολογιστεί κατά τον ποιοτικό έλεγχο του προϊόντος. Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας χαλάκι. προσδοκίες, μπορείτε να υπολογίσετε τον πιθανό αριθμό των ελαττωματικών ανταλλακτικών που παράγονται.

Η μαθηματική προσδοκία αποδεικνύεται επίσης απαραίτητη κατά τη διεξαγωγή στατιστικής επεξεργασίας των αποτελεσμάτων που λαμβάνονται κατά τη διάρκεια της επιστημονικής έρευνας. Σας επιτρέπει να υπολογίσετε την πιθανότητα ενός επιθυμητού ή ανεπιθύμητου αποτελέσματος ενός πειράματος ή μελέτης ανάλογα με το επίπεδο επίτευξης του στόχου. Άλλωστε, το επίτευγμά του μπορεί να συνδέεται με κέρδος και όφελος και η αποτυχία του μπορεί να συνδέεται με απώλεια ή απώλεια.

Χρήση μαθηματικών προσδοκιών στο Forex

Η πρακτική εφαρμογή αυτής της στατιστικής παραμέτρου είναι δυνατή κατά τη διεξαγωγή πράξεων στην αγορά συναλλάγματος. Με τη βοήθειά του, μπορείτε να αναλύσετε την επιτυχία των εμπορικών συναλλαγών. Επιπλέον, μια αύξηση στην αξία προσδοκίας υποδηλώνει αύξηση της επιτυχίας τους.

Είναι επίσης σημαντικό να θυμόμαστε ότι η μαθηματική προσδοκία δεν πρέπει να θεωρείται ως η μόνη στατιστική παράμετρος που χρησιμοποιείται για την ανάλυση της απόδοσης ενός εμπόρου. Η χρήση πολλών στατιστικών παραμέτρων μαζί με τη μέση τιμή αυξάνει σημαντικά την ακρίβεια της ανάλυσης.

Αυτή η παράμετρος έχει αποδειχθεί καλά στην παρακολούθηση των παρατηρήσεων των λογαριασμών συναλλαγών. Χάρη σε αυτό, πραγματοποιείται μια γρήγορη αξιολόγηση των εργασιών που πραγματοποιήθηκαν στον καταθετικό λογαριασμό. Σε περιπτώσεις που η δραστηριότητα του εμπόρου είναι επιτυχής και αποφεύγει τις ζημιές, δεν συνιστάται να χρησιμοποιείται αποκλειστικά ο υπολογισμός της μαθηματικής προσδοκίας. Σε αυτές τις περιπτώσεις, οι κίνδυνοι δεν λαμβάνονται υπόψη, γεγονός που μειώνει την αποτελεσματικότητα της ανάλυσης.

Οι μελέτες που πραγματοποιήθηκαν για τις τακτικές των εμπόρων δείχνουν ότι:

• Οι πιο αποτελεσματικές τακτικές είναι αυτές που βασίζονται στην τυχαία καταχώρηση.
• Οι λιγότερο αποτελεσματικές είναι οι τακτικές που βασίζονται σε δομημένες εισροές.

Για την επίτευξη θετικών αποτελεσμάτων, εξίσου σημαντικά είναι:

• τακτικές διαχείρισης χρημάτων?
• στρατηγικές εξόδου.

Χρησιμοποιώντας έναν τέτοιο δείκτη όπως η μαθηματική προσδοκία, μπορείτε να προβλέψετε ποιο θα είναι το κέρδος ή η ζημία όταν επενδύσετε 1 δολάριο. Είναι γνωστό ότι αυτός ο δείκτης, που υπολογίζεται για όλα τα παιχνίδια που ασκούνται στο καζίνο, είναι υπέρ της εγκατάστασης. Αυτό είναι που σας επιτρέπει να κερδίσετε χρήματα. Στην περίπτωση μιας μεγάλης σειράς παιχνιδιών, η πιθανότητα ένας πελάτης να χάσει χρήματα αυξάνεται σημαντικά.

Τα παιχνίδια που παίζονται από επαγγελματίες παίκτες περιορίζονται σε μικρές χρονικές περιόδους, γεγονός που αυξάνει την πιθανότητα νίκης και μειώνει τον κίνδυνο ήττας. Το ίδιο μοτίβο παρατηρείται κατά την εκτέλεση επενδυτικών πράξεων.

Ένας επενδυτής μπορεί να κερδίσει ένα σημαντικό ποσό έχοντας θετικές προσδοκίες και κάνοντας μεγάλο αριθμό συναλλαγών σε σύντομο χρονικό διάστημα.

Η προσδοκία μπορεί να θεωρηθεί ως η διαφορά μεταξύ του ποσοστού κέρδους (PW) πολλαπλασιασμένο με το μέσο κέρδος (AW) και της πιθανότητας ζημίας (PL) πολλαπλασιαζόμενη με τη μέση απώλεια (AL).

Ως παράδειγμα, μπορούμε να εξετάσουμε τα εξής: θέση – 12,5 χιλιάδες δολάρια, χαρτοφυλάκιο – 100 χιλιάδες δολάρια, κίνδυνος καταθέσεων – 1%. Η κερδοφορία των συναλλαγών είναι 40% των περιπτώσεων με μέσο κέρδος 20%. Σε περίπτωση απώλειας, η μέση απώλεια είναι 5%. Ο υπολογισμός της μαθηματικής προσδοκίας για τη συναλλαγή δίνει μια τιμή 625 $.