Kuidas ala leida, on teada kolm külge. Kolmnurga pindala

Mõnikord tuleb elus ette olukordi, kus ammu unustatud kooliteadmiste otsimisel tuleb süveneda oma mällu. Näiteks peate määrama kolmnurkse maatüki pindala või on saabunud aeg korteris või eramajas uueks renoveerimiseks ja peate arvutama, kui palju materjali kulub pinna jaoks. kolmnurkne kuju. Oli aeg, mil saite sellise probleemi mõne minutiga lahendada, kuid nüüd proovite meeleheitlikult meeles pidada, kuidas kolmnurga pindala määrata?

Ära selle pärast muretse! On ju täiesti normaalne, kui inimese aju otsustab kaua kasutamata teadmised kuhugi kaugemasse nurka üle kanda, kust neid vahel nii lihtne välja tõmmata polegi. Et te ei peaks sellise probleemi lahendamiseks unustatud kooliteadmiste otsimisega vaeva nägema, sisaldab see artikkel erinevaid meetodeid, mis muudavad kolmnurga vajaliku ala leidmise lihtsaks.

On hästi teada, et kolmnurk on teatud tüüpi hulknurk, mis on piiratud minimaalse võimaliku külgede arvuga. Põhimõtteliselt saab iga hulknurga jagada mitmeks kolmnurgaks, ühendades selle tipud segmentidega, mis ei ristu selle külgi. Seetõttu saate kolmnurka teades arvutada peaaegu iga kujundi pindala.

Kõigi võimalike elus esinevate kolmnurkade hulgast saab eristada järgmisi konkreetseid tüüpe: ja ristkülikukujulised.

Lihtsaim viis kolmnurga pindala arvutamiseks on siis, kui selle üks nurk on täisnurkne, st täisnurkse kolmnurga puhul. On lihtne näha, et see on pool ristkülikut. Seetõttu on selle pindala võrdne poolega nende külgede korrutisest, mis moodustavad üksteisega täisnurga.

Kui teame kolmnurga kõrgust, mis on langetatud selle ühest tipust vastasküljele, ja selle külje pikkust, mida nimetatakse aluseks, siis arvutatakse pindala poolena kõrguse ja aluse korrutisest. See on kirjutatud järgmise valemi abil:

S = 1/2*b*h, milles

S on kolmnurga nõutav pindala;

b, h - vastavalt kolmnurga kõrgus ja alus.

Võrdhaarse kolmnurga pindala on nii lihtne arvutada, kuna kõrgus poolitab vastaskülje ja seda saab hõlpsasti mõõta. Kui pindala on määratud, siis on mugav võtta kõrguseks ühe täisnurga moodustava külje pikkus.

See kõik on muidugi hea, aga kuidas teha kindlaks, kas kolmnurga üks nurkadest on õige või mitte? Kui meie figuuri suurus on väike, siis saame kasutada konstruktsiooninurka, joonistuskolmnurka, postkaarti või mõnda muud ristkülikukujulist eset.

Aga mis siis, kui meil on kolmnurkne maatükk? Sel juhul toimige järgmiselt: lugege ühelt poolt oletatava täisnurga ülaosast 3-kordne vahemaa (30 cm, 90 cm, 3 m) ja teiselt poolt mõõtke kaugus 4-ga. proportsioon (40 cm, 160 cm, 4 m). Nüüd peate mõõtma nende kahe segmendi lõpp-punktide vahelist kaugust. Kui tulemuseks on 5-kordne (50 cm, 250 cm, 5 m), siis võib öelda, et nurk on õige.

Kui meie joonise iga kolme külje pikkus on teada, saab kolmnurga pindala määrata Heroni valemi abil. Et sellel oleks lihtsam vorm, kasutatakse uut väärtust, mida nimetatakse poolperimeetriks. See on meie kolmnurga kõigi külgede summa, jagatud pooleks. Pärast poolperimeetri arvutamist saate ala määrata järgmise valemi abil:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), kus

sqrt - ruutjuur;

p - poolperimeetri väärtus (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - kolmnurga servad (küljed).

Aga mis siis, kui kolmnurgal on ebakorrapärane kuju? Siin on kaks võimalikku viisi. Esimene neist on püüda selline kujund jagada kaheks täisnurkseks kolmnurgaks, mille pindalade summa arvutatakse eraldi välja ja seejärel liidetakse. Või kui kahe külje vaheline nurk ja nende külgede suurus on teada, siis rakendage valemit:

S = 0,5 * ab * sinC, kus

a,b - kolmnurga küljed;

c on nende külgede vahelise nurga suurus.

Viimane juhtum on praktikas haruldane, kuid sellegipoolest on elus kõik võimalik, nii et ülaltoodud valem ei ole üleliigne. Edu teile arvutuste tegemisel!

Kolmnurga pindala määramiseks võite kasutada erinevaid valemeid. Kõigist meetoditest on kõige lihtsam ja sagedamini kasutatav kõrgus aluse pikkusega korrutada ja seejärel tulemus kahega jagada. See meetod pole aga kaugeltki ainus. Allpool saate lugeda, kuidas leida kolmnurga pindala erinevate valemite abil.

Eraldi vaatleme võimalusi, kuidas arvutada teatud tüüpi kolmnurkade pindala - ristkülikukujulised, võrdhaarsed ja võrdkülgsed. Iga valemiga on kaasas lühike selgitus, mis aitab teil mõista selle olemust.

Universaalsed meetodid kolmnurga pindala leidmiseks

Alltoodud valemid kasutavad spetsiaalset tähistust. Me dešifreerime neist igaüks:

• a, b, c – vaadeldava joonise kolme külje pikkused;
• r on ringjoone raadius, mida saab kanda meie kolmnurka;
• R on selle ümber kirjeldatava ringi raadius;
• α on külgede b ja c moodustatud nurga suurus;
• β on a ja c vahelise nurga suurus;
• γ on külgede a ja b moodustatud nurga suurus;
• h on meie kolmnurga kõrgus, langetatud nurgast α küljele a;
• p – pool külgede a, b ja c summast.

On loogiliselt selge, miks saate sel viisil kolmnurga pindala leida. Kolmnurga saab hõlpsasti täiendada rööpkülikuks, milles kolmnurga üks külg toimib diagonaalina. Rööpküliku pindala leitakse, korrutades selle ühe külje pikkust sellele tõmmatud kõrguse väärtusega. Diagonaal jagab selle tingimusliku rööpküliku kaheks identseks kolmnurgaks. Seetõttu on üsna ilmne, et meie algse kolmnurga pindala peab olema võrdne poolega selle abi rööpküliku pindalast.

S=½ a b sin γ

Selle valemi järgi leitakse kolmnurga pindala, korrutades selle kahe külje pikkused, see tähendab a ja b, nende moodustatud nurga siinusega. See valem on loogiliselt tuletatud eelmisest. Kui alandame kõrgust nurgast β küljele b, siis vastavalt täisnurkse kolmnurga omadustele, korrutades külje a pikkuse nurga γ siinusega, saame kolmnurga kõrguse, st h. .

Kõnealuse kujundi pindala leitakse, korrutades poole sellesse kantava ringi raadiusest selle ümbermõõduga. Teisisõnu leiame mainitud ringi poolperimeetri ja raadiuse korrutise.

S = a b c/4R

Selle valemi järgi saab meile vajaliku väärtuse leida, jagades joonise külgede korrutise selle ümber kirjeldatud ringi 4 raadiusega.

Need valemid on universaalsed, kuna need võimaldavad määrata mis tahes kolmnurga pindala (skaala, võrdhaarne, võrdkülgne, ristkülikukujuline). Seda saab teha keerukamate arvutuste abil, millel me üksikasjalikult ei peatu.

Konkreetsete omadustega kolmnurkade alad

Kuidas leida täisnurkse kolmnurga pindala? Selle figuuri eripära on see, et selle kaks külge on samaaegselt selle kõrgused. Kui a ja b on jalad ja c muutub hüpotenuusiks, siis leiame ala järgmiselt:

Kuidas leida võrdhaarse kolmnurga pindala? Sellel on kaks külge pikkusega a ja üks külg pikkusega b. Järelikult saab selle pindala määrata, jagades külje a ruudu korrutise nurga γ siinusega 2-ga.

Kuidas leida võrdkülgse kolmnurga pindala? Selles on kõigi külgede pikkus võrdne a-ga ja kõigi nurkade suurus on α. Selle kõrgus on võrdne poolega külje a pikkuse ja ruutjuure 3 korrutisest. Tavalise kolmnurga pindala leidmiseks tuleb külje a ruut korrutada ruutjuurega 3 ja jagada 4.

Kolmnurk on üks levinumaid geomeetrilisi kujundeid, millega saame tuttavaks põhikoolis. Iga õpilane seisab silmitsi küsimusega, kuidas leida geomeetriatundides kolmnurga pindala. Niisiis, milliseid tunnuseid antud figuuri pindala leidmisel saab tuvastada? Selles artiklis vaatleme sellise ülesande täitmiseks vajalikke põhivalemeid ja analüüsime ka kolmnurkade tüüpe.

Kolmnurkade tüübid

Kolmnurga pindala leiate täiesti erineval viisil, kuna geomeetrias on rohkem kui ühte tüüpi kolme nurka sisaldavaid kujundeid. Need tüübid hõlmavad järgmist:

• nüri.
• Võrdkülgne (õige).
• Täisnurkne kolmnurk.
• Võrdhaarsed.

Vaatame lähemalt iga olemasolevat kolmnurga tüüpi.

Seda geomeetrilist kujundit peetakse geomeetriliste ülesannete lahendamisel kõige tavalisemaks. Kui tekib vajadus suvalise kolmnurga joonistamiseks, tuleb see valik appi.

Nagu nimigi ütleb, on terava kolmnurga kõik nurgad teravad ja kokku moodustavad 180°.

Seda tüüpi kolmnurgad on samuti väga levinud, kuid on mõnevõrra vähem levinud kui terav kolmnurk. Näiteks kolmnurkade lahendamisel (st selle mitmed küljed ja nurgad on teada ning ülejäänud elemendid on vaja leida) tuleb mõnikord kindlaks teha, kas nurk on nüri või mitte. Koosinus on negatiivne arv.

B, ühe nurga väärtus ületab 90°, seega võivad ülejäänud kaks nurka olla väikesed (näiteks 15° või isegi 3°).

Seda tüüpi kolmnurga pindala leidmiseks peate teadma mõningaid nüansse, millest räägime hiljem.

Korrapärased ja võrdhaarsed kolmnurgad

Tavaline hulknurk on kujund, mis sisaldab n nurka ja mille küljed ja nurgad on kõik võrdsed. Selline on tavaline kolmnurk. Kuna kolmnurga kõigi nurkade summa on 180°, siis on kõik kolm nurka 60°.

Korrapärast kolmnurka nimetatakse selle omaduse tõttu ka võrdkülgseks kujundiks.

Samuti väärib märkimist, et korrapärasesse kolmnurka saab kirjutada ainult ühe ringi ja selle ümber saab kirjeldada ainult ühte ringi ning nende keskpunktid asuvad samas punktis.

Lisaks võrdkülgsele tüübile võib eristada ka sellest veidi erinevat võrdhaarset kolmnurka. Sellises kolmnurgas on kaks külge ja kaks nurka üksteisega võrdsed ning kolmas külg (millega külgnevad võrdsed nurgad) on alus.

Joonisel on kujutatud võrdhaarne kolmnurk DEF, mille nurgad D ja F on võrdsed ning DF on alus.

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkset kolmnurka nimetatakse selliseks, kuna selle üks nurk on täisnurkne, see tähendab 90°. Ülejäänud kaks nurka annavad kokku 90°.

Sellise kolmnurga suurim külg, mis asub 90° nurga vastas, on hüpotenuus, ülejäänud kaks külge on jalad. Seda tüüpi kolmnurga puhul kehtib Pythagorase teoreem:

Jalgade pikkuste ruutude summa võrdub hüpotenuusi pikkuse ruuduga.

Joonisel on kujutatud täisnurkne kolmnurk BAC hüpotenuusiga AC ning jalgadega AB ja BC.

Täisnurgaga kolmnurga pindala leidmiseks peate teadma selle jalgade arvväärtusi.

Liigume edasi antud joonise pindala leidmise valemite juurde.

Põhivalemid ala leidmiseks

Geomeetrias on kaks valemit, mis sobivad enamiku kolmnurkade pindala leidmiseks, nimelt teravate, nürikujuliste, korrapäraste ja võrdhaarsete kolmnurkade jaoks. Vaatame igaüht neist.

Külje ja kõrguse järgi

See valem on universaalne vaadeldava joonise ala leidmiseks. Selleks piisab, kui on teada külje pikkus ja sellele tõmmatud kõrguse pikkus. Valem ise (pool aluse ja kõrguse korrutisest) on järgmine:

kus A on antud kolmnurga külg ja H on kolmnurga kõrgus.

Näiteks terava kolmnurga ACB pindala leidmiseks peate korrutama selle külje AB kõrgusega CD ja jagama saadud väärtuse kahega.

Kuid sel viisil pole kolmnurga pindala alati lihtne leida. Näiteks selleks, et kasutada seda valemit nüri kolmnurga jaoks, peate selle ühte külge pikendama ja alles siis joonistama sellele kõrguse.

Praktikas kasutatakse seda valemit sagedamini kui teisi.

Mõlemal küljel ja nurgas

See valem, nagu ka eelmine, sobib enamiku kolmnurkade jaoks ja on oma tähenduses kolmnurga pindala ja kõrguse järgi leidmise valemi tagajärg. See tähendab, et kõnealust valemit saab eelmisest hõlpsasti tuletada. Selle koostis näeb välja selline:

S = ½*sinO*A*B,

kus A ja B on kolmnurga küljed ning O on nurk külgede A ja B vahel.

Meenutagem, et nurga siinust saab vaadelda spetsiaalses tabelis, mis on saanud nime silmapaistva nõukogude matemaatiku V. M. Bradise järgi.

Liigume nüüd edasi teiste valemite juurde, mis sobivad ainult erakordset tüüpi kolmnurkade jaoks.

Täisnurkse kolmnurga pindala

Lisaks universaalsele valemile, mis sisaldab vajadust leida kolmnurga kõrgus merepinnast, saab selle jalgadelt leida täisnurka sisaldava kolmnurga pindala.

Seega on täisnurka sisaldava kolmnurga pindala pool selle jalgade korrutisest või:

kus a ja b on täisnurkse kolmnurga jalad.

Regulaarne kolmnurk

Seda tüüpi geomeetriline kujund erineb selle poolest, et selle pindala võib leida ainult selle ühe külje näidatud väärtusega (kuna tavalise kolmnurga kõik küljed on võrdsed). Niisiis, kui seisate silmitsi ülesandega "leida kolmnurga pindala, kui küljed on võrdsed", peate kasutama järgmist valemit:

S = A 2 *√3/4,

kus A on võrdkülgse kolmnurga külg.

Heroni valem

Viimane võimalus kolmnurga pindala leidmiseks on Heroni valem. Selle kasutamiseks peate teadma joonise kolme külje pikkust. Heroni valem näeb välja selline:

S = √p·(p–a)·(p–b)·(p–c),

kus a, b ja c on antud kolmnurga küljed.

Mõnikord antakse probleem: "tavalise kolmnurga pindala on leida selle külje pikkus." Sel juhul peame tavalise kolmnurga pindala leidmiseks kasutama meile juba tuttavat valemit ja tuletama sellest külje (või selle ruudu) väärtuse:

A 2 = 4S / √3.

Eksamiülesanded

Matemaatikas on GIA ülesannetes palju valemeid. Lisaks on üsna sageli vaja ruudulisel paberil leida kolmnurga pindala.

Sel juhul on kõige mugavam joonistada joonise ühele küljele kõrgus, määrata selle pikkus lahtritest ja kasutada ala leidmiseks universaalset valemit:

Nii et pärast artiklis esitatud valemite uurimist pole teil probleeme mingisuguse kolmnurga pindala leidmisega.

Kooli õppekava näeb ette lastele geomeetria õpetamise juba varakult. Üks põhiteadmisi selles valdkonnas on erinevate kujundite ala leidmine. Selles artiklis püüame anda kõikvõimalikud viisid selle väärtuse saamiseks, alates kõige lihtsamast kuni keerukaima.

Alus

Esimene valem, mida lapsed koolis õpivad, hõlmab kolmnurga pindala leidmist selle kõrguse ja aluse pikkuse kaudu. Kõrgus on segment, mis on tõmmatud kolmnurga tipust risti vastasküljega, millest saab alus. Kuidas leida nende suuruste abil kolmnurga pindala?

Kui V on kõrgus ja O on alus, siis on pindala S=V*O:2.

Teine võimalus soovitud väärtuse saamiseks eeldab, et me teame kahe külje pikkust ja nendevahelise nurga suurust. Kui meil on L ja M - külgede pikkused ja Q - nendevaheline nurk, siis saate pindala valemiga S=(L*M*sin(Q))/2.

Heroni valem

Lisaks kõigile teistele vastustele küsimusele, kuidas kolmnurga pindala arvutada, on olemas valem, mis võimaldab meil saada vajaliku väärtuse, teades ainult külgede pikkusi. See tähendab, et kui me teame kõigi külgede pikkusi, siis ei pea me kõrgust joonistama ja selle pikkust arvutama. Võime kasutada nn Heroni valemit.

Kui M, N, L on külgede pikkused, siis leiame kolmnurga pindala järgmiselt. P=(M+N+L)/2, siis on meile vajalik väärtus S 2 =P*(P-M)*(P-L)*(P-N). Lõpuks peame ainult juure arvutama.

Täisnurkse kolmnurga puhul on Heroni valem veidi lihtsustatud. Kui M, L on jalad, siis S=(P-M)*(P-L).

Suhtlusringid

Teine viis kolmnurga pindala leidmiseks on kasutada ümber- ja ümberringjooni. Vajaliku väärtuse saamiseks sisse kirjutatud ringi abil peame teadma selle raadiust. Tähistame seda "r-ga". Siis on valem, mille järgi arvutusi teostame, järgmisel kujul: S=r*P, kus P on pool kõigi külgede pikkuste summast.

Täisnurkses kolmnurgas on seda valemit veidi muudetud. Muidugi võite kasutada ülaltoodud väljendit, kuid arvutuste tegemiseks on parem kasutada teistsugust avaldist. S=E*W, kus E ja W on nende lõikude pikkused, milleks hüpotenuus on jagatud ringi puutumispunktiga.

Piiratud ringist rääkides pole ka kolmnurga pindala leidmine keeruline. Võttes kasutusele tähise R kui piiritletud ringi raadius, saate vajaliku väärtuse arvutamiseks vajaliku järgmise valemi: S= (M*N*L):(4*R). Kus kolm esimest suurust on kolmnurga küljed.

Rääkides võrdkülgsest kolmnurgast, saate mitmete lihtsate matemaatiliste teisenduste abil saada veidi muudetud valemeid:

S=(3 1/2 *M2)/4;

S=(3*3 1/2 *R2)/4;

S=3*3 1/2*r2.

Igal juhul saab mis tahes valemit, mis võimaldab teil leida kolmnurga pindala, muuta vastavalt ülesande andmetele. Seega ei ole kõik kirjalikud väljendid absoluutsed. Probleemide lahendamisel mõelge, et leida sobivaim lahendus.

Koordinaadid

Koordinaatide telgede uurimisel muutuvad õpilaste ees seisvad ülesanded keerukamaks. Siiski mitte niivõrd, kuivõrd paanikaks. Kolmnurga pindala leidmiseks tippude koordinaatide järgi saate kasutada sama, kuid veidi muudetud Heroni valemit. Koordinaatide jaoks on see järgmine vorm:

S=((x2-x1)2*(y2-y1)2*(z2-z 1) 2) 1/2.

Keegi ei keela aga koordinaatide abil kolmnurga külgede pikkusi ja seejärel ülalpool kirjutatud valemite abil pindala arvutamist. Koordinaatide pikkuseks teisendamiseks kasutage järgmist valemit:

l=((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2) 1/2.

Märkmed

Artiklis kasutati standardseid tähiseid koguste jaoks, mida kasutatakse enamikes probleemides. Sel juhul tähendab võimsus "1/2", et sulgude all tuleb eraldada kogu avaldise juur.

Olge valemi valimisel ettevaatlik. Mõned neist kaotavad olenevalt algtingimustest oma tähtsuse. Näiteks ümberringi valem. Ta suudab igal juhul teie eest tulemuse välja arvutada, kuid võib tekkida olukord, kus antud parameetritega kolmnurka ei pruugi üldse eksisteerida.

Kui istud kodus ja teed kodutöid, saad kasutada veebikalkulaatorit. Paljud saidid pakuvad võimalust arvutada erinevaid koguseid, kasutades etteantud parameetreid, ja pole vahet, millised. Võite lihtsalt sisestada algandmed väljadele ja arvuti (veebisait) arvutab teie eest tulemuse. Nii saad vältida ettevaatamatusest tehtud vigu.

Loodame, et meie artikkel vastas kõigile teie küsimustele erinevate kolmnurkade pindala arvutamise kohta ja te ei pea mujalt lisateavet otsima. Edu õpingutes!