Pöördmaatriks. Maatriksvõrrandite lahendamine

ODA. Ristkülikukujuline laud, mis koosneb T read ja n kutsutakse reaalarvude veerge maatriks suurus t × p. Maatriksid on tähistatud suurte ladina tähtedega: A, B,... ja numbrite massiiv on eraldatud ümar- või nurksulgudega.

Tabelis olevaid numbreid nimetatakse maatrikselementideks ja need on tähistatud väikeste ladina tähtedega topeltindeksiga, kus i- rea number, j– veeru number, mille ristumiskohas element asub. Üldiselt on maatriks kirjutatud järgmiselt:

Arvesse võetakse kahte maatriksit võrdne, kui nende vastavad elemendid on võrdsed.

Kui maatriksi ridade arv T võrdne selle veergude arvuga n, siis nimetatakse maatriksit ruut(muidu – ristkülikukujuline).

Suuruse maatriks
nimetatakse reamaatriksiks. Suuruse maatriks

nimetatakse veerumaatriksiks.

Maatriksi elemendid, millel on võrdsed indeksid (
jne), vorm põhidiagonaal maatriksid. Teist diagonaali nimetatakse külgdiagonaaliks.

Ruutmaatriksit nimetatakse diagonaal, kui kõik selle põhidiagonaalist väljaspool asuvad elemendid on võrdsed nulliga.

Nimetatakse diagonaalmaatriksit, mille diagonaalelemendid on võrdsed ühega vallaline maatriks ja sellel on standardtähis E:

Kui kõik maatriksi elemendid, mis asuvad põhidiagonaali kohal (või all), on võrdsed nulliga, on maatriksil kolmnurkne kuju:

§2. Tehted maatriksitega

1. Maatriksi transpositsioon - teisendus, mille käigus maatriksi read kirjutatakse veergudena, säilitades nende järjestuse. Ruutmaatriksi puhul on see teisendus samaväärne põhidiagonaali sümmeetrilise kaardistamisega:

2. Sama dimensiooniga maatrikse saab liita (lahutada). Maatriksite summa (erinevus) on sama mõõtmega maatriks, mille iga element on võrdne algmaatriksite vastavate elementide summaga (vahega):

3. Iga maatriksi saab korrutada arvuga. Maatriksi korrutis arvuga on sama järku maatriks, mille iga element on võrdne algmaatriksi vastava elemendi korrutisega selle arvuga:

4. Kui ühe maatriksi veergude arv on võrdne teise maatriksi ridade arvuga, saate esimese maatriksi korrutada teisega. Selliste maatriksite korrutis on maatriks, mille iga element on võrdne esimese maatriksi vastava rea elementide ja teise maatriksi vastava veeru elementide paarikaupa korrutistega.

Tagajärg. Maatriksi astendamine To>1 on maatriksi A korrutis Toüks kord. Määratletud ainult ruutmaatriksite jaoks.

Näide.

Maatriksite tehte omadused.

(A+B)+C=A+(B+C);
k(A+B)=kA+kV;
A(B+C)=AB+AC;
(A+B)C=AC+BC;
k(AB)=(kA)B=A(kV);
A(BC)=(AB)C;
(kA) T = kA T;
(A+B) T = A T + B T;
(AB) T =B T A T;

Eespool loetletud omadused on sarnased numbritega tehtavate tehte omadustega. Maatriksitel on ka spetsiifilised omadused. Nende hulka kuulub näiteks maatriksikorrutamise eristav omadus. Kui toode AB on olemas, siis toode BA

Ei pruugi eksisteerida

Võib erineda AB-st.

Näide. Ettevõte toodab kahte tüüpi A ja B tooteid ning kasutab kolme tüüpi toorainet S 1, S 2 ja S 3. Tooraine kulunormid määratakse maatriksiga N=
, Kus n ij– tooraine kogus j, kulutatakse toodanguühiku tootmiseks i. Tootmisplaan on antud maatriksiga C=(100 200) ja iga tooraineliigi ühiku maksumus maatriksiga . Määrata planeeritud tootmiseks vajalikud toorainekulud ja toorme kogumaksumus.

Lahendus. Toorainekulu määratleme maatriksite C ja N korrutisena:

Tooraine kogumaksumuse arvutame S ja P korrutisena.

Maatriks suurus m ? n on ristkülikukujuline arvutabel, mis sisaldab m rida ja n veergu. Maatriksi moodustavaid numbreid nimetatakse elemendid maatriksid.

Maatriksid on tähistatud ladina tähestiku suurtähtedega ( A, B, C...), ja maatriksielementide tähistamiseks kasutatakse topeltindekseerimisega väiketähti:

Kus i- rea number, j- veeru number.

Näiteks maatriks

Või lühendatult A=(); i=1,2…, m; j = 1,2, …, n.

Kasutatakse ka muid maatriksmärke, näiteks: , ? ?.

Kaks maatriksit A Ja IN nimetatakse sama suurusega võrdne, kui need elemendi kaupa kattuvad, s.t. = , kus i= 1, 2, 3, …, m, A j= 1, 2, 3, …, n.

Vaatleme peamisi maatriksitüüpe:

1. Olgu m = n, siis maatriks A on ruutmaatriks, mille järjekord on n:

Elemendid moodustavad põhidiagonaali, elemendid sekundaarse diagonaali.

Ruutmaatriksit nimetatakse diagonaal, kui kõik selle elemendid, välja arvatud ehk põhidiagonaali elemendid, on võrdsed nulliga:

Nimetatakse diagonaalseks ja seega ka ruudukujuliseks maatriksiks vallaline, kui kõik põhidiagonaali elemendid on võrdsed 1-ga:

Pange tähele, et identiteedimaatriks on reaalarvude komplekti ühe maatriksi analoog ja rõhutame ka, et identiteedimaatriks on määratletud ainult ruutmaatriksite jaoks.

Siin on näited identiteedimaatriksitest:

Ruutmaatriksid

nimetatakse vastavalt ülemiseks ja alumiseks kolmnurkseks.

2. Lase m= 1, siis maatriks A- reamaatriks, mis näeb välja selline:
3. Lase n=1, siis maatriks A- veeru maatriks, mis näeb välja selline:

4. Nullmaatriks on maatriks suurusjärgus mn, mille kõik elemendid on võrdsed 0-ga:

Pange tähele, et nullmaatriks võib olla ruutmaatriks, reamaatriks või veerumaatriks. Nullmaatriks on reaalarvude hulga nulli maatriksi analoog.

5. Maatriksit nimetatakse maatriksiks transponeerituks ja seda tähistatakse, kui selle veerud on arvult vastavad maatriksi read.

Näide. Lase

Pange tähele, et kui maatriks A on kord mn, siis on transponeeritud maatriksil järjekord nm.

6. Maatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks, kui A =, ja kaldsümmeetriliseks, kui A =.

Näide. Uurige maatriksi sümmeetriat A Ja IN.

seega maatriks A- sümmeetriline, sest A =.

seega maatriks IN- viltu-sümmeetriline, kuna B = -.

Pange tähele, et sümmeetrilised ja kaldsümmeetrilised maatriksid on alati ruudukujulised. Sümmeetrilise maatriksi põhidiagonaalil võivad asuda kõik elemendid ja identsed elemendid peavad paiknema sümmeetriliselt põhidiagonaali suhtes, see tähendab, et kaldsümmeetrilise maatriksi põhidiagonaal sisaldab alati nulle ja sümmeetriliselt põhidiagonaali suhtes.

maatriks-ruudu laplase tühistamine

Maatriksi määratlus– nimetatakse arvude tabeliks, mis sisaldab teatud arvu ridu ja veerge

Maatriksi elemendid on numbrid kujul a ij, kus i on rea number j on veeru number

Näide 1 i = 2 j = 3

Nimetus: A=

Maatriksite tüübid:

1. Kui ridade arv ei ole võrdne veergude arvuga, kutsutakse maatriks ristkülikukujuline:

2. Kui ridade arv on võrdne veergude arvuga, kutsutakse maatriks ruut:

Ruutmaatriksi ridade või veergude arvu nimetatakse selle maatriksiks järjekorras. Näites n = 2

Vaatleme ruutmaatriksit järku n:

Nimetatakse diagonaali, mis sisaldab elemente a 11, a 22......., a nn peamine , ja diagonaal, mis sisaldab elemente a 12, a 2 n -1, …….a n 1 – abistav.

Nimetatakse maatriksit, milles ainult põhidiagonaali elemendid on nullist erinevad diagonaal:

Näide 4 n = 3

3. Kui diagonaalmaatriksi elemendid on võrdsed 1-ga, kutsutakse maatriksit vallaline ja seda tähistatakse tähega E:

Näide 6 n = 3

4. Nimetatakse maatriks, mille kõik elemendid on nulliga võrdsed null maatriks ja seda tähistatakse tähega O

Näide 7

5. Kolmnurkne N-ndat järku maatriks on ruutmaatriks, mille kõik põhidiagonaali all asuvad elemendid on võrdsed nulliga:

Näide 8 n = 3

Toimingud maatriksitel:

Maatriksi A ja B summa on maatriks C, mille elemendid on võrdsed maatriksite A ja B vastavate elementide summaga.

Lisada saab ainult maatrikseid, millel on sama arv ridu ja veerge.

Maatriksi A ja arvu k korrutis nimetatakse sellist maatriksit kA, mille iga element on võrdne ka ij-ga

Näide10

Maatriksi korrutamine arvuga taandub maatriksi kõigi elementide korrutamiseks selle arvuga.

Maatriksite korrutis Maatriksi maatriksiga korrutamiseks peate valima esimese maatriksi esimese rea ja korrutama teise maatriksi esimese veeru vastavate elementidega ning liitma tulemuse. Asetage see tulemus tulemuste maatriksisse 1. reale ja 10. veergu. Teeme samad toimingud kõigi teiste elementidega: 1. rida teise veergu, 3. jne, seejärel järgmiste ridadega.

Näide 11

Maatriksi A korrutamine maatriksiga B on võimalik ainult siis, kui esimese maatriksi veergude arv on võrdne teise maatriksi veergude arvuga.

- teos on olemas;

- teost pole olemas

Näited 12 pole millegagi maatriksis II viimast rida korrutada, st. teost pole olemas

Maatriksi transponeerimine Reaelementide asendamist veeru elementidega nimetatakse:

Näide13

Võimule tõstmisega nimetatakse maatriksi järjestikuseks korrutamiseks iseendaga.

MAATRIKS MÄÄRATLUS. MAATRIKSIDE LIIGID

Maatriks suurusega m× n nimetatakse komplektiks m·n numbrid on paigutatud ristkülikukujulisse tabelisse m read ja n veerud. See tabel on tavaliselt sulgudes. Näiteks võib maatriks välja näha selline:

Lühiduse huvides võib maatriksi tähistada ühe suure tähega, näiteks A või IN.

Üldiselt suuruse maatriks m× n kirjuta see nii

Maatriksi moodustavaid numbreid nimetatakse maatriksi elemendid. Maatrikselemendid on mugav varustada kahe indeksiga a ij: esimene tähistab rea numbrit ja teine veeru numbrit. Näiteks a 23– element asub 2. reas, 3. veerus.

Kui maatriksil on sama arv ridu kui veergude arvul, kutsutakse maatriksit ruut, ja kutsutakse selle ridade või veergude arv järjekorras maatriksid. Ülaltoodud näidetes on teine maatriks ruut - selle järjekord on 3 ja neljas maatriks on selle järjekord 1.

Kutsutakse maatriksit, milles ridade arv ei võrdu veergude arvuga ristkülikukujuline. Näidetes on see esimene ja kolmas maatriks.

Samuti on maatrikseid, millel on ainult üks rida või üks veerg.

Kutsutakse maatriksit, millel on ainult üks rida maatriks - rida(või string) ja ainult ühe veeruga maatriks maatriks - veerg.

Nimetatakse maatriksit, mille kõik elemendid on nullid null ja seda tähistatakse (0) või lihtsalt 0-ga. Näiteks

Peadiagonaal ruutmaatriksi diagonaaliks, mis kulgeb vasakust ülanurgast paremasse alumisse nurka.

Kutsutakse ruutmaatriksit, milles kõik põhidiagonaalist allpool olevad elemendid on võrdsed nulliga kolmnurkne maatriks.

Ruutmaatriksit, milles kõik elemendid, välja arvatud ehk põhidiagonaalil olevad elemendid, on võrdsed nulliga, nimetatakse diagonaal maatriks. Näiteks või.

Nimetatakse diagonaalmaatriksit, milles kõik diagonaalelemendid on võrdsed ühega vallaline maatriks ja seda tähistatakse tähega E. Näiteks 3. järku identiteedimaatriksil on vorm .

TEGEVUSED MAATRIKSIDEGA

Maatriksi võrdsus. Kaks maatriksit A Ja B nimetatakse võrdseks, kui neil on sama arv ridu ja veerge ning nende vastavad elemendid on võrdsed a ij = b ij. Nii et kui Ja , See A=B, Kui a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 Ja a 22 = b 22.

Transponeerida. Mõelge suvalisele maatriksile A alates m read ja n veerud. Seda saab seostada järgmise maatriksiga B alates n read ja m veerud, milles iga rida on maatriksi veerg A sama numbriga (seega on iga veerg maatriksi rida A sama numbriga). Nii et kui , See .

See maatriks B helistas üle võetud maatriks A, ja üleminek alates A To B ülevõtmine.

Seega on transpositsioon maatriksi ridade ja veergude rollide ümberpööramine. Maatriks maatriksiks transponeeritud A, tavaliselt tähistatud A T.

Maatriksi vaheline suhtlus A ja selle transponeerimise saab kirjutada kujul .

Näiteks. Leia antud maatriks, mis on transponeeritud.

Maatriksi lisamine. Lase maatriksitel A Ja B koosnevad samast arvust ridadest ja samast arvust veergudest, st. on samad suurused. Siis maatriksite lisamiseks A Ja B vaja maatrikselementide jaoks A lisada maatrikselemente B seisab samadel kohtadel. Seega kahe maatriksi summa A Ja B nimetatakse maatriksiks C, mis on määratud reegliga, näiteks

Näited. Leidke maatriksite summa:

Lihtne on kontrollida, kas maatriksi liitmine järgib järgmisi seadusi: kommutatiivne A+B=B+A ja assotsiatiivne ( A+B)+C=A+(B+C).

Maatriksi korrutamine arvuga. Maatriksi korrutamiseks A numbri kohta k maatriksi iga elementi on vaja A korrutage selle arvuga. Seega maatrikskorrutis A numbri kohta k on uus maatriks, mis määratakse reegliga või .

Mis tahes numbrite jaoks a Ja b ja maatriksid A Ja B kehtivad järgmised võrdsused:

Näited.

Maatrikskorrutis. See operatsioon viiakse läbi vastavalt omapärasele seadusele. Kõigepealt märgime, et faktorimaatriksite suurused peavad olema järjepidevad. Korrutada saab ainult neid maatrikseid, milles esimese maatriksi veergude arv langeb kokku teise maatriksi ridade arvuga (st esimese rea pikkus võrdub teise veeru kõrgusega). Töö maatriksid A mitte maatriks B nimetatakse uueks maatriksiks C=AB, mille elemendid koosnevad järgmiselt:

Näiteks toote saamiseks (st maatriksis C) element, mis asub 1. reas ja 3. veerus alates 13, peate võtma 1. maatriksi 1. rea, 2. maatriksi 3. veeru ja seejärel korrutama rea elemendid vastava veeru elementidega ja liitma saadud korrutised. Ja muud korrutismaatriksi elemendid saadakse esimese maatriksi ridade ja teise maatriksi veergude sarnase korrutise abil.

Üldiselt, kui korrutame maatriksi A = (a ij) suurus m× n maatriksile B = (b ij) suurus n× lk, siis saame maatriksi C suurus m× lk, mille elemendid arvutatakse järgmiselt: element c ij saadakse elementide korrutise tulemusena i maatriksi rida A vastavatele elementidele j maatriksi veerus B ja nende täiendused.

Sellest reeglist järeldub, et alati saab korrutada kaks sama järku ruutmaatriksit ja selle tulemusena saame sama järgu ruutmaatriksi. Eelkõige saab ruutmaatriksit alati korrutada iseendaga, s.t. ruudu see.

Teine oluline juhtum on reamaatriksi korrutamine veerumaatriksiga ja esimese laius peab olema võrdne teise kõrgusega, mille tulemuseks on esimest järku maatriks (s.o üks element). Tõesti,

Näited.

Seega näitavad need lihtsad näited, et maatriksid üldiselt ei pendelda omavahel, s.t. A∙B ≠ B∙A . Seetõttu peate maatriksite korrutamisel hoolikalt jälgima tegurite järjekorda.

Saab kontrollida, et maatrikskorrutis allub assotsiatiivsetele ja distributiivsetele seadustele, s.t. (AB)C=A(BC) Ja (A+B)C=AC+BC.

Seda on lihtne kontrollida ka ruutmaatriksi korrutamisel A identiteedimaatriksisse E samas järjekorras saame taas maatriksi A, ja AE=EA=A.

Märkida võib järgmist huvitavat fakti. Teatavasti ei võrdu 2 nullist erineva arvu korrutis 0-ga. Maatriksite puhul ei pruugi see nii olla, s.t. 2 nullist erineva maatriksi korrutis võib osutuda võrdseks nullmaatriksiga.

Näiteks, Kui , See

DETERMINANTIDE MÕISTE

Olgu antud teist järku maatriks – kahest reast ja kahest veerust koosnev ruutmaatriks .

Teist järku determinant antud maatriksile vastav arv on järgmine: 11-22-12-21.

Determinant on tähistatud sümboliga .

Seega tuleb teist järku determinandi leidmiseks lahutada põhidiagonaali elementide korrutisest piki teist diagonaali elementide korrutis.

Näited. Arvutage teist järku determinandid.

Samamoodi võime käsitleda kolmandat järku maatriksit ja sellele vastavat determinanti.

Kolmandat järku determinant, mis vastab antud kolmandat järku ruutmaatriksile, on arv, mida tähistatakse ja saadakse järgmiselt:

Seega annab see valem kolmandat järku determinandi laienduse esimese rea elementide suhtes 11, 12, 13 ja taandab kolmanda järgu determinandi arvutamise teist järku determinantide arvutamiseks.

Näited. Arvutage kolmandat järku determinant.

Samamoodi võib tutvustada neljanda, viienda jne determinantide mõisteid. tellimusi, alandades nende järjekorda, laienedes 1. rea elementidele, kusjuures terminite märgid “+” ja “–” vahelduvad.

Seega erinevalt maatriksist, mis on arvude tabel, on determinant arv, mis on maatriksile teatud viisil määratud.

Selliste maatriksitega tehakse erinevaid tehteid: korrutatakse üksteisega, leitakse determinante jne. Maatriks- massiivi erijuhtum: kui massiivil võib olla suvaline arv mõõtmeid, siis maatriksiks nimetatakse ainult kahemõõtmelist massiivi.

Programmeerimisel nimetatakse maatriksit ka kahemõõtmeliseks massiiviks. Kõigil programmi massiividel on nimi, nagu oleks see üks muutuja. Selgitamaks, millist massiivi lahtrit mõeldakse, kasutatakse programmis mainitud lahtri numbrit koos muutujaga. Nii kahemõõtmeline maatriks kui ka n-mõõtmeline massiiv programmis võivad sisaldada mitte ainult numbrilist, vaid ka sümboolset, stringi, Boole'i ja muud teavet, kuid kogu massiivi sees alati sama.

Maatriksid on tähistatud suurtähtedega A:MxN, kus A on maatriksi nimi, M on ridade arv maatriksis ja N on veergude arv. Elemendid on tähistatud vastavate väiketähtedega koos indeksitega, mis näitavad nende numbrit reas ja veerus a (m, n).

Kõige tavalisemad maatriksid on ristkülikukujulised, kuigi kauges minevikus pidasid matemaatikud ka kolmnurkseid. Kui maatriksi ridade ja veergude arv on sama, nimetatakse seda ruuduks. Sel juhul on M=N juba maatriksjärjestuse nimi. Maatriksit, millel on ainult üks rida, nimetatakse reaks. Maatriksit, millel on ainult üks veerg, nimetatakse veergude maatriksiks. Diagonaalmaatriks on ruutmaatriks, milles ainult piki diagonaali asuvad elemendid on nullist erinevad. Kui kõik elemendid on võrdsed ühega, nimetatakse maatriksit identiteediks, kui kõik elemendid on võrdsed nulliga.

Kui vahetate maatriksi ridu ja veerge, siis see transponeeritakse. Kui kõik elemendid asendada keerukate konjugaatidega, muutub see kompleksseks konjugaatiks. Lisaks on ka teist tüüpi maatrikseid, mis on määratud maatriksielementidele kehtestatud tingimustega. Kuid enamik neist tingimustest kehtib ainult ruudukujuliste kohta.

Video teemal