Teoreem: Nelinurk on rööpkülik, kui:

1. selle vastasnurgad on võrdsed;
2. selle vastasküljed on paarides võrdsed;
3. selle diagonaalid poolitatakse lõikepunktiga;
4. selle kaks vastaskülge on paralleelsed ja võrdsed.

Tõestus:

A. Olgu nurgad K ja M omavahel võrdsed ja võrdsed a-ga nelinurgas KLMN, samuti olgu nurgad L ja N omavahel võrdsed ja võrdsed p-ga (joonis). Arvestades, et nelinurga nurkade summa on 360°, saame, et 2α + 2β = 360° ehk α + β = 180°. Arvestades, et nurgad K ja L, mis on vastavalt võrdsed õhuga, on sisemised ühepoolsed nurgad sirgetel KN ja LM, mida lõikab sirge KL, järeldame, et küljed KN ja LM on paralleelsed. Samuti järeldame nurkade K ja N põhjal, et küljed KL ja NM on paralleelsed. Nüüd, rööpküliku definitsiooni järgi, kinnitame, et nelinurk KLMN on rööpkülik.

B. Olgu küljed CD ja FE, samuti CF ja DE nelinurga CDEF paarikaupa võrdsed (joonis). Joonistame nelinurga ühe diagonaali, näiteks CE. Kolmnurkadel CDE ja EFC on kolm võrdset külge. Seetõttu on nurgad DEC ja FCE võrdsed. Kuna need nurgad on sisemised ristid, mis asuvad sirgel DE ja CF, mida lõikab sirge CE, on küljed DE ja CF paralleelsed. Samuti saame nurkade DCE ja FEC võrdsusest, et küljed CD ja FE on paralleelsed. Nüüd, rööpküliku definitsiooni järgi, kinnitame, et nelinurk CDEF on rööpkülik.

C. Jagagu nelinurga IKLM diagonaalide IL ja KM lõikepunkt B need diagonaalid pooleks: IB = BL ja KB = VM (joonis). Siis on kolmnurgad KBL ja MBI võrdsed kahes küljes ja nendevahelises nurgas. See võimaldab väita, et nurgad 1MB ja LKB on võrdsed, mis tähendab, et küljed IM ja KL on paralleelsed. Samamoodi järeldame kolmnurkade KBI ja MBL võrdsusest, et küljed IK ja LM on paralleelsed. Nüüd saame rööpküliku definitsiooni järgi väita, et nelinurk IKLM on rööpkülik. Väga sageli peate seda teadma kooliolümpiaadidel olümpiaadiülesandeid lahendades.

D. Olgu vastasküljed OP ja RQ nelinurga OPQR paralleelsed ja võrdsed (joonis). Joonistame diagonaali OQ. Saadud nurgad POQ ja RQO on võrdsed, kuna need asetsevad seespool risti paralleelsetel sirgetel OP ja RQ, mida lõikab sirge OQ. Seetõttu on kolmnurgad OPQ ja RQO võrdsed kahes küljes ja nendevahelises nurgas. Seega on nende vastavad nurgad PQO ja ROQ võrdsed.

Ja kuna need on sisemised ristuvad nurgad sirgel PQ ja OR, mida lõikab sirge OQ, siis on PQ ja OR küljed paralleelsed. Arvestades külgede OP ja RQ paralleelsust, väidame rööpküliku definitsiooni järgi, et nelinurk OPQR on rööpkülik.

Täna kaalume geomeetriline kujund- nelinurk. Selle kujundi nimest selgub juba, et sellel figuuril on neli nurka. Kuid selle joonise ülejäänud omadusi ja omadusi käsitleme allpool.

Mis on nelinurk

Nelinurk on hulknurk, mis koosneb neljast punktist (tipust) ja neljast lõigust (küljest), mis ühendavad neid punkte paarikaupa. Nelinurga pindala on pool selle diagonaalide ja nendevahelise nurga korrutisest.

Nelinurk on hulknurk, millel on neli tippu, millest kolm ei asu samal sirgel.

Nelinurkade tüübid

• Nelinurka, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed, nimetatakse rööpkülikuks.
• Nelinurka, mille kaks vastaskülge on paralleelsed ja ülejäänud kaks mitte, nimetatakse trapetsiks.
• Kõikide täisnurkadega nelinurk on ristkülik.
• Nelinurk, mille kõik küljed on võrdsed, on romb.
• Nelinurka, mille kõik küljed on võrdsed ja nurgad täisnurksed, nimetatakse ruuduks.

Nelinurk võib olla:

ise lõikuvad

mittekumerad

kumer

Iselõikuv nelinurk on nelinurk, mille ükskõik millisel küljel on lõikepunkt (joonisel sinisega).

Mittekumer nelinurk on nelinurk, milles üks sisemised nurgadüle 180 kraadi (joonisel märgitud oranžiga).

Nurkade summa iga nelinurk, mis ei lõiku ise, on alati 360 kraadi.

Nelinurkade eritüübid

Nelinurkadel võivad olla täiendavad omadused, mis moodustavad eritüüpi geomeetrilisi kujundeid:

• Paralleelogramm
• Ristkülik
• Ruut
• Trapets
• Deltalihas
• Kontraparallelogramm

Nelinurk ja ring

Ringjoone ümber kirjutatud nelinurk (nelinurka sisse kirjutatud ring).

Piiratud nelinurga peamine omadus:

Nelinurka saab ringjoone ümber piirata siis ja ainult siis, kui pikkuste summad vastasküljed on võrdsed.

Ringjoone sisse kirjutatud nelinurk (neliknurga ümber kirjutatud ring)

Sissekirjutatud nelinurga põhiomadused:

Ringi saab nelinurka kirjutada siis ja ainult siis, kui vastasnurkade summa on 180 kraadi.

Nelinurkse külje pikkuse omadused

Nelinurga mis tahes kahe külje erinevuse moodul ei ületa selle kahe teise külje summat.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

Tähtis. Ebavõrdsus kehtib nelinurga külgede mis tahes kombinatsiooni kohta. Joonis on esitatud ainult mõistmise hõlbustamiseks.

Igas nelinurgas summa kolm pikkust selle küljed ei ole väiksemad kui neljanda külje pikkus.

Tähtis. Sisemiste probleemide lahendamisel kooli õppekava võib kasutada ranget ebavõrdsust (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Javascript on teie brauseris keelatud.
Arvutuste tegemiseks peavad ActiveX-juhtelemendid olema lubatud!

Nelinurka, mille kaks külge on paralleelsed ja ülejäänud kaks ei ole paralleelsed, nimetatakse trapetsiks. Bo Sidesi alus ja I pool I pool see on alus Paralleelseid külgi nimetatakse alusteks. Külgi, mis ei ole paralleelsed, nimetatakse külgedeks.

Trapetsi tüübid Trapetsi, mille küljed on võrdsed, nimetatakse võrdhaarseks. Ühe täisnurgaga trapetsi nimetatakse täisnurkseks trapetsiks.

Millised nelinurgad joonisel on trapetsid? Nimetage nende alused ja küljed. 1 B 2 C 110 R 0 S H T 70 0 A D M 3 A B K O C Q N R

Trapetsi B M A C MN keskjoon on trapetsi D mediaanjoon N

Võrdhaarse trapetsi omadused 1 2 Võrdhaarse trapetsi põhinurgad on võrdsed. B C Võrdhaarse trapetsi diagonaalid on võrdsed. AC = BD A D

Võrdhaarse trapetsi märgid 1 Kui trapetsi aluse nurgad on võrdsed, siis on see võrdhaarne. 2 Kui trapetsi diagonaalid on võrdsed, siis on see võrdhaarne.

Ülesannete lahendamine 1 B C D A 2 AD=2 eKr. Leidke trapetsi nurgad. C-s on ABCD trapets. Leidke: nurk AOB O A D

3 B C D A B 4 C 75 A ABCD - trapets. Leia: trapetsi nurgad 40 E ABCD - trapets. BE||CD. Leidke trapetsi nurgad. D

Keskmine tase

Rööpkülik, ristkülik, romb, ruut (2019)

1. Parallelogramm

Liitsõna "parallelogramm"? Ja selle taga on väga lihtne kujund.

Noh, see tähendab, et võtsime kaks paralleelset joont:

Ristitud veel kahega:

Ja sees - rööpkülik!

Millised on rööpküliku omadused?

Parallelogrammi omadused.

Ehk mida saab kasutada, kui ülesandes on antud rööpkülik?

Sellele küsimusele vastatakse järgmise teoreemiga:

Joonistame kõik üksikasjalikult.

Mis teeb teoreemi esimene punkt? Ja see, et kui rööpkülik ON, siis igal juhul

Teine lõik tähendab, et kui on olemas rööpkülik, siis jällegi igal juhul:

Noh, ja lõpuks, kolmas punkt tähendab, et kui teil ON rööpkülik, siis veenduge:

Vaadake, milline rikkalik valik on? Mida ülesandes kasutada? Proovige keskenduda ülesande küsimusele või lihtsalt proovige kõike kordamööda - mingi "võti" sobib.

Ja nüüd esitame endale veel ühe küsimuse: kuidas rööpkülikut "näos" ära tunda? Mis peab juhtuma nelinurgaga, et meil oleks õigus anda sellele rööpküliku pealkiri?

Sellele küsimusele vastavad mitmed rööpkülikumärgid.

Rööpküliku tunnused.

Tähelepanu! Alusta.

Parallelogramm.

Pöörake tähelepanu: kui olete oma ülesandes leidnud vähemalt ühe märgi, siis on teil täpselt rööpkülik ja saate kasutada kõiki rööpküliku omadusi.

2. Ristkülik

Ma arvan, et see ei ole sulle üldse uudiseks.

Esimene küsimus on: kas ristkülik on rööpkülik?

Muidugi on! Lõppude lõpuks on tal – mäletate, meie märk 3?

Ja siit järeldub muidugi, et ristküliku puhul, nagu iga rööpküliku puhul ja, ja diagonaalid jagatakse lõikepunktiga pooleks.

Kuid seal on ristkülik ja üks eristav omadus.

Ristküliku omadus

Miks see omadus eristub? Sest ühelgi teisel rööpkülikul pole võrdseid diagonaale. Sõnastame selle selgemalt.

Pöörake tähelepanu: ristkülikuks saamiseks peab nelinurk kõigepealt saama rööpkülikuks ja seejärel esitama diagonaalide võrdsuse.

3. Teemant

Ja jälle on küsimus: kas romb on rööpkülik või mitte?

Täieliku õigusega - rööpkülik, sest sellel on ja (pidage meeles meie märki 2).

Ja jällegi, kuna romb on rööpkülik, siis peavad sellel olema kõik rööpküliku omadused. See tähendab, et rombi vastasnurgad on võrdsed, vastasküljed on paralleelsed ja diagonaalid poolitatakse lõikepunktiga.

Rombi omadused

Vaata pilti:

Nagu ristküliku puhul, on need omadused iseloomulikud, st iga omaduse puhul võime järeldada, et meil pole mitte ainult rööpkülik, vaid romb.

Rombi märgid

Ja pöörake uuesti tähelepanu: seal peaks olema mitte ainult risti asetsevate diagonaalidega nelinurk, vaid rööpkülik. Tee kindlaks:

Ei, muidugi mitte, kuigi selle diagonaalid ja on risti ja diagonaal on nurkade u poolitaja. Aga ... diagonaalid ei jaga, lõikepunkt pooleks, seega - EI Rööpkülik ja seega EI romb.

See tähendab, et ruut on korraga ristkülik ja romb. Vaatame, mis sellest välja tuleb.

Kas on selge, miks? - romb - nurga A poolitaja, mis on võrdne. Seega jaguneb see (ja ka) kaheks nurgaks.

Noh, see on üsna selge: ristküliku diagonaalid on võrdsed; rombi diagonaalid on risti ja üldiselt - rööpküliku diagonaalid jagatakse lõikepunktiga pooleks.

KESKMINE TASE

Nelinurkade omadused. Parallelogramm

Parallelogrammi omadused

Tähelepanu! sõnad" rööpküliku omadused» tähendab, et kui teil on ülesanne Seal on rööpkülik, siis saab kasutada kõiki järgnevaid.

Rööpküliku omaduste teoreem.

Mis tahes rööpküliku korral:

Vaatame, miks see teisisõnu tõsi on ME TÕESTAME teoreem.

Miks siis 1) on tõsi?

Kuna tegemist on rööpkülikuga, siis:

• nagu risti lamades
• nagu lamades risti.

Seega (II alusel: ja - üldine.)

Noh, ükskord siis - see on kõik! - tõestas.

Aga muide! Tõestasime ka 2)!

Miks? Aga lõppude lõpuks (vaata pilti), ehk just nimelt sellepärast.

Ainult 3 on jäänud).

Selleks peate ikkagi joonistama teise diagonaali.

Ja nüüd näeme seda - vastavalt II märgile (nurk ja külg "nende vahel").

Omadused tõestatud! Liigume edasi märkide juurde.

Parallelogrammi omadused

Tuletage meelde, et rööpküliku märk vastab küsimusele "kuidas teada saada?", et joonis on rööpkülik.

Ikoonides on see nii:

Miks? Tore oleks aru saada, miks – sellest piisab. Aga vaata:

Noh, saime aru, miks märk 1 on tõsi.

Noh, see on veelgi lihtsam! Joonistame uuesti diagonaali.

Mis tähendab:

JA on ka lihtne. Aga… teistmoodi!

Tähendab,. Vau! Aga ka - sisemine ühepoolne sekant!

Seetõttu tähendab asjaolu, et.

Ja kui vaadata teiselt poolt, siis need on sisemised ühepoolsed sekantis! Ning seetõttu.

Vaata, kui vahva see on?!

Ja jälle lihtsalt:

Täpselt sama, ja.

Pane tähele: kui leidsid vähemaltüks rööpkülikumärk teie ülesandes, siis on teil olemas täpselt rööpkülik ja saate kasutada kõik rööpküliku omadused.

Täieliku selguse huvides vaadake diagrammi:

Nelinurkade omadused. Ristkülik.

Ristküliku omadused:

Punkt 1) on üsna ilmne - lõppude lõpuks on märk 3 () lihtsalt täidetud

Ja punkt 2) - väga tähtis. Nii et tõestame seda

Niisiis, kahel jalal (ja - üldiselt).

Noh, kuna kolmnurgad on võrdsed, on ka nende hüpotenuusid võrdsed.

Tõestas seda!

Ja kujutage ette, diagonaalide võrdsus on ristküliku eristav omadus kõigi rööpkülikute seas. See tähendab, et järgmine väide vastab tõele

Vaatame, miks?

Niisiis, (tähendab rööpküliku nurki). Kuid veel kord pidage meeles, et rööpkülik ja seetõttu.

Tähendab,. Ja loomulikult järeldub sellest, et igaüks neist Lõppude lõpuks summas, mida nad peaksid andma!

Siin oleme tõestanud, et kui rööpkülikäkki (!) on võrdsed diagonaalid, siis see täpselt ristkülik.

Aga! Pane tähele! See on umbes rööpkülikuid! Ei mingeid võrdsete diagonaalidega nelinurk on ristkülik ja ainult rööpkülik!

Nelinurkade omadused. Romb

Ja jälle on küsimus: kas romb on rööpkülik või mitte?

Täieliku õigusega - rööpkülik, kuna sellel on ja (pidage meeles meie märki 2).

Ja jällegi, kuna romb on rööpkülik, peavad sellel olema kõik rööpküliku omadused. See tähendab, et rombi vastasnurgad on võrdsed, vastasküljed on paralleelsed ja diagonaalid poolitatakse lõikepunktiga.

Kuid on ka erilisi omadusi. Me sõnastame.

Rombi omadused

Miks? Noh, kuna romb on rööpkülik, jagatakse selle diagonaalid pooleks.

Miks? Jah, sellepärast!

Teisisõnu, diagonaalid ja osutusid rombi nurkade poolitajateks.

Nagu ristküliku puhul, on need omadused eristav, igaüks neist on ühtlasi ka rombi märk.

Rombi märgid.

Miks nii? Ja vaata

Seega ja mõlemad need kolmnurgad on võrdhaarsed.

Et olla romb, peab nelinurk kõigepealt "saama" rööpkülikuks ja seejärel juba demonstreerima tunnust 1 või tunnust 2.

Nelinurkade omadused. Ruut

See tähendab, et ruut on korraga ristkülik ja romb. Vaatame, mis sellest välja tuleb.

Kas on selge, miks? Ruut - romb - nurga poolitaja, mis on võrdne. Seega jaguneb see (ja ka) kaheks nurgaks.

Noh, see on üsna selge: ristküliku diagonaalid on võrdsed; rombi diagonaalid on risti ja üldiselt - rööpküliku diagonaalid jagatakse lõikepunktiga pooleks.

Miks? Noh, lihtsalt rakendage Pythagorase teoreemi.

KOKKUVÕTE JA PÕHIVALEM

Parallelogrammi omadused:

1. Vastasküljed on võrdsed: , .
2. Vastasnurgad on: , .
3. Ühe külje nurgad annavad kokku: , .
4. Diagonaalid jagatakse lõikepunktiga pooleks: .

Ristküliku omadused:

1. Ristküliku diagonaalid on: .
2. Ristkülik on rööpkülik (ristküliku puhul on täidetud kõik rööpküliku omadused).

Rombi omadused:

1. Rombi diagonaalid on risti: .
2. Rombi diagonaalid on tema nurkade poolitajad: ; ; ; .
3. Romb on rööpkülik (rombi puhul on täidetud kõik rööpküliku omadused).

Ruudu omadused:

Ruut on samaaegselt romb ja ristkülik, seetõttu on ruudu puhul täidetud kõik ristküliku ja rombi omadused. Ja:

Noh, teema on läbi. Kui loed neid ridu, siis oled väga lahe.

Sest ainult 5% inimestest on võimelised ise midagi meisterdama. Ja kui oled lõpuni lugenud, siis oled 5% sees!

Nüüd kõige tähtsam.

Olete selle teema teooria välja mõelnud. Ja ma kordan, see on ... see on lihtsalt super! Oled juba parem kui valdav enamus oma eakaaslasi.

Probleem on selles, et sellest ei pruugi piisata...

Milleks?

Eksami eduka sooritamise, eelarvega instituuti vastuvõtmise ja, MIS TÄHTIS, eluks ajaks.

Ma ei veena teid milleski, ütlen lihtsalt ühte ...

Hea hariduse saanud inimesed teenivad palju rohkem kui need, kes seda pole saanud. See on statistika.

Kuid see pole peamine.

Peaasi, et nad on ROHKEM ÕNNELIKUD (sellised uuringud on olemas). Võib-olla sellepärast, et nende ees avaneb palju rohkem võimalusi ja elu muutub helgemaks? Ei tea...

Aga mõelge ise...

Mida on vaja selleks, et olla eksamil teistest parem ja lõpuks ... õnnelikum?

TÄIDA KÄSI, LAHENDAGE SELLEL TEEMAL PROBLEEMID.

Eksamil ei küsita teilt teooriat.

Sa vajad lahendada probleemid õigel ajal.

Ja kui te pole neid lahendanud (PALJU!), siis teete kindlasti kuskil rumala vea või lihtsalt ei tee seda õigeks ajaks.

See on nagu spordis – kindla võidu saamiseks tuleb mitu korda korrata.

Leidke kollektsioon kõikjal, kus soovite tingimata lahendustega, üksikasjaliku analüüsiga ja otsusta, otsusta, otsusta!

Võite kasutada meie ülesandeid (pole vajalik) ja kindlasti soovitame neid.

Selleks, et meie ülesannete abil abi saada, peate aitama pikendada praegu loetava YouCleveri õpiku eluiga.

Kuidas? On kaks võimalust.

1. Avage juurdepääs kõigile selles artiklis peidetud ülesannetele - 299 hõõruda.
2. Avage juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele kõigis õpetuse 99 artiklis - 999 hõõruda.

Jah, meil on õpikus 99 sellist artiklit ja ligipääs kõikidele ülesannetele ja kõikidele nendes olevatele peidetud tekstidele saab kohe avada.

Teisel juhul me anname teile simulaator "6000 ülesannet lahenduste ja vastustega, iga teema kohta, igale keerukusastmele." Kindlasti piisab sellest, kui suvalise teemaga probleemide lahendamisel kätt saada.

Tegelikult on see palju enamat kui lihtsalt simulaator – terve koolitusprogramm. Vajadusel saate seda kasutada ka TASUTA.

Juurdepääs kõigile tekstidele ja programmidele on tagatud kogu saidi eluea jooksul.

Kokkuvõtteks...

Kui teile meie ülesanded ei meeldi, otsige teisi. Ärge lihtsalt lõpetage teooriaga.

“Arusaadav” ja “Ma tean, kuidas lahendada” on täiesti erinevad oskused. Teil on mõlemat vaja.

Leia probleemid ja lahenda!

Rööpküliku üheks tunnuseks on see, et kui nelinurga kaks külge on võrdsed ja paralleelsed, siis selline nelinurk on rööpkülik. See tähendab, et kui nelinurga kaks külge on võrdsed ja paralleelsed, osutuvad ka ülejäänud kaks külge üksteisega võrdseks ja paralleelseks, kuna see asjaolu on rööpküliku definitsioon ja omadus.

Seega saab rööpkülikut määratleda ainult kahe küljega, mis on üksteisega võrdsed ja paralleelsed.

Selle rööpküliku tunnuse saab sõnastada teoreemina ja tõestada. Sel juhul antakse meile nelinurk, mille kaks külge on võrdsed ja üksteisega paralleelsed. On vaja tõestada, et selline nelinurk on rööpkülik (st selle kaks teist külge on võrdsed ja üksteisega paralleelsed).

Olgu antud nelinurk ABCD ja selle küljed AB || CD ja AB=CD.

Meile antakse nelinurk. Midagi ei öelda selle kohta, kas see on kumer või mitte (kuigi rööpkülikuteks võivad olla ainult kumerad nelinurgad). Kuid isegi mittekumeras nelinurgas on alati üks diagonaal, mis jagab selle kaheks kolmnurgaks. Kui see on diagonaal AC, saame kaks kolmnurka ABC ja ADC. Kui see on BD diagonaal, siis on ∆ABD ja ∆BCD.

Oletame, et meil on kolmnurgad ABC ja ADC. Neil on üks ühine külg (diagonaal AC), ühe kolmnurga külg AB on võrdne teise kolmnurga küljega CD (tingimuse järgi), nurk BAC on võrdne nurgaga ACD (mis asetseb risti lõike- ja paralleeljoonte vahel) . Seega ∆ABC = ∆ADC kahel küljel ja nendevaheline nurk.

Kolmnurkade võrdsusest järeldub, et nende teised küljed ja nurgad on vastavalt võrdsed. Kuid kolmnurga ABC külg BC vastab kolmnurga ADC küljele AD, seega BC = AD. Nurk B vastab nurgale D, seega ∠B = ∠D. Need nurgad võivad olla üksteisega võrdsed, kui BC || AD (alates AB || CD, saab neid ridu kombineerida paralleeltõlkega, siis ∠B muutub risti asetsevaks ∠D ja nende võrdsus saab olla ainult BC || AD jaoks).

Definitsiooni järgi on rööpkülik nelinurk, mille vastasküljed on võrdsed ja üksteisega paralleelsed.

Seega tõestati, et kui nelinurga ABCD küljed AB ja CD on võrdsed ja paralleelsed ning diagonaal AC jagab selle kaheks kolmnurgaks, siis osutub tema teine ​​küljepaar omavahel võrdseks ja paralleelseks.

Kui nelinurk ABCD jagataks teise diagonaaliga (BD) kaheks kolmnurgaks, siis arvestataks kolmnurgad ABD ja BCD. Nende võrdsus oleks tõestatud sarnaselt eelmisega. Selguks, et BC = AD ja ∠A = ∠C, mis tähendab, et BC || AD.