Mitme osa kujutiste koostamiseks peate suutma leida üksikute punktide projektsioonid. Näiteks on keeruline joonisel fig. 139, ilma punktide A, B, C, D, E, F jne horisontaalprojektsioone konstrueerimata.

Objekti pinnale antud punktide projektsioonide ükshaaval leidmise ülesanne lahendatakse järgmiselt. Esiteks leitakse selle pinna projektsioonid, millel punkt asub. Seejärel tõmmates projektsioonile ühendusjoone, kus pind on kujutatud joonega, leitakse punkti teine ​​projektsioon. Kolmas projektsioon asub sideliinide ristumiskohas.

Vaatame näidet.

Esitatakse kolm detaili projektsiooni (joon. 140, a). Antud on nähtaval pinnal asuva punkti A horisontaalprojektsioon a. Peame leidma selle punkti ülejäänud prognoosid.

Kõigepealt peate joonistama abisirge. Kui on antud kaks vaadet, siis valitakse abijoone asukoht joonisel suvaliselt, pealtvaatest paremal, nii et vasakpoolne vaade oleks põhivaatest vajalikul kaugusel (joonis 141).

Kui kolm vaadet on juba konstrueeritud (joon. 142, a), siis ei saa abiliini asukohta suvaliselt valida; peate leidma punkti, mille kaudu see läbib. Selleks piisab, kui jätkata sümmeetriatelje horisontaal- ja profiilprojektsioone, kuni need üksteisega ristuvad, ja läbi saadud punkti k (joonis 142, b) joonistada sirgjoonelõik 45° nurga all, mis saab olema abisirge.

Kui sümmeetriateljed puuduvad, jätkatakse mis tahes näo horisontaal- ja profiilprojektsioone, mis on projekteeritud sirgete segmentide kujul, kuni need ristuvad punktis k 1 (joonis 142, b).

Olles tõmmanud abijoone, hakkavad nad konstrueerima punkti projektsioone (vt joonis 140, b).

Punkti A frontaalprojektsioon a" ja profiil a" peavad asuma selle pinna vastavatel projektsioonidel, kuhu punkt A kuulub. Need projektsioonid leitakse. Joonisel fig. 140, b need on värviliselt esile tõstetud. Joonistage nooltega näidatud sideliinid. Sideliinide ja pinnaprojektsioonide ristumiskohas asuvad soovitud projektsioonid a" ja a".

Punktide B, C, D projektsioonide ehitus on näidatud joonisel fig. 140, nooltega sideliinides. Antud punktiprojektsioonid on värvilised. Ühendusjooned tõmmatakse projektsioonile, millel pind on kujutatud joonena, mitte joonisena. Seetõttu leidke esmalt frontaalprojektsioon punktist C. Profiiliprojektsioon punktist C määratakse sideliinide lõikepunktiga.

Kui pinda ei kujutata ühelgi projektsioonil joonega, siis tuleb punktide projektsioonide koostamiseks kasutada abitasapinda. Näiteks antud koonuse pinnal asuva punkti A frontaalprojektsioon d (joon. 143, a). Alusega paralleelse punkti kaudu tõmmatakse abitasand, mis lõikab koonust ringis; selle esiprojektsioon on sirge segment ja selle horisontaalprojektsioon on ring, mille läbimõõt on võrdne selle segmendi pikkusega (joonis 143, b). Sellele ringile punktist a ühendusjoone tõmmates saadakse punkti A horisontaalprojektsioon a.

Punkti A profiiliprojektsioon a" leitakse tavapärasel viisil sideliinide ristumiskohas.

Sama tehnikat kasutades saate leida näiteks püramiidi või palli pinnal asuva punkti projektsioonid. Kui püramiidi lõikab alusega paralleelne ja etteantud punkti läbiv tasapind, tekib alusele sarnane kujund. Selle joonise projektsioonidel asuvad antud punkti projektsioonid.

Vasta küsimustele

1. Millise nurga all on tõmmatud abisirge?

2. Kuhu tõmbate abisirge, kui on antud eest- ja pealtvaade, kuid peate konstrueerima vasakpoolse vaate?

3. Kuidas määrata abiliini asukohta, kui neid on kolme tüüpi?

4. Millise meetodiga saab punkti projektsioonid konstrueerida ühe antud punkti alusel, kui objekti üht pinda kujutab joon?

5. Milliste geomeetriliste kehade jaoks ja millistel juhtudel leitakse nende pinnale antud punkti projektsioonid abitasandi abil?

Ülesanded § 20 jaoks

Harjutus 68

Kirjutage töövihikusse, millised vaadetel numbritega tähistatud punktide projektsioonid vastavad visuaalsel pildil tähtedega näidatud punktidele õpetaja poolt näidatud näites (joon. 144, a-d).

Harjutus 69

Joonisel fig. 145, tähed a-b tähistavad ainult mõne tipu ühte projektsiooni. Leidke õpetaja antud näites nende tippude ülejäänud projektsioonid ja märgistage need tähtedega. Ühes näites konstrueerige objekti servadele määratud punktide puuduvad projektsioonid (joonis 145, d ja e). Tõstke värviliselt esile nende servade projektsioonid, millel punktid asuvad. Täitke ülesanne läbipaistval paberil, asetades selle õpikulehele ümber joonistada Joon 145.

Harjutus 70

Leia ühe projektsiooniga määratletud punktide puuduvad projektsioonid objekti nähtavatel pindadel (joonis 146). Märgistage need tähtedega. Tõstke punktide antud projektsioonid värviliselt esile. Visuaalne pilt aitab teil probleemi lahendada. Ülesande saab täita kas töövihikus või läbipaistval paberil, kattes selle õpikulehele. Viimasel juhul joonistage joonis ümber. 146 pole vajalik.

Harjutus 71

Joonistage õpetaja antud näites kolm vaadet uuesti (joonis 147). Konstrueerige objekti nähtavatele pindadele määratud punktide puuduvad projektsioonid. Tõstke punktide antud projektsioonid värviliselt esile. Märgistage kõik punktide projektsioonid tähtedega. Punktide projektsioonide koostamiseks kasutage abisirget. Täitke tehniline joonis ja märkige sellele määratud punktid.

Punktil kui matemaatilisel mõistel pole mõõtmeid. Ilmselgelt, kui projektsiooniobjekt on nullmõõtmeline objekt, siis on selle projektsioonist rääkimine mõttetu.

Joon.9 Joon.10

Geomeetrias on soovitatav käsitleda punkti kui füüsilist objekti, millel on lineaarsed mõõtmed. Tavapäraselt võib punktiks võtta lõpmatu väikese raadiusega kuuli. Sellise punkti mõiste tõlgendusega saame rääkida selle projektsioonidest.

Punkti ortogonaalprojektsioonide koostamisel tuleks juhinduda ristprojektsiooni esimesest muutumatust omadusest: Punkti ortogonaalprojektsioon on punkt.

Punkti asukoht ruumis määratakse kolme koordinaadiga: X, Y, Z, näitab kaugusi, mille võrra punkt projektsioonitasanditest eemaldatakse. Nende kauguste määramiseks piisab, kui määrata nende sirgjoonte kohtumispunktid projektsioonitasapindadega ja mõõta vastavad suurused, mis näitavad vastavalt abstsissi väärtusi. X, ordinaadid Y ja sõrmed Z punktid (joon. 10).

Punkti projektsioon on punktist vastavale projektsioonitasandile tõmmatud risti alus. Horisontaalne projektsioon punktid A nimetatakse punkti ristkülikukujuliseks projektsiooniks horisontaalsel projektsioonitasandil, frontaalprojektsioon a /– vastavalt projektsioonide esitasandil ja profiil a // – projektsioonide profiiltasandil.

Otsene Aa, Aa / Ja Aa // nimetatakse projekteerivateks joonteks. Samal ajal otse Ah, väljaulatuv punkt A projektsioonide horisontaaltasandil nimetatakse horisontaalselt väljaulatuv sirgjoon, Aa / Ja Aa //- vastavalt: frontaalselt Ja profiili eenduvad jooned.

Kaks punkti läbivat projektsioonijoont A defineerida tasapind, mida tavaliselt nimetatakse projitseerimine.

Ruumipaigutuse muutmisel punkti esiprojektsioon A – a / jääb paigale, kuuludes tasapinnale, mis vaadeldava teisenduse käigus oma asukohta ei muuda. Horisontaalne projektsioon - A koos horisontaalse projektsioonitasapinnaga pöörleb see päripäeva liikumise suunas ja asub teljega samal risti X frontaalprojektsiooniga. Profiili projektsioon – a // pöörleb koos profiiltasandiga ja võtab teisenduse lõpuks joonisel 10 näidatud asendi. Sel juhul - a // kuulub teljega risti Z punktist tõmmatud A / ja eemaldatakse teljelt Z samale kaugusele kui horisontaalprojektsioon A teljest eemale X. Seetõttu saab punkti horisontaal- ja profiilprojektsiooni vahelise ühenduse luua kahe ristsuunalise lõigu abil aa y Ja a y a // ja ringi kaar, mis ühendab neid keskpunktiga telgede lõikepunktis ( KOHTA- päritolu). Märgitud seost kasutatakse puuduva projektsiooni leidmiseks (antud kaks etteantud). Profiili (horisontaalse) projektsiooni asukoha vastavalt antud horisontaalsele (profiilile) ja frontaalprojektsioonile saab leida sirge abil, mis on tõmmatud 45 0 nurga all lähtepunktist telje suunas Y(seda poolitajat nimetatakse sirgjooneks k– Monge konstant). Esimene neist meetoditest on eelistatavam, kuna see on täpsem.

Seetõttu:

1. Ruumipunkt eemaldatakse:

horisontaaltasapinnast H Z,

frontaaltasandist V antud koordinaadi väärtuse järgi jah

profiiltasandist W koordinaatide väärtuse järgi. X.

2. Suvalise punkti kaks projektsiooni kuuluvad samasse risti (üks ühendusjoon):

horisontaalne ja frontaalne – teljega risti X,

horisontaalne ja profiil – risti Y-teljega,

esiosa ja profiil - risti Z-teljega.

3. Punkti asukoha ruumis määrab täielikult tema kahe ristprojektsiooni asukoht. Seetõttu - Kasutades punkti mis tahes kahte etteantud ortogonaalprojektsiooni, on alati võimalik konstrueerida selle puuduv kolmas projektsioon.

Kui punktil on kolm kindlat koordinaati, siis sellist punkti nimetatakse üldise seisukoha punkt. Kui punktil on üks või kaks koordinaati, millel on nullväärtus, siis sellist punkti nimetatakse privaatne punkt.

Riis. 11 Joon. 12

Joonisel 11 on kujutatud konkreetse asukoha punktide ruumilist joonist ja joonisel 12 on näidatud nende punktide komplekssed joonised (diagrammid). Punkt A kuulub projektsioonide frontaaltasandisse, punkt IN– horisontaalprojektsioonitasand, punkt KOOS– profiili projektsioonitasand ja punkt D– x-telg ( X).

Polüheedrite pinnad on teatavasti piiratud tasapinnaliste kujunditega. Järelikult on hulktahuka pinnal vähemalt ühe projektsiooniga määratletud punktid üldjuhul defineeritud punktid. Sama kehtib ka teiste geomeetriliste kehade pindade kohta: silinder, koonus, kuul ja torus, mis on piiratud kõverate pindadega.

Leppigem kokku kehapinnal lebavate nähtavate punktide kujutamises ringidena, nähtamatud punktid mustade ringidena (täppidena); Nähtavad jooned kujutatakse pidevate joontena ja nähtamatud jooned katkendjoontena.

Olgu antud täisnurkse kolmnurkse prisma pinnal paikneva punkti A horisontaalprojektsioon A 1 (joon. 162, a).

TAlgus-->Tend-->

Nagu jooniselt näha, on prisma esi- ja tagumine põhi paralleelsed projektsioonide P 2 esitasandiga ja projitseeritakse sellele ilma moonutusteta, prisma alumine külgpind on paralleelne projektsioonide P horisontaaltasapinnaga. 1 ja projitseeritakse samuti ilma moonutusteta. Prisma külgmised servad projitseerivad frontaalselt sirgeid, seetõttu projitseeritakse need punktide kujul projektsioonide P 2 esitasandile.

Alates projektsioonist A 1. on kujutatud heleda ringiga, siis on punkt A nähtav ja seetõttu asub see prisma paremal pool. See tahk on eestprojektsioon ja punkti A2 frontaalprojektsioon peab ühtima tasapinna esiprojektsiooniga, mida kujutab sirgjoon.

Konstantse sirge k 123 joonestamisel leiame punkti A kolmanda projektsiooni A 3. Projektsioonide profiiltasandile projitseerides jääb punkt A nähtamatuks, seetõttu on punkt A 3 kujutatud mustaks tõmmatud ringina. Punkti määramine frontaalprojektsiooni B 2 abil on ebakindel, kuna see ei määra punkti B kaugust prisma esiosast.

Koostame prisma ja punkti A isomeetrilise projektsiooni (joon. 162, b). Ehitust on mugav alustada prisma esiosast. Aluskolmnurga ehitame vastavalt kompleksjooniselt võetud mõõtmetele; piki y"-telge joonistame prisma serva suuruse. Konstrueerime punkti A aksonomeetrilise kujutise A", kasutades koordinaatide katkendjoont, mis on mõlemal joonisel kahekordse peenikese joonega.

Olgu kahe põhiprojektsiooniga määratletud korrapärase nelinurkse püramiidi pinnal paikneva punkti C frontaalprojektsioon C 2 (joon. 163, a). Punkti C projektsiooniks on vaja konstrueerida kolm projektsiooni.

Frontaalprojektsioonist on näha, et püramiidi tipp on kõrgemal kui püramiidi ruudukujuline alus. Nendel tingimustel on kõik neli külgpinda nähtavad, kui need projitseeritakse projektsioonide P 1 horisontaaltasapinnale. P 2 projektsioonide projitseerimisel frontaaltasandile on nähtav ainult püramiidi esikülg. Kuna projektsioon C 2 on joonisel kujutatud heleda ringina, on punkt C nähtav ja kuulub püramiidi esiküljele. Horisontaalse projektsiooni C 1 konstrueerimiseks tõmbame läbi punkti C 2 abisirge D 2 E 2, mis on paralleelne püramiidi aluse joonega. Leiame selle horisontaalprojektsiooni D 1 E 1 ja sellel oleva punkti C 1 Kui püramiidil on kolmas projektsioon, leiame punkti C 1 horisontaalprojektsiooni lihtsamalt: leides profiilprojektsiooni C 3, kasutades kahte projektsiooni. ehitada kolmas, kasutades horisontaalseid ja horisontaal-vertikaalseid sideliine. Ehituse edenemine on joonisel näidatud nooltega.

TAlusta-->
Tend-->

Koostame püramiidi ja punkti C dimeetrilise projektsiooni (joon. 163, b). Ehitame püramiidi aluse; selleks joonestame läbi r-teljel võetud punkti O" teljed x" ja y; Piki x-telge joonistame aluse tegelikud mõõtmed ja piki y-telge poolitatuna. Läbi saadud punktide tõmbame sirgjooned paralleelselt x" ja y" telgedega. Mööda z" telge joonistame püramiidi kõrguse; ühendame saadud punkti aluse punktidega, võttes arvesse servade nähtavust. Punkti C konstrueerimiseks kasutame koordinaatide katkendjoont, mis on välja toodud joonistel kahekordse peenikese joonega Lahenduse täpsuse kontrollimiseks tõmbame läbi leitud punkti C sirge D "E", paralleelne x-telg. Selle pikkus peab olema võrdne sirge D 2 E 2 (või D 1 E 1) pikkusega.

PUNKTI PROJEKTEERIMINE KAHELE PROJENDITASAANDILE

Sirgesegmendi AA 1 moodustumist saab kujutada punkti A liikumise tulemusena suvalises tasapinnas H (joon. 84, a) ja tasandi moodustumist sirgjoonelõigu AB liikumisena (joonis fig. 84, b).

Punkt on sirge ja pinna põhiline geomeetriline element, mistõttu objekti ristkülikukujulise projektsiooni uurimine algab punkti ristkülikukujuliste projektsioonide ehitamisest.

Kahe risti asetseva tasandi - projektsioonide frontaaltasandi (vertikaalse) ja projektsioonide H horisontaaltasapinna - moodustatud kahetahulise nurga ruumi asetame punkti A (joonis 85, a).

Projektsioonitasandite lõikejoon on sirgjoon, mida nimetatakse projektsiooniteljeks ja tähistatakse tähega x.

V-tasapind on siin kujutatud ristkülikuna ja H-tasapind rööpkülikuna. Selle rööpküliku kaldkülg on tavaliselt joonistatud selle horisontaalse külje suhtes 45° nurga all. Kaldkülje pikkus on 0,5 selle tegelikust pikkusest.

Punktist A langetatakse ristid tasapindadele V ja H. Perpendikulaaride ja projektsioonitasandite V ja H lõikepunktid a" ja a on punkti A ristkülikukujulised projektsioonid. Kujund Aaa x a" ruumis on ristkülik. Selle ristküliku külg-aax visuaalses kujutises väheneb 2 korda.

Joondame H tasapinnad V tasapinnaga, pöörates V ümber x tasandite lõikejoone. Tulemuseks on punkti A põhjalik joonis (joonis 85, b)

Kompleksjoonise lihtsustamiseks ei ole projektsioonitasandite V ja H piire märgitud (joon. 85, c).

Punktist A projektsioonitasanditele tõmmatud risti nimetatakse projektsioonijoonteks ja nende projektsioonijoonte aluseid - punkte a ja a" - nimetatakse punkti A projektsioonideks: a" on punkti A frontaalprojektsioon, a on horisontaalprojektsioon. punktist A.

Joon a" a nimetatakse projektsiooniühenduse vertikaalseks jooneks.

Punkti projektsiooni asukoht kompleksjoonisel oleneb selle punkti asukohast ruumis.

Kui punkt A asub projektsioonide H horisontaaltasapinnal (joonis 86, a), siis selle horisontaalprojektsioon a ühtib antud punktiga ja frontaalprojektsioon a" asub teljel. Kui punkt B asub frontaaltasandil projektsioonide tasapind V, selle esiprojektsioon langeb kokku selle punktiga ja horisontaalprojektsioon asub x-teljel antud punkti C horisontaal- ja frontaalprojektsioon langeb kokku selle punktiga A punktid A, B ja C on näidatud joonisel 86, b.

PUNKTI PROJEKTEERIMINE KOLME PROJENDITASAANDUSALUSEL

Juhtudel, kui objekti kuju on võimatu ette kujutada kahest projektsioonist, projitseeritakse see kolmele projektsioonitasandile. Sel juhul võetakse kasutusele profiilprojektsioonitasand W, mis on risti tasanditega V ja H. Kolmest projektsioonitasandist koosneva süsteemi visuaalne esitus on toodud joonisel fig. 87, a.

Kolmnurkse nurga (projektsioonitasandite ristumiskoht) servi nimetatakse projektsioonitelgedeks ja neid tähistatakse x, y ja z. Projektsioonitelgede ristumiskohta nimetatakse projektsioonitelgede alguseks ja seda tähistatakse tähega O. Laskeme punktist A risti projektsioonitasapinnale W ja märkides perpendikulaari aluse tähega “a” saada punkti A profiilprojektsioon.

Punkti A kompleksjoonise saamiseks ühendatakse tasapinnad H ja W tasapinnaga V, pöörates neid ümber Ox ja Oz telgede. Punkti A põhjalik joonis on näidatud joonisel fig. 87, b ja c.

Punktist A projektsioonitasanditeni ulatuvate joonte lõike nimetatakse punkti A koordinaatideks ja need on tähistatud: x A, y A ja z A.

Näiteks punkti A koordinaat z A, mis on võrdne lõiguga a"a x (joonis 88, a ja b), on kaugus punktist A hH. Punkti A koordinaat y võrdub segment aa x on kaugus punktist A projektsioonide V frontaaltasandini. Koordinaat x A, võrdne lõiguga aa y - kaugus punktist A projektsioonide W profiiltasandini.

Seega määrab punkti projektsiooni ja projektsioonitelje vaheline kaugus punkti koordinaadid ja on võtmeks selle keeruka joonise lugemisel. Punkti kahest projektsioonist saab määrata punkti kõik kolm koordinaati.

Kui punkti A koordinaadid on antud (näiteks x A = 20 mm, y A = 22 mm ja z A = 25 mm), siis saab konstrueerida selle punkti kolm projektsiooni.

Selleks asetatakse koordinaatide O algpunktist Oz-telje suunas koordinaat z A ja koordinaat y A pannakse maha eraldatud segmentide otstest - punktid a z ja a y (joonis 1). 88, a) - tõmmake sirgjooned paralleelselt Ox-teljega ja asetage need lõikudele, mis on võrdsed x-koordinaadiga A. Saadud punktid a" ja a on punkti A frontaal- ja horisontaalprojektsioonid.

Kasutades punkti A kahte projektsiooni a" ja a, saate selle profiilprojektsiooni konstrueerida kolmel viisil:

1) tõmmake koordinaatide O alguspunktist abikaar, mille raadius Oa y on võrdne koordinaadiga (joonis 87, b ja c), saadud punktist y1 tõmmake Oz-teljega paralleelne sirge ja asetage välja lõigust, mis on võrdne z A-ga;

2) punktist a y tõmmata abisirge Oy telje suhtes 45° nurga all (joon. 88, a), saada punkt a y1 jne;

3) lähtepunktist O tõmmata abisirge Oy telje suhtes 45° nurga all (joon. 88, b), saada punkt a y1 jne.

Vaatleme punktide projektsioone kahele tasapinnale, mille jaoks võtame kaks risti asetsevat tasapinda (joonis 4), mida nimetame horisontaalseks frontaaliks ja tasapindadeks. Nende tasandite lõikejoont nimetatakse projektsiooniteljeks. Ühe punkti A projitseerime vaadeldavatele tasapindadele tasapinnalise projektsiooni abil. Selleks on vaja langetada etteantud punktist ristid Aa ja A vaadeldavatele tasapindadele.

Projektsiooni horisontaaltasapinnale nimetatakse horisontaalne projektsioon punktid A ja projektsioon A? frontaaltasandil nimetatakse eesmine projektsioon.

Projekteeritavad punktid on tavaliselt tähistatud kirjeldavas geomeetrias, kasutades suurtähti A, B, C. Väikesi tähti kasutatakse punktide horisontaalsete projektsioonide tähistamiseks a, b, c... Esiprojektsioonid on tähistatud väikeste tähtedega, mille ülaosas on kriips a?, b?, c?…

Punkte tähistatakse ka rooma numbritega I, II,... ja nende projektsioonide jaoks - araabia numbritega 1, 2... ja 1?, 2?...

Horisontaaltasapinda 90° pöörates saab joonise, millel mõlemad tasapinnad on samas tasapinnas (joon. 5). Seda pilti nimetatakse punkti diagramm.

Läbi risti asetsevate joonte Ahh Ja Ah? Joonistame tasapinna (joon. 4). Saadud tasapind on frontaal- ja horisontaaltasandiga risti, kuna see sisaldab nende tasanditega risti. Seetõttu on see tasapind risti tasandite lõikejoonega. Saadud sirgjoon lõikab horisontaaltasapinda sirgjooneliselt ahh x ja frontaaltasand - sirgjooneliselt a?a X. Otse aahs ja a?a x on risti tasandite lõiketeljega. See on Aahaha? on ristkülik.

Horisontaalsete ja kombineerimisel A Ja A? asetseb tasandite lõiketeljega samal risti, kuna horisontaaltasandi pöörlemisel on segmentide risti ahh x ja a?a x ei lähe katki.

Saame selle projektsioonidiagrammil A Ja A? mingi punkt A asetsevad alati samal risti tasandite lõiketeljega.

Kaks projektsiooni a ja A? teatud punkti A saab üheselt määrata oma asukoha ruumis (joon. 4). Seda kinnitab tõsiasi, et projektsioonist a horisontaaltasapinnale risti konstrueerides läbib see punkti A. Samamoodi läbib projektsioonist perpendikulaar A? otspinnale läbib punkti A, st punkt A on samaaegselt kahel kindlal sirgel. Punkt A on nende lõikepunkt, see tähendab, et see on kindel.

Mõelge ristkülikule Aaa X A?(joonis 5), mille kohta kehtivad järgmised väited:

1) Punkti kaugus A frontaaltasandist võrdub selle horisontaalprojektsiooni a kaugusega tasandite lõiketeljest, s.o.

Ah? = ahh X;

2) punkti kaugus A projektsioonide horisontaaltasapinnast võrdub selle esiprojektsiooni kaugusega A? tasandite lõiketeljest, s.o.

Ahh = a?a X.

Teisisõnu, isegi ilma punkti endata diagrammil, kasutades ainult selle kahte projektsiooni, saate teada, millisel kaugusel antud punkt kummastki projektsioonitasandist asub.

Kahe projektsioonitasandi ristumiskoht jagab ruumi neljaks osaks, mida nimetatakse kvartalites(joonis 6).

Tasapindade lõiketelg jagab horisontaaltasapinna kaheks veerandiks - esi- ja tagaküljeks ning frontaaltasandi - ülemiseks ja alumiseks veerandiks. Esimese veerandi piirideks loetakse frontaaltasandi ülemist osa ja horisontaaltasandi eesmist osa.

Diagrammi vastuvõtmisel horisontaaltasand pöörleb ja joondub frontaaltasandiga (joon. 7). Sel juhul langeb horisontaaltasapinna esiosa kokku esitasandi alumise osaga ja horisontaaltasandi tagumine osa kattub esitasandi ülemise osaga.

Joonistel 8-11 on kujutatud punktid A, B, C, D, mis asuvad ruumi erinevates kvartalites. Punkt A asub esimesel veerandil, punkt B on teisel, punkt C on kolmandal ja punkt D neljandal.

Kui punktid asuvad nende esimeses või neljandas veerandis horisontaalsed projektsioonid on horisontaaltasandi esiosas ja diagrammil asuvad need tasandite lõiketelje all. Kui punkt asub teises või kolmandas veerandis, asub selle horisontaalprojektsioon horisontaaltasandi tagaküljel ja diagrammil tasandite lõiketelje kohal.

Frontaalsed projektsioonid punktid, mis asuvad esimesel või teisel veerandil, asuvad frontaaltasandi ülaosas ja diagrammil asuvad need tasandite lõiketelje kohal. Kui punkt asub kolmandas või neljandas veerandis, on selle esiprojektsioon tasandite lõiketeljest allpool.

Kõige sagedamini paigutatakse reaalsetes konstruktsioonides kujund ruumi esimesse veerandisse.

Mõnel erijuhtudel on punkt ( E) võib asuda horisontaalsel tasapinnal (joonis 12). Sel juhul langevad selle horisontaalprojektsioon e ja punkt ise kokku. Sellise punkti esiprojektsioon asub tasandite lõiketeljel.

Juhul, kui punkt TO asub frontaaltasandil (joonis 13), selle horisontaalprojektsioon k asub tasapindade lõiketeljel ja esiosa k? näitab selle punkti tegelikku asukohta.

Selliste punktide puhul on märk selle kohta, et see asub ühel projektsioonitasanditest, et üks selle projektsioon asub tasandite lõiketeljel.

Kui punkt asub projektsioonitasandite lõiketeljel, langevad see ja mõlemad selle projektsioonid kokku.

Kui punkt ei asu projektsioonitasanditel, nimetatakse seda üldise seisukoha punkt. Järgnevalt, kui erimärke pole, on kõne all olev punkt üldpositsioonis.

2. Projektsioonitelje puudumine

Et selgitada, kuidas saada projektsioonitasandiga risti olevale mudelile punkti projektsioone (joonis 4), on vaja võtta pikliku ristküliku kujuline tükk paksu paberit. Seda tuleb eendite vahel painutada. Murdejoon tähistab tasapindade lõiketelge. Kui pärast seda painutatud paberitükk uuesti sirgendada, saame joonisel kujutatuga sarnase skeemi.

Kombineerides kaks projektsioonitasapinda joonestustasandiga, on võimalik murdejoont mitte näidata, st tasandite lõiketelge skeemile mitte joonistada.

Diagrammile joonistades peaksite alati asetama projektsioonid A Ja A? punkt A ühel vertikaalsel sirgel (joon. 14), mis on risti tasapindade lõiketeljega. Seega, isegi kui tasandite lõiketelje asukoht jääb ebakindel, kuid selle suund on määratud, saab tasandite lõiketelge paikneda ainult sirgjoonega risti oleval diagrammil Ah?.

Kui punkti diagrammil pole projektsioonitelge, nagu esimesel joonisel 14 a, võite ette kujutada selle punkti asukohta ruumis. Selleks tõmmake ükskõik kuhu sirgjoonega risti Ah? projektsioonitelg, nagu teisel joonisel (joonis 14) ja painutage joonist mööda seda telge. Kui taastame punktides perpendikulaarid A Ja A? enne kui need ristuvad, saad punkti A. Projektsioonitelje asukoha muutmisel saadakse punkti erinevad asukohad projektsioonitasapindade suhtes, kuid projektsioonitelje asukoha määramatus ei mõjuta mitme punkti või kujundi suhtelist asendit ruumis.

3. Punkti projektsioonid kolmele projektsioonitasandile

Vaatleme projektsioonide profiiltasapinda. Projektsioonid kahele risti asetsevale tasapinnale määravad tavaliselt kujundi asukoha ja võimaldavad teada saada selle tegelikku suurust ja kuju. Kuid on aegu, mil kahest projektsioonist ei piisa. Seejärel kasutatakse kolmanda projektsiooni konstruktsiooni.

Kolmas projektsioonitasand joonistatakse nii, et see on mõlema projektsioonitasandiga samaaegselt risti (joonis 15). Tavaliselt nimetatakse kolmandat tasapinda profiil.

Sellistes konstruktsioonides nimetatakse horisontaal- ja frontaaltasandi ühist sirgjoont telg X , horisontaal- ja profiiltasandi ühine sirgjoon – telg juures , ning esi- ja profiiltasandi ühine sirgjoon on telg z . Punkt KOHTA, mis kuulub kõigile kolmele tasapinnale, nimetatakse lähtepunktiks.

Joonisel 15a on näidatud punkt A ja kolm selle projektsiooni. Projektsioon profiiltasandile ( A??) kutsutakse profiili projektsioon ja tähistada A??.

Punkti A diagrammi saamiseks, mis koosneb kolmest projektsioonist a, a, a, on vaja lõigata kolmnurk, mille moodustavad kõik y-telje tasandid (joonis 15b) ja ühendada kõik need tasapinnad frontaalprojektsiooni tasapinnaga. Horisontaaltasapinda tuleb pöörata ümber telje X, ja profiilitasand on telje ümber z noolega näidatud suunas joonisel 15.

Joonisel 16 on näidatud väljaulatuvate osade asukoht ah, ah? Ja A?? punktid A, mis saadakse kõigi kolme tasapinna kombineerimisel joonistustasandiga.

Lõike tulemusena ilmub y-telg diagrammil kahes erinevas kohas. Horisontaaltasandil (joonis 16) võtab see vertikaalse asendi (risti teljega). X) ja profiiltasandil horisontaalselt (risti teljega z).

Joonisel 16 on kolm projektsiooni ah, ah? Ja A?? punktidel A on diagrammil rangelt määratletud asukoht ja nende suhtes kehtivad ühemõttelised tingimused:

A Ja A? peaks alati asuma samal vertikaalsel joonel, mis on teljega risti X;

A? Ja A?? peaks alati asuma samal horisontaalsel sirgel, teljega risti z;

3) läbi horisontaalprojektsiooni ja horisontaalse sirgjoone ning läbi profiilprojektsiooni A??– vertikaalne sirgjoon, konstrueeritud sirged lõikuvad tingimata projektsioonitelgede vahelise nurga poolitaja, kuna joonis Oa juures A 0 A n – ruut.

Punkti kolme projektsiooni koostamisel peate kontrollima, kas iga punkti puhul on täidetud kõik kolm tingimust.

4. Punktide koordinaadid

Punkti asukohta ruumis saab määrata kolme numbri abil, mida nimetatakse selleks koordinaadid. Iga koordinaat vastab punkti kaugusele mingist projektsioonitasandist.

Määratud punktide kaugus A profiili tasapinnale on koordinaat X, kus X = ah? Ah(joonis 15), kaugus frontaaltasandist on koordinaat y ja y = ah? Ah, ja kaugus horisontaaltasapinnast on koordinaat z, kus z = aA.

Joonisel 15 on punkt A ristkülikukujulise rööptahu laiuse ja selle rööptahuka mõõtmed vastavad selle punkti koordinaatidele, st iga koordinaat on joonisel 15 esitatud neli korda, st:

x = a?A = Oa x = a y a = a z a?;

y = а?А = Оа y = а x а = а z а?;

z = aA = Oa z = a x a? = a y a?.

Diagrammil (joonis 16) esinevad x- ja z-koordinaadid kolm korda:

x = a z a?= Oa x = a y a,

z = a x a? = Oa z = a y a?.

Kõik lõigud, mis vastavad koordinaadile X(või z), on üksteisega paralleelsed. Koordineerida juures kujutatud kaks korda vertikaalselt paikneva teljega:

y = Oa y = a x a

ja kaks korda – asub horisontaalselt:

y = Oa y = a z a?.

See erinevus ilmneb seetõttu, et y-telg on diagrammil kahes erinevas asendis.

Tuleb arvestada, et iga projektsiooni asukoht määratakse diagrammil ainult kahe koordinaadiga, nimelt:

1) horisontaalne – koordinaadid X Ja juures,

2) frontaalne – koordinaadid x Ja z,

3) profiil – koordinaadid juures Ja z.

Koordinaatide kasutamine x, y Ja z, saate konstrueerida diagrammil oleva punkti projektsioone.

Kui punkt A on antud koordinaatidega, on nende registreerimine defineeritud järgmiselt: A ( X; y; z).

Punktprojektsioonide koostamisel A tuleb kontrollida järgmisi tingimusi:

1) horisontaalsed ja frontaalprojektsioonid A Ja A? X X;

2) frontaal- ja profiilprojektsioonid A? Ja A? peavad asuma teljega samal risti z, kuna neil on ühine koordinaat z;

3) horisontaalprojektsioon ja ka teljelt eemaldatud X, nagu profiilprojektsioon A teljest eemale z, kuna prognoosid ah? ja ah? neil on ühine koordinaat juures.

Kui punkt asub mõnel projektsioonitasandil, on üks selle koordinaatidest võrdne nulliga.

Kui punkt asub projektsiooniteljel, on selle kaks koordinaati võrdsed nulliga.

Kui punkt asub lähtepunktis, on kõik selle kolm koordinaati null.