Τριγωνομετρικές τιμές. Εκφράσεις μέσω υπερβολικών συναρτήσεων

1. Τριγωνομετρικές συναρτήσειςεκπροσωπώ στοιχειώδεις λειτουργίες, του οποίου το επιχείρημα είναι γωνία. Με τη χρήση τριγωνομετρικές συναρτήσειςπεριγράφει τη σχέση μεταξύ των μερών και αιχμηρές γωνίεςσε ορθογώνιο τρίγωνο. Οι τομείς εφαρμογής των τριγωνομετρικών συναρτήσεων είναι εξαιρετικά διαφορετικοί. Για παράδειγμα, οποιεσδήποτε περιοδικές διεργασίες μπορούν να αναπαρασταθούν ως άθροισμα τριγωνομετρικών συναρτήσεων (σειρά Fourier). Αυτές οι συναρτήσεις εμφανίζονται συχνά κατά την επίλυση διαφορικών και συναρτησιακών εξισώσεων.

2. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις περιλαμβάνουν τις ακόλουθες 6 συναρτήσεις: κόλπος, συνημίτονο, εφαπτομένη γραμμή,συνεφαπτομένη, διατέμνωνΚαι συντεμνούσα. Για το καθένα καθορισμένες λειτουργίεςυπάρχει μια αντίστροφη τριγωνομετρική συνάρτηση.

3. Γεωμετρικός ορισμόςΟι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν εύκολα να εισαχθούν χρησιμοποιώντας κύκλος μονάδας. Το παρακάτω σχήμα δείχνει έναν κύκλο με ακτίνα r=1. Το σημείο M(x,y) σημειώνεται στον κύκλο. Η γωνία μεταξύ του διανύσματος ακτίνας OM και της θετικής κατεύθυνσης του άξονα Ox είναι ίση με α.

4. ΚόλποςΗ γωνία α είναι ο λόγος της τεταγμένης y του σημείου M(x,y) προς την ακτίνα r:
sinα=y/r.
Αφού r=1, τότε το ημίτονο ισούται με την τεταγμένη του σημείου M(x,y).

5. ΣυνημίτονοΗ γωνία α είναι ο λόγος της τετμημένης x του σημείου M(x,y) προς την ακτίνα r:
cosα=x/r

6. Εφαπτομένη γραμμήΗ γωνία α είναι ο λόγος της τεταγμένης y ενός σημείου M(x,y) προς την τετμημένη του x:
tana=y/x,x≠0

7. ΣυνεφαπτομένηΗ γωνία α είναι ο λόγος της τετμημένης x ενός σημείου M(x,y) προς την τεταγμένη του y:
cotα=x/y,y≠0

8. ΔιατέμνωνΗ γωνία α είναι ο λόγος της ακτίνας r προς την τετμημένη x του σημείου M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. ΣυντεμνούσαΗ γωνία α είναι ο λόγος της ακτίνας r προς την τεταγμένη y του σημείου M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10.Β κύκλος μονάδαςοι προβολές x, y του σημείου M(x,y) και η ακτίνα r σχηματίζουν ένα ορθογώνιο τρίγωνο στο οποίο x,y είναι τα σκέλη και r η υποτείνουσα. Επομένως, οι παραπάνω ορισμοί των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στο παράρτημα ορθογώνιο τρίγωνοδιατυπώνονται ως εξής:
ΚόλποςΗ γωνία α είναι ο λόγος της αντίθετης πλευράς προς την υποτείνουσα.
ΣυνημίτονοΗ γωνία α είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.
Εφαπτομένη γραμμήγωνία α ονομάζεται το αντίθετο σκέλος από το διπλανό.
Συνεφαπτομένηγωνία α ονομάζεται η διπλανή πλευρά στην απέναντι πλευρά.
ΔιατέμνωνΗ γωνία α είναι ο λόγος της υποτείνουσας προς το διπλανό σκέλος.
ΣυντεμνούσαΗ γωνία α είναι ο λόγος της υποτείνουσας προς το αντίθετο σκέλος.

11. Γράφημα της συνάρτησης ημιτόνου
y=sinx, πεδίο ορισμού: x∈R, εύρος τιμών: −1≤sinx≤1

12. Γράφημα της συνημίτονος
y=cosx, τομέας: x∈R, εύρος: −1≤cosx≤1

13. Γράφημα της εφαπτομένης συνάρτησης
y=tanx, τομέας: x∈R,x≠(2k+1)π/2, εύρος: −∞

14. Γράφημα της συνεπαπτομένης
y=cotx, τομέας: x∈R,x≠kπ, εύρος: −∞

15. Γράφημα της συνάρτησης τομής
y=secx, τομέας: x∈R,x≠(2k+1)π/2, εύρος: secx∈(−∞,−1]∪∪)