Prisma põhielemendid. Korrapärase nelinurkse prisma maht ja pindala

Selle videotunni abil on kõigil võimalik iseseisvalt tutvuda teemaga „Polüheedri mõiste. Prisma. Prisma pindala." Õpetaja räägib tunnis, mis on geomeetrilised kujundid nagu hulktahukas ja prismad, annab sobivad definitsioonid ja selgitab konkreetsete näidete abil nende olemust.

Selle õppetunni abil on kõigil võimalik iseseisvalt tutvuda teemaga „Polüheedri mõiste. Prisma. Prisma pindala."

Definitsioon. Hulknurkadest koosnevat pinda, mis piirab teatud geomeetrilist keha, nimetatakse hulktahukaks pinnaks või hulktahukaks.

Mõelge järgmistele hulktahukate näidetele:

1. Tetraeeder ABCD on pind, mis koosneb neljast kolmnurgast: ABC, A.D.B., BDC Ja ADC(joonis 1).

Riis. 1

2. Parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 on kuuest rööpkülikust koosnev pind (joonis 2).

Riis. 2

Hulktahuka põhielemendid on küljed, servad ja tipud.

Näod on hulknurgad, mis moodustavad hulktahuka.

Servad on nägude küljed.

Tipud on servade otsad.

Mõelge tetraeedrile ABCD(joonis 1). Toome välja selle peamised elemendid.

Servad: kolmnurgad ABC, ADB, BDC, ADC.

Ribid: AB, AC, BC, DC, AD, BD.

Tipud: A, B, C, D.

Vaatleme rööptahukat ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(Joonis 2).

Servad: rööpkülikud AA 1 D 1 D, D 1 DCC 1, BB 1 C 1 C, AA 1 B 1 B, ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1.

Ribid: AA 1 , BB 1 , SS 1 , DD 1, AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC.

Tipud: A, B, C, D, A1,B1,C1,D1.

Hulktahuka oluline erijuhtum on prisma.

ABCA 1 IN 1 1-ga(joonis 3).

Riis. 3

Võrdsed kolmnurgad ABC Ja A 1 B 1 C 1 paiknevad paralleeltasanditel α ja β nii, et servad AA 1, BB 1, SS 1 paralleelselt.

See on ABCA 1 IN 1 1-ga- kolmnurkne prisma, kui:

1) Kolmnurgad ABC Ja A 1 B 1 C 1 on võrdsed.

2) Kolmnurgad ABC Ja A 1 B 1 C 1 asuvad paralleelsetel tasapindadel α ja β: ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) ribid AA 1, BB 1, SS 1 paralleelselt.

ABC Ja A 1 B 1 C 1- prisma alus.

AA 1, BB 1, SS 1- prisma külgmised ribid.

Kui suvalisest punktist H 1üks tasapind (näiteks β) langetab risti NN 1 tasapinnale α, siis nimetatakse seda risti prisma kõrguseks.

Definitsioon. Kui külgservad on alustega risti, siis nimetatakse prismat sirgeks, vastasel juhul kalduks.

Vaatleme kolmnurkset prismat ABCA 1 IN 1 1-ga(joonis 4). See prisma on sirge. See tähendab, et selle külgmised ribid on alustega risti.

Näiteks ribi AA 1 tasapinnaga risti ABC. Edge AA 1 on selle prisma kõrgus.

Riis. 4

Pange tähele, et külgpind AA 1 B 1 B risti alustega ABC Ja A 1 B 1 C 1, kuna see läbib risti AA 1 alustele.

Nüüd kaaluge kaldprismat ABCA 1 IN 1 1-ga(joonis 5). Siin ei ole külgserv aluse tasapinnaga risti. Kui punktist välja jätta A 1 risti A 1 N peal ABC, siis on see risti prisma kõrgus. Pange tähele, et segment AN on segmendi projektsioon AA 1 lennukile ABC.

Siis sirgjoone vaheline nurk AA 1 ja lennuk ABC on nurk sirgjoone vahel AA 1 ja tema AN projektsioon tasapinnale, see tähendab nurk A 1 AN.

Riis. 5

Vaatleme nelinurkset prismat ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(joonis 6). Vaatame, kuidas see välja tuleb.

1) Nelinurk ABCD võrdne nelinurgaga A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Nelinurgad ABCD Ja A 1 B 1 C 1 D 1 ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Nelinurgad ABCD Ja A 1 B 1 C 1 D 1 asub nii, et külgmised ribid on paralleelsed, see tähendab: AA 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1.

Definitsioon. Prisma diagonaal on segment, mis ühendab prisma kahte tippu, mis ei kuulu samasse tahku.

Näiteks, AC 1- nelinurkse prisma diagonaal ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Definitsioon. Kui külgserv AA 1 risti aluse tasapinnaga, siis nimetatakse sellist prismat sirgeks.

Riis. 6

Nelinurkse prisma erijuht on meile tuntud rööptahukas. Parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 näidatud joonisel fig. 7.

Vaatame, kuidas see töötab:

1) Alused sisaldavad võrdseid numbreid. Sel juhul - võrdsed rööpkülikud ABCD Ja A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Parallelogrammid ABCD Ja A 1 B 1 C 1 D 1 asuvad paralleelsetel tasapindadel α ja β: ABC║A 1 B 1 C 1 (α ║ β).

3) Parallelogrammid ABCD Ja A 1 B 1 C 1 D 1 paigutatud nii, et külgmised ribid on üksteisega paralleelsed: AA 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1.

Riis. 7

Punktist A 1 langetame risti AN lennukile ABC. Joonelõik A 1 N on kõrgus.

Vaatame, kuidas on üles ehitatud kuusnurkne prisma (joonis 8).

1) Alus sisaldab võrdseid kuusnurki ABCDEF Ja A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1: ABCDEF= A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1.

2) Kuusnurkade tasapinnad ABCDEF Ja A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 paralleelsed, see tähendab, et alused asuvad paralleelsetel tasapindadel: ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Kuusnurgad ABCDEF Ja A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 paigutatud nii, et kõik külgmised ribid on üksteisega paralleelsed: AA 1 ║BB 1 …║FF 1.

Riis. 8

Definitsioon. Kui mõni külgserv on risti aluse tasapinnaga, siis nimetatakse sellist kuusnurkset prismat sirgeks.

Definitsioon. Õiget prismat nimetatakse regulaarseks, kui selle alused on korrapärased hulknurgad.

Vaatleme tavalist kolmnurkset prismat ABCA 1 IN 1 1-ga.

Riis. 9

Kolmnurkne prisma ABCA 1 IN 1 1-ga- korrapärane, see tähendab, et alused sisaldavad korrapäraseid kolmnurki, st nende kolmnurkade kõik küljed on võrdsed. Samuti on see prisma sirge. See tähendab, et külgserv on aluse tasapinnaga risti. See tähendab, et kõik külgpinnad on võrdsed ristkülikud.

Niisiis, kui kolmnurkne prisma ABCA 1 IN 1 1-ga- on õige, siis:

1) Külgserv on risti aluse tasapinnaga, st see on kõrgus: AA 1 ⊥ ABC.

2) Aluseks on korrapärane kolmnurk: ∆ ABC- õige.

Definitsioon. Prisma kogupindala on kõigi selle tahkude pindalade summa. Määratud S täis.

Definitsioon. Külgpind on kõigi külgpindade pindalade summa. Määratud S pool.

Prismal on kaks alust. Siis on prisma kogupindala:

S täis = S pool + 2S põhi.

Sirge prisma külgpind on võrdne aluse perimeetri ja prisma kõrguse korrutisega.

Tõestuse teostame kolmnurkprisma näitel.

Antud: ABCA 1 IN 1 1-ga- sirge prisma, s.o. AA 1 ⊥ ABC.

AA 1 = h.

Tõesta: S pool = P põhi ∙ h.

Riis. 10

Tõestus.

Kolmnurkne prisma ABCA 1 IN 1 1-ga- otse, see tähendab AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C - ristkülikud.

Leiame külgpinna pindala ristkülikute pindalade summana AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C:

S pool = AB∙ h + BC∙ h + CA∙ h = (AB + BC + CA) ∙ h = P põhi ∙ h.

Saame S külg = P põhi ∙ h, Q.E.D.

Tutvusime polühedra, prisma ja selle sortidega. Tõestasime teoreemi prisma külgpinna kohta. Järgmises tunnis lahendame prismaülesandeid.

Geomeetria. 10.-11. klass: õpik üldharidusasutuste õpilastele (põhi- ja erialatase) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. trükk, parandatud ja täiendatud - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lk. : haige.
Geomeetria. 10-11 klass: Õpik üldharidusasutustele / Sharygin I.F - M.: Bustard, 1999. - 208 lk.: ill.
Geomeetria. 10. klass: matemaatika süva- ja erialaõppega õpik üldharidusasutustele /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. trükk, stereotüüp. - M.: Bustard, 008. - 233 lk. :il.

Iklass().
Shkolo.ru ().
Vana kool ().
WikiHow().

Kui suur on minimaalne tahkude arv prismal? Mitu tippu ja serva on sellisel prismal?
Kas on prismat, millel on täpselt 100 serva?
Külgriba on alustasandi suhtes 60° nurga all. Leia prisma kõrgus, kui külgserv on 6 cm.
Täisnurkses kolmnurkses prismas on kõik servad võrdsed. Selle külgpinna pindala on 27 cm2. Leidke prisma kogupindala.

Stereomeetria on geomeetria haru, mis uurib kujundeid, mis ei asu samal tasapinnal. Üks stereomeetria uurimisobjekte on prismad. Artiklis määratleme prisma geomeetrilisest vaatenurgast ja loetleme lühidalt ka sellele iseloomulikud omadused.

Geomeetriline kujund

Prisma definitsioon geomeetrias on järgmine: see on ruumikujund, mis koosneb kahest identsest n-nurgast, mis paiknevad paralleelsel tasapinnal ja on omavahel tippude kaudu ühendatud.

Prisma saamine pole keeruline. Kujutagem ette, et on kaks identset n-nurka, kus n on külgede või tippude arv. Asetame need nii, et need oleksid üksteisega paralleelsed. Pärast seda tuleks ühe hulknurga tipud ühendada teise hulknurga vastavate tippudega. Saadud joonis koosneb kahest n-nurksest küljest, mida nimetatakse alusteks, ja n-st nelinurksest küljest, mis üldiselt on rööpkülikukujulised. Rööpkülikute hulk moodustab joonise külgpinna.

Kõnealuse kujundi geomeetriliseks saamiseks on veel üks viis. Seega, kui võtame n-nurga ja kanname selle teisele tasapinnale, kasutades võrdse pikkusega paralleelseid segmente, siis saame uues tasapinnas esialgse hulknurga. Nii hulknurgad kui ka kõik nende tippudest tõmmatud paralleelsed lõigud moodustavad prisma.

Ülaltoodud pilt näitab seda, kuna selle alused on kolmnurgad.

Figuuri moodustavad elemendid

Eespool oli antud prisma definitsioon, millest selgub, et figuuri põhielementideks on selle servad ehk küljed, mis piiravad prisma kõiki sisepunkte välisruumist. Kõnealuse kujundi mis tahes nägu kuulub ühte kahest tüübist:

külgmine;
põhjustel.

Külgtükke on n ja need on rööpkülikud või nende teatud tüübid (ristkülikud, ruudud). Üldiselt erinevad külgpinnad üksteisest. Alusel on ainult kaks tahku, need on n-kujulised ja on üksteisega võrdsed. Seega on igal prismal n+2 külge.

Figuuri iseloomustavad lisaks külgedele ka selle tipud. Need tähistavad punkte, kus kolm nägu puudutavad samaaegselt. Veelgi enam, kaks kolmest näost kuuluvad alati külgpinnale ja üks alusele. Seega pole prismas spetsiaalselt eraldatud ühte tippu, kuna näiteks püramiidis on need kõik võrdsed. Joonise tippude arv on 2*n (n tükki iga aluse kohta).

Lõpuks on prisma kolmas oluline element selle ribid. Need on teatud pikkusega segmendid, mis moodustuvad figuuri külgede ristumise tulemusena. Sarnaselt nägudele on ka servadel kahte tüüpi:

või moodustavad ainult küljed;
või tekivad rööpküliku ja n-nurga aluse külje ristumiskohas.

Servade arv võrdub seega 3*n ja 2*n neist kuulub nimetatud tüüpidest teise.

Prismade tüübid

Prismade klassifitseerimiseks on mitu võimalust. Kuid need kõik põhinevad kahel joonise tunnusel:

n-süsinikaluse tüübi kohta;
küljel tüüp.

Kõigepealt pöördume teise tunnuse poole ja anname sirgjoone definitsiooni. Kui vähemalt üks külg on üldine rööpkülik, nimetatakse kujundit kaldus või kaldus. Kui kõik rööpkülikud on ristkülikud või ruudud, on prisma sirge.

Definitsiooni võib anda ka veidi teisiti: sirge kujund on prisma, mille külgservad ja tahud on risti alustega. Joonisel on kaks nelinurkset kujundit. Vasak on sirge, parem on kaldu.

Liigume nüüd edasi klassifikatsiooni juurde vastavalt alustel lebava n-goni tüübile. Sellel võivad olla samad küljed ja nurgad või erinevad. Esimesel juhul nimetatakse hulknurka regulaarseks. Kui kõnealune kujund sisaldab oma põhjas võrdsete külgede ja nurkadega hulknurka ja on sirge, nimetatakse seda korrapäraseks. Selle määratluse kohaselt võib korrapärase prisma põhjas olla võrdkülgne kolmnurk, ruut, korrapärane viisnurk või kuusnurk jne. Loetletud tavaarvud on toodud joonisel.

Prismade lineaarsed parameetrid

Kõnealuste kujundite suuruste kirjeldamiseks kasutatakse järgmisi parameetreid:

kõrgus;
aluse küljed;
külgmiste ribide pikkus;
mahulised diagonaalid;
külgede ja aluste diagonaalid.

Tavaprismade puhul on kõik need suurused omavahel seotud. Näiteks külgribide pikkused on samad ja võrdsed kõrgusega. Konkreetse n-nurkse korrapärase joonise jaoks on olemas valemid, mis võimaldavad teil määrata kõik ülejäänud mis tahes kahe lineaarse parameetri abil.

Figuuri pind

Kui viidata ülaltoodud prisma definitsioonile, siis pole raske aru saada, mida kujutab joonise pind. Pind on kõigi nägude pindala. Sirge prisma jaoks arvutatakse see järgmise valemiga:

S = 2*S o + P o *h

kus S o on aluse pindala, P o on n-nurga ümbermõõt aluses, h on kõrgus (aluste vaheline kaugus).

Joonise maht

Lisaks harjutamiseks kasutatavale pinnale on oluline teada prisma ruumala. Seda saab määrata järgmise valemi abil:

See avaldis kehtib absoluutselt igat tüüpi prismade kohta, kaasa arvatud need, mis on kaldu ja moodustavad ebakorrapärased hulknurgad.

Õigete puhul on see funktsioon aluse külje pikkusest ja figuuri kõrgusest. Vastava n-nurkse prisma jaoks on V valemil kindel vorm.

Prisma on geomeetriline ruumiline kujund, mille tunnuseid ja omadusi uuritakse gümnaasiumis. Reeglina võetakse selle uurimisel arvesse selliseid suurusi nagu maht ja pindala. Selles artiklis käsitleme veidi teistsugust küsimust: esitame meetodi prisma diagonaalide pikkuse määramiseks nelinurkse kujundi näitel.

Millist kuju nimetatakse prismaks?

Geomeetrias antakse prisma järgmine definitsioon: see on ruumiline kujund, mida piiravad kaks hulknurkset identset külge, mis on üksteisega paralleelsed, ja teatud arv rööpkülikuid. Alloleval joonisel on näide prismast, mis sobib selle määratlusega.

Näeme, et kaks punast viisnurka on üksteisega võrdsed ja asuvad kahel paralleelsel tasapinnal. Viis roosat rööpkülikut ühendavad need viisnurgad tahkeks objektiks – prismaks. Neid kahte viisnurka nimetatakse joonise alusteks ja selle rööpkülikuteks on külgpinnad.

Prismad võivad olla sirged või kaldus, neid nimetatakse ka ristkülikukujulisteks või kaldusteks. Nende erinevus seisneb aluse ja külgmiste servade vahelises nurgas. Ristkülikukujulise prisma puhul on kõik need nurgad võrdsed 90 o.

Lähtudes hulknurga külgede või tippude arvust aluses, räägivad nad kolmnurksetest, viisnurksetest, nelinurksetest prismadest jne. Veelgi enam, kui see hulknurk on korrapärane ja prisma ise sirge, nimetatakse sellist kujundit regulaarseks.

Eelmisel joonisel näidatud prisma on viisnurkne kaldus. Allpool on viisnurkne paremprisma, mis on korrapärane.

Spetsiaalselt õigete jooniste jaoks on mugav teha kõiki arvutusi, sealhulgas prisma diagonaalide määramise meetodit.

Millised elemendid iseloomustavad prismat?

Figuuri elemendid on selle moodustavad komponendid. Spetsiaalselt prisma puhul saab eristada kolme peamist tüüpi elemente:

topid;
servad või küljed;
ribid

Tahkudeks loetakse aluseid ja külgtasapindu, mis üldjuhul kujutavad rööpkülikuid. Prismas on iga külg alati kahte tüüpi: see on hulknurk või rööpkülik.

Prisma servad on need segmendid, mis piiravad joonise mõlemat külge. Sarnaselt tahkudega on ka servi kahte tüüpi: alusele ja külgpinnale kuuluvaid või ainult külgpinnale kuuluvaid. Esimesi on alati kaks korda rohkem kui teisi, olenemata prisma tüübist.

Tipud on prisma kolme serva lõikepunktid, millest kaks asuvad aluse tasapinnal ja kolmas kuulub kahele külgpinnale. Kõik prisma tipud on joonise aluste tasanditel.

Kirjeldatud elementide arvud on ühendatud üheks võrdsuseks, millel on järgmine vorm:

P = B + C - 2.

Siin P on servade arv, B - tipud, C - küljed. Seda võrdsust nimetatakse hulktahuka Euleri teoreemiks.

Joonisel on kolmnurkne korrapärane prisma. Igaüks võib kokku lugeda, et sellel on 6 tippu, 5 külge ja 9 serva. Need arvud on kooskõlas Euleri teoreemiga.

Prisma diagonaalid

Pärast selliseid omadusi nagu maht ja pindala kohtame geomeetriaülesannetes sageli teavet konkreetse kujundi diagonaali pikkuse kohta, mis on kas antud või tuleb leida teisi teadaolevaid parameetreid kasutades. Mõelgem, millised diagonaalid on prismal.

Kõik diagonaalid võib jagada kahte tüüpi:

Lamades nägude tasapinnas. Need ühendavad kas prisma põhjas oleva hulknurga või külgpinna rööpküliku mittekülgnevaid tippe. Selliste diagonaalide pikkuste väärtus määratakse vastavate servade pikkuste ja nendevaheliste nurkade teadmiste põhjal. Rööpküliku diagonaalide määramiseks kasutatakse alati kolmnurkade omadusi.
Helitugevuse sees lebavad prismad. Need diagonaalid ühendavad kahe aluse erinevad tipud. Need diagonaalid on täielikult joonise sees. Nende pikkusi on mõnevõrra keerulisem arvutada kui eelmise tüübi puhul. Arvutusmeetod hõlmab ribide ja aluse pikkuste ning rööpkülikute arvestamist. Sirgete ja korrapäraste prismade puhul on arvutamine suhteliselt lihtne, kuna see toimub Pythagorase teoreemi ja trigonomeetriliste funktsioonide omaduste abil.

Nelinurkse parempoolse prisma külgede diagonaalid

Ülaltoodud joonisel on kujutatud neli identset sirget prismat ja toodud nende servade parameetrid. Diagonaal A, Diagonaal B ja Diagonaal C prismadel näitab katkendlik punane joon kolme erineva tahu diagonaale. Kuna prisma on sirge, mille kõrgus on 5 cm ja selle alust kujutab ristkülik külgedega 3 cm ja 2 cm, pole märgitud diagonaale raske leida. Selleks peate kasutama Pythagorase teoreemi.

Prisma aluse diagonaali pikkus (diagonaal A) on võrdne:

D A = √(3 2 +2 2) = √13 ≈ 3,606 cm.

Prisma külgpinna puhul on diagonaal võrdne (vt diagonaal B):

D B = √(3 2 +5 2) = √34 ≈ 5,831 cm.

Lõpuks on teise külgdiagonaali pikkus (vt diagonaal C):

D C = √(2 2 +5 2) = √29 ≈ 5,385 cm.

Sisemine diagonaalpikkus

Nüüd arvutame välja nelinurkse prisma diagonaali pikkuse, mis on näidatud eelmisel joonisel (Diagonaal D). Seda pole nii raske teha, kui märkate, et see on kolmnurga hüpotenuus, mille jalad on prisma kõrgus (5 cm) ja diagonaal D A, mis on näidatud vasakpoolsel ülanurgal (diagonaal A). Siis saame:

D D = √(D A 2 +5 2) = √(2 2 +3 2 +5 2) = √38 ≈ 6,164 cm.

Regulaarne nelinurkne prisma

Tavalise prisma diagonaal, mille alus on ruut, arvutatakse samamoodi nagu ülaltoodud näites. Vastav valem on:

D = √(2*a 2 +c 2).

Kus a ja c on vastavalt aluse külje ja külgserva pikkused.

Pange tähele, et oma arvutustes kasutasime ainult Pythagorase teoreemi. Suure hulga tippudega (viisnurkne, kuusnurkne ja nii edasi) korrapäraste prismade diagonaalide pikkuste määramiseks on juba vaja kasutada trigonomeetrilisi funktsioone.

Stereomeetria kursuse kooli õppekavas alustatakse kolmemõõtmeliste kujundite uurimist tavaliselt lihtsa geomeetrilise kehaga - prisma hulktahukast. Selle aluste rolli täidavad 2 võrdset hulknurka, mis asuvad paralleelsel tasapinnal. Erijuhtum on tavaline nelinurkne prisma. Selle alused on 2 identset korrapärast nelinurka, mille küljed on risti ja millel on rööpküliku kuju (või ristkülikukujuline, kui prisma ei ole kaldu).

Kuidas prisma välja näeb?

Tavaline nelinurkne prisma on kuusnurk, mille alused on 2 ruutu ja külgpinnad on kujutatud ristkülikutega. Selle geomeetrilise kujundi teine nimi on sirge rööptahukas.

Allpool on näidatud nelinurkse prisma joonis.

Pildil ka näha kõige olulisemad elemendid, mis moodustavad geomeetrilise keha. Need sisaldavad:

Mõnikord võib geomeetriaülesannetes kohata lõigu mõistet. Määratlus kõlab järgmiselt: lõik on kõik lõiketasandisse kuuluvad mahulise keha punktid. Lõige võib olla risti (lõikub joonise servadega 90 kraadise nurga all). Ristkülikukujulise prisma puhul arvestatakse ka diagonaallõiget (maksimaalne konstrueeritavate sektsioonide arv on 2), mis läbib 2 serva ja aluse diagonaale.

Kui lõige on joonistatud nii, et lõiketasand ei ole paralleelne ei aluste ega külgpindadega, on tulemuseks kärbitud prisma.

Redutseeritud prismaelementide leidmiseks kasutatakse erinevaid seoseid ja valemeid. Mõned neist on teada planimeetria kursusest (näiteks prisma aluse pindala leidmiseks piisab, kui meenutada ruudu pindala valemit).

Pindala ja maht

Prisma ruumala määramiseks valemi abil peate teadma selle aluse pindala ja kõrgust:

V = Sbas h

Kuna tavalise tetraeedrilise prisma alus on küljega ruut a, Valemi saate kirjutada täpsemal kujul:

V = a²·h

Kui me räägime kuubist - tavalisest võrdse pikkuse, laiuse ja kõrgusega prismast, arvutatakse maht järgmiselt:

Prisma külgpinna leidmise mõistmiseks peate ette kujutama selle arengut.

Jooniselt on näha, et külgpind koosneb 4 võrdsest ristkülikust. Selle pindala arvutatakse aluse perimeetri ja joonise kõrguse korrutisena:

Sside = Posn h

Võttes arvesse, et ruudu ümbermõõt on võrdne P = 4a, valem on järgmisel kujul:

Sside = 4a h

Kuubiku jaoks:

Sside = 4a²

Prisma kogupindala arvutamiseks peate külgpinnale lisama 2 aluspinda:

Täis = Sside + 2Smain

Nelinurkse korrapärase prisma suhtes näeb valem välja järgmine:

Kokku = 4a h + 2a²

Kuubi pindala jaoks:

Täis = 6a²

Teades ruumala või pindala, saate arvutada geomeetrilise keha üksikud elemendid.

Prisma elementide leidmine

Sageli on probleeme, mille puhul on antud maht või teada külgpinna väärtus, kus on vaja määrata aluse külje pikkus või kõrgus. Sellistel juhtudel saab valemeid tuletada:

põhja külje pikkus: a = Sside / 4h = √(V / h);
kõrgus või külgribi pikkus: h = külg / 4a = V / a²;
baaspindala: Sbas = V/h;
külgne näopiirkond: Külg gr = külg / 4.

Et määrata, kui suur pindala on diagonaalil, peate teadma diagonaali pikkust ja joonise kõrgust. Ruudu jaoks d = a√2. Seetõttu:

Sdiag = ah√2

Prisma diagonaali arvutamiseks kasutage valemit:

dprize = √(2a² + h²)

Et mõista, kuidas antud seoseid rakendada, saab harjutada ja lahendada mitmeid lihtsaid ülesandeid.

Näited probleemidest koos lahendustega

Siin on mõned matemaatika riigilõpueksamite ülesanded.

1. harjutus.

Liiv valatakse tavalise nelinurkse prisma kujuga kasti. Selle nivoo kõrgus on 10 cm. Milline on liivatase, kui viia see sama kujuga, kuid kaks korda pikema põhjaga anumasse?

Seda tuleks põhjendada järgmiselt. Liiva kogus esimeses ja teises konteineris ei muutunud, st selle maht neis on sama. Aluse pikkust saab tähistada tähisega a. Sel juhul on esimese kasti aine maht:

V₁ = ha² = 10a²

Teise kasti puhul on aluse pikkus 2a, kuid liivataseme kõrgus pole teada:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Kuna V1 = V2, saame võrdsustada väljendeid:

10a² = 4ha²

Pärast võrrandi mõlema poole vähendamist a² võrra saame:

Selle tulemusena saab uus liivatase h = 10/4 = 2,5 cm.

2. ülesanne.

ABCDA₁B₁C₁D₁ on õige prisma. On teada, et BD = AB₁ = 6√2. Leidke keha kogupindala.

Et oleks lihtsam mõista, millised elemendid on teada, võite joonistada joonise.

Kuna me räägime tavalisest prismast, siis võime järeldada, et põhjas on ruut diagonaaliga 6√2. Külgkülje diagonaal on sama suur, seetõttu on ka külgpind alusega võrdne ruudu kuju. Selgub, et kõik kolm mõõdet – pikkus, laius ja kõrgus – on võrdsed. Võime järeldada, et ABCDA₁B₁C₁D₁ on kuubik.

Mis tahes serva pikkus määratakse teadaoleva diagonaali kaudu:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Kogupindala leitakse kuubi valemi abil:

Täis = 6a² = 6 6² = 216

3. ülesanne.

Ruum on renoveerimisel. On teada, et selle põrand on ruudu kujuga, mille pindala on 9 m². Ruumi kõrgus on 2,5 m Mis on kõige madalam hind ruumi tapetseerimiseks, kui 1 m² maksab 50 rubla?

Kuna põrand ja lagi on ruudukujulised ehk korrapärased nelinurgad ning selle seinad on horisontaalsete pindadega risti, siis võib järeldada, et tegemist on korrapärase prismaga. On vaja kindlaks määrata selle külgpinna pindala.

Ruumi pikkus on a = √9 = 3 m.

Ala kaetakse tapeediga Külg = 4 3 2,5 = 30 m².

Selle ruumi tapeedi maksumus on madalaim 50·30 = 1500 rublad

Seega piisab ristkülikukujulise prismaga seotud ülesannete lahendamiseks ruudu ja ristküliku pindala ja ümbermõõdu arvutamise oskusest, samuti ruumala ja pindala leidmise valemite tundmisest.