Kombinatoorika on matemaatika haru, mis uurib küsimust, kui palju saab antud objektidest (elementidest) teha teatud tüüpi kombinatsioone.

Korrutamisreegel (kombinatoorika põhivalem)

Võimaluste koguarv, kuidas igast rühmast saab valida ühe elemendi ja paigutada need teatud järjekorda (st saada järjestatud komplekt), on võrdne:

Näide 1

Münti visati 3 korda. Kui palju erinevaid visketulemusi võite oodata?

Lahendus

Esimesel mündil on alternatiivid – kas pead või sabad. Teisele mündile on ka alternatiivid jne, st. .

Nõutav arv viise:

Lisamise reegel

Kui kahel rühmal ei ole ühiseid elemente, siis saab ühe elemendi valida kas , või , ... või alates erineval viisil.

Näide 2

Riiulil on 30 raamatut, millest 20 on matemaatilised, 6 tehnilised ja 4 majandusteaduslikud. Mitu võimalust on ühe matemaatika- või majandusraamatu valimiseks?

Lahendus

Matemaatikaraamatut saab valida mitmel viisil, majandusraamatut mitmel viisil.

Summareegli järgi saab valida matemaatika- või majandusraamatu.

Paigutused ja ümberpaigutused

Paigutused- Need on järjestatud elementide kogumid, mis erinevad üksteisest kas koostise või elementide järjestuse poolest.

Paigutused ilma kordusteta, kui valitud elementi ei tagastata populatsiooni enne järgmise valimist. Sellist valikut nimetatakse korduseta järjestikuseks valikuks ja selle tulemuseks on paigutus ilma elementide kordamiseta .

Erinevate viiside arv, kuidas järjestikust valikut saab teha ilma elemente tagastamata köite populatsioonist, on võrdne:

Näide 3

Päevakava koosneb 5 erinevast õppetunnist. 11 eriala hulgast valides määrake ajastamisvalikute arv.

Lahendus

Iga ajakava valik esindab 5 eriala 11-st, mis erinevad teistest valikutest nii koostise kui ka järjestuse poolest. Sellepärast:

Ümberkorraldused on järjestatud kollektsioonid, mis erinevad üksteisest ainult oma elementide järjestuse poolest. Elementide komplekti kõigi permutatsioonide arv on võrdne

Näide 4

Kui mitmel viisil saab ühe laua taha istuda 4 inimest?

Lahendus

Iga istumisvõimalus erineb ainult osalejate järjekorras, see tähendab, et see on 4 elemendi permutatsioon:

Paigutused kordustega, kui valitud element tagastatakse üldkogumisse enne järgmise valimist. Seda valikut nimetatakse tagastusega järjestikuseks valikuks ja selle tulemust paigutuseks koos elementide kordustega.

Erinevate viiside koguarv, mille abil saab teha valiku elementide tagastamiseks mahu populatsioonist, on võrdne

Näide 5

Lift peatub 7 korrusel. Mitmel viisil saavad nendel korrustel väljuda 6 liftikabiinist reisijat?

Lahendus

Kõik reisijate korruste vahel jaotamise meetodid on 6 reisija kombinatsioon 7 korruse vahel, mis erinevad teistest kombinatsioonidest nii koostise kui ka järjestuse poolest. Kuna samal korrusel võib väljuda üks või mitu reisijat, võivad samad reisijad korduda. Seetõttu on selliste kombinatsioonide arv võrdne paigutuste arvuga, mille kordused on 7 elementi 6:

Kombinatsioonid

Kombinatsioonid n-st elemendist k nimetatakse järjestamata kogumiks, mis erinevad üksteisest vähemalt ühe elemendi võrra.

Olgu üldkogumist võetud korraga mitu elementi (või võetakse elemente järjest, kuid nende ilmumise järjekorda ei võeta arvesse). Sellise samaaegse elementide järjestamata valiku tulemusena kogu mahu üldpopulatsioonist saadakse kombinatsioonid, mida nimetatakse nn. kombinatsioonid ilma kordusteta elementidest .

Elementide kombinatsioonide arv on võrdne:

Näide 6

Karbis on 9 õuna. Mitmel viisil saate karbist valida 3 õuna?

Lahendus

Iga valik koosneb 3 õunast ja erineb teistest ainult koostise poolest, see tähendab, et need on kombinatsioonid ilma 9 elemendi kordamiseta:

Võimaluste arv, kuidas saate valida 3 õuna 9-st:

Laske elemendid valida köite üldkogumist üksteise järel ja iga valitud element tagastatakse üldkogumisse enne järgmise valimist. See salvestab, millised elemendid ilmusid ja mitu korda, kuid ei võta arvesse nende ilmumise järjekorda. Saadud agregaate nimetatakse kombinatsioonid kordustega elementidest .

Kombinatsioonide arv elementide kordustega:

Näide 7

Postkontoris on müügil 3 tüüpi postkaarte. Kui mitmel viisil saab osta 6 postkaarti?

See on ülesanne leida kombinatsioonide arv kordustega 3 kuni 6:

Komplekti jagamine rühmadesse

Olgu erinevate elementide hulk jaotatud niimoodi rühmadesse, siis esimene rühm sisaldab elemente, teine ​​- elemendid, kolmas rühm - elemendid ja . Seda olukorda nimetatakse komplekti jagamiseks rühmadesse.

Kui elemendid kuuluvad esimesse, elemendid teise ja elemendid k-ndasse rühma, on rühmadesse jaotatud partitsioonide arv võrdne:

Näide 8

16-liikmeline rühm tuleb jagada kolmeks alarühmaks, millest esimeses peaks olema 5 inimest, teises 7 inimest, kolmandas 4 inimest. Kui mitmel viisil saab seda teha?

Tüüp ja omadused: õppetund uute teadmiste avastamiseks ja õppimisekspraktikale orienteeritud probleemide lahendamisega.

Tunni eesmärk: õpetada õpilasi lahendama kombinatoorseid ülesandeid järgmiste meetoditega: 1) lõplik otsing; 2) võimalike variantide puu ehitamine; 3) tabeli kasutamine.

Varustus: õppekompleksi “Vilenkin. 5",projektor, arvuti,interaktiivne tahvel ( ID ) , igal laual on 2 lehte (A4 formaadis) 7 lahendatud klassiülesandega ja 2 lehte (A4 formaadis) 7 kontrolltööga. Õpetaja laual on leht (A4 formaadis) 7 lahendatud tunniülesandega ja leht (A4 formaadis) 7 kontrolltööga nende lahendustega, projektülesande väljatrükid koju.

Õppetunni sammud

Lavaülesanded

Visuaalid

Õpetaja tegevus

Õpilaste tegevused

Moodustati UUD

Organisatsiooniline

Koguge kodutööd, seadke tunniks valmis

Libistage tahvlil:

"raske õppida, kerge võidelda"

Palun esitage nüüd oma kodutööde vihikud kontrollimiseks. Tuletan meelde, et täna hakkame uurima uut teemat.

Teenindajad kõnnivad läbi klassiruumi ja koguvad vihikuid.

Eneseregulatsioon, ennustamine ja hindamine

Teoreetiliste teadmiste täiendamine

Määrake tunni eesmärk

Tahvlil: kuupäev ja teema pealkiri: “Kombinatoorsed probleemid”

Poisid, täna teeme põneva teekonna "kombinatoorika" maailma

Esitage vaimselt küsimus: "mis see on?"

Eesmärgi seadmine, teema refleksioon.

Uue asja selgitused

la

Esmane tutvumine põhimõistetega,

meetodid, viisid

lahendusi

kombinatoorsed probleemid

Slaidi tahvlil: Sõna "kombinaatorika" pärineb ladinakeelsest sõnast COMBINARE, mis tähendab "ühendama", "ühendama".

Õpetaja küsib, mida teie arvates tähendab sõna "kombinaotika"?

Õpetaja teeb pausi, kuulab vastused ära ja ütleb siis definitsiooni.

Sõna "kombinatoorika" pärineb ladinakeelsest sõnast COMBINARE, mis tähendab "ühendama", "ühendama".

Lapsed vastavad hüpoteese püstitades

Kuulake tähelepanelikult, lugege jaotusmaterjalide määratlust

Hüpoteeside esitamine ja kontrollimine.

Libistage tahvlile

Kohvri lukustamiseks kahest numbrist koosneva kombinatsioonlukuga. Kohvri omanik otsustas kasutada ainult numbreid 1, 2 ja 3. Mitmel viisil saab ta koodi valida?

Selle probleemi saab lahendada võimalike valikute puu abil või kõiki võimalikke valikuid loetledes.

Nad kuulavad tähelepanelikult, vaatavad slaidi, mõtlevad, mäletavad.

Sisukas lugemine.

Libistage tahvlil:

Lahendus võimaliku puuga

Valikud

VÕIMALIKUTE VARIANTIDE PUU Sageli protsessLoendamist on mugav läbi viia spetsiaalse vooluringi - nnvõimalike valikute puu

joonistage puu juur, selleks pange märk *.

Koodi esimese numbri valimiseks on meil kolm võimalust: 1; 2; 3. Seetõttu tõmba puu juurest kolm oksa ja pane nende otstesse numbrid 1; 2; 3.

Teise numbri valimiseks on kolm sama valikut. Teostame "oksi"

Objekti analüüs.

Libistage tahvlil:

Toores jõu lahendus

Sobivad koodid on kahekohalised numbrid, mis võivad koosneda numbritest

1, 2, 3. Kirjutame kõik sellised arvud üles kasvavas järjekorras. See loendusmeetod võimaldab meil mitte ühtegi koodi kahe silma vahele jätta ja samal ajal mitte ühtegi neist korrata.

Algusest peale kirjutame üles kasvavas järjekorras kõik koodid, mis algavad numbriga 1: 11, 12, 13. Seejärel kirjutame kasvavas järjekorras koodid, mis algavad numbriga 2: 21, 22, 23.

Seejärel kirjutage kasvavas järjekorras üles koodid, mis algavad numbriga 3: 31, 32, 33

Nii et valida on 9 võimalust

koodid: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33.

Nad kuulavad tähelepanelikult, vaatavad slaide, mõtlevad, analüüsivad, klassifitseerivad, mäletavad.

Objekti analüüs.

Kriteeriumide aluste valik objektide võrdlemiseks, järjestamiseks, klassifitseerimiseks.

Mudelite ja diagrammide loomine ja teisendamine probleemide lahendamiseks sõltuvalt konkreetsetest tingimustest.

Uute teadmiste kinnistamine

Näidake teoreetiliste teadmiste praktilist rakendamist

läbi nende rakendamise praktiliste probleemide lahendamisel

Libistage tahvlile ülesande nr 1 tingimusega

Söögitoas saab hommikusöögiks valida pitsa, kukli, võileiva ning selle tee ja mahlaga maha pesta. Mitme hommikusöögivaliku vahel saate valida?

Libistage lahusega tahvlile

Slaid näitab võimalike valikute puud

esimene tase "JOOGID"

kaks võimalust: TEE, MAHL.

teise taseme kolm võimalust: PIZZA, KUKLI, VÕILEIB.

Kokku kuus hommikusöögivalikut:

TEE+PITSA, TEE+KOMB, TEE+VÕILEIB, MAHL+PITSA, MAHL+KOMB, MAHL+VÕILEIB.

Nad kuulavad tähelepanelikult, vaatavad slaide, mõtlevad, analüüsivad, klassifitseerivad, mäletavad.

Sissejuhatus ametitesse.

Objekti analüüs.

Kriteeriumide aluste valik objektide võrdlemiseks, järjestamiseks, klassifitseerimiseks.

Mudelite ja diagrammide loomine ja teisendamine probleemide lahendamiseks sõltuvalt konkreetsetest tingimustest.

Libistage ülesande nr 2 tingimustega tahvlile

“Matemaatika” riigist viib kolm teed maale “Kirjandus” ja neli teed “Kirjandusest” maale “Kehaline kasvatus”. Kui mitmel viisil saab riigist “Matemaatika” kuni

Riik “Kehaline kasvatus” riigi “Kirjandus” kaudu?

Libistage lahusega tahvlile

Joonis aitab meil seda probleemi lahendada.

Käime läbi kõik "RAJAD"

Märgistame riigist tulevad teed “MATEMAATIKA” järgmiselt: M1, M2, M3,

ja “KIRJANDUST” L1, L2, L3, L4.

Teeme läbi M1+L1, M1+L2, M1+L3, M1+L4, M2+L1, M2+L2, M2+L3,

M2+L4, M3+L1, M3+L2, M3+L3, M3+L4

Push

Lapsed mõtlevad teede arvu mitmekordistamise peale

Või võite võtta ja korrutada teede arvu 3 * 4 = 12

Nad kuulavad tähelepanelikult, vaatavad slaide, mõtlevad, analüüsivad, klassifitseerivad, mäletavad.

Tutvuge mudelite ja diagrammidega probleemide lahendamiseks sõltuvalt konkreetsetest tingimustest.

Libistage ülesande nr 3 tingimustega tahvlile

Turvakood koosneb tähtedest ja numbritest, kusjuures täht on esimesel kohal (näiteks A7). Mitu erinevat šifri versiooni saab teha tähtede A, B, C ja numbrite 3, 7, 9 abil?

Libistage lahusega tahvlile

2) Kooditähe valimiseks on meil kolm võimalust: A; B; C. Seetõttu tõmmati puu juurest kolm oksa ja nende otstesse pandi tähed: A; B; C.

3) Numbri valimiseks on kolm sama valikut. Teostame "oksi"

Liikudes puu juurest piki oksi, saame kõik võimalikud koodid

A3, A7, A9, B3, B7, B9, C3, C7, C9

Või Kokku 3*3=9 valikut

Nad kuulavad tähelepanelikult, vaatavad slaide, mõtlevad, analüüsivad, klassifitseerivad, mäletavad.

Tutvuge mudelite ja diagrammidega probleemide lahendamiseks sõltuvalt konkreetsetest tingimustest.

Libistage ülesande nr 4 tingimustega tahvlile

Mitmed riigid otsustasid oma riigi sümbolina kasutada lippu kolme sama laiuse, kuid erineva värviga horisontaalse triibu kujul: valge, sinine, punane. Kui paljud riigid võivad selliseid sümboleid kasutada, eeldusel, et igal riigil on oma lipp, mis erineb teistest?

Libistage lahusega tahvlile

Esimene meetod: määrake triipude värvid värvinimede algustähtedega

B – valge, K – punane, C – sinine.

Lahendame toore jõuga:

BSK, BKS, SBK, SKB, KBS, KSB

Kokku on kuus võimalust.

Teine viis:

Võtke pliiatsid ja joonistage lipud

Nad kuulavad tähelepanelikult, vaatavad slaide, mõtlevad, analüüsivad, klassifitseerivad, mäletavad.

Tutvuge mudelite ja diagrammidega probleemide lahendamiseks sõltuvalt konkreetsetest tingimustest.

Libistage ülesande nr 5 tingimustega tahvlile

Peres on 4 inimest ja köögis on laua taga 4 tooli. Perekond otsustas igal õhtul õhtust süües istuda nendele 4 toolile erineval viisil. Mitu päeva saavad pereliikmed seda kordamata teha?

Libistage lahusega tahvlile

Teine lahendus

Selguse huvides värvime toolid erinevates värvides.

Parandame ülaosas oleva punase tooli ja korraldame ülejäänud kolm ümber, saades kuus võimalust.

Teeme sama toimingu ülejäänud värvidega, saame 6*4=24 erinevat võimalust.

Teine viis:

Esimesele toolile võib istuda iga pereliige, st 4 võimalust; teisel – 3 inimest, kuna üks pereliige juba istub; kolmandale - 2 inimest as

kaks istuvad; neljandal on ainult üks, kuna kolm pereliiget juba istuvad.

Niisiis, korrutame kõik võimalused

4*3*2*1= 24

Nad kuulavad tähelepanelikult, vaatavad slaide, mõtlevad, analüüsivad, klassifitseerivad, mäletavad.

Tutvuge mudelite ja diagrammidega probleemide lahendamiseks sõltuvalt konkreetsetest tingimustest.

Libistage ülesande nr 6 tingimustega tahvlile

Vasya otsustas minna uusaastale

karneval musketäri kostüümis. Laenutuspoes pakuti talle valikut: kolme tüüpi püksid, kaks kummut, kolm mütsi. Kui palju erinevaid karnevalikostüüme saab neist esemetest valmistada?

Libistage lahusega tahvlile

Tähistame: esimene kork Ш1, teine ​​– Ш2, kolmas – Ш3

1) slaidil on näha *-märgi kujul puu juur.

2) esimese taseme kolmanda püksid;

3) teise astme kaks kamisoolid;

4) kolmanda taseme kolm korki;

Kokku 18 võimalust

Või lihtsalt korrutage "tasemed"

3*2*3=18

Nad kuulavad tähelepanelikult, vaatavad slaide, mõtlevad, analüüsivad, klassifitseerivad, mäletavad.

Tutvuge mudelite ja diagrammidega probleemide lahendamiseks sõltuvalt konkreetsetest tingimustest.

Libistage ülesande nr 7 tingimustega tahvlile

Kui nad kohtusid, surusid 7 päkapikku kätt. Mitu käepigistust tehti?

Seitse päkapikku otsustasid fotosid vahetada. Mitu fotot vajate?

Libistage lahendusega tahvlile: a)

Libistage lahendusega tahvlile: b)

Need kaks ülesannet on väga sarnased, kuid siiski erinevad

Selliste probleemide lahendamisel on parem kasutada tabelit.

1) Joonistame 8*8 tabeli, esimene rida ja esimene veerg on päkapikud.

2) Tõmbame laua diagonaali maha samamoodi, et päkapikk ei saa endale tere öelda.

3) Rakud on see, kes keda tervitas.

4) Tabeli alumine osa kordab ülemist.

Esimene päkapikk ütles tere teisele = teine ​​päkapikk ütles tere esimesele.

Kokku on 21 käepigistust.

Ülesanne b) erineb a)-st selle poolest, et seda on vaja

pidage tabeli põhja kui

esimene päkapikk andis foto teisele, EBAVÕRDNE teine ​​päkapikk andis foto esimesele.

Kokku 42 fotot.

Nad kuulavad tähelepanelikult, vaatavad slaide, mõtlevad, analüüsivad, klassifitseerivad, mäletavad.

Tutvuge mudelite ja diagrammidega probleemide lahendamiseks sõltuvalt konkreetsetest tingimustest.

Teadmiste süstematiseerimine

Süstematiseerida meetodid kombinatoorsete ülesannete lahendamiseks.

Slaidid tahvlil

Ja järgmine slaid,

Ülesande nr 7 lahenduste slaidid

Tutvusime kolme lahendusviisiga 1) valikute puu; 2) overkill;

3) andmete tabelesitus

Nad kuulavad tähelepanelikult, vaatavad slaide, mõtlevad, analüüsivad, klassifitseerivad, mäletavad.

Teadmiste süstematiseerimine kolmeks

meetodid.

Uute teadmiste omandamine

Andke definitsioon

kombinatoorsete probleemide arendamine.

Libistage tahvlile

Paluge lastel määratleda mõiste "kombinatsiooniprobleemid" oma sõnadega.

Vastake küsimusele

Analoogiate loomine.

Oskus on klassifitseeritud

vat.

Nimetage seda tüüpi probleemide lahendamiseks kolm meetodit.

Järgmine slaid;

Slaid ülesande nr 7 lahendamiseks

Paluge lastel oma sõnadega rääkida kolmest lahendusviisist

kombinatoorsed probleemid

Vastake küsimusele

Oskus on klassifitseeritud

vat.

Kõige tõhusamate viiside valimine probleemide lahendamiseks sõltuvalt konkreetsetest lahendustest

Tehke järeldus kombinatoorsete ülesannete mitmemõõtmelise lahenduse kohta

Libistage

Küsige lastelt, kas teie arvates saab kõiki kombinatoorseid ülesandeid lahendada erinevate meetoditega?

Pärast slaidi näitamist kehaline kasvatus. vaid minut (3 õpilast kutsutakse tahvli juurde ja istuvad erineval viisil oma laua taha)

Vastake küsimusele

Looge mudelid ja diagrammid probleemide lahendamiseks sõltuvalt konkreetsetest tingimustest

Refleks

need

Viia läbi iseseisvat tööd rühmades, väikestes rühmades, individuaalselt.

diagonaalid

pooleks

võrdne

täisnurga all

Jah

Jah

Jah

Igal laual on leht (A4 formaadis) seitsme ülesandega (lisa nr 1)

Slaid koos vastustega

Tabel tahvlil (meeskonna vastused)

Koman-

jah nr 1

Koman-

jah #2

7 a

7 b

Klassist valitakse kaks 8-12-liikmelist võistkonda. Neile antakse ülesanne:

1. Jaotage ülesannete kaupa: üks või kaks õpilast ülesande kohta.

2. Lahenduse jaoks ei ole ette nähtud rohkem kui 7 minutit.

Märkus: õpetaja saab luua meeskondi, ülesannete kaupa määramist ei toimu, 1 minuti jooksul tuleb määrata ainult lapsed ise. Kui ei saa, siis lähtuvalt laste asukohast saab õpilane oma ülesande.

1. iga õigesti lahendatud kohta

võistkond saab ülesande eest 1 punkti

1. kontrollib klassi: võistkondade vastused kirjutatakse tahvlile. Lapsed, kes on oma probleemi lahendanud, ütlevad vastuse ja valvemees paneb selle kirja.

2. õiged vastused slaidil

Õpilased, kes ei ole meeskondadesse kaasatud, lahendavad suvalise arvu ülesandeid seitsmest enda valikul.

Teostada iseseisvat tööd meeskonnas, paaris, individuaalselt.

Kombinatsioon individuaalsest iseseisvast tööst ja meeskonnatööst

Kodutööde selgitused

Pakkuda

laste arusaam teostuse eesmärgist, sisust ja meetoditest

kodutööd.

Igal õpilasel on selle kodutöö tekst laual.

ülesandeid.

Projekti kodutöö

Mõelge igaühele kolm välja

mis tahes kombinatoorsed probleemid.

Grupis mitte rohkem kui 5 inimest

Meie (Õpetaja ja õpilased) kasutame neid ülesandeid edaspidi viktoriinivõistlustel ja mitte ainult klassisiseselt, vaid ka koolis.

See tähendab, et loome panga "Viktoriinide ülesanded"

Mõelge läbi ülesande täitmise tingimused:

1) individuaalselt või rühmas;

2) mida kasutada ülesannete koostamisel, milliseid vahendeid.

Eneseregulatsioon

eneseteadvuse arendamine, vastutustunne

ei mingit suhet

Lisa nr 1

Ülesanne nr 1

Söögitoas saab hommikusöögiks valida kukli, piruka kapsaga, piruka kartuliga, võileiva ning tee või kompotiga maha pesta. Kui paljude hommikusöögivalikute vahel saate valida?

Ülesanne nr 2

“Matemaatika” riigist viib neli teed maale “Kirjandus” ja viis teed “Kirjandusest” maale “Kehaline kasvatus”. Kui mitmel viisil saab riigist “Matemaatika” kuni

riiki “Kehaline kasvatus” riigi “Kirjandus” kaudu?

Ülesanne nr 3

Turvakood koosneb tähtedest ja numbritest, kusjuures täht on esimesel kohal (näiteks A7). Mitu erinevat šifri versiooni saab luua tähtede A, M, F ja numbrite 1, 4, 6, 9 abil?

Ülesanne nr 4

Mitmed riigid on otsustanud oma riigi sümbolina kasutada lippu nelja võrdse laiusega, kuid erinevat värvi horisontaalse triibu kujul: valge, sinine, punane, roheline. Kui paljud riigid võivad selliseid sümboleid kasutada, eeldusel, et igal riigil on oma lipp, mis erineb teistest?

Probleem nr 5

Peres on 5 inimest ja köögis on laua taga 5 tooli. Perekond otsustas igal õhtul õhtust süües istuda nendele 5 toolile erineval viisil. Mitu päeva saavad pereliikmed seda kordamata teha?

Probleem nr 6

Vasya otsustas uusaasta karnevalile minna musketäris. Laenutuspoes pakuti talle valikut: nelja tüüpi püksid, kaks kummut, kaks mütsi. Kui palju erinevaid karnevalikostüüme saab neist esemetest valmistada?

Probleem nr 7

Kui nad kohtusid, surusid 4 päkapikku kätt. Mitu käepigistust tehti?

Viis päkapikku otsustasid fotosid vahetada. Mitu fotot vajate?

Lisa nr 2

Kodutöö (projekti tegevus)

Projekti kodutöö

Mõelge igaühele kolm välja

mis tahes kombinatoorsed probleemid.

Probleemide väljamõtlemisel võib kasutada: Õpik “Vilenkin. matemaatika 5; muud raamatud; Interneti-ressursid.

Gruppidega saab liituda, aga tingimus on

Igal õpilasel on jäänud kolm ülesannet.

Grupis mitte rohkem kui 5 inimest

3) UMK “Dorofejevi matemaatika 5”;

4) Interneti-ressursid (gif1000)

Tuleb märkida, et kombinatoorika on kõrgema matemaatika iseseisev haru (ja mitte osa tervest) ja selle distsipliini kohta on kirjutatud kaalukaid õpikuid, mille sisu pole kohati lihtsam kui abstraktne algebra. Meile piisab aga väikesest osast teoreetilistest teadmistest ja selles artiklis püüan analüüsida kättesaadaval kujul teema põhitõdesid koos tüüpiliste kombinatoorsete probleemidega. Ja paljud teist aitavad mind ;-)

Mida me tegema hakkame? Kitsas tähenduses on kombinatoorika mitmesuguste kombinatsioonide arvutamine, mida saab teatud hulgast teha diskreetne objektid. Objektide all mõistetakse mis tahes isoleeritud objekte või elusolendeid – inimesi, loomi, seeni, taimi, putukaid jne. Samas ei huvita kombinatoorikat üldse, et komplekt koosneb taldrikust mannapudrust, jootekolbist ja rabakonnast. Põhimõtteliselt on oluline, et neid objekte saaks loetleda – neid on kolm (diskreetsus) ja oluline on see, et ükski neist pole identne.

Oleme palju käsitlenud, nüüd kombinatsioonidest. Levinumad kombinatsioonitüübid on objektide permutatsioonid, nende valik komplektist (kombinatsioon) ja jaotus (paigutus). Vaatame, kuidas see praegu juhtub:

Permutatsioonid, kombinatsioonid ja paigutused ilma kordamiseta

Ärge kartke ebaselgeid termineid, eriti kuna mõned neist pole tõesti väga head. Alustame pealkirja sabast - mida tähendab " ei mingeid kordusi"? See tähendab, et selles jaotises käsitleme komplekte, mis koosnevad mitmesugused objektid. Näiteks ... ei, jootekolvi ja konnaga putru ei paku, parem on midagi maitsvamat =) Kujutage ette, et teie ees on lauale materialiseerunud õun, pirn ja banaan ( kui teil need on, saab olukorda tegelikkuses simuleerida). Laotame puuviljad vasakult paremale järgmises järjekorras:

õun / pirn / banaan

Küsimus üks: Mitmel viisil saab neid ümber korraldada?

Üks kombinatsioon on juba ülalpool kirjutatud ja ülejäänutega pole probleeme:

õun / banaan / pirn
pirn / õun / banaan
pirn / banaan / õun
banaan / õun / pirn
banaan / pirn / õun

Kokku: 6 kombinatsiooni või 6 permutatsioonid.

Olgu, kõiki võimalikke juhtumeid ei olnud raske loetleda, aga mis siis, kui objekte on rohkem? Vaid nelja erineva puuviljaga suureneb kombinatsioonide arv oluliselt!

Palun avage võrdlusmaterjal (käsiraamatut on mugav printida) ja punktist nr 2 leia permutatsioonide arvu valem.

Ilma probleemideta – 3 objekti saab erineval viisil ümber paigutada.

Teine küsimus: Mitmel viisil saab valida a) ühe vilja, b) kahte vilja, c) kolme vilja, d) vähemalt ühe vilja?

Miks valida? Seega tegime eelmises punktis isu üles - selleks, et süüa! =)

a) Ühe puuvilja saab valida loomulikult kolmel viisil – võtta kas õun, pirn või banaan. Ametlik arvutus tehakse vastavalt kombinatsioonide arvu valem:

Sel juhul tuleks kirjet mõista järgmiselt: "Mitmel viisil saate valida 1 puuvilja kolmest?"

b) Loetleme kõik võimalikud kahe vilja kombinatsioonid:

õun ja pirn;
õun ja banaan;
pirn ja banaan.

Kombinatsioonide arvu saab hõlpsasti kontrollida sama valemi abil:

Kirjet mõistetakse sarnaselt: "Mitmel viisil saate valida 2 puuvilja kolmest?"

c) Ja lõpuks, kolme puuvilja valimiseks on ainult üks viis:

Muide, tühja proovi jaoks jääb kombinatsioonide arvu valem tähenduslikuks:
Sel viisil ei saa te valida ühtegi puuvilja - tegelikult ei võta midagi ja kõik.

d) Mitmel viisil saate võtta vähemalt üks puuvilju? Tingimus "vähemalt üks" tähendab, et oleme rahul 1 puuviljaga (ükskõik millise) või 2 puuviljaga või kõigi 3 puuviljaga:
neid meetodeid kasutades saate valida vähemalt ühe puuvilja.

Lugejad, kes on sissejuhatava õppetunni hoolikalt uurinud tõenäosusteooria, oleme juba midagi arvanud. Plussmärgi tähendusest aga lähemalt hiljem.

Järgmisele küsimusele vastamiseks vajan kahte vabatahtlikku... ...Noh, kuna keegi ei taha, siis kutsun teid juhatusse =)

Kolmas küsimus: Mitmel viisil saate Dašale ja Natašale jagada ühe puuvilja?

Kahe puuvilja levitamiseks peate need kõigepealt välja valima. Eelmise küsimuse lõigu "olla" kohaselt saab seda teha mitmel viisil, kirjutan need ümber:

õun ja pirn;
õun ja banaan;
pirn ja banaan.

Nüüd on aga kombinatsioone kaks korda rohkem. Mõelge näiteks esimesele puuviljapaarile:
Dashat saate ravida õunaga ja Natašat pirniga;
või vastupidi - Daša saab pirni ja Nataša saab õuna.

Ja selline permutatsioon on võimalik iga puuviljapaari jaoks.

Mõelge samale õpilasrühmale, kes käis tantsimas. Kui mitmel viisil saab poissi ja tüdrukut paari panna?

Võimalusi saate valida 1 noormehe;
kuidas saate valida 1 tüdruku.

Seega üks noormees Ja Saate valida ühe tüdruku: viise.

Kui igast komplektist valitakse 1 objekt, kehtib kombinatsioonide loendamisel järgmine põhimõte: " igaühest komplektist pärit objekt võib moodustada paari kõigiga teise komplekti objekt."

See tähendab, et Oleg võib kutsuda tantsima ükskõik millise 13 tüdrukust, Jevgeni võib kutsuda ka ükskõik millise kolmeteistkümnest ja ülejäänud noortel on sarnane valik. Kokku: võimalikud paarid.

Tuleb märkida, et selle näite puhul pole paari moodustamise ajalool tähtsust; kui aga initsiatiivi arvesse võtta, tuleb kombinatsioonide arvu kahekordistada, sest iga 13 tüdrukust saab tantsima kutsuda ka iga poisi. Kõik sõltub konkreetse ülesande tingimustest!

Sarnane põhimõte kehtib ka keerulisemate kombinatsioonide puhul, näiteks: mitmel viisil saab valida kahte noormeest? Ja kaks tüdrukut KVN-sketis osalema?

liit JA vihjab selgelt, et kombinatsioone tuleb korrutada:

Võimalikud kunstnike rühmad.

Teisisõnu iga koos saab esineda poistepaar (45 unikaalset paari). ükskõik milline tüdrukute paar (78 ainulaadset paari). Ja kui arvestada rollide jaotust osalejate vahel, tuleb kombinatsioone veelgi rohkem. ...tahan väga, aga hoidun siiski jätkamast, et mitte tekitada sinus vastumeelsust tudengielu vastu =).

Kombinatsioonide korrutamise reegel kehtib ka suurema arvu kordajate puhul:

Probleem 8

Mitu kolmekohalist arvu, mis jaguvad 5-ga?

Lahendus: selguse huvides tähistame seda numbrit kolme tärniga: ***

IN sadade koht Võite kirjutada mis tahes arvu (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 või 9). Null ei sobi, kuna sel juhul lakkab number olemast kolmekohaline.

Aga sisse kümnete koht("keskel") saate valida mis tahes 10 numbrist: .

Tingimuse kohaselt peab arv jaguma 5-ga. Arv jagub 5-ga, kui ta lõpeb 5 või 0-ga. Seega rahuldame madalas järjekorras 2 numbrit.

Kokku on olemas: kolmekohalised arvud, mis jaguvad 5-ga.

Sel juhul dešifreeritakse teos järgmiselt: “9 viisi, kuidas saab numbrit valida sadade koht Ja 10 võimalust numbri valimiseks kümnete koht Ja 2 teed sisse ühikute arv»

Või veelgi lihtsam: “ iga 9 numbrist kuni sadade koht kombineerib igaühega 10 numbrit kümnete koht ja igaühega kahest numbrist kuni ühikute arv».

Vastus: 180

Ja nüüd...

Jah, ma oleks peaaegu unustanud ülesande nr 5 lubatud kommentaari, kus Borile, Dimale ja Volodjale saab erineval viisil jagada ühe kaardi. Korrutamisel on siin sama tähendus: 3 kaardi kaardipakist eemaldamise viisid JA igas proovi neid viisil ümber korraldada.

Ja nüüd üks probleem, mida tuleb ise lahendada... nüüd mõtlen välja midagi huvitavamat... olgu selleks siis seesama venekeelne blackjacki versioon:

Probleem 9

Mitu 2 kaardi võidukombinatsiooni on "punkti" mängimisel?

Neile, kes ei tea: võidukombinatsioon on 10 + ACE (11 punkti) = 21 punkti ja vaatleme kahe ässa võidukombinatsiooni.

(kaartide järjekord igas paaris ei oma tähtsust)

Lühilahendus ja vastus tunni lõpus.

Muide, ärge pidage näidet primitiivseks. Blackjack on peaaegu ainus mäng, mille jaoks on olemas matemaatiliselt põhinev algoritm, mis võimaldab kasiinot võita. Huvilistel on lihtne leida hulgaliselt teavet optimaalse strateegia ja taktika kohta. Tõsi, sellised meistrid satuvad üsna kiiresti kõigi asutuste musta nimekirja =)

On aeg koondada materjal, mis on kaetud paari kindla ülesandega:

Probleem 10

Vasjal on kodus 4 kassi.

a) mitmel viisil saab kasse toanurkadesse istutada?
b) mitmel viisil saate lasta kassidel jalutama minna?
c) mitmel viisil saab Vasya kahte kassi (üks tema vasakult, teine ​​paremalt) korjata?

Otsustame: esiteks peaksite jälle tähelepanu pöörama sellele, et probleem on seotud erinev esemed (isegi kui kassid on identsed kaksikud). See on väga oluline tingimus!

a) Kasside vaikimine. Vastavalt sellele täitmisele kõik kassid korraga
+ nende asukoht on oluline, seega on siin permutatsioone:
neid meetodeid kasutades saate paigutada kassid ruumi nurkadesse.

Kordan, et permuteerimisel on oluline ainult erinevate objektide arv ja nende suhteline asukoht. Olenevalt Vasja tujust saab ta loomad istutada poolringis diivanile, ritta aknalauale jne. – kõigil juhtudel on 24 permutatsiooni.

b) Kui mitmel viisil saate lasta kassidel jalutama minna?

Eeldatakse, et kassid lähevad jalutama ainult ukse kaudu ja küsimus viitab ükskõiksusele loomade arvu suhtes - jalutama võivad minna 1, 2, 3 või kõik 4 kassi.

Loendame kõik võimalikud kombinatsioonid:

Mõnel viisil saate lasta ühel kassil (ükskõik millisel neljast) jalutama minna;
viisid, kuidas saate lasta kahel kassil jalutama minna (loetlege valikud ise);
mõnel viisil võite lasta kolm kassi jalutama (üks neljast istub kodus);
Nii saad kõik kassid lahti lasta.

Tõenäoliselt arvasite, et saadud väärtused tuleks kokku võtta:
viisid, kuidas kassidel jalutama lasta.

Entusiastidele pakun probleemi keerulise versiooni - kui suvaline kass mis tahes proovis võib juhuslikult välja minna, nii uksest kui ka 10. korruse aknast. Kombinatsioonide arv kasvab märgatavalt!

c) Kui mitmel viisil saab Vasya kahte kassi korjata?

Olukord hõlmab mitte ainult 2 looma valimist, vaid ka nende mõlemasse kätte panemist:
Sel viisil saate korjata 2 kassi.

Teine lahendus: meetodite abil saate valida kaks kassi Ja istutamise viisid iga paar käepärast:

Vastus: a) 24, b) 15, c) 12

Noh, südametunnistuse puhastamiseks midagi täpsemat kombinatsioonide korrutamise kohta... Las Vasjal on veel 5 kassi =) Kui mitmel viisil saate lasta 2 kassil jalutama minna? Ja 1 kass?

See tähendab, et koos iga paar kassi saab lahti lasta iga kass.

Teine nupp-akordion iseseisvaks lahenduseks:

Probleem 11

Kolm reisijat astusid 12-korruselise maja lifti. Kõik, olenemata teistest, võivad võrdse tõenäosusega väljuda ükskõik milliselt (alates 2. korruselt). Mitmel viisil:

1) reisijad saavad väljuda samal korrusel (väljumise järjekord ei oma tähtsust);
2) ühel korrusel saavad maha kaks inimest, teisel kolmas;
3) inimesed saavad väljuda erinevatel korrustel;
4) kas reisijad saavad liftist väljuda?

Ja siin küsitakse sageli uuesti, täpsustan: kui samal korrusel väljub 2 või 3 inimest, siis väljumise järjekord ei oma tähtsust. MÕTLE, kasuta kombinatsioonide liitmiseks/korrutamiseks valemeid ja reegleid. Raskuste korral on reisijatel kasulik nimetada ja spekuleerida, millistes kombinatsioonides nad saavad liftist väljuda. Pole vaja ärrituda, kui midagi ei õnnestu, näiteks punkt nr 2 on üsna salakaval, siiski leidis üks lugejatest lihtsa lahenduse ja tänan veel kord teie kirjade eest!

Täislahendus koos üksikasjalike kommentaaridega õppetunni lõpus.

Viimane lõik on pühendatud kombinatsioonidele, mis esinevad samuti üsna sageli - minu subjektiivse hinnangu kohaselt umbes 20-30% kombinatoorsetest probleemidest:

Permutatsioonid, kombinatsioonid ja paigutused kordustega

Loetletud kombinatsioonide tüübid on välja toodud võrdlusmaterjali punktis nr 5 Kombinatoorika põhivalemid mõned neist ei pruugi aga esimesel lugemisel väga selged olla. Sel juhul on kõigepealt soovitatav tutvuda praktiliste näidetega ja alles seejärel mõista üldist sõnastust. Lähme:

Permutatsioonid kordustega

Kordustega permutatsioonides, nagu "tavalistes" permutatsioonides, kõik paljud objektid korraga, kuid on üks asi: selles komplektis kordub üks või mitu elementi (objekti). Vastake järgmisele standardile:

Probleem 12

Mitu erinevat tähekombinatsiooni saab järgmiste tähtedega kaartide ümberpaigutamisel: K, O, L, O, K, O, L, b, Ch, I, K?

Lahendus: kui kõik tähed olid erinevad, tuleks rakendada triviaalset valemit, kuid on täiesti selge, et pakutud kaartide komplekti puhul töötavad mõned manipulatsioonid "jõude", näiteks kui vahetate mis tahes kaks kaarti tähed "K" " mis tahes sõnas, saate sama sõna. Pealegi võivad kaardid olla füüsiliselt väga erinevad: üks võib olla ümmargune, millele on trükitud täht “K”, teine ​​aga kandiline, millele on joonistatud “K” täht. Aga ülesande tähenduse järgi isegi selliseid kaarte peetakse samadeks, kuna tingimus küsib tähekombinatsioonide kohta.

Kõik on äärmiselt lihtne - ainult 11 kaarti, sealhulgas kiri:

K – korratakse 3 korda;
O – korratakse 3 korda;
L – korratakse 2 korda;
b – korratakse 1 kord;
H – korratakse 1 kord;
Ja - korrati 1 kord.

Kontrollige: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, mida oli vaja kontrollida.

Vastavalt valemile kordustega permutatsioonide arv:
võimalik saada erinevaid tähekombinatsioone. Rohkem kui pool miljonit!

Suure faktoriaalväärtuse kiireks arvutamiseks on mugav kasutada tavalist Exceli funktsiooni: sisestage mis tahes lahtrisse =FAKT(11) ja vajutage Sisestage.

Praktikas on üsna vastuvõetav üldvalemi kirjutamata jätmine ja lisaks ühikufaktoriaalide väljajätmine:

Kuid korduvate kirjade kohta on vajalikud eelnevad kommentaarid!

Vastus: 554400

Teine tüüpiline näide kordusega permutatsioonidest esineb malenuppude paigutuse probleemis, mille võib leida laost valmis lahendusi vastavas pdf-is. Ja iseseisva lahenduse jaoks pakkusin välja vähem valemiga ülesande:

Probleem 13

Aleksei tegeleb spordiga ja 4 päeva nädalas - kergejõustikuga, 2 päeva - jõuharjutused ja 1 päev puhkab. Kui mitmel moel saab ta endale nädalaplaani koostada?

Valem siin ei tööta, sest võtab arvesse juhuslikke vahetusi (näiteks kolmapäevaste jõuharjutuste vahetamine neljapäevaste jõuharjutustega). Ja veel – tegelikult võivad samad 2 jõutreeningut üksteisest vägagi erineda, kuid ülesande kontekstis (graafiku seisukohalt) käsitletakse neid samade elementidena.

Kaherealine lahendus ja vastus tunni lõpus.

Kombinatsioonid kordustega

Seda tüüpi kombinatsioonide iseloomulik tunnus on see, et valim koostatakse mitmest rühmast, millest igaüks koosneb identsetest objektidest.

Kõik on täna kõvasti tööd teinud, seega on aeg end värskendada:

Probleem 14

Üliõpilassööklas müüakse taignas vorste, juustukooke ja sõõrikuid. Mitmel viisil saab osta viis pirukat?

Lahendus: pöörake kohe tähelepanu kordustega kombinatsioonide tüüpilisele kriteeriumile - vastavalt tingimusele ei pakuta valikuks mitte objektide kogumit kui sellist, vaid erinevat tüüpi esemed; oletatakse, et müügil on vähemalt viis hot dogi, 5 juustukooki ja 5 sõõrikut. Iga grupi pirukad on muidugi erinevad – sest absoluutselt identseid sõõrikuid saab simuleerida ainult arvutis =) Pirukate füüsikalised omadused pole aga probleemi seisukohalt olulised ja hot dogid / juustukoogid / sõõrikud nende rühmades peetakse samadeks.

Mis võiks olla proovis? Kõigepealt tuleb märkida, et proovis on kindlasti identsed pirukad (kuna valime 5 tükki ja valida on 3 tüüpi). Siin on valikuid igale maitsele: 5 hot dogi, 5 juustukooki, 5 sõõrikut, 3 hot dogi + 2 juustukooki, 1 hot dog + 2 juustukooki + 2 sõõrikut jne.

Nagu "tavaliste" kombinatsioonide puhul, ei oma pirukate valimise ja paigutuse järjekord tähtsust - valisite lihtsalt 5 tükki ja kõik.

Me kasutame valemit kordustega kombinatsioonide arv:
Seda meetodit kasutades saate osta 5 pirukat.

Head isu!

Vastus: 21

Millise järelduse saab teha paljudest kombinatoorsetest probleemidest?

Mõnikord on kõige raskem olukorrast aru saada.

Sarnane näide sõltumatu lahenduse jaoks:

Probleem 15

Rahakotis on üsna palju 1-, 2-, 5- ja 10-rublaseid münte. Mitmel viisil saab rahakotist kolm münti eemaldada?

Enesekontrolli eesmärgil vastake paarile lihtsale küsimusele:

1) Kas kõik proovis olevad mündid võivad olla erinevad?
2) Nimetage "odavaim" ja "kallim" müntide kombinatsioon.

Lahendus ja vastused tunni lõpus.

Oma isiklikust kogemusest võin öelda, et kombinatsioonid kordustega on praktikas kõige haruldasem külaline, mida ei saa öelda järgmist tüüpi kombinatsioonide kohta:

Paigutused kordustega

Elementidest koosnevast komplektist valitakse välja elemendid ning oluline on elementide järjekord igas valikus. Ja kõik oleks hästi, kuid üsna ootamatu nali on see, et me saame originaalkomplekti mistahes objekti valida nii palju kordi, kui tahame. Piltlikult öeldes "hulk ei vähene."

Millal see juhtub? Tüüpiline näide on mitme kettaga kombinatsioonlukk, kuid tehnoloogia arengu tõttu on asjakohasem arvestada selle digitaalse järeltulijaga:

Probleem 16

Mitu neljakohalist PIN-koodi on?

Lahendus: tegelikult piisab probleemi lahendamiseks kombinatoorika reeglite tundmisest: mõnel viisil saate valida PIN-koodi esimese numbri Ja viisid - PIN-koodi teine ​​number Ja nii paljuski – kolmas Ja sama number – neljas. Seega saab kombinatsioonide korrutamise reegli järgi neljakohalist pin-koodi koostada järgmiselt: viisidel.

Ja nüüd valemit kasutades. Vastavalt tingimusele pakutakse meile numbrite komplekti, mille hulgast numbrid valitakse ja järjestatakse kindlas järjekorras, samas kui valimi numbreid võib korrata (st algse komplekti mis tahes numbrit saab kasutada suvalise arvu kordi). Kordustega paigutuste arvu valemi järgi:

Vastus: 10000

Mis siin meelde tuleb... ...kui sularahaautomaat pärast kolmandat ebaõnnestunud PIN-koodi sisestamise katset kaardi “sööb”, siis on selle juhusliku kättesaamise võimalus väga väike.

Ja kes ütles, et kombinatoorikal pole praktilist tähendust? Kognitiivne ülesanne kõigile saidi lugejatele:

Probleem 17

Riigistandardi järgi koosneb auto numbrimärk 3 numbrist ja 3 tähest. Sel juhul on kolme nulliga number vastuvõetamatu ja tähed valitakse komplektist A, B, E, K, M, N, O, P, S, T, U, X (kasutatakse ainult neid kirillitsa tähti, mille kirjapilt langeb kokku ladina tähtedega).

Mitu erinevat numbrimärki saab ühe piirkonna jaoks luua?

Muide, neid pole nii palju. Suurtes piirkondades pole sellist kogust piisavalt ja seetõttu on nende jaoks kirjas RUS mitu koodi.

Lahendus ja vastus on tunni lõpus. Ärge unustage kasutada kombinatoorika reegleid ;-) ...tahtsin näidata eksklusiivset, kuid selgus, et see pole eksklusiivne =) Vaatasin Vikipeediat - seal on arvutused, kuigi ilma kommentaarideta. Kuigi hariduslikel eesmärkidel lahendasid seda ilmselt vähesed.

Meie põnev õppetund on lõppenud ja lõpuks tahan öelda, et te ei ole oma aega raisanud – põhjusel, et kombinatoorika valemid leiavad veel ühe olulise praktilise rakenduse: neid leidub erinevates probleemides tõenäosusteooria,
ja sisse probleemid, mis hõlmavad tõenäosuse klassikalist määramist- eriti sageli =)

Täname kõiki aktiivse osalemise eest ja peatse kohtumiseni!

Lahendused ja vastused:

Ülesanne 2: Lahendus: leidke 4 kaardi kõigi võimalike permutatsioonide arv:

Kui nulliga kaart asetatakse 1. kohale, muutub number kolmekohaliseks, seega tuleks need kombinatsioonid välistada. Olgu null 1. kohal, siis saab alumiste numbrite ülejäänud 3 numbrit erineval viisil ümber paigutada.

Märkus : sest Kuna kaarte on vaid mõned, on siin lihtne kõik valikud loetleda:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Seega saame pakutud komplektist teha:
24 – 6 = 18 neljakohalist numbrit
Vastus : 18

Ülesanne 4: Lahendus: mitmel viisil saate valida 3 kaarti 36-st. Ja
2) “Odavaim” komplekt sisaldab 3 rubla münti ja kõige “kallim” – 3 kümnerublast.

Ülesanne 17: Lahendus: neid meetodeid kasutades saate luua autonumbri digitaalse kombinatsiooni, kusjuures üks neist (000) tuleks välja jätta: .
neid meetodeid kasutades saate luua numbrimärgi numbri tähekombinatsiooni.
Kombinatsioonide korrutamise reegli kohaselt saab kogusumma teha:
numbrimärgid
(iga digitaalne kombinatsioon on kombineeritud igaühega tähekombinatsioon).
Vastus : 1726272

Paljude kombinatoorsete probleemide puhul osutub meid huvitavate valikute otsene leidmine keeruliseks. Probleemi tingimuste mõningase muudatusega võite siiski leida mitmeid valikuid, mis ületab originaali teadaoleva arvu kordi. Seda tehnikat nimetatakse mitmekordne loendusmeetod.

1. Mitu anagrammi on sõnal KLASS?

Raskus seisneb selles, et selles sõnas on kaks identset tähte C. Peame neid ajutiselt erinevateks ja tähistame C 1 ja C 2. Siis on anagrammide arv 5! = 120. Aga need sõnad, mis erinevad üksteisest ainult tähtede C 1 ja C 2 ümberpaigutamise poolest, on tegelikult sama anagramm! Seetõttu jagatakse 120 anagrammi identsete paarideks, s.t. nõutav anagrammide arv on 120/2 = 60.

2. Mitu anagrammi on sõnal CHARADA?

Lugedes kolm tähte A erinevateks tähtedeks A 1, A 2, A 3, saame 6! anagrammid Kuid sõnad, mis on tehtud üksteisest ainult tähti A 1, A 2, A 3 ümber paigutades, on tegelikult sama anagramm. Sest neid on 3! tähtede A 1, A 2, A 3 permutatsioonid, algselt saadud 6! Anagrammid on jagatud 3-liikmelistesse rühmadesse! identsed ja erinevate anagrammide arvuks osutub 6!/3! = 120.

3. Mitu neljakohalist arvu, mis sisaldavad vähemalt ühte paarisnumbrit?

Leiame “mittevajalike” neljakohaliste numbrite arvu, mille kirjed sisaldavad vaid paarituid numbreid. Selliseid numbreid on 5 4 = 625, kuid neljakohalisi numbreid on kokku 9000, seega vajalik arv “vajalikke” on 9000 – 625 = 8375.

1. Leidke anagrammide arv sõnadele VERESK, BALAGAN, LINNAMEES.
2. Leidke anagrammide arv sõnadele BAOBAB, BALLAD, TURN, ANAGRAM, MATHEMATICS, KOMBINAATORIA, DEFENSE.
3. Kui mitmel viisil on võimalik majutada 7 külastajat kolme hotellituppa: ühe-, kahe- ja neljakohalistesse tubadesse?
4. Külmkapis on kaks õuna, kolm pirni ja neli apelsini. Iga päev antakse Petyale üheksa päeva järjest üks puuvilja. Kui mitmel viisil saab seda teha?
5. Kooli seitsme parema suusataja hulgast tuleb välja valida kolmeliikmeline võistkond, kes osaleb linnavõistlustel. Kui mitmel viisil saab seda teha?
6. Enne eksamit lubas professor pooltele eksaminandidele halvad hinded panna. Eksamile tuli 20 õpilast. Kui mitmel viisil suudab ta oma lubadust täita?
7. Mitu sõna saab teha viiest tähest A ja mitte rohkem kui kolmest tähest B?
8. Saadaval on šokolaadi-, maasika- ja piimajäätis. Kui mitmel viisil saab osta kolm jäätist?
9. Pitsa valmistamisel lisatakse juustule erilise maitse andmiseks erinevaid komponente. Billi käsutuses on sibul, seened, tomatid, paprika ja anšoovised, mida kõike saab tema arvates juustule lisada. Mitut tüüpi pitsat saab Bill valmistada?
10. Kurjategijate jõuproovi tunnistajale meenus, et kurjategijad põgenesid Mercedesega, mille numbrimärgil olid tähed T, Z, U ning numbrid 3 ja 7 (number on rida, mis sisaldab esmalt kolme tähte ja seejärel kolme numbrit) . Kui palju selliseid numbreid on?
11. Mitu diagonaali on kumeral n- ruut?
12. Kui palju asju seal on? n- digitaalsed numbrid?
13. Mitu kümnekohalist arvu on, millel on vähemalt kaks identset numbrit?
14. Täringut visatakse kolm korda. Kõigi võimalike tulemuste jadade hulgas on neid, kus kuut veeretatakse vähemalt üks kord. Kui palju neid on?
15. Mitme viiekohalise arvu tähistuses on number 1?
16. Kui mitmel viisil saab valget ja musta kuningat malelauale asetada, ilma et nad üksteist lööksid?
17. Mitu jagajat on arvul 10800?

Kombinatoorsete ülesannete vastavate matemaatiliste mudelite koostamiseks kasutame hulgateooria matemaatiline aparaat. Võib juhtuda, et antud komplektis pole oluline elementide järjekord, vaid oluline on ainult komplekti koostis. Kuid on probleeme, mille puhul on oluline elementide järjekord.

Definitsioon 1: Telli paljudes elemendid on selle elementide nummerdamine naturaalarvudega, s.o. seadke ekraan
paljude jaoks
.

Definitsioon 2: Nimetatakse komplekti, millel on antud järjekord tellitud komplekt.

Ilmselgelt saab rohkem kui üht elementi sisaldavat komplekti tellida mitmel viisil.

Näiteks kahest kirjast Ja Tellitud komplekti saate koostada kahel erineval viisil:

Ja
.

Kolm tähte ,Ja saab järjestada kuuel viisil:

,
,
,
,
,
.

Nelja tähe puhul saame loetledes 24 erinevat järjestatud jada.

Teatud hulga elementide järjestatud jadasid võib pidada nende elementide jaotusteks või paigutusteks jadas.

Definitsioon 3: Olgu antud lõplik hulk
alates elemendid. Mis tahes komplekt antud hulga elemendid (ja komplekti elemendid võivad korduda) kutsutakse -korraldused .

Paigutuskontseptsiooni kaudu tutvustatakse kombinatoorika põhimääratlusi: kombinatsioonid, paigutused ja permutatsioonid. Pealegi saab kõiki neid mõisteid korrata või ilma kordamiseta. Selles jaotises käsitletakse kombinatoorseid valemeid ilma kordusteta.

Ümberkorraldused ilma kordamiseta.

Definitsioon 4: Lase
- piiratud kogum elemendid. Permutatsioonid alates komplekti erinevad elemendid
kutsutakse kõiki asukohti elemendid kindlas järjekorras. Näidatud: (prantsuse sõnast permutatsioon- ümberkorraldamine).

Järjestatud komplektid loetakse erinevaks, kui need erinevad kas oma elementide või järjestuse poolest.

Definitsioon 5: Kutsutakse erinevaid järjestatud komplekte, mis erinevad ainult oma elementide järjestuse poolest permutatsioonid sellest hulgast.

Viimane definitsioon on sõnastatud hulgateooria positsioonilt.

Definitsioon 6: Töö järjestikused naturaalarvud matemaatikas on tähistatud ja helistada faktoriaalne .

Määramise valik hüüumärk võib olla tingitud asjaolust, et isegi suhteliselt väikeste väärtuste korral number väga suur. Näiteks
,
,
,
,
,, jne.

1. teoreem: Permutatsioonide arv alates erinevad elemendid arvutatakse järgmise valemiga:

Tõestus. Mõelge suvalisele komplektile elemendid. Ehitame nendest kõikvõimalikke korraldusi elemendid. Korralduse esikohale võite panna ükskõik millise elemendid ( esimese elemendi valimise meetodid). Kui esimene element on valitud ja olenemata sellest, kuidas see on valitud, saab valida teise elemendi
viisil. Kolmanda elemendi valimiseks jääb alles
meetod jne. Viimane element valitakse vastavalt ühel viisil. Seejärel on korrutamise kombinatoorse põhimõtte tõttu selliste paigutuste arv võrdne:

Teoreem on tõestatud.

Näide 1: Kui mitmel viisil saavad kolm sõpra võtta kinos istekohti numbritega 1, 2 ja 3?

Lahendus. Otsitavate meetodite arv võrdub kolme elemendi kordusteta permutatsioonide arvuga:
viise. Vajadusel saab neid meetodeid sorteerida.

Nimetatakse sõna tähtede permutatsioone anagrammid . Anagrammid, mille avastas 3. sajandil eKr kreeka grammatik Lycophron, köidavad siiani keeleteadlaste, luuletajate ja kirjandussõprade tähelepanu. Sõnamängude meistrid teavad lisaks eruditsioonile ja suurele sõnavarale mitmeid kombinatoorsete oskustega seotud saladusi, millest üks on anagrammid. Sageli on vaja kõigi permutatsioonide hulgast valida need, millel on teatud omadus. Näiteks sõna anagrammide hulgas "mutt", millest on ainult
, ainult üks, sõna ennast arvestamata "mutt", on vene keeles mõttekas – "kohus".

Lisaks lineaarsetele permutatsioonidele võib kaaluda ringikujulisi (või tsüklilisi) permutatsioone. Sel juhul loetakse permutatsioonid, mis pöörlemise ajal üksteiseks muutuvad, samadeks ja neid ei tohiks arvestada.

2. teoreem: Ringikujuliste permutatsioonide arv alates erinevad elemendid on võrdsed

Näide 2: Kui mitmel viisil saavad 7 last ringtantsuga ühineda?

Lahendus. 7 lapse lineaarsete permutatsioonide arv on võrdne
. Kui ümmargune tants on juba moodustatud, siis on selle jaoks 7 ringikujulist permutatsiooni, mis muunduvad pööramisel üksteiseks. Neid permutatsioone ei tohiks arvestada, seega on 7 elemendi ringikujulised permutatsioonid .

Paigutused ilma kordusteta.

Definitsioon 7: Las olla erinevaid esemeid. Korraldus alates elemendid poolt elemendid (
) kutsutakse paigutused ilma kordusteta . Määrake: . Siin peetakse silmas seda, et seadete elemendid ei kordu.

Selles määratluses on oluline järgmine seisukoht: need kaks korraldust on erinevad, kui need erinevad vähemalt ühe elemendi või elementide järjestuse poolest.

Anname paigutustele veel ühe algse määratluse, mida on lihtsam mõista.

Definitsioon 8: Nimetatakse piiratud järjestusega komplekte paigutused.

3. teoreem: Kõigi paigutuste arv alates elemendid poolt elemendid ilma kordusteta arvutatakse järgmise valemiga:

Tõestus. Olgu suvaline hulk
, mis koosneb elemendid. Peate selle sordi hulgast valima erinevaid elemente. Lisaks on oluline valiku järjekord.

Elementide valik toimub etapiviisiliselt. Korralduse esimese elemendi saab valida erinevatel viisidel. Siis ülejäänud komplekti elementidest
korralduse teine ​​element on valitud
viisil. Kolmanda elemendi valimine on võimalik
meetod jne. Siis valima - th element, mis meil on
viisil. Seetõttu on korrutusreegli kohaselt selliste korralduste arv võrdne:

Definitsiooni järgi on sellised paigutused paigutused. Q.E.D.

Näide 3: 25-liikmelisel koosolekul valitakse 3-liikmeline eestseisus: 1) esimees, 2) asetäitja, 3) sekretär. Mitu võimalust on presiidiumi valimiseks?

Lahendus. Valides kolm inimest 25-st, paneme tähele, et valiku järjekord on oluline, seega on presiidiumide arv võrdne:

Kommentaar: Kordusteta paigutuste arvu leiate ka järgmise valemi abil:

. (3)

Kui valemi (3) murdosa nimetaja
, siis on see üldtunnustatud
.

Kommentaar: Valem (3) on kompaktne, kuid ülesannete lahendamisel on mugavam kasutada valemit (2). Valemist (3) paremal pool olevat murdu saab taandada täisarvuks. See arv on võrdne valemi (2) paremal küljel oleva arvuga.

Näide 4: Mitu kahetähelist sõna (tähti ei korrata) saab teha 33 vene tähestiku tähest?

Lahendus. Antud juhul ei ole tegemist sõnadega keelelises mõttes, vaid suvalise koostisega tähekombinatsioonidega.

Seejärel võrdub tähestiku 33 tähe hulgast valitud kahe tähe erinevate kombinatsioonide arv:

.

Sel juhul on oluline tähtede järjekord. Kui muudate sõnas 2 tähte, saate uue sõna.

Kommentaar: Permutatsioon ilma kordusteta on kordusteta paigutuste erijuhtum kui
. Võime öelda, et permutatsioon alates elementide paigutus elemendid poolt elemendid:

Mõne kombinatoorika ülesande puhul ei oma objektide järjekord konkreetses kogus tähtsust. Oluline on vaid see, millised elemendid selle moodustavad. Sellistes olukordades me tegeleme kombinatsioonid.

Kombinatsioonid ilma kordusteta.

Definitsioon 9: Kombinatsioonid aastast pole kordusi mõne komplekti elemendid vastavalt elemendid (
) on üksteisest erinevad korraldused koostis, Aga mitte korras elemendid. Määrake: (prantsuse sõnast kombinatsioon- kombinatsioon).

Sel juhul kokkuleppeliselt oluline on kompositsioon, mitte elementide järjekord alamhulgas. Kui kaks paigutust erinevad ainult elementide järjestuse poolest, siis kombinatsioonide seisukohalt ei ole need eristatavad. Nende paigutuste elemente ei korrata.

Hulgateooria seisukohalt võib kombinatsioonide definitsiooni sõnastada erinevalt.

Definitsioon 10: Nimetatakse lõplikke järjestamata hulki kombinatsioonid.

Seega on kombinatsioonid elementide valik, mille puhul nende järjekord on täiesti ebaoluline.

Kombinatsioonid elemendid poolt elemente peaks olema vähem kui vastavaid paigutusi. See tuleneb asjaolust, et sama koostisega moodustisi pole vaja lugeda.

4. teoreem: Kombinatsioonide arv leitakse järgmise valemiga:

. (4)

Tõestus. Kui suvalisest - valitud elementide komplekt elemendid, siis saab neid nummerdada
mitmel viisil võrdne . Ülejäänud
elemente saab nummerdada
,
, …,kokku
viise. Pealegi valik ise elemendid alates elemente saab rakendada viise. Nii et saime
kogu komplekti nummerdamisvalikud elemendid, mida on ainult . Seetõttu on meil
, kust me saame:

.

Teoreem on tõestatud.

Kommentaar: (4) paremal küljel oleva murdosa saab taandada täisarvuks.

Kombinatsioonide arvu valemist järeldub:

,
,
.

Valemi (4) saab teisendada järgmisele kujule:
. See näitab, et paigutuste arv V korda vastavate kombinatsioonide arv . Teisisõnu, loendada kõik kombinatsioonid , tuleb kõikidest paigutustest välja jätta alamhulgad erinevad järjekorras (seal on tükid), st. poolt jagatud .

Näide 5: Mitmel viisil saate olemasoleva viie hulgast valida 3 erinevat värvi?

Lahendus. Värvide valimise järjekord pole oluline. Tähtis on vaid see, millised värvid on valitud. Seetõttu on valikute arv võrdne:
.

Näide 6: Kui mitmel viisil saab õmmelda kolmevärvilisi triibulisi lippe, kui materjali on viies erinevas värvitoonis?

Lahendus. Triipude valimise järjekord on oluline, seega on selliste lippude arv võrdne:
.