Kahest punktist lähtuva sirge võrrandi definitsioon. Punkti läbiva sirge võrrand, kahte punkti läbiva sirge võrrand, kahe sirge vaheline nurk, sirge kalle

Õppetund sarjast "Geomeetrilised algoritmid"

Tere kallis lugeja!

Täna hakkame õppima geomeetriaga seotud algoritme. Tõsiasi on see, et arvutiteaduses on arvutusgeomeetriaga seotud olümpiaadiülesandeid päris palju ja selliste ülesannete lahendamine tekitab sageli raskusi.

Mõnes õppetükis käsitleme mitmeid elementaarseid alamülesandeid, millel põhineb enamiku arvutusgeomeetria ülesannete lahendamine.

Selles õppetükis kirjutame programmi sirgjoone võrrandi leidmine antud läbimine kaks punkti. Geomeetriliste ülesannete lahendamiseks vajame mõningaid teadmisi arvutusgeomeetriast. Osa tunnist pühendame nende tundmaõppimisele.

Teave arvutusgeomeetriast

Arvutusgeomeetria on arvutiteaduse haru, mis uurib geomeetriliste ülesannete lahendamise algoritme.

Selliste ülesannete lähteandmeteks võib olla punktide kogum tasapinnal, segmentide komplekt, hulknurk (antud näiteks selle tippude loendiga päripäeva) jne.

Tulemuseks võib olla kas vastus mõnele küsimusele (nt kas punkt kuulub lõiku, kas kaks lõiku ristuvad, ...) või mõni geomeetriline objekt (näiteks väikseim antud punkte ühendav kumer hulknurk, selle pindala hulknurk jne).

Arvutusgeomeetria probleeme käsitleme ainult tasapinnal ja ainult Descartes'i koordinaatsüsteemis.

Vektorid ja koordinaadid

Arvutusgeomeetria meetodite rakendamiseks on vaja tõlkida geomeetrilised kujutised arvude keelde. Eeldame, et tasapinnal on antud Descartes'i koordinaatsüsteem, milles pöörlemissuunda vastupäeva nimetatakse positiivseks.

Nüüd saavad geomeetrilised objektid analüütilise väljenduse. Niisiis, punkti määramiseks piisab selle koordinaatide määramisest: arvude paar (x; y). Lõigu saab määrata selle otste koordinaatide määramisega, sirge saab määrata selle punktide paari koordinaatidega.

Kuid peamine tööriist probleemide lahendamisel on vektorid. Seetõttu tuletan teile meelde mõningat teavet nende kohta.

Joonelõik AB, millel on mõte A peetakse algust (rakenduspunkti) ja punkti IN- lõppu nimetatakse vektoriks AB ja tähistatakse kas või näiteks paksu väikese tähega A .

Vektori pikkuse (st vastava segmendi pikkuse) tähistamiseks kasutame mooduli sümbolit (näiteks ).

Suvalise vektori koordinaadid on võrdsed selle lõpu ja alguse vastavate koordinaatide vahega:

,

täpid siin A Ja B on koordinaadid vastavalt.

Arvutuste tegemiseks kasutame kontseptsiooni orienteeritud nurk, see tähendab nurk, mis võtab arvesse vektorite suhtelist asukohta.

Orienteeritud nurk vektorite vahel a Ja b positiivne, kui pöörlemine on vektorist eemal a vektorile b tehakse positiivses suunas (vastupäeva) ja teisel juhul negatiivses suunas. Vaata joonist 1a, joonist 1b. Öeldakse ka, et vektorite paar a Ja b positiivselt (negatiivselt) orienteeritud.

Seega sõltub orienteeritud nurga väärtus vektorite loendamise järjekorrast ja võib võtta väärtusi intervallis .

Paljud arvutusgeomeetria probleemid kasutavad vektorite vektori (kalduvus- või pseudoskalaarkorrutise) mõistet.

Vektorite a ja b vektorkorrutis on nende vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga siinuse korrutis:

.

Vektorite korrutis koordinaatides:

Parempoolne avaldis on teist järku determinant:

Erinevalt analüütilises geomeetrias antud definitsioonist on see skalaar.

Ristkorrutise märk määrab vektorite asukoha üksteise suhtes:

a Ja b positiivselt orienteeritud.

Kui väärtus on , siis vektorite paar a Ja b negatiivselt orienteeritud.

Nullist erineva vektorite ristkorrutis on null siis ja ainult siis, kui need on kollineaarsed ( ). See tähendab, et need asuvad samal joonel või paralleelsetel joontel.

Vaatleme mõningaid lihtsaid ülesandeid, mis on vajalikud keerukamate lahendamiseks.

Määratleme sirge võrrandi kahe punkti koordinaatide järgi.

Kaht erinevat punkti läbiva sirge võrrand, mis on antud nende koordinaatidega.

Olgu sirgel antud kaks mittekattuvat punkti: koordinaatidega (x1;y1) ja koordinaatidega (x2; y2). Vastavalt sellele on vektoril, mille algus on punktis ja lõpp punktis, koordinaadid (x2-x1, y2-y1). Kui P(x, y) on suvaline punkt meie sirgel, siis on vektori koordinaadid (x-x1, y - y1).

Ristkorrutise abil saab vektorite kollineaarsuse tingimuse kirjutada järgmiselt:

Need. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1) (x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) = 0

Kirjutame viimase võrrandi ümber järgmiselt:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Niisiis, sirge saab anda võrrandiga kujul (1).

Ülesanne 1. Kahe punkti koordinaadid on antud. Leidke selle esitus kujul ax + by + c = 0.

Selles tunnis tutvusime mõne arvutusgeomeetria infoga. Lahendasime sirge võrrandi leidmise ülesande kahe punkti koordinaatide järgi.

Järgmises tunnis kirjutame programmi, et leida meie võrranditega antud kahe sirge lõikepunkt.

Selles artiklis käsitleme tasapinna sirgjoone üldist võrrandit. Toome näiteid sirge üldvõrrandi koostamise kohta, kui on teada selle sirge kaks punkti või kui on teada selle sirge üks punkt ja normaalvektor. Tutvustame meetodeid võrrandi teisendamiseks üldkujul kanooniliseks ja parameetriliseks vormiks.

Olgu antud suvaline Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatsüsteem Oxy. Mõelge esimese astme võrrandile või lineaarvõrrandile:

Ax+By+C=0,

(1)

Kus A, B, C on mõned konstandid ja vähemalt üks elementidest A Ja B nullist erinev.

Näitame, et tasapinna lineaarvõrrand määratleb sirge. Tõestame järgmise teoreemi.

Teoreem 1. Tasapinnal asuvas suvalises Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis saab iga sirge anda lineaarvõrrandiga. Ja vastupidi, iga lineaarvõrrand (1) tasapinna suvalises Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis määrab sirge.

Tõestus. Piisab tõestada, et rida L on määratud lineaarvõrrandiga mis tahes ühe Descartes'i ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi jaoks, kuna siis määratakse see lineaarvõrrandiga ja mis tahes Descartes'i ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi valiku korral.

Olgu tasapinnal antud sirge L. Valime koordinaatsüsteemi nii, et telg Ox joondatud joonega L ja telg Oy oli sellega risti. Siis sirge võrrand L toimub järgmisel kujul:

y=0.

(2)

Kõik punktid joonel L rahuldab lineaarvõrrandit (2) ja kõik punktid väljaspool seda sirgjoont ei vasta võrrandile (2). Teoreemi esimene osa on tõestatud.

Olgu antud Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatsüsteem ja lineaarvõrrand (1), kus vähemalt üks elementidest A Ja B nullist erinev. Leidke nende punktide asukoht, mille koordinaadid vastavad võrrandile (1). Kuna vähemalt üks koefitsientidest A Ja B on nullist erinev, siis on võrrandil (1) vähemalt üks lahend M(x 0 ,y 0). (Näiteks millal A≠0, punkt M 0 (−C/A, 0) kuulub antud punktide asukohta). Asendades need koordinaadid punktiga (1), saame identiteedi

Ax 0 +Kõrval 0 +C=0.

(3)

Lahutame identiteedi (3) väärtusest (1):

A(x−x 0)+B(y−y 0)=0.

(4)

Ilmselt on võrrand (4) samaväärne võrrandiga (1). Seetõttu piisab, kui tõestada, et (4) defineerib mingi sirge.

Kuna me käsitleme Descartes'i ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi, järeldub võrdsusest (4), et vektor komponentidega ( x−x 0 , y-y 0 ) on vektori suhtes ortogonaalne n koordinaatidega ( A, B}.

Mõelge mõnele reale L punkti läbimine M 0 (x 0 , y 0) ja risti vektoriga n(Joonis 1). Olgu punkt M(x,y) kuulub reale L. Siis vektor koordinaatidega x−x 0 , y-y 0 risti n ja võrrand (4) on täidetud (vektorite skalaarkorrutis). n ja võrdub nulliga). Ja vastupidi, kui punkt M(x,y) ei asu joonel L, siis vektor koordinaatidega x−x 0 , y-y 0 ei ole vektori suhtes ortogonaalne n ja võrrand (4) ei ole täidetud. Teoreem on tõestatud.

Tõestus. Kuna jooned (5) ja (6) määratlevad sama sirge, siis normaalvektorid n 1 ={A 1 ,B 1) ja n 2 ={A 2 ,B 2) on kollineaarsed. Kuna vektorid n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, siis on arv λ , Mida n 2 =n 1 λ . Seega on meil: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Tõestame seda C 2 =C 1 λ . On ilmne, et kattuvatel joontel on ühine punkt M 0 (x 0 , y 0). Võrrandi (5) korrutamine λ ja lahutades sellest võrrandi (6), saame:

Kuna avaldistest (7) on täidetud kaks esimest võrdsust, siis C 1 λ −C 2=0. Need. C 2 =C 1 λ . Märkus on tõestatud.

Pange tähele, et võrrand (4) määratleb punkti läbiva sirge võrrandi M 0 (x 0 , y 0) ja millel on normaalvektor n={A, B). Seega, kui sirge normaalvektor ja sellele sirgele kuuluv punkt on teada, siis saab võrrandi (4) abil konstrueerida sirge üldvõrrandi.

Näide 1. Sirge läbib punkti M=(4,−1) ja sellel on normaalvektor n=(3, 5). Koostage sirge üldvõrrand.

Lahendus. Meil on: x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Sirge üldvõrrandi koostamiseks asendame need väärtused võrrandiga (4):

Vastus:

Vektoriga paralleelne vektor L ja seega on sirge normaalvektoriga risti L. Koostame normaaljoonvektori L, arvestades, et vektorite skalaarkorrutis n ja on võrdne nulliga. Võime kirjutada näiteks n={1,−3}.

Sirge üldvõrrandi koostamiseks kasutame valemit (4). Asendame punkti koordinaadid (4). M 1 (võime võtta ka punkti koordinaadid M 2) ja normaalvektor n:

Punktide koordinaatide asendamine M 1 ja M 2 punktis (9) saame veenduda, et võrrandiga (9) antud sirge läbib neid punkte.

Vastus:

Lahutage (10) väärtusest (1):

Oleme saanud sirge kanoonilise võrrandi. Vektor q={−B, A) on sirge (12) suunavektor.

Vaadake pöördteisendust.

Näide 3. Tasapinnal olev sirgjoon on esitatud järgmise üldvõrrandiga:

Liigutage teist liiget paremale ja jagage võrrandi mõlemad pooled 25-ga.

Ruumi sirgjoone kanoonilised võrrandid on võrrandid, mis määratlevad sirge, mis läbib antud punkti kollineaarselt suunavektoriga.

Olgu antud punkt ja suunavektor. Suvaline punkt asub sirgel l ainult siis, kui vektorid ja on kollineaarsed, st nad vastavad tingimusele:

.

Ülaltoodud võrrandid on sirge kanoonilised võrrandid.

Numbrid m , n Ja lk on suunavektori projektsioonid koordinaattelgedele. Kuna vektor on nullist erinev, siis kõik arvud m , n Ja lk ei saa olla samal ajal null. Kuid üks või kaks neist võib olla null. Näiteks analüütilises geomeetrias on lubatud järgmised tähistused:

,

mis tähendab, et vektori projektsioonid telgedel Oy Ja Oz on võrdsed nulliga. Seetõttu on nii kanooniliste võrranditega antud vektor kui ka sirgjoon telgedega risti Oy Ja Oz, st lennukid yOz .

Näide 1 Koostage tasandiga risti oleva ruumi sirgjoone võrrandid ja läbides selle tasandi ja telje lõikepunkti Oz .

Lahendus. Leia antud tasandi lõikepunkt teljega Oz. Kuna mis tahes punkti teljel Oz, on koordinaadid , siis eeldades tasapinna antud võrrandis x=y= 0, saame 4 z- 8 = 0 või z= 2. Seetõttu antud tasandi lõikepunkt teljega Oz on koordinaadid (0; 0; 2) . Kuna soovitud sirge on tasapinnaga risti, on see paralleelne oma normaalvektoriga. Seetõttu võib normaalvektor olla sirge suunav vektor antud lennuk.

Nüüd kirjutame punkti läbiva sirge soovitud võrrandid A= (0; 0; 2) vektori suunas:

Kaht antud punkti läbiva sirge võrrandid

Sirge saab määratleda kahe sellel asuva punktiga Ja Sel juhul võib sirge suunav vektor olla vektor . Siis saavad sirge kanoonilised võrrandid kuju

.

Ülaltoodud võrrandid määratlevad sirge, mis läbib kahte antud punkti.

Näide 2 Kirjutage võrrand sirge ruumis läbib punkte ja .

Lahendus. Kirjutame soovitud sirge võrrandid ülaltoodud kujul teoreetilises viites:

.

Kuna , siis on soovitud joon teljega risti Oy .

Sirge nagu tasandite lõikejoon

Ruumisirget saab defineerida kahe mitteparalleelse tasandi lõikejoonena ja punktide kogumina, mis rahuldab kahe lineaarvõrrandi süsteemi.

Süsteemi võrrandeid nimetatakse ka ruumi sirgjoone üldvõrranditeks.

Näide 3 Koostage sirge kanoonilised võrrandid üldvõrranditega antud ruumis

Lahendus. Sirge kanooniliste võrrandite või, mis on sama, kahte etteantud punkti läbiva sirge võrrandi kirjutamiseks peate leidma sirge mis tahes kahe punkti koordinaadid. Need võivad olla näiteks sirge ja mis tahes kahe koordinaattasandi lõikepunktid yOz Ja xOz .

Sirge ja tasapinna lõikepunkt yOz on abstsiss x= 0. Seega, eeldades selles võrrandisüsteemis x= 0 , saame kahe muutujaga süsteemi:

Tema otsus y = 2 , z= 6 koos x= 0 määrab punkti A(0; 2; 6) soovitud realt. Eeldusel siis antud võrrandisüsteemis y= 0 , saame süsteemi

Tema otsus x = -2 , z= 0 koos y= 0 määrab punkti B(-2; 0; 0) sirge lõikekoht tasapinnaga xOz .

Nüüd kirjutame punkte läbiva sirge võrrandid A(0; 2; 6) ja B (-2; 0; 0) :

,

või pärast nimetajate jagamist -2-ga:

,

Definitsioon. Mis tahes tasapinna sirge saab esitada esimest järku võrrandiga

Ah + Wu + C = 0,

ja konstandid A, B ei ole samal ajal võrdsed nulliga. Seda esimest järku võrrandit nimetatakse sirgjoone üldvõrrand. Sõltuvalt konstantide A, B ja C väärtustest on võimalikud järgmised erijuhud:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - joon läbib alguspunkti

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - joon on paralleelne Ox teljega

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - joon on paralleelne Oy teljega

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - sirgjoon langeb kokku Oy teljega

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - sirgjoon langeb kokku Ox teljega

Sirge võrrandit saab esitada erinevates vormides, olenevalt antud lähtetingimustest.

Punkti ja normaalvektori sirgjoone võrrand

Definitsioon. Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on vektor komponentidega (A, B) risti joonega, mis on antud võrrandiga Ax + By + C = 0.

Näide. Leidke punktiga (3, -1) risti läbiva punkti A(1, 2) läbiva sirge võrrand.

Lahendus. Kui A = 3 ja B = -1, koostame sirgjoone võrrandi: 3x - y + C = 0. Koefitsiendi C leidmiseks asendame saadud avaldisega antud punkti A koordinaadid Saame: 3-2 + C = 0, seega C = -1. Kokku: soovitud võrrand: 3x - y - 1 \u003d 0.

Kaht punkti läbiva sirge võrrand

Olgu ruumis antud kaks punkti M 1 (x 1, y 1, z 1) ja M 2 (x 2, y 2, z 2), siis neid punkte läbiva sirge võrrand:

Kui mõni nimetajatest on võrdne nulliga, tuleb vastav lugeja määrata võrdseks nulliga Tasapinnal on ülaltoodud sirge võrrand lihtsustatud:

kui x 1 ≠ x 2 ja x = x 1, kui x 1 = x 2.

Murd = k nimetatakse kaldetegur sirge.

Näide. Leidke punkte A(1, 2) ja B(3, 4) läbiva sirge võrrand.

Lahendus.Ülaltoodud valemit rakendades saame:

Punkti ja kalde sirge võrrand

Kui Ax + Wu + C = 0 kogusumma viib vormile:

ja määrata , siis nimetatakse saadud võrrandit sirge võrrand kaldegak.

Sirge võrrand punkti- ja suunavektoriga

Analoogiliselt punktiga, mis käsitleb normaalvektorit läbiva sirge võrrandit, saate sisestada sirge määramise läbi punkti ja sirge suunava vektori.

Definitsioon. Iga nullist erinevat vektorit (α 1, α 2), mille komponendid vastavad tingimusele A α 1 + B α 2 = 0, nimetatakse sirge suunamisvektoriks.

Ah + Wu + C = 0.

Näide. Leidke sirge võrrand suunavektoriga (1, -1) ja läbib punkti A(1, 2).

Lahendus. Otsime soovitud sirge võrrandit kujul: Ax + By + C = 0. Definitsiooni kohaselt peavad koefitsiendid vastama järgmistele tingimustele:

1 * A + (-1) * B = 0, st. A = B.

Siis on sirgjoone võrrand järgmine: Ax + Ay + C = 0 või x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2 korral saame C / A = -3, st. soovitud võrrand:

Segmentides sirgjoone võrrand

Kui sirge Ah + Wu + C = 0 C≠0 üldvõrrandis, siis –C-ga jagades saame: või

Koefitsientide geomeetriline tähendus on see, et koefitsient A on sirge ja x-telje lõikepunkti koordinaat ja b- sirge ja Oy telje lõikepunkti koordinaat.

Näide. Antud sirge üldvõrrand x - y + 1 = 0. Leidke lõikudest selle sirge võrrand.

C \u003d 1, , a = -1, b \u003d 1.

Sirge normaalvõrrand

Kui võrrandi mõlemad pooled Ax + Vy + C = 0 korrutada arvuga , mida nimetatakse normaliseeriv tegur, siis saame

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

sirge normaalvõrrand. Normaliseeriva teguri märk ± tuleb valida nii, et μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Näide. Antud sirge üldvõrrand 12x - 5y - 65 = 0. Sellele reale on vaja kirjutada erinevat tüüpi võrrandeid.

selle sirgjoone võrrand segmentides:

selle sirge võrrand kaldega: (jagage 5-ga)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Tuleb märkida, et mitte iga sirget ei saa esitada võrrandiga lõikudes, näiteks sirged, mis on paralleelsed telgedega või läbivad alguspunkti.

Näide. Sirge lõikab koordinaattelgedel ära võrdsed positiivsed lõigud. Kirjutage sirgjoone võrrand, kui nendest lõikudest moodustatud kolmnurga pindala on 8 cm 2.

Lahendus. Sirgvõrrand on kujul: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Näide. Kirjutage punkti A (-2, -3) läbiva sirge võrrand ja alguspunkt.

Lahendus. Sirge võrrandil on järgmine kuju: , kus x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Tasapinna joonte vaheline nurk

Definitsioon. Kui kaks sirget on antud y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , siis defineeritakse nende joonte vaheline teravnurk järgmiselt

.

Kaks sirget on paralleelsed, kui k 1 = k 2 . Kaks sirget on risti, kui k 1 = -1/ k 2 .

Teoreem. Sirged Ax + Vy + C \u003d 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 on paralleelsed, kui koefitsiendid A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB on proportsionaalsed. Kui ka С 1 = λС, siis jooned langevad kokku. Nende sirgete võrrandisüsteemi lahendusena leitakse kahe sirge lõikepunkti koordinaadid.

Antud punkti läbiva sirge võrrand, mis on antud sirgega risti

Definitsioon. Punkti M 1 (x 1, y 1) läbiv ja sirgega y \u003d kx + b risti kulgev sirge on esitatud võrrandiga:

Kaugus punktist jooneni

Teoreem. Kui on antud punkt M(x 0, y 0), siis kaugus sirgeni Ax + Vy + C \u003d 0 on määratletud kui

.

Tõestus. Olgu punkt M 1 (x 1, y 1) punktist M antud sirgele langetatud risti alus. Seejärel punktide M ja M 1 vaheline kaugus:

(1)

Võrrandisüsteemi lahendusena võib leida koordinaadid x 1 ja y 1:

Süsteemi teine ​​võrrand on sirgjoone võrrand, mis läbib antud punkti M 0, mis on risti antud sirgega. Kui teisendame süsteemi esimese võrrandi vormiks:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 järgi + C = 0,

siis lahendades saame:

Asendades need avaldised võrrandisse (1), leiame:

Teoreem on tõestatud.

Näide. Määrake sirgete vaheline nurk: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Näide. Näidake, et sirged 3x - 5y + 7 = 0 ja 10x + 6y - 3 = 0 on risti.

Lahendus. Leiame: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, seega on jooned risti.

Näide. Kolmnurga A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) tipud on antud. Leidke tipust C tõmmatud kõrguse võrrand.

Lahendus. Leiame külje AB võrrandi: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3a + 3 = 0;

Soovitud kõrgusvõrrand on: Ax + By + C = 0 või y = kx + b. k = . Siis y = . Sest kõrgus läbib punkti C, siis selle koordinaadid vastavad sellele võrrandile: kust b = 17. Kokku: .

Vastus: 3x + 2a - 34 = 0.

Sirge omadused eukleidilises geomeetrias.

Seal on lõpmatult palju jooni, mida saab tõmmata läbi mis tahes punkti.

Kahe mittekattuvat punkti kaudu on ainult üks sirgjoon.

Kaks tasapinnal olevat mittekattuvat sirget kas lõikuvad ühes punktis või on

paralleelne (järgneb eelmisest).

Kolmemõõtmelises ruumis on kahe joone suhtelise asukoha jaoks kolm võimalust:

• jooned ristuvad;

• sirgjooned on paralleelsed;

• sirgjooned ristuvad.

Otse rida- esimest järku algebraline kõver: Descartes'i koordinaatsüsteemis sirge

on antud tasapinnal esimese astme võrrandiga (lineaarvõrrand).

Sirge üldvõrrand.

Definitsioon. Mis tahes tasapinna sirge saab esitada esimest järku võrrandiga

Ah + Wu + C = 0,

ja pidev A, B ei võrdu samal ajal nulliga. Seda esimest järku võrrandit nimetatakse üldine

sirgjoone võrrand. Sõltuvalt konstantide väärtustest A, B Ja KOOS Võimalikud on järgmised erijuhud:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- joon läbib alguspunkti

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( + C = 0)- teljega paralleelne sirgjoon Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- teljega paralleelne sirgjoon OU

. B = C = 0, A ≠ 0- joon langeb kokku teljega OU

. A = C = 0, B ≠ 0- joon langeb kokku teljega Oh

Sirge võrrandit saab esitada erineval kujul, olenevalt antud olukorrast

esialgsed tingimused.

Punkti ja normaalvektori sirgjoone võrrand.

Definitsioon. Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis vektor komponentidega (A, B)

võrrandiga antud sirgega risti

Ah + Wu + C = 0.

Näide. Leidke punkti läbiva sirge võrrand A(1, 2) vektoriga risti (3, -1).

Lahendus. Koostame punktides A \u003d 3 ja B \u003d -1 sirgjoone võrrandi: 3x - y + C \u003d 0. Koefitsiendi C leidmiseks

asendame saadud avaldisesse antud punkti A koordinaadid. Saame: 3 - 2 + C = 0, seega

C = -1. Kokku: soovitud võrrand: 3x - y - 1 \u003d 0.

Kaht punkti läbiva sirge võrrand.

Olgu ruumis antud kaks punkti M 1 (x 1, y 1, z 1) Ja M2 (x 2, y 2, z 2), Siis sirgjoone võrrand,

läbides neid punkte:

Kui mõni nimetajatest on võrdne nulliga, tuleb vastav lugeja määrata nulliga. Peal

tasapinnal on ülal kirjutatud sirgjoone võrrand lihtsustatud:

Kui x 1 ≠ x 2 Ja x = x 1, Kui x 1 = x 2 .

Murd = k helistas kaldetegur otse.

Näide. Leidke punkte A(1, 2) ja B(3, 4) läbiva sirge võrrand.

Lahendus. Ülaltoodud valemit rakendades saame:

Sirge võrrand punkti ja kaldega.

Kui sirge üldvõrrand Ah + Wu + C = 0 vii vormile:

ja määrata , siis nimetatakse saadud võrrandit

sirge võrrand kaldega k.

Punkti sirge ja suunava vektori võrrand.

Analoogiliselt punktiga, mis võtab arvesse normaalvektorit läbiva sirge võrrandit, saate ülesande sisestada

punkti läbiv sirge ja sirge suunavektor.

Definitsioon. Iga nullist erinev vektor (α 1 , α 2), mille komponendid vastavad tingimusele

Aα 1 + Bα 2 = 0 helistas sirgjoone suunavektor.

Ah + Wu + C = 0.

Näide. Leidke sirge võrrand suunavektoriga (1, -1) ja läbib punkti A(1, 2).

Lahendus. Otsime soovitud sirge võrrandit kujul: Ax + By + C = 0. Definitsiooni järgi,

koefitsiendid peavad vastama järgmistele tingimustele:

1 * A + (-1) * B = 0, st. A = B.

Siis on sirgjoone võrrandil järgmine kuju: Ax + Ay + C = 0, või x + y + C / A = 0.

juures x = 1, y = 2 saame C/A = -3, st. soovitud võrrand:

x + y - 3 = 0

Segmentides sirgjoone võrrand.

Kui sirge Ah + Wu + C = 0 C≠0 üldvõrrandis, siis -C-ga jagades saame:

või, kus

Koefitsientide geomeetriline tähendus on see, et koefitsient a on lõikepunkti koordinaat

teljega sirge Oh, A b- sirge ja telje lõikepunkti koordinaat OU.

Näide. Sirge üldvõrrand on antud x - y + 1 = 0. Leidke selle sirge võrrand segmentides.

C \u003d 1, , a = -1, b \u003d 1.

Sirge normaalvõrrand.

Kui võrrandi mõlemad pooled Ah + Wu + C = 0 arvuga jagada , mida nimetatakse

normaliseeriv tegur, siis saame

xcosφ + ysinφ - p = 0 -sirge normaalvõrrand.

Normaliseeriva teguri märk ± tuleb valida nii, et μ * C< 0.

R- ristnurga pikkus, mis on langenud lähtepunktist jooneni,

A φ - nurk, mille see risti moodustab telje positiivse suunaga Oh.

Näide. Antud sirgjoone üldvõrrand 12x - 5a - 65 = 0. Nõutav erinevat tüüpi võrrandite kirjutamiseks

see sirgjoon.

Selle sirge võrrand segmentides:

Selle sirge võrrand kaldega: (jaga 5-ga)

Sirge võrrand:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Tuleb märkida, et mitte iga sirget ei saa esitada võrrandiga segmentides, näiteks sirged,

paralleelselt telgedega või läbides alguspunkti.

Tasapinna joonte vaheline nurk.

Definitsioon. Kui on antud kaks rida y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, siis nende joonte vaheline teravnurk

määratletakse kui

Kaks sirget on paralleelsed, kui k 1 = k 2. Kaks joont on risti

Kui k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teoreem.

Otsene Ah + Wu + C = 0 Ja A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 on paralleelsed, kui koefitsiendid on proportsionaalsed

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Kui ka С 1 \u003d λС, siis jooned langevad kokku. Kahe sirge lõikepunkti koordinaadid

on leitud nende sirgete võrrandisüsteemi lahendusena.

Antud punkti läbiva sirge võrrand on antud sirgega risti.

Definitsioon. Punkti läbiv sirge M 1 (x 1, y 1) ja joonega risti y = kx + b

mida esindab võrrand:

Kaugus punktist jooneni.

Teoreem. Kui punkt antakse M(x 0, y 0), siis kaugus joonest Ah + Wu + C = 0 defineeritud kui:

Tõestus. Olgu punkt M 1 (x 1, y 1)- perpendikulaari alus langes punktist M antud jaoks

otsene. Seejärel punktide vaheline kaugus M Ja M 1:

(1)

Koordinaadid x 1 Ja 1 võib leida võrrandisüsteemi lahendusena:

Süsteemi teine ​​võrrand on antud punkti M 0 risti läbiva sirge võrrand

antud rida. Kui teisendame süsteemi esimese võrrandi vormiks:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 järgi + C = 0,

siis lahendades saame:

Asendades need avaldised võrrandisse (1), leiame:

Teoreem on tõestatud.