Kuidas leida maatriksi iseloomulikku polünoomi. Maatriksi iseloomulik polünoom ja tunnusarvud

Olgu meile antud järjekorra ruutmaatriks n. Iseloomulik maatriksmaatriks A nimetatakse maatriksiks

=kusjuures muutuja λ võtab mis tahes arvväärtusi.

Maatriksi determinant on polünoom nλ võimsus. Seda polünoomi nimetatakse maatriksi iseloomulikuks polünoomiks A, võrrand =0 on sellele iseloomulik võrrand ja selle juuri https://pandia.ru/text/78/250/images/image008_68.gif" width="15" height="17 src="> nimetatakse igaks nullist erinev vektor X, mis vastab tingimusele https://pandia.ru/text/78/250/images/image010_64.gif" width="19" height="24 src="> – number.

Arvu nimetatakse teisenduse omaväärtuseks https://pandia.ru/text/78/250/images/image011_63.gif" width="201" height="75"> (*)

Kui omaväärtus on teada λ , siis kõik maatriksi omavektorid A, mis kuuluvad sellesse omaväärtusesse, leitakse selle süsteemi nullist erineva lahendusena. Teisest küljest see homogeenne ruutmaatriksiga süsteem A–λE on nullist erinevad lahendused X siis ja ainult siis, kui selle süsteemi maatriksi determinant on võrdne nulliga ja λ kuulub kõnealusesse valdkonda R. See aga tähendab seda λ on iseloomuliku polünoomi juur ja kuulub välja R. Seega on põhivälja kuuluva maatriksi iseloomulikud arvud ja ainult need selle omaväärtused. Maatriksi kõigi omaväärtuste leidmiseks A peate leidma kõik sellele iseloomulikud numbrid ja valima nende hulgast ainult need, mis kuuluvad põhiväljale R, ja leida kõik maatriksi omavektorid A vaja kõik üles leida nullist erinev süsteemsed lahendused (*) iga omaväärtuse juures λ maatriksid A.

Näide 1. Leidke reaalse maatriksi omaväärtused ja omavektorid .

Lahendus. Maatriksi iseloomulik polünoom A on kujul:

https://pandia.ru/text/78/250/images/image014_58.gif" width="144" height="75 src=">=(korruta (2) th veergu numbri kohta (-2) ja lisada koos (1 m veerg) =https://pandia.ru/text/78/250/images/image016_45.gif" width="172" height="75">=(korruta (1) th veergu numbri kohta (-1) ja lisada koos (3 m veerg) = =(korruta (1) th rida numbrini (2) ja lisada koos (2) th rida) = =(korruta (2) th veergu numbri kohta (-2) ja lisada koos (3 m veerg) =
.

Seega on iseloomuliku polünoomi juured λ1=6, λ2=λ3= – 3. Kõik need on reaalsed ja on seega maatriksi omaväärtused A.

Süsteemi λ=6 korral ( A–λE)X=0 näeb välja selline https://pandia.ru/text/78/250/images/image021_35.gif" width="57" height="75 src=">..gif" width="153" height="75 src= ">.

Selle üldine lahendus on X=https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_28.gif" width="85" height="27 src=">, see annab üldise ülevaate maatriksi omavektoritest A, mis kuulub omaväärtusesse λ= – 3.

Definitsioon

Antud maatriksi puhul , , kus E - identiteedi maatriks, on polünoom , mida nimetatakse iseloomulik polünoom maatriksid A(mõnikord ka "ilmalik võrrand").

Iseloomuliku polünoomi väärtus seisneb selles, et maatriksi omaväärtused on selle juured. Tõepoolest, kui võrrandil on nullist erinev lahendus, siis on maatriks ainsus ja selle determinant on võrdne nulliga.

Seotud määratlused

Omadused

.

Lingid

• V. Yu Kiselev, A. S. Pyartli, T. F. Kalugina Kõrgem matemaatika. Lineaaralgebra . - Ivanovo Riiklik Energiaülikool.

Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.

• Võrdluskõver
• Harald III (Norra kuningas)

Vaadake, mis on "maatriksi iseloomulik polünoom" teistes sõnaraamatutes:

Iseloomulik polünoom- Matemaatikas võib iseloomulik polünoom tähendada: maatriksi iseloomulikku polünoomi, lineaarse korduva jada iseloomulikku polünoomi, tavalise diferentsiaalvõrrandi iseloomulikku polünoomi.... ... Wikipedia

ISELOOMULIK POLÜNOOM- maatriks üle välja K on polünoom üle välja K. X. m aste on võrdne ruutmaatriksi A astmega, koefitsient b1 on võrdne maatriksi jäljega (b1 = tr A = a11+ a 22+ ... +a pp), koefitsient b t võrdub kõigi järgu põhimollide summaga, eelkõige bn=detA... Matemaatiline entsüklopeedia

Minimaalne maatriksi polünoom- Sellel terminil on muid tähendusi, vt Minimaalne polünoom. Minimaalne maatrikspolünoom on minimaalse astmega annihileeriv unitaarpolünoom. Omadused Minimaalne polünoom jagab maatriksi iseloomuliku polünoomi... ... Wikipedia

Lambda maatriksid- Põhiartikkel: Maatriksite funktsioonid Lambdamaatriks (λ maatriks, polünoomide maatriks) on ruutmaatriks, mille elemendid on polünoomid teatud arvuvälja kohal. Kui on mõni maatriksielement, mis on polünoom... Wikipedia

MAATRIKS SPEKTR- selle omaväärtuste hulk. Vaata ka Maatriksi karakteristlik polünoom... Matemaatiline entsüklopeedia

Maatriksi iseloomulik number- Omavektor on tähistatud punasega. See erinevalt sinisest ei muutnud deformatsiooni käigus suunda ja pikkust, seetõttu on tegu omaväärtusele λ = 1 vastava omavektoriga. Iga punase vektoriga paralleelne vektor... ... Wikipedia

Sarnased maatriksid- Sama järku ruutmaatriksiid A ja B nimetatakse sarnasteks, kui on olemas mitteainsuse maatriks P sama järjekorraga, nii et: Sarnased maatriksid saadakse sama lineaarse teisenduse määramisel maatriksiga erinevates... ... Vikipeedia

Iseloomulik maatriks

Iseloomulik võrrand- Iseloomulik polünoom on polünoom, mis määrab maatriksi omaväärtused. Teine tähendus: lineaarse korduva polünoom on polünoom. Sisu 1 Definitsioon ... Wikipedia

Hamiltoni teoreem- Hamilton Cayley teoreem on kuulus maatriksiteooria teoreem, mis on saanud nime William Hamiltoni ja Arthur Cayley järgi. Hamilton Cayley teoreem Iga ruutmaatriks rahuldab oma karakteristlikku võrrandit. Kui... Vikipeedia

Definitsioon

Antud maatriksi puhul , , kus E- identiteedimaatriks on polünoom in , mida nimetatakse iseloomulik polünoom maatriksid A(mõnikord ka "ilmalik võrrand").

Iseloomuliku polünoomi väärtus seisneb selles, et maatriksi omaväärtused on selle juured. Tõepoolest, kui võrrandil on nullist erinev lahendus, siis on maatriks ainsus ja selle determinant on võrdne nulliga.

Seotud määratlused

Omadused

.

Lingid

• V. Yu Kiselev, A. S. Pyartli, T. F. Kalugina Kõrgem matemaatika. Lineaaralgebra . - Ivanovo Riiklik Energiaülikool.

Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.

Vaadake, mis on "maatriksi iseloomulik polünoom" teistes sõnaraamatutes:

Matemaatikas võib iseloomulik polünoom tähendada: maatriksi iseloomulikku polünoomi, lineaarse korduva jada iseloomulikku polünoomi, tavalise diferentsiaalvõrrandi iseloomulikku polünoomi.... ... Wikipedia

Maatriksid üle välja K on polünoom üle välja K. X. m aste on võrdne ruutmaatriksi A järguga, koefitsient b1 on võrdne maatriksi jäljega (b1 = tr A = a11+ a 22+ ... +a pp), koefitsient b t võrdub kõigi järgu põhimollide summaga, eelkõige bn=detA... Matemaatiline entsüklopeedia

Sellel terminil on ka teisi tähendusi, vt Minimaalne polünoom. Minimaalne maatrikspolünoom on minimaalse astmega annihileeriv unitaarpolünoom. Omadused Minimaalne polünoom jagab maatriksi iseloomuliku polünoomi... ... Wikipedia

Põhiartikkel: Maatriksite funktsioonid Lambdamaatriks (λ maatriks, polünoomide maatriks) on ruutmaatriks, mille elemendid on polünoomid mõnel arvuväljal. Kui on mõni maatriksielement, mis on polünoom... Wikipedia

Selle omaväärtuste hulk. Vaata ka Maatriksi karakteristlik polünoom... Matemaatiline entsüklopeedia

Omavektor on näidatud punaselt. See erinevalt sinisest ei muutnud deformatsiooni käigus suunda ja pikkust, seetõttu on tegu omaväärtusele λ = 1 vastava omavektoriga. Iga punase vektoriga paralleelne vektor... ... Wikipedia

Sama järjekorda ruutmaatriksite A ja B nimetatakse sarnasteks, kui on olemas mitteainsuse maatriks P sama järjekorraga, nii et: Sarnased maatriksid saadakse maatriksi sama lineaarse teisenduse määramisel erinevates... .. Vikipeedia

Iseloomulik polünoom on polünoom, mis määrab maatriksi omaväärtused. Teine tähendus: lineaarse korduva polünoom on polünoom. Sisu 1 Definitsioon ... Wikipedia

Hamilton Cayley teoreem on kuulus maatriksiteooria teoreem, mis sai nime William Hamiltoni ja Arthur Cayley järgi. Hamilton Cayley teoreem Iga ruutmaatriks rahuldab oma karakteristlikku võrrandit. Kui... Vikipeedia

Vaatleme ruutmaatriksit A ​​= ||аik||1n. Maatriksi A iseloomulikku maatriksit nimetatakse maatriksiks LE-A.

l - a 11 -a 12 ... -a 1n

lE-A = -a21 l - a22 ... -a 2n

….…………………… .

A n1 -a n2 ... l - ann

Karakteristiku maatriksi determinant

?(l) = |le-A| = |l dik - aik|1n

on skalaarpolünoom l suhtes ja seda nimetatakse maatriksi A karakteristikuks.

Nimetame maatriksit B(l) = ||bik (l)||1n, kus bik (l) on elemendi ldik - аik algebraline täiend determinandis?(l), maatriksi A adjungintmaatriksiks. .

Iseloomuliku polünoomi juhtliikmete leidmiseks kasutame seda, et determinandi väärtus on võrdne tema elementide korrutiste summaga, mis on võetud igast reast ja igast veerust ning varustatud vastavate märkidega. Seetõttu on l suhtes kõrgeima astmega liikme saamiseks vaja võtta kõrgeima astme elementide korrutised. Meie puhul on selline toode ainult üks diagonaalelementide (l - a11) (l - a22) ... (l - ann) korrutis. Kõik teised determinandis sisalduvad produktid ei ole kõrgema astmega kui n-2, sest kui sellise korrutise üheks teguriks on aik (i ? k), siis see korrutis ei sisalda tegureid l-aii, l-acc ja on seega kraadi mitte rohkem kui n-2. Seega ?(l) = (l - a11) ... (l - am) + kraadiliikmed, mis ei ole kõrgemad kui n-2 või

?(l) = ln - (a11 + … + ann) ln-1 + … (22)

Maatriksi diagonaalelementide summat nimetatakse selle jäljeks. Valem (22) näitab, et maatriksi iseloomuliku polünoomi aste on võrdne selle maatriksi järjekorraga, iseloomuliku polünoomi juhtkoefitsient on 1 ja koefitsient ln-1 on võrdne maatriksi jäljega. maatriks võetud vastupidise märgiga.

Teoreem 3. Sarnaste maatriksite iseloomulikud polünoomid on omavahel võrdsed.

Eelkõige tuleneb sellest teoreemist, et sarnastel maatriksitel on identsed jäljed ja determinandid, kuna maatriksi jälg ja determinant koos sobivate märkidega on sellele iseloomuliku polünoomi koefitsiendid.

Maatriksi iseloomuliku polünoomi juuri nimetatakse selle iseloomulikeks arvudeks või omaväärtusteks. Iseloomuliku polünoomi mitut juurt nimetatakse maatriksi mitmeks omaväärtuseks. On teada, et n-astme polünoomi kõigi reaal- ja kompleksjuurte summa, mille juhtkoefitsient on 1, on võrdne vastupidise märgiga võetud muutuja (n-1) astme koefitsiendiga. Seetõttu näitab valem (22), et kompleksarvude väljal on maatriksi kõigi omaväärtuste summa võrdne selle jäljega.

Hamiltoni ja Caelie teoreem. Iga maatriks on sellele iseloomuliku polünoomi juur, st. ?(A)= 0.

?(l) = l - 2 -1 = lI - 5l + 7,

?(A) = AI - 5A + 7E = 3 5 - 5 2 1 + 7 1 0 = 0 0 = 0.