Sellel on pikim rannajoon. II kolm klassikalist fraktaali – täiesti talts

Kuna maal on tunnuseid kõigil tasanditel, alates sadade kilomeetrite suurusest kuni pisikeste millimeetrite osadeni ja alla selle, pole suurusele mingeid ilmseid piiranguid. kõige vähem funktsioone, ja seetõttu pole selgelt määratletud maa perimeetrit fikseeritud. Teatud miinimumsuuruse eelduste korral on olemas erinevad ligikaudsed hinnangud.

Näide paradoksist on üldtuntud Ühendkuningriigi rannik. Kui Ühendkuningriigi rannajoont mõõdetakse 100 km (62 miili) pikkuste fraktaalühikutega, siis pikkus rannajoon on umbes 2800 km (1700 miili). 50 km (31 miili) ühikuga kogupikkus on umbes 3400 km (2100 miili), umbes 600 km (370 miili) pikem.

Matemaatilised aspektid

Pikkuse põhimõiste pärineb Eukleidiline kaugus. Ühes sõbras Eukleidiline geomeetria, kujutab sirgjoon lühim vahemaa kahe punkti vahel; sellel real on ainult üks lõplik pikkus. Geodeetiline pikkus kera pinnal, nn pikk pikkus ring, mõõdetakse piki kõvera pinda, mis eksisteerib tasapinnal, mis sisaldab tee lõpp-punkte ja sfääri keskpunkti. Põhikõvera pikkus on keerulisem, kuid seda saab ka arvutada. Joonlauaga mõõtes saab inimene kõvera pikkusi ligikaudselt hinnata, liites punkte ühendavate sirgjoonte summa:

Kasutades mitut kõvera pikkusele ligikaudset sirgjoont, koostatakse madal hinnang. Kasutades üha rohkem lühikesed jooned annab pikkuste summa, mis on ligikaudne kõvera tegelikule pikkusele. Selle pikkuse täpse väärtuse saab määrata arvutusmeetodi abil, matemaatika haruga, mis võimaldab arvutada lõpmata väikseid vahemaid. Järgmine animatsioon illustreerib seda näidet:

Kõiki kõveraid ei saa aga sel viisil mõõta. Definitsiooni järgi peetakse kõverat, mille mõõteskaalas on keerukad muutused, fraktaliks. Arvestades, et sujuv kõver liigub mõõtmistäpsuse kasvades samale väärtusele aina lähemale, võib fraktaalide mõõdetud väärtus oluliselt muutuda.

Pikkus" tõeline fraktal" kipub alati lõpmatuseni. See arv põhineb aga ideel, et ruumi saab jagada määramatuse piirini, st olla piiramatu. See on fantaasia, mis on eukleidilise geomeetria aluseks ja toimib kasuliku mudelina igapäevastel mõõtmistel, peaaegu kindlasti ei peegelda "ruumi" ja "kauguse" muutuvat reaalsust aatomitasandil Rannajooned erinevad matemaatilistest fraktaalidest, need moodustuvad arvukatest pisidetailidest, mis loovad mustreid vaid statistiliselt.

Praktilistel põhjustel, saate mõõtmist kasutada järgühiku minimaalse suuruse sobiva valikuga. Kui rannajoont mõõdetakse kilomeetrites, siis väikesed kõikumised on palju väiksemad kui üks kilomeeter ja neid on lihtne ignoreerida. Rannajoone mõõtmiseks sentimeetrites tuleb arvesse võtta väikseid suuruse muutusi. Kasutamine erinevaid tehnikaid erinevate ühikute mõõtmised hävitavad ka tavapärase kindlustunde, et plokke saab teisendada kasutades lihtne korrutamine. Ekstreemsete rannajoonte juhtumite hulka kuuluvad Norra, Tšiili ja Põhja-Ameerika Vaikse ookeani ranniku raskete rannikute fjordiparadoks.

Veidi enne 1951. Lewis Fry Richardson piiri pikkuse võimalikku mõju sõja tõenäosusele uurides märkis, et portugallased esitasid oma mõõdetud piiri Hispaaniaga 987 km pikkusena, kuid Hispaania teatas selle pikkuseks 1214 km. Sellest sai alguse kaldaprobleem, mida on matemaatiliselt raske mõõta joone enda ebakorrapärasuse tõttu. Piiri (või rannajoone) pikkuse hindamise domineeriv meetod oli N arvu võrdse pikkusega lõigu ℓ pealekandmine eraldusmärkidega kaardil või aerofotodel. Lõigu iga ots peab asuma piiril. Uurides lahknevusi piiride hinnangutes, avastas Richardson nn Richardsoni efekti: segmentide summa on pöördvõrdeline segmentide kogupikkusega. Põhimõtteliselt, mida lühem on joonlaud, seda suurem on mõõdetud piir; Hispaania ja Portugali geograafid mõõtsid piiri lihtsalt erineva pikkusega joonlaudade abil. Selle tulemusena rabas Richardsoni tõsiasi, et teatud asjaoludel, kui joonlaua ℓ pikkus kipub nulli, kipub ka rannajoone pikkus lõpmatuseni. Richardson usub, et põhineb Eukleidese geomeetria, läheneb rannajoon fikseeritud pikkusele, kuidas teha sarnaseid hinnanguid korrapäraste geomeetriliste kujundite kohta. Näiteks perimeeter korrapärane hulknurk ringi sisse kirjutatud läheneb ringile, kui külgede arv suureneb (ja ühe külje pikkus väheneb). Geomeetrilise mõõte teoorias nimetatakse sujuvat kõverat, näiteks ringi, millele saab teatud piiriga lähendada väikseid sirgeid segmente, alaldatavaks kõveraks.

Rohkem kui kümme aastat pärast seda, kui Richardson oma töö lõpetas, Benoit Mandelbrot arenenud uus piirkond matemaatika, - fraktaalgeomeetria, et kirjeldada täpselt selliseid looduses mitterektifitseeritavaid komplekse lõputu rannajoone kujul. Tema uurimistöö aluseks olnud uue kujundi enda määratlus: leidsin fraktali ladina omadussõnast " killustatud» ebakorrapäraste fragmentide loomiseks. Seega on mõistlik... et lisaks "killustunud"... katkine peaks tähendama ka "ebakorrapärast".

Fraktaali põhiomadus on enesesarnasus, see tähendab, et sama üldine konfiguratsioon ilmneb igal skaalal. Rannajoont tajutakse lahtedena, mis vahelduvad neemega. Hüpoteetilises olukorras on antud rannajoonel see enesesarnasuse omadus, olenemata sellest, kui palju väike rannajoone osa näib olevat laienenud, sarnane muster väiksematest lahtedest ja nemmidest, mis paiknevad suurematel lahtedel ja neemedel kuni liivaterani. Samal ajal muutub rannajoone mastaap hetkega potentsiaalselt lõpmatult pikaks niidiks, kus on juhuslikult väikestest objektidest moodustunud lahtede ja neemede paigutus. Sellistes tingimustes (erinevalt siledatest kõveratest) väidab Mandelbrot, et "rannajoone pikkus on tabamatu mõiste, mis libiseb nende sõrmede vahel, kes tahavad seda mõista." erinevat tüüpi fraktalid. Määratud parameetritega rannajoon on "esimeses fraktalite kategoorias, nimelt kõverad koos fraktaalmõõde suurem kui 1." See viimane väide esindab Mandelbroti Richardsoni mõtte laiendamist.

Mandelbrot Richardsoni efekti avaldus:

kus L, kaldajoone pikkus, on mõõtühiku ε funktsioon ja on lähendatud võrrandiga. F on konstant ja D on Richardsoni parameeter. Ta ei andnud teoreetilist selgitust, kuid Mandelbrot defineeris D mittetäisarvulise kujuga Hausdorffi mõõdud, hiljem - fraktaalmõõde. Avaldise parema külje ümberrühmitamisel saame:

kus Fε-D peab olema L saamiseks vajalike ε ühikute arv. Fraktaalne mõõde- fraktaali ligikaudseks määramiseks kasutatud fraktaalimõõtmete arv: 0 punkti jaoks, 1 sirge jaoks, 2 pindala jaoks. D on avaldises vahemikus 1 kuni 2, ranniku puhul on see tavaliselt väiksem kui 1,5. Ranniku murtud mõõde ei ulatu ühes suunas ega esinda piirkonda, vaid on vahepealne. Seda võib tõlgendada paksude joonte või triipudena laiusega 2ε. Katkisematel rannajoontel on sama ε puhul suurem D ja seega suurem L. Mandelbrot näitas, et D ei sõltu ε-st.

Allikas: http://en.wikipedia.org/wiki/Coast#Coastline_problem

http://en.wikipedia.org/wiki/Coastline_paradox

Tõlge: Dmitri Šahov

Näide paradoksist: kui Ühendkuningriigi rannajoont mõõdetakse 100 km lõikudena, siis selle pikkus on ligikaudu 2800 km. Kui kasutada 50 km lõike, on pikkus ligikaudu 3400 km, mis on 600 km pikem.

Rannajoone pikkus sõltub sellest, kuidas seda mõõdetakse. Kuna maapinda saab iseloomustada mis tahes suurusega kõveratega, alates sadadest kilomeetritest kuni millimeetri murdosadeni või vähem, ei ole ilmselget võimalust valida väikseima elemendi suurust, mida mõõtmiseks võtta. Järelikult on selle ala perimeetri üheselt kindlaksmääramine võimatu. Selle ülesande lahendamiseks on erinevaid matemaatilisi lähendusi.

Peamine meetod piiri või rannajoone pikkuse hindamiseks oli katmine N võrdse pikkusega segmendid l kaardil või aerofotol, kasutades kompassi. Lõigu iga ots peab kuuluma mõõdetavale piirile. Uurides lahknevusi piiride hindamises, avastas Richardson selle, mida praegu nimetatakse Richardsoni efekt: Mõõtmisskaala on pöördvõrdeline kõigi segmentide kogupikkusega. See tähendab, et mida lühemat joonlauda kasutatakse, seda pikem on mõõdetud piir. Seega juhindusid Hispaania ja Portugali geograafid lihtsalt erineval skaalal tehtud mõõtmistest.

Richardsoni jaoks oli kõige silmatorkavam see, kui väärtus l kipub nulli, ranniku pikkus lõpmatuseni. Richardson uskus algselt eukleidilise geomeetria põhjal, et see pikkus saavutab fikseeritud väärtuse, nagu tavaliste geomeetrilised kujundid. Näiteks ringi sisse kirjutatud korrapärase hulknurga ümbermõõt läheneb külgede arvu suurenedes (ja iga külje pikkus väheneb) ringi enda pikkusele. Geomeetriliste mõõtmiste teoorias nimetatakse sujuvat kõverat nagu ringjoont, mida saab ligikaudselt kujutada etteantud piiriga väikeste segmentide kujul, alaldatavaks kõveraks.

Rohkem kui kümme aastat pärast seda, kui Richardson oma töö lõpetas, töötas Mandelbrot välja uue matemaatika haru – fraktaalgeomeetria –, et kirjeldada selliseid looduses eksisteerivaid mitterektifitseeritavaid komplekse, nagu lõputu rannajoon. Tema enda määratlus fraktal oma uurimistöö aluseks on järgmine:

Ma mõtlesin ühe sõna välja fraktal, põhineb Ladina omadussõna fractus. Vastav ladina verb frangere tähendab murda: looge ebakorrapäraseid fragmente. Seetõttu on mõistlik, et lisaks "fragmentaarsele" fractus peab tähendama ka "ebakorrapärast".

Fraktalide põhiomadus on enesesarnasus, mis seisneb sama üldfiguuri ilmumises mis tahes mõõtkavas. Rannajoont tajutakse lahtede ja neemede vaheldumisena. Hüpoteetiliselt võib öelda, et kui antud rannajoonel on enesesarnasuse omadus, siis olenemata sellest, kui palju üht või teist osa on skaleeritud, jääb samasugune muster väiksematest lahtedest ja neemedest, mis asetsevad suuremate lahtede ja neemede peal kuni teradeni välja. liiv. Nendel mõõtkavadel näib rannajoon olevat hetkeliselt muutuv, potentsiaalselt lõputu niit, mille lahtede ja neemede paigutus on stohhastiline. Sellistes tingimustes (erinevalt sujuvatest kõveratest) nendib Mandelbrot: "Rannajoone pikkus on tabamatu mõiste, mis libiseb nende sõrmede vahel, kes püüavad seda mõista."

kus rannajoone pikkus L on ühiku ε funktsioon ja on ligikaudne paremal pool oleva avaldise abil. F on konstant, D on Richardsoni parameeter, olenevalt rannajoonest endast (Richardson ei andnud teoreetiline seletus see suurus, kuid Mandelbrot defineeris D kui Hausdorffi dimensiooni, hiljem fraktaalmõõtme mittetäisarvulise vormina. Teisisõnu, D on "kareduse" praktiliselt mõõdetud väärtus. Olles kokku võtnud parem pool väljendeid, saame:

kus Fε -D peab olema L saamiseks vajalike ε ühikute arv. Fraktaalidimensioon on objekti mõõtmete arv, mida kasutatakse fraktaali lähendamiseks: 0 punkti jaoks, 1 sirge jaoks, 2 pindalakujude jaoks. Kuna ranniku pikkust mõõtev katkendjoon ei ulatu ühes suunas ega kujuta pindala, on D väärtus avaldises 1 ja 2 vahepealne (ranniku puhul on see tavaliselt alla 1,5). Seda saab tõlgendada jämeda joone või 2ε laiuse triibuna. Rohkem "katkistel" rannikutel on suurem D väärtus ja seega osutub L sama ε puhul pikemaks. Mandelbrot näitas, et D ei sõltu ε-st.

Üldiselt erinevad rannajooned matemaatilistest fraktaalidest, kuna need on moodustatud arvukate väikeste detailide abil, mis loovad mustreid ainult statistiliselt.

Tegelikkuses pole rannajoontel ühtegi väiksemat kui 1 cm detaili [ ] . Selle põhjuseks on erosioon ja muud merenähtused. Enamikus kohtades on minimaalne suurus palju suurem. Seetõttu ei sobi lõpmatu fraktaalmudel rannajoonte jaoks.

Praktilistel põhjustel valige osade minimaalne suurus, mis on võrdne mõõtühikute järjekorras. Seega, kui rannajoont mõõdetakse kilomeetrites, siis väiksemaid muudatusi palju väiksemaid liine kui üks kilomeeter lihtsalt ei võeta arvesse. Rannajoone mõõtmiseks sentimeetrites tuleb arvesse võtta kõiki väikeseid erinevusi umbes ühe sentimeetri ulatuses. Sentimeetri suurusjärgus mõõtkavas tuleb aga teha mitmesuguseid suvalisi mittefraktaalseid oletusi, näiteks seal, kus suudme suubub merega või kohtades, kus tuleb mõõta laia vatti juures. Lisaks kasutamine erinevaid meetodeid erinevate mõõtühikute mõõtmised ei võimalda neid ühikuid lihtsa korrutamise abil teisendada.

Riigi määramiseks territoriaalveed ehitavad Kanada Briti Columbia provintsi ranniku nn kõveraid, mis moodustavad üle 10% Kanada rannajoone pikkusest (arvestades kõiki Kanada Arktika saarestiku saari) - 25 725 km 243 042-st; km ainult 965 km kaugusel

Enne esimest tüüpi fraktaalidega – nimelt kõveratega, mille fraktaalmõõde ületab 1 – tutvumist vaatleme mõne kalda tüüpilist lõiku. Ilmselgelt ei saa selle pikkus olla väiksem kui sirge kaugus selle algus- ja lõpp-punkti vahel. Kuid reeglina on rannajoontel ebakorrapärane kuju- need on käänulised ja katkised ning nende pikkused ületavad kahtlemata oluliselt nende äärmiste punktide vahelisi kaugusi sirgjooneliselt mõõdetuna.

Rannajoone pikkuse täpsemaks hindamiseks on palju võimalusi ja selles peatükis analüüsime mõnda neist. Lõpuks jõuame väga tähelepanuväärse järelduseni: rannajoone pikkus on väga libe mõiste ja seda ei saa palja käega haarata. Ükskõik, millist mõõtmismeetodit me kasutame, on tulemus alati sama: tüüpilise rannajoone pikkus on väga pikk ja nii ebamäärane, et seda on kõige mugavam pidada lõpmatuks. Järelikult, kui keegi otsustab võrrelda erinevaid kaldaid nende pikkuse seisukohalt, peab ta leidma midagi, mis asendaks pikkuse mõiste, mis see juhtum ei ole kohaldatav.

Selles peatükis alustame sobiva asendaja otsimist ja otsimise käigus ei saa me vältida tutvumist erinevaid vorme mõõtmete, mõõtude ja kõverate fraktaalmõisted.

ALTERNATIIVSED MÕÕTMEMEETODID

Meetod A. Seadkem mõõtekompassi ava teatud tasemele määratud pikkus, mida me nimetame sammu pikkuseks, ja kõnnime selle kompassiga mööda meid huvitavat rannajoont, alustades iga uus samm kohas, kus eelmine lõppes. Sammude arv korrutatuna pikkusega e annab meile kalda ligikaudse pikkuse. Teame koolist, et kui seda toimingut korrata, vähendades iga kord kompassi avanemist, siis võime eeldada, et väärtus jõuab kiiresti mõnele täielikult teatud väärtus, mida nimetatakse tegelikuks pikkuseks. See aga, mis tegelikult toimub, ei vasta meie ootustele. Tüüpilisel juhul kipub vaadeldav pikkus piiramatult suurenema.

Selle käitumise põhjus on ilmne: kui vaadata kaartidelt mastaabis 1/100 000 ja 1/10 000 mõnda poolsaart või lahte, siis viimane kaart saame selgelt eristada väiksemaid poolsaari ja lahtesid, mida esimesel polnud näha. Sama piirkonna kaart, mis on tehtud mõõtkavas 1/1000, näitab meile veelgi väiksemaid poolsaari ja lahesoppe jne. Iga uus detail suurendab panga kogupikkust.

Ülaltoodud protseduur eeldab, et kaldajoon on liiga ebakorrapärase kujuga, et selle pikkust saaks otseselt esitada lihtsate geomeetriliste kõverate pikkuste summana, mille pikkused leiate teatmeteostest. see tähendab, Meetod A asendab rannajoone järjestusega katkendlikud jooned, mis koosneb sirgetest osadest, mille pikkuse saame määrata.

Meetod B. Sama "silumise" saab saavutada ka muul viisil. Kujutage ette inimest, kes kõnnib piki kallast mööda lühimat rada, mille trajektoor ei välju kunagi veest kaugemale kui määratud kaugus. Olles jõudnud lõpp-punkti, naaseb ta tagasi, vähendades veidi väärtust. Siis ikka ja jälle, kuni lõpuks jõuab väärtus näiteks 50 cm-ni. Seda pole võimalik veelgi vähendada, kuna inimene on liiga suur ja kohmakas, et saaks täpsemat trajektoori jälgida. Mulle võib vastu vaielda, et esiteks ei paku need kättesaamatud pisidetailid inimestele otsest huvi ja teiseks võivad need olenevalt aastaajast ja mõõna kõrgusest niivõrd oluliselt muutuda, et nende detailne salvestamine üldiselt kaob. kogu tähendus. Esimest neist vastuväidetest käsitleme hiljem selles peatükis. Mis puudutab teist vastuväidet, siis selle saab neutraliseerida piirdudes mõõna ajal kivise kalda ja vaikse veega. Põhimõtteliselt saab inimene täpsemaid ligikaudseid kõveraid jälgida, kutsudes appi hiire, seejärel sipelga jne. Ja jällegi, kui meie jalutaja järgib teed, mis läheb veele üha lähemale, pikeneb vahemaa, mille ta peab läbima, lõputult.

Meetod C. Meetod B eeldab teatud asümmeetriat vee ja kalda vahel. Selle asümmeetria vältimiseks tegi Kantor ettepaneku vaadata rannajoont justkui läbi defokuseeritud objektiivi, mille tulemusena muutub iga punkt ümaraks raadiusega laiguks. Teisisõnu arvestab Cantor kõiki punkte - nii maal kui ka vees -, mille kaugus rannajoonest ei ületa . Need punktid moodustavad omamoodi vorsti või laiuse lindi (sellise “vorsti” näide – kuigi teises kontekstis – on näidatud joonisel 56). Mõõdame saadud lindi pindala ja jagame selle võrra. Kui rannajoon oleks sirge, oleks lint ristkülik ja ülalkirjeldatud viisil leitud väärtus osutuks ranniku tegelikuks pikkuseks. Tegelike rannajoonte käsitlemisel saame ligikaudse hinnangu pikkusele , mis suureneb piiranguteta kui .

meetodD. Kujutage ette kaarti, mis on tehtud pointillistlike kunstnike eeskujul, st kaarti, kus mandrid ja ookeanid on kujutatud raadiusega värviliste ümarate laikudega. Selle asemel, et pidada punktide keskpunkte rannajoonele kuuluvateks punktideks, nagu meetodi C puhul, nõuame, et joont täielikult varjavate täppide arv oleks väikseim. Seetõttu asuvad laigud neemede läheduses enamasti maismaal, lahtede läheduses aga meres. Rannajoone pikkuse hinnanguline pikkus on saadud täppidega kaetud ala jagamisel . Ka selle hinnangu “käitumine” jätab soovida.

MÕÕTMISTULEMUSTE JUHUSLIKKUS

Eelmist jaotist kokku võttes märgime, et kõigi nelja meetodi kasutamise tulemus on alati sama. Kui e väheneb, kipub kõvera ligikaudne pikkus lõpmatuseni.

Selle fakti olulisuse õigeks mõistmiseks mõõtkem sarnaselt iga tavalise Eukleidilise kõvera pikkust. Näiteks sirgjoonelisel lõigul kattuvad ligikaudsed hinnangulised mõõtmisandmed põhimõtteliselt ja määravad vajaliku pikkuse. Ringjoone puhul pikkuse ligikaudne väärtus suureneb, kuid läheneb üsna kiiresti mõnele kindlale piirile. Kõveraid, mille pikkust saab sel viisil määrata, nimetatakse alaldatavateks.

Veelgi õpetlikum on proovida mõõta mõne inimese kodustatud rannajoone pikkust – näiteks Chelsea lähedase ranniku, nagu see praegu paistab, pikkust. Kuna inimesed jätavad ikka väga suured maastikuvoldid muutmata, siis paigaldame oma kompassile väga suure lahenduse ja vähendame seda järk-järgult. Nagu arvata võib, rannajoone pikkus pikeneb.

Siiski on üks huvitav omadus: edasise vähendamisega satume paratamatult mingisse vahepealsesse tsooni, kus pikkus jääb peaaegu muutumatuks. See tsoon ulatub ligikaudu 20 m kuni 20 cm (väga ligikaudu). Kui see jääb alla 20 cm, hakkab pikkus uuesti kasvama – nüüd mõjutavad mõõtmistulemust üksikud kivid. Seega, kui joonistate väärtuse muutuse graafiku funktsioonina, leiate sellelt kahtlemata tasase ala, mille väärtused e on vahemikus 20 m kuni 20 cm - sarnastel graafikutel. looduslike "metsikute" rannikute puhul selliseid tasaseid alasid ei täheldata.

On ilmne, et selles tasasel tsoonis tehtud mõõtmistel on tohutu praktiline väärtus. Kuna piirid erinevad teaduslikud distsipliinid on peamiselt teadlastevahelise tööjaotuse kokkuleppe tulemus, saame näiteks kõik nähtused, mille mastaap ületab 20 m, ehk need, milleni inimene veel jõudnud pole, üle kanda geograafia osakonda. Selline piirang annab meile väga konkreetse geograafilise pikkuse. Rannavalve saab edukalt kasutada sama väärtust "metsikute" kallastega töötamiseks ning entsüklopeediad ja almanahhid ütlevad kõigile vastava pikkuse.

Teisest küljest on mul raske ette kujutada, et kõik huvitatud valitsusasutused, isegi mis tahes riigi, lepivad omavahel kokku ühe tähenduse kasutamises ja selle omaksvõtmist kõigis maailma riikides on täiesti võimatu ette kujutada. Richardson toob selle näite: Hispaania ja Portugali entsüklopeediad annavad nende riikide maismaapiiri erineva pikkusega 20% vahega (sama lugu on Belgia ja Hollandi vahelise piiriga). Seda lahknevust tuleb osaliselt seletada erinevate valikutega. Empiirilised tõendid, mida me lähiajal käsitleme, näitavad, et sellise erinevuse ilmnemiseks piisab, kui üks väärtus erineb teisest vaid kahekordselt; Pealegi pole üllatav, et väikeriik (Portugal) mõõdab oma piiride pikkust hoolikamalt kui suur naaber.

Teine ja olulisem argument meelevaldse valiku vastu on filosoofilist ja üldteaduslikku laadi. Loodus eksisteerib inimesest sõltumatult ja igaüks, kes omistab mõnele konkreetsele tähendusele liiga suurt tähtsust või eeldab, et looduse mõistmise protsessis on määravaks lüliks inimene oma üldtunnustatud standardite või väga muutlike tehniliste vahenditega. Kui rannajooned saavad kunagi objektideks teaduslikud uuringud, on ebatõenäoline, et suudame seadustega keelata nende pikkusega seotud ebakindluse. Olgu kuidas on, geograafilise pikkuse mõiste pole nii kahjutu, kui esmapilgul tundub. See ei ole täiesti “objektiivne”, kuna sel viisil pikkuse määramisel on vaatleja mõju vältimatu.

SUVALISETE MÕÕTMISTULEMUSTE TUNNISTAMINE JA TÄHTSUS

Kahtlemata on paljud inimesed arvamusel, et rannajooned on taandamatud kõverad, ja ma ei mäleta, et keegi oleks teisiti arvanud. Minu otsimine selle arvamuse kasuks kirjalike tõendite kohta oli aga peaaegu täielikult ebaõnnestunud. Lisaks teises peatükis toodud Perrini tsitaatidele on ühes Steinhausi artiklis ka järgmine tähelepanek: „Mõõtes Visla vasakkalda pikkust üha suurema täpsusega, võib saada väärtused kümned, sajad. ja isegi tuhandeid kordi suurem kui see, mis on antud koolikaart... Järgmine väide tundub väga lähedal tegelikkusele: suurem osa looduses leiduvatest kaaredest ei ole parandatavad. See väide on vastuolus levinud arvamusega, mis taandub tõsiasjale, et mitte-alaldatavad kaared on matemaatiline väljamõeldis ja looduses on kõik kaared alaldatavad. Nendest kahest vastuolulisest väitest tuleks ilmselt pidada tõeseks esimest. Perrin ega Steinhaus ei vaevunud aga oma oletusi üksikasjalikumalt arendama ja loogilise järelduseni viima.

K. Fadiman räägib huvitava loo. Tema sõber Edward Kasner viis selle katse läbi mitu korda: ta „küsis väikestelt lastelt, milline on nende arvates Ameerika Ühendriikide ranniku kogupikkus. Pärast seda, kui üks lastest avaldas üsna "mõistliku" oletuse, kutsus Kasner... mõtlema, kui palju saaks seda arvu suurendada, kui nad väga hoolikalt mõõdaksid kõigi neemede ja lahtede ümbermõõtu, seejärel sama hoolikalt jälgiksid. väiksemad neemed ja abajad igas neemes ja igas lahes, seejärel mõõtke iga veeris ja liivatera, mis moodustab rannajoone, iga molekuli, iga aatomi jne. Selgus, et kallas võib olla sama pikk kui teie nagu . Lapsed said sellest kohe aru, aga Kasneril oli probleeme täiskasvanutega.» Lugu on muidugi väga tore, aga tõenäoliselt pole sellel minu otsingutega mingit pistmist. Ilmselgelt ei võtnud Kasner eesmärgiks tõsta esile mõnda reaalsuse aspekti, mis vääriks edasist uurimist.

Seega võib öelda, et käesolev artikkel ja raamat on sisuliselt esimesed sellele teemale pühendatud teosed.

William James kirjutab oma raamatus The Will to Believe1: „See, mis ei mahu liigitamise raamidesse..., on alati suurte avastuste rikas valdkond. Igas teaduses tiirleb üldtunnustatud ja korrastatud faktide ümber alati tolmune pilv reeglitest eranditest - nähtused, mis on peened, ebajärjekindlad, harva kohatavad, nähtused, mida on lihtsam ignoreerida kui arvestada. Iga teadus püüdleb selle poole ideaalses seisukorras kinnine ja range tõdede süsteem... Nähtusi, mida ei saa süsteemi sees liigitada, peetakse paradoksaalseteks absurdideks ja ilmselgelt ei vasta need tõele. Need jäetakse tähelepanuta ja lükatakse tagasi teadusliku südametunnistuse parimate kavatsuste alusel... Igaüks, kes ebaregulaarseid nähtusi tõsiselt uurib, suudab luua uus teadus vana vundamendil. Selle protsessi lõpus muutuvad ajakohastatud teaduse reeglid enamasti eilseteks eranditeks.

Käesolev essee, mille tagasihoidlik eesmärk on Looduse geomeetria täielik uuendamine, kirjeldab nähtusi, mis on nii liigitamatud, et neist saab rääkida vaid tsensori loal. Järgmises osas kohtate esimest neist nähtustest.

RICHARDSONI EFEKT

Meetodi A abil saadud ligikaudse pikkuse muutuse empiirilist uuringut on kirjeldatud Richardsoni artiklis, mille link sattus mulle õnneliku (või saatusliku) juhuse läbi. Pöörasin sellele tähelepanu ainult seetõttu, et olin palju kuulnud Lewis Fry Richardsonist kui silmapaistvast teadlasest, kelle mõtlemise originaalsus sarnanes ekstsentrilisusega (vt ptk 40). Nagu näeme 10. peatükis, võlgneb inimkond oma kõige sügavamatest ja püsivamatest ideedest turbulentsi olemuse kohta. erilist tähelepanu Nende hulgas on vääriline see, mille kohaselt turbulents eeldab isesarnase kaskaadi tekkimist. Ta käsitles ka muid keerulisi küsimusi, näiteks riikidevaheliste relvakonfliktide olemust. Tema katsed olid klassikalise lihtsuse näited, kuid ta ei kõhelnud vajaduse korral kasutamast keerukamaid kontseptsioone.

Joonisel fig. 57 graafikut, mis avastati pärast Richardsoni surma tema paberite hulgast, avaldati peaaegu salajases (ja selliste väljaannete jaoks täiesti sobimatus) "Aastaraamatus üldised süsteemid" Olles neid graafikuid uurinud, jõuame järeldusele, et on kaks konstanti (nimetagem neid ja ) - sellised, et rannajoone pikkuse määramiseks konstrueerides seda lähendava katkendjoone, on vaja võtta ligikaudu pikkusega intervallid ja kirjutada järgmine valem:

Näitaja väärtus sõltub ilmselt mõõdetava rannajoone iseloomust ja selle joone erinevad lõigud võivad eraldi vaadeldes anda erinevaid väärtusi. Richardsoni jaoks oli suurusjärk lihtsalt mugav näitaja, millel polnud erilist tähendust. Selle näitaja väärtus ei näi aga sõltuvat valitud rannajoone pikkuse hindamise meetodist. See tähendab, et ta väärib kõige suuremat tähelepanu.

RANNAJOONI FRAKTAALNE MÕÕDE

Pärast Richardsoni tööga tutvumist pakkusin välja, et kuigi eksponent ei ole täisarv, saab ja tuleb seda mõista kui dimensiooni – täpsemalt fraktaalmõõdet. Muidugi olin ma täiesti teadlik, et kõik ülaltoodud mõõtmismeetodid põhinevad mittestandardsetel üldistatud dimensioonimääratlustel, mida kasutatakse juba puhtas matemaatikas. Pikkuse määramine rannajoone katvuse põhjal väikseim number raadiusega laigud, mida kasutatakse katte mõõtmete määramiseks. Pikkuse määramine, mis põhineb rannajoone katmisel laiuse lindiga, kehastab Cantori ja Minkowski ideed (vt joonis 56) ning vastava mõõtme võlgneme Buliganile. Need kaks näidet aga vihjavad vaid paljude dimensioonide olemasolule (millest enamik on teada vaid üksikutele spetsialistidele), mis säravad matemaatika erinevates kõrgelt spetsialiseerunud valdkondades. Mõnda neist mõõtmetest käsitleme üksikasjalikumalt 39. peatükis.

Miks pidid matemaatikud seda erinevate mõõtmete rohkust tutvustama? Seejärel nõustuvad nad teatud juhtudel erinevaid tähendusi. Õnneks selliseid juhtumeid selles essees ei kohta, seega leiate nimekirja võimalikest alternatiivsetest dimensioonidest siit. puhas südametunnistus vähendada kahele, mida ma aga pole veel maininud. Meie nimekirja vanim ja põhjalikumalt uuritud dimensioon pärineb Hausdorffist ja on mõeldud fraktaaldimensiooni määratlemiseks – sellega tegeleme peagi. Teist, lihtsamat mõõdet nimetatakse sarnasusdimensiooniks: see pole sama üldine iseloom, esimese dimensioonina osutub see aga paljudel juhtudel enam kui piisavaks – käsitleme seda järgmises peatükis.

Muidugi ma ei kavatse siin anda matemaatiline tõestus et Richardsoni astendaja on mõõde. Ausalt öeldes ei kujuta ma ette, kuidas saab sellist tõestust ühegi raames läbi viia loodusteadus. Tahan lihtsalt juhtida lugeja tähelepanu asjaolule, et pikkuse mõiste kujutab endast meie jaoks kontseptuaalset probleemi ning indikaator annab mugava ja elegantse lahenduse. Nüüd, kui fraktaalne mõõde on rannajoonte uurimisel oma koha sisse võtnud, on ebatõenäoline, et tahame mingitel erilistel põhjustel naasta aegadesse, mil mõtlematult ja naiivselt uskusime. Kes ikka veel usub, peab nüüd proovima, kui tahab tõestada, et tal on õigus.

Järgmine samm – rannajoonte kuju selgitamine ja tähenduse tuletamine muudest, fundamentaalsematest kaalutlustest – teen ettepaneku lükata 28. peatükini. Siinkohal piisab, kui öelda, et esimese ligikaudsusena . See väärtus on faktide täpseks kirjeldamiseks liiga suur, kuid see on enam kui piisav, et öelda, et on võimalik, peaks ja loomulik uskuda, et rannajoone mõõde ületab kõvera tavapärast eukleidilist väärtust.

HAUSDORFFI FRAKTAALNE MÕÕDE

Kui nõustuda sellega, et mitmesugused looduslikud rannajooned on lõpmatu pikkusega ja et antropomeetrilisel väärtusel põhinev pikkuse väärtus annab vaid osalise ettekujutuse tegelik olukord asjad, siis kuidas saab erinevaid kaldaid omavahel võrrelda? Kuna lõpmatus ei erine neljaga korrutatud lõpmatusest, siis mis kasu on meil sellest, kui öeldakse, et iga kalda pikkus on neli korda suurem kui selle veerandi pikkus? Nõutav parim viis väljendada üsna mõistlikku ideed, et kõveral peaks olema mingi "mõõt" ja see kogu kõvera mõõt peaks olema neli korda suurem kui sama mõõt mis tahes selle kvartali kohta.

Ülimalt geniaalse meetodi selle eesmärgi saavutamiseks pakkus välja Felix Hausdorff. Tema meetod põhineb sellel, et hulknurga lineaarmõõt arvutatakse selle külgede pikkuste liitmisel ilma igasuguste teisendusteta. Võib oletada, et need küljepikkused on tõstetud astmeni, mis on võrdne joone eukleidilise mõõtmega (selle oletuse põhjus selgub peagi). Sarnaselt arvutatakse ka suletud hulknurga sisepiirkonna pinna mõõt - kattes see ruutudega, leides nende ruutude külgede pikkuste summa ja tõstes selle astmeni (tasapinna eukleidiline mõõde ). Kui kasutame arvutustes “vale” kraadi, siis nende arvutuste tulemus meile midagi ei anna kasulikku teavet: mis tahes suletud hulknurga pindala on null ja selle sisemise piirkonna pikkus on lõpmatu.

Vaatleme sellistest positsioonidest väikestest pikkusvahemikest koosneva rannajoone hulknurkset (tükkide kaupa lineaarset) lähendust. Suurendades intervalli pikkust astmeni ja korrutades selle intervallide arvuga, saame teatud väärtuse, mida võib tinglikult nimetada "ligikaudseks pikkuseks mõõtmetes". Kuna Richardsoni järgi on külgede arv võrdne, võtab meie ligikaudne ulatus väärtuse .. See tähendab, et rannajoone ligikaudne ulatus näitab mõistlikku käitumist siis ja ainult siis, kui .

KÕVERA FRAKTAALMÕÕTE VÕIB OLLA ÜHIKEST SUUREM; FRAKTAALKÕVERAD

Nagu selle looja kavatses, säilitab Hausdorffi mõõde tavalise dimensiooni ülesanded ja toimib mõõdu määramisel eksponendina.

Kuid teisest küljest on mõõde äärmiselt ebatavaline – see väljendub murdarv! Veelgi enam, see on suurem kui ühtsus, mis on kõverate “loomulik” mõõde (saab rangelt tõestada, et ka nende topoloogiline mõõde võrdub ühtsusega).

Teen ettepaneku nimetada kõveraid, mille fraktaalmõõde ületab nende topoloogilise dimensiooni 1, fraktaalkõverateks. Selle peatüki kiire kokkuvõttena võin pakkuda järgmise väite: geograafilises mastaabis saab rannajooni modelleerida fraktaalkõverate abil. Rannajooned on struktuurilt fraktaalsed.

Riis. 55. AHVIPUUD

Sees selles etapis seda väikest disaini tuleks pidada lihtsalt dekoratiivseks elemendiks, see lihtsalt täidab tühja ruumi.

Kuid pärast 14. peatüki lugemist leiab lugeja siit vihje joonisel fig. 210. Tõsisema vihje annab allolev generaator:

Kui matemaatikul on vaja mõnda eriti ebakorrapärast kõverat "taltsutada", saab ta kasutada järgmist standardprotseduuri: valitakse teatud väärtus ja kõvera iga punkti ümber konstrueeritakse raadiusega ring. See protseduur, mis pärineb vähemalt Hermann Minkowskist ja isegi Georg Cantorist endast, on mõnevõrra toores, kuid väga tõhus. (Mis puutub mõistesse vorst, siis selle päritolu on kontrollimata kuulujuttude kohaselt kuidagi seotud Norbert Wieneri poolt selle protseduuri rakendamisega Browni kõveratele.)

Siia postitatud illustratsioonidel on ülalkirjeldatud silumine rakendatud mitte päris kallastele, vaid ühele teoreetilisele kõverale, mille konstrueerime veidi hiljem (vt joon. 79) järjest peeneid detaile lisades. Võrreldes paremal näidatud vorstitükki vorsti parema otsaga, mis on asetatud ülaossa, näeme, et kõvera koostamise kriitiline etapp saabub siis, kui kõver hakkab sisaldama osi, mis on väiksemad kui . Hilisemates etappides vorst oluliselt ei muutu.

Riis. 57. RICHARDSONI EMPIIRILISED ANDMED RANNAJOONA PIKKUSE KASVUMISE KOHTA

Sellel joonisel on näidatud erinevatel kõveratel tehtud kõvera pikkuse mõõtmise eksperimentaalsed tulemused, kasutades kahaneva küljepikkusega võrdkülgseid hulknurki. Ringjoone puhul annavad kasvava täpsusega mõõtmised ootuspäraselt väärtuse, mis stabiliseerub väga kiiresti väga konkreetse väärtuse ümber.

Rannajoonte puhul ei stabiliseeru umbkaudsed pikkused, vastupidi. Kuna sammu pikkus kipub nulli, moodustavad ligikaudsed pikkuse väärtused, mis on joonistatud topeltlogaritmilises koordinaatsüsteemis, sirge negatiivne kalle. Sama lugu on riikidevaheliste maismaapiiridega. Avati Richardsoni viited erinevates entsüklopeediates olulisi erinevusiühispiiri pikkuse määramisel vastavate riikide kartograafide poolt: näiteks Hispaania ja Portugali vahelise piiri pikkus on hispaanlaste seisukohalt 987 km ja portugallaste seisukohalt 1214 km; Madalmaade ja Belgia vaheline piir (380 ja 449 km) oli samamoodi mõjutatud. Kuna vastavate joonte kalle on -0,25, tähendab kahekümneprotsendiline erinevus mõõtmiste vahel kahekordset erinevust nende mõõtmiste jaoks aktsepteeritud väärtuste vahel - see pole nii uskumatu oletus.

Richardson ei andnud oma joonte erinevatele kalletele teoreetilist tõlgendust. Me kavatseme tõlgendada rannajooni fraktaalkõverate lähendustena ja kaaluda kalde koefitsiendid vastavad sirgjooned erinevuse ligikaudsete väärtustena, kus on fraktaalmõõde.

Fraktalid on geomeetrilised objektid: pinnajooned, ruumilised kehad, millel on väga konarlik kuju ja millel on enesesarnasuse omadus. Sõna fraktal tuleb sõnast fractus ja seda tõlgitakse kui murdosa, murtud. Enesesarnasus kui põhiomadus tähendab, et see on paigutatud enam-vähem ühtlaselt laia skaala ulatuses. Seega osutuvad fraktaali väikesed killud suurendamisel väga sarnaseks suurtele. Ideaaljuhul viib selline enesesarnasus selleni, et fraktaalobjekt osutub laiendite all muutumatuks, s.t. väidetavalt on sellel dilatatsiooniline sümmeetria. See eeldab, et fraktali põhilised geomeetrilised tunnused jäävad skaala muutumisel muutumatuks.

Muidugi on tõelise loodusliku fraktaali jaoks teatud minimaalne pikkuse skaala, nii et kaugustel kaob selle peamine omadus - enesesarnasus. Lisaks piisavalt suurtel pikkuskaaladel, kus on tunnus geomeetriline suurus objektid, rikutakse ka seda enesesarnasuse omadust. Seetõttu arvestatakse looduslike fraktaalide omadusi ainult skaalal l, rahuldab suhet . Sellised piirangud on üsna loomulikud, sest kui tuua näitena fraktal - Browni osakese katkine, mittesujuv trajektoor, siis saame aru, et pilt on ilmselge idealiseerimine. Asi on selles, et väikseid mastaape mõjutab kokkupõrkeaja lõplikkus. Kui neid asjaolusid arvesse võtta, muutub Browni osakese trajektoor sujuvaks kõveraks.

Pange tähele, et enesesarnasuse omadus on iseloomulik ainult tavalistele fraktaalidele. Kui deterministlike konstrueerimismeetodite asemel kaasatakse nende loomise algoritmi mõni juhuslikkuse element (nagu juhtub näiteks paljudes klastrite difusioonikasvu protsessides, elektriline rike jne), siis tekivad nn juhuslikud fraktalid. Nende peamine erinevus tavalistest seisneb selles, et enesesarnasuse omadused kehtivad alles pärast asjakohast keskmistamist kõigi objekti statistiliselt sõltumatute teostuste kohta. Sellisel juhul ei ole fraktali suurendatud osa algse fragmendiga täpselt identne, kuid need statistilised omadused vaste. Kuid fraktal, mida me uurime, on üks klassikalistest fraktaalidest ja seetõttu korrapärane.

Rannajoone pikkus

Esialgu tekkis fraktali mõiste füüsikas seoses rannajoone leidmise probleemiga. Mõõtes seda olemasoleva piirkonna kaardi abil, selgus huvitav detail - mida suurema mõõtkavaga kaarti võtta, seda pikemaks see rannajoon osutub.

Joonis 1 – Rannajoone kaart

Olgu näiteks vahemaa sirgjoonel rannajoonel asuvate punktide vahel A Ja B võrdub R(vt joonis 1). Seejärel asetame nende punktide vahelise rannajoone pikkuse mõõtmiseks jäigalt piki rannikut seotud sõberüksteisega poolused nii, et külgnevate postide vaheline kaugus oleks näiteks l=10km. Rannajoone pikkus punktide vahel kilomeetrites A Ja B siis võtame selle võrdseks verstapostide arvuga miinus üks korrutatuna kümnega. Selle pikkuse järgmise mõõtmise teeme sarnaselt, kuid külgnevate pooluste vahelise kauguse muudame võrdseks l=1km.

Selgub, et nende mõõtmiste tulemused on erinevad. Väljasuumimisel l me saame kõik suured väärtused pikkus. Vastupidiselt sujuvale kõverale osutub mereranniku joon sageli nii taansaks (väikseima mõõtkavani välja), et lõigu vähenemisel l suurusjärk L- rannajoone pikkus - ei kipu lõplik piir, ja suureneb vastavalt järkjärgulisele seadusele

Kus D- teatud eksponent, mida nimetatakse rannajoone fraktaalmõõtmeks. Mida suurem on väärtus D, seda karmim on see rannajoon. Sõltuvus (1) on intuitiivne: mida väiksemat skaalat kasutame, seda väiksemaid rannajoone detaile arvestatakse ja need annavad mõõdetavale pikkusele kaasa. Vastupidi, skaalat suurendades sirgendame rannikut, vähendades pikkust L.

Seega on ilmne, et määrata rannajoone pikkus L kasutades kõva skaala l(näiteks kasutades fikseeritud lahendusega kompassi), peate tegema N = L/l sammud ja suurus L muudatused c l Niisiis N oleneb l seaduses. Selle tulemusena suureneb mastaabi vähenedes rannajoone pikkus piiramatult. See asjaolu eristab järsult fraktaalikõverat tavalisest sujuvast kõverast (nagu ring, ellips), mille puhul on ligikaudse katkendjoone pikkuse piir L kuna selle lingi pikkus kipub olema null l lõplik. Selle tulemusena on sujuva kõvera korral selle fraktaalmõõde D = 1, st. langeb kokku topoloogilisega.

Esitame fraktaalmõõtmete väärtused D erinevatele rannajoontele. Näiteks Briti saarte jaoks D? 1. 3 ja Norra jaoks D? 1.5. Austraalia ranniku fraktaalmõõde D ? 1. 1. Ühtsuse lähedaseks osutuvad ka teiste rannikute fraktaalmõõtmed.

Eespool tutvustati rannajoone fraktaalmõõtme kontseptsiooni. Anname nüüd üldine määratlus see väärtus. Lase d- selle ruumi tavaline eukleidiline mõõde, milles meie fraktaalobjekt asub ( d=1- joon, d=2- lennuk, d=3- tavaline kolmemõõtmeline ruum). Nüüd katame selle objekti täielikult d-mõõtmelised raadiusega "pallid". l. Oletame, et selleks vajasime mitte vähem kui N(l) pallid. Siis, kui piisavalt väike l suurusjärk N(l) muutub vastavalt võimuseadusele:

See D- nimetatakse selle objekti Hausdorffi ehk fraktaalmõõtmeks.

Geograafiat õppides tuleb muidugi meeles pidada, et igal riigil on oma pindala ja piiri pikkus, eriti kui riiki uhub meri või ookean, siis on sellel teatud pikkusega merepiir. Kas olete kunagi mõelnud, kuidas seda piiri pikkust määratakse? 1977. aastal seadis end Ameerika matemaatik Benoit Mandelbrot järgmine küsimus: Kui pikk on Ühendkuningriigi rannajoon? Selgus, et sellele “lapselikule küsimusele” oli võimatu õigesti vastata. 1988. aastal otsustas Norra teadlane Jens Feder välja selgitada Norra rannajoone pikkuse. Pange tähele, et Norra rannik on tihedalt kaetud fiordidega. Teised teadlased on esitanud endale sarnaseid küsimusi Austraalia rannikualade pikkuse kohta, Lõuna-Aafrika, Saksamaal, Portugalis ja teistes riikides.

Rannajoone pikkust saame mõõta vaid ligikaudselt. Väljasuumides tuleb mõõta aina rohkem väikeseid neeme ja lahtesid - rannajoone pikkus pikeneb ning mastaabi vähendamisel (ja seeläbi rannajoone pikkuse suurendamisel) lihtsalt pole objektiivset piiri; oleme sunnitud tunnistama, et sellel joonel on lõpmatu pikkus. Teame, et sirge mõõde on üks, ruudu mõõde on kaks ja kuubi mõõde on kolm. Mandelbrot tegi ettepaneku kasutada "koletiste" kõverate mõõtmiseks murdmõõtmeid - Hausdorff - Besicovitchi mõõtmeid. Lõputult katkised kurvid nagu rannajoon ei ole päris jooned. Tundub, et need "pühivad" osa tasapinnast nagu pind. Kuid need pole ka pinnad. See tähendab, et on mõistlik eeldada, et nende mõõde on rohkem kui üks, aga ka väiksem kui kaks, st tegemist on murdmõõtmeliste objektidega.

Norra teadlane E. Feder pakkus välja teise viisi rannajoone pikkuse mõõtmiseks. Kaart oli kaetud ruutvõrguga, mille lahtrid on mõõtmetega e? e. On näha, et selliste lahtrite arv N(e), mis katavad kaardil rannajoont, on ligikaudu võrdne sammude arvuga, mille jooksul saab kaardil mööda rannajoont mööda kõndida, kasutades kompassi lahendusega e. Kui e vähendada, siis arv N(e) suureneb. Kui Ühendkuningriigi rannajoone pikkus oleks teatud pikkus L, siis lahendusega kompassi sammude arv (või arv N(e) katab kaardil rannajoont) oleks pöördvõrdeline e-ga ja väärtus Ln (e)=N(e) ?

e kipub muutuma L konstantseks, kui k väheneb. Kahjuks on paljude teadlaste tehtud arvutused näidanud, et see pole täiesti tõsi. Kui samm väheneb, suureneb mõõdetud pikkus. Selgus, et mõõdetud pikkuse L(e) ja sammu e vahelist seost saab kirjeldada ligikaudse seosega Koefitsienti D nimetatakse fraktaalmõõtmeks. Sõna fraktal pärineb Ladina sõna

fraktaal - murdosa, mittetäisarv. Hulka nimetatakse fraktaaliks, kui sellel on mittetäisarvuline mõõde. Norra puhul D=1,52 ja Suurbritannia puhul D=1,3. Seega on Norra ja Suurbritannia rannajoon fraktal fraktaalmõõtmega D. Arvutused tehti ka ringi kohta ja ringi fraktaalmõõde on D=1, nagu arvata võib. Seega on fraktaalmõõde tavamõõtme üldistus.

Kuidas seda mõista ja mida see tähendada võib? Matemaatikud hakkasid meenutama, kas midagi sellist oli matemaatikas varem olemas olnud või mitte? Ja nad mäletasid! Vaatleme tasapinna teatud sirge AB osa (joonis 3). Võtame ruudu servaga e ja küsime endalt: mitu ruutu N(e) servapikkusega e on vaja sirge AB katmiseks selliste ruutudega? On näha, et N(e) on proportsionaalne

Samamoodi, kui suletud piiratud ala tasapinnal (joonis 4) on kaetud ruutvõrguga, mille külg on e, on minimaalne ruutude arv, mille külg e katab ala. Kui arvestada suletud piiriga piirkonda kolmemõõtmeline ruum

ja võta kuubik servaga e, siis seda ala täitvate kuubikute arv on Määrame fraktaaldimensiooni ülaltoodu põhjalüldine juhtum

järgmiselt:

Võtame vasaku ja parema külje logaritmi

Üleminek piirini, kuna e kipub nulli (N kipub lõpmatuseni), saame