Παραδείγματα τριγωνομετρίας ενιαίων κρατικών εξετάσεων με λύσεις. Πώς να λύσετε τριγωνομετρικές εξισώσεις

Το μάθημα βίντεο "Get an A" περιλαμβάνει όλα τα απαραίτητα θέματα για την επιτυχή επιτυχία της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στα μαθηματικά με 60-65 βαθμούς. Πλήρως όλες οι εργασίες 1-13 του Προφίλ Unified State Exam στα μαθηματικά. Κατάλληλο και για επιτυχία στη Βασική Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά. Αν θέλετε να περάσετε τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους με 90-100 μόρια, πρέπει να λύσετε το μέρος 1 σε 30 λεπτά και χωρίς λάθη!

Μάθημα προετοιμασίας για την Ενιαία Κρατική Εξέταση για τις τάξεις 10-11, καθώς και για εκπαιδευτικούς. Όλα όσα χρειάζεστε για να λύσετε το Μέρος 1 της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στα μαθηματικά (τα πρώτα 12 προβλήματα) και το πρόβλημα 13 (τριγωνομετρία). Και αυτά είναι περισσότερα από 70 μόρια στην Ενιαία Κρατική Εξέταση και ούτε ένας μαθητής 100 βαθμών ούτε ένας φοιτητής ανθρωπιστικών επιστημών μπορεί να τα κάνει χωρίς αυτά.

Όλη η απαραίτητη θεωρία. Γρήγορες λύσεις, παγίδες και μυστικά της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Όλες οι τρέχουσες εργασίες του μέρους 1 από την τράπεζα εργασιών FIPI έχουν αναλυθεί. Το μάθημα συμμορφώνεται πλήρως με τις απαιτήσεις της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης 2018.

Το μάθημα περιέχει 5 μεγάλα θέματα, 2,5 ώρες το καθένα. Κάθε θέμα δίνεται από την αρχή, απλά και ξεκάθαρα.

Εκατοντάδες εργασίες Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Προβλήματα λέξεων και θεωρία πιθανοτήτων. Απλοί και εύκολοι στην απομνημόνευση αλγόριθμοι για την επίλυση προβλημάτων. Γεωμετρία. Θεωρία, υλικό αναφοράς, ανάλυση όλων των τύπων εργασιών Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Στερεομετρία. Δύσκολες λύσεις, χρήσιμα cheat sheets, ανάπτυξη χωρικής φαντασίας. Τριγωνομετρία από το μηδέν στο πρόβλημα 13. Κατανόηση αντί να στριμώχνω. Σαφείς εξηγήσεις περίπλοκων εννοιών. Αλγεβρα. Ρίζες, δυνάμεις και λογάριθμοι, συνάρτηση και παράγωγος. Μια βάση για την επίλυση σύνθετων προβλημάτων του Μέρους 2 της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης.

Μάθημα και παρουσίαση με θέμα: "Επίλυση απλών τριγωνομετρικών εξισώσεων"

Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τις κριτικές, τις επιθυμίες σας! Όλα τα υλικά έχουν ελεγχθεί από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.

Εγχειρίδια και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα Integral για τον βαθμό 10 από 1C
Λύνουμε προβλήματα γεωμετρίας. Διαδραστικές εργασίες για οικοδόμηση στο χώρο
Περιβάλλον λογισμικού "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Τι θα μελετήσουμε:
1. Τι είναι οι τριγωνομετρικές εξισώσεις;

3. Δύο βασικές μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.
4. Ομοιογενείς τριγωνομετρικές εξισώσεις.
5. Παραδείγματα.

Τι είναι οι τριγωνομετρικές εξισώσεις;

Παιδιά, έχουμε ήδη μελετήσει το arcsine, arccosine, arctangent και arccotangent. Ας δούμε τώρα τις τριγωνομετρικές εξισώσεις γενικά.

Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις είναι εξισώσεις στις οποίες μια μεταβλητή περιέχεται κάτω από το πρόσημο μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης.

Ας επαναλάβουμε τη μορφή επίλυσης των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων:

1)Αν |a|≤ 1, τότε η εξίσωση cos(x) = a έχει λύση:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Αν |a|≤ 1, τότε η εξίσωση sin(x) = a έχει λύση:

3) Αν |a| > 1, τότε η εξίσωση sin(x) = a και cos(x) = a δεν έχουν λύσεις 4) Η εξίσωση tg(x)=a έχει λύση: x=arctg(a)+ πk

5) Η εξίσωση ctg(x)=a έχει λύση: x=arcctg(a)+ πk

Για όλους τους τύπους το k είναι ακέραιος

Οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις έχουν τη μορφή: T(kx+m)=a, T είναι κάποια τριγωνομετρική συνάρτηση.

Παράδειγμα.

Λύστε τις εξισώσεις: α) sin(3x)= √3/2

Λύση:

Α) Ας συμβολίσουμε 3x=t και μετά θα ξαναγράψουμε την εξίσωσή μας με τη μορφή:

Η λύση αυτής της εξίσωσης θα είναι: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Από τον πίνακα τιμών παίρνουμε: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Ας επιστρέψουμε στη μεταβλητή μας: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Τότε x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Απάντηση: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, όπου n είναι ακέραιος. (-1)^n – μείον ένα στη δύναμη του n.

Περισσότερα παραδείγματα τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Λύστε τις εξισώσεις: α) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Λύση:

Α) Αυτή τη φορά ας προχωρήσουμε απευθείας στον υπολογισμό των ριζών της εξίσωσης:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Τότε x/5= πk => x=5πk

Απάντηση: x=5πk, όπου k είναι ακέραιος.

Β) Το γράφουμε με τη μορφή: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Γνωρίζουμε ότι: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Απάντηση: x=2π/9 + πk/3, όπου k είναι ακέραιος.

Λύστε τις εξισώσεις: cos(4x)= √2/2. Και βρείτε όλες τις ρίζες στο τμήμα.

Λύση:

Ας λύσουμε την εξίσωσή μας σε γενική μορφή: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Τώρα ας δούμε ποιες ρίζες πέφτουν στο τμήμα μας. Στο k Στο k=0, x= π/16, βρισκόμαστε στο δεδομένο τμήμα.
Με k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, ξαναχτυπάμε.
Για k=2, x= π/16+ π=17π/16, αλλά εδώ δεν χτυπήσαμε, που σημαίνει ότι για μεγάλο k επίσης προφανώς δεν θα χτυπήσουμε.

Απάντηση: x= π/16, x= 9π/16

Δύο βασικές μέθοδοι λύσης.

Εξετάσαμε τις απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις, αλλά υπάρχουν και πιο σύνθετες. Για την επίλυσή τους χρησιμοποιείται η μέθοδος εισαγωγής νέας μεταβλητής και η μέθοδος παραγοντοποίησης. Ας δούμε παραδείγματα.

Ας λύσουμε την εξίσωση:

Λύση:
Για να λύσουμε την εξίσωσή μας, θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο εισαγωγής μιας νέας μεταβλητής, που δηλώνει: t=tg(x).

Ως αποτέλεσμα της αντικατάστασης παίρνουμε: t 2 + 2t -1 = 0

Ας βρούμε τις ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: t=-1 και t=1/3

Τότε tg(x)=-1 και tg(x)=1/3, παίρνουμε την απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση, ας βρούμε τις ρίζες της.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Απάντηση: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Παράδειγμα επίλυσης εξίσωσης

Λύστε εξισώσεις: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Λύση:

Ας χρησιμοποιήσουμε την ταυτότητα: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Η εξίσωσή μας θα έχει τη μορφή: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Ας εισαγάγουμε την αντικατάσταση t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Η λύση της τετραγωνικής μας εξίσωσης είναι οι ρίζες: t=2 και t=-1/2

Τότε cos(x)=2 και cos(x)=-1/2.

Επειδή Το συνημίτονο δεν μπορεί να πάρει τιμές μεγαλύτερες από ένα, τότε το cos(x)=2 δεν έχει ρίζες.

Για cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Απάντηση: x= ±2π/3 + 2πk

Ομοιογενείς τριγωνομετρικές εξισώσεις.

Ορισμός: Οι εξισώσεις της μορφής a sin(x)+b cos(x) ονομάζονται ομοιογενείς τριγωνομετρικές εξισώσεις πρώτου βαθμού.

Εξισώσεις της φόρμας

ομοιογενείς τριγωνομετρικές εξισώσεις δεύτερου βαθμού.

Για να λύσετε μια ομοιογενή τριγωνομετρική εξίσωση πρώτου βαθμού, διαιρέστε την με το cos(x): Δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το συνημίτονο αν είναι ίσο με μηδέν, ας βεβαιωθούμε ότι δεν ισχύει αυτό:
Έστω cos(x)=0, τότε asin(x)+0=0 => sin(x)=0, αλλά το ημίτονο και το συνημίτονο δεν είναι ίσα με μηδέν ταυτόχρονα, παίρνουμε μια αντίφαση, ώστε να μπορούμε να διαιρέσουμε με ασφάλεια κατά μηδέν.

Λύστε την εξίσωση:
Παράδειγμα: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Λύση:

Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Τότε πρέπει να λύσουμε δύο εξισώσεις:

Cos(x)=0 και cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 στο x= π/2 + πk;

Θεωρήστε την εξίσωση cos(x)+sin(x)=0 Διαιρέστε την εξίσωσή μας με cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Απάντηση: x= π/2 + πk και x= -π/4+πk

Πώς να λύσετε ομοιογενείς τριγωνομετρικές εξισώσεις δεύτερου βαθμού;
Παιδιά, να ακολουθείτε πάντα αυτούς τους κανόνες!

1. Δείτε με τι ισούται ο συντελεστής a, αν a=0 τότε η εξίσωσή μας θα πάρει τη μορφή cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), ένα παράδειγμα της λύσης της οποίας βρίσκεται στην προηγούμενη διαφάνεια

2. Εάν a≠0, τότε πρέπει να διαιρέσετε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το συνημίτονο στο τετράγωνο, παίρνουμε:

Αλλάζουμε τη μεταβλητή t=tg(x) και παίρνουμε την εξίσωση:

Λύστε το παράδειγμα αρ.:3

Λύστε την εξίσωση:
Λύση:

Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το συνημίτονο:

Αλλάζουμε τη μεταβλητή t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Ας βρούμε τις ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: t=-3 και t=1

Τότε: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Απάντηση: x=-arctg(3) + πk και x= π/4+ πk

Λύστε το παράδειγμα αρ.:4

Λύστε την εξίσωση:

Λύση:
Ας μεταμορφώσουμε την έκφρασή μας:

Μπορούμε να λύσουμε τέτοιες εξισώσεις: x= - π/4 + 2πk και x=5π/4 + 2πk

Απάντηση: x= - π/4 + 2πk και x=5π/4 + 2πk

Λύστε το παράδειγμα αρ.:5

Λύστε την εξίσωση:

Λύση:
Ας μεταμορφώσουμε την έκφρασή μας:

Ας εισαγάγουμε την αντικατάσταση tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Η λύση της τετραγωνικής μας εξίσωσης θα είναι οι ρίζες: t=-2 και t=1/2

Τότε παίρνουμε: tg(2x)=-2 και tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Απάντηση: x=-arctg(2)/2 + πk/2 και x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση.

1) Λύστε την εξίσωση

Α) sin(7x)= 1/2 β) cos(3x)= √3/2 γ) cos(-x) = -1 δ) tg(4x) = √3 δ) ctg(0.5x) = -1.7

2) Λύστε τις εξισώσεις: sin(3x)= √3/2. Και βρείτε όλες τις ρίζες στο τμήμα [π/2; π].

3) Λύστε την εξίσωση: κούνια 2 (x) + 2 κούνια (x) + 1 =0

4) Λύστε την εξίσωση: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Λύστε την εξίσωση: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Λύστε την εξίσωση: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Έννοια επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.

• Για να λύσετε μια τριγωνομετρική εξίσωση, μετατρέψτε την σε μία ή περισσότερες βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις. Η επίλυση μιας τριγωνομετρικής εξίσωσης καταλήγει τελικά στην επίλυση των τεσσάρων βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Επίλυση βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων.

• Υπάρχουν 4 τύποι βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων:
• sin x = a; cos x = α
• tan x = a; ctg x = α
• Η επίλυση βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων περιλαμβάνει την εξέταση διαφορετικών θέσεων x στον κύκλο της μονάδας, καθώς και τη χρήση ενός πίνακα μετατροπών (ή αριθμομηχανής).
• Παράδειγμα 1. sin x = 0,866. Χρησιμοποιώντας έναν πίνακα μετατροπών (ή αριθμομηχανή) θα λάβετε την απάντηση: x = π/3. Ο μοναδιαίος κύκλος δίνει άλλη απάντηση: 2π/3. Θυμηθείτε: όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές, δηλαδή οι τιμές τους επαναλαμβάνονται. Για παράδειγμα, η περιοδικότητα των sin x και cos x είναι 2πn και η περιοδικότητα των tg x και ctg x είναι πn. Επομένως η απάντηση γράφεται ως εξής:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Παράδειγμα 2. cos x = -1/2. Χρησιμοποιώντας έναν πίνακα μετατροπών (ή αριθμομηχανή) θα λάβετε την απάντηση: x = 2π/3. Ο μοναδιαίος κύκλος δίνει άλλη απάντηση: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Παράδειγμα 3. tg (x - π/4) = 0.
• Απάντηση: x = π/4 + πn.
• Παράδειγμα 4. ctg 2x = 1,732.
• Απάντηση: x = π/12 + πn.

Μετασχηματισμοί που χρησιμοποιούνται στην επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων.

• Για τον μετασχηματισμό τριγωνομετρικών εξισώσεων χρησιμοποιούνται αλγεβρικοί μετασχηματισμοί (παραγοντοποίηση, αναγωγή ομοιογενών όρων κ.λπ.) και τριγωνομετρικές ταυτότητες.
• Παράδειγμα 5: Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές ταυτότητες, η εξίσωση sin x + sin 2x + sin 3x = 0 μετατρέπεται στην εξίσωση 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Έτσι, οι ακόλουθες βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις πρέπει να λυθεί: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Εύρεση γωνιών χρησιμοποιώντας γνωστές τιμές συνάρτησης.

  • Πριν μάθετε πώς να λύνετε τριγωνομετρικές εξισώσεις, πρέπει να μάθετε πώς να βρίσκετε γωνίες χρησιμοποιώντας γνωστές τιμές συνάρτησης. Αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας έναν πίνακα μετατροπών ή μια αριθμομηχανή.
  • Παράδειγμα: cos x = 0,732. Η αριθμομηχανή θα δώσει την απάντηση x = 42,95 μοίρες. Ο μοναδιαίος κύκλος θα δώσει πρόσθετες γωνίες, το συνημίτονο του οποίου είναι επίσης 0,732.

• Αφήστε το διάλυμα στην άκρη στον κύκλο της μονάδας.

  • Μπορείτε να σχεδιάσετε λύσεις σε μια τριγωνομετρική εξίσωση στον μοναδιαίο κύκλο. Οι λύσεις μιας τριγωνομετρικής εξίσωσης στον μοναδιαίο κύκλο είναι οι κορυφές ενός κανονικού πολυγώνου.
  • Παράδειγμα: Οι λύσεις x = π/3 + πn/2 στον μοναδιαίο κύκλο αντιπροσωπεύουν τις κορυφές του τετραγώνου.
  • Παράδειγμα: Οι λύσεις x = π/4 + πn/3 στον μοναδιαίο κύκλο αντιπροσωπεύουν τις κορυφές ενός κανονικού εξαγώνου.

• Μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.

  • Εάν μια δεδομένη τριγωνομετρική εξίσωση περιέχει μόνο μία τριγωνομετρική συνάρτηση, λύστε αυτή την εξίσωση ως βασική τριγωνομετρική εξίσωση. Εάν μια δεδομένη εξίσωση περιλαμβάνει δύο ή περισσότερες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, τότε υπάρχουν 2 μέθοδοι για την επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης (ανάλογα με την πιθανότητα μετασχηματισμού της).
    • Μέθοδος 1.
  • Μετατρέψτε αυτή την εξίσωση σε εξίσωση της μορφής: f(x)*g(x)*h(x) = 0, όπου f(x), g(x), h(x) είναι οι βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις.
  • Παράδειγμα 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Λύση. Χρησιμοποιώντας τον τύπο διπλής γωνίας sin 2x = 2*sin x*cos x, αντικαταστήστε το sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Λύστε τώρα τις δύο βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις: cos x = 0 και (sin x + 1) = 0.
  • Παράδειγμα 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Λύση: Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές ταυτότητες, μετατρέψτε αυτή την εξίσωση σε εξίσωση της μορφής: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Τώρα λύστε τις δύο βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις: cos 2x = 0 και (2cos x + 1) = 0.
  • Παράδειγμα 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Λύση: Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές ταυτότητες, μετατρέψτε αυτή την εξίσωση σε μια εξίσωση της μορφής: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Τώρα λύστε τις δύο βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις: cos 2x = 0 και (2sin x + 1) = 0 .
    • Μέθοδος 2.
  • Μετατρέψτε τη δεδομένη τριγωνομετρική εξίσωση σε εξίσωση που περιέχει μόνο μία τριγωνομετρική συνάρτηση. Στη συνέχεια, αντικαταστήστε αυτήν την τριγωνομετρική συνάρτηση με κάποια άγνωστη, για παράδειγμα t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t, κ.λπ.).
  • Παράδειγμα 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Λύση. Σε αυτήν την εξίσωση, αντικαταστήστε το (cos^2 x) με το (1 - sin^2 x) (σύμφωνα με την ταυτότητα). Η μετασχηματισμένη εξίσωση είναι:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Αντικαταστήστε το sin x με t. Τώρα η εξίσωση μοιάζει με: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Αυτή είναι μια τετραγωνική εξίσωση που έχει δύο ρίζες: t1 = -1 και t2 = 9/5. Η δεύτερη ρίζα t2 δεν ικανοποιεί το εύρος συναρτήσεων (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Παράδειγμα 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Λύση. Αντικαταστήστε το tg x με το t. Ξαναγράψτε την αρχική εξίσωση ως εξής: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Τώρα βρείτε το t και μετά βρείτε το x για t = tan x.

Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις δεν είναι εύκολο θέμα. Είναι πολύ διαφορετικά.) Για παράδειγμα, αυτά:

αμαρτία 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = κούνια(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Και τα λοιπά...

Όμως αυτά (και όλα τα άλλα) τριγωνομετρικά τέρατα έχουν δύο κοινά και υποχρεωτικά χαρακτηριστικά. Πρώτον - δεν θα το πιστέψετε - υπάρχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις στις εξισώσεις.) Δεύτερον: όλες οι εκφράσεις με x βρίσκονται μέσα σε αυτές τις ίδιες λειτουργίες.Και μόνο εκεί! Αν κάπου εμφανίζεται το Χ εξω απο,Για παράδειγμα, sin2x + 3x = 3,αυτή θα είναι ήδη μια εξίσωση μικτού τύπου. Τέτοιες εξισώσεις απαιτούν ατομική προσέγγιση. Δεν θα τα εξετάσουμε εδώ.

Δεν θα λύσουμε κακές εξισώσεις ούτε σε αυτό το μάθημα.) Εδώ θα ασχοληθούμε οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις.Γιατί; Ναι γιατί η λύση όποιοςΟι τριγωνομετρικές εξισώσεις αποτελούνται από δύο στάδια. Στο πρώτο στάδιο, η εξίσωση του κακού μειώνεται σε απλή μέσω ποικίλων μετασχηματισμών. Στη δεύτερη, λύνεται αυτή η απλούστερη εξίσωση. Δεν έχει άλλο τρόπο.

Έτσι, εάν έχετε προβλήματα στο δεύτερο στάδιο, το πρώτο στάδιο δεν έχει πολύ νόημα.)

Πώς μοιάζουν οι στοιχειώδεις τριγωνομετρικές εξισώσεις;

sinx = α

cosx = α

tgx = α

ctgx = α

Εδώ ΕΝΑ σημαίνει οποιονδήποτε αριθμό. Οποιος.

Παρεμπιπτόντως, μέσα σε μια συνάρτηση μπορεί να μην υπάρχει ένα καθαρό X, αλλά κάποιο είδος έκφρασης, όπως:

cos(3x+π /3) = 1/2

και τα λοιπά. Αυτό περιπλέκει τη ζωή, αλλά δεν επηρεάζει τη μέθοδο επίλυσης μιας τριγωνομετρικής εξίσωσης.

Πώς να λύσετε τριγωνομετρικές εξισώσεις;

Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις μπορούν να λυθούν με δύο τρόπους. Ο πρώτος τρόπος: χρησιμοποιώντας τη λογική και τον τριγωνομετρικό κύκλο. Θα δούμε αυτό το μονοπάτι εδώ. Ο δεύτερος τρόπος - χρησιμοποιώντας μνήμη και τύπους - θα εξεταστεί σε επόμενο μάθημα.

Ο πρώτος τρόπος είναι σαφής, αξιόπιστος και δύσκολος να ξεχαστεί.) Είναι καλός για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων, ανισώσεων και όλων των ειδών δύσκολων μη τυπικών παραδειγμάτων. Η λογική είναι πιο δυνατή από τη μνήμη!)

Επίλυση εξισώσεων με χρήση τριγωνομετρικού κύκλου.

Περιλαμβάνουμε τη στοιχειώδη λογική και τη δυνατότητα χρήσης του τριγωνομετρικού κύκλου. Δεν ξέρεις πώς; Ωστόσο... Θα δυσκολευτείτε στην τριγωνομετρία...) Αλλά δεν πειράζει. Ρίξτε μια ματιά στα μαθήματα "Τριγωνομετρικός κύκλος...... Τι είναι;"Και «Μετρώντας γωνίες σε τριγωνομετρικό κύκλο».Όλα είναι απλά εκεί. Σε αντίθεση με τα σχολικά βιβλία...)

Α, ξέρεις! Και μάλιστα το κατέκτησαν "Πρακτική εργασία με τον τριγωνομετρικό κύκλο"!? Συγχαρητήρια. Αυτό το θέμα θα είναι κοντινό και κατανοητό σε εσάς.) Αυτό που είναι ιδιαίτερα ευχάριστο είναι ότι ο τριγωνομετρικός κύκλος δεν ενδιαφέρεται για την εξίσωση που θα λύσετε. Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη - όλα είναι ίδια για αυτόν. Υπάρχει μόνο μια αρχή λύσης.

Παίρνουμε λοιπόν οποιαδήποτε στοιχειώδη τριγωνομετρική εξίσωση. Τουλάχιστον αυτό:

cosx = 0,5

Πρέπει να βρούμε το Χ. Μιλώντας στην ανθρώπινη γλώσσα, χρειάζεστε Να βρείτε τη γωνία (x) της οποίας το συνημίτονο είναι 0,5.

Πώς χρησιμοποιούσαμε προηγουμένως τον κύκλο; Σχεδιάσαμε μια γωνία πάνω του. Σε μοίρες ή ακτίνια. Και αμέσως είδε τριγωνομετρικές συναρτήσεις αυτής της γωνίας. Τώρα ας κάνουμε το αντίθετο. Ας σχεδιάσουμε ένα συνημίτονο στον κύκλο ίσο με 0,5 και αμέσως θα δούμε γωνία. Το μόνο που μένει είναι να γράψετε την απάντηση.) Ναι, ναι!

Σχεδιάστε έναν κύκλο και σημειώστε το συνημίτονο ίσο με 0,5. Στον άξονα συνημιτόνου, φυσικά. Σαν αυτό:

Τώρα ας σχεδιάσουμε τη γωνία που μας δίνει αυτό το συνημίτονο. Τοποθετήστε το ποντίκι σας πάνω από την εικόνα (ή αγγίξτε την εικόνα στο tablet σας) και θα δείτεαυτή ακριβώς τη γωνιά Χ.

Το συνημίτονο ποιας γωνίας είναι 0,5;

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Κάποιοι θα γελάσουν με σκεπτικισμό, ναι... Όπως, άξιζε να γίνει ένας κύκλος όταν όλα είναι ήδη ξεκάθαρα... Μπορείτε, φυσικά, να γελάσετε...) Αλλά το γεγονός είναι ότι αυτή είναι μια λανθασμένη απάντηση. Ή μάλλον ανεπαρκής. Οι γνώστες του κύκλου καταλαβαίνουν ότι υπάρχουν πολλές άλλες γωνίες εδώ που δίνουν επίσης συνημίτονο 0,5.

Εάν στρίψετε την κινούμενη πλευρά ΟΑ πλήρης στροφή, το σημείο Α θα επιστρέψει στην αρχική του θέση. Με το ίδιο συνημίτονο ίσο με 0,5. Εκείνοι. η γωνία θα αλλάξεικατά 360° ή 2π ακτίνια, και συνημίτονο - όχι.Η νέα γωνία 60° + 360° = 420° θα είναι επίσης μια λύση στην εξίσωσή μας, επειδή

Ένας άπειρος αριθμός τέτοιων πλήρους περιστροφών μπορεί να γίνει... Και όλες αυτές οι νέες γωνίες θα είναι λύσεις στην τριγωνομετρική μας εξίσωση. Και όλα πρέπει να καταγραφούν με κάποιο τρόπο ως απάντηση. Ολα.Διαφορετικά, η απόφαση δεν μετράει, ναι...)

Τα μαθηματικά μπορούν να το κάνουν αυτό απλά και κομψά. Γράψτε σε μια σύντομη απάντηση άπειρο σύνολοαποφάσεις. Εδώ είναι πώς φαίνεται για την εξίσωσή μας:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Θα το αποκρυπτογραφήσω. Γράψε ακόμα με νόημαΕίναι πιο ευχάριστο από το να ζωγραφίζεις ανόητα μερικά μυστηριώδη γράμματα, σωστά;)

π /3 - Αυτή είναι η ίδια γωνιά με εμάς είδεστον κύκλο και προσδιορίζεταισύμφωνα με τον συνημίτονο πίνακα.

2π είναι μια πλήρης περιστροφή σε ακτίνια.

n - αυτός είναι ο αριθμός των πλήρων, δηλ. ολόκληροςσ.α.λ Είναι ξεκάθαρο ότι n μπορεί να είναι ίσο με 0, ±1, ±2, ±3.... και ούτω καθεξής. Όπως υποδεικνύεται από τη σύντομη καταχώρηση:

n ∈ Z

n ανήκει ( ∈ ) σύνολο ακεραίων ( Ζ ). Παρεμπιπτόντως, αντί για το γράμμα n γράμματα μπορεί κάλλιστα να χρησιμοποιηθούν κ, μ, τ και τα λοιπά.

Αυτή η σημείωση σημαίνει ότι μπορείτε να πάρετε οποιονδήποτε ακέραιο n . Τουλάχιστον -3, τουλάχιστον 0, τουλάχιστον +55. Ο, τι θέλεις. Εάν αντικαταστήσετε αυτόν τον αριθμό στην απάντηση, θα λάβετε μια συγκεκριμένη γωνία, η οποία σίγουρα θα είναι η λύση στην σκληρή μας εξίσωση.)

Ή, με άλλα λόγια, x = π /3 είναι η μόνη ρίζα ενός άπειρου συνόλου. Για να λάβετε όλες τις άλλες ρίζες, αρκεί να προσθέσετε οποιονδήποτε αριθμό πλήρους περιστροφών στο π /3 ( n ) σε ακτίνια. Εκείνοι. 2πn ακτίνιο.

Ολα; Οχι. Παρατείνω επίτηδες την ευχαρίστηση. Για να θυμόμαστε καλύτερα.) Λάβαμε μόνο μέρος των απαντήσεων στην εξίσωσή μας. Θα γράψω αυτό το πρώτο μέρος της λύσης ως εξής:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - όχι μόνο μία ρίζα, αλλά μια ολόκληρη σειρά από ρίζες, γραμμένες σε σύντομη μορφή.

Υπάρχουν όμως και γωνίες που δίνουν και συνημίτονο 0,5!

Ας επιστρέψουμε στην εικόνα μας από την οποία γράψαμε την απάντηση. Εδώ είναι:

Τοποθετήστε το ποντίκι σας πάνω από την εικόνα και βλέπουμεμια άλλη γωνία που δίνει επίσης συνημίτονο 0,5.Με τι πιστεύετε ότι ισούται; Τα τρίγωνα είναι ίδια... Ναι! Είναι ίσο με τη γωνία Χ , καθυστέρησε μόνο προς την αρνητική κατεύθυνση. Αυτή είναι η γωνία -Χ. Αλλά έχουμε ήδη υπολογίσει το x. π /3 ή 60°. Επομένως, μπορούμε να γράψουμε με ασφάλεια:

x 2 = - π /3

Λοιπόν, φυσικά, προσθέτουμε όλες τις γωνίες που λαμβάνονται μέσω πλήρους περιστροφών:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Αυτό είναι όλο τώρα.) Στον τριγωνομετρικό κύκλο εμείς είδε(ποιος καταλαβαίνει φυσικά)) Ολαγωνίες που δίνουν συνημίτονο 0,5. Και καταγράψαμε αυτές τις γωνίες σε μια σύντομη μαθηματική μορφή. Η απάντηση είχε ως αποτέλεσμα δύο άπειρες σειρές ριζών:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Αυτή είναι η σωστή απάντηση.

Ελπίδα, γενική αρχή για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεωνη χρήση κύκλου είναι σαφής. Σημειώνουμε το συνημίτονο (ημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη) από τη δεδομένη εξίσωση σε κύκλο, σχεδιάζουμε τις γωνίες που του αντιστοιχούν και σημειώνουμε την απάντηση.Φυσικά, πρέπει να καταλάβουμε τι γωνίες είμαστε είδεστον κύκλο. Μερικές φορές δεν είναι τόσο προφανές. Λοιπόν, είπα ότι εδώ απαιτείται λογική.)

Για παράδειγμα, ας δούμε μια άλλη τριγωνομετρική εξίσωση:

Λάβετε υπόψη σας ότι ο αριθμός 0,5 δεν είναι ο μόνος δυνατός αριθμός στις εξισώσεις!) Απλώς είναι πιο βολικό για μένα να τον γράφω από τις ρίζες και τα κλάσματα.

Δουλεύουμε σύμφωνα με τη γενική αρχή. Σχεδιάζουμε έναν κύκλο, σημειώνουμε (στον ημιτονοειδή άξονα, φυσικά!) 0,5. Σχεδιάζουμε όλες τις γωνίες που αντιστοιχούν σε αυτό το ημίτονο ταυτόχρονα. Παίρνουμε αυτή την εικόνα:

Ας ασχοληθούμε πρώτα με τη γωνία Χ στο πρώτο τρίμηνο. Ας θυμηθούμε πίνακας ημιτόνωνκαι προσδιορίστε την τιμή αυτής της γωνίας. Είναι απλό το θέμα:

x = π /6

Θυμόμαστε τις πλήρεις στροφές και, με καθαρή συνείδηση, γράφουμε την πρώτη σειρά απαντήσεων:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Η μισή δουλειά έχει γίνει. Τώρα όμως πρέπει να προσδιορίσουμε δεύτερη γωνία...Είναι πιο δύσκολο από το να χρησιμοποιούμε συνημίτονα, ναι... Αλλά η λογική θα μας σώσει! Πώς να προσδιορίσετε τη δεύτερη γωνία μέσω x; Ναι Εύκολα! Τα τρίγωνα στην εικόνα είναι τα ίδια και η κόκκινη γωνία Χ ίσο με γωνία Χ . Μόνο που μετράται από τη γωνία π στην αρνητική κατεύθυνση. Γι' αυτό είναι κόκκινο.) Και για την απάντηση χρειαζόμαστε μια γωνία, μετρημένη σωστά, από τον θετικό ημιάξονα ΟΧ, δηλ. από γωνία 0 μοιρών.

Περνάμε τον κέρσορα πάνω από το σχέδιο και βλέπουμε τα πάντα. Αφαίρεσα την πρώτη γωνία για να μην περιπλέκω την εικόνα. Η γωνία που μας ενδιαφέρει (με πράσινο χρώμα) θα είναι ίση με:

π - x

Χ το ξέρουμε αυτό π /6 . Επομένως, η δεύτερη γωνία θα είναι:

π - π /6 = 5π /6

Και πάλι θυμόμαστε την προσθήκη πλήρων περιστροφών και γράφουμε τη δεύτερη σειρά απαντήσεων:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Αυτό είναι όλο. Μια πλήρης απάντηση αποτελείται από δύο σειρές ριζών:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Οι εξισώσεις εφαπτομένης και συνεφαπτομένης μπορούν εύκολα να λυθούν χρησιμοποιώντας την ίδια γενική αρχή για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων. Αν, φυσικά, ξέρεις να σχεδιάζεις εφαπτομένη και συνεφαπτομένη στον τριγωνομετρικό κύκλο.

Στα παραπάνω παραδείγματα, χρησιμοποίησα την τιμή του πίνακα του ημιτόνου και του συνημίτονου: 0,5. Εκείνοι. μια από αυτές τις έννοιες που γνωρίζει ο μαθητής πρέπει.Τώρα ας επεκτείνουμε τις δυνατότητές μας σε όλες τις άλλες αξίες.Αποφασίστε, αποφασίστε λοιπόν!)

Λοιπόν, ας πούμε ότι πρέπει να λύσουμε αυτήν την τριγωνομετρική εξίσωση:

Δεν υπάρχει τέτοια τιμή συνημίτονου στους σύντομους πίνακες. Αγνοούμε ψυχρά αυτό το τρομερό γεγονός. Σχεδιάστε έναν κύκλο, σημειώστε τα 2/3 στον άξονα συνημιτόνου και σχεδιάστε τις αντίστοιχες γωνίες. Παίρνουμε αυτή την εικόνα.

Ας δούμε, πρώτα, τη γωνία στο πρώτο τρίμηνο. Αν ξέραμε με τι ισούται το x, θα γράφαμε αμέσως την απάντηση! Δεν ξέρουμε... Αποτυχία!; Ηρεμία! Τα μαθηματικά δεν αφήνουν τους δικούς τους ανθρώπους σε μπελάδες! Βρήκε συνημίτονα τόξου για αυτή την περίπτωση. Δεν ξέρω; Μάταια. Μάθετε, είναι πολύ πιο εύκολο από όσο νομίζετε. Δεν υπάρχει ούτε ένα δύσκολο ξόρκι για τις «αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις» σε αυτόν τον σύνδεσμο... Αυτό είναι περιττό σε αυτό το θέμα.

Εάν το γνωρίζετε, απλώς πείτε στον εαυτό σας: «Το X είναι μια γωνία της οποίας το συνημίτονο είναι ίσο με 2/3». Και αμέσως, καθαρά με τον ορισμό του συνημιτόνου τόξου, μπορούμε να γράψουμε:

Θυμόμαστε τις πρόσθετες περιστροφές και καταγράφουμε ήρεμα την πρώτη σειρά ριζών της τριγωνομετρικής μας εξίσωσης:

x 1 = τόξο 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Η δεύτερη σειρά ριζών για τη δεύτερη γωνία καταγράφεται σχεδόν αυτόματα. Όλα είναι ίδια, μόνο το X (arccos 2/3) θα είναι με ένα μείον:

x 2 = - τόξο 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Και τέλος! Αυτή είναι η σωστή απάντηση. Ακόμα πιο εύκολο από ό,τι με τις τιμές του πίνακα. Δεν χρειάζεται να θυμάστε τίποτα.) Παρεμπιπτόντως, οι πιο προσεκτικοί θα παρατηρήσουν ότι αυτή η εικόνα δείχνει τη λύση μέσω του συνημιτόνου τόξου στην ουσία, δεν διαφέρει από την εικόνα για την εξίσωση cosx = 0,5.

Ακριβώς! Η γενική αρχή είναι ακριβώς αυτή! Σχεδίασα επίτηδες δύο σχεδόν ίδιες εικόνες. Ο κύκλος μας δείχνει τη γωνία Χ από το συνημίτονό του. Το αν είναι πίνακας συνημίτονο ή όχι είναι άγνωστο σε όλους. Τι είδους γωνία είναι αυτή, π /3, ή τι συνημίτονο τόξου είναι - αυτό εξαρτάται από εμάς να αποφασίσουμε.

Το ίδιο τραγούδι με το sine. Για παράδειγμα:

Σχεδιάστε ξανά έναν κύκλο, σημειώστε το ημίτονο ίσο με το 1/3, σχεδιάστε τις γωνίες. Αυτή είναι η εικόνα που έχουμε:

Και πάλι η εικόνα είναι σχεδόν ίδια με την εξίσωση sinx = 0,5.Και πάλι ξεκινάμε από τη γωνία στο πρώτο δεκάλεπτο. Τι ισούται με το Χ αν το ημίτονο του είναι 1/3; Κανένα πρόβλημα!

Τώρα το πρώτο πακέτο ριζών είναι έτοιμο:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Ας ασχοληθούμε με τη δεύτερη γωνία. Στο παράδειγμα με τιμή πίνακα 0,5, ήταν ίση με:

π - x

Ακριβώς το ίδιο θα είναι και εδώ! Μόνο το x είναι διαφορετικό, arcsin 1/3. Και λοιπόν!; Μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια το δεύτερο πακέτο ριζών:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Αυτή είναι μια απολύτως σωστή απάντηση. Αν και δεν φαίνεται πολύ οικείο. Αλλά είναι ξεκάθαρο, ελπίζω.)

Έτσι λύνονται οι τριγωνομετρικές εξισώσεις χρησιμοποιώντας έναν κύκλο. Αυτή η διαδρομή είναι ξεκάθαρη και κατανοητή. Είναι αυτός που αποθηκεύει σε τριγωνομετρικές εξισώσεις με την επιλογή των ριζών σε ένα δεδομένο διάστημα, σε τριγωνομετρικές ανισότητες - γενικά λύνονται σχεδόν πάντα σε κύκλο. Με λίγα λόγια, σε όποιες εργασίες είναι λίγο πιο δύσκολες από τις τυπικές.

Ας εφαρμόσουμε τη γνώση στην πράξη;)

Λύστε τριγωνομετρικές εξισώσεις:

Πρώτον, πιο απλό, κατευθείαν από αυτό το μάθημα.

Τώρα είναι πιο περίπλοκο.

Συμβουλή: εδώ θα πρέπει να σκεφτείτε τον κύκλο. Προσωπικά.)

Και τώρα είναι εξωτερικά απλά... Λέγονται και ειδικές περιπτώσεις.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Συμβουλή: εδώ πρέπει να υπολογίσετε σε κύκλο πού υπάρχουν δύο σειρές απαντήσεων και πού μία... Και πώς να γράψετε μία αντί για δύο σειρές απαντήσεων. Ναι, για να μην χαθεί ούτε μια ρίζα από έναν άπειρο αριθμό!)

Λοιπόν, πολύ απλό):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Συμβουλή: εδώ πρέπει να ξέρετε Τι είναι το arcsine, arccosine; Τι είναι arctangent, arccotangent;Οι απλούστεροι ορισμοί. Αλλά δεν χρειάζεται να θυμάστε καμία τιμή πίνακα!)

Οι απαντήσεις είναι, φυσικά, ένα χάος):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Δεν πάνε όλα καλά; Συμβαίνει. Διαβάστε ξανά το μάθημα. Μόνο σκεπτικώς(υπάρχει μια τόσο ξεπερασμένη λέξη...) Και ακολουθήστε τους συνδέσμους. Οι κύριοι σύνδεσμοι αφορούν τον κύκλο. Χωρίς αυτό, η τριγωνομετρία είναι σαν να διασχίζεις το δρόμο με δεμένα μάτια. Μερικές φορές λειτουργεί.)

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.