Kuidas tõmmata läbi punkti 2 paralleelset Lobatševskit. Lobatševski geomeetria praktilised rakendused

Lobatševski geomeetria

Sissejuhatus

I peatükk. Mitteeukleidilise geomeetria tekkelugu

II peatükk. Lobatševski geomeetria

2.1 Põhimõisted

2.2 Lobatševski geomeetria järjepidevus

2.3 Lobatševski geomeetria mudelid

2.4 Kolmnurga ja hulknurga defekt

2.5 Absoluutne pikkuseühik Lobatševski geomeetrias

2.6 Paralleeljoone määramine. Funktsioon P(x)

2.7 Poincaré mudel

Praktiline osa

1. Kolmnurga nurkade summa

2. Küsimus selliste kujundite olemasolust

3. Paralleelsuse põhiomadus

4. Funktsiooni P(x) omadused

Järeldus. Järeldused

Rakendused

Kasutatud kirjanduse loetelu

Sissejuhatus

See töö näitab kahe geomeetria sarnasusi ja erinevusi ühe Eukleidese postulaadi tõestuse ja nende kontseptsioonide jätkamise näitel Lobatševski geomeetrias, võttes arvesse tolleaegseid teaduse saavutusi.

Iga kaasaegse teaduse teooriat peetakse õigeks kuni järgmise loomiseni. See on omamoodi teaduse arengu aksioom. Seda fakti on korduvalt kinnitatud.

Newtoni füüsika arenes relativistlikuks ja see kvantiks. Flogistoni teooriast sai keemia. See on kõigi teaduste saatus. See saatus ei säästnud geomeetriat. Traditsiooniline Eukleidese geomeetria arenes geomeetriaks. Lobatševski. See töö on pühendatud sellele teadusharule.

Selle töö eesmärk: kaaluda erinevust Lobatševski geomeetria ja Eukleidilise geomeetria vahel.

Selle töö eesmärgid: võrrelda Eukleidese geomeetria teoreeme Lobatševski geomeetria sarnaste teoreemidega;

ülesandeid lahendades tuletage Lobatševski geomeetria sätted.

Järeldused: 1. Lobatševski geomeetria põhineb Eukleidese viienda postulaadi tagasilükkamisel.

2. Lobatševski geomeetrias:

pole olemas sarnaseid kolmnurki, mis poleks võrdsed;

kaks kolmnurka on kongruentsed, kui nende nurgad on võrdsed;

kolmnurga nurkade summa ei ole võrdne 180 0, vaid väiksem (kolmnurga nurkade summa sõltub selle suurusest: mida suurem on pindala, seda rohkem erineb summa 180 0-st ja vastupidi väiksem pindala, seda lähemal on selle nurkade summa 180 0);

Läbi joonest väljaspool asuva punkti saab tõmmata rohkem kui ühe antud sirgega paralleelse sirge.

Peatükk 1. Mitteeukleidilise geomeetria tekkelugu

Eukleidese 1,1 V postulaat, püüab seda tõestada

Eukleides on esimese meieni jõudnud range loogilise geomeetria konstruktsiooni autor. Selle esitlus on oma aja kohta nii veatu, et kaks tuhat aastat pärast tema teose “Principia” ilmumist oli see ainus juhend geomeetriatudengitele.

"Principia" koosneb 13 raamatust, mis on pühendatud geomeetriale ja aritmeetikale geomeetrilises esitluses.

Iga elementide raamat algab mõistete määratlemisega, mida kohtab esimest korda. Definitsioone järgides annab Euclid postulaate ja aksioome ehk väiteid, mis aktsepteeritakse ilma tõestuseta.

Eukleidese viies postulaat ütleb: ja et kui sirge, lõikudes kahe teise sirgjoonega, moodustab nendega ühepoolsed sisenurgad, mille summa on väiksem kui kaks sirget, lõikuvad need sirged ühel küljel mille summa on väiksem kui kaks sirget.

Eukleidilise aksioomide süsteemi, sealhulgas selle postulaatide kõige olulisem puudus on selle ebatäielikkus, st nende ebapiisav geomeetria rangelt loogiliseks konstrueerimiseks, kus iga lause, kui seda aksioomide loendis ei esine, peab olema viimastest loogiliselt tuletatud. Seetõttu ei tuginenud Euclid teoreemide tõestamisel alati aksioomidele, vaid kasutas intuitsiooni, selgust ja “sensoorseid” tajusid. Näiteks omistas ta mõistele “vahel” puhtvisuaalse iseloomu; ta eeldas vaikimisi, et ringjoone sisemist punkti läbiv sirgjoon peab seda kindlasti kahes punktis lõikuma. Pealegi põhines ta ainult selgusel, mitte loogikal; Ta ei tõestanud seda tõsiasja kusagil ega saanudki seda anda, kuna tal puudusid järjepidevuse aksioomid. Tal puuduvad ka mõned muud aksioomid, ilma milleta pole teoreemide rangelt loogiline tõestamine võimalik.

Kuid keegi ei kahelnud Eukleidese postulaatide, sealhulgas postulaadi V tõesuses. Samal ajal, juba iidsetel aegadel, äratas just paralleelide postulaat mitmete geomeetrite erilist tähelepanu, kes pidasid selle paigutamist postulaatide hulka ebaloomulikuks. Tõenäoliselt oli see tingitud postulaadi V suhteliselt väiksemast ilmsusest ja selgusest: oma kaudsel kujul eeldab see tasandi mis tahes, kuitahes kaugemate osade ligipääsetavust, väljendades omadust, mis ilmneb ainult sirgjoonte lõputu jätkumisega.

Eukleides ise ja paljud teadlased püüdsid paralleelpostulaati tõestada. Mõned püüdsid tõestada paralleelide postulaati, kasutades ainult teisi postulaate ja neid teoreeme, mida saab viimastest tuletada, ilma V-postulaati ennast kasutamata. Kõik sellised katsed olid ebaõnnestunud. Nende ühine puudus on see, et tõestuses kasutati kaudselt mõnda eeldust, mis on samaväärne tõestatava postulaadiga. Teised soovitasid paralleelsed jooned ümber defineerida või V-postulaadi asendada nende arvates ilmsema ettepanekuga.

Kuid sajanditepikkused katsed tõestada Eukleidese viiendat postulaati viisid lõpuks uue geomeetria tekkeni, mida eristab asjaolu, et viies postulaat ei ole sellega rahul. Seda geomeetriat nimetatakse nüüd mitteeukleidiliseks ja Venemaal kannab see Lobatševski nime, kes avaldas esmakordselt seda esitleva teose.

N. I. Lobatševski (1792–1856) geomeetriliste avastuste üheks eelduseks oli just tema materialistlik lähenemine teadmiste probleemidele. Lobatševski, oli ta kindlalt veendunud materiaalse maailma objektiivses olemasolus ja võimaluses seda inimteadvusest sõltumatult tunda. Lobatševski tsiteerib oma kõnes “Kõige olulisematest kasvatusainetest” (Kaasan, 1828) kaastundlikult F. Baconi sõnu: “jätke asjata tööle, püüdes ühest meelest kogu tarkust välja tõmmata; küsige looduselt, ta hoiab kõiki tõdesid ja vastab kõigile teie küsimustele tõrgeteta ja rahuldavalt. Oma essees “Geomeetria põhimõtetest”, mis oli tema avastatud geomeetria esimene väljaanne, kirjutas Lobatševski: “Esimesed mõisted, millest iga teadus algab, peavad olema selged ja taandatud väikseima arvuni. Ainult siis saavad nad olla õpetusele kindla ja piisava vundamendina. Sellised mõisted omandatakse meelte abil; kaasasündinud – ei tohiks uskuda.

Lobatševski esimesed katsed viiendat postulaadi tõestada pärinevad 1823. aastast. 1826. aastaks jõudis ta veendumusele, et postulaat V ei sõltu teistest Eukleidese geomeetria aksioomidest ja 11. (23.) veebruaril 1826. aastal Kaasani ülikooli õppejõudude koosolekul ettekande „Koondatud esitlus geomeetria põhimõtted paralleelse teoreemi range tõestusega”, milles visandati tema avastatud „kujuteldava geomeetria”, nagu ta nimetas süsteemi, alged, mida hiljem hakati nimetama mitte-eukleidilise geomeetriaks. 1826. aasta aruanne lisati Lobatševski esimesse mitteeukleidilise geomeetria väljaandesse - artiklisse “Geomeetria põhimõtetest”, mis avaldati Kaasani ülikooli ajakirjas “Kazansky Vestnik” aastatel 1829–1830. tema avastatud geomeetria edasiarendus ja rakendused olid pühendatud memuaaridele "Imaginaarne geomeetria", "Imaginaarse geomeetria rakendamine mõnele integraalile" ja "Uued geomeetria põhimõtted koos täieliku paralleelteooriaga", mis avaldati vastavalt ajakirjas "Teaduslikud märkused" aastatel 1835, 1836 ja 1835-1838. “Imaginaarse geomeetria” muudetud tekst ilmus prantsuskeelses tõlkes Berliinis, seal 1840. aastal. ilmus eraldi raamatuna saksa keeles Lobatševski “Geomeetrilised uurimused paralleeljoonte teooriast”. Lõpuks 1855. ja 1856. aastal. avaldas ta Kaasanis vene ja prantsuse keeles “Pangeomeetria”. Gauss kiitis kõrgelt "geomeetrilisi uuringuid", mis tegi Lobatševskist (1842) Göttingeni Teadusliku Seltsi korrespondentliikme, mis oli sisuliselt Hannoveri Kuningriigi Teaduste Akadeemia. Gauss aga ei hinnanud uut geomeetrilist süsteemi trükis.

1.2 Eukleidese ja Lobatševski paralleelsuspostulaadid

Peamine punkt, millest algab geomeetria jagunemine tavaliseks eukleidiliseks (tavaliseks) ja mitteeukleidiliseks (kujutletav geomeetria või “pangeomeetria”), on teatavasti paralleelsete joonte postulaat.

Tavageomeetria põhineb eeldusel, et läbi punkti, mis ei asu antud sirgel, saab selle punktiga määratletud tasapinnale ja sirgele tõmmata mitte rohkem kui ühe sirge, mis antud sirget ei ristu. See, et punktist, mis ei asu antud sirgel, läbib vähemalt üks sirge, mis seda sirget ei ristu, viitab “absoluutsele geomeetriale”, s.o. saab tõestada ilma paralleelsete joonte postulaadi abita.

Sirge BB, mis läbib P-d täisnurga all AA 1-le langetatud risti PQ suhtes, ei ristu sirgega AA 1; seda joont nimetatakse eukleidilises geomeetrias paralleelseks AA 1-ga.

Erinevalt Eukleidese postulaadist võtab Lobatševski paralleelsete sirgete teooria koostamise aluseks järgmise aksioomi:

Läbi punkti, mis ei asu antud sirgel, saab joonestada rohkem kui ühe sirge selle punktiga määratud tasapinnale ja sirgele, mis antud sirget ei ristu.

See tähendab otseselt seda, et on olemas lõpmatu arv sirgeid, mis läbivad sama punkti ja ei ristu antud sirgega. Sirge CC 1 ei tohi ristuda AA 1; siis kõik sirgjooned, mis läbivad kahe vertikaalnurga VRS ja B 1 RS 1 seest, ei ristu ka sirgega AA 1.

2. peatükk. Lobatševski geomeetria.

2.1 Põhimõisted

Oma memuaarides “Geomeetria põhimõtetest” (1829) kordas Lobatševski ennekõike oma 1826. aasta aruannet.

7. veebruaril 1832 esitles Nikolai Lobatševski kolleegidele oma esimest tööd mitteeukleidilise geomeetria kohta. See päev tähistas revolutsiooni algust matemaatikas ja Lobatševski töö oli esimene samm Einsteini relatiivsusteooria suunas. Tänaseks on "RG" kogunud viis kõige levinumat eksiarvamust Lobatševski teooria kohta, mis eksisteerivad matemaatikast kaugel olevate inimeste seas.

Müüt üks. Lobatševski geomeetrial pole eukleidilise geomeetriaga midagi ühist.

Tegelikult ei erine Lobatševski geomeetria liiga palju eukleidilisest geomeetriast, millega oleme harjunud. Fakt on see, et Eukleidese viiest postulaadist jättis Lobatševski neli esimest muutmata. See tähendab, et ta nõustub Eukleidesega, et sirge võib tõmmata mis tahes kahe punkti vahele, et seda saab alati pikendada lõpmatuseni, et mis tahes tsentrist saab tõmmata mis tahes raadiusega ringi ja et kõik täisnurgad on mõlema punktiga võrdsed. muud. Lobatševski ei nõustunud vaid viienda, tema seisukohast kõige kahtlasema Eukleidese postulaadiga. Tema sõnastus kõlab ülimalt läbimõeldult, kuid kui tõlkida see tavainimesele arusaadavasse keelde, selgub, et Eukleidese järgi ristuvad kindlasti kaks mitteparalleelset sirget. Lobatševskil õnnestus selle eelduse väärus tõestada.

Müüt kaks. Lobatševski teoorias ristuvad paralleelsed sirged

See on vale. Tegelikult kõlab Lobatševski viies postulaat järgmiselt: "Tasapinnal läbib punkti, mis ei asu antud sirgel, rohkem kui üks sirge, mis antud joonega ei ristu." Teisisõnu, ühe joone jaoks saate tõmmata vähemalt kaks joont läbi ühe punkti, mis seda ei ristu. See tähendab, et selles Lobatševski postulaadis pole paralleeljoontest üldse juttugi! Me räägime ainult mitme mittelõikava sirge olemasolust samal tasapinnal. Seega sündis oletus paralleelsete sirgete ristumiskoha kohta banaalsest teadmatusest suure vene matemaatiku teooria olemuse suhtes.

Kolmas müüt. Lobatševski geomeetria on ainus mitteeukleidiline geomeetria

Mitteeukleidilised geomeetriad on matemaatikas terve kiht teooriaid, mille aluseks on eukleidilisest erinev viies postulaat. Lobatševski, erinevalt näiteks Eukleidsest, kirjeldab hüperboolset ruumi. On olemas ka teooria, mis kirjeldab sfäärilist ruumi – see on Riemanni geomeetria. Siin ristuvad paralleelsed sirged. Selle klassikaline näide kooli õppekavast on meridiaanid maakeral. Kui vaadata maakera mustrit, siis selgub, et kõik meridiaanid on paralleelsed. Vahepeal, niipea kui rakendame mustri sfäärile, näeme, et kõik varem paralleelsed meridiaanid koonduvad kahes punktis - poolustes. Eukleidese, Lobatševski ja Riemanni teooriaid nimetatakse koos "kolmeks suureks geomeetriaks".

Neljas müüt. Lobatševski geomeetria ei ole reaalses elus rakendatav

Vastupidi, kaasaegne teadus jõuab arusaamisele, et eukleidiline geomeetria on Lobatševski geomeetria erijuhtum ja tegelikku maailma kirjeldavad täpsemalt vene teadlase valemid. Lobatševski geomeetria edasiarendamiseks andis tugevaimaks tõuke Albert Einsteini relatiivsusteooria, mis näitas, et meie Universumi ruum ise ei ole lineaarne, vaid on hüperboolne sfäär. Vahepeal nimetas Lobatševski ise, hoolimata asjaolust, et ta töötas kogu oma elu oma teooria väljatöötamise kallal, seda "kujuteldavaks geomeetriaks".

Müüt viies. Lobatševski oli esimene, kes lõi mitteeukleidilise geomeetria

See pole täiesti tõsi. Temaga paralleelselt ja temast sõltumatult jõudsid sarnastele järeldustele Ungari matemaatik Janos Bolyai ja kuulus saksa teadlane Carl Friedrich Gauss. Laiem avalikkus aga Janose teoseid ei märganud ja Karl Gauss otsustas üldse mitte avaldada. Seetõttu peetakse selle teooria pioneeriks meie teadlast. Siiski on mõnevõrra paradoksaalne seisukoht, et Eukleides ise tuli esimesena välja mitteeukleidilise geomeetriaga. Fakt on see, et ta pidas enesekriitiliselt oma viiendat postulaati ilmseks, mistõttu tõestas ta enamiku oma teoreemidest ilma seda kasutamata.

Lobatševski geomeetria teoreemid

1. Lobatševski geomeetria põhimõisted

Eukleidilises geomeetrias viienda postulaadi järgi punkti läbival tasapinnal R, lamades väljaspool joont A"A, on ainult üks sirgjoon V"V, ei ristu A"A. Otse B"B nimetatakse paralleelseks AA-le Sel juhul piisab, kui nõuda, et läbi ei läheks rohkem kui üks selline joon, kuna mittelõikuva sirge olemasolu saab tõestada järjestikuste joonte joonistamisega. PQA"A Ja PBPQ. Lobatševski geomeetrias nõuab paralleelsuse aksioom, et läbi punkti R oli rohkem kui üks sirgjoon, mis ei ristunud A "A.

Mittelõikuvad jooned täidavad tala osa tipuga R, asub paari vertikaalse nurga sees TPU Ja U"PT", mis asub risti suhtes sümmeetriliselt P.Q. Vertikaalsete nurkade külgi moodustavad sirgjooned eraldavad lõikuvad jooned mittelõikuvatest ja on ise ka mittelõikuvad. Neid piirjooni nimetatakse paralleelid punktis P sirgega A"A vastavalt oma kahes suunas: T"T paralleelselt A "A suunas A"A, a UU" paralleelselt A "A suunas A A."Ülejäänud mittelõikuvaid sirgeid nimetatakse lahknevad sirged jooned Koos A "A.

Nurk , 0< R moodustab risti P.Q. QPT=QPU"=, helistas paralleelsuse nurk segment PQ=a ja seda tähistatakse . Kell a=0 nurk =/2; suurenemisega A nurk väheneb nii, et iga antud puhul on 0<A. Seda sõltuvust nimetatakse Lobatševski funktsioon :

P(a)=2arctg (),

Kus To-- mingi konstant, mis määratleb kindla suurusega segmendi. Seda nimetatakse Lobatševski ruumi kõverusraadiuseks. Sarnaselt sfäärilisele geomeetriale on olemas lõpmatu arv Lobatševski ruume, mille suurus on erinev To.

Kaks erinevat sirgjoont piki tasapinda moodustavad paari kolmest tüübist.

Ristuvad jooned . Kaugus ühel sirgel asuvatest punktidest teise sirgeni suureneb lõputult, kui punkt liigub sirgete lõikekohast eemale. Kui jooned ei ole risti, projitseeritakse kumbki teineteise suhtes ortogonaalselt piiratud suurusega avatud segmendiks.

Paralleelsed jooned . Tasapinnal läbib antud punkti üks sirge, mis on paralleelne antud sirgega viimasel määratud suunas. Paralleelselt mingis punktis R säilitab igas punktis omaduse olla paralleelne sama joonega samas suunas. Paralleelsus on vastastikune (kui A||b siis teatud suunas b||A sobivas suunas) ja transitiivsus (kui A||b ja s|| b siis ühes suunas a||s sobivas suunas). Paralleelsuse suunas lähenevad paralleelid lõputult üksteisele, vastassuunas kaugenevad nad lõputult (vahemaa mõttes ühe sirge liikumispunktist teise sirgeni). Ühe sirge ortogonaalne projektsioon teisele on avatud pooljoon.

Lahknevad jooned . Neil on üks ühine risti, mille segment annab minimaalse kauguse. Perpendikulaari mõlemal küljel lahknevad jooned piiramatult. Iga sirge projitseeritakse teisele piiratud suurusega avatud segmendiks.

Kolm tüüpi sirgjooni vastavad tasapinnal kolme tüüpi sirgjoonte pliiatsitele, millest igaüks katab kogu tasapinna: 1. tüüpi tala -- kõigi ühte punkti läbivate sirgete hulk ( keskus tala); 2. tüüpi tala -- kõigi ühe sirgega risti olevate sirgete hulk ( andmebaasi tala); 3. tüüpi tala -- kõigi antud suunas ühe sirgega paralleelsete sirgete hulk, kaasa arvatud see sirge.

Nende kiirte sirgjoonte ortogonaalsed trajektoorid moodustavad Eukleidilise tasandi ringi analoogid: ringõiges mõttes; võrdsel kaugusel , või rida võrdne vahemaad (kui mitte arvestada alust), mis on aluse suhtes nõgus; piirjoon , või horotsükkel, seda võib pidada ringiks, mille keskpunkt on lõpmatuses. Piirjooned on kongruentsed. Need ei ole suletud ja on paralleelsuse suhtes nõgusad. Kaks ühe kimbu genereeritud piirjoont on kontsentrilised (need lõikavad kimbu sirgjoontel välja võrdsed segmendid). Tala kahe sirge vahele jäävate kontsentriliste kaare pikkuste suhe väheneb paralleelsuse suunas kui kauguse eksponentsiaalne funktsioon X kaare vahel:

s" / s=e.

Iga ringi analoog võib ise libiseda, mis tekitab kolme tüüpi tasapinna üheparameetrilisi liikumisi: pöörlemine ümber oma keskpunkti; pöörlemine ideaalse keskpunkti ümber (üks trajektoor on alus, ülejäänud on võrdsel kaugusel); pöörlemine ümber lõpmatult kauge keskpunkti (kõik trajektoorid on piirjooned).

Ringide analoogide pöörlemine ümber genereeriva kiire joone viib sfääri analoogideni: tegelik sfäär, võrdsete vahemaade pind ja horosfäär, või ülim pinnad .

Sfääril on suurte ringide geomeetria tavaline sfääriline geomeetria; võrdse vahemaa pinnal - võrdse kaugusega geomeetria, mis on Lobatševski planimeetria, kuid suurema väärtusega Kellele; piirpinnal - piirjoonte eukleidiline geomeetria.

Piirjoonte kaare pikkuste ja kõõlude seos ning eukleidilised trigonomeetrilised seosed piirpinnal võimaldavad tuletada tasapinnal trigonomeetrilisi seoseid, st sirgjooneliste kolmnurkade trigonomeetrilisi valemeid.

2. Mõned Lobatševski geomeetria teoreemid

1. teoreem. Iga kolmnurga nurkade summa on väiksem kui 2d.

Vaatleme esmalt täisnurkset kolmnurka ABC (joonis 2). Tema küljed a, b, c on kujutatud vastavalt joonega risti oleva Eukleidilise lõigu kujul Ja, keskpunktiga Eukleidilise ringi kaared M ja keskpunktiga Eukleidilise ringi kaared N. Nurk KOOS-- otsene. Nurk A võrdne ringide puutujate vahelise nurgaga b Ja Koos punktis A, või, mis on sama, raadiuste vaheline nurk N.A. Ja MA need ringid. Lõpuks B = BNM.

Lähtume segmendist BN nagu eukleidilise ringi läbimõõt q; sellel on ring Koos vaid üks ühine punkt IN, kuna selle läbimõõt on ringi raadius Koos. Seetõttu punkt A asub väljaspool ümbermõõduga piiratud ringi q, seega,

A = MEES< MBN.

Järelikult võrdsuse tõttu MBN+B = d meil on:

A + B< d; (1)

nii A + B + C< 2d, что и требовалось доказать.

Pange tähele, et õige hüperboolse liikumise abil saab iga täisnurkse kolmnurga paigutada nii, et selle üks jalg asetseb joonega risti eukleidilisel joonel. Ja; seega meetod, mida kasutasime ebavõrdsuse tuletamiseks (1) kehtib iga täisnurkse kolmnurga kohta.

Kui on antud kaldkolmnurk, siis jagame selle ühe kõrgusega kaheks täisnurkseks kolmnurgaks. Nende täisnurksete kolmnurkade teravnurkade summa on võrdne antud kaldkolmnurga nurkade summaga. Seega, võttes arvesse ebavõrdsust (1) , järeldame, et teoreem kehtib iga kolmnurga puhul.

2. teoreem . Nelinurga nurkade summa on väiksem kui 4d.

Selle tõestamiseks piisab, kui jagada nelinurk diagonaalselt kaheks kolmnurgaks.

3. teoreem . Kahel lahkneval sirgel on ühine üks ja ainult üks risti.

Olgu üks neist lahknevatest joontest kaardil kujutatud eukleidilise perpendikulaarina r sirgjoonele Ja punktis M, teine ​​- eukleidilise poolringi kujul q keskendunud Ja ja r Ja q puuduvad ühised punktid (joonis 3). Seda kahe lahkneva hüperboolse joone paigutust kaardil saab alati saavutada õige hüperboolse liikumisega.

Viime läbi alates M Eukleidese puutuja MN To q ja kirjeldage keskelt M raadius MN Eukleidese poolring m. Selge see m--hüperboolne joon, mis ristub ja r Ja q täisnurga all. Seega m kujutab kaardil nende lahknevate joonte soovitud ühisristi.

Kahel lahkneval sirgel ei saa olla kahte ühist risti, kuna sel juhul oleks nelinurk nelja täisnurgaga, mis on vastuolus teoreemiga 2.

. 4. teoreem. Teravnurga külje ristkülikukujuline projektsioon selle teisele küljele on segment(ja mitte pooljoon, nagu eukleidilises geomeetrias).

Teoreemi kehtivus on ilmne jooniselt fig. 4, kus on segment AB on külje ristkülikukujuline projektsioon AB teravnurk SINA tema poolele AC.

Samal joonisel kaar DE Eukleidese ring keskpunktiga M on hüperboolse joonega risti AC. See risti ei ristu kaldega AB. Järelikult oletus, et sama sirgega risti ja kaldus ristuvad alati, on vastuolus Lobatševski paralleelsuse aksioomiga; see on samaväärne Eukleidese parallelismiaksioomiga.

5. teoreem. Kui kolmnurga ABC kolm nurka on võrdsed kolmnurga A"B"C kolme nurgaga, on need kolmnurgad kongruentsed.

Oletame vastupidist ja paneme selle vastavalt kiirtele AB Ja AC segmendid AB = A"B", AC = A"C". Ilmselgelt kolmnurgad ABC Ja A"B"C" mõlemal küljel võrdne ja nendevaheline nurk. Punkt B ei sobi IN, punkt C ei sobi KOOS, kuna kõigil neil juhtudel esineks nende kolmnurkade võrdsus, mis on eeldusega vastuolus.

Vaatleme järgmisi võimalusi.

a) Punkt B jääb vahele A Ja IN, punkt KOOS-- vahel A Ja KOOS(joonis 5); Sellel ja järgmisel joonisel on hüperboolsed jooned kujutatud tinglikult eukleidiliste joonte kujul). Lihtne on kontrollida, et nelinurga nurkade summa WSSV võrdne 4d, mis on teoreemi 2 tõttu võimatu.

6) Punkt IN jääb vahele A Ja IN, punkt KOOS-- vahel A Ja KOOS(joonis 6). Tähistagem poolt D segmentide lõikepunkt Päike Ja B.C. Sest C=C" Ja C" = C, See C= KOOS , mis on võimatu, kuna nurk C on kolmnurga CCD-st väline.

Teisi võimalikke juhtumeid käsitletakse sarnaselt.

Teoreem on tõestatud, kuna tehtud eeldus tõi kaasa vastuolu.

Teoreemist 5 järeldub, et Lobatševski geomeetrias pole antud kolmnurgaga sarnast, kuid sellega võrdväärset kolmnurka.

Oleme harjunud arvama, et vaadeldava maailma geomeetria on eukleidiline, s.t. see täidab koolis õpitava geomeetria seaduspärasusi. Tegelikult pole see päris tõsi. Selles artiklis vaatleme esmapilgul puhtalt abstraktse Lobatševski geomeetria ilminguid tegelikkuses.

Lobatševski geomeetria erineb tavapärasest eukleidilisest selle poolest, et punktist, mis ei asu antud sirgel, läbib vähemalt kaks sirget, mis asuvad antud sirgega samal tasapinnal ega ristu sellega. Seda nimetatakse ka hüperboolseks geomeetriaks.

1. Eukleidiline geomeetria - valget punkti läbib ainult üks joon, mis ei ristu kollase joonega
2. Riemanni geomeetria – mis tahes kaks sirget ristuvad (paralleelseid sirgeid pole)
3. Lobatševski geomeetria - on lõpmata palju sirgeid, mis ei ristu kollase joonega ja läbivad valget punkti

Et lugeja seda ette kujutaks, kirjeldame lühidalt Kleini mudelit. Selles mudelis on Lobatševski tasapind realiseeritud ühe raadiusega ringi sisemusena, kus tasandi punktid on selle ringi punktid ja sirged on kõõlud. Kõõl on sirgjoon, mis ühendab kahte ringi punkti. Kahe punkti vahelist kaugust on üsna raske määrata, kuid meil pole seda vaja. Ülaltoodud jooniselt selgub, et punkti P läbivaid sirgeid, mis ei ristu sirgega a, on lõpmatult palju. Tavalises eukleidilises geomeetrias on ainult üks sirge, mis läbib punkti P ja ei ristu sirgega a. See joon on paralleelne.

Liigume nüüd edasi peamise asja juurde - Lobatševski geomeetria praktiliste rakenduste juurde.

Satelliitnavigatsioonisüsteemid (GPS ja GLONASS) koosnevad kahest osast: orbitaalkonstellatsioonist, mis koosneb 24-29 satelliidist, mis paiknevad ühtlaselt ümber Maa, ja juhtsegmendist Maal, mis tagab satelliitidel aja sünkroniseerimise ja nende ühe koordinaatsüsteemi kasutamise. Satelliidid on varustatud väga täpsete aatomkelladega, vastuvõtjad (GPS-navigaatorid) aga tavaliste kvartskelladega. Vastuvõtjad sisaldavad ka teavet kõikide satelliitide koordinaatide kohta igal ajahetkel. Satelliidid edastavad lühikeste ajavahemike järel signaali, mis sisaldab andmeid edastamise algusaja kohta. Pärast signaali vastuvõtmist vähemalt neljalt satelliidilt saab vastuvõtja reguleerida oma kella ja arvutada kaugused nende satelliitideni, kasutades valemit ((aeg, mil satelliit signaali saatis) - (signaali satelliidilt vastuvõtmise aeg)) x (kiirus valgusest) = (kaugus satelliidist). Arvutatud vahemaid korrigeeritakse ka vastuvõtjasse sisseehitatud valemite abil. Järgmisena leiab vastuvõtja sfääride lõikepunkti koordinaadid satelliitide keskpunktidega ja raadiused, mis on võrdsed nende arvutatud kaugustega. Ilmselgelt on need vastuvõtja koordinaadid.

Lugeja ilmselt teab, et tänu erirelatiivsusteooria efektile erineb satelliidi suure kiiruse tõttu aeg orbiidil Maa ajast. Kuid sarnane efekt on ka üldises relatiivsusteoorias, mis on seotud just aegruumi mitteeukleidilise geomeetriaga. Jällegi, me ei lasku matemaatilisse üksikasjadesse, kuna need on üsna abstraktsed. Kuid kui te lõpetate nende mõjude arvestamise, koguneb navigatsioonisüsteemi näitudes vaid tööpäeva jooksul umbes 10 km viga.

Lobatševski geomeetria valemeid kasutatakse ka suure energiaga füüsikas, nimelt laetud osakeste kiirendite arvutamisel. Hüperboolseid ruume (s.o ruume, milles toimivad hüperboolse geomeetria seadused) leidub looduses endas. Toome veel näiteid:

Lobatševski geomeetria on nähtav korallide struktuurides, rakuliste struktuuride organiseerituses taimes, arhitektuuris, mõnel lillel jne. Muide, kui mäletate, et eelmises numbris rääkisime kuusnurkadest looduses, siis hüperboolses looduses on alternatiiviks seitsenurgad, mis on samuti laialt levinud.

Hääletatud Aitäh!

Teid võivad huvitada:

• 
  

LV 1. (Lobatševski parallelismiaksioom). Igal tasapinnal on sirge a 0 ja punkt A 0, mis ei kuulu sellele sirgele, nii et seda punkti läbib vähemalt kaks sirget, mis ei ristu nulliga.

Punktide, sirgete ja tasandite kogumit, mis rahuldavad kuuluvuse, järjekorra, kongruentsuse, pidevuse aksioomid ja Lobatševski paralleelsuse aksioomi, nimetatakse kolmemõõtmeliseks Lobatševski ruumiks ja tähistatakse L 3-ga. Enamikku kujundite geomeetrilisi omadusi käsitleme ruumi A3 tasandil, s.o. Lobatševski lennukil. Pöörame tähelepanu asjaolule, et aksioomi V 1 formaalne loogiline eitus, eukleidilise geomeetria paralleelsuse aksioom, omab täpselt seda sõnastust, mille me aksioomina LV 1 andsime. Tasapinnal on vähemalt üks punkt ja üks sirge, mille puhul Eukleidilise geomeetria paralleelsuse aksioom ei kehti. Tõestame teoreemi, millest järeldub, et Lobatševski paralleelsuse aksioomi väide kehtib Lobatševski tasandi mis tahes punkti ja sirge kohta.

Teoreem 13.1.Olgu a suvaline sirge, A punkt, mis sellel sirgel ei asu. Siis on punktiga A ja sirgega a määratletud tasapinnal vähemalt kaks sirget, mis läbivad A ja ei ristu sirget a.

Tõestus. Tõestuse teostame vastulause abil, kasutades teoreemi 11.1 (vt § 11). Olgu Lobatševski ruumis punkt A ja sirge a nii, et selle punkti ja sirgega määratletud tasapinnal on ainult üks punkti A läbiv sirge, mis ei ristu a. Langetame punkti A risti AB sirgele a ja punktis A taastame risti h sirgele AB (joon. 50). Lause 4.2 kohaselt (vt § 4) sirged h ja a ei ristu. Eeldusel on sirge h ainus sirge, mis läbib A ja ei ristu a-ga. Valime sirgel a suvalise punkti C. Lahutame pooltasandil asuvast kiirest AC, mis ei sisalda punkti B, nurga CAM, mis on võrdne ACB-ga. Siis, nagu tuleneb samast teoreemist 4.2, sirge AM ei ristu a. Meie eeldusest järeldub, et see langeb kokku h-ga. Seetõttu kuulub punkt M sirgele h. Kolmnurk ABC on täisnurkne kolmnurk. Arvutame kolmnurga ABC nurkade summa: . Teoreemist 11.1 järeldub, et Eukleidilise geomeetria paralleelsuse aksioomi tingimus on täidetud. Seetõttu ei saa vaadeldaval tasapinnal eksisteerida punkti A 0 ja sirget a 0 nii, et seda punkti läbiks vähemalt kaks sirget, mis ei lõikuks punktiga 0 . Oleme jõudnud vastuollu Lobatševski parallelismiaksioomi tingimusega. Teoreem on tõestatud.

Tuleb märkida, et edaspidi kasutame teoreemi 13.1 väidet, asendades selle sisuliselt Lobatševski paralleelsuse aksioomi väitega. Muide, paljudes õpikutes peetakse just seda väidet Lobatševski geomeetria paralleelsuse aksioomiks.

Teoreemist 13.1 on lihtne saada järgmine järeldus.

Järeldus 13.2. Lobatševski tasapinnal läbib punkti, mis ei asu antud sirgel, lõpmatu arv sirgeid, mis antud sirget ei ristu.

Tõepoolest, olgu a etteantud sirge ja A punkt, mis sellesse ei kuulu, h 1 ja h 2 on sirged, mis läbivad A ja ei ristu a (joonis 51). On ilmne, et kõik sirged, mis läbivad punkti A ja asuvad ühes h 1 ja h 2 moodustatud nurkadest (vt joonis 51), ei ristu sirget a.

2. peatükis tõestasime mitmeid väiteid, mis on samaväärsed Eukleidilise geomeetria paralleelsuse aksioomiga. Nende loogilised eitused iseloomustavad kujundite omadusi Lobatševski tasapinnal.

Esiteks kehtib Lobatševski tasandil Eukleidese viienda postulaadi loogiline eitus. Lõikes 9 sõnastasime postulaadi enda ja tõestasime teoreemi selle samaväärsuse kohta Eukleidilise geomeetria paralleelsuse aksioomiga (vt teoreem 9.1). Selle loogiline eitus näeb välja selline:

Avaldus 13.3.Lobatševski tasapinnal on kaks mittelõikavat sirget, mis lõikudes kolmanda sirgega moodustavad sisemised ühepoolsed nurgad, mille summa on väiksem kui kaks täisnurka.

Paragrahvis 12 sõnastasime Posidoniuse ettepaneku: tasapinnal on vähemalt kolm kollineaarset punkti, mis asuvad antud sirgest samal pooltasandil ja on sellest võrdsel kaugusel. Tõestasime ka teoreemi 12.6: Posidoniuse ettepanek on samaväärne eukleidilise geomeetria paralleelsuse aksioomi väitega. Seega toimib selle väite eitus Lobatševski tasandil.

avaldus 13.4. Lobatševski tasapinna joonest võrdsel kaugusel asuvate punktide kogum, mis asub selle suhtes samal pooltasandil, omakorda ei asu samal sirgel.

Lobatševski tasapinnal moodustab punktide kogum, mis asuvad sirgest võrdsel kaugusel ja kuuluvad selle sirge suhtes samasse pooltasapinnasse, kõverjoone, nn võrdse kauguse. Selle omadusi käsitleme hiljem.

Vaatleme nüüd Legendre ettepanekut: lk Tõestasime teoreem 11.6 (vt § 11) väidab, et Sellest järeldub, et Lobatševski tasandil kehtib selle ettepaneku loogiline eitus.

Avaldus 13.5. Iga teravnurga küljel on selline punkt, et sellesse punkti püstitatud risti ei ristu nurga teist külge.

Märgime kolmnurkade ja nelinurkade omadused Lobatševski tasandis, mis tulenevad otseselt punktide 9 ja 11 tulemustest. Kõigepealt teoreem 11.1. väidab, et eeldus sellise kolmnurga olemasolust, mille nurkade summa langeb kokku kahe täisnurga summaga, on samaväärne Eukleidilise tasandi paralleelsuse aksioomiga. Sellest ja Legendre esimesest teoreemist (vt teoreem 10.1, § 10) tuleneb järgmine väide:

Avaldus 13.6. Lobatševski tasapinnal on iga kolmnurga nurkade summa väiksem kui 2d.

Sellest tuleneb otseselt, et iga kumera nelinurga nurkade summa on väiksem kui 4d ja kumera n-nurga nurkade summa on väiksem kui 2(n-1)d.

Kuna Eukleidilisel tasapinnal on Saccheri nelinurga ülemise põhjaga külgnevad nurgad võrdsed täisnurkadega, mis vastavalt teoreemile 12.3 (vt § 12) on samaväärne Eukleidilise geomeetria paralleelsuse aksioomiga, saame joonistada järgmise. järeldus.

Avaldus 13.7. Saccheri nelinurga ülemise põhjaga külgnevad nurgad on teravad.

Meil jääb üle kaaluda veel kahte kolmnurkade omadust Lobatševski tasapinnal. Esimene neist on seotud Wallise ettepanekuga: tasapinnal on vähemalt üks kolmnurkade paar, millel on vastavalt võrdsed nurgad, kuid mitte võrdsed küljed. Peatükis 11 tõestasime, et see väide on samaväärne Eukleidilise geomeetria paralleelsuse aksioomiga (vt teoreem 11.5). Selle väite loogiline eitus viib meid järgmise järelduseni: Lobatševski tasapinnal pole võrdsete nurkade, kuid mitte võrdsete külgedega kolmnurki. Seega on järgmine väide tõene.

Avaldus 13.8. (neljas kolmnurkade võrdsuse kriteerium Lobatševski tasapinnal).Kõik kaks kolmnurka Lobatševski tasapinnal, millel on vastavalt võrdsed nurgad, on kongruentsed.

Vaatleme nüüd järgmist küsimust. Kas Lobatševski tasapinnal on võimalik kirjeldada ringi ümber mis tahes kolmnurga? Sellele annab vastuse teoreem 9.4 (vt §9). Selle teoreemi kohaselt, kui ringjoont saab kirjeldada ümber tasapinna mis tahes kolmnurga, siis on tasapinnal täidetud Eukleidilise geomeetria paralleelsuse aksioomi tingimus. Seetõttu viib selle teoreemi väite loogiline eitus meid järgmise väite juurde.

Avaldus 13.9. Lobatševski tasapinnal on kolmnurk, mille ümber ringjoont ei saa kirjeldada.

Sellise kolmnurga näidet on lihtne konstrueerida. Valime mingi sirge a ja sellesse mittekuuluva punkti A. Laskem punktist A risti h sirgele a. Lobatševski paralleelsuse aksioomi alusel on olemas sirge b, mis läbib A ja ei ole risti h-ga ja mis ei ristu a-ga (joonis 52). Nagu teate, kui ringjoon on ümbritsetud kolmnurga ümber, asub selle keskpunkt kolmnurga külgede risti poolitajate lõikepunktis. Seetõttu piisab, kui tuua näite kolmnurgast, mille risti poolitajad ei lõiku. Valime sirgel h punkt M, nagu on näidatud joonisel 52. Kuvame selle sümmeetriliselt sirgete a ja b suhtes, saame punktid N ja P. Kuna sirge b ei ole risti h-ga, siis punkt P ei kuulu h-sse. Seetõttu moodustavad punktid M, N ja P kolmnurga tipud. Sirged a ja b toimivad selle poolitajaristidena. Need, nagu eespool mainitud, ei ristu. Kolmnurk MNP on soovitud.

Lobatševski tasapinnas on lihtne konstrueerida näide kolmnurgast, mille ümber saab kirjeldada ringi. Selleks piisab, kui võtta kaks ristuvat joont, valida punkt, mis ei kuulu neile, ja kajastada seda nende joonte suhtes. Tehke detailne ehitus ise.

Definitsioon 14.1. Olgu kaks suunatud joont ja antud. Neid nimetatakse paralleelseteks, kui on täidetud järgmised tingimused:

1. sirged a ja b ei ristu;

2. Sirgete a ja b suvaliste punktide A ja B korral lõikab nurga ABB 2 mis tahes sisekiir h sirget a (joonis 52).

Paralleelseid sirgeid tähistame samamoodi nagu kooligeomeetria kursusel: a || b. Pange tähele, et paralleelsed jooned Eukleidilise tasapinnal vastavad sellele määratlusele.

Teoreem 14.3. Olgu Lobatševski tasapinnal antud suunatud sirge ja sinna mittekuuluv punkt B. Seejärel läbib seda punkti ainulaadne suunatud sirge nii, et sirge a on paralleelne sirgega b.

Tõestus. Langetame risti BA punktist B joonele a ja punktist B taastame risti p sirgele BA (joonis 56 a). Sirge p, nagu korduvalt märgitud, ei ristu antud sirgega a. Valime sellele suvalise punkti C ja jagame lõigu AC punktid kahte klassi ja . Esimesse klassi kuuluvad selle segmendi sellised punktid S, mille puhul kiir BS lõikab kiirt AA 2, ja teine ​​klass sisaldab punkte T, mille puhul kiir BT ei lõiku kiirtega AA 2. Näitame, et selline klassideks jaotus tekitab segmendi AC Dedekindi sektsiooni. Kooskõlas teoreemiga 4.3 (vt §4) peaksime kontrollima, et:

2. ja klassid ning sisaldavad muid punkte peale A ja C;

3. mis tahes klassipunkt , mis erineb A-st, asub punkti A ja mis tahes klassipunkti vahel.

Esimene tingimus on ilmne, kõik segmendi punktid kuuluvad ühte või teise klassi, samas kui klassidel endil nende definitsioonist lähtuvalt ühiseid punkte pole.

Teist tingimust on samuti lihtne kontrollida. On ilmne, et. Klass sisaldab muid punkte peale A selle väite kontrollimiseks piisab, kui valida kiir AA 2 mis tahes punkt ja ühendada see punktiga B. See kiir lõikab lõiku BC esimese klassi punktis. Klass sisaldab ka muid punkte peale C, muidu jõuame vastuoluni Lobatševski parallelismiaksioomiga.

Tõestame kolmandat tingimust. Olgu esimese klassi punkt S, mis erineb A-st, ja teise klassi punkt T, nii et punkt T jääb A ja S vahele (vt joonis 56 a). Kuna , ray BS lõikab kiirt AA 2 mingis punktis R. Vaatleme kiirt BT. See lõikab kolmnurga ASR külge AS punktis T. Paschi aksioomi järgi peab see kiir lõikuma selle kolmnurga kas külje AR või küljega SR. Oletame, et kiir BT lõikab külge SR mingis punktis O. Siis läbib punkte B ja O kaks erinevat sirget BT ja BR, mis on vastuolus Hilberti aksiomaatika aksioomiga. Seega kiir BT lõikab külge AR, mis tähendab, et punkt T ei kuulu klassi K 2. Saadud vastuolu viib väiteni, et punkt S asub A ja T vahel. Lause 4.3 tingimused on täielikult kontrollitud.

Vastavalt teoreemi 4.3 järeldusele lõigu AC Dedekindi lõigu kohta on punkt, mille iga A vahel asuv punkt kuulub klassi ning iga punkt, mis asub ja C vahel, kuulub klassi. Näitame, et suunatud sirge on joonega paralleelne . Tegelikult jääb üle vaid tõestada, et sirge a ei ristu, kuna klassi K 1 punktide valiku tõttu ristub nurga iga sisemine kiir . Oletame, et sirge lõikub sirgega a mingis punktis H (joonis 56 b). Valime kiirel HA 2 suvalise punkti P ja vaatleme kiirt BP. Siis lõikab see lõigu M 0 C mingis punktis Q (tõesta see väide ise). Kuid lõigu M 0 C sisepunktid kuuluvad teise klassi kiirtel BP ei saa olla ühiseid punkte sirgjoonega a. Seega on meie oletus sirgete BM 0 ja a lõikepunkti kohta vale.

Lihtne on kontrollida, kas joon on ainuke suunatud joon, mis läbib punkti B ja paralleelselt . Tõepoolest, lase teine ​​suunatud joon läbib punkti B, mis, nagu , on paralleelne . Sel juhul eeldame, et M 1 on punkt lõigul AC. Seejärel, lähtudes klassi K 2 definitsioonist,. Seetõttu on kiir BM 0 nurga sisemine kiir, mistõttu definitsiooni 14.1 järgi lõikab see sirget. Oleme jõudnud vastuoluni ülaltoodud väitega. Teoreem 14.3 on täielikult tõestatud.

Vaatleme punkti B ja suunatud sirget, mis seda ei sisalda. Tõestatud teoreemi 14.3 kohaselt läbib punkti B a-ga paralleelne suunatud sirge. Langetame risti BH punktist B sirgele a (joon. 57). Seda on lihtne näha nurk HBB 2 – äge. Tõepoolest, kui eeldada, et see nurk on õige, siis definitsioonist 14.1 järeldub, et iga punkti B läbiv sirge lõikub sirgega a, mis on vastuolus teoreemiga 13.1, s.t. Lobatševski parallelismiaksioom LV 1 (vt § 13). On lihtne näha, et eeldus, et see nurk on nüri, toob kaasa ka vastuolu definitsiooniga 14.1 ja teoreemiga 4.2 (vt §4), kuna nurga HBB 2 sisekiir, mis on risti BH-ga, ei lõiku kiirtega AA 2 . Seega on järgmine väide tõene.

Teoreem 14.4. Olgu suunatud joon paralleelne suunatud joonega. Kui punktist B langetatakse risti BH sirgele, siis on nurk HBB 2 terav.

Sellest teoreemist tuleneb selgelt järgmine järeldus.

Tagajärg.Kui on olemas ühine risti suunatud joonte ja , siis joon ei ole paralleelne joonega .

Tutvustame paralleelsuse mõistet suunamata joonte jaoks. Me eeldame seda kaks mittesuunalist sirget on paralleelsed, kui nende suunad saab valida nii, et need vastavad Definitsioon 14.1. Nagu teate, on sirgel kaks suunda. Seetõttu tuleneb teoreemist 14.3, et läbi punkti B, mis ei kuulu sirgele a, läbib selle sirgega paralleelselt kaks mittesuunalist sirget. Ilmselgelt on need punktist B sirgele a langetatud risti suhtes sümmeetrilised. Need kaks sirget on samad piirjooned, mis eraldavad punkti B läbivat joonte kimbu, mis lõikub a joonte kimbust, mis läbib B ja ei ristu joont a (joonis 57).

Teoreem 15.2. (Lobatševski tasapinna paralleelsete joonte sümmeetria omadus).Olgu suunatud joon paralleelne suunatud joonega. Siis on suunatud joon joonega paralleelne.

Paralleeljoonte kontseptsiooni sümmeetriaomadus Lobatševski tasapinnal võimaldab meil mitte näidata suunatud paralleeljoonte järjekorda, s.t. ära täpsusta, milline rida on esimene ja milline teine. On ilmne, et paralleelsete sirgete mõiste sümmeetriaomadus kehtib ka Eukleidilisel tasandil. See tuleneb otseselt paralleelsete joonte definitsioonist eukleidilises geomeetrias. Eukleidilise geomeetria puhul kehtib transitiivsuse omadus ka paralleelsete joonte puhul. Kui sirge a on paralleelne sirgega b ja joon b on paralleelne sirgega c. siis on ka sirged a ja c üksteisega paralleelsed. Sarnane omadus kehtib ka Lobatševski lennuki suunatud liinide kohta.

Teoreem 15.3. (Paralleeljoonte transitiivsuse omadus Lobatševski tasapinnal).Olgu antud kolm erinevat suunatud joont , ,. Kui Ja , See .

Mõelge suunatud joonega paralleelsele suunatud sirgele. Ületame need sirgjoonega. Punktid A ja B on vastavalt joonte , ja , lõikepunktid (joonis 60). Järgmine teoreem on tõene.

Teoreem 15.4. Nurk on suurem kui nurk.

Teoreem 15.5. Degenereerunud kolmnurga välisnurk on suurem kui sisenurk, mis ei külgne sellega.

Tõestus tuleneb otseselt teoreemist 15.4. Tee seda ise.

Vaatleme suvalist lõiku AB. Läbi punkti A tõmbame sirge a, mis on risti AB-ga, ja läbi punkti B sirge b, mis on paralleelne a-ga (joonis 63). Nagu tuleneb teoreemist 14.4 (vt § 14), ei ole sirge b risti sirgega AB.

Definitsioon 16.1. Sirgete AB ja b moodustatud teravnurka nimetatakse lõigu AB paralleelsusnurgaks.

On selge, et iga segment vastab teatud paralleelsuse nurgale. Järgmine teoreem on tõene.

Teoreem 16.2. Võrdsed lõigud vastavad võrdsetele paralleelsusnurkadele.

Tõestus. Olgu antud kaks võrdset lõiku AB ja A¢B¢. Joonistame läbi punktide A ja A¢ suunatud sirgjooned ja , mis on vastavalt risti AB ja A¢B¢ ning läbi punktide B ja B¢ suunatud sirgjooned ja , paralleelsed ja vastavalt (joonis 64). Siis vastavalt lõikude AB ja A¢B¢ paralleelsusnurgad. Oletame, et

Jätame pooltasandil BAA 2 kõrvale kiire BA nurga a 2 (vt joonis 64). Ebavõrdsuse (1) tõttu on kiir l nurga ABV 2 sisekiir. Kuna ½½, siis l lõikab kiirt AA 2 mingis punktis P. Joonistame kiirele A¢A 2 ¢ punktist A¢ lõigu A¢P¢, mis on võrdne AP-ga. Vaatleme kolmnurki АВР ja А¢В¢Р¢. Need on ristkülikukujulised, vastavalt teoreemi tingimustele on neil võrdsed jalad AB ja A¢B¢ ning konstruktsiooni järgi on teine ​​jalgade paar AP ja A¢P¢ üksteisega võrdsed. Seega on täisnurkne kolmnurk ABP võrdne kolmnurgaga A¢B¢P¢. Sellepärast. Teisest küljest lõikub kiir B¢P¢ kiirga A¢A 2 ¢ ja suunatud sirge B 1 ¢B 2 ¢ on paralleelne sirgega A 1 ¢A 2 ¢. Seetõttu on kiir В¢Р¢ nurga А¢В¢В 2 ¢ sisemine kiir, . Sellest tulenev vastuolu lükkab ümber meie oletuse (1) on vale. Samamoodi on tõestatud, et nurk ei saa olla väiksem kui nurk . Teoreem on tõestatud.

Vaatleme nüüd, kuidas on ebavõrdsete lõikude paralleelsuse nurgad üksteisega seotud.

Teoreem 16.3. Olgu lõik AB suurem lõigust A¢B¢ ning nurgad ja vastavalt nende nurgad paralleelsed. Siis .

Tõestus. Selle teoreemi tõestus tuleneb otseselt teoreemist 15.5 (vt §15) degenereerunud kolmnurga välisnurga kohta. Vaatleme lõiku AB. Joonistame läbi punkti A AB-ga risti ja läbi punkti B sellega paralleelse suunatud sirge (joonis 65). Joonistame kiirele AB lõigu AP, mis on võrdne A¢B¢. Kuna , siis P on segmendi AB sisepunkt. Tõmbame läbi P suunatud sirge C 1 C 2, samuti paralleelne. Nurk toimib lõigu A¢B¢ paralleelsuse nurgana ja nurk toimib lõigu AB paralleelsuse nurgana. Seevastu lausest 15.2 sirgete paralleelsuse mõiste sümmeetria kohta (vt § 15) järeldub, et sirge C 1 C 2 on sirgega paralleelne. Seetõttu on kolmnurk PBC 2 A 2 degenereerunud, - välis- ja - selle sisenurgad. Teoreemist 15.5 järeldub, et tõestatav väide on tõene.

Vastupidist on lihtne tõestada.

Teoreem 16.4.Olgu ja lõikude AB ja A¢B¢ paralleelsusnurgad. Siis, kui , siis AB > A¢B¢.

Tõestus. Oletame vastupidist, . Siis tuleneb teoreemidest 16.2 ja 16.3, et , mis on vastuolus teoreemi tingimustega.

Ja nii me tõestasime, et iga segment vastab oma paralleelsuse nurgale ja suurem segment vastab väiksemale paralleelsuse nurgale. Vaatleme väidet, mis tõestab, et iga teravnurga korral on segment, mille puhul see nurk on paralleelsusnurk. See loob üks-ühele vastavuse segmentide ja teravnurkade vahel Lobatševski tasapinnal.

Teoreem 16.5. Iga teravnurga jaoks on segment, mille jaoks see nurk on paralleelsusnurk.

Tõestus. Olgu antud teravnurk ABC (joonis 66). Eeldame, et kõik järgnevalt vaadeldavad punktid kiirtel BA ja BC asuvad punktide B ja A ning B ja C vahel. Nimetagem kiirt lubatavaks, kui selle alguspunkt kuulub nurga BA külge, on risti sirgega BA ja asub sirge BA suhtes samal pooltasandil antud nurga küljega BC. Pöördugem Legendre ettepaneku juurde: lk selle külje mis tahes punktis teravnurga küljele tõmmatud risti lõikub nurga teise külge. Oleme tõestanud teoreemi 11.6 (vt § 11), mis seda ütleb Legendre ettepanek on samaväärne Eukleidilise geomeetria paralleelsuse aksioomiga. Sellest järeldasime, et Lobatševski tasandil kehtib selle väite loogiline eitus, nimelt mis tahes teravnurga küljel on selline punkt, et sellesse punkti püstitatud risti ei ristu nurga teist külge(vt § 13). Seega on lubatud kiir m, mille alguspunkt on punktis M, mis ei lõiku antud nurga külge BC (vt joonis 66).

Jagame lõigu VM punktid kahte klassi. klassi juurde kuulub selle lõigu nendesse punktidesse, mille puhul nendes punktides lähtepunktidega lubatud kiired lõikuvad antud nurga küljega BC ja klass kuuluvad lõigu BC nendesse punktidesse, mille puhul nendes punktides alguspunktidega lubatud kiired ei ristu külge BC. Näitame, et selline lõigu BM partitsioon moodustab Dedekindi lõigu (vt teoreem 4.3, § 4). Selleks peaksite seda kontrollima

5. ja klassid ning sisaldavad muid punkte peale B ja M;

6. mis tahes klassipunkt , mis erineb B-st, asub punkti B ja mis tahes klassipunkti vahel.

Esimene tingimus on selgelt täidetud. Iga punkt lõigul VM kuulub kas klassi K 1 või klassi K 2. Pealegi ei saa punkt nende klasside määratluse tõttu kuuluda kahte klassi korraga. Ilmselgelt võime eeldada, et punkt M kuulub punkti K 2, kuna lubatud kiir, mille alguspunkt on punktis M, ei ristu BC-ga. Klass K 1 sisaldab vähemalt ühte punkti, mis erineb punktist B. Selle konstrueerimiseks piisab, kui valida küljel BC suvaline punkt P ja langetada sellelt risti olev PQ kiirele BA. Kui eeldame, et punkt Q asub punktide M ja A vahel, siis asuvad punktid P ja Q kiiri m sisaldava sirge suhtes erinevatel pooltasanditel (vt joonis 66). Seetõttu lõikab lõik PQ kiirt m mingis punktis R. Leiame, et punktist R on langetatud sirgele BA kaks risti, mis on vastuolus teoreemiga 4.2 (vt § 4). Seega punkt Q kuulub segmenti BM, klass K 1 sisaldab muid punkte peale B. On lihtne seletada, miks on kiirel BA segment, mis sisaldab vähemalt ühte klassi K 2 kuuluvat ja selle otsast erinevat punkti. Tõepoolest, kui vaadeldava lõigu BM klass K 2 sisaldab ühte punkti M, siis valime M ja A vahele suvalise punkti M¢. Vaatleme lubatud kiirt m¢, mille alguspunkt on M¢. See ei ristu kiirt m, vastasel juhul langeb punktist sirgele AB kaks risti, nii et m¢ ei ristu kiirt BC. Segment VM¢ on nõutav ja kõik edasised põhjendused tuleks läbi viia segmendi VM¢ kohta.

Kontrollime teoreemi 4.3 kolmanda tingimuse kehtivust. Oletame, et selliseid punkte on ja punkt P jääb punktide U ja M vahele (joonis 67). Joonestame lubatud kiired u ja p, mille alguspunkt on punktides U ja P. Kuna , siis kiir p lõikub antud nurga küljega BC mingis punktis Q. Kiirt u sisaldav sirge lõikab kolmnurga BPQ külge BP, seetõttu lõikub see Hilberti aksioomi aksioomi järgi (Pache'i aksioom , vt § 3) selle kolmnurga kas BQ või küljega PQ. Kuid seetõttu kiir u ei lõiku küljega BQ, seetõttu ristuvad kiired p ja u mingis punktis R. Jõudsime jällegi vastuoluni, kuna konstrueerisime punkti, millest joonele AB langes kaks risti. Teoreemi 4.3 tingimused on täielikult täidetud.

M. Sellest järeldub, et . Saime vastuolu, kuna oleme konstrueerinud punktide ja M vahele jääva klassi K 1 punkti. Jääb üle näidata, et nurga iga sisemine kiir lõikab kiirt BC. Vaatleme selle nurga suvalist sisekiirt h. Valime sellel suvalise nurga alla kuuluva punkti K ja langetame sellest ristsirgele BA (joonis 69). Selle risti alus S kuulub ilmselgelt lõigu BM 0, s.o. klass K 1 (tõesta seda fakti ise). Siit järeldub, et risti KS lõikab antud nurga külge BC mingis punktis T (vt joonis 69). Kiir h lõikas kolmnurga BST ST-külje punktis K, vastavalt aksioomile (Pashi aksioom) peab ta lõikuma kas selle kolmnurga BS-külje või BT-küljega. On selge, et h ei lõiku lõiku BS, vastasel juhul läbivad kaks sirget h ja BA kahte punkti ja seda lõikepunkti. Seega h lõikub BT poolega, st. tala VA. Teoreem on täielikult tõestatud.

Ja nii oleme tuvastanud, et iga Lobatševski geomeetria segmenti saab seostada teravnurgaga - selle paralleelsuse nurgaga. Eeldame, et oleme kasutusele võtnud nurkade ja lõikude mõõtmise, märgime, et lõikude mõõdu tutvustame hiljem, §-s. Teostame järgmise määratluse.

Definitsioon 16.6. Kui x all mõeldakse lõigu pikkust ja j all nurga suurust, siis sõltuvust j = P(x), mis omistab lõigu pikkusele paralleelsusnurga väärtuse, nimetatakse Lobatševski funktsioon.

On selge, et. Kasutades ülaltoodud lõigu paralleelsusnurga omadusi (vt teoreemid 16.3 ja 16.4), saame teha järgmise järelduse: Lobatševski funktsioon monotoonselt väheneb. Nikolai Ivanovitš Lobatševski sai järgmise tähelepanuväärse valemi:

,

kus k on mingi positiivne arv. See on oluline Lobatševski ruumi geomeetrias ja seda nimetatakse selle kõverusraadiuseks. Kaks Lobatševski ruumi, millel on sama kõverusraadius, on isomeetrilised. Ülaltoodud valemist, nagu on hästi näha, järeldub ka, et j = P(x) on monotoonselt kahanev pidev funktsioon, mille väärtused kuuluvad intervalli .

Eukleidese tasapinnal fikseerime ringi w, mille keskpunkt on mingis punktis O ja mille raadius on võrdne ühtsusega, mida me nimetame absoluutne. Ringjoonega w piiratud ringi kõigi punktide hulka tähistame W¢-ga ja selle ringi kõigi sisemiste punktide hulka W-ga. Seega . Nimetame hulga punkte W L-punktid Kõigi L-punktide hulk W on L-tasapind, millele ehitame Lobatševski lennuki Cayley-Kleini mudeli. Me helistame L-sirge ringi suvalised akordid w. Eeldame, et L-punkt X kuulub L-joonele x siis ja ainult siis, kui punkt X kui Eukleidilise tasandi punkt kuulub absoluudi kõõlule x.

L-tasandil kehtib Lobatševski paralleelsuse aksioom: läbi L-punkti B, mis ei asu L-joonel a, läbib vähemalt kaks L-joont b ja c, millel ei ole ühiseid punkte L-joonega a. Joonis 94 illustreerib seda väidet. Samuti on lihtne aru saada, mis on L-tasandi paralleelsed jooned. Vaatleme joonist 95. L-sirge b läbib L-joone a ja absoluutväärtuse lõikepunkti. Seetõttu on suunatud L-joon A 1 A 2 paralleelne suunatud L-joonega B 1 A 2. Tõepoolest, need sirged ei ristu ja kui valime nendele sirgetele vastavalt suvalised L-punktid A ja B, siis nurga A 2 BA mis tahes sisekiir h lõikub sirgega a. Seega on kaks L-sirget paralleelsed, kui neil on ühine lõikepunkt absoluutsega. On selge, et L-sirgete paralleelsuse mõiste sümmeetria ja transitiivsuse omadus on täidetud. Lõikes 15 tõestasime sümmeetria omadust ja transitiivsuse omadust illustreerib joonis 95. Sirg A 1 A 2 on paralleelne sirgega B 1 A 2, nad lõikavad absoluuti punktis A 2. Sirged B 1 A 2 ja C 1 A 2 on samuti paralleelsed, needki lõikavad absoluuti samas punktis A 2. Seetõttu on sirged A 1 A 2 ja C 1 A 2 üksteisega paralleelsed.

Seega vastavad eespool defineeritud põhimõisted Hilberti aksiomaatika rühma I 1 -I 3, II, III, IV aksioomide ja Lobatševski paralleelsuse aksioomi nõuetele, seega on need Lobatševski tasandi mudel. Oleme tõestanud Lobatševski planimeetria sisulist järjepidevust. Sõnastame selle väite järgmise teoreemina.

1. teoreem. Lobatševski geomeetria on sisuliselt järjekindel.

Oleme ehitanud Lobatševski lennuki mudeli ja lennukil vaadeldud sarnase ruumimudeli ehituse leiate juhendist.

Kõige olulisem järeldus tuleneb teoreemist 1. Paralleelsuse aksioom ei ole Hilberti aksioomide aksioomide I–IV tagajärg. Kuna Eukleidese viies postulaat on samaväärne eukleidilise geomeetria paralleelsuse aksioomiga, ei sõltu see postulaat ka ülejäänud Hilberti aksioomidest.