Λύση ορθογωνίου τριγώνου. Πώς να βρείτε τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου; Βασικά στοιχεία της γεωμετρίας Πώς να βρείτε ένα πόδι γνωρίζοντας την υποτείνουσα και το πόδι

Χρησιμοποιώντας έναν υπολογιστή, εξάγετε την τετραγωνική ρίζα της διαφοράς μεταξύ της υποτείνουσας στο τετράγωνο και του γνωστού σκέλους επίσης στο τετράγωνο. Το σκέλος είναι η πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου δίπλα στη σωστή γωνία. Αυτή η έκφραση προέρχεται από το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο δηλώνει ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών.

Πριν εξετάσουμε τους διαφορετικούς τρόπους εύρεσης ενός σκέλους σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, ας υιοθετήσουμε κάποια σημειογραφία. Ελέγξτε ποια από τις αναφερόμενες περιπτώσεις αντιστοιχεί στην κατάσταση της εργασίας σας και, ανάλογα με αυτό, ακολουθήστε την κατάλληλη παράγραφο. Μάθετε ποιες ποσότητες γνωρίζετε στο εν λόγω τρίγωνο. Χρησιμοποιήστε την ακόλουθη έκφραση για να υπολογίσετε το σκέλος: a=sqrt(c^2-b^2), εάν γνωρίζετε τις τιμές της υποτείνουσας και του άλλου σκέλους.

Οι σχέσεις μεταξύ των πλευρών και των γωνιών αυτού του γεωμετρικού σχήματος συζητούνται λεπτομερώς στον μαθηματικό κλάδο της τριγωνομετρίας. Για να εφαρμόσετε αυτήν την εξίσωση, πρέπει να γνωρίζετε το μήκος οποιωνδήποτε δύο πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Υπολογίστε το μήκος του ενός σκέλους αν είναι γνωστές οι διαστάσεις της υποτείνουσας και του άλλου σκέλους. Εάν στο πρόβλημα δίνεται η υποτείνουσα και μία από τις οξείες γωνίες που γειτνιάζουν με αυτό, χρησιμοποιήστε τους πίνακες Bradis.

Το εσωτερικό τρίγωνο θα είναι παρόμοιο με το εξωτερικό, αφού οι μεσαίες γραμμές είναι παράλληλες με τα σκέλη και την υποτείνουσα και είναι ίσες με τα μισά τους αντίστοιχα. Δεδομένου ότι η υποτείνουσα είναι άγνωστη, για να βρείτε τη μέση γραμμή M_c πρέπει να αντικαταστήσετε τη ρίζα από το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Η υποτείνουσα είναι η μεγαλύτερη πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου. Βρίσκεται απέναντι σε ορθή γωνία. Το μήκος της υποτείνουσας μπορεί να βρεθεί με διάφορους τρόπους. Εάν το μήκος και των δύο ποδιών είναι γνωστό, τότε το μέγεθός του υπολογίζεται χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα: το άθροισμα των τετραγώνων των δύο σκελών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας. Γνωρίζοντας ότι το άθροισμα όλων των γωνιών είναι 180°, αφαιρέστε τη σωστή γωνία και την ήδη γνωστή.

Κατά τον υπολογισμό των παραμέτρων ενός ορθογωνίου τριγώνου, είναι σημαντικό να προσέχετε τις γνωστές τιμές και να λύσετε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τον απλούστερο τύπο. Αρχικά, ας θυμηθούμε τι είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ένα γεωμετρικό σχήμα τριών τμημάτων που συνδέουν σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία και μία από τις γωνίες αυτού του σχήματος είναι 90 μοίρες. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να μάθετε το μήκος του ποδιού.

Τύπος: c²=a²+b², όπου c είναι η υποτείνουσα, a και b είναι τα σκέλη

Αν γνωρίζουμε την υποτείνουσα και το σκέλος, τότε μπορούμε να βρούμε το μήκος του άγνωστου σκέλους χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα. Ακούγεται κάπως έτσι: «Το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών». Υπάρχουν τέσσερις επιλογές για την εύρεση ενός σκέλους χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές συναρτήσεις: ημιτονοειδές, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη. Το ημίτονο μιας γωνίας (sin) είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα. Τύπος: sin=a/c, όπου a είναι το σκέλος απέναντι από τη δεδομένη γωνία και c είναι η υποτείνουσα.

Οι ασυνήθιστες ιδιότητες των ορθογωνίων τριγώνων ανακαλύφθηκαν από τον αρχαίο Έλληνα επιστήμονα Πυθαγόρα, ο οποίος ανακάλυψε ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας σε τέτοια τρίγωνα είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών

Υψόμετρο είναι η κάθετη που εκτείνεται από οποιαδήποτε κορυφή του τριγώνου προς την απέναντι πλευρά (ή τη συνέχειά της, για τρίγωνο με αμβλεία γωνία). Τα υψόμετρα ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο, το οποίο ονομάζεται ορθόκεντρο. Αν είναι αυθαίρετο ορθογώνιο τρίγωνο, τότε δεν υπάρχουν αρκετά δεδομένα.

Είναι επίσης χρήσιμο να γνωρίζουμε τις τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων για τις πιο κοινές γωνίες των 30, 45, 60, 90, 180 μοιρών. Εάν οι συνθήκες καθορίζουν τις διαστάσεις των ποδιών, βρείτε το μήκος της υποτείνουσας. Στη ζωή, θα πρέπει συχνά να αντιμετωπίσουμε μαθηματικά προβλήματα: στο σχολείο, στο πανεπιστήμιο και στη συνέχεια να βοηθήσουμε το παιδί μας στις εργασίες του.

Στη συνέχεια, μετασχηματίζουμε τον τύπο και παίρνουμε: a=sin*c

Για την επίλυση προβλημάτων, ο παρακάτω πίνακας θα μας βοηθήσει. Ας εξετάσουμε αυτές τις επιλογές. Μια ενδιαφέρουσα ειδική περίπτωση είναι όταν μια από τις οξείες γωνίες είναι ίση με 30 μοίρες.

Οι άνθρωποι σε ορισμένα επαγγέλματα θα συναντούν τα μαθηματικά σε καθημερινή βάση.

Μπορείτε επίσης να βρείτε ένα άγνωστο σκέλος εάν είναι γνωστή οποιαδήποτε άλλη πλευρά και οποιαδήποτε οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου. Βρείτε την πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα. Επίσης, οι πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας διάφορους τύπους ανάλογα με τον αριθμό των γνωστών μεταβλητών.

Οδηγίες

Οι γωνίες απέναντι από τα σκέλη α και β θα συμβολίζονται με Α και Β αντίστοιχα. Η υποτείνουσα, εξ ορισμού, είναι η πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου που είναι απέναντι από τη σωστή γωνία (ενώ η υποτείνουσα σχηματίζει οξείες γωνίες με τις άλλες πλευρές του. το τρίγωνο). Συμβολίζουμε το μήκος της υποτείνουσας με c.

Θα χρειαστείτε:
Αριθμομηχανή.

Χρησιμοποιήστε την ακόλουθη έκφραση για το πόδι: a=sqrt(c^2-b^2), εάν γνωρίζετε τις τιμές της υποτείνουσας και του άλλου σκέλους. Αυτή η έκφραση προέρχεται από το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο δηλώνει ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών. Ο τελεστής sqrt σημαίνει λήψη της τετραγωνικής ρίζας. Το σύμβολο "^2" σημαίνει ανύψωση στη δεύτερη δύναμη.

Χρησιμοποιήστε τον τύπο a=c*sinA εάν γνωρίζετε την υποτείνουσα (c) και την αντίθετη γωνία από το επιθυμητό σκέλος (αυτή τη γωνία την ονομάσαμε A).
Χρησιμοποιήστε την έκφραση a=c*cosB για να βρείτε ένα σκέλος εάν γνωρίζετε την υποτείνουσα (c) και τη γωνία που γειτνιάζει με το επιθυμητό σκέλος (αυτή τη γωνία την ονομάσαμε B).
Υπολογίστε το σκέλος χρησιμοποιώντας τον τύπο a=b*tgA στην περίπτωση που δίνεται το σκέλος b και η γωνία απέναντι από το επιθυμητό σκέλος (συμφωνήσαμε να συμβολίσουμε αυτή τη γωνία ως A).

Σημείωση:
Εάν το πόδι στο πρόβλημά σας δεν βρεθεί με κανέναν από τους τρόπους που περιγράφονται, πιθανότατα μπορεί να μειωθεί σε έναν από αυτούς.

Χρήσιμες συμβουλές:
Όλες αυτές οι εκφράσεις προέρχονται από γνωστούς ορισμούς τριγωνομετρικών συναρτήσεων, επομένως, ακόμα κι αν ξεχάσετε μία από αυτές, μπορείτε πάντα να την εξάγετε γρήγορα χρησιμοποιώντας απλές πράξεις. Είναι επίσης χρήσιμο να γνωρίζετε τις τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων για τις πιο κοινές γωνίες των 30, 45, 60, 90, 180 μοιρών.

Αφού μελετήσουν ένα θέμα σχετικά με τα ορθογώνια τρίγωνα, οι μαθητές συχνά ξεχνούν όλες τις πληροφορίες σχετικά με αυτά. Συμπεριλαμβανομένου του τρόπου εύρεσης της υποτείνουσας, για να μην αναφέρουμε τι είναι.

Και μάταια. Γιατί στο μέλλον η διαγώνιος του ορθογωνίου αποδεικνύεται ότι είναι αυτή ακριβώς η υποτείνουσα, και πρέπει να βρεθεί. Ή η διάμετρος ενός κύκλου συμπίπτει με τη μεγαλύτερη πλευρά ενός τριγώνου, μία από τις γωνίες του οποίου είναι ορθή. Και είναι αδύνατο να το βρεις χωρίς αυτή τη γνώση.

Υπάρχουν πολλές επιλογές για την εύρεση της υποτείνουσας ενός τριγώνου. Η επιλογή της μεθόδου εξαρτάται από το αρχικό σύνολο δεδομένων στο πρόβλημα των ποσοτήτων.

Μέθοδος αριθμός 1: δίνονται και οι δύο πλευρές

Αυτή είναι η πιο αξιομνημόνευτη μέθοδος επειδή χρησιμοποιεί το Πυθαγόρειο θεώρημα. Μόνο μερικές φορές οι μαθητές ξεχνούν ότι αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται για την εύρεση του τετραγώνου της υποτείνουσας. Αυτό σημαίνει ότι για να βρείτε την ίδια την πλευρά, θα χρειαστεί να πάρετε την τετραγωνική ρίζα. Επομένως, ο τύπος για την υποτείνουσα, που συνήθως υποδηλώνεται με το γράμμα "c", θα μοιάζει με αυτό:

c = √ (a 2 + b 2), όπου τα γράμματα "a" και "b" αντιπροσωπεύουν και τα δύο σκέλη ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Μέθοδος αριθμός 2: το σκέλος και η γωνία που γειτνιάζει με αυτό είναι γνωστά

Για να μάθετε πώς να βρίσκετε την υποτείνουσα, θα πρέπει να θυμάστε τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Δηλαδή συνημίτονο. Για ευκολία, θα υποθέσουμε ότι το σκέλος "a" και η γωνία α που γειτνιάζει με αυτό δίνονται.

Τώρα πρέπει να θυμόμαστε ότι το συνημίτονο της γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με τον λόγο των δύο πλευρών. Ο αριθμητής θα περιέχει την τιμή του σκέλους και ο παρονομαστής θα περιέχει την υποτείνουσα. Από αυτό προκύπτει ότι το τελευταίο μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

c = a / cos α.

Μέθοδος αριθμός 3: δίνεται ένα σκέλος και μια γωνία που βρίσκεται απέναντι του

Για να μην μπερδευτούμε στους τύπους, ας εισαγάγουμε τον προσδιορισμό αυτής της γωνίας - β και αφήνουμε την πλευρά το ίδιο "a". Σε αυτή την περίπτωση, θα χρειαστείτε μια άλλη τριγωνομετρική συνάρτηση - ημιτονοειδές.

Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, το ημίτονο είναι ίσο με την αναλογία του ποδιού προς την υποτείνουσα. Ο τύπος αυτής της μεθόδου μοιάζει με αυτό:

γ = α / αμαρτία β.

Για να μην μπερδεύεστε στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, μπορείτε να θυμηθείτε ένα απλό μνημονικό: εάν το πρόβλημα αφορά το pr Οαντίθετη γωνία, τότε πρέπει να το χρησιμοποιήσετε με Καικαλά, αν - ω πρ Καιξαπλωμένος, μετά να Οκόλπος. Θα πρέπει να προσέχετε τα πρώτα φωνήεντα στις λέξεις-κλειδιά. Σχηματίζουν ζευγάρια ο-ιή και περίπου.

Μέθοδος αριθμός 4: κατά μήκος της ακτίνας του περιγεγραμμένου κύκλου

Τώρα, για να μάθετε πώς μπορείτε να βρείτε την υποτείνουσα, θα πρέπει να θυμάστε την ιδιότητα του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Διαβάζεται ως εξής. Το κέντρο του κύκλου συμπίπτει με το μέσο της υποτείνουσας. Για να το θέσουμε διαφορετικά, η μεγαλύτερη πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με τη διαγώνιο του κύκλου. Δηλαδή διπλάσια ακτίνα. Ο τύπος για αυτό το πρόβλημα θα μοιάζει με αυτό:

c = 2 * r, όπου το γράμμα r δηλώνει τη γνωστή ακτίνα.

Αυτοί είναι όλοι πιθανοί τρόποι εύρεσης της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου. Για κάθε συγκεκριμένη εργασία, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο που είναι πιο κατάλληλη για το σύνολο δεδομένων.

Παράδειγμα εργασίας Νο. 1

Συνθήκη: σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, οι διάμεσοι είναι τραβηγμένοι και στις δύο πλευρές. Το μήκος αυτού που τραβιέται στη μεγαλύτερη πλευρά είναι √52. Η άλλη διάμεσος έχει μήκος √73. Πρέπει να υπολογίσετε την υποτείνουσα.

Δεδομένου ότι οι διάμεσοι σχεδιάζονται σε ένα τρίγωνο, χωρίζουν τα σκέλη σε δύο ίσα τμήματα. Για ευκολία του συλλογισμού και της αναζήτησης του τρόπου εύρεσης της υποτείνουσας, πρέπει να εισαγάγετε αρκετούς συμβολισμούς. Αφήστε και τα δύο μισά του μεγαλύτερου ποδιού να χαρακτηρίζονται με το γράμμα "x" και το άλλο με "y".

Τώρα πρέπει να εξετάσουμε δύο ορθογώνια τρίγωνα των οποίων οι υποτείνουσες είναι οι γνωστές διάμεσοι. Για αυτούς πρέπει να γράψετε τον τύπο του Πυθαγόρειου θεωρήματος δύο φορές:

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2.

Αυτές οι δύο εξισώσεις σχηματίζουν ένα σύστημα με δύο άγνωστα. Έχοντας τα λύσει, θα είναι εύκολο να βρούμε τα σκέλη του αρχικού τριγώνου και από αυτά την υποτείνησή του.

Πρώτα πρέπει να ανεβάσετε τα πάντα στη δεύτερη δύναμη. Αποδεικνύεται:

4y 2 + x 2 = 52

y 2 + 4x 2 = 73.

Από τη δεύτερη εξίσωση είναι σαφές ότι y 2 = 73 - 4x 2. Αυτή η έκφραση πρέπει να αντικατασταθεί στην πρώτη και να υπολογιστεί "x":

4(73 - 4x 2) + x 2 = 52.

Μετά τη μετατροπή:

292 - 16 x 2 + x 2 = 52 ή 15x 2 = 240.

Από την τελευταία παράσταση x = √16 = 4.

Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε το "y":

y 2 = 73 - 4(4) 2 = 73 - 64 = 9.

Σύμφωνα με τις συνθήκες, αποδεικνύεται ότι τα σκέλη του αρχικού τριγώνου είναι ίσα με 6 και 8. Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο από την πρώτη μέθοδο και να βρείτε την υποτείνουσα:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Απάντηση: η υποτείνουσα ισούται με 10.

Παράδειγμα εργασίας Νο. 2

Προϋπόθεση: να υπολογίσετε τη διαγώνιο που σχεδιάζεται σε ένα παραλληλόγραμμο με μικρότερη πλευρά ίση με 41. Αν είναι γνωστό ότι διαιρεί τη γωνία σε αυτές που σχετίζονται με το 2 προς 1.

Σε αυτό το πρόβλημα, η διαγώνιος ενός ορθογωνίου είναι η μεγαλύτερη πλευρά σε ένα τρίγωνο 90º. Όλα λοιπόν εξαρτώνται από το πώς να βρείτε την υποτείνουσα.

Το πρόβλημα αφορά τις γωνίες. Αυτό σημαίνει ότι θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε έναν από τους τύπους που περιέχει τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Πρώτα πρέπει να προσδιορίσετε το μέγεθος μιας από τις οξείες γωνίες.

Έστω η μικρότερη από τις γωνίες που συζητούνται στη συνθήκη α. Τότε η ορθή γωνία που διαιρείται με τη διαγώνιο θα είναι ίση με 3α. Η μαθηματική σημειογραφία για αυτό μοιάζει με αυτό:

Από αυτή την εξίσωση είναι εύκολο να προσδιοριστεί το α. Θα είναι ίσο με 30º. Επιπλέον, θα βρίσκεται απέναντι από τη μικρότερη πλευρά του ορθογωνίου. Επομένως, θα χρειαστείτε τον τύπο που περιγράφεται στη μέθοδο Νο. 3.

Η υποτείνουσα είναι ίση με την αναλογία του σκέλους προς το ημίτονο της αντίθετης γωνίας, δηλαδή:

41 / αμαρτία 30º = 41 / (0,5) = 82.

Απάντηση: Η υποτείνουσα είναι 82.

Πριν βρείτε την υποτείνουσα ενός τριγώνου, πρέπει να καταλάβετε ποια χαρακτηριστικά έχει αυτό το σχήμα. Ας εξετάσουμε τα κυριότερα:

1. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, και οι δύο οξείες γωνίες αθροίζονται σε 90º.
2. Ένα πόδι που βρίσκεται απέναντι από μια γωνία 30º θα είναι ίσο με το ½ του μεγέθους της υποτείνουσας.
3. Εάν το σκέλος είναι ίσο με το ½ της υποτείνουσας, τότε η δεύτερη γωνία θα έχει την ίδια τιμή - 30º.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να βρείτε την υποτείνουσα σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Η απλούστερη λύση είναι να υπολογίσετε χρησιμοποιώντας πόδια. Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζετε τις τιμές των σκελών των πλευρών Α και Β. Στη συνέχεια, το Πυθαγόρειο θεώρημα έρχεται στη διάσωση, λέγοντάς μας ότι αν τετραγωνίσουμε κάθε τιμή του σκέλους και αθροίσουμε τα δεδομένα που προκύπτουν, θα μάθουμε τι υποτείνουσα ισούται με. Επομένως, πρέπει απλώς να εξαγάγουμε την τιμή της τετραγωνικής ρίζας:

Για παράδειγμα, εάν το πόδι A = 3 cm και το πόδι B = 4 cm, τότε ο υπολογισμός θα μοιάζει με αυτό:

Πώς να βρείτε την υποτείνουσα μέσω μιας γωνίας;

Ένας άλλος τρόπος για να μάθετε τι είναι η υποτείνουσα σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι να υπολογίσετε μέσω μιας δεδομένης γωνίας. Για να γίνει αυτό, πρέπει να εξαγάγουμε την τιμή μέσω του ημιτονοειδούς τύπου. Ας πούμε ότι γνωρίζουμε το μέγεθος του σκέλους (Α) και την τιμή της αντίθετης γωνίας (α). Τότε ολόκληρο το διάλυμα περιέχεται σε έναν τύπο: C=A/sin(α).

Για παράδειγμα, εάν το μήκος του ποδιού είναι 40 cm και η γωνία είναι 45°, τότε το μήκος της υποτείνουσας μπορεί να εξαχθεί ως εξής:

Η απαιτούμενη τιμή μπορεί επίσης να προσδιοριστεί μέσω του συνημιτόνου μιας δεδομένης γωνίας. Ας πούμε ότι γνωρίζουμε την τιμή ενός σκέλους (Β) και μιας οξείας γειτονικής γωνίας (α). Στη συνέχεια, για να λύσετε το πρόβλημα θα χρειαστείτε έναν τύπο: C=B/ cos(α).

Για παράδειγμα, εάν το μήκος του ποδιού είναι 50 cm και η γωνία είναι 45 °, τότε η υπόταση μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:

Έτσι, εξετάσαμε τους κύριους τρόπους για να βρούμε την υποτείνουσα σε ένα τρίγωνο. Κατά την επίλυση ενός προβλήματος, είναι σημαντικό να επικεντρωθείτε στα διαθέσιμα δεδομένα, τότε η εύρεση της άγνωστης ποσότητας θα είναι αρκετά απλή. Χρειάζεται μόνο να γνωρίζετε μερικούς τύπους και η διαδικασία επίλυσης προβλημάτων θα γίνει απλή και ευχάριστη.

Μεταξύ των πολυάριθμων υπολογισμών που έγιναν για τον υπολογισμό διαφόρων μεγεθών είναι η εύρεση της υποτείνουσας ενός τριγώνου. Θυμηθείτε ότι ένα τρίγωνο είναι ένα πολύεδρο που έχει τρεις γωνίες. Παρακάτω υπάρχουν διάφοροι τρόποι υπολογισμού της υποτείνουσας διαφόρων τριγώνων.

Αρχικά, ας δούμε πώς βρίσκουμε την υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου. Για όσους το έχουν ξεχάσει, ένα τρίγωνο με γωνία 90 μοιρών ονομάζεται ορθογώνιο τρίγωνο. Η πλευρά του τριγώνου που βρίσκεται στην απέναντι πλευρά της ορθής γωνίας ονομάζεται υποτείνουσα. Επιπλέον, είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου. Ανάλογα με τις γνωστές τιμές, το μήκος της υποτείνουσας υπολογίζεται ως εξής:

• Τα μήκη των ποδιών είναι γνωστά. Η υποτείνουσα σε αυτή την περίπτωση υπολογίζεται χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο έχει ως εξής: το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών. Αν θεωρήσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο BKF, όπου BK και KF είναι σκέλη, και FB είναι η υποτείνουσα, τότε FB2= BK2+ KF2. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι κατά τον υπολογισμό του μήκους της υποτείνουσας, κάθε μία από τις τιμές των ποδιών πρέπει να τετραγωνιστεί με τη σειρά. Στη συνέχεια, προσθέστε τους αριθμούς που μάθατε και εξάγετε την τετραγωνική ρίζα από το αποτέλεσμα.

Εξετάστε ένα παράδειγμα: Δίνεται ένα τρίγωνο με ορθή γωνία. Το ένα πόδι είναι 3 cm, το άλλο είναι 4 cm. Βρείτε την υποτείνουσα. Η λύση μοιάζει με αυτό.

FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2= 9cm2+16cm2=25cm2. Εξάγετε και λάβετε FB=5cm.

• Είναι γνωστό το σκέλος (ΒΚ) και η παρακείμενη σε αυτό γωνία, που σχηματίζεται από την υποτείνουσα και αυτό το σκέλος. Πώς να βρείτε την υποτείνουσα ενός τριγώνου; Ας συμβολίσουμε τη γνωστή γωνία α. Σύμφωνα με την ιδιότητα που δηλώνει ότι ο λόγος του μήκους του σκέλους προς το μήκος της υποτείνουσας είναι ίσος με το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ αυτού του σκέλους και της υποτείνουσας. Θεωρώντας ένα τρίγωνο, αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής: FB= BK*cos(α).
• Το σκέλος (KF) και η ίδια γωνία α είναι γνωστά, μόνο που τώρα θα είναι απέναντι. Πώς να βρείτε την υποτείνουσα σε αυτή την περίπτωση; Ας στραφούμε στις ίδιες ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου και ας ανακαλύψουμε ότι ο λόγος του μήκους του σκέλους προς το μήκος της υποτείνουσας είναι ίσος με το ημίτονο της γωνίας απέναντι από το σκέλος. Δηλαδή FB= KF * sin (α).

Ας δούμε ένα παράδειγμα. Δίνεται το ίδιο ορθογώνιο τρίγωνο BKF με την υποτείνουσα FB. Έστω η γωνία F ίση με 30 μοίρες, η δεύτερη γωνία Β αντιστοιχεί σε 60 μοίρες. Το πόδι BK είναι επίσης γνωστό, το μήκος του οποίου αντιστοιχεί σε 8 cm Η απαιτούμενη τιμή μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:

FB = BK /cos60 = 8 cm.
FB = BK /sin30 = 8 cm.

• Γνωστό (R), που περιγράφεται γύρω από ένα τρίγωνο με ορθή γωνία. Πώς να βρείτε την υποτείνουσα όταν εξετάζετε ένα τέτοιο πρόβλημα; Από την ιδιότητα ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα τρίγωνο με ορθή γωνία, είναι γνωστό ότι το κέντρο ενός τέτοιου κύκλου συμπίπτει με το σημείο της υποτείνουσας, διαιρώντας το στο μισό. Με απλά λόγια, η ακτίνα αντιστοιχεί στο μισό της υποτείνουσας. Άρα η υποτείνουσα είναι ίση με δύο ακτίνες. FB=2*R. Εάν σας δοθεί ένα παρόμοιο πρόβλημα στο οποίο δεν είναι γνωστή η ακτίνα, αλλά η διάμεσος, τότε θα πρέπει να δώσετε προσοχή στην ιδιότητα ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα τρίγωνο με ορθή γωνία, που λέει ότι η ακτίνα είναι ίση με τη διάμεσο που σχεδιάστηκε στην υποτείνουσα. Χρησιμοποιώντας όλες αυτές τις ιδιότητες, το πρόβλημα λύνεται με τον ίδιο τρόπο.

Εάν το ερώτημα είναι πώς να βρείτε την υποτείνουσα ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου, τότε πρέπει να στραφείτε στο ίδιο Πυθαγόρειο θεώρημα. Αλλά, πρώτα απ 'όλα, να θυμάστε ότι ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο που έχει δύο ίδιες πλευρές. Στην περίπτωση ορθογωνίου τριγώνου, οι πλευρές είναι ίσες. Έχουμε FB2= BK2+ KF2, αλλά αφού BK= KF έχουμε τα εξής: FB2=2 BK2, FB= BK√2

Όπως μπορείτε να δείτε, γνωρίζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα και τις ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου, η επίλυση προβλημάτων στα οποία είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το μήκος της υποτείνουσας είναι πολύ απλή. Εάν είναι δύσκολο να θυμάστε όλες τις ιδιότητες, μάθετε έτοιμους τύπους, αντικαθιστώντας γνωστές τιμές στις οποίες μπορείτε να υπολογίσετε το επιθυμητό μήκος της υποτείνουσας.