Leidke Internetist piirmäära järgi. Piirid

Piiride leidmise ülesannete lahendamisel tuleks meeles pidada mõningaid piire, et mitte neid iga kord ümber arvutada. Kombineerides need teadaolevad piirmäärad, leiame uued piirmäärad, kasutades §-s 4 märgitud omadusi. Mugavuse huvides esitame kõige sagedamini esinevad piirid: Piirid 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X-> o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a), kui f (x) on pidev x a Kui on teada, et funktsioon on pidev, siis piirmäära leidmise asemel arvutame funktsiooni väärtuse. Näide 1. Leia lim (x*-6l:+ 8). Kuna neid on palju - X->2

liigefunktsioon on pidev, siis lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 Näide 2. Leia lim -r. . Esiteks leiame nimetaja piiri: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; see ei võrdu X-Y1 nulliga, mis tähendab, et saame rakendada omadust 4 § 4, siis x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. nimetaja X X on võrdne nulliga, seetõttu ei saa § 4 omadust 4 rakendada. Kuna lugeja on konstantne arv ja nimetaja x - - 1 korral on [x2x) -> -0, siis kogu murdosa suureneb määramatult. absoluutväärtuses, st lim " 1 X - * - - 1 x* + x Näide 4. Leia lim\-ll*"!"" "Nimetja piirväärtus on null: lim (xr-6lg+ 8) = 2* -6-2 + 8 = 0, seega X omadus 4 § 4 ei kehti. Kuid lugeja piirmäär on samuti võrdne nulliga: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Seega on lugeja ja nimetaja piirväärtused samaaegselt nulliga võrdsed. Arv 2 on aga nii lugeja kui ka nimetaja juur, seega saab murdosa vähendada erinevuse x-2 võrra (Bezouti teoreemi järgi). Tegelikult x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" seega xr- - f- 6 g x-3 -1 1 Näide 5. Leidke lim xn (n täisarv, positiivne). X koos Meil on xn = X* X . . X, n korda Kuna iga tegur kasvab piiramatult, kasvab ka korrutis piiranguteta, st lim xn=oo. x oo Näide 6. Leia lim xn(n täisarv, positiivne). X -> - CO Meil on xn = x x... x. Kuna iga tegur kasvab absoluutväärtuses, jäädes negatiivseks, siis paarisastme korral kasvab korrutis positiivseks jäädes piiramatult, st lim *n = + oo (paaris n puhul). *-* -о Paaritu astme korral korrutise absoluutväärtus suureneb, kuid see jääb negatiivseks, st lim xn = - oo (n paaritu korral). p -- 00 Näide 7. Leia lim . x x-*- co * Kui m>pu siis saame kirjutada: m = n + kt kus k>0. Seetõttu xm b lim -=- = lim -=-= lim x. UP Yn x -x> A x yu Jõudsime näiteni 6. Kui ti uTL xm I lim lim t X - O x-* yu L X ->co Siin jääb lugeja konstantseks ja nimetaja absoluutväärtuses suureneb, seetõttu lim -ь = 0. Х-*оо X* Soovitatav on selle näite tulemus meelde jätta järgmisel kujul: Positiivne funktsioon kasvab kiiremini, mida suurem on eksponent. $хв_Зхг + 7

Näited

Näide 8. Leidke lim g L -g-= Selles näites x-*® "J* "G bX -ox-o ja lugeja ja nimetaja kasvavad piiranguteta. Jagame nii lugeja kui ka nimetaja suurima astmega x-st, s.t xb-l, siis 3 7_ Näide 9. Leidke liir Teisendusi sooritades saame liiri ^ = lim X CO + 3 7 3 Kuna lim -5 = 0, lim -, = 0, siis nimetaja piir. rad-*® X X-+-CD X on null, samas kui lugeja piir on 1. Järelikult suureneb kogu murd, st t 7x hm X-+ ω Näide 10. Leia lim Arvutame piirväärtuse S nimetaja, pidades meeles, et cos*-funktsioon on pidev: liir (2 + cos x) = 2 + cozy =2 Siis x->- S lim (l-fsin*) Näide 15. Leia lim *.<*-e>2 ja lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO press (l: - a)2 = z; kuna (Λ;-a)2 kasvab alati mittenegatiivselt ja piiranguteta x-ga, siis x - ±oo korral uus muutuja z-*oc. Seetõttu saame qt £<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (vt märkust §5 juurde). g -*■ co Samamoodi lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, kuna x ± oo g m - (x- a)z väheneb piiramatult kui x ->±oo (vt märkust §-le

Limiitide arvutamisel tuleks arvestada järgmisi põhireegleid:

1. Funktsioonide summa (erinevuse) piir on võrdne terminite piiride summaga (erinevus):

2. Funktsioonide korrutise piirväärtus võrdub tegurite piiride korrutisega:

3. Kahe funktsiooni suhte piir on võrdne nende funktsioonide piiride suhtega:

4. Konstantse teguri võib võtta piirmärgist kaugemale:

5. Konstandi piir on võrdne konstandi endaga:

6. Pidevate funktsioonide puhul saab piiri- ja funktsioonisümboleid vahetada:

Funktsiooni piiri leidmine peaks algama väärtuse asendamisega funktsiooni avaldisega. Veelgi enam, kui saadakse arvväärtus 0 või ¥, siis on soovitud piir leitud.

Näide 2.1. Arvutage piirmäär.

Lahendus.

Nimetatakse avaldisi kujul , , , , ebakindlust.

Kui saate vormi määramatuse, siis piirangu leidmiseks peate funktsiooni teisendama nii, et see määramatus ilmneks.

Vormimääramatus saadakse tavaliselt siis, kui on antud kahe polünoomi suhte piir. Sel juhul on limiidi arvutamiseks soovitatav polünoomid faktoristada ja neid ühise teguri võrra vähendada. See kordaja on piirväärtusel null X .

Näide 2.2. Arvutage piirmäär.

Lahendus.

Asendades saame ebakindluse:

Korraldame lugeja ja nimetaja:

;

Vähendame ühise teguri võrra ja saame

Vormi määramatus saadakse siis, kui kahe polünoomi suhte piir on antud . Sel juhul on selle arvutamiseks soovitatav mõlemad polünoomid jagada X vanemas astmes.

Näide 2.3. Arvutage piirmäär.

Lahendus. Asendades ∞, saame vormi määramatuse, seega jagame kõik avaldise liikmed x 3.

Siin on arvestatud sellega, et.

Juure sisaldava funktsiooni piiride arvutamisel on soovitatav funktsioon korrutada ja jagada selle konjugaadiga.

Näide 2.4. Arvutage limiit

Lahendus.

Piirmäärade arvutamisel vormi või (1) ∞ määramatuse paljastamiseks kasutatakse sageli esimest ja teist märkimisväärset piiri:

Paljud probleemid, mis on seotud mõne koguse pideva kasvuga, viivad teise tähelepanuväärse piirini.

Vaatleme Ya I. Perelmani näidet, andes arvu tõlgenduse e liitintressi probleemis. Hoiukassades lisatakse põhikapitalile intressiraha igal aastal. Kui liituda sagedamini, siis kapital kasvab kiiremini, kuna intresside kujunemisse kaasatakse suurem summa. Võtame puhtalt teoreetilise, väga lihtsustatud näite.

Panka hoiule 100 denjerit. ühikut põhineb 100% aastas. Kui intressiraha lisandub põhikapitalile alles aasta pärast, siis selleks perioodiks 100 den. ühikut muutub 200 rahaühikuks.

Nüüd vaatame, milleks 100 denize muutub. ühikut, kui iga kuue kuu tagant lisatakse põhikapitalile intressiraha. Kuue kuu pärast 100 den. ühikut kasvab 100 × 1,5 = 150 ja veel kuue kuu pärast - 150 × 1,5 = 225 (den. ühikut). Kui liitumine toimub iga 1/3 aasta tagant, siis aasta pärast 100 den. ühikut muutub 100 × (1 +1/3) 3 "237 (den. ühikut).

Tõstame intressiraha lisamise tähtaegu 0,1 aastani, 0,01 aastani, 0,001 aastani jne. Siis 100 denist välja. ühikut aasta pärast on see:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. ühikut),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. ühikut),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. ühikut).

Intresside lisamise tingimuste piiramatu vähendamisega ei kasva kogunenud kapital lõputult, vaid läheneb teatud piirile, mis on ligikaudu 271. Aastas 100% hoiustatud kapital ei saa suureneda rohkem kui 2,71 korda, isegi kui kogunenud intress lisati pealinna iga sekundi tagant, sest

Näide 2.5. Arvutage funktsiooni piir

Lahendus.

Näide 2.6. Arvutage funktsiooni piir .

Lahendus. Asendades saame määramatuse:

Kasutades trigonomeetrilist valemit, teisendame lugeja tooteks:

Selle tulemusena saame

Siin võetakse arvesse teist märkimisväärset piiri.

Näide 2.7. Arvutage funktsiooni piir

Lahendus.

Vormi või vormi määramatuse paljastamiseks võite kasutada L'Hopitali reeglit, mis põhineb järgmisel teoreemil.

Teoreem. Kahe lõpmata väikese või lõpmata suure funktsiooni suhte piir on võrdne nende tuletiste suhte piiriga

Pange tähele, et seda reeglit saab rakendada mitu korda järjest.

Näide 2.8. Otsi

Lahendus. Asendamisel tekib meil vormi määramatus . L'Hopitali reeglit rakendades saame

Funktsiooni järjepidevus

Funktsiooni oluline omadus on pidevus.

Definitsioon. Funktsiooni peetakse silmas pidev, kui argumendi väärtuse väike muutus toob kaasa väikese muutuse funktsiooni väärtuses.

Matemaatiliselt on see kirjutatud järgmiselt: millal

Sõna ja all mõeldakse muutujate juurdekasvu, st erinevust järgnevate ja eelnevate väärtuste vahel: , (joonis 2.3)

Joonis 2.3 – Muutujate juurdekasv

Punktis pideva funktsiooni definitsioonist järeldub, et . See võrdsus tähendab, et täidetud on kolm tingimust:

Lahendus. Funktsiooni jaoks punkt on katkestuses kahtlane, kontrollime seda ja leiame ühepoolsed piirid

Seega , Tähendab - murdepunkt

Funktsiooni tuletis

Funktsiooni piirang- number a on mõne muutuva suuruse piir, kui selle muutumise käigus see muutuv suurus lõputult läheneb a.

Või teisisõnu number A on funktsiooni piir y = f(x) punktis x 0, kui mis tahes punktide jada puhul funktsiooni määratluspiirkonnast , ei ole võrdne x 0, ja mis läheneb punktile x 0 (lim x n = x0), koondub vastavate funktsiooniväärtuste jada numbrile A.

Funktsiooni graafik, mille piirväärtus on võrdne lõpmatuseni kalduva argumendiga L:

Tähendus A on funktsiooni piirväärtus (piirväärtus). f(x) punktis x 0 mis tahes punktijada puhul , mis läheneb x 0, kuid mis ei sisalda x 0ühe selle elemendina (st torgatud läheduses x 0), funktsiooni väärtuste jada koondub A.

Funktsiooni piirang Cauchy järgi.

Tähendus A saab funktsiooni piir f(x) punktis x 0 kui ette võetud mittenegatiivse arvu puhul ε leitakse vastav mittenegatiivne arv δ = δ(ε) nii et iga argumendi puhul x, mis vastab tingimusele 0 < | x - x0 | < δ , siis ebavõrdsus rahuldatakse | f(x)A |< ε .

See on väga lihtne, kui mõistate limiidi olemust ja selle leidmise põhireegleid. Mis on funktsiooni piir f (x) juures x poole püüdlemas a võrdub A, on kirjutatud nii:

Lisaks väärtus, milleni muutuja kaldub x, võib olla mitte ainult arv, vaid ka lõpmatus (∞), mõnikord +∞ või -∞ või piirang ei pruugi olla üldse olemas.

Et mõista, kuidas leida funktsiooni piirid, on kõige parem vaadata lahenduste näiteid.

On vaja leida funktsiooni piirid f (x) = 1/x aadressil:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Leiame lahenduse esimesele piirile. Selleks saate lihtsalt asendada x number, millele see kipub, st. 2, saame:

Leiame funktsiooni teise piiri. Siin asendage selle asemel puhas 0 x see on võimatu, sest Te ei saa 0-ga jagada. Kuid me võime võtta nullilähedased väärtused, näiteks 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 ja nii edasi ning funktsiooni väärtus f (x) suureneb: 100; 1000; 10000; 100 000 ja nii edasi. Seega võib aru saada, et millal x→ 0 piirmärgi all oleva funktsiooni väärtus suureneb piiranguta, s.t. püüdlema lõpmatuse poole. Mis tähendab:

Seoses kolmanda piiriga. Sama olukord nagu eelmisel juhul, seda ei saa asendada ∞ kõige puhtamal kujul. Peame arvestama piiramatu suurendamise juhtumiga x. Asendame 1000 ükshaaval; 10000; 100000 ja nii edasi, meil on see funktsiooni väärtus f (x) = 1/x väheneb: 0,001; 0,0001; 0,00001; ja nii edasi, kaldudes nulli. Sellepärast:

On vaja arvutada funktsiooni piir

Alustades teise näite lahendamist, näeme ebakindlust. Siit leiame lugeja ja nimetaja kõrgeima astme - see on x 3, võtame selle lugejas ja nimetajas sulgudest välja ning seejärel vähendame seda järgmiselt:

Vastus

Esimene samm sisse selle piiri leidmine, asendage selle asemel väärtus 1 x, mille tulemuseks on ebakindlus. Selle lahendamiseks faktoriseerime lugeja ja teeme seda ruutvõrrandi juurte leidmise meetodil x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Seega on lugeja järgmine:

Vastus

See on selle konkreetse väärtuse või teatud ala, kuhu funktsioon langeb, määratlus, mis on piiriga piiratud.

Piirangute lahendamiseks järgige reegleid:

Olles aru saanud olemusest ja peamisest limiidi lahendamise reeglid, saate põhiteadmised nende lahendamisest.

Lahendus

2. Arvutage numbrijada piir:

3. Arvutage numbrijada piir:

4. Arvutage arvujada piir:

5. Arvutage numbrijada piir:

6. Arvutage arvujada piir:

7. Arvutage numbrijada piir:

8. Arvutage numbrijada piir:

9. Arvutage arvujada piir:

10. Arvutage arvujada piir:

11. Arvutage arvujada piir:

1) Vali lugejast ja nimetajast kõige suurema panuse andev tegur ja vähenda selle võrra

2) Seda tüüpi näite puhul peate teguri nimetaja juure alt suurimal määral eemaldama

3) Vaja on laiendada suurimale ühisele faktoriaalile

4) Selles näites kasvab see palju kiiremini, seega toome selle välja suurima tegurina

5) kogused ja kipuvad nulli kell . Selle põhjal arvutame limiidi

Enamiku nende näidete lahendus on leida domineeriv tegur. Kui see on lugejas, läheb piir lõpmatuseni, nimetajas - nullini. Ja ainult siis, kui nii siin kui seal saate murdosa selle teguri võrra vähendada ja saada piiri konstandi kujul.

Harjutus:

1. Analüüsige vaadeldavate näidete lahendusi

2. Arvutage järgmised piirangud:

2. jagu. Matemaatilise analüüsi algus

(Iseseisev töö 48 tundi.)

2.1. Implitsiitse funktsiooni tuletis (4 tundi).

Näide 1. Leidke kaudse funktsiooni tuletis

Lahendus. Kuna y on funktsioon X, siis kaalume y 2 kompleksse funktsioonina X. Seega,. Eristades X selle võrrandi mõlemad pooled, saame, st.

Näide 2. Leidke kaudse funktsiooni tuletis

Lahendus. Eristades X

Näide 3. Leidke kaudse funktsiooni tuletis

Lahendus. Eristades X selle võrrandi mõlemad pooled, saame

1. Leidke tuletis f ’(x).

2. Leia selle funktsiooni statsionaarsed punktid, s.t. punktid, kus

3. Leidke teine tuletis f ’’(x).

4. Uurige teise tuletise märki igas statsionaarses punktis. Kui teine tuletis osutub negatiivseks, on funktsioonil sellises punktis maksimum ja kui see on positiivne, siis on sellel miinimum. Kui teine tuletis on võrdne nulliga, siis tuleb funktsiooni ekstreemumit otsida kasutades esimest tuletist.

5. Arvutage funktsiooni väärtused äärmuslikes punktides.

Näide. Uurige ekstreemumi funktsiooni teise tuletise abil: f(x) = x 2 – 2x – 3.
Lahendus: leidke tuletis: f ‘(x) = 2x - 2.
Lahendades võrrandi f ’(x) = 0, saame statsionaarse punkti x =1. Leiame nüüd teise tuletise: f ’’(x) = 2.
Kuna teine tuletis at) = x 2 – 2x - 3. statsionaarses punktis on positiivne, f''(1) = 2 > 0, siis x = 1 korral on funktsioonil miinimum: f min = f(1) = -4.
Vastus: Miinimumpunktil on koordinaadid (1; -4).

Ülesanded.

1. Vaadake läbi ja analüüsige nende teemade näidete kaalutud lahendusi.

2. Uurige ekstreemumi olemasolu funktsiooni teise tuletise abil:

a) f(x) = 1 – x 4;

b) f(x) = x 3-1;

2.3. Tuletise rakendamine füüsiliste ülesannete lahendamisel (11 tundi).

2.4. Ristarvude koostamine teemal “Kindel integraal”

2.5 Keha mahu ja kõvera kaare pikkuse arvutamine (12 tundi)

Eelnevast artiklist saad teada, mis on limiit ja millega seda süüakse – see on VÄGA oluline. Miks? Te ei pruugi aru saada, mis on determinandid ja neid edukalt lahendada, ei pruugi te üldse aru saada, mis on tuletis ja leiate need tähega A. Kuid kui te ei saa aru, mis on piir, on praktiliste ülesannete lahendamine keeruline. Samuti oleks hea mõte tutvuda näidislahenduste ja minu disainisoovitustega. Kogu teave on esitatud lihtsal ja kättesaadaval kujul.

Ja selle õppetunni jaoks vajame järgmisi õppematerjale: Imelised piirid Ja Trigonomeetrilised valemid. Need on leitavad lehelt. Parim on juhendid välja printida - see on palju mugavam ja pealegi peate sageli neid võrguühenduseta kasutama.

Mis on tähelepanuväärsetes piirides nii erilist? Nende piiride juures on tähelepanuväärne see, et neid tõestasid kuulsate matemaatikute suurimad mõistused ja tänulikud järeltulijad ei pea kannatama kohutavate piiride käes, kus on kuhjaga trigonomeetrilisi funktsioone, logaritme, võimsusi. See tähendab, et piiride leidmisel kasutame valmistulemusi, mis on teoreetiliselt tõestatud.

On mitmeid imelisi piiranguid, kuid praktikas on osakoormusega üliõpilastel 95% juhtudest kaks imelist piiri: Esimene imeline piir, Teine imeline piir. Tuleb märkida, et need on ajalooliselt väljakujunenud nimed ja kui nad räägivad näiteks “esimesest tähelepanuväärsest piirist”, siis mõeldakse selle all väga konkreetset asja, mitte mingit juhuslikku laest võetud piiri.

Esimene imeline piir

Võtke arvesse järgmist piirangut: (emakeelse tähe “tema” asemel kasutan kreeka tähte “alfa”, see on materjali esitamise seisukohalt mugavam).

Vastavalt meie piiride leidmise reeglile (vt artiklit Piirid. Näited lahendustest) proovime funktsioonis asendada nulli: lugejas saame nulli (nulli siinus on null) ja nimetajas on ilmselgelt ka null. Seega seisame silmitsi vormi määramatusega, mida õnneks avalikustada ei pea. Matemaatilise analüüsi käigus tõestatakse, et:

Seda matemaatilist fakti nimetatakse Esimene imeline piir. Ma ei anna piiri analüütilist tõestust, kuid me vaatame selle geomeetrilist tähendust õppetunnis lõpmata väikesed funktsioonid.

Sageli saab praktilistes ülesannetes funktsioone erinevalt korraldada, see ei muuda midagi:

- sama esimene imeline piir.

Kuid te ei saa ise lugejat ja nimetajat ümber paigutada! Kui limiit on antud kujul , siis tuleb see lahendada samal kujul, ilma midagi ümber paigutamata.

Praktikas võib parameetrina toimida mitte ainult muutuja, vaid ka elementaarfunktsioon või kompleksfunktsioon. Oluline on vaid see, et see kipub nulli.

Näited:
, , ,

Siin , , , , ja kõik on hästi – esimene imeline piir on kohaldatav.

Kuid järgmine sissekanne on ketserlus:

Miks? Kuna polünoom ei kipu nulli, kipub see olema viis.

Muide, kiire küsimus: mis on piir? ? Vastuse leiate õppetunni lõpust.

Praktikas ei ole kõik nii sujuv, et õpilasele ei pakuta tasuta limiiti lahendada ja hõlpsalt pääseda. Hmm... kirjutan neid ridu ja pähe tuli väga oluline mõte - parem on ju “tasuta” matemaatilised definitsioonid ja valemid pähe jätta, see võib testis anda hindamatut abi, kui küsimus tuleb. Otsustatakse „kahe” ja „kolme” vahel ja õpetaja otsustab esitada õpilasele mõne lihtsa küsimuse või pakkuda lahendust lihtsa näite lahendamiseks (“äkki ta teab, mida?!”).

Vaatleme praktilisi näiteid:

Näide 1

Leia piir

Kui märkame limiidis siinust, peaks see meid viivitamatult panema mõtlema esimese tähelepanuväärse piiri rakendamise võimalusele.

Esiteks proovime piirimärgi all olevas avaldises asendada 0 (teeme seda mõtteliselt või mustandis):

Seega on meil vormi määramatus kindlasti märkige otsuse tegemisel. Piirmärgi all olev avaldis sarnaneb esimese imelise piiriga, kuid see pole päris see, see on siinuse all, aga nimetajas.

Sellistel juhtudel peame esimese tähelepanuväärse piiri ise organiseerima, kasutades kunstlikku tehnikat. Arutluskäik võiks olla järgmine: "siinuse all on meil , mis tähendab, et peame saama ka nimetaja sisse."
Ja seda tehakse väga lihtsalt:

See tähendab, et nimetaja korrutatakse sel juhul kunstlikult 7-ga ja jagatakse sama seitsmega. Nüüd on meie salvestis võtnud tuttava kuju.
Kui ülesanne on käsitsi koostatud, on soovitatav märkida esimene tähelepanuväärne piir lihtsa pliiatsiga:

Mis juhtus? Tegelikult muutus meie ringikujuline väljend ühikuks ja kadus töösse:

Nüüd jääb üle vaid kolmekorruselisest murdosast lahti saada:

Kes on unustanud mitmetasandiliste murdude lihtsustamise, värskendage teatmeteose materjali Kuumad valemid kooli matemaatikakursuse jaoks .

Valmis. Lõplik vastus:

Kui te ei soovi pliiatsimärke kasutada, saate lahenduse kirjutada järgmiselt:

“

Kasutame esimest imelist piiri

“

Näide 2

Leia piir

Jälle näeme limiidis murdosa ja siinust. Proovime asendada lugeja ja nimetaja nulliga:

Tõepoolest, meil on ebakindlus ja seetõttu peame püüdma korraldada esimese imelise piiri. Õppetunnis Piirid. Näited lahendustest pidasime reeglit, et kui meil on ebakindlus, peame lugeja ja nimetaja faktoriseerima. Siin on see sama asi, me esitame kraadid tootena (kordajad):

Sarnaselt eelmisele näitele joonistame pliiatsiga ümber tähelepanuväärsed piirid (siin on neid kaks) ja näitame, et need kipuvad ühtima:

Tegelikult on vastus valmis:

Järgmistes näidetes ei hakka ma Paintis kunsti tegema, mõtlen, kuidas vihikusse lahendust õigesti koostada - saate juba aru.

Näide 3

Leia piir

Piirmärgi all olevas avaldises asendame nulliga:

Saadud on ebakindlus, mis tuleb avalikustada. Kui piirväärtuses on puutuja, teisendatakse see peaaegu alati siinus- ja koosinusteks, kasutades tuntud trigonomeetrilist valemit (muide, nad teevad umbes sama asja kotangensiga, vt metoodilist materjali Kuumad trigonomeetrilised valemid Lehel Matemaatilised valemid, tabelid ja võrdlusmaterjalid).

Sel juhul:

Nulli koosinus võrdub ühega ja sellest on lihtne lahti saada (ärge unustage märkida, et see kipub ühele):

Seega, kui limiidis on koosinus KORRISTAJA, siis jämedalt öeldes tuleb see muuta ühikuks, mis korrutises kaob.

Siin osutus kõik lihtsamaks, ilma korrutamise ja jagamiseta. Esimene tähelepanuväärne piir muutub samuti üheks ja kaob tootes:

Selle tulemusena saadakse lõpmatus ja see juhtub.

Näide 4

Leia piir

Proovime asendada lugeja ja nimetaja nulliga:

Määramatus saadakse (null koosinus, nagu me mäletame, on võrdne ühega)

Kasutame trigonomeetrilist valemit. Võtta teadmiseks! Millegipärast on selle valemi kasutamise piirangud väga levinud.

Viime konstantsed tegurid piiranguikoonist kaugemale:

Korraldame esimese imelise limiidi:

Siin on meil ainult üks tähelepanuväärne piir, mis muutub üheks ja kaob tootest:

Vabaneme kolmekorruselisest struktuurist:

Limiit on tegelikult lahendatud, näitame, et ülejäänud siinus kipub nulli:

Näide 5

Leia piir

See näide on keerulisem, proovige see ise välja mõelda:

Mõningaid piiranguid saab muutujat muutes vähendada 1. tähelepanuväärse piirini, selle kohta saate lugeda artiklist veidi hiljem Limiitide lahendamise meetodid.

Teine imeline piir

Matemaatilise analüüsi teoorias on tõestatud, et:

Seda fakti nimetatakse teine imeline piir.

Viide: on irratsionaalne arv.

Parameeter võib olla mitte ainult muutuja, vaid ka kompleksfunktsioon. Tähtis on vaid see, et see püüdleks lõpmatuse poole.

Näide 6

Leia piir

Kui piirmärgi all olev avaldis on kraadis, on see esimene märk sellest, et peate proovima rakendada teist imelist piiri.

Kuid kõigepealt proovime, nagu alati, asendada avaldisega lõpmatult suure arvu, mille põhimõtet käsitletakse õppetunnis Piirid. Näited lahendustest.

Lihtne on märgata, et millal astme alus on , ja astendaja on , see tähendab, et vormi osas on ebakindlus:

See määramatus ilmneb täpselt teise tähelepanuväärse piiri abil. Kuid nagu sageli juhtub, ei peitu teine imeline piir hõbekandikul ja see tuleb kunstlikult korraldada. Arutleda saab järgmiselt: selles näites on parameeter , mis tähendab, et peame ka indikaatoris korrastama. Selleks tõstame aluse võimsusele ja et väljend ei muutuks, tõstame selle võimsusele:

Kui ülesanne on käsitsi täidetud, märgime pliiatsiga:

Peaaegu kõik on valmis, kohutavast kraadist on saanud kena kiri:

Sel juhul liigutame piiranguikooni ise indikaatorile:

Näide 7

Leia piir

Tähelepanu! Seda tüüpi limiit esineb väga sageli, palun uurige seda näidet väga hoolikalt.

Proovime asendada piirmärgi all olevas avaldises lõpmatult suure arvu:

Tulemuseks on ebakindlus. Kuid teine tähelepanuväärne piir kehtib vormi määramatuse kohta. Mida teha? Peame kraadi aluse teisendama. Me arutleme nii: nimetajas on meil , mis tähendab, et lugejas peame ka korraldama .