Ruutfunktsiooni graafiku koostamine. Visuaalne juhend (2020)

Funktsioon vormist kus kutsutakse ruutfunktsioon.

Ruutfunktsiooni graafik – parabool.

Vaatleme juhtumeid:

I CASE, KLASSIKALINE PARABOOL

See tähendab, ,

Ehitamiseks täitke tabel, asendades x väärtused valemiga:

Märgi punktid (0;0); (1; 1); (-1;1) jne. koordinaattasandil (mida väiksema sammu võtame x väärtused (antud juhul samm 1) ja mida rohkem x väärtusi võtame, seda sujuvam on kõver), saame parabooli:

On lihtne näha, et kui võtta juhtum , , , ehk siis saame parabooli, mis on sümmeetriline telje (oh) suhtes. Seda on lihtne kontrollida, täites sarnase tabeli:

II JUHTUM, „a” ERINEB ÜHIKUST

Mis juhtub, kui võtame , , ? Kuidas muutub parabooli käitumine? Title=" Renderdab QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Esimesel pildil (vt ülal) on selgelt näha, et parabooli (1;1), (-1;1) punktid tabelist muudeti punktideks (1;4), (1;-4), see tähendab, et samade väärtuste korral korrutatakse iga punkti ordinaat 4-ga. See juhtub kõigi algse tabeli võtmepunktidega. Sarnaselt arutleme ka piltide 2 ja 3 puhul.

Ja kui parabool "muutub laiemaks" kui parabool:

Teeme kokkuvõtte:

1)Koefitsiendi märk määrab okste suuna. Title=" Renderdab QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Absoluutne väärtus koefitsient (moodul) vastutab parabooli "paisumise" ja "kokkusurumise" eest. Mida suurem , seda kitsam on parabool, mida väiksem |a|, seda laiem on parabool.

III JUHTUM, ILMUB “C”.

Tutvustame nüüd mängu (st kaalume juhtumit, millal), vaatleme vormi paraboole. Pole raske arvata (alati võib viidata tabelile), et parabool nihkub mööda telge olenevalt märgist üles või alla:

IV KOHTUUR, ILMUB “b”.

Millal parabool "eraldub" teljest ja lõpuks "kõnnib" mööda kogu koordinaattasandit? Millal see lakkab olemast võrdne?

Siin vajame parabooli konstrueerimiseks tipu arvutamise valem: , .

Nii et selles punktis (nagu uue koordinaatsüsteemi punktis (0;0)) ehitame parabooli, mida saame juba teha. Kui käsitleme juhtumit, siis tipust paneme ühe ühikulise lõigu paremale, ühe üles, - saadud punkt on meie (samamoodi samm vasakule, samm üles on meie punkt); kui tegemist on näiteks, siis tipust paneme ühe ühikulise segmendi paremale, kaks - ülespoole jne.

Näiteks parabooli tipp:

Nüüd on peamine mõista, et selles tipus ehitame parabooli parabooli mustri järgi, sest meie puhul.

Parabooli konstrueerimisel pärast tipu koordinaatide leidmist vägaMugav on arvestada järgmiste punktidega:

1) parabool läheb kindlasti punktist läbi . Tõepoolest, asendades valemis x=0, saame, et . See tähendab, et parabooli ja telje (oy) lõikepunkti ordinaat on . Meie näites (ülal) lõikub parabool ordinaat punktis , kuna .

2) sümmeetriatelg paraboolid on sirgjoon, nii et kõik parabooli punktid on selle suhtes sümmeetrilised. Meie näites võtame kohe punkti (0; -2) ja ehitame selle sümmeetriliseks parabooli sümmeetriatelje suhtes, saame punkti (4; -2), mida parabool läbib.

3) Võrdsustades , saame teada parabooli ja telje (oh) lõikepunktid. Selleks lahendame võrrandi. Olenevalt diskriminandist saame ühe (, ), kaks ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Eelmises näites ei ole meie diskriminandi juur konstrueerimisel täisarv, meil pole juuri mõtet leida, kuid me näeme selgelt, et meil on teljega (oh) kaks lõikepunkti; (alates title=" Renderdab QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Nii et teeme asja selgeks

Algoritm parabooli koostamiseks, kui see on antud kujul

1) määrake okste suund (a>0 – üles, a<0 – вниз)

2) leiame valemi , abil parabooli tipu koordinaadid.

3) leiame parabooli lõikepunkti teljega (oy) kasutades vaba liiget, konstrueerime selle punkti suhtes sümmeetrilise punkti parabooli sümmeetriatelje suhtes (tuleb tähele panna, et juhtub, et selle märkimine on kahjumlik punkt, näiteks kuna väärtus on suur... jätame selle punkti vahele...)

4) Leitud punktis - parabooli tipus (nagu uue koordinaatsüsteemi punktis (0;0)) konstrueerime parabooli. If title=" Renderdab QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Leiame parabooli lõikepunktid teljega (oy) (kui need pole veel “pinnale tulnud”) võrrandi lahendamisega

Näide 1

Näide 2

Märkus 1. Kui parabool on meile algselt antud kujul , kus on mõned arvud (näiteks ), siis on seda veelgi lihtsam konstrueerida, sest meile on juba antud tipu koordinaadid . Miks?

Võtame ruuttrinoomi ja isoleerime selles terve ruudu: Vaata, saime selle , . Sina ja mina nimetasime varem parabooli tipuks, see tähendab nüüd,.

Näiteks . Märgime tasapinnale parabooli tipu, saame aru, et oksad on suunatud allapoole, parabool on laienenud (suhtes ). See tähendab, et viime läbi punktid 1; 3; 4; 5 parabooli konstrueerimise algoritmist (vt eespool).

Märkus 2. Kui parabool on antud sellele sarnasel kujul (st esitatakse kahe lineaarse teguri korrutisena), siis näeme kohe parabooli ja telje (härg) lõikepunkte. Sel juhul – (0;0) ja (4;0). Ülejäänud osas tegutseme vastavalt algoritmile, avades sulgud.

, Konkurss "Esitlus tunni jaoks"

Tunni esitlus

Tagasi Edasi

Tähelepanu! Slaidide eelvaated on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada kõiki esitluse funktsioone. Kui olete sellest tööst huvitatud, laadige alla täisversioon.

Tunni eesmärgid:

Hariduslik: uurige ruutfunktsiooni graafiku nihet, määrake graafiku asukoht sõltuvalt koefitsientide b, c väärtustest.

Hariduslik: oskus töötada rühmas ja olla organiseeritud.

Arendav: uurimisoskused, oskus püstitada hüpoteese, analüüsida saadud tulemusi, süstematiseerida saadud andmeid.

Tunni struktuur

Korraldusmoment – 3 minutit.
Uurimistöö – 20 minutit.
Õpitava materjali kinnistamine – 15 minutit.
Peegeldus – 2 minutit.
Tunni kokkuvõte: 3 minutit.
Kodutöö - 2 minutit.

Tunni edenemine

1. Organisatsioonimoment.

Tunni eesmärk on uurimistöö läbiviimine. Uurimisobjektiks on erinevat tüüpi ruutfunktsioonid. Tuleb määrata, kuidas koefitsiendid b, c mõjutavad funktsioonide graafikut kujul y=x 2 +c, y=(x-b) 2, y=(x-b) 2 +c.

Ülesande täitmiseks peate jagunema rühmadesse (4 5-liikmelist rühma, üks rühm "eksperdid" - kõige ettevalmistatud õpilased).

Iga rühm saab uurimisplaani<Приложение>, A3 leht tulemuste salvestamiseks.

2. Uurimistöö
.

Kaks rühma (tase A) uurib funktsioone kujul y= x 2 +c, üks rühm (tase B) uurib funktsiooni kujul y=(x-b) 2, üks rühm (tase C) uurib funktsiooni y=(x-b) ) 2 +c. Ekspertide rühm uurib kõiki funktsioone.

	Funktsioon	Tulemus
1 rühm	y = x 2 +3;	<Рисунок 10>
2. rühm	y = x 2-5;	<Рисунок 11>
3 grupp	y = (x-4) 2;	<Рисунок 12>
4 rühma	y=(x-2) 2 +3.	<Рисунок 13>

Tööplaan

Hüpoteesi sõnastamiseks tehke oletus, milline võiks teie funktsioon välja näha.
Koostage uuritavate funktsioonide graafik (määrake parabooli tipp (x 0, y 0), määrake tabelisse 4 punkti).
Võrrelge saadud graafikut kontrollprooviga y=x 2 .
Tehke järeldus (kuidas on muutunud teie funktsiooni graafiku asukoht kontrollvalimi suhtes).
Joonistage tulemused A3 paberilehele ja esitage need ekspertrühmale.

“Ekspertide” rühm võrdleb oma tulemusi teiste rühmade tulemustega, süstematiseerib ja teeb kokkuvõtted ning teeb järeldused. Ebatäpsuste või vigade korral teeb õpetaja parandavaid märkusi.

Saadud tulemuste vastavusse viimine slaidid nr 2-5.

Iga ruutfunktsiooni y=ax 2 +bx+c saab kirjutada kujul y=a(x-x 0) 2 +y 0, kus x 0 ja y 0 on väljendatud koefitsientide a, b, c kaudu. Seega on teie koefitsiendid b=x 0, c=y 0 parabooli tipu koordinaadid.

3. Õpitud materjali koondamine.

Frontaalne töö klassiga.

1. Leia funktsioonide graafikutelt viga (Slaidid nr 6-9).


Koefitsient b	Pole viga
Joonis 1	Joonis 2

y=(x+5) 2-1	y=(x-2) 2 +2
Koefitsient b ja c	Koefitsient b
Joonis 3	Joonis 4

Tulemused

<Рисунок 7>

<Рисунок 2>

<Рисунок 8>

<Рисунок 9>

Milline koefitsient aitas teil vea leida?

2. Sobitage funktsioonigraafikud värvide järgi (slaid nr 10).

Joonis 5

4. Peegeldus.

Rühm "eksperte" vastab küsimustele:

– Milliseid vigu rühmad tegid?

– Kas tunni eesmärk on täidetud?

– Kas uurimistulemused vastavad püstitatud hüpoteesile?

5. Tunni kokkuvõte (slaid nr 11)
:

Funktsiooni y=(x-b) 2 +c graafiku asukohta mõjutavad koefitsiendid b ja c,

"+b" nihutatakse parabooli piki abstsisstellge paremale b ühikulise segmendi võrra,

“–b” nihutatakse parabooli piki abstsisstellge vasakule b ühikulise segmendi võrra,

"+c" parabooli nihutatakse piki ordinaattelge ülespoole c ühikuliste segmentide võrra,

“-c” parabooli nihutatakse piki ordinaattelge allapoole c ühikuliste segmentide võrra.

6. Kodutöö

Koostage ruutfunktsiooni graafik, mille tipp on punktis A(1;-2), koefitsient a=1.
Mõelge, millises valdkonnas saate selle teema teadmisi kasutada (praktiline rakendus).

Funktsioonigraafikute teisendamine

Selles artiklis tutvustan teile funktsioonigraafikute lineaarseid teisendusi ja näitan, kuidas neid teisendusi kasutada funktsioonigraafikust funktsioonigraafiku saamiseks.

Funktsiooni lineaarne teisendus on funktsiooni enda ja/või selle argumendi teisendamine vormiks , samuti argumendi- ja/või funktsioonimoodulit sisaldav teisendus.

Suurimad raskused graafikute koostamisel lineaarsete teisenduste abil on põhjustatud järgmistest toimingutest:

Põhifunktsiooni eraldamine, mille graafikut me teisendame.
Teisenduste järjekorra definitsioonid.

JA Just nendel punktidel peatume üksikasjalikumalt.

Vaatame funktsiooni lähemalt

See põhineb funktsioonil. Helistame talle põhifunktsioon.

Funktsiooni joonistamisel teostame teisendusi baasfunktsiooni graafikul.

Kui me teostaksime funktsiooniteisendusi samas järjekorras, milles selle väärtus leiti argumendi teatud väärtuse jaoks, siis

Mõelgem, mis tüüpi argumentide ja funktsioonide lineaarsed teisendused eksisteerivad ning kuidas neid teostada.

Argumendi teisendused.

1. f(x) f(x+b)

1. Koostage funktsiooni graafik

2. Nihutage funktsiooni graafikut piki OX-telge |b| võrra ühikut

vasakule, kui b>0
õige, kui b<0

Joonistame funktsiooni

1. Koostage funktsiooni graafik

2. Nihutage seda 2 ühikut paremale:

2. f(x) f(kx)

1. Koostage funktsiooni graafik

2. Jagage graafiku punktide abstsissid k-ga, jättes punktide ordinaate muutmata.

Koostame funktsiooni graafiku.

1. Koostage funktsiooni graafik

2. Jagage kõik graafiku punktide abstsissid 2-ga, jättes ordinaadid muutmata:

3. f(x) f(-x)

1. Koostage funktsiooni graafik

2. Kuvage see sümmeetriliselt OY-telje suhtes.

Koostame funktsiooni graafiku.

1. Koostage funktsiooni graafik

2. Kuvage see sümmeetriliselt OY-telje suhtes:

4. f(x) f(|x|)

1. Koostage funktsiooni graafik

2. OY teljest vasakul asuv graafiku osa kustutatakse, OY teljest paremal asuv graafiku osa täidetakse sümmeetriliselt OY-telje suhtes:

Funktsioonigraafik näeb välja selline:

Joonistame funktsiooni

1. Koostame funktsiooni graafiku (see on funktsiooni graafik, nihutatud piki OX-telge 2 ühiku võrra vasakule):

2. Graafiku osa, mis asub OY (x) teljest vasakul<0) стираем:

3. Täidame OY teljest (x>0) paremal asuva graafiku osa sümmeetriliselt OY-telje suhtes:

Tähtis! Argumendi teisendamise kaks peamist reeglit.

1. Kõik argumentide teisendused sooritatakse piki OX-telge

2. Kõik argumendi teisendused sooritatakse "vastupidi" ja "vastupidises järjekorras".

Näiteks funktsioonis on argumentide teisenduste jada järgmine:

1. Võtke x moodul.

2. Lisage moodulile x number 2.

Kuid me koostasime graafiku vastupidises järjekorras:

Esiteks viidi läbi teisendus 2 - graafik nihutati 2 ühiku võrra vasakule (see tähendab, et punktide abstsissid vähendati 2 võrra, justkui "tagurpidi")

Seejärel teostasime teisenduse f(x) f(|x|).

Lühidalt, teisenduste jada on kirjutatud järgmiselt:

Nüüd räägime sellest funktsiooni teisendus . Toimuvad transformatsioonid

1. Mööda OY telge.

2. Samas järjekorras, milles toimingud sooritatakse.

Need on teisendused:

1. f(x)f(x)+D

2. Nihutage seda mööda OY telge |D| võrra ühikut

üles, kui D>0
alla, kui D<0

Joonistame funktsiooni

1. Koostage funktsiooni graafik

2. Nihutage seda mööda OY telge 2 ühikut üles:

2. f(x)Af(x)

1. Koostage funktsiooni y=f(x) graafik

2. Korrutame graafiku kõigi punktide ordinaadid A-ga, jättes abstsissid muutmata.

Joonistame funktsiooni

1. Koostame funktsiooni graafiku

2. Korrutage graafiku kõigi punktide ordinaadid 2-ga:

3.f(x)-f(x)

1. Koostage funktsiooni y=f(x) graafik

Koostame funktsiooni graafiku.

1. Koostage funktsiooni graafik.

2. Kuvame selle OX-telje suhtes sümmeetriliselt.

4. f(x)|f(x)|

1. Koostage funktsiooni y=f(x) graafik

2. OX-telje kohal asuv graafiku osa jäetakse muutmata, OX-telje all asuv graafiku osa kuvatakse sümmeetriliselt selle telje suhtes.

Joonistame funktsiooni

1. Koostage funktsiooni graafik. See saadakse funktsioonigraafiku nihutamisel piki OY-telge 2 ühiku võrra allapoole:

2. Nüüd kuvame OX-telje all asuva graafiku osa sümmeetriliselt selle telje suhtes:

Ja viimane teisendus, mida rangelt võttes ei saa nimetada funktsiooni teisenduseks, kuna selle teisenduse tulemus ei ole enam funktsioon:

|y|=f(x)

1. Koostage funktsiooni y=f(x) graafik

2. Kustutame graafiku osa, mis asub OX-telje all, seejärel täidame selle telje suhtes sümmeetriliselt selle graafiku osa, mis asub OX-telje kohal.

Joonistame võrrandi

1. Koostame funktsiooni graafiku:

2. Kustutage OX-telje all asuv graafiku osa:

3. Täiendame selle telje suhtes sümmeetriliselt OX-telje kohal asuva graafiku osa.

Ja lõpuks soovitan teil vaadata VIDEOÕPETUST, milles näitan samm-sammult algoritmi funktsiooni graafiku koostamiseks.

Selle funktsiooni graafik näeb välja selline:

Paralleelne ülekanne.

TÕLGE Y-TELJEL

f(x) => f(x) - b
Oletame, et soovite koostada funktsiooni y = f(x) - b graafiku. On lihtne näha, et selle graafiku ordinaadid kõigi x väärtuste jaoks |b| ühikut vähem kui funktsioonigraafiku y = f(x) vastavad ordinaadid b>0 ja |b| ühikut rohkem - b 0 või üles b Funktsiooni y + b = f(x) graafiku joonistamiseks tuleks joonistada funktsioon y = f(x) ja viia x-telg punkti |b| ühikut üles b>0 või |b| võrra ühikud alla b

ÜLEKANDMINE Mööda ABSTSISSI TELGE

f(x) => f(x + a)
Oletame, et soovite joonistada funktsiooni y = f(x + a). Vaatleme funktsiooni y = f(x), mis mingil hetkel x = x1 saab väärtuse y1 = f(x1). Ilmselgelt saab funktsioon y = f(x + a) sama väärtuse punktis x2, mille koordinaat määratakse võrrandist x2 + a = x1, s.t. x2 = x1 - a ja vaadeldav võrdsus kehtib kõigi funktsiooni määratluspiirkonna väärtuste kogusumma kohta. Seetõttu saab funktsiooni y = f(x + a) graafiku saada funktsiooni y = f(x) graafiku paralleelselt liigutades piki x-telge |a| võrra vasakule. ühikut > 0 või |a| võrra paremale ühikud funktsiooni y = f(x + a) graafiku koostamiseks tuleks koostada funktsiooni y = f(x) graafik ja viia ordinaattelg |a| ühikut paremale, kui a>0 või |a| võrra ühikut vasakule a

Näited:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Peegeldus.

VORMI Y = F(-X) FUNKTSIOONI GRAAFIKU KONSTRUKTSIOON

f(x) => f(-x)
On ilmne, et funktsioonid y = f(-x) ja y = f(x) saavad võrdsed väärtused punktides, mille abstsissid on absoluutväärtuselt võrdsed, kuid märgilt vastupidised. Teisisõnu, funktsiooni y = f(-x) graafiku ordinaadid x positiivsete (negatiivsete) väärtuste piirkonnas on võrdsed funktsiooni y = f(x) graafiku ordinaatidega. x vastavate negatiivsete (positiivsete) väärtuste jaoks absoluutväärtuses. Seega saame järgmise reegli.
Funktsiooni y = f(-x) joonistamiseks peaksite joonistama funktsiooni y = f(x) ja peegeldama seda ordinaadi suhtes. Saadud graafik on funktsiooni y = f(-x) graafik

VORMI Y = - F(X) FUNKTSIOONI GRAAFIKU KONSTRUKTSIOON

f(x) => - f(x)
Funktsiooni y = - f(x) graafiku ordinaadid argumendi kõigi väärtuste korral on absoluutväärtuses võrdsed, kuid märgilt vastupidised funktsiooni y = f(x) graafiku ordinaatidele. argumendi samad väärtused. Seega saame järgmise reegli.
Funktsiooni y = - f(x) graafiku joonistamiseks peaksite joonistama funktsiooni y = f(x) graafiku ja peegeldama seda x-telje suhtes.

Näited:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Deformatsioon.

GRAAFIK DEFORMATSIOON Y-TELJEL

f(x) => k f(x)
Vaatleme funktsiooni kujul y = k f(x), kus k > 0. On lihtne näha, et argumendi võrdsete väärtuste korral on selle funktsiooni graafiku ordinaadid k korda suuremad kui argumendi ordinaadid. funktsiooni y = f(x) graafik, kui k > 1 või 1/k korda vähem kui funktsiooni y = f(x) graafiku ordinaadid k korral Funktsiooni y = k graafiku koostamiseks f(x) ), peaksite koostama funktsiooni y = f(x) graafiku ja suurendama selle ordinaate k korda, kui k > 1 (venitage graafik piki ordinaattelge ) või vähendage selle ordinaate 1/k korda k korral.
k > 1- härja teljest ulatuv
0 - kokkusurumine OX-teljele

GRAAFIK DEFORMATSIOON MIKKI ABSTSISSI TELGE

f(x) => f(k x)
Olgu vaja koostada funktsiooni y = f(kx) graafik, kus k>0. Vaatleme funktsiooni y = f(x), mis suvalises punktis x = x1 saab väärtuse y1 = f(x1). On ilmne, et funktsioon y = f(kx) saab sama väärtuse punktis x = x2, mille koordinaat on määratud võrrandiga x1 = kx2, ja see võrdsus kehtib kõigi x funktsiooni määratluspiirkonnast. Järelikult osutub funktsiooni y = f(kx) graafik funktsiooni y = f(x) graafiku suhtes kokkusurutuks (k 1 korral) piki abstsisstellge. Seega saame reegli kätte.
Funktsiooni y = f(kx) graafiku koostamiseks peaksite koostama funktsiooni y = f(x) graafiku ja vähendama selle abstsissasid k korda, kui k>1 (tihendage graafik piki abstsisstellge) või suurendage selle abstsissid 1/k korda k puhul
k > 1- kokkusurumine Oy teljele
0 - OY teljest venitades