Hinda integraali keskmise väärtuse teoreemi abil. Kindel integraal

Võrrandi juure leidmise viisid – arvutusreeglid.

Võrrand on matemaatiline avaldis, mis sisaldab ühte või mitut tundmatut. Võrrandi lahendamine tähendab selliste argumentide väärtuste leidmist, mille juures on vasakpoolse ja võrdsus õiged osad väljendid ( määratud funktsioonid). Leitud väärtusi nimetatakse võrrandi juurteks.

Matemaatikas on lineaar-, ruut- ja kuupvõrrandid. Et leida võrrandi juur teatud tüüpi Kasutatakse erinevaid meetodeid.

Lineaarvõrrand

Kutsutakse avaldist kujul a*x=b lineaarvõrrand. Selles on a muutuja koefitsient, b on vaba liige. Selle lahendamisel võib esineda kolm juhtumit:

a 0. Juur arvutatakse sel juhul valemiga: x=b/a. Näiteks kui on antud võrrand x+3=9-2*x. Avaldised tähega “X” kantakse üle ühele poole ja vabad liikmed teisele: x+2*x=9-3 või 3*x=6. Siis x=6/3, x=2.
a=0, b=0. Võrrand on kujul 0*x=0. See võrdsus kehtib mis tahes X väärtuse puhul. See tähendab, et võrrandi juur on mis tahes reaalarv.
a=0, b 0. Tulemuseks on avaldis 0*x=b, mille puhul juured puuduvad.

Ruutvõrrand

Sellise vormi võrrandit nimetatakse ruutkeskseks (a 0). "A" ja "B" nimetatakse koefitsientideks ja "C" on vaba termin. Juurte arv sõltub diskriminandi väärtusest, mis arvutatakse valemi abil. Juhul, kui:

D<0 – для уравнения не существует корней.
D=0 – on üks juur, mis leitakse valemiga: x=-b/(2*a).
D>0 – on kaks juurt, mis on defineeritud järgmiselt: Näiteks kui on antud võrrand 3*x2-2*x-5=0. Diskriminant D=4-4*3*(-5)=64. Tuleb kaks juurt.

Kuupvõrrand

Vormi väljendit nimetatakse kuupvõrrand. Sellel võib olla mitu juurt, mille arvutamiseks vajate:

Leidke üks juurtest, mis on vaba termini "d" jagaja, asendades kõik võimalikud jagajad, kuni avaldise vasak pool võrdub nulliga.
Jagage algvõrrand leitud juurega, mille tulemusena avaldis taandatakse ruutkujuliseks.
Leidke saadud võrrandi juured. Näiteks antud võrrand. Vaba liikme jagajad 12 – ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Vasak pool võtab väärtuse, mis on võrdne 0-ga, kui x=2. Nii et 2 on esimene juur. Seejärel peate jagama algse avaldise (x-2). See saab korda ruutvõrrand. Selle juured on numbrid..

Muud viisid

Väljaspool algebralist arvutust nõutavad väärtused saate kasutada:

Tasuta veebikalkulaator (allcalc.ru).
Graafiliselt, kui koostatakse funktsiooni graafik, mille lõikepunktid X-teljega on võrrandi juurteks.

Rakenduse väärtus keskväärtuste teoreemid seisneb võimaluses saada teatud väärtusele kvalitatiivne hinnang lahutamatu ilma seda arvutamata. Sõnastame : kui funktsioon on intervallil pidev, siis selle intervalli sees on selline punkt, et .

See valem on üsna sobiv keeruka või tülika funktsiooni integraali ligikaudseks hindamiseks. Ainus punkt, mis teeb valemi ligikaudne , on vajadus iseseisev valik punktid Kui valime kõige lihtsama tee – integreerimisintervalli keskpaiga (nagu mitmetes õpikutes soovitatud), siis võib viga olla üsna märkimisväärne. Et saada rohkem täpne tulemus soovitame tehke arvutused järgmises järjestuses:

Koostage funktsiooni graafik intervallile ;

Joonista ristküliku ülemine piir nii, et funktsioonigraafiku äralõigatud osad oleksid pindalalt ligikaudu võrdne (see on täpselt see, mis on näidatud ülaltoodud joonisel - kaks kõverjoonelist kolmnurka on peaaegu identsed);

Määrake jooniselt;

Kasutage keskmise väärtuse teoreemi.

Näiteks arvutame lihtsa integraali:

Täpne väärtus;

Intervalli keskpaigaks saame ka ligikaudse väärtuse, s.t. selgelt ebatäpne tulemus;

Koostades graafiku, mille ristküliku ülemine külg on joonistatud vastavalt soovitustele, saame , seega ligikaudse väärtuse . Üsna rahuldav tulemus, viga on 0,75%.

Trapetsi valem

Nagu näidatud, sõltub keskväärtuste teoreemi kasutavate arvutuste täpsus oluliselt visuaalne eesmärk punktide ajakava järgi. Tõepoolest, valides samas näites punktid või , saate integraali muud väärtused ja viga võib suureneda. Tulemust mõjutavad suuresti subjektiivsed tegurid, graafiku mastaap ja joonistamise kvaliteet. See vastuvõetamatu kriitilistes arvutustes, seega kehtib keskmise väärtuse teoreem ainult kiire kohta kvaliteet integraalsed hinnangud.

Selles jaotises käsitleme üht kõige populaarsemat ligikaudse integreerimise meetodit - trapetsikujuline valem . Selle valemi koostamise põhiidee põhineb asjaolul, et kõvera saab ligikaudu asendada katkendjoonega, nagu on näidatud joonisel.

Oletame kindluse mõttes (ja vastavalt joonisele), et integreerimisintervall on jagatud võrdne (see on valikuline, kuid väga mugav) osad. Kõigi nende osade pikkus arvutatakse valemiga ja seda nimetatakse samm . Jaotuspunktide abstsissid, kui need on antud, määratakse valemiga, kus . Tuntud abstsisside abil on lihtne ordinaate arvutada. Seega

See on juhtumi trapetsikujuline valem. Pange tähele, et esimene liige sulgudes on alg- ja lõppordinaatide poolsumma, millele liidetakse kõik vahepealsed ordinaadid. Integreerimisintervalli suvalise arvu partitsioonide jaoks üldine valem trapetsikujuline on kujul: kvadratuurivalemid: ristkülikud, Simpson, Gauss jne. Need on üles ehitatud samale esindusideele kaarjas trapets elementaarsed alad erinevaid kujundeid, seetõttu ei ole pärast trapetsikujulise valemi valdamist sarnaste valemite mõistmine keeruline. Paljud valemid ei ole nii lihtsad kui trapetsikujulised valemid, kuid need võimaldavad teil saada väikese arvu partitsioonidega suure täpsusega tulemusi.

Trapetsikujulise valemi (või sarnaste) abil saate praktikas nõutava täpsusega arvutada nii "mittetoimivaid" integraale kui ka keerukate või tülikate funktsioonide integraale.