Νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής. Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων
Τυχαία μεταβλητή είναι μια μεταβλητή που μπορεί να λάβει ορισμένες τιμές ανάλογα με τις διάφορες συνθήκες και με τη σειρά της, μια τυχαία μεταβλητή ονομάζεται διακεκριμένος , εάν το σύνολο των τιμών του είναι πεπερασμένο ή μετρήσιμο.
Εκτός από διακριτές τυχαίες μεταβλητές, υπάρχουν και συνεχείς τυχαίες μεταβλητές.
Ας εξετάσουμε λεπτομερέστερα την έννοια της τυχαίας μεταβλητής. Στην πράξη, υπάρχουν συχνά ποσότητες που μπορούν να λάβουν ορισμένες τιμές, αλλά είναι αδύνατο να προβλεφθεί αξιόπιστα ποια αξία θα λάβει το καθένα από αυτά στην υπό εξέταση εμπειρία, φαινόμενο ή παρατήρηση. Για παράδειγμα, ο αριθμός των αγοριών που θα γεννηθούν στη Μόσχα την επόμενη μέρα μπορεί να διαφέρει. Μπορεί να είναι ίσο με μηδέν (δεν θα γεννηθεί ούτε ένα αγόρι: όλα τα κορίτσια θα γεννηθούν ή δεν θα υπάρχουν καθόλου νεογέννητα), ένα, δύο και ούτω καθεξής μέχρι κάποιο πεπερασμένο αριθμό n. Τέτοιες τιμές περιλαμβάνουν: τη μάζα των ριζών ζαχαρότευτλων στην τοποθεσία, το εύρος πτήσης μιας οβίδας πυροβολικού, τον αριθμό των ελαττωματικών εξαρτημάτων σε μια παρτίδα και ούτω καθεξής. Τέτοιες ποσότητες θα τις ονομάζουμε τυχαίες. Χαρακτηρίζουν όλα τα πιθανά αποτελέσματα εμπειρίας ή παρατήρησης από ποσοτική άποψη.
Παραδείγματα διακριτών τυχαίων μεταβλητών με πεπερασμένο αριθμό τιμών μπορεί να είναι ο αριθμός των παιδιών που γεννήθηκαν κατά τη διάρκεια της ημέρας σε μια κατοικημένη περιοχή, ο αριθμός των επιβατών του λεωφορείου, ο αριθμός των επιβατών που μεταφέρονται από το μετρό της Μόσχας ανά ημέρα κ.λπ.
Ο αριθμός των τιμών μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής μπορεί να είναι ένα άπειρο, αλλά μετρήσιμο σύνολο. Αλλά σε κάθε περίπτωση, μπορούν να αριθμηθούν με κάποια σειρά ή, πιο συγκεκριμένα, μπορεί να καθοριστεί μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής και των φυσικών αριθμών 1, 2, 3, ... , n.
Προσοχή: μια νέα, πολύ σημαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων - νόμος διανομής
. Αφήνω Χμπορεί να δεχθεί nαξίες: . Θα υποθέσουμε ότι είναι όλα διαφορετικά (αλλιώς θα πρέπει να συνδυάζονται τα ίδια) και ταξινομημένα σε αύξουσα σειρά. Για τον πλήρη χαρακτηρισμό μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής όχι μόνο πρέπει να προσδιορίζονται όλες οι τιμές του, αλλά και οι πιθανότητες
, με την οποία η τυχαία μεταβλητή παίρνει καθεμία από τις τιμές, δηλ. 
.
Νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής καλείται οποιοσδήποτε κανόνας (συνάρτηση, πίνακας). Π(Χ), το οποίο σας επιτρέπει να βρείτε τις πιθανότητες όλων των ειδών συμβάντων που σχετίζονται με μια τυχαία μεταβλητή (για παράδειγμα, την πιθανότητα να είναι παράδειγμα κάποιας τιμής ή να εμπίπτει σε κάποιο διάστημα).
Είναι πιο απλό και βολικό να ορίσετε τον νόμο κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής με τη μορφή του παρακάτω πίνακα:
| Εννοια | ... | |||
| Πιθανότητα | ... |
Αυτός ο πίνακας ονομάζεται κοντά στην κατανομή μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής. Η επάνω γραμμή της σειράς διανομής παραθέτει με αύξουσα σειρά όλες τις πιθανές τιμές της διακριτής τυχαίας μεταβλητής (x) και η κάτω γραμμή παραθέτει τις πιθανότητες αυτών των τιμών ( Π).
Εκδηλώσεις 
είναι ασυμβίβαστα και τα μόνα δυνατά: αποτελούν ένα πλήρες σύστημα γεγονότων. Επομένως, το άθροισμα των πιθανοτήτων τους είναι ίσο με μία:
.
Παράδειγμα 1.Διοργανώθηκε κλήρωση στη μαθητική ομάδα. Δύο αντικείμενα αξίας 1.000 RUB είναι προς πώληση. και ένα κοστίζει 3.000 ρούβλια. Συντάξτε έναν νόμο διανομής για το ποσό των καθαρών κερδών για έναν μαθητή που αγόρασε ένα εισιτήριο για 100 ρούβλια. Συνολικά κόπηκαν 50 εισιτήρια.
Λύση. Η τυχαία μεταβλητή που μας ενδιαφέρει είναι Χμπορεί να πάρει τρεις τιμές: - 100 τρίψτε. (εάν ο μαθητής δεν κερδίσει, αλλά στην πραγματικότητα χάσει 100 ρούβλια που πληρώθηκαν για το εισιτήριο), 900 ρούβλια. και 2900 τρίψτε. (τα πραγματικά κέρδη μειώνονται κατά 100 ρούβλια - με το κόστος του εισιτηρίου). Το πρώτο αποτέλεσμα ευνοείται 47 φορές στις 50, το δεύτερο - 2 και το τρίτο - μία. Επομένως οι πιθανότητες τους είναι: Π(Χ=-100)=47/50=0,94 , Π(Χ=900)=2/50=0,04 , Π(Χ=2900)=1/50=0,02 .
Νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χμοιάζει με
| Ποσό νίκης | -100 | 900 | 2900 |
| Πιθανότητα | 0,94 | 0,04 | 0,02 |
Συνάρτηση κατανομής διακριτής τυχαίας μεταβλητής: κατασκευή
Μια σειρά διανομής μπορεί να κατασκευαστεί μόνο για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή (για μια μη διακριτή τυχαία μεταβλητή δεν μπορεί να κατασκευαστεί, αν μόνο επειδή το σύνολο των πιθανών τιμών μιας τέτοιας τυχαίας μεταβλητής είναι αμέτρητο, δεν μπορούν να παρατίθενται στην κορυφή σειρά του πίνακα).
Η πιο γενική μορφή του νόμου κατανομής, κατάλληλη για όλες τις τυχαίες μεταβλητές (τόσο διακριτές όσο και μη), είναι η συνάρτηση κατανομής.
Συνάρτηση κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητήςή αναπόσπαστη λειτουργίαπου ονομάζεται συνάρτηση 
, το οποίο καθορίζει την πιθανότητα ότι η τιμή της τυχαίας μεταβλητής Χμικρότερη ή ίση με την οριακή τιμή Χ.
Η συνάρτηση κατανομής οποιασδήποτε διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι μια συνάρτηση ασυνεχούς βήματος, τα άλματα της οποίας συμβαίνουν σε σημεία που αντιστοιχούν σε πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής και είναι ίσα με τις πιθανότητες αυτών των τιμών.
Παράδειγμα 2.Διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ- τον αριθμό των πόντων που αποκτήθηκαν κατά τη ρίψη ενός ζαριού. Υπολογίστε τη συνάρτηση κατανομής της.
Λύση. Σειρά κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χέχει τη μορφή:
| Εννοια | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Πιθανότητα | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Λειτουργία διανομής φά(Χ) έχει 6 άλματα ίσα σε μέγεθος με 1/6 (στο παρακάτω σχήμα).
Παράδειγμα 3.Υπάρχουν 6 άσπρες μπάλες και 4 μαύρες μπάλες στο δοχείο. 3 μπάλες βγαίνουν από το δοχείο. Ο αριθμός των λευκών σφαιρών μεταξύ των συρόμενων σφαιρών είναι μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ. Να συντάξετε νόμο διανομής που να αντιστοιχεί σε αυτόν.
Χμπορεί να λάβει τις τιμές 0, 1, 2, 3. Οι αντίστοιχες πιθανότητες μπορούν πιο εύκολα να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας κανόνας πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων. Λαμβάνουμε τον ακόλουθο νόμο κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής:
| Εννοια | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Πιθανότητα | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Παράδειγμα 4.Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή - ο αριθμός των χτυπημάτων στο στόχο με τέσσερις βολές, εάν η πιθανότητα ενός χτυπήματος με μία βολή είναι 0,1.
Λύση. Διακριτή τυχαία μεταβλητή Χμπορεί να πάρει πέντε διαφορετικές τιμές: 1, 2, 3, 4, 5. Βρίσκουμε τις αντίστοιχες πιθανότητες χρησιμοποιώντας Ο τύπος του Bernoulli
. Στο
n = 4 ,
Π = 1,1 ,
q = 1 - Π = 0,9 ,
Μ = 0, 1, 2, 3, 4
παίρνουμε
Κατά συνέπεια, ο νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χμοιάζει με
Εάν οι πιθανότητες των τιμών μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής μπορούν να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας τον τύπο Bernoulli, τότε η τυχαία μεταβλητή έχει διωνυμική κατανομή .
Εάν ο αριθμός των δοκιμών είναι αρκετά μεγάλος, τότε η πιθανότητα ότι σε αυτές τις δοκιμές θα συμβεί το συμβάν ενδιαφέροντος είναι Μφορές, υπακούει στο νόμο Κατανομή Poisson .
Συνάρτηση κατανομής διακριτής τυχαίας μεταβλητής: υπολογισμός
Να υπολογιστεί η συνάρτηση κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής φά(Χ), απαιτείται να αθροιστούν οι πιθανότητες όλων εκείνων των τιμών που είναι μικρότερες ή ίσες με την οριακή τιμή Χ.
Παράδειγμα 5.Ο πίνακας δείχνει την εξάρτηση του αριθμού των γάμων που λύθηκαν κατά τη διάρκεια του έτους από τη διάρκεια του γάμου. Βρείτε την πιθανότητα ο επόμενος διαζευγμένος γάμος να διήρκεσε λιγότερο ή ίσο με 5 χρόνια.
| Διάρκεια γάμου (έτη) | Αριθμός | Πιθανότητα | φά(Χ) |
| 0 | 10 | 0,002 | 0,002 |
| 1 | 80 | 0,013 | 0,015 |
| 2 | 177 | 0,029 | 0,044 |
| 3 | 209 | 0,035 | 0,079 |
| 4 | 307 | 0,051 | 0,130 |
| 5 | 335 | 0,056 | 0,186 |
| 6 | 358 | 0,060 | 0,246 |
| 7 | 413 | 0,069 | 0,314 |
| 8 | 432 | 0,072 | 0,386 |
| 9 | 402 | 0,067 | 0,453 |
| 10 ή περισσότερα | 3287 | 0,547 | 1,000 |
| Σύνολο | 6010 | 1 |
Λύση. Οι πιθανότητες υπολογίζονται διαιρώντας τον αριθμό των αντίστοιχων λυμένων γάμων με τον συνολικό αριθμό των 6010. Η πιθανότητα ο επόμενος διαλυμένος γάμος να διήρκεσε 5 χρόνια είναι 0,056. Η πιθανότητα η διάρκεια του επόμενου διαζευγμένου γάμου να είναι μικρότερη ή ίση με 5 χρόνια είναι 0,186. Το πήραμε προσθέτοντας στην αξία φά(Χ) για γάμους διάρκειας 4 ετών, η πιθανότητα για γάμους διάρκειας 5 ετών.
Σχέση μεταξύ του νόμου κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής και της μαθηματικής προσδοκίας και διασποράς
Συχνά δεν είναι γνωστές όλες οι τιμές μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής, αλλά είναι γνωστές κάποιες τιμές ή πιθανότητες από τη σειρά, καθώς και μαθηματική προσδοκία και (ή) διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής, στο οποίο αφιερώνεται ένα ξεχωριστό μάθημα.
Ας παρουσιάσουμε εδώ μερικούς τύπους από αυτό το μάθημα που μπορούν να βοηθήσουν κατά την κατάρτιση του νόμου κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής και ας δούμε παραδείγματα επίλυσης τέτοιων προβλημάτων.
Η μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι το άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών της και οι πιθανότητες αυτών των τιμών:
(1)
Ο τύπος για τη διακύμανση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής εξ ορισμού είναι:
Συχνά ο ακόλουθος τύπος διασποράς είναι πιο βολικός για υπολογισμούς:
, (2)
Οπου 
.
Παράδειγμα 6.Διακριτή τυχαία μεταβλητή Χμπορεί να πάρει μόνο δύο τιμές. Παίρνει μικρότερη τιμή με πιθανότητα Π= 0,6. Βρείτε τον νόμο κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ, αν είναι γνωστό ότι η μαθηματική προσδοκία και η διακύμανσή του είναι .
Λύση. Η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να πάρει μεγαλύτερη τιμή Χ2 , ισούται με 1 − 0,6 = 4. Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1) της μαθηματικής προσδοκίας, δημιουργούμε μια εξίσωση στην οποία οι άγνωστοι είναι οι τιμές της διακριτής τυχαίας μεταβλητής μας:
Χρησιμοποιώντας τον τύπο διασποράς (2), δημιουργούμε μια άλλη εξίσωση στην οποία οι άγνωστοι είναι επίσης οι τιμές μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής:
Ένα σύστημα δύο εξισώσεων που λαμβάνονται
επίλυση με μέθοδο αντικατάστασης. Από την πρώτη εξίσωση παίρνουμε
Αντικαθιστώντας αυτή την έκφραση στη δεύτερη εξίσωση, μετά από απλούς μετασχηματισμούς παίρνουμε τετραγωνική εξίσωση
,
που έχει δύο ρίζες: 7/5 και −1. Η πρώτη ρίζα δεν πληροί τις προϋποθέσεις του προβλήματος, αφού Χ2 < Χ 1 . Έτσι, οι τιμές που μπορεί να λάβει μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χσύμφωνα με τις συνθήκες του παραδείγματός μας, είναι ίσες Χ1 = −1 Και Χ2 = 2 .
Δίνεται μια σειρά διανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής. Βρείτε την πιθανότητα που λείπει και σχεδιάστε τη συνάρτηση κατανομής. Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση αυτής της ποσότητας.
Η τυχαία μεταβλητή X παίρνει μόνο τέσσερις τιμές: -4, -3, 1 και 2. Παίρνει καθεμία από αυτές τις τιμές με μια συγκεκριμένη πιθανότητα. Εφόσον το άθροισμα όλων των πιθανοτήτων πρέπει να είναι ίσο με 1, η πιθανότητα που λείπει είναι ίση με:
0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,
Ας συνθέσουμε τη συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής Χ. Είναι γνωστό ότι η συνάρτηση κατανομής , τότε:
Ως εκ τούτου,
Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση φά(Χ) .
Η μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων της τιμής της τυχαίας μεταβλητής και της αντίστοιχης πιθανότητας, δηλ.
Βρίσκουμε τη διακύμανση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής χρησιμοποιώντας τον τύπο:
ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Στοιχεία συνδυαστικής Εδώ: - παραγοντικό ενός αριθμού |
||||||||||
Δράσεις σε εκδηλώσειςΈνα γεγονός είναι κάθε γεγονός που μπορεί να συμβεί ή να μην συμβεί ως αποτέλεσμα μιας εμπειρίας. Συγχώνευση συμβάντων ΕΝΑΚαι ΣΕ- αυτό το γεγονός ΜΕπου αποτελείται από μια εμφάνιση ή ένα γεγονός ΕΝΑ, ή γεγονότα ΣΕ, ή και τα δύο συμβάντα ταυτόχρονα. Ονομασία: Εκδηλώσεις διέλευσης ΕΝΑΚαι ΣΕ- αυτό το γεγονός ΜΕ, που συνίσταται στην ταυτόχρονη εμφάνιση και των δύο γεγονότων. Ονομασία:  |
||||||||||
Κλασικός ορισμός της πιθανότηταςΠιθανότητα συμβάντος ΕΝΑείναι η αναλογία του αριθμού των πειραμάτων
|
||||||||||
Τύπος πολλαπλασιασμού πιθανοτήτωνΠιθανότητα συμβάντος
Εάν τα γεγονότα Α και Β είναι ανεξάρτητα (η εμφάνιση του ενός δεν επηρεάζει την εμφάνιση του άλλου), τότε η πιθανότητα του γεγονότος είναι ίση με: |
||||||||||
Τύπος για την προσθήκη πιθανοτήτωνΠιθανότητα συμβάντος Πιθανότητα συμβάντος ΕΝΑ, Πιθανότητα συμβάντος ΣΕ,
Εάν τα γεγονότα Α και Β είναι ασύμβατα (δεν μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα), τότε η πιθανότητα του γεγονότος είναι ίση με: |
||||||||||
Τύπος Συνολικών ΠιθανοτήτωνΑφήστε το γεγονός ΕΝΑμπορεί να συμβεί ταυτόχρονα με ένα από τα γεγονότα |
||||||||||
Σχέδιο BernoulliΑς υπάρξουν n ανεξάρτητα τεστ. Πιθανότητα εμφάνισης (επιτυχίας) ενός γεγονότος ΕΝΑσε καθένα από αυτά είναι σταθερό και ίσο Π, η πιθανότητα αποτυχίας (δηλαδή το γεγονός να μην συμβεί ΕΝΑ) q = 1 - Π. Τότε η πιθανότητα εμφάνισης κεπιτυχία σε nΟι δοκιμές μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον τύπο του Bernoulli:
Πιθανότερος αριθμός επιτυχιών |
||||||||||
Τυχαίες μεταβλητέςδιακριτή συνεχής (για παράδειγμα, ο αριθμός των κοριτσιών σε μια οικογένεια με 5 παιδιά) (για παράδειγμα, ο χρόνος που λειτουργεί σωστά ο βραστήρας) Αριθμητικά χαρακτηριστικά διακριτών τυχαίων μεταβλητώνΈστω μια διακριτή ποσότητα που δίνεται από μια σειρά διανομής:
, , …, - τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής Χ; , , …, είναι οι αντίστοιχες τιμές πιθανότητας. Λειτουργία διανομήςΣυνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής Χείναι μια συνάρτηση που ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή και ίση με την πιθανότητα ότι Χθα είναι λιγότερα Χ: |
;
;
, ευνοϊκό για την εμφάνιση ενός γεγονότος ΕΝΑ, στον συνολικό αριθμό των πειραμάτων 
:
μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
- πιθανότητα συμβάντος ΕΝΑ,
- πιθανότητα συμβάντος ΣΕ,
- πιθανότητα συμβάντος ΣΕυπό την προϋπόθεση ότι η εκδήλωση ΕΝΑέχει ήδη συμβεί.
μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
- πιθανότητα συνεπαγωγής γεγονότων ΕΝΑΚαι ΣΕ.
,
,
…,
- ας τις πούμε υποθέσεις. Γνωστό και ως 
- πιθανότητα εκτέλεσης Εγώ-η υπόθεση και 
- πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος Α κατά την εκτέλεση Εγώ-η υπόθεση. Τότε η πιθανότητα του γεγονότος ΕΝΑμπορεί να βρεθεί με τον τύπο:
στο σχήμα Bernoulli, αυτός είναι ο αριθμός των εμφανίσεων ενός συγκεκριμένου γεγονότος που έχει τη μεγαλύτερη πιθανότητα. Μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Ερωτήσεις για τις εξετάσεις
Εκδήλωση. Λειτουργίες σε τυχαία συμβάντα.
Η έννοια της πιθανότητας ενός γεγονότος.
Κανόνες για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό των πιθανοτήτων. Υπό όρους πιθανότητες.
Συνολικός τύπος πιθανότητας. Η φόρμουλα του Bayes.
Σχέδιο Bernoulli.
Τυχαία μεταβλητή, συνάρτηση διανομής της και σειρές διανομής.
Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης κατανομής.
Αναμενόμενη αξία. Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας.
Διασπορά. Ιδιότητες διασποράς.
Πυκνότητα κατανομής πιθανότητας μονοδιάστατης τυχαίας μεταβλητής.
Τύποι κατανομών: ομοιόμορφη, εκθετική, κανονική, διωνυμική και κατανομή Poisson.
Τοπικά και ολοκληρωτικά θεωρήματα του Moivre-Laplace.
Νόμος και συνάρτηση κατανομής συστήματος δύο τυχαίων μεταβλητών.
Πυκνότητα κατανομής συστήματος δύο τυχαίων μεταβλητών.
Υπό όρους νόμοι κατανομής, υπό όρους μαθηματική προσδοκία.
Εξαρτημένες και ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές. Συντελεστής συσχέτισης.
Δείγμα. Επεξεργασία δειγμάτων. Ιστόγραμμα πολύγωνου και συχνότητας. Εμπειρική συνάρτηση κατανομής.
Η έννοια της εκτίμησης των παραμέτρων κατανομής. Απαιτήσεις για αξιολόγηση. Διάστημα εμπιστοσύνης. Κατασκευή διαστημάτων για την εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας και της τυπικής απόκλισης.
Στατιστικές υποθέσεις. Κριτήρια συναίνεσης.
Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων με θέμα «Τυχαίες μεταβλητές».
Εργο 1 . Έχουν εκδοθεί 100 εισιτήρια για την κλήρωση. Κληρώθηκε ένα κέρδος των 50 USD. και δέκα νίκες των 10 USD η καθεμία. Βρείτε τον νόμο κατανομής της τιμής X - το κόστος των πιθανών κερδών.
Λύση. Πιθανές τιμές για X: x 1 = 0; Χ 2 = 10 και x 3 = 50. Αφού υπάρχουν 89 «κενά» εισιτήρια, τότε σελ 1 = 0,89, πιθανότητα να κερδίσετε 10 $. (10 εισιτήρια) – σελ 2 = 0,10 και να κερδίσετε 50 USD -Π 3 = 0,01. Ετσι:
|
0,89 |
0,10 |
0,01 |
Εύκολο στον έλεγχο: .
Εργο 2. Η πιθανότητα ο αγοραστής να έχει διαβάσει εκ των προτέρων τη διαφήμιση του προϊόντος είναι 0,6 (p = 0,6). Ο επιλεκτικός έλεγχος της ποιότητας της διαφήμισης πραγματοποιείται από την έρευνα των αγοραστών πριν από τον πρώτο που έχει μελετήσει εκ των προτέρων τη διαφήμιση. Σχεδιάστε μια σειρά διανομής για τον αριθμό των αγοραστών που ερωτήθηκαν.
Λύση. Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, p = 0,6. Από: q=1 -p = 0,4. Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές, παίρνουμε:και κατασκευάστε μια σειρά διανομής:
|
πι |
0,24 |
Εργο 3. Ένας υπολογιστής αποτελείται από τρία ανεξάρτητα λειτουργικά στοιχεία: τη μονάδα συστήματος, την οθόνη και το πληκτρολόγιο. Με μία μόνο απότομη αύξηση της τάσης, η πιθανότητα αστοχίας κάθε στοιχείου είναι 0,1. Με βάση την κατανομή Bernoulli, συντάξτε έναν νόμο κατανομής για τον αριθμό των στοιχείων που αποτυγχάνουν κατά τη διάρκεια ενός κύματος ισχύος στο δίκτυο.
Λύση. Ας σκεφτούμε Κατανομή Bernoulli(ή διωνυμικό): η πιθανότητα ότι n δοκιμές, το συμβάν Α θα εμφανιστεί ακριβώςκ μια φορά: 
, ή:
|
q n |
Π n |
ΣΕ Ας επιστρέψουμε στο έργο.
Πιθανές τιμές για το X (αριθμός αποτυχιών):
x 0 =0 – κανένα από τα στοιχεία δεν απέτυχε.
x 1 =1 – αστοχία ενός στοιχείου.
x 2 =2 – αστοχία δύο στοιχείων.
x 3 =3 – αστοχία όλων των στοιχείων.
Αφού, κατά συνθήκη, p = 0,1, τότε q = 1 – p = 0,9. Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Bernoulli, παίρνουμε
, ,
, .
Ελεγχος: .
Επομένως, ο απαιτούμενος νόμος διανομής:
|
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
Πρόβλημα 4. Παρήχθησαν 5.000 φυσίγγια. Πιθανότητα ότι ένα φυσίγγιο είναι ελαττωματικό 
. Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχουν ακριβώς 3 ελαττωματικά φυσίγγια σε ολόκληρη την παρτίδα;
Λύση. Εφαρμόσιμος Κατανομή Poisson: Αυτή η κατανομή χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της πιθανότητας ότι, για πολύ μεγάλη
αριθμός δοκιμών (δοκιμές μάζας), σε καθεμία από τις οποίες η πιθανότητα του γεγονότος Α είναι πολύ μικρή, το γεγονός Α θα συμβεί k φορές: 
, Οπου .
Εδώ n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Βρίσκουμε , τότε την επιθυμητή πιθανότητα: 
.
Πρόβλημα 5. Κατά την πυροδότηση μέχρι το πρώτο χτύπημα με πιθανότητα χτυπήματος p = 0,6 όταν πυροβολείτε, πρέπει να βρείτε την πιθανότητα να συμβεί ένα χτύπημα στην τρίτη βολή.
Λύση. Ας εφαρμόσουμε μια γεωμετρική κατανομή: ας γίνουν ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθένα από τα οποία το γεγονός Α έχει πιθανότητα εμφάνισης p (και μη εμφάνιση q = 1 – p). Η δοκιμή τελειώνει μόλις συμβεί το συμβάν Α.
Κάτω από τέτοιες συνθήκες, η πιθανότητα να συμβεί το συμβάν Α στην kth δοκιμή καθορίζεται από τον τύπο: . Εδώ p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Επομένως, .
Πρόβλημα 6. Έστω ο νόμος κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ:
Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία.
Λύση. .
Σημειώστε ότι η πιθανολογική σημασία της μαθηματικής προσδοκίας είναι η μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής.
Πρόβλημα 7. Βρείτε τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής X με τον ακόλουθο νόμο κατανομής:
Λύση. Εδώ .
Νόμος κατανομής για την τετραγωνική τιμή του Χ 2 :
|
Χ 2 |
|||
Απαιτούμενη διακύμανση: .
Η διασπορά χαρακτηρίζει το μέτρο της απόκλισης (διασποράς) μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία.
Πρόβλημα 8. Έστω μια τυχαία μεταβλητή που δίνεται από την κατανομή:
|
10μ |
|||
Βρείτε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά του.
Λύση: m, m 2 ,
Μ 2 , Μ.
Για την τυχαία μεταβλητή X μπορούμε να πούμε είτε: η μαθηματική της προσδοκία είναι 6,4 m με διακύμανση 13,04 m 2 , ή – η μαθηματική του προσδοκία είναι 6,4 m με απόκλιση m Η δεύτερη διατύπωση είναι προφανώς πιο σαφής.
Εργο 9.
Τυχαία τιμήΧ δίνεται από τη συνάρτηση διανομής: 
.
Βρείτε την πιθανότητα ότι ως αποτέλεσμα της δοκιμής η τιμή X θα λάβει την τιμή που περιέχεται στο διάστημα 
.
Λύση. Η πιθανότητα ότι το X θα πάρει μια τιμή από ένα δεδομένο διάστημα είναι ίση με την αύξηση της ολοκληρωτικής συνάρτησης σε αυτό το διάστημα, δηλ. . Στην περίπτωσή μας και άρα
.
Εργο 10. Διακριτή τυχαία μεταβλητήΧ δίνεται από τον νόμο διανομής:
Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής F(x ) και σχεδιάστε το.
Λύση. Από τη συνάρτηση διανομής,
Για 
, Οτι
στο ;
στο ;
στο ;
στο ;
Σχετικό γράφημα:
Πρόβλημα 11.Συνεχής τυχαία μεταβλητήΧ δίνεται από τη συνάρτηση διαφορικής κατανομής: 
.
Βρείτε την πιθανότητα επιτυχίας X ανά διάστημα
Λύση. Σημειώστε ότι αυτή είναι μια ειδική περίπτωση του νόμου της εκθετικής κατανομής.
Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο: 
.
Εργο 12. Βρείτε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής X που καθορίζεται από τον νόμο κατανομής:
|
–5 |
|||||||||
|
X2:
|
– Συνάρτηση Laplace.Σε αυτή τη σελίδα έχουμε συλλέξει παραδείγματα εκπαιδευτικών λύσεων προβλήματα σχετικά με διακριτές τυχαίες μεταβλητές. Αυτή είναι μια αρκετά εκτεταμένη ενότητα: μελετώνται διάφοροι νόμοι κατανομής (διωνυμικός, γεωμετρικός, υπεργεωμετρικός, Poisson και άλλοι), ιδιότητες και αριθμητικά χαρακτηριστικά για κάθε σειρά διανομής, μπορούν να δημιουργηθούν γραφικές αναπαραστάσεις: πολύγωνο (πολύγωνο) πιθανοτήτων, συνάρτηση κατανομής.
Παρακάτω θα βρείτε παραδείγματα αποφάσεων για διακριτές τυχαίες μεταβλητές, στις οποίες πρέπει να εφαρμόσετε γνώσεις από προηγούμενες ενότητες της θεωρίας πιθανοτήτων για να συντάξετε έναν νόμο κατανομής και στη συνέχεια να υπολογίσετε τη μαθηματική προσδοκία, τη διασπορά, την τυπική απόκλιση, να κατασκευάσετε μια συνάρτηση κατανομής, να απαντήσετε ερωτήσεις σχετικά με το DSV, κλπ. P.
Παραδείγματα δημοφιλών νόμων κατανομής πιθανοτήτων:
Αριθμομηχανές για χαρακτηριστικά DSV
- Υπολογισμός μαθηματικής προσδοκίας, διασποράς και τυπικής απόκλισης του DSV.
Επιλύθηκαν προβλήματα σχετικά με το DSV
Κατανομές κοντά σε γεωμετρικές
Εργασία 1.Κατά μήκος της διαδρομής του αυτοκινήτου υπάρχουν 4 φανάρια, καθένα από τα οποία απαγορεύει την περαιτέρω κίνηση του αυτοκινήτου με πιθανότητα 0,5. Βρείτε τη σειρά διανομής του αριθμού των φαναριών που πέρασε το αυτοκίνητο πριν από την πρώτη στάση. Ποια είναι η μαθηματική προσδοκία και η διακύμανση αυτής της τυχαίας μεταβλητής;
Εργασία 2.Ο κυνηγός πυροβολεί στο παιχνίδι μέχρι το πρώτο χτύπημα, αλλά καταφέρνει να πυροβολήσει όχι περισσότερες από τέσσερις βολές. Συντάξτε έναν νόμο κατανομής για τον αριθμό των αστοχιών εάν η πιθανότητα να χτυπήσετε τον στόχο με μία βολή είναι 0,7. Βρείτε τη διακύμανση αυτής της τυχαίας μεταβλητής.
Εργασία 3.Ο σκοπευτής, έχοντας 3 φυσίγγια, πυροβολεί στο στόχο μέχρι το πρώτο χτύπημα. Οι πιθανότητες χτυπήματος για την πρώτη, δεύτερη και τρίτη βολή είναι 0,6, 0,5, 0,4, αντίστοιχα. S.V. $\xi$ - αριθμός υπολειπόμενων κασετών. Συντάξτε μια σειρά διανομής μιας τυχαίας μεταβλητής, βρείτε τη μαθηματική προσδοκία, διακύμανση, τυπική απόκλιση της τυχαίας μεταβλητής, κατασκευάστε τη συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής, βρείτε την $P(|\xi-m| \le \sigma$).
Εργασία 4.Το κουτί περιέχει 7 τυπικά και 3 ελαττωματικά εξαρτήματα. Βγάζουν τα εξαρτήματα διαδοχικά μέχρι να εμφανιστεί το τυπικό, χωρίς να τα επιστρέφουν πίσω. $\xi$ είναι ο αριθμός των ελαττωματικών εξαρτημάτων που ανακτήθηκαν.
Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή $\xi$, υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση, την τυπική απόκλιση, σχεδιάστε ένα πολύγωνο κατανομής και μια γραφική παράσταση της συνάρτησης κατανομής.
Εργασίες με ανεξάρτητα γεγονότα
Εργασία 5.Στην επανεξέταση στη θεωρία πιθανοτήτων εμφανίστηκαν 3 μαθητές. Η πιθανότητα ο πρώτος να περάσει την εξέταση είναι 0,8, ο δεύτερος - 0,7 και ο τρίτος - 0,9. Βρείτε τη σειρά κατανομής της τυχαίας μεταβλητής $\xi$ του αριθμού των μαθητών που πέρασαν την εξέταση, σχεδιάστε τη συνάρτηση κατανομής, βρείτε $M(\xi), D(\xi)$.
Εργασία 6.Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,8 και μειώνεται με κάθε βολή κατά 0,1. Συντάξτε έναν νόμο κατανομής για τον αριθμό των χτυπημάτων σε έναν στόχο, εάν εκτοξευθούν τρεις βολές. Βρείτε την αναμενόμενη τιμή, διακύμανση και S.K.O. αυτή η τυχαία μεταβλητή. Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης κατανομής.
Εργασία 7.Εκτελούνται 4 βολές στο στόχο. Η πιθανότητα ενός χτυπήματος αυξάνεται ως εξής: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Βρείτε τον νόμο κατανομής της τυχαίας μεταβλητής $X$ - τον αριθμό των επισκέψεων. Βρείτε την πιθανότητα ότι $X \ge 1$.
Εργασία 8.Ρίχνονται δύο συμμετρικά νομίσματα και μετράται ο αριθμός των θυρεών και στις δύο επάνω όψεις των νομισμάτων. Θεωρούμε μια διακριτή τυχαία μεταβλητή $X$ - τον αριθμό των θυρεών και στα δύο νομίσματα. Γράψτε τον νόμο κατανομής της τυχαίας μεταβλητής $X$, βρείτε τη μαθηματική προσδοκία της.
Άλλα προβλήματα και νόμοι διανομής του DSV
Εργασία 9.Δύο μπασκετμπολίστες κάνουν τρεις βολές στο καλάθι. Η πιθανότητα να χτυπήσει ο πρώτος μπασκετμπολίστας είναι 0,6, για τον δεύτερο – 0,7. Έστω X$ η διαφορά μεταξύ του αριθμού των επιτυχημένων βολών του πρώτου και του δεύτερου μπασκετμπολίστα. Βρείτε τη σειρά διανομής, τον τρόπο και τη συνάρτηση διανομής της τυχαίας μεταβλητής $X$. Κατασκευάστε ένα πολύγωνο κατανομής και μια γραφική παράσταση της συνάρτησης κατανομής. Υπολογίστε την αναμενόμενη τιμή, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση. Βρείτε την πιθανότητα του συμβάντος $(-2 \lt X \le 1)$.
Πρόβλημα 10.Ο αριθμός των μη κατοίκων πλοίων που φτάνουν καθημερινά για φόρτωση σε ένα συγκεκριμένο λιμάνι είναι μια τυχαία μεταβλητή $X$, που δίνεται ως εξής:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
Α) βεβαιωθείτε ότι έχει καθοριστεί η σειρά διανομής,
Β) βρείτε τη συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής $X$,
Γ) εάν φτάσουν περισσότερα από τρία πλοία μια δεδομένη ημέρα, το λιμάνι αναλαμβάνει την ευθύνη για το κόστος λόγω της ανάγκης πρόσληψης επιπλέον οδηγών και φορτωτών. Ποια είναι η πιθανότητα να επιβαρυνθεί το λιμάνι με επιπλέον κόστος;
Δ) βρείτε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση της τυχαίας μεταβλητής $X$.
Πρόβλημα 11.Ρίχνονται 4 ζάρια. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος του αριθμού των σημείων που θα εμφανιστούν σε όλες τις πλευρές.
Πρόβλημα 12.Οι δυο τους ρίχνουν εναλλάξ ένα νόμισμα μέχρι να εμφανιστεί για πρώτη φορά το εθνόσημο. Ο παίκτης που πήρε το εθνόσημο λαμβάνει 1 ρούβλι από τον άλλο παίκτη. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία νίκης για κάθε παίκτη.
Κεφάλαιο 1. Διακριτή τυχαία μεταβλητή
§ 1. Έννοιες μιας τυχαίας μεταβλητής.
Νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.
Ορισμός : Τυχαία είναι μια ποσότητα που, ως αποτέλεσμα δοκιμής, παίρνει μόνο μία τιμή από ένα πιθανό σύνολο τιμών της, άγνωστη εκ των προτέρων και ανάλογα με τυχαίους λόγους.
Υπάρχουν δύο τύποι τυχαίων μεταβλητών: διακριτές και συνεχείς.
Ορισμός : Καλείται η τυχαία μεταβλητή Χ διακεκριμένος (ασυνεχές) εάν το σύνολο των τιμών του είναι πεπερασμένο ή άπειρο αλλά μετρήσιμο.
Με άλλα λόγια, οι πιθανές τιμές μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής μπορούν να επαναριθμηθούν.
Μια τυχαία μεταβλητή μπορεί να περιγραφεί χρησιμοποιώντας τον νόμο κατανομής της.
Ορισμός : Νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής καλούμε την αντιστοιχία μεταξύ των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής και των πιθανοτήτων τους.
Ο νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής X μπορεί να καθοριστεί με τη μορφή πίνακα, στην πρώτη σειρά του οποίου υποδεικνύονται όλες οι πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής με αύξουσα σειρά και στη δεύτερη σειρά οι αντίστοιχες πιθανότητες αυτών αξίες, δηλ.
όπου р1+ р2+…+ рn=1
Ένας τέτοιος πίνακας ονομάζεται σειρά διανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.
Εάν το σύνολο των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής είναι άπειρο, τότε η σειρά p1+ p2+…+ pn+… συγκλίνει και το άθροισμά της είναι ίσο με 1.
Ο νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής X μπορεί να απεικονιστεί γραφικά, για την οποία κατασκευάζεται μια διακεκομμένη γραμμή σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, που συνδέει διαδοχικά σημεία με συντεταγμένες (xi; pi), i=1,2,…n. Η γραμμή που προκύπτει ονομάζεται πολύγωνο διανομής (Εικ. 1).
Η οργανική χημεία" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">η οργανική χημεία είναι 0,7 και 0,8, αντίστοιχα. Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής για την τυχαία μεταβλητή X - τον αριθμό των εξετάσεων που θα περάσει ο μαθητής.
Λύση. Η θεωρούμενη τυχαία μεταβλητή Χ ως αποτέλεσμα της εξέτασης μπορεί να λάβει μία από τις ακόλουθες τιμές: x1=0, x2=1, x3=2.
Ας βρούμε την πιθανότητα αυτών των τιμών Ας υποδηλώσουμε τα γεγονότα:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">
 |
Έτσι, ο νόμος κατανομής της τυχαίας μεταβλητής X δίνεται από τον πίνακα:
Έλεγχος: 0,6+0,38+0,56=1.
§ 2. Λειτουργία διανομής
Μια πλήρης περιγραφή μιας τυχαίας μεταβλητής δίνεται επίσης από τη συνάρτηση κατανομής.
Ορισμός: Συνάρτηση κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ ονομάζεται συνάρτηση F(x), η οποία καθορίζει για κάθε τιμή x την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή X να λάβει τιμή μικρότερη από x:
F(x)=P(X<х)
Γεωμετρικά, η συνάρτηση κατανομής ερμηνεύεται ως η πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή X θα λάβει την τιμή που αναπαρίσταται στην αριθμητική γραμμή από ένα σημείο που βρίσκεται στα αριστερά του σημείου x.
1)0≤ F(x) ≤1;
2) Η F(x) είναι μια μη φθίνουσα συνάρτηση στο (-∞;+∞);
3) F(x) - συνεχής στα αριστερά στα σημεία x= xi (i=1,2,...n) και συνεχής σε όλα τα άλλα σημεία.
4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Αν ο νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ δίνεται με τη μορφή πίνακα:
τότε η συνάρτηση κατανομής F(x) προσδιορίζεται από τον τύπο:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
0 για x≤ x1,
р1 στο x1< х≤ x2,
F(x)= р1 + р2 στο x2< х≤ х3
1 για x>xn.
Το γράφημα του φαίνεται στο Σχ. 2:
§ 3. Αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.
Ένα από τα σημαντικά αριθμητικά χαρακτηριστικά είναι η μαθηματική προσδοκία.
Ορισμός: Μαθηματική προσδοκία M(X) Η διακριτή τυχαία μεταβλητή X είναι το άθροισμα των γινομένων όλων των τιμών της και των αντίστοιχων πιθανοτήτων τους:
M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
Η μαθηματική προσδοκία χρησιμεύει ως χαρακτηριστικό της μέσης τιμής μιας τυχαίας μεταβλητής.
Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας:
1)M(C)=C, όπου C είναι μια σταθερή τιμή.
2)M(C X)=C M(X),
3)Μ(Χ±Υ)=Μ(Χ)±Μ(Υ);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), όπου τα X, Y είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές.
5)M(X±C)=M(X)±C, όπου το C είναι σταθερή τιμή.
Για να χαρακτηριστεί ο βαθμός διασποράς των πιθανών τιμών μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής γύρω από τη μέση τιμή της, χρησιμοποιείται η διασπορά.
Ορισμός: Διαφορά ρε ( Χ ) Η τυχαία μεταβλητή X είναι η μαθηματική προσδοκία της τετραγωνικής απόκλισης της τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία:
Ιδιότητες διασποράς:
1)D(C)=0, όπου C είναι μια σταθερή τιμή.
2)D(X)>0, όπου το X είναι μια τυχαία μεταβλητή.
3)D(C X)=C2 D(X), όπου το C είναι σταθερή τιμή.
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), όπου τα X, Y είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές.
Για τον υπολογισμό της διακύμανσης είναι συχνά βολικό να χρησιμοποιήσετε τον τύπο:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
όπου M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
Η διακύμανση D(X) έχει τη διάσταση μιας τετραγωνισμένης τυχαίας μεταβλητής, η οποία δεν είναι πάντα βολική. Επομένως, η τιμή √D(X) χρησιμοποιείται επίσης ως δείκτης της διασποράς των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής.
Ορισμός: Τυπική απόκλιση σ(X) Η τυχαία μεταβλητή X ονομάζεται τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης:
Εργασία Νο. 2.Η διακριτή τυχαία μεταβλητή X καθορίζεται από τον νόμο κατανομής:
Βρείτε το P2, τη συνάρτηση κατανομής F(x) και σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της, καθώς και τα M(X), D(X), σ(X).
Λύση: Δεδομένου ότι το άθροισμα των πιθανοτήτων των πιθανών τιμών της τυχαίας μεταβλητής X είναι ίσο με 1, τότε
Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
Ας βρούμε τη συνάρτηση κατανομής F(x)=P(X Γεωμετρικά, αυτή η ισότητα μπορεί να ερμηνευθεί ως εξής: F(x) είναι η πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή θα λάβει την τιμή που αναπαρίσταται στον αριθμητικό άξονα από το σημείο που βρίσκεται στα αριστερά του σημείου x. Αν x≤-1, τότε F(x)=0, αφού δεν υπάρχει ούτε μία τιμή αυτής της τυχαίας μεταβλητής στο (-∞;x); Αν -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Αν 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) υπάρχουν δύο τιμές x1=-1 και x2=0. Αν 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Αν 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Αν x>3, τότε F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, γιατί τέσσερις τιμές x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 εμπίπτουν στο διάστημα (-∞;x) και x5=3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 στο x≤-1, 0,1 στο -1<х≤0, 0,2 στο 0<х≤1, F(x)= 0,5 στο 1<х≤2, 0,7 στις 2<х≤3, 1 στο x>3 Ας αναπαραστήσουμε τη συνάρτηση F(x) γραφικά (Εικ. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845. §
4. Διωνυμικός νόμος κατανομής διακριτή τυχαία μεταβλητή, νόμος Poisson. Ορισμός: Διωνυμικός
ονομάζεται νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής X - ο αριθμός των εμφανίσεων του συμβάντος Α σε n ανεξάρτητες επαναλαμβανόμενες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες το γεγονός Α μπορεί να συμβεί με πιθανότητα p ή να μην συμβεί με πιθανότητα q = 1-p. Τότε P(X=m) - η πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος A ακριβώς m φορές σε n δοκιμές υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο Bernoulli: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m Η μαθηματική προσδοκία, η διασπορά και η τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής Χ που κατανέμεται σύμφωνα με έναν δυαδικό νόμο βρίσκονται, αντίστοιχα, χρησιμοποιώντας τους τύπους: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Η πιθανότητα του γεγονότος Α - "να βγάζει πέντε" σε κάθε δοκιμή είναι η ίδια και ίση με 1/6 , δηλ. P(A)=p=1/6, μετά P(A)=1-p=q=5/6, όπου - "αποτυχία λήψης Α." Η τυχαία μεταβλητή X μπορεί να πάρει τις ακόλουθες τιμές: 0;1;2;3. Βρίσκουμε την πιθανότητα καθεμιάς από τις πιθανές τιμές του X χρησιμοποιώντας τον τύπο του Bernoulli: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. Οτι. ο νόμος κατανομής της τυχαίας μεταβλητής Χ έχει τη μορφή: Έλεγχος: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. Ας βρούμε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά της τυχαίας μεταβλητής Χ: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Εργασία Νο. 4.Ένα αυτόματο μηχάνημα σφραγίζει εξαρτήματα. Η πιθανότητα ένα κατασκευασμένο εξάρτημα να είναι ελαττωματικό είναι 0,002. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ 1000 επιλεγμένων εξαρτημάτων να υπάρχουν: α) 5 ελαττωματικά? β) τουλάχιστον ένα είναι ελαττωματικό. Λύση:
Ο αριθμός n=1000 είναι μεγάλος, η πιθανότητα να δημιουργηθεί ένα ελαττωματικό μέρος p=0,002 είναι μικρή και τα υπό εξέταση γεγονότα (το εξάρτημα αποδεικνύεται ελαττωματικό) είναι ανεξάρτητα, επομένως ο τύπος Poisson ισχύει: Рn(m)= μι-
λ
λμ Ας βρούμε λ=np=1000 0,002=2. α) Να βρείτε την πιθανότητα να υπάρχουν 5 ελαττωματικά μέρη (m=5): Р1000(5)= μι-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 β) Να βρείτε την πιθανότητα να υπάρχει τουλάχιστον ένα ελαττωματικό εξάρτημα. Γεγονός A - "τουλάχιστον ένα από τα επιλεγμένα μέρη είναι ελαττωματικό" είναι το αντίθετο από το συμβάν - "όλα τα επιλεγμένα μέρη δεν είναι ελαττωματικά, P(A) = 1-P(). Άρα η επιθυμητή πιθανότητα είναι ίση με: P(A)=1-P1000(0)=1- μι-2
20
= 1- e-2=1-0,13534≈0,865. Εργασίες για ανεξάρτητη εργασία.
1.1
1.2.
Η διεσπαρμένη τυχαία μεταβλητή X καθορίζεται από τον νόμο κατανομής: Βρείτε το p4, τη συνάρτηση κατανομής F(X) και σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της, καθώς και τα M(X), D(X), σ(X). 1.3.
Υπάρχουν 9 μαρκαδόροι στο κουτί, 2 από τους οποίους δεν γράφουν πλέον. Πάρτε 3 δείκτες στην τύχη. Η τυχαία μεταβλητή X είναι ο αριθμός των δεικτών γραφής μεταξύ αυτών που λαμβάνονται. Να συντάξετε τον νόμο κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής. 1.4.
Υπάρχουν 6 σχολικά βιβλία τυχαία τοποθετημένα σε ένα ράφι βιβλιοθήκης, 4 από τα οποία είναι δεμένα. Ο βιβλιοθηκάριος παίρνει τυχαία 4 σχολικά βιβλία. Η τυχαία μεταβλητή X είναι ο αριθμός των δεμένων εγχειριδίων μεταξύ αυτών που λαμβάνονται. Να συντάξετε τον νόμο κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής. 1.5.
Υπάρχουν δύο εργασίες στο εισιτήριο. Η πιθανότητα να λυθεί σωστά το πρώτο πρόβλημα είναι 0,9, το δεύτερο είναι 0,7. Η τυχαία μεταβλητή X είναι ο αριθμός των σωστά λυμένων προβλημάτων στο δελτίο. Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής, υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία και διακύμανση αυτής της τυχαίας μεταβλητής και βρείτε επίσης τη συνάρτηση κατανομής F(x) και δημιουργήστε τη γραφική παράσταση της. 1.6.
Τρεις σκοπευτές πυροβολούν έναν στόχο. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,5 για τον πρώτο σκοπευτή, 0,8 για τον δεύτερο και 0,7 για τον τρίτο. Η τυχαία μεταβλητή X είναι ο αριθμός των χτυπημάτων στον στόχο, εάν οι σκοπευτές πυροβολήσουν μία βολή κάθε φορά. Βρείτε τον νόμο κατανομής, M(X),D(X). 1.7.
Ένας μπασκετμπολίστας ρίχνει τη μπάλα στο καλάθι με πιθανότητα 0,8 να χτυπήσει κάθε σουτ. Για κάθε χτύπημα λαμβάνει 10 πόντους και αν χάσει δεν του δίνονται πόντοι. Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής για την τυχαία μεταβλητή X - τον αριθμό των πόντων που έλαβε ένας μπασκετμπολίστας σε 3 βολές. Βρείτε τα Μ(Χ),Δ(Χ), καθώς και την πιθανότητα να πάρει πάνω από 10 βαθμούς. 1.8.
Στις κάρτες γράφονται γράμματα, συνολικά 5 φωνήεντα και 3 σύμφωνα. Επιλέγονται 3 φύλλα τυχαία και κάθε φορά που το φύλλο που λαμβάνεται επιστρέφεται πίσω. Η τυχαία μεταβλητή X είναι ο αριθμός των φωνηέντων μεταξύ αυτών που λαμβάνονται. Να συντάξετε έναν νόμο κατανομής και να βρείτε τα M(X),D(X),σ(X). 1.9.
Κατά μέσο όρο, κάτω από το 60% των συμβολαίων, η ασφαλιστική εταιρεία καταβάλλει ασφαλιστικά ποσά σε σχέση με την επέλευση ενός ασφαλιστικού συμβάντος. Συντάξτε έναν νόμο διανομής για την τυχαία μεταβλητή X - τον αριθμό των συμβάσεων για τις οποίες καταβλήθηκε το ασφαλιστικό ποσό μεταξύ τεσσάρων συμβάσεων που επιλέχθηκαν τυχαία. Βρείτε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά αυτής της ποσότητας. 1.10.
Ο ραδιοφωνικός σταθμός στέλνει διακριτικά κλήσης (όχι περισσότερα από τέσσερα) σε συγκεκριμένα διαστήματα έως ότου επιτευχθεί αμφίδρομη επικοινωνία. Η πιθανότητα λήψης απάντησης σε διακριτικό κλήσης είναι 0,3. Η τυχαία μεταβλητή X είναι ο αριθμός των διακριτικών κλήσης που αποστέλλονται. Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής και βρείτε το F(x). 1.11.
Υπάρχουν 3 κλειδιά, εκ των οποίων μόνο το ένα ταιριάζει στην κλειδαριά. Σχεδιάστε έναν νόμο για την κατανομή της τυχαίας μεταβλητής Χ-αριθμός προσπαθειών για άνοιγμα της κλειδαριάς, εάν το δοκιμασμένο κλειδί δεν συμμετέχει σε επόμενες προσπάθειες. Βρείτε M(X),D(X). 1.12.
Πραγματοποιούνται διαδοχικές ανεξάρτητες δοκιμές τριών συσκευών για αξιοπιστία. Κάθε επόμενη συσκευή ελέγχεται μόνο εάν η προηγούμενη αποδειχθεί αξιόπιστη. Η πιθανότητα επιτυχίας του τεστ για κάθε συσκευή είναι 0,9. Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής για την τυχαία μεταβλητή Χ-αριθμός των δοκιμασμένων συσκευών. 1.13
.Η διακριτή τυχαία μεταβλητή X έχει τρεις πιθανές τιμές: x1=1, x2, x3 και x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Το μπλοκ ηλεκτρονικών συσκευών περιέχει 100 πανομοιότυπα στοιχεία. Η πιθανότητα αστοχίας κάθε στοιχείου κατά το χρόνο T είναι 0,002. Τα στοιχεία λειτουργούν ανεξάρτητα. Βρείτε την πιθανότητα όχι περισσότερα από δύο στοιχεία να αποτύχουν κατά τη διάρκεια του χρόνου T. 1.15.
Το σχολικό βιβλίο εκδόθηκε σε κυκλοφορία 50.000 αντιτύπων. Η πιθανότητα το σχολικό βιβλίο να είναι δεμένο σωστά είναι 0,0002. Βρείτε την πιθανότητα να περιέχει η κυκλοφορία: α) τέσσερα ελαττωματικά βιβλία, β) λιγότερα από δύο ελαττωματικά βιβλία. 1
.16.
Ο αριθμός των κλήσεων που φτάνουν στο PBX κάθε λεπτό κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο του Poisson με την παράμετρο λ=1,5. Βρείτε την πιθανότητα ότι σε ένα λεπτό θα έρθουν τα ακόλουθα: α) δύο κλήσεις. β) τουλάχιστον μία κλήση. 1.17.
Βρείτε M(Z),D(Z) αν Z=3X+Y. 1.18.
Δίνονται οι νόμοι κατανομής δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών: Βρείτε M(Z),D(Z) αν Z=X+2Y. Απαντήσεις:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0,4; 0 στα x≤-2, 0,3 στο -2<х≤0, F(x)= 0,5 στο 0<х≤2, 0,9 στις 2<х≤5, 1 στο x>5 0,3 στο -1<х≤0, 0,4 στο 0<х≤1, F(x)= 0,6 στο 1<х≤2, 0,7 στις 2<х≤3, 1 στο x>3 Μ(Χ)=1; D(X)=2,6; σ(Χ) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 σε x≤0, 0,03 στο 0<х≤1, F(x)= 0,37 στο 1<х≤2, 1 για x>2 Μ(Χ)=2; D(X)=0,62 Μ(Χ)=2,4; Δ(Χ)=0,48, Ρ(Χ>10)=0,896 1.
8
.
Μ(Χ)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈ Μ(Χ)=2,4; Δ(Χ)=0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
Μ(Χ)=2; Δ(Χ)=2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
α) 0,0189; β) 0,00049 1.16.
α) 0,0702; β)0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. Κεφάλαιο 2. Συνεχής τυχαία μεταβλητή
Ορισμός: Συνεχής
είναι μια ποσότητα της οποίας όλες οι πιθανές τιμές γεμίζουν πλήρως ένα πεπερασμένο ή άπειρο διάστημα της αριθμογραμμής. Προφανώς, ο αριθμός των πιθανών τιμών μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι άπειρος. Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας μια συνάρτηση κατανομής. Ορισμός:φά συνάρτηση διανομής
μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X ονομάζεται συνάρτηση F(x), η οποία καθορίζει για κάθε τιμή xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> R Η συνάρτηση κατανομής μερικές φορές ονομάζεται συνάρτηση αθροιστικής κατανομής. Ιδιότητες της συνάρτησης διανομής:
1)1≤ F(x) ≤1 2) Για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή, η συνάρτηση κατανομής είναι συνεχής σε οποιοδήποτε σημείο και διαφοροποιήσιμη παντού, εκτός ίσως από μεμονωμένα σημεία. 3) Η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή X να πέσει σε ένα από τα διαστήματα (a;b), [a;b], [a;b], είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ των τιμών της συνάρτησης F(x) στα σημεία α και β, δηλ. R(a)<Х 4) Η πιθανότητα ότι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ θα λάβει μια ξεχωριστή τιμή είναι 0. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Ο καθορισμός μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής χρησιμοποιώντας μια συνάρτηση διανομής δεν είναι ο μόνος τρόπος. Ας εισαγάγουμε την έννοια της πυκνότητας κατανομής πιθανότητας (πυκνότητα κατανομής). Ορισμός
:
Πυκνότητα κατανομής πιθανότητας
φά
(
Χ
)
μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ είναι η παράγωγος της συνάρτησης κατανομής της, δηλ.: Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μερικές φορές ονομάζεται συνάρτηση διαφορικής κατανομής ή νόμος διαφορικής κατανομής. Η γραφική παράσταση της κατανομής πυκνότητας πιθανότητας f(x) ονομάζεται καμπύλη κατανομής πιθανοτήτων
.
Ιδιότητες κατανομής πυκνότητας πιθανότητας:
1) f(x) ≥0, στο xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" ύψος ="62 src="> 0 σε x≤2, f(x)= c(x-2) στο 2<х≤6, 0 για x>6. Να βρείτε: α) την τιμή του c; β) τη συνάρτηση κατανομής F(x) και να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση της. γ) Ρ(3≤χ<5) Λύση:
+
∞ α) Βρίσκουμε την τιμή του c από τη συνθήκη κανονικοποίησης: ∫ f(x)dx=1. Επομένως, -∞ https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x αν 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))= 1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2; Gif" width="14" height="62"> 0 σε x≤2, F(x)= (x-2)2/16 στο 2<х≤6, 1 για x>6. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης F(x) φαίνεται στο Σχ. 3 https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 σε x≤0, F(x)= (3 αρκτάν x)/π στο 0<х≤√3, 1 για x>√3. Βρείτε τη συνάρτηση διαφορικής κατανομής f(x) Λύση:
Αφού f(x)= F’(x), τότε https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24"> Όλες οι ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας και διασποράς, που συζητήθηκαν νωρίτερα για διασκορπισμένες τυχαίες μεταβλητές, ισχύουν επίσης για συνεχείς. Εργασία Νο. 3.Η τυχαία μεταβλητή X καθορίζεται από τη διαφορική συνάρτηση f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση.
2.1.
Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X καθορίζεται από τη συνάρτηση κατανομής: 0 σε x≤0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 για x≤ π/6, F(x)= - cos 3x στο π/6<х≤ π/3, 1 για x> π/3. Βρείτε τη συνάρτηση διαφορικής κατανομής f(x), και επίσης Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 σε x≤2, f(x)= c x στο 2<х≤4, 0 για x>4. 2.4.
Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X καθορίζεται από την πυκνότητα κατανομής: 0 σε x≤0, f(x)= c √x στο 0<х≤1, 0 για x>1. Βρείτε: α) τον αριθμό γ; β) Μ(Χ), Δ(Χ). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> στο x, 0 στο x. Βρείτε: α) F(x) και κατασκευάστε τη γραφική παράσταση του. β) M(X),D(X), σ(X); γ) την πιθανότητα σε τέσσερις ανεξάρτητες δοκιμές η τιμή του Χ να πάρει ακριβώς 2 φορές την τιμή που ανήκει στο διάστημα (1;4). 2.6.
Η πυκνότητα κατανομής πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ δίνεται: f(x)= 2(x-2) στο x, 0 στο x. Βρείτε: α) F(x) και κατασκευάστε τη γραφική παράσταση του. β) M(X),D(X), σ (X); γ) την πιθανότητα σε τρεις ανεξάρτητες δοκιμές η τιμή του X να πάρει ακριβώς 2 φορές την τιμή που ανήκει στο τμήμα . 2.7.
Η συνάρτηση f(x) δίνεται ως εξής: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
Η συνάρτηση f(x) δίνεται ως εξής: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4]. Να βρείτε: α) την τιμή της σταθεράς c στην οποία η συνάρτηση θα είναι η πυκνότητα πιθανότητας κάποιας τυχαίας μεταβλητής Χ. β) συνάρτηση κατανομής F(x). 2.9.
Η τυχαία μεταβλητή X, συγκεντρωμένη στο διάστημα (3;7), καθορίζεται από τη συνάρτηση κατανομής F(x)= . Βρείτε την πιθανότητα ότι Η τυχαία μεταβλητή X θα λάβει την τιμή: α) μικρότερη από 5, β) όχι μικρότερη από 7. 2.10.
Τυχαία μεταβλητή X, συγκεντρωμένη στο διάστημα (-1;4), δίνεται από τη συνάρτηση κατανομής F(x)= . Βρείτε την πιθανότητα ότι Η τυχαία μεταβλητή X θα λάβει την τιμή: α) μικρότερη από 2, β) όχι μικρότερη από 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Βρείτε: α) τον αριθμό γ; β) M(X); γ) πιθανότητα P(X> M(X)). 2.12.
Η τυχαία μεταβλητή καθορίζεται από τη συνάρτηση διαφορικής κατανομής: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> . Βρείτε: α) M(X); β) πιθανότητα P(X≤M(X)) 2.13.
Η κατανομή Rem δίνεται από την πυκνότητα πιθανότητας: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> για x ≥0. Να αποδείξετε ότι η f(x) είναι πράγματι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. 2.14.
Η πυκνότητα κατανομής πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ δίνεται: https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(Εικ. 4) 2.16.
Η τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται σύμφωνα με τον νόμο του «ορθογώνιου τριγώνου» στο διάστημα (0;4) (Εικ. 5). Βρείτε μια αναλυτική έκφραση για την πυκνότητα πιθανότητας f(x) σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή. Απαντήσεις
0 σε x≤0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 για x≤ π/6, F(x)= 3sin 3x στο π/6<х≤ π/3, 0 για x> π/3. Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X έχει έναν νόμο ομοιόμορφης κατανομής σε ένα ορισμένο διάστημα (a;b), ο οποίος περιέχει όλες τις πιθανές τιμές του X, εάν η πυκνότητα κατανομής πιθανότητας f(x) είναι σταθερή σε αυτό το διάστημα και ίση με 0 εκτός αυτού , δηλ. 0 για x≤a, f(x)= για α<х 0 για x≥b. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) φαίνεται στο Σχ. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. Εργασία Νο. 1.Η τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται ομοιόμορφα στο τμήμα. Εύρημα: α) πυκνότητα κατανομής πιθανότητας f(x) και σχεδιάστε την. β) τη συνάρτηση κατανομής F(x) και σχεδιάστε την. γ) Μ(Χ),Δ(Χ), σ(Χ). Λύση:
Χρησιμοποιώντας τους τύπους που συζητήθηκαν παραπάνω, με a=3, b=7, βρίσκουμε: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> σε 3≤х≤7, 0 για x>7 Ας φτιάξουμε το γράφημά του (Εικ. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 σε x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">Εικ. 4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 στο x<0, f(x)= λε-λχ για x≥0. Η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ, που κατανέμεται σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο, δίνεται από τον τύπο: https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Χ)= Έτσι, η μαθηματική προσδοκία και η τυπική απόκλιση της εκθετικής κατανομής είναι ίσες μεταξύ τους. Η πιθανότητα το X να πέσει στο διάστημα (a;b) υπολογίζεται από τον τύπο: P(a<Х Εργασία Νο. 2.Ο μέσος χρόνος λειτουργίας της συσκευής χωρίς αστοχίες είναι 100 ώρες Υποθέτοντας ότι ο χρόνος λειτουργίας της συσκευής χωρίς αστοχίες έχει εκθετικό νόμο κατανομής, βρείτε: α) πυκνότητα κατανομής πιθανότητας. β) συνάρτηση διανομής. γ) η πιθανότητα ο χρόνος λειτουργίας της συσκευής χωρίς αστοχίες να υπερβεί τις 120 ώρες. Λύση:
Σύμφωνα με την συνθήκη, η μαθηματική κατανομή M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 στο x<0, α) f(x)= 0,01e -0,01x για x≥0. β) F(x)= 0 στο x<0, 1-e -0,01x σε x≥0. γ) Βρίσκουμε την επιθυμητή πιθανότητα χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση κατανομής: P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1,2)= e -1,2≈0,3. §
3.Νόμος κανονικής διανομής Ορισμός:
Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ έχει νόμος κανονικής κατανομής (νόμος του Gauss),
αν η πυκνότητα κατανομής του έχει τη μορφή: όπου m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Η καμπύλη κανονικής κατανομής ονομάζεται κανονική ή Gaussian καμπύλη
(Εικ.7) Η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής X, που κατανέμεται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο, εκφράζεται μέσω της συνάρτησης Laplace Ф (x) σύμφωνα με τον τύπο: πού είναι η συνάρτηση Laplace. Σχόλιο:
Η συνάρτηση Ф(x) είναι περιττή (Ф(-х)=-Ф(х)), επιπλέον, για x>5 μπορούμε να υποθέσουμε Ф(х) ≈1/2. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης κατανομής F(x) φαίνεται στο Σχ. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> Η πιθανότητα η απόλυτη τιμή της απόκλισης να είναι μικρότερη από έναν θετικό αριθμό δ υπολογίζεται από τον τύπο: Ειδικότερα, για m=0 ισχύει η ακόλουθη ισότητα: "Κανόνας Τριών Σίγμα"
Εάν μια τυχαία μεταβλητή Χ έχει νόμο κανονικής κατανομής με παραμέτρους m και σ, τότε είναι σχεδόν βέβαιο ότι η τιμή της βρίσκεται στο διάστημα (a-3σ, a+3σ), επειδή https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a) β) Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> Από τον πίνακα τιμών συνάρτησης Ф(х) βρίσκουμε Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413. Άρα, η επιθυμητή πιθανότητα: P(28 Εργασίες για ανεξάρτητη εργασία
3.1.
Η τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται ομοιόμορφα στο διάστημα (-3;5). Εύρημα: β) συνάρτηση κατανομής F(x); γ) αριθμητικά χαρακτηριστικά. δ) πιθανότητα P(4<х<6). 3.2.
Η τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται ομοιόμορφα στο τμήμα. Εύρημα: α) πυκνότητα κατανομής f(x); β) συνάρτηση κατανομής F(x); γ) αριθμητικά χαρακτηριστικά. δ) πιθανότητα P(3≤х≤6). 3.3.
Υπάρχει ένα αυτόματο φανάρι στον αυτοκινητόδρομο, στον οποίο το πράσινο φως ανάβει για 2 λεπτά, το κίτρινο για 3 δευτερόλεπτα, το κόκκινο για 30 δευτερόλεπτα, κ.λπ. Ένα αυτοκίνητο οδηγεί κατά μήκος της εθνικής οδού σε μια τυχαία στιγμή. Βρείτε την πιθανότητα ένα αυτοκίνητο να περάσει από φανάρι χωρίς να σταματήσει. 3.4.
Τα τρένα του μετρό εκτελούνται τακτικά σε διαστήματα 2 λεπτών. Ένας επιβάτης μπαίνει στην πλατφόρμα σε τυχαία στιγμή. Ποια είναι η πιθανότητα ένας επιβάτης να περιμένει περισσότερα από 50 δευτερόλεπτα για ένα τρένο; Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής X - τον χρόνο αναμονής για το τρένο. 3.5.
Βρείτε τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση της εκθετικής κατανομής που δίνεται από τη συνάρτηση κατανομής: F(x)= 0 στο x<0, 1η-8x για x≥0. 3.6.
Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X καθορίζεται από την πυκνότητα κατανομής πιθανότητας: f(x)= 0 στο x<0, 0,7 e-0,7x σε x≥0. α) Ονομάστε τον νόμο κατανομής της τυχαίας μεταβλητής που εξετάζουμε. β) Να βρείτε τη συνάρτηση κατανομής F(X) και τα αριθμητικά χαρακτηριστικά της τυχαίας μεταβλητής Χ. 3.7.
Η τυχαία μεταβλητή X κατανέμεται σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο που καθορίζεται από την πυκνότητα κατανομής πιθανότητας: f(x)= 0 στο x<0, 0,4 e-0,4 x σε x≥0. Βρείτε την πιθανότητα ότι ως αποτέλεσμα της δοκιμής X θα πάρει μια τιμή από το διάστημα (2,5;5). 3.8.
Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο που καθορίζεται από τη συνάρτηση κατανομής: F(x)= 0 στο x<0, 1η-0,6x σε x≥0 Βρείτε την πιθανότητα ότι, ως αποτέλεσμα της δοκιμής, το X θα πάρει μια τιμή από το τμήμα. 3.9.
Η αναμενόμενη τιμή και η τυπική απόκλιση μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής είναι 8 και 2, αντίστοιχα. α) πυκνότητα κατανομής f(x); β) την πιθανότητα ότι ως αποτέλεσμα της δοκιμής X θα πάρει μια τιμή από το διάστημα (10;14). 3.10.
Η τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται κανονικά με μαθηματική προσδοκία 3,5 και διακύμανση 0,04. Εύρημα: α) πυκνότητα κατανομής f(x); β) την πιθανότητα ότι ως αποτέλεσμα της δοκιμής X θα πάρει μια τιμή από το τμήμα . 3.11.
Η τυχαία μεταβλητή X κατανέμεται κανονικά με M(X)=0 και D(X)=1. Ποιο από τα συμβάντα: |X|≤0,6 ή |X|≥0,6 είναι πιο πιθανό; 3.12.
Η τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται κανονικά με M(X)=0 και D(X)=1 Από ποιο διάστημα (-0,5;-0,1) ή (1;2) είναι πιο πιθανό να λάβει μια τιμή κατά τη διάρκεια μιας δοκιμής; 3.13.
Η τρέχουσα τιμή ανά μετοχή μπορεί να μοντελοποιηθεί χρησιμοποιώντας τον νόμο της κανονικής διανομής με M(X)=10 den. μονάδες και σ (Χ)=0,3 δεν. μονάδες Εύρημα: α) η πιθανότητα η τρέχουσα τιμή της μετοχής να είναι από 9,8 den. μονάδες έως 10,4 ημέρες μονάδες? β) χρησιμοποιώντας τον «κανόνα των τριών σίγμα», βρείτε τα όρια εντός των οποίων θα βρίσκεται η τρέχουσα τιμή της μετοχής. 3.14.
Η ουσία ζυγίζεται χωρίς συστηματικά σφάλματα. Τα τυχαία σφάλματα ζύγισης υπόκεινται στον κανονικό νόμο με το μέσο τετραγωνικό λόγο σ=5g. Βρείτε την πιθανότητα σε τέσσερα ανεξάρτητα πειράματα να μην συμβεί σφάλμα σε τρεις ζυγίσεις στην απόλυτη τιμή 3r. 3.15.
Η τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται κανονικά με Μ(Χ)=12,6. Η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να πέσει στο διάστημα (11,4;13,8) είναι 0,6826. Βρείτε την τυπική απόκλιση σ. 3.16.
Η τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται κανονικά με Μ(Χ)=12 και Δ(Χ)=36 Βρείτε το διάστημα στο οποίο θα πέσει η τυχαία μεταβλητή Χ ως αποτέλεσμα του τεστ με πιθανότητα 0,9973. 3.17.
Ένα εξάρτημα που κατασκευάζεται από αυτόματο μηχάνημα θεωρείται ελαττωματικό εάν η απόκλιση X της ελεγχόμενης παραμέτρου του από την ονομαστική τιμή υπερβαίνει το modulo 2 μονάδες μέτρησης. Υποτίθεται ότι η τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται κανονικά με Μ(Χ)=0 και σ(Χ)=0,7. Τι ποσοστό ελαττωματικών εξαρτημάτων παράγει το μηχάνημα; 3.18.
Η παράμετρος Χ του εξαρτήματος κατανέμεται κανονικά με μαθηματική προσδοκία 2 ίση με την ονομαστική τιμή και τυπική απόκλιση 0,014. Να βρείτε την πιθανότητα η απόκλιση του Χ από την ονομαστική τιμή να μην υπερβαίνει το 1% της ονομαστικής τιμής. Απαντήσεις
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> β) 0 για x≤-3, F(x)= αριστερά"> 3.10.
α)f(x)= , β) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185. 3.11.
|x|≥0,6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
α) Ρ(9,8≤Χ≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1,2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%.
1.2.
p4=0,1; 0 στο x≤-1,
(Εικ.5)
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 για x≤a,
,
Η κανονική καμπύλη είναι συμμετρική ως προς την ευθεία x=m, έχει μέγιστο στο x=a, ίσο με .
,
Δραστηριότητες φορέων εσωτερικών υποθέσεων
Ηλιακές εκλείψεις της χρονιάς
Ένας κατά προσέγγιση κατάλογος βιβλιογραφίας για ανάγνωση σε παιδιά σύμφωνα με το πρόγραμμα εκπαίδευσης και κατάρτισης στο νηπιαγωγείο, εκδ.