Kuidas leida võrrandi juurt logaritmiga. Logaritmid: näited ja lahendused

Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta unikaalsete pakkumiste, tutvustuste ja muude sündmuste ning eelseisvate sündmustega.
Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni valitsusasutuste avalike taotluste või taotluste alusel - avaldada oma isikuandmeid. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

Logaritmilised võrrandid. Jätkame matemaatika ühtse riigieksami B osa probleemide käsitlemist. Oleme juba uurinud mõne võrrandi lahendusi artiklites “”, “”. Selles artiklis vaatleme logaritmilisi võrrandeid. Ütlen kohe, et ühtsel riigieksamil selliste võrrandite lahendamisel keerulisi teisendusi ei toimu. Need on lihtsad.

Piisab logaritmi põhiidentiteedi tundmisest ja mõistmisest, logaritmi omaduste tundmisest. Pange tähele, et pärast lahendamist PEAB tegema kontrolli – asendage saadud väärtus algsesse võrrandisse ja arvutage, lõpuks peaksite saama õige võrdsuse.

Definitsioon:

Arvu logaritm aluse b suhtes on eksponent,millele a saamiseks tuleb b tõsta.

Näiteks:

Logi 3 9 = 2, kuna 3 2 = 9

Logaritmide omadused:

Logaritmide erijuhud:

Lahendame probleeme. Esimeses näites teeme kontrolli. Tulevikus kontrollige seda ise.

Leidke võrrandi juur: log 3 (4–x) = 4

Kuna log b a = x b x = a, siis

3 4 = 4 – x

x = 4–81

x = – 77

Eksam:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Õige.

Vastus: 77

Otsustage ise:

Leidke võrrandi juur: log 2 (4 – x) = 7

Leidke võrrandi logi 5 juur(4 + x) = 2

Kasutame põhilogaritmilist identiteeti.

Kuna log a b = x b x = a, siis

5 2 = 4 + x

x = 5 2–4

x = 21

Eksam:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Õige.

Vastus: 21

Leidke võrrandi juur 3 (14 – x) = log 3 5.

Toimub järgmine omadus, mille tähendus on järgmine: kui võrrandi vasakul ja paremal küljel on sama alusega logaritmid, siis saame logaritmide märkide alla olevad avaldised võrdsustada.

14 – x = 5

x=9

Tehke kontroll.

Vastus: 9

Otsustage ise:

Leidke võrrandi juur 5 (5 – x) = log 5 3.

Leidke võrrandi juur: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Kui log c a = log c b, siis a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x = 6

Tehke kontroll.

Vastus: 6

Leidke võrrandi juur 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13–64

x = – 51

Tehke kontroll.

Väike täiendus - kinnistu on siin kasutusel

kraadid ().

Vastus: 51

Otsustage ise:

Leidke võrrandi juur: log 1/7 (7 – x) = – 2

Leidke võrrandi log 2 (4 – x) = 2 log 2 5 juur.

Muudame parema külje. Kasutame kinnisvara:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Kui log c a = log c b, siis a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Tehke kontroll.

Vastus: 21

Otsustage ise:

Leidke võrrandi juur: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Lahendage võrrand log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Kui log c a = log c b, siis a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Tehke kontroll.

Vastus: 2,75

Otsustage ise:

Leidke võrrandi juur 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Lahendage võrrand log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

On vaja saada võrrandi paremal küljel oleva vormi avaldis:

logi 2 (......)

Esitame 1 aluse 2 logaritmina:

1 = log 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Saame:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Kui log c a = log c b, siis a = b, siis

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Tehke kontroll.

Vastus: 0,4

Otsustage ise: Järgmisena peate lahendama ruutvõrrandi. Muideks,

juured on 6 ja – 4.

juur "-4" ei ole lahendus, kuna logaritmi alus peab olema suurem kui null ja "– 4" see on võrdne " – 5". Lahendus on juur 6.Tehke kontroll.

Vastus: 6.

R süüa ise:

Lahendage võrrand log x –5 49 = 2. Kui võrrandil on rohkem kui üks juur, vastake väiksemaga.

Nagu olete näinud, pole logaritmiliste võrranditega keerulisi teisendusiEi. Piisab, kui tead logaritmi omadusi ja oskad neid rakendada. Logaritmiliste avaldiste teisendamisega seotud USE ülesannetes tehakse tõsisemaid teisendusi ja nõutakse põhjalikumaid lahendamise oskusi. Vaatame selliseid näiteid, ärge jätke neid mööda!Soovin edu!!!

Lugupidamisega Aleksander Krutitskihh.

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite mulle saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.

Nagu teate, korrutades avaldisi astmetega, nende eksponendid liidetakse alati (a b *a c = a b+c). Selle matemaatilise seaduse tuletas Archimedes ja hiljem, 8. sajandil, lõi matemaatik Virasen täisarvude eksponentide tabeli. Just nemad teenisid logaritmide edasist avastamist. Selle funktsiooni kasutamise näiteid võib leida peaaegu kõikjalt, kus on vaja tülikat korrutamist lihtsa liitmise abil lihtsustada. Kui kulutate selle artikli lugemisele 10 minutit, selgitame teile, mis on logaritmid ja kuidas nendega töötada. Lihtsas ja arusaadavas keeles.

Definitsioon matemaatikas

Logaritm on järgmise kujuga avaldis: log a b=c, st mis tahes mittenegatiivse arvu (st iga positiivse) logaritmi “b” aluse “a” suhtes peetakse astmeks “c”. ”, milleni tuleb baasi „a” tõsta, et lõpuks saada väärtus „b”. Analüüsime logaritmi näidete abil, oletame, et on olemas avaldis log 2 8. Kuidas leida vastus? See on väga lihtne, peate leidma sellise võimsuse, et 2-st kuni vajaliku võimsuseni saate 8. Kui olete oma peas arvutusi teinud, saame arvu 3! Ja see on tõsi, sest 2 astmel 3 annab vastuseks 8.

Logaritmide tüübid

Paljude õpilaste ja üliõpilaste jaoks tundub see teema keeruline ja arusaamatu, kuid tegelikult pole logaritmid nii hirmutavad, peamine on mõista nende üldist tähendust ja meeles pidada nende omadusi ja mõningaid reegleid. Logaritmilisi avaldisi on kolme erinevat tüüpi:

Naturaallogaritm ln a, kus aluseks on Euleri arv (e = 2,7).
Kümnend a, kus alus on 10.
Mis tahes arvu b logaritm aluse a>1 suhtes.

Igaüks neist on lahendatud standardsel viisil, sealhulgas lihtsustamine, taandamine ja sellele järgnev taandamine üheks logaritmiks, kasutades logaritmilisi teoreeme. Logaritmide õigete väärtuste saamiseks peaksite nende lahendamisel meeles pidama nende omadusi ja toimingute jada.

Reeglid ja mõned piirangud

Matemaatikas on mitmeid reegleid-piiranguid, mida aktsepteeritakse aksioomina, st need ei kuulu arutlusele ja on tõde. Näiteks on võimatu jagada numbreid nulliga, samuti on võimatu eraldada negatiivsete arvude paarisjuurt. Logaritmidel on ka oma reeglid, mida järgides saate hõlpsalt õppida töötama isegi pikkade ja mahukate logaritmiliste avaldistega:

Alus "a" peab alati olema suurem kui null ja mitte võrdne 1-ga, vastasel juhul kaotab avaldis oma tähenduse, kuna "1" ja "0" on mis tahes määral alati võrdsed nende väärtustega;
kui a > 0, siis a b >0, selgub, et ka “c” peab olema suurem kui null.

Kuidas logaritme lahendada?

Näiteks on antud ülesanne leida vastus võrrandile 10 x = 100. See on väga lihtne, tuleb valida aste, tõstes arvu kümmet, milleni saame 100. See on loomulikult 10 2 = 100.

Nüüd esitame selle avaldise logaritmilisel kujul. Saame logaritmi 10 100 = 2. Logaritmide lahendamisel koonduvad kõik toimingud praktiliselt kokku, et leida aste, milleni on etteantud arvu saamiseks vaja sisestada logaritmi baas.

Tundmatu kraadi väärtuse täpseks määramiseks peate õppima kraaditabeliga töötamist. See näeb välja selline:

Nagu näete, saab mõningaid eksponente intuitiivselt ära arvata, kui teil on tehniline mõistus ja teadmised korrutustabelist. Suuremate väärtuste jaoks vajate aga toitetabelit. Seda saavad kasutada isegi need, kes ei tea keerulistest matemaatilistest teemadest midagi. Vasakpoolne veerg sisaldab numbreid (alus a), ülemine arvude rida on astme c väärtus, milleni arv a tõstetakse. Ristmikul sisaldavad lahtrid numbriväärtusi, mis on vastuseks (a c = b). Võtame näiteks kõige esimese lahtri numbriga 10 ja paneme selle ruudu ruutu, saame väärtuse 100, mis on näidatud meie kahe lahtri ristumiskohas. Kõik on nii lihtne ja kerge, et isegi kõige tõelisem humanist mõistab!

Võrrandid ja võrratused

Selgub, et teatud tingimustel on eksponendiks logaritm. Seetõttu saab logaritmilise võrdsusena kirjutada mis tahes matemaatilisi arvavaldisi. Näiteks 3 4 =81 saab kirjutada kui 81 baasi 3 logaritm, mis võrdub neljaga (log 3 81 = 4). Negatiivsete astmete puhul on reeglid samad: 2 -5 = 1/32 kirjutame selle logaritmina, saame log 2 (1/32) = -5. Matemaatika üks põnevamaid sektsioone on “logaritmide” teema. Allpool vaatleme võrrandite näiteid ja lahendusi, kohe pärast nende omaduste uurimist. Nüüd vaatame, kuidas ebavõrdsused välja näevad ja kuidas neid võrranditest eristada.

Antakse järgmine avaldis: log 2 (x-1) > 3 - see on logaritmiline võrratus, kuna tundmatu väärtus “x” on logaritmilise märgi all. Ja ka avaldises võrreldakse kahte suurust: soovitud arvu logaritm alus kahele on suurem kui arv kolm.

Kõige olulisem erinevus logaritmiliste võrrandite ja võrratuste vahel on see, et logaritmidega võrrandid (näiteks logaritm 2 x = √9) viitavad vastuses ühele või mitmele konkreetsele arvväärtusele, samas kui ebavõrdsuse lahendamisel on mõlemad vastuvõetavate väärtuste vahemikud. väärtused ja punktid määratakse seda funktsiooni katkestades. Selle tulemusena ei ole vastus lihtne üksikute arvude kogum, nagu võrrandi vastuses, vaid pidev arvude jada või komplekt.

Põhiteoreemid logaritmide kohta

Primitiivsete logaritmi väärtuste leidmise ülesannete lahendamisel ei pruugi selle omadused olla teada. Kui aga rääkida logaritmilistest võrranditest või võrratustest, siis ennekõike on vaja selgelt mõista ja praktikas rakendada logaritmide kõiki põhiomadusi. Vaatame võrrandite näiteid esmalt üksikasjalikumalt.

Põhiidentiteet näeb välja selline: a logaB =B. See kehtib ainult siis, kui a on suurem kui 0, mitte võrdne ühega ja B on suurem kui null.
Korrutise logaritmi saab esitada järgmise valemiga: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Sel juhul on kohustuslik tingimus: d, s 1 ja s 2 > 0; a≠1. Saate esitada selle logaritmilise valemi tõestuse koos näidete ja lahendusega. Olgu log a s 1 = f 1 ja log a s 2 = f 2, siis a f1 = s 1, a f2 = s 2. Saame, et s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (omadused kraadi ) ja siis definitsiooni järgi: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, mis vajas tõestamist.
Jagatise logaritm näeb välja selline: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Valemi kujul olev teoreem on järgmisel kujul: log a q b n = n/q log a b.

Seda valemit nimetatakse "logaritmi astme omaduseks". See meenutab tavaliste kraadide omadusi ja see pole üllatav, sest kogu matemaatika põhineb looduslikel postulaatidel. Vaatame tõestust.

Olgu logi a b = t, selgub a t =b. Kui tõstame mõlemad osad astmeni m: a tn = b n ;

aga kuna a tn = (a q) nt/q = b n, siis log a q b n = (n*t)/t, siis log a q b n = n/q log a b. Teoreem on tõestatud.

Näited probleemidest ja ebavõrdsusest

Kõige tavalisemad logaritmide probleemide tüübid on võrrandite ja võrratuste näited. Neid leidub peaaegu kõigis probleemraamatutes ja need on ka matemaatikaeksamite kohustuslik osa. Ülikooli astumiseks või matemaatika sisseastumiseksamite sooritamiseks peate teadma, kuidas selliseid ülesandeid õigesti lahendada.

Kahjuks pole logaritmi tundmatu väärtuse lahendamiseks ja määramiseks ühtset plaani või skeemi, kuid iga matemaatilise võrratuse või logaritmilise võrrandi puhul saab rakendada teatud reegleid. Kõigepealt tuleks välja selgitada, kas väljendit saab lihtsustada või taandada üldisele kujule. Kui kasutate nende omadusi õigesti, saate pikki logaritmilisi avaldisi lihtsustada. Saame nendega kiiresti tuttavaks.

Logaritmivõrrandite lahendamisel tuleb kindlaks teha, mis tüüpi logaritm meil on: näidisavaldis võib sisaldada naturaallogaritmi või kümnendlogaritmi.

Siin on näited ln100, ln1026. Nende lahendus taandub asjaolule, et nad peavad määrama võimsuse, mille baas 10 võrdub vastavalt 100 ja 1026. Naturaallogaritmide lahendamiseks peate rakendama logaritmilisi identiteete või nende omadusi. Vaatame näiteid erinevat tüüpi logaritmiliste ülesannete lahendamisest.

Logaritmi valemite kasutamine: näidete ja lahendustega

Niisiis, vaatame näiteid logaritmide põhiteoreemide kasutamisest.

Korrutise logaritmi omadust saab kasutada ülesannetes, kus on vaja arvu b suur väärtus lagundada lihtsamateks teguriteks. Näiteks log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Vastus on 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - nagu näha, õnnestus meil logaritmi astme neljandat omadust kasutades lahendada pealtnäha keeruline ja lahendamatu avaldis. Peate lihtsalt arvutama aluse ja seejärel võtma eksponendi väärtused logaritmi märgist välja.

Ühtse riigieksami ülesanded

Sisseastumiseksamitel leidub sageli logaritme, eriti palju logaritmiülesandeid ühtse riigieksami puhul (riigieksam kõigile koolilõpetajatele). Tavaliselt on need ülesanded olemas mitte ainult A-osas (eksami lihtsaim testiosa), vaid ka C-osas (kõige keerulisemad ja mahukamad ülesanded). Eksam eeldab teema “Looduslikud logaritmid” täpset ja täiuslikku tundmist.

Näited ja probleemide lahendused on võetud ühtse riigieksami ametlikest versioonidest. Vaatame, kuidas selliseid ülesandeid lahendatakse.

Antud log 2 (2x-1) = 4. Lahendus:
kirjutame avaldise ümber, lihtsustades seda veidi log 2 (2x-1) = 2 2, logaritmi definitsiooniga saame, et 2x-1 = 2 4, seega 2x = 17; x = 8,5.

Parim on taandada kõik logaritmid samale alusele, et lahendus ei oleks tülikas ja segane.
Kõik logaritmimärgi all olevad avaldised on näidatud positiivsetena, seega kui logaritmimärgi all oleva avaldise astendaja võetakse kordajaks välja, peab logaritmi alla jääv avaldis olema positiivne.

Logaritmiavaldised, näidete lahendamine. Käesolevas artiklis vaatleme logaritmide lahendamisega seotud probleeme. Ülesannetes küsitakse väljendi tähenduse leidmist. Tuleb märkida, et logaritmi mõistet kasutatakse paljudes ülesannetes ja selle tähenduse mõistmine on äärmiselt oluline. Mis puudutab ühtset riigieksamit, siis logaritmi kasutatakse võrrandite lahendamisel, rakendusülesannetes ja ka funktsioonide uurimisega seotud ülesannetes.

Toome näiteid, et mõista logaritmi tähendust:

Põhilogaritmiline identiteet:

Logaritmide omadused, mida tuleb alati meeles pidada:

*Korrutise logaritm võrdub tegurite logaritmide summaga.

* * *

*Jagatise (murru) logaritm võrdub tegurite logaritmide vahega.

* * *

*Astendaja logaritm on võrdne eksponendi ja selle aluse logaritmi korrutisega.

* * *

*Üleminek uuele vundamendile

* * *

Rohkem omadusi:

* * *

Logaritmide arvutamine on tihedalt seotud eksponentide omaduste kasutamisega.

Loetleme mõned neist:

Selle omaduse olemus seisneb selles, et lugeja kandmisel nimetajale ja vastupidi muutub astendaja märk vastupidiseks. Näiteks:

Selle omaduse tagajärg:

* * *

Tõsttes astme astmeks, jääb alus samaks, kuid eksponendid korrutatakse.

* * *

Nagu nägite, on logaritmi mõiste iseenesest lihtne. Peaasi, et vajate head praktikat, mis annab teatud oskuse. Loomulikult on valemite tundmine vajalik. Kui elementaarlogaritmide teisendamise oskus pole arenenud, siis lihtsate ülesannete lahendamisel võib kergesti eksida.

Harjuta, lahenda esmalt matemaatikakursuse kõige lihtsamad näited, siis liigu edasi keerulisemate juurde. Tulevikus näitan kindlasti, kuidas "hirmutavad" logaritmid lahendatakse, need ei ilmu ühtsele riigieksamile, kuid need pakuvad huvi, ärge jätke neid vahele!

See on kõik! Edu sulle!

Lugupidamisega Aleksander Krutitskihh

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite mulle saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.