Lineaarvõrrandid. Lahendus, näited

Lineaarvõrrand – võrrand kujul a x = b, kus x on muutuja, a ja b on mõned arvud ning a ≠ 0.

Lineaarvõrrandite näited:

1. 3 x = 2

1. 2 7 x = – 5

Lineaarvõrranditeks ei nimetata mitte ainult võrrandeid kujul a x = b, vaid ka kõiki võrrandeid, mis teisenduste ja lihtsustuste abil taandatakse sellele kujule.

Kuidas lahendada võrrandeid, mis on taandatud kujule a x = b? Piisab, kui jagada võrrandi vasak ja parem pool väärtusega a. Selle tulemusena saame vastuse: x = b a.

Kuidas teha kindlaks, kas suvaline võrrand on lineaarne või mitte? Peate pöörama tähelepanu selles sisalduvale muutujale. Kui muutuja juhtiv võimsus on võrdne ühega, siis on selline võrrand lineaarvõrrand.

Lineaarvõrrandi lahendamiseks , peate avama sulud (kui neid on), nihutama X-id vasakule, numbreid paremale ja tooma sarnased terminid. Tulemuseks on võrrand kujul a x = b. Selle lineaarvõrrandi lahendus on: x = b a.

Näited lineaarvõrrandite lahendamiseks:

1. 2 x + 1 = 2 (x - 3) + 8

See on lineaarne võrrand, kuna muutuja on esimese astmeni.

Proovime teisendada selle kujule a x = b:

Kõigepealt avame sulgud:

2 x + 1 = 4 x - 6 + 8

Kõik terminid, millel on x, kantakse vasakule ja numbrid paremale:

2 x − 4 x = 2 − 1

Nüüd jagame vasaku ja parema külje arvuga (-2):

− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5

Vastus: x = − 0,5

1. x 2 − 1 = 0

See võrrand ei ole lineaarne võrrand, kuna muutuja x suurim võimsus on kaks.

1. x (x + 3) − 8 = x − 1

See võrrand näib esmapilgul lineaarne, kuid pärast sulgude avamist võrdub juhtiv võimsus kahega:

x 2 + 3 x - 8 = x - 1

See võrrand ei ole lineaarne võrrand.

Erijuhtumid(OGE ülesandes 4 neid ei kohatud, kuid neid on kasulik teada)

Näited:

1. 2 x - 4 = 2 (x - 2)

2 x − 4 = 2 x − 4

2 x − 2 x = − 4 + 4

Ja kuidas me saame siit otsida x-i, kui seda pole olemas? Peale teisenduste sooritamist saime õige võrdsuse (identiteedi), mis ei sõltu muutuja x väärtusest. Ükskõik, millise x väärtuse me algsesse võrrandisse asendame, annab tulemuseks alati õige võrdsuse (identiteedi). See tähendab, et x võib olla mis tahes arv. Kirjutame selle lineaarvõrrandi vastuse üles.

Vastus: x ∈ (− ∞ ;  + ∞)

1. 2 x - 4 = 2 (x - 8)

See on lineaarne võrrand. Avame sulud, liigutame X-id vasakule, numbreid paremale:

2 x − 4 = 2 x − 16

2 x − 2 x = − 16 + 4

Teisenduste tulemusena vähenes x, kuid tulemuseks oli vale võrdsus, kuna. Ükskõik, millise x väärtuse me algsesse võrrandisse asendame, on tulemuseks alati vale võrdsus. See tähendab, et x-i väärtusi, mille korral võrdsus tõeseks muutuks, pole. Kirjutame selle lineaarvõrrandi vastuse üles.

Lineaarvõrrandid. Lahendus, näited.

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga…")

Lineaarvõrrandid.

Lineaarvõrrandid pole koolimatemaatika kõige keerulisem teema. Kuid seal on mõned nipid, mis võivad isegi koolitatud õpilast mõistatada. Mõtleme selle välja?)

Tavaliselt määratletakse lineaarvõrrand järgmise vormi võrrandina:

kirves + b = 0 Kus a ja b- suvalised numbrid.

2x + 7 = 0. Siin a=2, b = 7

0,1x - 2,3 = 0 siin a = 0,1, b = -2,3

12x + 1/2 = 0 Siin a = 12, b = 1/2

Pole midagi keerulist, eks? Eriti kui te ei märka sõnu: "kus a ja b on suvalised arvud"... Ja kui märkad ja hoolimatult mõtled?) Lõppude lõpuks, kui a=0, b = 0(kõik numbrid on võimalikud?), siis saame naljaka väljendi:

Kuid see pole veel kõik! Kui ütleme, a=0, A b = 5, See osutub millekski täiesti ebatavaliseks:

Mis on tüütu ja õõnestab usaldust matemaatika vastu, jah...) Eriti eksamite ajal. Kuid nende kummaliste väljendite hulgast tuleb leida ka X! Mida pole üldse olemas. Ja üllataval kombel on seda X-i väga lihtne leida. Õpime seda tegema. Selles õppetükis.

Kuidas lineaarvõrrandit välimuse järgi ära tunda? Oleneb välimusest.) Nipp seisneb selles, et lineaarvõrrandid ei ole ainult vormi võrrandid. kirves + b = 0 , aga ka mis tahes võrrandeid, mida saab teisenduste ja lihtsustustega taandada sellele kujule. Ja kes teab, kas see tuleb alla või mitte?)

Lineaarvõrrandi saab mõnel juhul selgelt ära tunda. Oletame, et kui meil on võrrand, milles on ainult esimese astme tundmatud ja arvud. Ja võrrandis pole seda murrud jagatud teadmata , see on oluline! Ja jagamine number, või murdosa – see on teretulnud! Näiteks:

See on lineaarne võrrand. Siin on murrud, kuid ruudus, kuubis jne pole x-i ja nimetajates pole x-i, s.t. Ei jagamine x-ga. Ja siin on võrrand

lineaarseks nimetada ei saa. Siin on X-id kõik esimesel astmel, kuid neid on jagamine avaldisega x-iga. Pärast lihtsustusi ja teisendusi saate lineaarvõrrandi, ruutvõrrandi või midagi, mis teile meeldib.

Selgub, et lineaarvõrrandit on mõnes keerulises näites võimatu ära tunda enne, kui olete selle peaaegu lahendanud. See on häiriv. Kuid ülesannetes reeglina ei küsita võrrandi vormi kohta, eks? Ülesanded nõuavad võrrandeid otsustada. See teeb mind õnnelikuks.)

Lineaarvõrrandite lahendamine. Näited.

Kogu lineaarvõrrandite lahendus koosneb võrrandite identsetest teisendustest. Muide, need teisendused (neist kaks!) on lahenduste aluseks kõik matemaatika võrrandid. Teisisõnu, lahendus ükskõik milline võrrand algab just nende teisendustega. Lineaarvõrrandite puhul põhineb see (lahend) neil teisendustel ja lõpeb täieliku vastusega. Mõttekas on jälgida linki, eks?) Pealegi on seal ka näiteid lineaarvõrrandite lahendamisest.

Esiteks vaatame kõige lihtsamat näidet. Ilma igasuguste lõksudeta. Oletame, et peame selle võrrandi lahendama.

x - 3 = 2 - 4x

See on lineaarne võrrand. X-d on kõik esimeses astmes, X-ga jagamist ei ole. Kuid tegelikult pole meie jaoks oluline, mis tüüpi võrrand see on. Peame selle lahendama. Siinne skeem on lihtne. Koguge võrrandi vasakus servas kõik, millel on X-id, paremal kõik, millel pole X-i (arvud).

Selleks peate üle kandma - 4x vasakule poole, märgivahetusega muidugi ja - 3 - paremale. Muide, see on võrrandite esimene identne teisendus.üllatunud? See tähendab, et te ei järginud linki, kuid asjata...) Saame:

x + 4x = 2 + 3

Siin on sarnased, kaalume:

Mida me vajame täielikuks õnneks? Jah, et vasakul oleks puhas X! Viis on teel. Viiest vabanemine abiga võrrandite teine ​​identne teisendus. Nimelt jagame võrrandi mõlemad pooled 5-ga. Saame valmis vastuse:

Elementaarne näide muidugi. See on soojenduseks.) Pole väga selge, miks mulle meenusid siin identsed teisendused? OK. Võtame härjal sarvist.) Otsustame midagi soliidsemat.

Näiteks siin on võrrand:

Kust me alustame? X-ga - vasakule, ilma X-ga - paremale? See on võimalik. Väikesed sammud mööda pikka teed. Või saate seda teha kohe, universaalselt ja võimsalt. Kui teie arsenalis on muidugi identsed võrrandite teisendused.

Esitan teile võtmeküsimuse: Mis sulle selle võrrandi juures kõige rohkem ei meeldi?

95 inimest 100-st vastavad: fraktsioonid ! Vastus on õige. Nii et laseme neist lahti. Seetõttu alustame kohe sellest teine ​​identiteedi transformatsioon. Mida on vaja vasakpoolse murru korrutamiseks, et nimetaja täielikult väheneks? Täpselt nii, 3. Ja paremal? 4-ga. Kuid matemaatika võimaldab meil mõlemat poolt korrutada sama number. Kuidas me saame välja? Korrutame mõlemad pooled 12-ga! Need. ühisele nimetajale. Siis vähenevad nii kolm kui ka neli. Ärge unustage, et peate iga osa korrutama täielikult. Esimene samm näeb välja järgmine:

Sulgude laiendamine:

Pöörake tähelepanu! Lugeja (x+2) Panin sulgudesse! Seda seetõttu, et murdude korrutamisel korrutatakse kogu lugeja! Nüüd saate murde vähendada:

Laiendage ülejäänud sulud:

Mitte näide, vaid puhas rõõm!) Meenutagem nüüd üht loitsu põhikoolist: X-ga - vasakule, ilma X-ga - paremale! Ja rakendage seda teisendust:

Siin on mõned sarnased:

Ja jaga mõlemad osad 25-ga, st. rakendage teist teisendust uuesti:

See on kõik. Vastus: X=0,16

Pange tähele: algse segase võrrandi kena vormi viimiseks kasutasime kahte (ainult kahte!) identiteedi transformatsioonid– tõlkimine vasakule-paremale koos märgi muutmise ja võrrandi sama arvuga korrutamise-jagamisega. See on universaalne meetod! Töötame sel viisil koos ükskõik milline võrrandid! Absoluutselt ükskõik kes. Sellepärast kordan ma neid identseid teisendusi tüütult.)

Nagu näete, on lineaarvõrrandite lahendamise põhimõte lihtne. Võtame võrrandi ja lihtsustame seda identsete teisenduste abil, kuni saame vastuse. Peamised probleemid on siin arvutustes, mitte lahenduse põhimõttes.

Aga... Kõige elementaarsemate lineaarvõrrandite lahendamise protsessis on niisuguseid üllatusi, et need võivad sind tugevasse stuuporisse ajada...) Õnneks saab selliseid üllatusi olla vaid kaks. Nimetagem neid erijuhtumiteks.

Erijuhud lineaarvõrrandite lahendamisel.

Esimene üllatus.

Oletame, et kohtate väga lihtsat võrrandit, näiteks:

2x+3=5x+5 - 3x -2

Pisut igavledes liigutame selle X-ga vasakule, ilma X-ita - paremale... Märgivahetusega on kõik ideaalne... Saame:

2x-5x+3x=5-2-3

Loeme ja... oeh!!! Saame:

See võrdsus iseenesest ei ole taunitav. Null on tõesti null. Aga X on puudu! Ja me peame vastusesse kirjutama, millega x on võrdne? Muidu lahendus ei loe, eks...) Ummik?

Rahune! Sellistel kahtlastel juhtudel päästavad teid kõige üldisemad reeglid. Kuidas võrrandeid lahendada? Mida tähendab võrrandi lahendamine? See tähendab, leidke kõik x väärtused, mis algsesse võrrandisse asendatuna annavad meile õige võrdsuse.

Kuid meil on tõeline võrdsus juba see töötas! 0=0, kui palju täpsem?! Jääb üle välja mõelda, millistel x-del see juhtub. Milliste X väärtustega saab asendada originaal võrrand, kui need x-id kas need ikka nullitakse? Tule nüüd?)

Jah!!! X-d saab asendada ükskõik milline! Milliseid sa tahad? Vähemalt 5, vähemalt 0,05, vähemalt -220. Need kahanevad ikkagi. Kui te mind ei usu, saate seda kontrollida.) Asendage X mis tahes väärtused originaal võrrand ja arvutada. Kogu aeg saate puhta tõe: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 ja nii edasi.

Siin on teie vastus: x - suvaline arv.

Vastuse saab kirjutada erinevate matemaatiliste sümbolitega, olemus ei muutu. See on täiesti õige ja täielik vastus.

Teine üllatus.

Võtame sama elementaarlineaarvõrrandi ja muudame selles ainult ühte arvu. Selle otsustame:

2x+1=5x+5–3x–2

Pärast samu identseid teisendusi saame midagi intrigeerivat:

nagu see. Lahendasime lineaarvõrrandi ja saime kummalise võrrandi. Matemaatilises mõttes saime vale võrdsus. Lihtsamalt öeldes pole see tõsi. Rave. Kuid sellegipoolest on see jama väga hea põhjus võrrandi õigeks lahendamiseks.)

Jällegi mõtleme üldiste reeglite alusel. Mis x-id algsesse võrrandisse asendades meile annab tõsi võrdsus? Jah, mitte ühtegi! Selliseid X-e pole. Ükskõik, mida paned, kõik väheneb, jääb ainult jama.)

Siin on teie vastus: lahendusi pole.

See on ka täiesti täielik vastus. Matemaatikas leidub selliseid vastuseid sageli.

nagu see. Nüüd ma loodan, et X-ide kadumine mis tahes (mitte ainult lineaarse) võrrandi lahendamise protsessis ei aja teid üldse segadusse. See on juba tuttav asi.)

Nüüd, kui oleme käsitlenud kõiki lineaarvõrrandite lõkse, on mõttekas need lahendada.

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Kuidas õppida lahendama lihtsaid ja keerulisi võrrandeid

Kallid vanemad!

Ilma põhilise matemaatilise ettevalmistuseta on kaasaegse inimese haridus võimatu. Koolis on matemaatika paljude seotud erialade jaoks abiaine. Koolijärgses elus muutub täiendõpe tõeliseks vajaduseks, mis eeldab ülekoolilist põhikoolitust, sh matemaatikat.

Põhikoolis ei lajata mitte ainult teadmisi põhiteemadel, vaid arendatakse ka loogilist mõtlemist, kujutlusvõimet ja ruumikontseptsioone, samuti kujundatakse huvi selle aine vastu.

Järgides järjepidevuse põhimõtet, keskendume kõige olulisemale teemale, nimelt "Tegevuse komponentide seos liitvõrrandite lahendamisel".

Selle õppetükiga saate hõlpsalt õppida keerulisi võrrandeid lahendama. Tunni käigus õpid üksikasjalikult samm-sammult juhiseid keeruliste võrrandite lahendamiseks.

Paljud vanemad on hämmingus küsimusest, kuidas panna oma lapsed õppima lahendama lihtsaid ja keerulisi võrrandeid. Kui võrrandid on lihtsad, on see pool probleemist, kuid on ka keerulisi - näiteks integraalvõrrandid. Muide, teadmiseks on välja toodud ka võrrandid, mille lahendamisega näevad vaeva meie planeedi parimad mõistused ja mille lahendamise eest antakse väga märkimisväärseid rahalisi boonuseid. Näiteks kui mäletatePerelman ja mitme miljoni suurune väljanõudmata rahaline boonus.

Pöördugem siiski esmalt tagasi lihtsate matemaatiliste võrrandite juurde ning kordame võrrandite tüüpe ja komponentide nimetusi. Väike soojendus:

_________________________________________________________________________

SOOJENDUS

Leidke igast veerust lisanumber:

2) Mis sõna on igas veerus puudu?

3) Ühendage esimese veeru sõnad 2. veeru sõnadega.

"Võrrand" "Võrdsus"

4) Kuidas seletate, mis on "võrdsus"?

5) Kuidas on lood "võrrandiga"? Kas see on võrdsus? Mis on selles erilist?

summa tähtaeg

väike erinevus

lahutav toode

tegurvõrdsus

dividend

võrrand

Järeldus: võrrand on võrdsus muutujaga, mille väärtus tuleb leida.

_______________________________________________________________________

Kutsun iga rühma üles kirjutama viltpliiatsiga paberile võrrandid: (tahvlile)

1. rühm - tundmatu terminiga;

rühm 2 - teadmata kahanemisega;

3. rühm – tundmatu alamosaga;

rühm 4 – tundmatu jagajaga;

5. grupp – teadmata dividendiga;

6. rühm – tundmatu kordajaga.

1 rühm x + 8 = 15

Rühm 2 x – 8 = 7

3. rühm 48 – x = 36

4 rühm 540: x = 9

5 rühm x: 15 = 9

6 rühma x * 10 = 360

Üks rühmaliikmetest peab lugema oma võrrandit matemaatilises keeles ja kommenteerima oma lahendust, st rääkima tehe teadaolevate toimingute komponentidega (algoritm).

Järeldus: saame lahendada igat tüüpi lihtsaid võrrandeid, kasutades algoritmi, lugeda ja kirjutada sõnasõnalisi avaldisi.

Teen ettepaneku lahendada probleem, milles ilmneb uut tüüpi võrrand.

X + 2kg 5kg ja 3kg

Millise kogusega on pilt seotud?

Looge ja kirjutage selle pildi põhjal võrrand:

Valige saadud võrrandi jaoks sobiv võrrand:

x + a = b a: x = b

x: a = b x * a = b

x – a = in a – x ​​= in

Järeldus: Tutvusime võrrandite lahendiga, mille üks osa sisaldab arvavaldist, mille väärtus tuleb leida ja saada lihtne võrrand.

________________________________________________________________________

Vaatleme võrrandi teist varianti, mille lahendus taandatakse lihtsate võrrandite ahela lahendamiseks. Siin on üks sissejuhatus liitvõrranditesse.

a + b * c (x – y) : 3 2 * d + (m – n)

Kas võrrandid on kirjutatud?

Miks?

Kuidas selliseid toiminguid nimetatakse?

Lugege neid ja nimetage viimane tegevus:

Ei. Need ei ole võrrandid, kuna võrrandil peab olema märk “=”.

Väljendid

a + b * c - arvu a summa ning arvude b ja c korrutis;

(x – y): 3 - arvude x ja y erinevuse jagatis;

2 * d + (m – n) - kahekordse arvu d ning arvude m ja n vahe summa.

Soovitan kõigil kirjutada matemaatilises keeles lause:

Arvude x ja 4 ning arvu 3 vahe korrutis on 15.

Kirjutage lause matemaatilises keeles: arvude x ja 4 erinevuse ja arvu 3 korrutis võrdub 15

(x – 4) * 3 = 15

KOKKUVÕTE: Tekkinud probleemne olukord motiveerib seadma tunni eesmärki: õppida lahendama võrrandeid, milles tundmatu komponent on avaldis. Sellised võrrandid on liitvõrrandid.

__________________________________________________________________________

Või äkki aitavad meid juba uuritud võrrandite tüübid? (algoritmid)

Millise kuulsa võrrandiga on meie võrrand sarnane? X * a = b

VÄGA OLULINE KÜSIMUS : Mis on avaldis vasakul küljel – summa, vahe, korrutis või jagatis?

(x – 4) * 3 = 15 (toode)

Miks? (kuna viimane toiming on korrutamine)

Järeldus: Selliseid võrrandeid pole veel arvesse võetud. Kuid me saame selle lahendada, kui väljend x-4 pange kaart (y - igrek) ja saate võrrandi, mida saab hõlpsasti lahendada tundmatu komponendi leidmise lihtsa algoritmi abil.

Liitvõrrandite lahendamisel on vaja igal sammul valida tegevus automatiseeritud tasemel, kommenteerides ja nimetades tegevuse komponente.

Otsige üles viimane toiming

Valige tundmatu komponent

Rakenda reegel

Lihtsusta osa

Kas leidsite võrrandi juure?

↓ Jah

Tehke kontroll

(y–5) * 4 = 28 y – 5 = 28: 4
y – 5 = 7
y = 5 +7
y = 12
(12 - 5) * 4 = 28
28 = 28 (i)

Järeldus: Erineva taustaga klassides saab seda tööd erinevalt korraldada. Enam ettevalmistatud klassides võib isegi esmaseks konsolideerimiseks kasutada avaldisi, milles mitte kaks, vaid kolm või enam tegevust, kuid nende lahendamine nõuab suuremat arvu samme, kusjuures iga samm lihtsustab võrrandit kuni lihtsa võrrandi saamiseni. Ja iga kord saate jälgida, kuidas toimingute tundmatu komponent muutub.

_____________________________________________________________________________

KOKKUVÕTE:

Kui räägime millestki väga lihtsast ja arusaadavast, ütleme sageli: "Asi on selge nagu kaks ja kaks on neli!"

Kuid enne, kui nad aru said, et kaks ja kaks on neli, pidid inimesed õppima palju-palju tuhandeid aastaid.

Paljud aritmeetika ja geomeetria kooliõpikute reeglid olid vanadele kreeklastele teada rohkem kui kaks tuhat aastat tagasi.

Kõikjal, kus on vaja midagi lugeda, mõõta, võrrelda, ei saa te ilma matemaatikata hakkama.

Raske on ette kujutada, kuidas inimesed elaksid, kui nad ei teaks, kuidas lugeda, mõõta ja võrrelda. Matemaatika õpetab seda.

Täna sukeldusite kooliellu, mängisite õpilaste rolli ja kutsun teid, kallid vanemad, oma oskusi skaalal hindama:

Minu oskused

Kuupäev ja hinnang

Tegevuse komponendid.

Tundmatu komponendiga võrrandi koostamine.

Väljendite lugemine ja kirjutamine.

Leidke lihtsa võrrandi juur.

Leidke võrrandi juur, mille üks osa sisaldab arvavaldist.

Leidke võrrandi juur, mille tegevuse tundmatuks komponendiks on avaldis.

Võrrand ühe tundmatuga, mis pärast sulgude avamist ja sarnaste terminite toomist saab kuju

ax + b = 0, kus a ja b on suvalised arvud, kutsutakse lineaarvõrrand ühe tundmatuga. Täna selgitame välja, kuidas neid lineaarseid võrrandeid lahendada.

Näiteks kõik võrrandid:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - lineaarne.

Nimetatakse tundmatu väärtust, mis muudab võrrandi tõeliseks võrdsuseks otsus või võrrandi juur .

Näiteks kui võrrandis 3x + 7 = 13 asendame tundmatu x asemel arvu 2, saame õige võrrandi 3 2 +7 = 13. See tähendab, et väärtus x = 2 on lahend või juur võrrandist.

Ja väärtus x = 3 ei muuda võrrandit 3x + 7 = 13 tõeliseks võrduseks, kuna 3 2 +7 ≠ 13. See tähendab, et väärtus x = 3 ei ole võrrandi lahend ega juur.

Mis tahes lineaarvõrrandite lahendamine taandub vormi võrrandite lahendamiseks

ax + b = 0.

Liigume vaba liiget võrrandi vasakult poolelt paremale, muutes b ees oleva märgi vastupidiseks, saame

Kui a ≠ 0, siis x = ‒ b/a .

Näide 1. Lahendage võrrand 3x + 2 =11.

Liigume 2 võrrandi vasakult küljelt paremale, muutes 2 ees oleva märgi vastupidiseks, saame
3x = 11–2.

Teeme siis lahutamise
3x = 9.

x leidmiseks tuleb korrutis jagada teadaoleva teguriga, st
x = 9:3.

See tähendab, et väärtus x = 3 on võrrandi lahend või juur.

Vastus: x = 3.

Kui a = 0 ja b = 0, siis saame võrrandi 0x = 0. Sellel võrrandil on lõpmata palju lahendeid, kuna mis tahes arvu 0-ga korrutamisel saame 0, kuid b võrdub ka 0-ga. Selle võrrandi lahendiks on suvaline arv.

Näide 2. Lahendage võrrand 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

Laiendame sulgusid:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Siin on mõned sarnased terminid:
0x = 0.

Vastus: x - suvaline arv.

Kui a = 0 ja b ≠ 0, siis saame võrrandi 0x = - b. Sellel võrrandil pole lahendeid, sest kui me korrutame suvalise arvu 0-ga, saame 0, kuid b ≠ 0.

Näide 3. Lahendage võrrand x + 8 = x + 5.

Rühmitame vasakule poolele tundmatuid sisaldavad terminid ja paremal pool vabad terminid:
x – x = 5–8.

Siin on mõned sarnased terminid:
0х = ‒ 3.

Vastus: lahendusi pole.

Sees Joonis 1 näitab diagrammi lineaarvõrrandi lahendamiseks

Koostame ühe muutujaga võrrandite lahendamise üldise skeemi. Vaatleme näite 4 lahendust.

Näide 4. Oletame, et peame võrrandi lahendama

1) Korrutage kõik võrrandi liikmed nimetajate väikseima ühiskordsega, mis on võrdne 12-ga.

2) Pärast redutseerimist saame
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Tundmatuid ja vaba termineid sisaldavate terminite eraldamiseks avage sulud:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 = 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Rühmitame ühte ossa tundmatuid sisaldavad terminid ja teise - vabad terminid:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x = ‒ 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Esitame sarnased terminid:
- 22x = -154.

6) Jagage – 22, saame
x = 7.

Nagu näete, on võrrandi juur seitse.

Üldiselt selline võrrandeid saab lahendada järgmise skeemi abil:

a) viige võrrand täisarvuni;

b) avage sulgud;

c) rühmitage võrrandi ühes osas tundmatut sisaldavad ja teises vabad liikmed;

d) tuua sarnaseid liikmeid;

e) lahendage võrrand kujul aх = b, mis saadi pärast sarnaste liikmete toomist.

See skeem pole aga iga võrrandi jaoks vajalik. Paljude lihtsamate võrrandite lahendamisel tuleb alustada mitte esimesest, vaid teisest ( Näide. 2), kolmas ( Näide. 1, 3) ja isegi viiendast etapist, nagu näites 5.

Näide 5. Lahendage võrrand 2x = 1/4.

Leidke tundmatu x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

Vaatame mõne põhiriigieksamil leitud lineaarvõrrandi lahendamist.

Näide 6. Lahendage võrrand 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5-6x

2x + 6x = 5-6

Vastus: - 0,125

Näide 7. Lahendage võrrand – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Vastus: 2.3

Näide 8. Lahenda võrrand

3 (3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Näide 9. Leidke f(6), kui f (x + 2) = 3 7-d

Lahendus

Kuna me peame leidma f(6) ja me teame f (x + 2),
siis x + 2 = 6.

Lahendame lineaarvõrrandi x + 2 = 6,
saame x = 6 – 2, x = 4.

Kui x = 4, siis
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Vastus: 27.

Kui teil on veel küsimusi või soovite võrrandite lahendamisest põhjalikumalt aru saada, registreeruge minu tundidesse AJAKAVAS. Aitan teid hea meelega!

TutorOnline soovitab vaadata ka meie juhendaja Olga Aleksandrovna uut videotundi, mis aitab mõista nii lineaarvõrrandeid kui ka muid.

veebisaidil, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.

Üks raskemaid teemasid põhikoolis on võrrandite lahendamine.

Selle teeb keeruliseks kaks asjaolu:

Esiteks ei mõista lapsed võrrandi tähendust. Miks asendati number tähega ja mis see ikkagi on?

Teiseks on seletus, mida kooli õppekavas lastele pakutakse, enamasti isegi täiskasvanule arusaamatu:

Tundmatu termini leidmiseks peate summast lahutama teadaoleva liikme.
Tundmatu jagaja leidmiseks tuleb dividend jagada jagatisega.
Tundmatu minuendi leidmiseks peate lisama erinevuse alamosale.

Ja nii, kui laps koju tuleb, siis ta peaaegu nutab.

Vanemad tulevad appi. Ja pärast õpiku vaatamist otsustavad nad õpetada last "lihtsamalt" lahendama.

Sa pead lihtsalt viskama numbrid ühele küljele, muutes märgi vastupidiseks, tead?

Vaata, x-3 = 7

Kanname miinus kolm plussiga seitsmele, loendame ja saame x = 10

See on koht, kus programm lastele tavaliselt ebaõnnestub.

Allkiri? Muuda? edasi lükata? Mida?

- Ema, isa! Sa ei saa millestki aru! Meile seletati koolis teistmoodi!!!
- Siis otsusta nii, nagu nad selgitasid!

Vahepeal koolis jätkatakse teema treenimist.

1. Kõigepealt peate kindlaks määrama, millise toimingukomponendi peate leidma

5+x=17 – tuleb leida tundmatu termin.
x-3=7 - peate leidma tundmatu minuendi.
10 = 4 – peate leidma tundmatu alamjaotuse.

2. Nüüd peate meeles pidama ülalmainitud reeglit

Tundmatu termini leidmiseks on vaja...

Kas teie arvates on väikesel õpilasel raske seda kõike meeles pidada?

Ja siia tuleb lisada ka tõsiasi, et iga klassiga muutuvad võrrandid üha keerulisemaks.

Selle tulemusena selgub, et lastele mõeldud võrrandid on põhikoolis üks raskemaid matemaatikateemasid.

Ja isegi kui laps õpib juba neljandas klassis, kuid tal on võrrandite lahendamisega raskusi, on tal tõenäoliselt probleeme võrrandi olemuse mõistmisega. Ja me peame lihtsalt põhitõdede juurde tagasi pöörduma.

Seda saate teha kahe lihtsa sammuga:

Esimene samm – peame õpetama lapsi võrrandeid mõistma.

Vajame lihtsat kruusi.

Kirjutage näide 3 + 5 = 8

Ja kruusi allosas on “x”. Ja pöörake kruusi ümber, katke number "5"

Mis on kruusi all?

Oleme kindlad, et laps arvab kohe ära!

Nüüd katke number "5". Mis on kruusi all?

Nii saab kirjutada näiteid erinevate tegevuste ja mängu kohta. Laps mõistab, et x = pole lihtsalt arusaamatu märk, vaid "peidetud arv"

Lisateavet tehnika kohta leiate videost

Teine samm – õpetage, kuidas teha kindlaks, kas x võrrandis on tervik või osa? Suurim või väikseim?

Selleks kasutame “Apple” tehnikat.

Esitage oma lapsele küsimus, kus on selles võrrandis suurim?

Laps vastab "17".

Suurepärane! Sellest saab meie õun!

Suurim arv on alati terve õun. Teeme selle ringi.

Ja tervik koosneb alati osadest. Tõmbame osadele joone alla.

5 ja x on õuna osad.

Ja kuna x on osa. Kas see on suurem või väiksem? x suur või väike? Kuidas seda leida?

Oluline on märkida, et sel juhul laps mõtleb ja mõistab, miks selles näites x leidmiseks tuleb 17-st lahutada 5.

Kui laps mõistab, et võrrandite õige lahendamise võti on kindlaks teha, kas x on tervik või osa, on tal võrrandeid lihtne lahendada.

Sest reegli meeldejätmine, kui sa sellest aru saad, on palju lihtsam kui vastupidi: jäta see meelde ja õpi seda rakendama.

Need “kruusi” ja “õuna” tehnikad võimaldavad teil õpetada oma last mõistma, mida ta teeb ja miks.

Kui laps saab ainest aru, hakkab ta seda valdama.

Kui lapsel see õnnestub, meeldib see talle.

Kui sulle meeldib, tekib huvi, soov ja motivatsioon.

Motivatsiooni ilmnemisel õpib laps ise.

Õpetage oma last programmi mõistma ja siis võtab õppeprotsess teilt palju vähem aega ja vaeva.

Kas teile meeldis selle teema selgitus?

Just nii õpetamegi Nutikate Laste Koolis lapsevanemaid lihtsalt ja lihtsalt kooli õppekava lahti seletama.

Kas soovite õppida, kuidas selgitada oma lapsele materjale sama hõlpsasti kättesaadaval ja hõlpsalt kui selles artiklis?

Registreeru siis juba praegu tasuta nutikate laste kooli 40 tunnile, kasutades allolevat nuppu.