Mis on korrapärase nelinurkse püramiidi apoteem. Geomeetrilised kujundid

Definitsioon. Külg nägu- see on kolmnurk, mille üks nurk asub püramiidi tipus ja selle vastaskülg langeb kokku aluse (hulknurga) küljega.

Definitsioon. Külgmised ribid on külgpindade ühised küljed. Püramiidil on nii palju servi kui hulknurki.

Definitsioon. püramiidi kõrgus on püramiidi tipust põhja langenud risti.

Definitsioon. Apoteem- see on püramiidi külgpinna risti, mis on langetatud püramiidi tipust aluse küljele.

Definitsioon. Diagonaalne lõige- see on püramiidi läbilõige tasapinnast, mis läbib püramiidi tippu ja aluse diagonaali.

Definitsioon. Õige püramiid- See on püramiid, mille alus on korrapärane hulknurk ja kõrgus langeb aluse keskele.

Püramiidi ruumala ja pindala

Valem. püramiidi maht läbi aluse pindala ja kõrgus:

püramiidi omadused

Kui kõik külgservad on võrdsed, saab püramiidi aluse ümber piirata ringi ja aluse keskpunkt ühtib ringi keskpunktiga. Samuti läbib ülevalt alla lastud risti aluse (ringi) keskpunkti.

Kui kõik külgmised ribid on võrdsed, on need alustasandi suhtes samade nurkade all.

Külgmised ribid on võrdsed, kui nad moodustavad alustasandiga võrdsed nurgad või kui saab kirjeldada ringi ümber püramiidi aluse.

Kui külgpinnad on aluse tasapinna suhtes ühe nurga all kallutatud, saab püramiidi põhja kirjutada ringi ja püramiidi tipp projitseeritakse selle keskmesse.

Kui külgpinnad on alustasapinna suhtes ühe nurga all kaldu, siis on külgpindade apoteemid võrdsed.

Tavalise püramiidi omadused

1. Püramiidi tipp on aluse kõigist nurkadest võrdsel kaugusel.

2. Kõik külgmised servad on võrdsed.

3. Kõik külgmised ribid on aluse suhtes sama nurga all.

4. Kõikide külgpindade apoteemid on võrdsed.

5. Kõikide külgpindade pindalad on võrdsed.

6. Kõigil tahkudel on samad kahetahulised (tasapinnalised) nurgad.

7. Püramiidi ümber saab kirjeldada kera. Kirjeldatud sfääri keskpunkt on servade keskosa läbivate perpendikulaaride lõikepunkt.

8. Püramiidi saab kirjutada kera. Sissekirjutatud sfääri keskpunkt on serva ja aluse vahelisest nurgast lähtuvate poolitajate lõikepunkt.

9. Kui sissekirjutatud sfääri keskpunkt ühtib piiritletud sfääri keskpunktiga, siis on tipu tasanurkade summa π või vastupidi, üks nurk on võrdne π / n, kus n on arv nurgad püramiidi põhjas.

Püramiidi seos sfääriga

Püramiidi ümber olevat kera saab kirjeldada siis, kui püramiidi põhjas asub hulktahukas, mille ümber saab kirjeldada ringi (vajalik ja piisav tingimus). Kera keskpunkt on püramiidi külgmiste servade keskpunkte risti läbivate tasapindade lõikepunkt.

Sfääri saab alati kirjeldada mis tahes kolmnurkse või korrapärase püramiidi ümber.

Kera saab püramiidi sisse kirjutada, kui püramiidi sisemiste kahetahuliste nurkade poolitustasandid ristuvad ühes punktis (vajalik ja piisav tingimus). Sellest punktist saab sfääri keskpunkt.

Püramiidi ühendus koonusega

Koonust nimetatakse püramiidi sissekirjutatuks, kui nende tipud langevad kokku ja koonuse põhi on kantud püramiidi põhja.

Püramiidi saab kirjutada koonuse, kui püramiidi apoteemid on võrdsed.

Koonust nimetatakse ümber püramiidi, kui nende tipud langevad kokku ja koonuse põhi on ümbritsetud ümber püramiidi aluse.

Püramiidi ümber olevat koonust saab kirjeldada, kui kõik püramiidi külgservad on üksteisega võrdsed.

Püramiidi ühendus silindriga

Püramiidi kohta öeldakse, et see on silindrisse kantud, kui püramiidi tipp asub silindri ühel alusel ja püramiidi põhi on kantud silindri teisele alusele.

Silindri saab püramiidi ümber piirata, kui püramiidi aluse ümber saab piirata ringi.

Definitsioon. Kärbitud püramiid (püramiidprisma)- See on hulktahukas, mis asub püramiidi aluse ja alusega paralleelse lõiketasandi vahel. Seega on püramiidil suur alus ja väiksem alus, mis sarnaneb suuremaga. Külgpinnad on trapetsikujulised.

Definitsioon. Kolmnurkne püramiid (tetraeeder)- see on püramiid, mille kolm tahku ja alus on suvalised kolmnurgad.

Tetraeedril on neli tahku ja neli tippu ja kuus serva, kus kahel serval pole ühiseid tippe, kuid need ei puutu kokku.

Iga tipp koosneb kolmest tahust ja servast, mis moodustavad kolmnurkne nurk.

Nimetatakse lõiku, mis ühendab tetraeedri tippu vastaskülje keskpunktiga tetraeedri mediaan(GM).

Bimediaan nimetatakse lõiguks, mis ühendab vastasservade keskpunkte, mis ei puutu kokku (KL).

Kõik tetraeedri bimediaanid ja mediaanid lõikuvad ühes punktis (S). Sel juhul jagatakse bimediaanid pooleks ja mediaanid suhtega 3:1, alustades ülalt.

Definitsioon. kaldus püramiid on püramiid, mille üks servadest moodustab põhjaga nürinurga (β).

Definitsioon. Ristkülikukujuline püramiid on püramiid, mille üks külgpindadest on aluse suhtes risti.

Definitsioon. Terava nurgaga püramiid on püramiid, mille apoteem on üle poole aluse külje pikkusest.

Definitsioon. nüri püramiid on püramiid, mille apoteem on alla poole aluse külje pikkusest.

Definitsioon. korrapärane tetraeeder Tetraeeder, mille neli tahku on võrdkülgsed kolmnurgad. See on üks viiest korrapärasest hulknurgast. Tavalises tetraeedris on kõik kahetahulised nurgad (tahkude vahel) ja kolmnurksed nurgad (tipu juures) võrdsed.

Definitsioon. Ristkülikukujuline tetraeeder nimetatakse tetraeedrit, mille tipus on kolme serva vahel täisnurk (servad on risti). Moodustuvad kolm nägu ristkülikukujuline kolmnurkne nurk ja tahud on täisnurksed kolmnurgad ja alus on suvaline kolmnurk. Mis tahes näo apoteem on võrdne poole aluse küljega, millele apoteem langeb.

Definitsioon. Isoeedriline tetraeeder Nimetatakse tetraeedrit, mille külgpinnad on üksteisega võrdsed ja alus on korrapärane kolmnurk. Sellise tetraeedri tahud on võrdhaarsed kolmnurgad.

Definitsioon. Ortotsentriline tetraeeder nimetatakse tetraeedrit, milles kõik kõrgused (perpendikulaarid), mis on langetatud ülalt vastasküljele, ristuvad ühes punktis.

Definitsioon. tähe püramiid Nimetatakse hulktahukat, mille alus on täht.

Definitsioon. Bipüramiid- hulktahukas, mis koosneb kahest erinevast püramiidist (püramiide ​​saab ka ära lõigata), millel on ühine alus ja mille tipud asuvad põhitasandi vastaskülgedel. Märge. See on osa õppetunnist, milles käsitletakse geomeetria probleeme (lõike tahke geomeetria, püramiidi ülesanded). Kui teil on vaja lahendada geomeetria probleem, mida siin pole - kirjutage sellest foorumisse. Ülesannetes kasutatakse "ruutjuure" sümboli asemel funktsiooni sqrt (), milles sqrt on ruutjuure sümbol ja radikaalavaldis on näidatud sulgudes.Lihtsate radikaalsete väljendite puhul võib kasutada märki "√"..

Teoreetilised materjalid ja valemid, vt peatükki "Regulaarne püramiid".

Ülesanne

Korrapärase kolmnurkse püramiidi apoteem on 4 cm ja kahetahuline nurk põhjas on 60 kraadi. Leidke püramiidi ruumala.

Lahendus.

Kuna püramiid on õige, kaaluge järgmist:

• Püramiidi kõrgus projitseeritakse aluse keskele
• Korrapärase püramiidi aluse keskpunkt vastavalt ülesande tingimusele on võrdkülgne kolmnurk
• Võrdkülgse kolmnurga keskpunkt on nii sissekirjutatud kui ka piiritletud ringi keskpunkt.
• Püramiidi kõrgus moodustab aluse tasapinnaga täisnurga

Püramiidi ruumala saab leida järgmise valemi abil:
V = 1/3 Sh

Kuna tavalise püramiidi apoteem moodustab koos püramiidi kõrgusega täisnurkse kolmnurga, siis kasutame kõrguse leidmiseks siinusteoreemi. Lisaks võtame arvesse:

• Vaadeldava täisnurkse kolmnurga esimene haru on kõrgus, teine ​​jalg on sisse kirjutatud ringi raadius (tavalises kolmnurgas on keskpunkt nii sissekirjutatud kui ka piiritletud ringide keskpunkt), hüpotenuus on ringjoone apoteem. püramiid
• Täisnurkse kolmnurga kolmas nurk on 30 kraadi (kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi, nurga 60 kraadi annab tingimus, teine ​​nurk on täisnurk vastavalt püramiidi omadustele , kolmas on 180-90-60 = 30)
• 30 kraadi siinus on 1/2
• siinus 60 kraadi võrdub ruutjuurega kolmest
• 90 kraadi siinus on 1

Siinuse teoreemi järgi:
4 / patt (90) = h / patt (60) = r / patt (30)
4 = h / (√3 / 2) = 2r
kus
r = 2
h = 2√3

Püramiidi põhjas asub korrapärane kolmnurk, mille pindala saab leida valemiga:
Võrdkülgse kolmnurga S = 3√3 r 2 .
S = 3√3 2 2 .
S = 12√3.

Nüüd leidke püramiidi ruumala:
V = 1/3 Sh
V = 1/3 * 12√3 * 2√3
V \u003d 24 cm 3.

Vastus: 24 cm3.

Ülesanne

Korrapärase nelinurkse püramiidi aluse kõrgus ja külg on vastavalt 24 ja 14. Leia püramiidi apoteem.

Lahendus.

Kuna püramiid on korrapärane, asub selle põhjas korrapärane nelinurk - ruut. Lisaks projitseeritakse püramiidi kõrgus väljaku keskmesse. Seega on täisnurkse kolmnurga jalg, mille moodustab püramiidi apoteem, kõrgus ja neid ühendav segment, võrdne poolega korrapärase nelinurkse püramiidi aluse pikkusest.

Kust Pythagorase teoreemi kohaselt leitakse võrrandist apoteemi pikkus:

72 + 242 = x2
x2 = 625
x=25

Vastus: 25 cm

• apoteem- korrapärase püramiidi külgpinna kõrgus, mis on tõmmatud selle tipust (lisaks on apoteem ristnurga pikkus, mis on langetatud korrapärase hulknurga keskelt ühele küljele);
• külgmised näod (ASB, BSC, CSD, DSA) - ülaosas koonduvad kolmnurgad;
• külgmised ribid ( AS , BS , CS , D.S. ) - külgpindade ühised küljed;
• püramiidi tipp (v. S) - külgservi ühendav punkt, mis ei asu aluse tasapinnas;
• kõrgus ( NII ) - risti segment, mis tõmmatakse läbi püramiidi ülaosa selle aluse tasapinnani (sellise segmendi otsad on püramiidi tipp ja risti alus);
• püramiidi diagonaallõige- püramiidi osa, mis läbib aluse tipu ja diagonaali;
• alus (ABCD) on hulknurk, kuhu püramiidi tipp ei kuulu.

püramiidi omadused.

1. Kui kõik külgmised servad on ühesuurused, siis:

• püramiidi aluse lähedal on ringjoont lihtne kirjeldada, samas kui püramiidi tipp projitseeritakse selle ringi keskmesse;
• külgmised ribid moodustavad alustasandiga võrdsed nurgad;
• lisaks kehtib ka vastupidi, st. kui külgservad moodustavad alustasandiga võrdsed nurgad või kui saab kirjeldada ringi püramiidi aluse lähedal ja püramiidi tipp projitseeritakse selle ringi keskele, siis on kõik püramiidi külgservad sama suur.

2. Kui külgpindade kaldenurk on aluse tasapinna suhtes sama väärtusega, siis:

• püramiidi aluse lähedal on ringi lihtne kirjeldada, samas kui püramiidi tipp projitseeritakse selle ringi keskele;
• külgpindade kõrgused on võrdse pikkusega;
• külgpinna pindala on ½ aluse perimeetri ja külgpinna kõrguse korrutis.

3. Sfääri saab kirjeldada püramiidi lähedal, kui püramiidi aluseks on hulknurk, mille ümber saab kirjeldada ringjoont (vajalik ja piisav tingimus). Sfääri keskpunkt on nende tasandite lõikepunkt, mis läbivad nendega risti püramiidi servade keskpunkte. Sellest teoreemist järeldame, et sfääri saab kirjeldada nii mis tahes kolmnurkse kui ka iga korrapärase püramiidi ümber.

4. Püramiidi saab sisse kirjutada kera, kui püramiidi sisemiste kahetahuliste nurkade poolitustasandid ristuvad 1. punktis (vajalik ja piisav tingimus). Sellest punktist saab sfääri keskpunkt.

Lihtsaim püramiid.

Püramiidi aluse nurkade arvu järgi jagunevad need kolmnurkseteks, nelinurkseteks jne.

Püramiid tahe kolmnurkne, nelinurkne ja nii edasi, kui püramiidi alus on kolmnurk, nelinurk jne. Kolmnurkne püramiid on tetraeeder – tetraeedr. Nelinurkne - viiseeder ja nii edasi.

Siin on kogutud põhiteave püramiidide ning nendega seotud valemite ja mõistete kohta. Kõiki neid õpitakse eksamiks valmistudes koos matemaatika juhendajaga.

Mõelge tasapinnale, hulknurgale selles lamamine ja punkt S, mis selles ei lama. Ühendage S hulknurga kõigi tippudega. Saadud hulktahukat nimetatakse püramiidiks. Segmente nimetatakse külgmisteks servadeks. Hulknurka nimetatakse põhjaks ja punkti S püramiidi tipuks. Olenevalt arvust n nimetatakse püramiidi kolmnurkseks (n=3), nelinurkseks (n=4), viisnurkseks (n=5) jne. Kolmnurkse püramiidi alternatiivne nimi - tetraeeder. Püramiidi kõrgus on risti, mis on tõmmatud selle tipust alustasandiga.

Püramiidi nimetatakse õigeks, kui korrapärane hulknurk ja püramiidi kõrguse alus (risti alus) on selle keskpunkt.

Juhendaja kommentaar:
Ärge ajage segi mõisteid "regulaarne püramiid" ja "regulaarne tetraeedr". Tavalises püramiidis ei pruugi külgservad olla võrdsed aluse servadega, kuid tavalises tetraeedris on kõik 6 serva serva võrdsed. See on tema määratlus. Lihtne on tõestada, et võrdsus eeldab, et hulknurga keskpunkt P kõrguspõhjaga, seega on tavaline tetraeeder korrapärane püramiid.

Mis on apoteem?
Püramiidi apoteem on selle külgpinna kõrgus. Kui püramiid on korrapärane, on kõik selle apoteemid võrdsed. Vastupidine ei vasta tõele.

Matemaatika juhendaja oma terminoloogiast: töö püramiididega on 80% üles ehitatud kahte tüüpi kolmnurkade kaudu:
1) Sisaldab apoteemi SK ja kõrgust SP
2) Sisaldab külgserva SA ja selle projektsiooni PA

Nendele kolmnurkadele viitamise lihtsustamiseks on matemaatikaõpetajal mugavam nimetada neist esimene apoteemiline, ja teiseks rannikuala. Kahjuks ei leia seda terminoloogiat ühestki õpikust ja õpetaja peab seda ühepoolselt tutvustama.

Püramiidi mahu valem:
1) , kus on püramiidi aluse pindala ja püramiidi kõrgus
2) , kus on sisse kirjutatud sfääri raadius ja püramiidi kogupindala.
3) , kus MN on mis tahes kahe ristumise serva kaugus ja on rööpküliku pindala, mille moodustavad ülejäänud nelja serva keskpunktid.

Püramiidi kõrguse aluse omadus:

Punkt P (vt joonis) langeb kokku püramiidi põhjas oleva sisse kirjutatud ringi keskpunktiga, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:
1) Kõik apoteemid on võrdsed
2) Kõik külgpinnad on aluse poole võrdselt kallutatud
3) Kõik apoteemid on püramiidi kõrgusele võrdselt kaldu
4) Püramiidi kõrgus on kõigi külgpindade suhtes võrdselt kaldu

Matemaatika juhendaja kommentaar: pange tähele, et kõiki punkte ühendab üks ühine omadus: nii või teisiti osalevad igal pool külgpinnad (nende elemendid on apoteemid). Seetõttu saab juhendaja pakkuda meeldejätmiseks vähem täpset, kuid mugavamat sõnastust: punkt P ühtib sisse kirjutatud ringi keskpunktiga, püramiidi põhjaga, kui selle külgpindade kohta on võrdne teave. Selle tõestamiseks piisab, kui näidata, et kõik apoteemilised kolmnurgad on võrdsed.

Punkt P langeb kokku püramiidi aluse lähedal asuva piiritletud ringi keskpunktiga, kui on tõene üks kolmest tingimusest:
1) Kõik külgmised servad on võrdsed
2) Kõik külgribid on võrdselt aluse poole kaldu
3) Kõik külgmised ribid on kõrgusele võrdselt kaldu

Geomeetria probleemide edukaks lahendamiseks on vaja selgelt mõista selle teaduse kasutatavaid termineid. Näiteks on need "sirge joon", "tasapind", "polühedron", "püramiid" ja paljud teised. Selles artiklis vastame küsimusele, mis on apoteem.

Mõiste "apoteem" kahekordne kasutamine

Geomeetrias sõltub sõna "apoteem" või "apoteem", nagu seda ka nimetatakse, tähendus sellest, millisele objektile seda rakendatakse. On kaks põhimõtteliselt erinevat figuuriklassi, mille üheks tunnuseks see on.

Esiteks on need lamedad hulknurgad. Mis on hulknurga apoteem? See on kõrgus, mis on tõmmatud joonise geomeetrilisest keskpunktist selle mis tahes küljeni.

Et oleks selgem, mis on kaalul, kaaluge konkreetset näidet. Oletame, et alloleval joonisel on tavaline kuusnurk.

Sümbol l tähistab selle külje pikkust, täht a tähistab apoteemi. Märgitud kolmnurga puhul pole see mitte ainult kõrgus, vaid ka poolitaja ja mediaan. Lihtne on näidata, et külje l järgi saab seda arvutada järgmiselt:

Samamoodi on apoteem defineeritud mis tahes n-nurga jaoks.

Teine on püramiidid. Mis on sellise kuju apoteem? See küsimus nõuab põhjalikumat käsitlemist.

Sellel teemal: Kuidas muuta oma ripsmed pikaks ja paksuks vaid ühe kuuga?

Püramiidid ja nende apoteem

Esiteks defineerime püramiidi geomeetriliselt. See kujund on kolmemõõtmeline keha, mille moodustavad üks n-nurk (alus) ja n kolmnurka (külged). Viimased on ühendatud ühes punktis, mida nimetatakse tipuks. Kaugus sellest aluseni on figuuri kõrgus. Kui see langeb n-nurga geomeetrilisele keskpunktile, nimetatakse püramiidi sirgeks. Kui lisaks on n-nurgal võrdsed nurgad ja küljed, siis nimetatakse joonist regulaarseks. Allpool on näide püramiidist.

Mis on sellise kuju apoteem? See on risti, mis ühendab n-nurga külgi joonise ülaosaga. Ilmselgelt tähistab see kolmnurga kõrgust, mis on püramiidi külg.

Apoteemi on mugav kasutada tavaliste püramiididega geomeetriliste ülesannete lahendamisel. Fakt on see, et nende jaoks on kõik külgpinnad üksteisega võrdsed võrdhaarsete kolmnurkadega. Viimane asjaolu tähendab, et kõik n apoteemi on võrdsed, seega saame tavalise püramiidi puhul rääkida ühest sellisest sirgest.

Nelinurkse püramiidi apoteem õige

Võib-olla on selle kuju kõige ilmsem näide kuulus esimene maailmaime - Cheopsi püramiid. Ta on Egiptuses.

Iga sellise korrapärase n-nurkse alusega kujundi jaoks võib anda valemid, mis võimaldavad määrata selle apoteemi hulknurga külje pikkuse a, külgserva b ja kõrguse h järgi. Siia kirjutame ruudukujulise alusega sirge püramiidi vastavad valemid. Selle apoteem h b on võrdne:

Sellel teemal: Baškiiria lipp - kirjeldus, sümboolika ja ajalugu

h b \u003d √ (b 2 - a 2/4);

h b \u003d √ (h 2 + a 2/4)

Esimene neist avaldistest kehtib iga tavalise püramiidi jaoks, teine ​​- ainult nelinurkse püramiidi jaoks.

Näitame, kuidas neid valemeid saab ülesande lahendamiseks kasutada.

geomeetriline probleem

Olgu antud ruudukujulise alusega sirge püramiid. On vaja arvutada selle baaspindala. Püramiidi apoteem on 16 cm ja selle kõrgus on 2 korda suurem kui aluse külg.

Iga õpilane teab: vaadeldava püramiidi aluse ruudu pindala leidmiseks peaksite teadma selle külge a. Selle leidmiseks kasutame apoteemi jaoks järgmist valemit:

h b \u003d √ (h 2 + a 2/4)

Apoteemi tähendus on teada probleemi seisundist. Kuna kõrgus h on kaks korda suurem külje a pikkusest, saab selle avaldise teisendada järgmiselt:

h b = √((2*a) 2 + a 2 /4) = a/2*√17 =>

a = 2*h b /√17

Ruudu pindala on võrdne selle külgede korrutisega. Asendades saadud avaldise a-ga, saame:

S \u003d a 2 \u003d 4/17 * h b 2

Jääb üle asendada valemis ülesande tingimuse apoteemi väärtus ja kirjutada vastus: S ≈ 60,2 cm 2.

Loe ka: