Piiratud mahu meetod aerodünaamikas. Piiratud mahu meetod

algoritmide modelleerimisprogramm

Lõpliku ruumala meetodi (FVM) lähtepunktiks on massi, impulsi, energia jne jäävuse seaduste integraalne formuleerimine. Tasakaalu seosed on kirjutatud väikese kontrollmahu jaoks; nende diskreetne analoog saadakse mõne kvadratuurvalemi abil arvutatud massi, impulsi jne voogude valitud ruumala kõigi tahkude summeerimisel. Kuna säilivusseaduste terviklik sõnastus ei sea kontrollmahu kujule piiranguid, sobib MCM vedeliku dünaamika võrrandite diskretiseerimiseks nii struktureeritud kui ka struktureerimata erineva rakukujuga võretel, mis põhimõtteliselt lahendab kompleksi probleemi täielikult. arvutusvaldkonna geomeetria.

Tuleb aga märkida, et struktureerimata võrgusilmade kasutamine on algoritmiliselt üsna keerukas, töömahukas rakendamine ja ressursimahukas arvutuste teostamine, eriti ruumiliste ülesannete lahendamisel. Selle põhjuseks on nii arvutusvõrgu lahtrite võimalike kujude mitmekesisus kui ka vajadus kasutada keerukamaid meetodeid algebralise võrrandisüsteemi lahendamiseks, millel puudub spetsiifiline struktuur. Viimaste aastate praktika näitab, et struktureerimata gridide kasutamisel põhinevate arvutusvahendite arendamine on võimalik vaid küllaltki suurtel ettevõtetel, kellel on vastavad inim- ja rahalised vahendid. Palju ökonoomsem on kasutada plokkstruktuuriga võrgustikke, mis hõlmab voolupiirkonna jagamist mitmeks suhteliselt lihtsa kujuga alampiirkonnaks (plokiks), millest igaühes konstrueeritakse oma arvutusvõrk. Üldjuhul selline liitvõrk ei ole struktureeritud, kuid iga ploki sees säilib tavaline sõlmede indeksnumeratsioon, mis võimaldab kasutada struktureeritud võrkude jaoks välja töötatud tõhusaid algoritme. Tegelikult tuleb ühe ploki ruudustikult mitme plokiga ruudustikule üleminekuks korraldada vaid plokkide ühendamine, s.t. andmevahetus külgnevate alapiirkondade vahel, et võtta arvesse nende vastastikust mõju. Pange tähele ka seda, et ülesande jagamine eraldiseisvateks suhteliselt sõltumatuteks plokkideks sobib loomulikult paralleelarvutuse kontseptsiooniga klastrisüsteemides koos üksikute plokkide töötlemisega erinevatel protsessoritel (arvutitel). Kõik see muudab plokkstruktuuriga võrgusilmade kasutamise koos MCM-iga suhteliselt lihtsaks, kuid äärmiselt tõhusaks vahendiks lahendatavate probleemide geomeetria laiendamiseks, mis on äärmiselt oluline väikestele ülikooligruppidele, kes arendavad oma programme vedeliku dünaamika valdkonnas.

Eelnimetatud MKO eelised olid aluseks asjaolule, et 1990. aastate alguses. Just selle plokkstruktuuriga võrkude kasutamisele keskendunud lähenemisviisi valisid autorid oma laia profiiliga tarkvarapaketi väljatöötamise aluseks vedeliku dünaamika ja konvektiivse soojusülekande probleemide jaoks.

Eelnevalt mainiti alamdomeeni meetodit, mis oli lähtepunktiks mitmetele numbrilistele meetoditele. Üks selline meetod on piiratud mahu meetod. See sama meetod on teise laialt levinud klassi – integraalmeetodite – esindaja. Alamdomeeni meetodi klassikalisest tähistusvormist võetakse arvutusdomeeni jagamine alamdomeenideks ja jäägi integreerimine üle alamdomeeni. Erinevus seisneb lähendava (testi) funktsiooni selge salvestuse puudumises. Kuid nagu varemgi, proovime iga alamdomeeni võrrandit "täpselt" lahendada. Seetõttu on algne võrrand integreeritud üle alamdomeeni. Integraalmeetodeid iseloomustab see, et esmalt võetakse diferentsiaalvõrrandi integraal ja saadakse võrrandi kirjutamise integraalvorm. Sellisel kujul olevat võrrandit rakendatakse seejärel üksikutele ruudustiku lahtritele. Sel juhul on lahtrid ja alampiirkonnad üks ja sama.

Tegelikult on võrrandite kirjutamise integraalvormil (füüsika seisukohalt) veelgi laiem rakendusala kui diferentsiaalvormil. Fakt on see, et funktsiooni katkestuste korral ei ole diferentsiaalvõrrandid rakendatavad ja nende integraalsed analoogid jätkavad tööd, töötavad ja töötavad…. Kahjuks, kui neid arvuliselt rakendada, läheb see eelis mõnikord kaotsi.

Reeglina on võrrandite integraalidel lihtne ja arusaadav füüsiline tähendus. Mõelge näiteks järjepidevuse võrrandile. Algne diferentsiaalvõrrand on kirjutatud

Integreerime selle üle ruumala V, mille pind on S, ja aja jooksul vahemikus t 0 kuni t 1. Tuletiste integreerimisel kasutame Stokesi valemit (selle erijuhtumeid nimetatakse Greeni ja Ostrogradsky-Gaussi valemiks). Selle tulemusena saame

Selles tähises tähendab erinevus kahe esimese integraali vahel massi muutust antud ruumalas vaadeldava ajavahemiku jooksul. Ja topeltintegraal näitab massi, mis voolab antud ruumalasse läbi seda piirava pinna sama aja jooksul. Loomulikult, kuna me räägime numbrilistest meetoditest, arvutatakse need integraalid ligikaudu. Ja siit algavad lähendamise küsimused, mis on sarnased lõplike erinevuste meetodi puhul käsitletavatega.

Vaatleme ühte lihtsaimat juhtumit - kahemõõtmelist ristkülikukujulist ühtlast võrku. Piiratud mahu meetodi puhul määratakse funktsioonide väärtused tavaliselt mitte võrgusõlmedes, vaid lahtrite keskpunktides. Vastavalt sellele ei indekseerita ka mitte igas suunas olevaid ruudustiku jooni, vaid lahtrite kihte (vt joonist).

j-1

j

j+1

k-1

k

k+1

A

B

C

D

Sel juhul kirjutatakse võrrandi integraalvorm järgmiselt

Nagu näha, saime antud juhul tavalise võrrandi, mille saime kirjutada ka lõplike erinevuste meetodil. See tähendab, et selle puhul saab rakendada samu stabiilsuse uurimise meetodeid. (Kiire küsimus: kas see skeem on stabiilne?)

Aga kui saime sama asja, siis kas tasus kogu seda aeda ehitada? Lihtsamal juhul me tõesti ei saa mingit kasu. Kuid keerulisemates olukordades ilmnevad eelised. Esiteks, nagu eespool märgitud, kirjeldavad sellised meetodid (isegi nii lihtsa teostuse korral) palju paremini katkestusi ja suure gradientidega alasid. Samal ajal on tagatud massi, impulsi ja energia jäävuse seaduste täitmine, kuna neid järgitakse igas rakus. Teiseks taluvad need meetodid võrgus mitmesuguseid kuritarvitamisi. Isegi kõverjoonelised, ebaühtlased ja ebakorrapärased ruudud ei viska neid meetodeid rajalt kõrvale. Need eelised on eriti sageli tuntavad piirtingimuste täpsustamisel.

j-1

j

j+1

k-1

k

k+1

A

B

C

D

E

Näiteks joonisel näidatud juhul on võrrandi integraalkujul kuju

see tähendab lihtsalt, et kui me võtsime integraali üle täislahtri ala, siis nüüd võtame selle üle "kärbitud" ala, kus võtsime integraali üle täisserva, nüüd võtame selle ülejäänud osa üle . Lisati integraal üle piiri. Kuid see on piirtingimustest kergesti leitav. Eelkõige juhul, kui läbi seina ei toideta massivoolu (ja ka pinnalt ei kanta massi ära ja/või jätame tähelepanuta seina laengu kaotavate ioonide massivoolu), siis on selline integraal lihtsalt võrdne nulliga. Sarnases energiavõrrandi vormis tuleb reeglina arvesse võtta voolu läbi seina. Aga ka piirtingimustest pole raske leida (kui need on õigesti seatud).

Selle tugevdamiseks kirjeldame, kuidas näeb välja lõpliku mahu meetodi rakendamine ühele impulsi jäävuse võrrandile. Võtame ühe laetud ioonide tasase statsionaarse korpuse. Jätame tähelepanuta viskoossuse ja elastsed kokkupõrked. Saame võrrandi

Ristkülikukujulise võrgu jaoks (vt ülaltoodud joonist) saame

Sellise võrrandi lihtsaima lähenduse saab kirjutada järgmiselt:

pärast vähendamisi saame valemi

Kasutamine lõpliku (kontrolli) mahu meetod Näitame kahemõõtmelise statsionaarse soojusvõrrandi näitel:

Riis. 13. Võrrandi (31) lahendamiseks kasutatav arvutusruudustik

lõpliku mahu meetod

Kasutades keskmise väärtuse teoreemi saame kirjutada

,

kus Δx, Δу on lahtri tahkude pikkused, x W on lahtri A vasaku ("lääne") piiri abstsiss, x E on parema ("ida" piiri abstsiss), y N on ordinaat ülemisest ("põhja") piirist, y S on alumise ("lõuna" piiri ordinaat), S * - raku keskmine soojuseralduskiirus. Tuletisinstrumentide indeks (*) punkti (32) vasakul küljel näitab, et neid tuleks käsitleda keskmiste väärtustena, mis on määratud nii, et need kajastaksid õigesti soojusvoogusid igal piiril. Seda asjaolu arvesse võttes saab raskusteta saada (32) diskreetse analoogi [Patankar].

Seega kirjeldab võrrand (32) soojusbilanssi (energia jäävuse seadust) lahtris A. Kui elementidevahelised soojusvood on õigesti kirjeldatud, toimib igale kontrollmahule rakendatud kujuga (32) võrranditest koosnev süsteem õigesti. kirjeldada soojusbilanssi kogu arvutusvaldkonnas.

Lõigu lõpus tuleb märkida, et teatud juhtudel võivad ülalkirjeldatud meetoditega saadud arvutusvalemid kokku langeda ja kõige olulisemad erinevused ilmnevad kõverjooneliste mitteortogonaalsete arvutusruuduste kasutamisel.

5. Diskreetsete ahelate omadused

5.1 Täpsus

Täpsus iseloomustab numbrilise skeemi vastuvõetavust selle praktiliseks kasutamiseks. Diskreetse vooluringi täpsuse hindamine tundub olevat väga keeruline ülesanne, kuna osutub peaaegu võimatuks eraldada ahela omadustest tulenevaid vigu vigadest, mis tekivad muude tegurite (nt. ümardamisvead, ebatäpsus piiri- ja algtingimuste täpsustamisel jne).

Diskreetse skeemi täpsusest rääkides mõeldakse enamasti tuletise lähendamise viga 27 . Täpsemalt, kui lähendusviga on võrreldav arvutusvõrgu sammu teise astmega, siis öeldakse, et diskreetskeemil on teist järku täpsus. Seda küsimust käsitleti täpsemalt § 3.

5.2 Järjepidevus

Diskreetset vooluringi nimetatakse kokku lepitud algse diferentsiaalvõrrandiga, kui arvutusvõrgu täpsustamisel kipub lähendusviga (vt § 3) olema null,

On teada arvutusskeeme, mille puhul tuleb järjepidevuse saavutamiseks täita lisatingimusi [Anderson ja K]. Kuna arvutusskeemide järjepidevuse kontrollimine on tarkvara arendajate (ja mitte kasutajate) ülesanne, siis siin seda teemat lähemalt ei käsitleta.

Selle meetodi eeliseks on see, et see põhineb looduskaitseseadustel. Seetõttu tagab kontrollmahu meetod erinevalt lõplike erinevuste meetodist konservatiivse numbrilise skeemi, mis võimaldab saada täpsuselt vastuvõetavaid lahendusi ka suhteliselt jämedatel ruudustel.

Meetodi põhiidee on üsna lihtne ja hõlpsasti füüsiliselt tõlgendatav. Reynoldsi keskmistatud Navier-Stokesi võrrandite diskretiseerimisel jagatakse arvutuspiirkond suureks hulgaks mittekattuvateks elementaarmahtudeks, nii et iga maht sisaldab ainult ühte arvutuslikku (sõlme)punkti. Elementaarmahtude kogumit nimetatakse arvutusvõrguks. Võre lahtrid võivad olla erineva kujuga. Kõige sagedamini kasutatakse heksaeedreid (heksaeedreid) ja tetraeedreid (tetraeedreid). Kontrollmahu meetod võimaldab kasutada suvalise arvu tahkudega rakke (püramiidid, prismad, komplekssed hulktahukad jne).

Võrrandisüsteemi (1)–(18) lahendus on esitatud soovitud parameetrite väärtuste kogumina nende ruumalade keskpunktides. Näiteks kui jagame ruumi ruumala 1000 üksikuks elementaarmahuks (lahtriks), siis saame lahenduse tulemusel 1000 temperatuuri, kiiruse, rõhu jne väärtust. Joonisel fig. Joonisel 2 on kujutatud arvutuspiirkonna fragment. Lahtrid on nummerdatud indeksitega i, j, k.

Riis. 2. Arvutusvaldkonna fragment

Diferentsiaalvõrrandid integreeritakse iga elementaarmahu kohta. Integraalid arvutatakse interpolatsioonivalemite abil, mille abil määratakse arvutatud punktide vahel soovitud muutujate väärtused. Selle tulemusena saadakse algsete võrrandite diskreetne analoog sõlmpunktides, mis peegeldab uuritavate muutujate jäävuse seadust igas lõplikus mahus.

Tuleb märkida, et enamikus kaasaegsetes arvutuslikes hüdrodünaamilistes pakettides, nagu "STAR-CD", "FLUENT", "CFX" ja paljudes teistes, on mudeli võrrandite diskretseerimiseks rakendatud helitugevuse kontrollmeetodit.

Arvutusruudud

Võrgusilma konstrueerimise protsess on numbrilise katse läbiviimise üks võtmemomente. Vaadeldava probleemi jaoks adekvaatse arvutusvõrgu valimine ja koostamine on üsna keeruline ja aeganõudev protseduur. Võrgu ratsionaalne valik võib ülesande numbrilist lahendamist oluliselt lihtsustada.

Riis. 3. Võrgurakkude konfiguratsioonid

Võreelemendid võivad olla erineva kuju (joonis 3) ja suurusega, mis sobivad konkreetse probleemi lahendamiseks kõige paremini. Lihtsaim ruudustiku tüüp on siis, kui lahtrid on identsed ja kuubikujulised.

Tahkete pindade lähedal muutub võrk reeglina tihedamaks, st rakud on pinna suhtes väiksema suurusega. Seda tehakse selleks, et parandada arvutuste täpsust nendes piirkondades, kus uuritavate parameetrite voolugradiendid muutuvad kiiremini, näiteks piirkihis.

Saate suurendada arvutuste täpsust ja vähendada ligikaudset viga kahel viisil:

· proovivõtu täpsuse järjekorra suurendamine;

· ruudustiku sammu vähendamine.

Mittestatsionaarsete probleemide lahendamisel on lahtrite suurused Δx ja aja integreerimise samm Δt seotud CFL tingimusega (Courant-Friedrichs-Levy): , u- kiirus.

Praegu inseneripraktikas kasutatavad universaalsed arvutiprogrammid võimaldavad töötada suvaliste struktureerimata võrkudega, kasutades väga viltuseid elemente. Sel juhul ei ületa diskreetsuse täpsuse järjekord reeglina sekundit. Kvaliteetse lahenduse saamiseks on vaja konstrueerida väikeste sammudega arvutusvõrgud.

STAR-CCM pakett on läinud üle mitmetahuliste rakkude kasutamisele (sarnaselt jalgpallipallile), mis lahtreid kombineerides välistab tugevalt kallutatud rakkude välimuse.

Struktureerimata võrgusilmade peamine eelis võrreldes tavaliste võredega on suurem paindlikkus keeruka kujuga füüsilise piirkonna diskretiseerimisel. Sel juhul peavad ruudustiku lahtrid olema võrreldavate mahtude või pindaladega ja ei tohi ristuda. Seda tüüpi võrgu puudused hõlmavad aga võrgu mõõtmete suurenemist. Nagu praktika näitab, on sama objekti puhul struktureerimata võrgus, kui see on õigesti üles ehitatud, ligikaudu kaks korda rohkem lahtreid kui struktureeritud võrgus, mis loomulikult põhjustab arvutusaja pikenemist tavaliste võrkude suhtes. Kuid paljudel juhtudel on struktureerimata võrgud ainsaks võimalikuks ehitusvõimaluseks objekti geomeetria keerukuse tõttu. Lisaks osutub võrgustiku algoritmi ratsionaalse valiku korral struktureerimata võrgu konstrueerimisele kuluv aeg oluliselt väiksemaks kui struktureeritud (plokkstruktuuriga) võrgu konstrueerimiseks kuluv aeg. Selle tulemusel võib ülesande lahendamisele kuluv koguaeg (sh võrgutamisaeg ja arvutusaeg) olla struktureerimata võrkude kasutamisel palju väiksem kui struktureeritud võrkude puhul.

Nõutava võrgusilma suuruse määramine on iseenesest väga raske ülesanne. Universaalne meetod, mida tuleks ruudustiku mõõtme valimisel järgida, taandub asjaolule, et saadud lahendus ei tohiks lahtrite arvu suurenemisel muutuda (võrgu konvergents).

Tüüpiliste probleemide korral ei ole ruudustiku konvergentsiuuringu läbiviimine vajalik, kuna võite tugineda varem saadud tulemustele. Uut tüüpi probleemi uurimisele üle minnes tuleb kindlasti läbi viia võrgu konvergentsi uuring ja määrata arvutusvõrgule esitatavad nõuded.

Pange tähele, et ventilatsiooni ja kliimaseadmete tegelike probleemide lahendamisel on lahtrite iseloomulik arv reeglina 500 tuhandest 3–4 miljonini, olenevalt objekti geomeetrilisest keerukusest, vajalike parameetrite komplektist ja seadmete spetsiifikast. probleem. Sel juhul võib näiteks 24 tuumast koosneva klastri arvutusaeg ulatuda nädalani ja mittestatsionaarsete probleemide lahendamisel kuni mitme nädalani.

STAR-CCM+ pakett sisaldab moodulit arvutusvõrkude loomiseks. Võrgusilmade genereerimiseks on ka eraldi paketid, näiteks laialdaselt kasutatav on ANSYS, ICEM CFD (ICEM). Välistesse pakettidesse ehitatud võrke saab importida paketti STAR-CCM+.