Negatiivsed arvud arvuringil. Õppetund "numbriring"

Kui olete juba tuttav trigonomeetriline ring , ja soovite lihtsalt teatud elementide mälu värskendada või olete täiesti kannatamatu, siis siin see on:

Siin analüüsime kõike üksikasjalikult samm-sammult.

Trigonomeetriline ring ei ole luksus, vaid vajadus

Trigonomeetria Paljud inimesed seostavad seda läbimatu tihnikuga. Järsku kuhjub nii palju trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi, nii palju valemeid... Aga see on nii, et alguses see ei õnnestunud ja... lähme... täielik arusaamatus...

Väga oluline on mitte alla anda trigonomeetriliste funktsioonide väärtused, - öeldakse, väärtuste tabeliga saab alati kannust vaadata.

Kui vaatate pidevalt trigonomeetriliste valemite väärtustega tabelit, siis vabaneme sellest harjumusest!

Ta aitab meid hädast välja! Töötate sellega mitu korda ja siis hüppab see teile pähe. Kuidas on see parem kui laud? Jah, tabelist leiate piiratud arvu väärtusi, kuid ringilt - KÕIK!

Näiteks öelge vaadates trigonomeetriliste valemite väärtuste standardtabel , milline on siinus, mis võrdub näiteks 300 kraadiga või -45.

Mitte mingil juhul?.. saate muidugi ühendada redutseerimisvalemid... Ja vaadates trigonomeetrilist ringi, saate sellistele küsimustele lihtsalt vastata. Ja varsti saate teada, kuidas!

Ja kui lahendada trigonomeetrilisi võrrandeid ja võrratusi ilma trigonomeetrilise ringita, pole see absoluutselt mitte kuhugi.

Sissejuhatus trigonomeetrilisse ringi

Lähme järjekorras.

Kõigepealt kirjutame välja selle numbrite jada:

Ja nüüd see:

Ja lõpuks see:

Muidugi on selge, et tegelikult on esimesel kohal , teisel kohal ja viimasel kohal . See tähendab, et oleme ahela vastu rohkem huvitatud.

Aga kui ilus see välja tuli! Kui midagi juhtub, taastame selle "imeredeli".

Ja miks me seda vajame?

See ahel on siinuse ja koosinuse peamised väärtused esimeses kvartalis.

Joonistame ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis ühikulise raadiusega ringi (st võtame pikkuseks suvalise raadiuse ja kuulutame selle pikkuse ühikuks).

"0-Start" tala pealt paneme nurgad noole suunas (vt joonist).

Ringil saame vastavad punktid. Seega, kui projitseerida punktid igale teljele, saame ülaltoodud ahelast täpselt väärtused.

Miks see nii on, küsite?

Ärme kõike analüüsime. Mõelgem põhimõte, mis võimaldab teil toime tulla teiste sarnaste olukordadega.

Kolmnurk AOB on ristkülikukujuline ja sisaldab . Ja me teame, et nurga b vastas asub pool hüpotenuusi suurusest jalg (meil on hüpotenuus = ringi raadius, see tähendab 1).

See tähendab AB= (ja seega OM=). Ja Pythagorase teoreemi järgi

Loodan, et midagi on juba selgeks saanud?

Nii et punkt B vastab väärtusele ja punkt M vastab väärtusele

Sama ka esimese kvartali teiste väärtustega.

Nagu aru saate, on tuttav telg (härg). koosinustelg ja telg (oy) – siinuste telg . Hiljem.

Piki koosinustelge nullist vasakul (alla nulli piki siinustelge) on loomulikult negatiivsed väärtused.

Niisiis, siin see on, KÕIKVÕIMAS, ilma kelleta pole trigonomeetrias kusagil.

Kuid me räägime sellest, kuidas trigonomeetrilist ringi kasutada.

2. peatükk
3) number

Paneme kirjavahetusele punkti.

Helistagem väljakujunenud kirjavahetusega üksuse ringile

numbriring.

See on reaalkogumi teine ​​geomeetriline mudel

numbrid. Õpilased teavad juba esimest mudelit – numbririda. Sööma

analoogia: arvurea jaoks vastavusreegel (arvust punktini)

peaaegu sõna otseses mõttes sama. Kuid on põhimõtteline erinevus – allikas

peamised raskused arvuringiga töötamisel: sirgel, iga

punkt vastab ainus number, ringil see nii ei ole. Kui

ring vastab numbrile, siis vastab see kõigile

vormi numbrid

Kus on ühikuringi pikkus ja on täisarv

Riis. 1

arv, mis näitab ringi täisringide arvu ühes või teises

pool.

See hetk on õpilastele raske. Neid tuleks pakkuda

asja olemuse ja tegeliku ülesande mõistmine:

Staadioni jooksurada on 400 m pikk, jooksja 100 m kaugusel

alguspunktist. Kui kaugele ta läks? Kui ta just jooksma hakkas, siis

jooksis 100 m; kui sul õnnestus üks ring joosta, siis - (

Kaks ringi – () ; kui sul õnnestus joosta

ringid, siis on tee (

) . Nüüd saate võrrelda

avaldisega saadud tulemus

Näide 1. Millistele numbritele punkt vastab?

numbriring

Lahendus. Alates kogu ringi pikkusest

See on selle veerandi pikkus

Ja seetõttu - kõigile vormi numbritele

Samamoodi tehakse kindlaks, millistele numbritele punktid vastavad

nimetatakse vastavalt esimeseks, teiseks, kolmandaks,

numbriringi neljandad veerandid.

Kogu kooli trigonomeetria põhineb numbrilisel mudelil

ringid. Kogemused näitavad, et ka sellel mudelil on puudusi

trigonomeetriliste funktsioonide rutakas kasutuselevõtt ei võimalda luua

usaldusväärne alus materjali edukaks õppimiseks. Seetõttu mitte

peate kiirustama ja võtma aega, et kaaluda järgmist

viis erinevat tüüpi arvuringi ülesannet.

Esimest tüüpi ülesanded. Numbriringilt punktide leidmine,

mis vastavad etteantud arvudele, väljendatuna arvu murdosades

Näide 2.

numbrid

Lahendus. Jagame kaare

pooleks punktiga kolmeks võrdseks osaks -

punktid

(joonis 2). Siis

Niisiis, number

Vastab punkt

Number
Näide

3.
peal

numbriline

ring

punktid,

vastavad numbrid:

Lahendus. Teostame ehitusi

a) Kaare kõrvalejätmine

(selle pikkus

) Viis korda

punktist

negatiivses suunas,

saame punkti

b) Kaare kõrvale jätmine

(selle pikkus

) seitse korda alates

positiivses suunas saame eraldava punkti

kaare kolmas osa

See vastab numbrile

c) Kaare kõrvalejätmine

(selle pikkus

) viis korda punktist

positiivses mõttes

suunas, saame punkti

Kaare kolmanda osa eraldamine. Ta ja

vastab numbrile

(kogemus näitab, et parem on mitte edasi lükata

viis korda

Ja 10 korda

Pärast seda näidet on asjakohane anda kaks peamist numbrilist paigutust

ringid: neist esimesel (joon. 3) on kõik veerandid jagatud pooleks, sisse

teine ​​(joonis 4) - kolmeks võrdseks osaks. Need paigutused on teie kontoris kasulikud

matemaatika.

Riis. 2

Riis. 3 Riis. 4

Kindlasti tuleks õpilastega arutada küsimust: mis saab siis, kui

iga paigutus liigub mitte positiivses, vaid negatiivses suunas

suund? Esimesel paigutusel tuleb valitud punktid määrata

muud "nimed": vastavalt

jne.; teisel paigutusel:

Teist tüüpi ülesanded. Numbriringilt punktide leidmine,

mis vastavad antud arvudele, mida pole väljendatud arvu murdosades

Näide 4. Otsige numbriringilt vastavad punktid

numbrid 1; 2; 3; -5.

Lahendus.

Siin peame tuginema asjaolule, et

Seetõttu punkt 1

asub kaarel

punktile lähemale

Punktid 2 ja 3 on kaarel, esimene on

Teine on lähemal (joonis 5).

Läheme pisut üksikasjalikumalt

arvule vastava punkti leidmisel – 5.

Peate ühest punktist liikuma

negatiivses suunas, st. päripäeva

Riis. 5

nool. Kui lähete selles suunas punktini

Saame

See tähendab, et arvule – 5 vastav punkt asub

punktist veidi paremale

(vt joonis 5).

Kolmandat tüüpi ülesanded. Analüütiliste kirjete koostamine (topelt

ebavõrdsused) arvuringi kaare jaoks.

Tegelikult me ​​tegutseme selle järgi

sama kava, mida kasutati 5.-8

klassid numbrirea õppimiseks:

esmalt leidke punkt numbri ja seejärel punkti järgi

punkt - arv, siis kasutatakse kahekordseid

ebavõrdsused intervallide kirjutamisel

numbririda.

Mõelge näiteks avatud

Kus on esimese keskel

arvuringi veerandid ja

- selle keskel

teine ​​kvartal (joonis 6).

Kaare iseloomustavad ebavõrdsused, s.o. esindavad

Tehakse ettepanek koostada kaare analüütiline mudel kahes etapis. Esimesel

lava moodustavad tuuma analüütiline rekord(see on peamine asi, mida järgida

kooliõpilasi õpetada); antud kaare jaoks

Teisel

etapil, tee üldine rekord:

Kui me räägime kaarest

Siis pead tuuma kirjutamisel sellega arvestama

() asub kaare sees ja peab seetõttu liikuma kaare algusesse

negatiivses suunas. See tähendab, et kaare analüütilise tähise tuum

paistab nagu

Riis. 6

Mõisted „analüütiline tuum

kaarekirjed", "analüütiline rekord

kaared" ei ole üldiselt aktsepteeritud,

kaalutlused.

Neljandaks

ülesandeid.

Otsing

Descartes

koordinaadid

arvringi punktid, keskpunkt

mis on ühendatud süsteemi algusega

koordinaadid

Esiteks, vaatame ühte üsna peent punkti, seni

praegustes kooliõpikutes praktiliselt ei mainita.

Hakates uurima mudelit “arvuring koordinaadil

lennuk“, peavad õpetajad olema selgelt teadlikud ees ootavatest raskustest

õpilased siin. Need raskused on tingitud asjaolust, et seda uurides

mudeli järgi nõutakse koolilastelt üsna kõrget taset

matemaatilises kultuuris, sest nad peavad töötama samaaegselt

kaks koordinaatsüsteemi - "kõverjoonelises", kui teave selle kohta

punkti asukoht võetakse mööda ringi (arv

vastab

ringi punkt

(); – punkti "kõverjooneline koordinaat") ja sisse

Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatsüsteem (punktis

Nagu iga punkt

koordinaattasand, on abstsiss ja ordinaat). Õpetaja ülesanne on aidata

kooliõpilasi nende loomulike raskuste ületamisel. Kahjuks

tavaliselt kooliõpikutes sellele tähelepanu ei pöörata ja päris algusest peale

esimestes tundides kasutatakse salvestisi

Arvestades, et kiri sisse

õpilase meelest on see Descartes'i keeles selgelt seotud abstsissiga

ristkülikukujulise koordinaatsüsteemiga, mitte läbitud vahemaaga vastavalt numbrilisele

tee ümbermõõt. Seetõttu ei tohiks numbriringiga töötades seda teha

kasutada sümboleid

Riis. 7

Tuleme tagasi neljanda ülesandetüübi juurde. See puudutab plaadilt edasiliikumist

rekordid

(), st. kõverjoonelistest koordinaatidest Descartes'i koordinaatideni.

Kombineerime arvuringi Descartes'i ristkülikusüsteemiga

koordinaadid, nagu on näidatud joonisel fig. 7. Seejärel punktid

saab

järgmised koordinaadid:

() () () (). Väga tähtis

õpetada kooliõpilasi määrama kõigi nende punktide koordinaate, mis

märgitud kahele põhiplaanile (vt joon. 3,4). Punkti pärast

See kõik taandub sellele

arvestades hüpotenuusiga võrdhaarset täisnurkset kolmnurka

Selle jalad on võrdsed

Seega koordinaadid

). Sarnane on olukord punktidega

Kuid ainus erinevus on see, et peate sellega arvestama

abstsiss- ja ordinaatmärgid. Täpsemalt:

Mida peaksid õpilased meeles pidama? Ainult et moodulid on abstsiss ja

kõigi neljandike keskpunktide ordinaadid on võrdsed

Ja neil peaks olema võimalus allkirjastada

määrake iga punkti jaoks otse jooniselt.

Punkti pärast

Kõik taandub ristküliku kaalumisele

kolmnurk hüpotenuus 1 ja nurk

(Joonis 9). Siis jalg

vastupidine nurk

Saab olema võrdne

külgnevad

√

Tähendab,

punkti koordinaadid

Sarnane on olukord punktiga

ainult jalad “vahetavad kohta” ja seetõttu

Riis. 8

Riis. 9

saame

). Need on väärtused

(tähiste täpsusega) ja saab olema

“teenida” kõiki teise paigutuse punkte (vt joonis 4), välja arvatud punktid

abstsisside ja ordinaatidena. Soovitatav viis pähe õppida: "kus lühidalt

; kus see on pikem, seal

Näide 5. Leidke punkti koordinaadid

(vt joonis 4).

Lahendus. Punkt

Asub vertikaalteljele lähemal kui sellele

horisontaalne, s.t. selle abstsissi moodul on väiksem kui selle ordinaadi moodul.

See tähendab, et abstsissmoodul on võrdne

Ordinaatmoodul on võrdne

Märgid mõlemas

juhtumid on negatiivsed (kolmas kvartal). Järeldus: punkt

Koordinaadid on olemas

Neljandat tüüpi ülesannete puhul on kõigi Descartes'i koordinaadid

punktid, mis on esitatud esimeses ja teises mainitud paigutuses

Tegelikult valmistame seda tüüpi ülesannete käigus õpilasi ette

trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste arvutamine. Kui kõik on siin

välja töötatud piisavalt usaldusväärselt, siis üleminek uuele abstraktsioonitasemele

(ordinaat - siinus, abstsiss - koosinus) on vähem valus kui

Neljandasse tüüpi kuuluvad seda tüüpi ülesanded: punkti jaoks

leida Descartes'i koordinaatide märke

Lahendus ei tohiks õpilastele raskusi tekitada: arv

vastab punktile

Neljas veerand, see tähendab.

Viiendat tüüpi ülesanded. Punktide leidmine arvuringilt poolt

antud koordinaadid.

Näide 6. Leidke arvuringilt ordinaatpunktid

pane kirja, millistele numbritele need vastavad.

Lahendus. Otse

Lõikab arvuringi punktides
(joonis 11). Kasutades teist paigutust (vt joon. 4) tuvastame, et punkt

vastab numbrile

Nii tema

vastab vormi kõikidele numbritele
vastab numbrile

Mis tähendab

kõik vormi numbrid

Vastus:

Näide 7. Otsige numbrite järgi

ringi punkt abstsissiga

pane kirja, millistele numbritele need vastavad.

Lahendus. Otse
√

lõikub arvuringiga punktides

– teise ja kolmanda veerandi keskpaigad (joon. 10). Kasutades esimest

paigutus seadis selle punkti

vastab numbrile

Mis tähendab, et kõik

vormi numbrid

vastab numbrile

Mis tähendab, et kõik

vormi numbrid

Vastus:

On vaja näidata teist võimalust

vastused näiteks 7. Ju punkt

vastab numbrile

Need. kõik vormi numbrid

saame:

Riis. 10

Joonis 11

Rõhutagem selle vaieldamatut tähtsust

viiendat tüüpi ülesanded. Tegelikult me ​​õpetame

koolilapsed

otsus

algloomad

trigonomeetrilised võrrandid: näites 6

asi on võrrandis

Ja näites

– võrrandi kohta

oluline on õpetada mõistma asja olemust

koolilapsed lahendavad tüübivõrrandeid

mööda numbriringi,

võtke aega valemite juurde liikumiseks

Kogemus näitab, et kui esimene etapp (töötage

numbriring) pole piisavalt usaldusväärselt välja töötatud, siis teine ​​etapp

(töö valemitega) tajuvad kooliõpilased formaalselt, mis

Loomulikult peame sellest üle saama.

Sarnaselt näidetele 6 ja 7 tuleks leida numbriringilt

punktid kõigi "peamiste" ordinaatide ja abstsissidega

Eriainetena on asjakohane esile tõsta järgmist:

Märkus 1. Propedeutilises mõttes ettevalmistav

töö teemal “Ringi pikkus” 9. klassi geomeetria kursusel. Tähtis

nõuanne: harjutuste süsteem peaks sisaldama selliseid ülesandeid nagu pakutud

allpool. Ühikuring on jagatud punktidega neljaks võrdseks osaks

kaare poolitab punkt ja kaare poolitatakse punktidega

kolmeks võrdseks osaks (joonis 12). Millised on kaare pikkused?

(arvatakse, et ring läbitakse positiivselt

suund)?

Riis. 12

Viiendat tüüpi ülesanded hõlmavad ka töötamist selliste tingimustega nagu

tähendab
To

otsus

algloomad

Samuti “valime” trigonomeetrilisi ebavõrdsusi järk-järgult.

viis õppetundi ja alles kuuendas tunnis peaksid siinuse ja definitsioonid

koosinus kui arvuringi punkti koordinaadid. Kus

Igat tüüpi probleemid on soovitav uuesti lahendada koolilastega, kuid koos

kasutusele võetud tähistuste abil, tehes ettepaneku sooritada selliseid

näiteks ülesanded: arvuta

Lahenda võrrand

ebavõrdsus

jne. Rõhutame seda esimestes tundides

trigonomeetria lihtsaimad trigonomeetrilised võrrandid ja võrratused

ei ole eesmärk koolitust, kuid kasutatakse kui rajatised Sest

peamise asja valdamine - siinuse ja koosinuse definitsioonid punktide koordinaatidena

numbriring.

Lase numbril

vastab punktile

numbriring. Siis selle abstsiss

helistas arvu koosinus

ja on määratud

Ja selle ordinaati nimetatakse arvu siinus

ja on määratud. (joonis 13).

Sellest määratlusest saame kohe

seada siinuse ja koosinuse märgid poolt

veerandid: siinuse jaoks

Koosinuse jaoks

Pühendage sellele terve õppetund (nagu see

aktsepteeritud) on vaevalt soovitatav. Ära tee seda

sundida koolilapsi neid märke pähe õppima: kõik on mehaanilised

päheõppimine, meeldejätmine on vägivaldne tehnika, mida õpilased,

>> Numbriring

7.-9.klassi algebrakursust õppides oleme seni tegelenud algebraliste funktsioonidega, s.o. funktsioonid, mis on analüütiliselt defineeritud avaldistega, milles kasutati algebralisi tehteid arvude ja muutujatega (liitmine, lahutamine, korrutamine, jaotus, astendamine, ruutjuur). Kuid reaalsete olukordade matemaatilisi mudeleid seostatakse sageli teist tüüpi, mitte algebraliste funktsioonidega. Mittealgebraliste funktsioonide klassi - trigonomeetriliste funktsioonide - esimeste esindajatega tutvume selles peatükis. Täpsemalt õpid gümnaasiumis trigonomeetrilisi funktsioone ja muud tüüpi mittealgebralisi funktsioone (eksponentsiaalne ja logaritmiline).
Trigonomeetriliste funktsioonide kasutuselevõtuks vajame uut matemaatiline mudel- numbriring, mida te pole veel kohanud, kuid olete numbrireaga väga tuttav. Tuletame meelde, et arvsirge on sirgjoon, millele on antud alguspunkt O, skaala (ühikusegment) ja positiivne suund. Saame võrrelda mis tahes reaalarvu joone punktiga ja vastupidi.

Kuidas leida joonelt vastav punkt M, kasutades arvu x? Arv 0 vastab alguspunktile O. Kui x > 0, siis liikudes piki sirgjoont punktist 0 positiivses suunas, peate minema n^-ndale pikkusest x; selle tee lõpp on soovitud punkt M(x). Kui x< 0, то, двигаясь по прямой из точки О в отрицательном направлении, нужно пройти путь 1*1; конец этого пути и будет искомой точкой М(х). Число х - координата точки М.

Ja kuidas me lahendasime pöördülesande, st. Kuidas leidsite arvteljel antud punkti M x-koordinaadi? Leidsime lõigu OM pikkuse ja võtsime selle märgiga “+” või * - “sõltuvalt sellest, kummal pool punkti O punkt M sirgel asub.

Kuid päriselus tuleb liikuda mitte ainult sirgjooneliselt. Üsna sageli liigub kaasa ring. Siin on konkreetne näide. Vaatleme staadioni jooksurada ringiks (tegelikult pole see muidugi ring, aga pidage meeles, nagu spordikommentaatorid tavaliselt ütlevad: "jooksja on ringi jooksnud", "pool ringi on jäänud". joosta enne finišit” vms), selle pikkus on 400 m. Stardiks on märgitud - punkt A (joon. 97). Jooksja punktist A liigub ümber ringi vastupäeva. Kuhu ta 200 m pärast jääb? 400 m jooksul? 800 m jooksul? 1500 m jooksul? Kuhu ta peaks tõmbama finišijoone, kui jookseb maratonidistantsi 42 km 195 m?

200 m pärast on ta punktis C, mis on diametraalselt punkti A vastas (200 m on poole jooksulindi pikkus, st poole ringi pikkus). Pärast 400 m jooksmist (st "üks ring", nagu sportlased ütlevad) naaseb ta punkti A. Pärast 800 m jooksmist (st "kaks ringi") on ta jälle punktis A. Mis on 1500 m ? See on “kolm ringi” (1200 m) pluss veel 300 m, s.o. 3

Jooksurada – selle distantsi finiš on punktis 2) (joonis 97).

Peame lihtsalt maratoniga hakkama saama. Pärast 105 ringi läbimist läbib sportlane distantsi 105-400 = 42 000 m, s.o. 42 km. Finišisse on jäänud 195 m, mis on 5 m vähem kui pool ümbermõõtu. See tähendab, et maratonidistantsi finiš on punktis M, mis asub punkti C lähedal (joonis 97).

Kommenteeri. Muidugi mõistate viimase näite tava. Maratonidistantsi ümber staadioni keegi ei jookse, maksimum on 10 000 m, s.o. 25 ringi.

Mööda staadioni jooksulint saate joosta või kõndida mis tahes pikkuses. See tähendab, et iga positiivne arv vastab mingile punktile - "kauguse lõpule". Pealegi on võimalik määrata punkt ringil mis tahes negatiivsele arvule: tuleb lihtsalt panna sportlane jooksma vastupidises suunas, s.t. alusta punktist A mitte vastupäeva, vaid päripäeva. Siis võib staadioni jooksurada käsitleda kui numbriringi.

Põhimõtteliselt võib igat ringi pidada arvuliseks ringiks, kuid matemaatikas lepiti kokku kasutada selleks ühikringi - ringi raadiusega 1. Sellest saab meie “jooksurada”. Ringi raadiusega K pikkus b arvutatakse valemiga. Poolringi pikkus on n ja veerandringi pikkus AB, BC, SB, DA joonisel fig. 98 - võrdne Leppige kokku, et kaar AB nimetatakse ühikuringi esimeseks veerandiks, kaar BC teiseks veerandiks, kaar CB kolmandaks veerandiks, kaar DA neljandaks veerandiks (joonis 98). Sel juhul räägime tavaliselt avatud kaarest, st. umbes ilma otsteta kaare kohta (miski nagu intervall arvjoonel).

Definitsioon. Antakse ühikring, millele on märgitud alguspunkt A - horisontaalläbimõõdu parem ots (joonis 98). Seostame iga reaalarvu I ringil oleva punktiga järgmise reegli järgi:

1) kui x > 0, siis, liikudes punktist A vastupäeva (ringi ümbersõidu positiivne suund), kirjeldame piki ringjoont pikkusega ja selle tee lõpp-punkt M on soovitud punkt: M = M(x);

2) kui x< 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и |; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(1);

Seostame punkti A 0-ga: A = A(0).

Ühikringi, millel on väljakujunenud vastavus (reaalarvude ja ringi punktide vahel), nimetatakse arvuringiks.
Näide 1. Otsige numbriringilt
Kuna etteantud seitsmest arvust esimesed kuus on positiivsed, siis tuleb ringil vastavate punktide leidmiseks läbida etteantud pikkusega rada mööda ringi, liikudes punktist A positiivses suunas. Võtkem seda arvesse

Arv 2 vastab punktile A, kuna mööda ringjoont läbides tee pikkusega 2, s.o. täpselt üks ring, jõuame jälle alguspunkti A Nii, A = A(2).
Mis on juhtunud See tähendab, et punktist A positiivses suunas liikudes tuleb läbida terve ring.

Kommenteeri. Kui oleme 7. ja 8. klassis töötas arvujoonega, siis leppisime lühiduse huvides kokku, et ei ütle „arvule x vastav joone punkt“, vaid ütleme „punkt x“. Numbriringiga töötades järgime täpselt sama kokkulepet: “punkt f” - see tähendab, et räägime ringi punktist, mis vastab numbrile
Näide 2.
Jagades esimese veerandi AB punktidega K ja P kolmeks võrdseks osaks, saame:

Näide 3. Otsige numbriringilt punkte, mis vastavad numbritele
Valmistame konstruktsioone kasutades joonist fig. 99. Kaare AM (selle pikkus on -) paigutamisel punktist A viis korda negatiivses suunas, saame punkti!, - kaare BC keskkoha. Niisiis,

Kommenteeri. Pange tähele mõningaid vabadusi, mida me matemaatilise keele kasutamisel võtame. On selge, et kaar AK ja kaare AK pikkus on erinevad asjad (esimene mõiste on geomeetriline kujund ja teine ​​mõiste on arv). Kuid mõlemad on tähistatud ühtemoodi: AK. Veelgi enam, kui punktid A ja K on ühendatud segmendiga, tähistatakse nii saadud lõiku kui ka selle pikkust samal viisil: AK. Tavaliselt selgub kontekstist, mis tähendust tähistuses mõeldakse (kaar, kaare pikkus, segment või lõigu pikkus).

Seetõttu on kaks numbriringi paigutust meile väga kasulikud.

ESIMENE PAIGUTUS
Iga neljast arvuringi veerandist on jagatud kaheks võrdseks osaks ja iga saadaoleva kaheksa punkti lähedale on kirjutatud nende “nimed” (joonis 100).

TEINE PAIGUTUS Numbriringi kõik neli neljandikku on jagatud kolmeks võrdseks osaks ja iga kaheteistkümne punkti lähedale on kirjutatud nende “nimed” (joonis 101).

Pange tähele, et mõlemal paigutusel saame antud punktidele anda muid "nimesid".
Kas olete märganud, et kõigis analüüsitud kaarepikkuste näidetes
mida väljendatakse arvu n mõne murdosaga? See pole üllatav: lõppude lõpuks on ühikringi pikkus 2n ja kui jagame ringi või selle veerandi võrdseteks osadeks, saame kaared, mille pikkus on väljendatud arvu ja murdosades. Kas arvate, et ühikringjoonel on võimalik leida punkt E nii, et kaare AE pikkus oleks võrdne 1-ga? Mõtleme selle välja:

Sarnaselt arutledes järeldame, et ühikringil võib leida punkti Eg, mille jaoks AE = 1, ja punkti E2, mille jaoks AEr = 2, ja punkti E3, mille jaoks AE3 = 3, ja punkti E4, mille AE4 = 4 ja punkt Eb, mille puhul AEb = 5, ja punkt E6, mille puhul AE6 = 6. Joonisel fig. 102 on märgitud (ligikaudselt) vastavad punktid (orienteerumiseks jagatakse ühikuringi iga veerand kriipsudega kolmeks võrdseks osaks).

Näide 4. Leidke arvringilt punkt, mis vastab arvule -7.

Alustades punktist A(0) ja liikudes negatiivses suunas (päripäeva), peame liikuma mööda ringi pikkusega 7. Kui läbime ühe ringi, saame (ligikaudu) 6,28, mis tähendab, et peame ikkagi läbima (samas suunas) tee pikkusega 0,72. Mis kaar see on? Veidi vähem kui pool veerand ringi, s.o. selle pikkus on väiksem kui number -.

Niisiis, arvuringil, nagu ka arvutel, vastab iga reaalarv ühele punktile (ainult sirgelt on seda muidugi lihtsam leida kui ringilt). Kuid sirge puhul kehtib ka vastupidine: iga punkt vastab ühele arvule. Numbriringi puhul ei vasta selline väide tõele, oleme seda eespool korduvalt näinud. Järgmine väide kehtib arvuringi kohta.
Kui arvuringi punkt M vastab arvule I, siis vastab see ka arvule kujul I + 2k, kus k on suvaline täisarv (k e 2).

Tegelikult on 2n arvulise (ühik)ringi pikkus ja täisarv |th| võib pidada ringi täisringide arvuks ühes või teises suunas. Kui näiteks k = 3, siis see tähendab, et teeme kolm ringi positiivses suunas; kui k = -7, siis see tähendab, et teeme seitse (| k | = | -71 = 7) ringi negatiivses suunas. Aga kui oleme punktis M(1), siis, olles sooritanud ka | kuni | läbides ringi, leiame end jälle punktist M.

A.G. Mordkovitši algebra 10. klass

Tunni sisu tunnimärkmed toetavad raamtunni esitluskiirendusmeetodid interaktiivseid tehnoloogiaid Harjuta ülesanded ja harjutused enesetesti töötoad, koolitused, juhtumid, ülesanded kodutööd arutelu küsimused retoorilised küsimused õpilastelt Illustratsioonid heli, videoklipid ja multimeedium fotod, pildid, graafika, tabelid, diagrammid, huumor, anekdoodid, naljad, koomiksid, tähendamissõnad, ütlused, ristsõnad, tsitaadid Lisandmoodulid kokkuvõtteid artiklid nipid uudishimulikele hällid õpikud põhi- ja lisaterminite sõnastik muu Õpikute ja tundide täiustaminevigade parandamine õpikusõpiku fragmendi uuendamine, innovatsioonielemendid tunnis, vananenud teadmiste asendamine uutega Ainult õpetajatele täiuslikud õppetunnid aasta kalenderplaanid; Integreeritud õppetunnid

Koolis trigonomeetriat õppides seisab iga õpilane silmitsi väga huvitava “numbriringi” mõistega. See, kui hästi õpilane trigonomeetriat hiljem õpib, sõltub kooliõpetaja oskusest selgitada, mis see on ja miks seda vaja on. Kahjuks ei oska iga õpetaja seda materjali selgelt seletada. Seetõttu on paljud õpilased segaduses isegi märgistamise osas punktid numbriringil. Kui loete selle artikli lõpuni, saate teada, kuidas seda probleemideta teha.

Nii et alustame. Joonistame ringi, mille raadius on 1. Tähistame selle ringi “parempoolseima” punkti tähega O:

Õnnitleme, joonistasite just ühikuringi. Kuna selle ringi raadius on 1, on selle pikkus .

Iga reaalarvu saab seostada trajektoori pikkusega piki arvuringi punktist O. Positiivse suunana võetakse liikumissuund vastupäeva. Negatiivne – päripäeva:

Punktide asukoht arvuringil

Nagu me juba märkisime, on numbriringi (ühikringi) pikkus võrdne . Kus siis sellel ringil number asub? Ilmselgelt punktist O vastupäeva peame läbima poole ringi pikkusest ja leiame end soovitud punktist. Tähistame seda tähega B:

Pange tähele, et samasse punkti saab jõuda poolringi mööda negatiivses suunas kõndides. Seejärel joonistame numbri ühikuringile. See tähendab, et numbrid vastavad samale punktile.

Pealegi vastab see sama punkt ka arvudele , , , ja üldiselt lõpmatule arvude hulgale, mille saab kirjutada kujul , kus , see tähendab, kuulub täisarvude hulka. Seda kõike sellepärast, et punktist B saate teha "ümbermaailma" reisi igas suunas (liida või lahutada ümbermõõt) ja jõuda samasse punkti. Saame olulise järelduse, mida tuleb mõista ja meeles pidada.

Iga number vastab numbriringi ühele punktile. Kuid igale arvuringi punktile vastab lõpmatu arv numbreid.

Jagame nüüd arvuringi ülemise poolringi punkti võrra võrdse pikkusega kaaredeks C. On lihtne näha, et kaare pikkus O.C. võrdne . Lükkame nüüd punktist edasi C sama pikkusega kaar vastupäeva. Selle tulemusena jõuame asja juurde B. Tulemus on üsna ootuspärane, kuna . Paneme selle kaare uuesti samas suunas, kuid nüüd punktist B. Selle tulemusena jõuame asja juurde D, mis vastab juba numbrile:

Pane veelkord tähele, et see punkt ei vasta mitte ainult numbrile, vaid ka näiteks arvule, sest sellesse punkti saab jõuda punktist eemaldudes O veerandring päripäeva (negatiivne suund).

Ja üldiselt märgime veel kord, et see punkt vastab lõputult paljudele arvudele, mida saab vormil kirjutada . Kuid neid saab kirjutada ka kujul . Või kui soovite, siis kujul . Kõik need kirjed on täiesti samaväärsed ja neid saab üksteiselt hankida.

Jagame nüüd kaare järgmiseks O.C. poolpunkt M. Nüüd mõelge välja, milline on kaare pikkus OM? Täpselt nii, pool kaarest O.C.. See on . Millistele numbritele punkt vastab? M numbriringil? Olen kindel, et nüüd mõistate, et neid numbreid saab kirjutada kujul .

Kuid seda saab teha erinevalt. Võtame . Siis me saame selle . See tähendab, et neid numbreid saab kirjutada kujul . Sama tulemuse võis saada numbriringi kasutades. Nagu ma juba ütlesin, on mõlemad plaadid samaväärsed ja neid saab üksteiselt hankida.

Nüüd saate lihtsalt tuua näite numbrite kohta, millele punktid vastavad N, P Ja K numbriringil. Näiteks numbrid ja:

Sageli kasutatakse arvuringi vastavate punktide tähistamiseks minimaalseid positiivseid arve. Kuigi see pole üldse vajalik, punkt N, nagu te juba teate, vastab lõputule hulgale teistele arvudele. Sealhulgas näiteks number.

Kui murrad kaare O.C. kolmeks võrdseks punktidega kaareks S Ja L, nii et see on asja mõte S jääb punktide vahele O Ja L, siis kaare pikkus OS on võrdne , ja kaare pikkusega OL on võrdne . Tunni eelmises osas saadud teadmisi kasutades saate hõlpsalt aru saada, kuidas numbriringi ülejäänud punktid välja kukkusid:

Arvud, mis ei ole arvuringi π kordsed

Esitagem nüüd endale küsimus: kuhu numbrireale peaksime märkima arvule 1 vastava punkti? Selleks tuleb alustada ühikuringi kõige “õigemast” punktist O joonistage kaar, mille pikkus oleks võrdne 1-ga. Soovitud punkti asukohta saame näidata vaid ligikaudselt. Jätkame järgmiselt.

Numbriring on ühikring, mille punktid vastavad teatud reaalarvudele.

Ühikringjoon on ring raadiusega 1.

Numbriringi üldvaade.

1) Mõõtühikuks võetakse selle raadius.

2) Horisontaalne ja vertikaalne läbimõõt jagavad arvuringi neljaks veerandiks. Neid nimetatakse vastavalt esimeseks, teiseks, kolmandaks ja neljandaks kvartaliks.

3) Horisontaalne läbimõõt on tähistatud AC-ga, kusjuures A on äärmuslik õige punkt.
Vertikaalne läbimõõt on tähistatud BD, kusjuures B on kõrgeim punkt.
Vastavalt:

esimene veerand on kaar AB

teine ​​veerand - kaar eKr

kolmas kvartal - kaar-CD

neljas kvartal - kaar DA

4) Arvringi alguspunkt on punkt A.

Numbriringi pidi loendada saab kas päripäeva või vastupäeva.

Arvestades punktist A vastu päripäeva nimetatakse positiivne suund.

Arvestades punktist A Kõrval kutsutakse päripäeva negatiivne suund.

Numbriring koordinaattasandil.

Arvringi raadiuse keskpunkt vastab lähtepunktile (arv 0).

Horisontaalne läbimõõt vastab teljele x, vertikaalne telg y.

Alguspunkt Numbriringtee on teljelxja sellel on koordinaadid (1; 0).

Numbriringi põhipunktide nimed ja asukohad:

Kuidas numbriringide nimesid meelde jätta.

On mitmeid lihtsaid mustreid, mis aitavad teil numbriringi põhinimesid hõlpsasti meelde jätta.

Enne alustamist tuletame teile meelde: loendamine toimub positiivses suunas, st punktist A (2π) vastupäeva.

1) Alustame koordinaatide telgede äärmistest punktidest.

Algpunkt on 2π (telje parempoolseim punkt X, võrdne 1).

Nagu teate, on 2π ringi ümbermõõt. See tähendab, et pool ringi on 1π või π. Telg X jagab ringi täpselt pooleks. Vastavalt sellele telje vasakpoolseim punkt X võrdne -1 nimetatakse π.

Telje kõrgeim punkt juures, võrdne 1-ga, jagab ülemise poolringi pooleks. See tähendab, et kui poolring on π, siis pool poolring on π/2.

Samal ajal on π/2 ka veerand ringist. Loendame kolm sellist neljandikku esimesest kolmandani – ja jõuame telje madalaimasse punkti juures, võrdne -1. Aga kui see sisaldab kolme neljandikku, siis on selle nimi 3π/2.

2) Liigume nüüd ülejäänud punktide juurde. Pange tähele: kõigil vastandpunktidel on sama nimetaja - ja need on telje suhtes vastassuunalised punktid juures, nii telgede keskpunkti kui ka telje suhtes X. See aitab meil teada nende punktiväärtusi ilma ummistamata.

Peate meeles pidama ainult esimese veerandi punktide tähendust: π/6, π/4 ja π/3. Ja siis "näeme" mõnda mustrit:

- Telje suhtes juures teise veerandi punktides, vastupidiselt esimese veerandi punktidele, on lugejates olevad numbrid 1 võrra väiksemad kui nimetajate suurus. Näiteks võtame punkti π/6. Selle telje suhtes vastandpunkt juures samuti on nimetajas 6 ja lugejas 5 (1 vähem). See tähendab, et selle punkti nimi on: 5π/6. π/4 vastas oleva punkti nimetajas on samuti 4 ja lugejas 3 (1 väiksem kui 4) – see tähendab, et see on punkt 3π/4.
π/3 vastas oleva punkti nimetajas on samuti 3 ja lugejas 1 vähem: 2π/3.

- Koordinaatide telgede keskpunkti suhtes kõik on vastupidi: numbrid vastaspunktide lugejates (kolmandas veerandis) on 1 võrra suuremad kui nimetajate väärtus. Võtame uuesti punkti π/6. Sellele keskpunkti suhtes vastaspunktis on nimetajas samuti 6 ja lugejas on arv 1 rohkem - see tähendab, et see on 7π/6.
Punkti π/4 vastas oleva punkti nimetajas on samuti 4 ja lugejas on arv veel 1: 5π/4.
Punkti π/3 vastas oleva punkti nimetajas on samuti 3 ja lugejas on arv veel 1: 4π/3.

- Telje suhtes X(neljas veerand) asi on keerulisem. Siin peate lisama nimetaja väärtusele arvu, mis on 1 võrra väiksem - see summa võrdub vastaspunkti lugeja numbrilise osaga. Alustame uuesti π/6-ga. Lisame nimetaja väärtusele, mis on võrdne 6-ga, arvu, mis on sellest arvust 1 võrra väiksem – see tähendab 5. Saame: 6 + 5 = 11. See tähendab, et see on telje vastas. X Punkti nimetajas on 6 ja lugejas 11 – see tähendab 11π/6.

Punkt π/4. Lisame nimetaja väärtusele arvu 1 võrra vähem: 4 + 3 = 7. See tähendab, et see on telje vastas X Punkti nimetajas on 4 ja lugejas 7 – see tähendab 7π/4.
Punkt π/3. Nimetajaks on 3. 3-le liidame ühe võrra väiksema arvu – see tähendab 2. Saame 5. See tähendab, et tema vastas oleva punkti lugejas on 5 – ja see on punkt 5π/3.

3) Veel üks muster veerandite keskpunktide punktide jaoks. On selge, et nende nimetaja on 4. Pöörame tähelepanu lugejatele. Esimese veerandi keskpaiga lugeja on 1π (kuid pole kombeks kirjutada 1). Teise veerandi keskpaiga lugeja on 3π. Kolmanda veerandi keskpaiga lugeja on 5π. Neljanda kvartali keskpaiga lugeja on 7π. Selgub, et keskmiste veerandite lugejad sisaldavad kasvavas järjekorras nelja esimest paaritut numbrit:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
See on ka väga lihtne. Kuna kõigi neljandike keskpunktide nimetajas on 4, siis teame juba nende täisnimesid: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Numbriringi omadused. Võrdlus numbrireaga.

Nagu teate, vastab numbrireal iga punkt ühele numbrile. Näiteks kui sirge punkt A võrdub 3-ga, siis ei saa see enam olla võrdne ühegi teise arvuga.

Numbriringi puhul on see erinev, kuna see on ring. Näiteks selleks, et jõuda ringi punktist A punkti M, saate seda teha otsekui sirgjooneliselt (ainult kaare läbides) või võite minna ümber terve ringi ja jõuda seejärel punkti M. Järeldus:

Olgu punkt M võrdne mõne arvuga t. Nagu me teame, on ringi ümbermõõt 2π. See tähendab, et punkti saab ringjoonele t kirjutada kahel viisil: t või t + 2π. Need on samaväärsed väärtused.
See tähendab, et t = t + 2π. Ainus erinevus on selles, et esimesel juhul tulid sa punkti M kohe ilma ringi tegemata ja teisel juhul tegid ringi, kuid sattusid samasse punkti M. Selliseid saab teha kaks, kolm või kakssada ringid. Kui tähistame ringide arvu tähega n, siis saame uue väljendi:
t = t + 2π n.

Siit ka valem: